Progettazione dell’albero centrale diun motoriduttore ad ingranaggi

Bresciani Federico

13 settembre 2016

Anno accademico 2015-2016

Indice

1 Introduzione 1

2 Progettazione analitica 22.1 Dati e specifiche di progetto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.2 Ruote dentate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

2.2.1 Corona calettata (ruota 4) . . . . . . . . . . . . . . . . 32.2.2 Pignone di pezzo (ruota 5) . . . . . . . . . . . . . . . . 42.2.3 Verifica a pitting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.2.4 Verifica a flessione del dente . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.3 Reazioni vincolari e diagrammi delle azioni interne . . . . . . . 82.4 Dimensionamento e Verifica dell’albero . . . . . . . . . . . . . 11

2.4.1 Dimensionamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.4.2 Verifica statica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.4.3 Verifica a fatica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.4.4 Verifica a deformata: frecce e rotazioni . . . . . . . . . 132.4.5 Velocita critiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.5 Cuscinetti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.6 Linguetta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3 Modello FE per la verifica numerica 173.1 Vincoli e carichi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183.2 Mesh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203.3 Risultati numerici e confronto con i risultati analtici . . . . . . 21

4 Bibliografia 26

1 Introduzione

Si considera il motoriduttore MR 3I 80 UP2A, costituito da tre alberiinterni alla cassa e da un albero direttamente collegato al motore.Le caratteristiche del motore sono:

• asincrono trifase

• rotore a gabbia

• possibilita di sovraccarichi per massimo due minuti all’ora

• Cmax = 1.6Cnom

In questa analisi saranno trascurate tutte le perdite di potenza dovute allevarie trasmissioni e quindi la potenza in uscita e direttamente pari a quellain entrata.Obiettivo della presente relazione e il dimensionamento e la verifica deicomponenti dell’albero centrale del suddetto motoriduttore. In riferimentoalla figura (1), i componenti trattati sono le ruote dentate 4 e 5, l’albero (inviola), la linguetta e i cuscinetti.

Figura 1: Schema del motoriduttore

1

2 Progettazione analitica

2.1 Dati e specifiche di progetto

Vengono presentate, nel seguito, le modalita di calcolo che hanno portatoalla progettazione del componente. I dati di progetto sono:

• P = 0.5 kW

• nout = 25.4 rpm

• utot = 41.7

• u12 = 2

• u34 = 5 ⇒

u56 = 4.17

n = nout u56 = 105.918 rpm

w = 11.97 rad/s

C = 45 079 Nmm

Il materiale dell’albero e 16MnCr5, cementato e temprato con carico dirottura Rm = 1030 MPa e snervamento Rsn = 735 MPa.

Il flusso di potenza attraversa i tre alberi del motoriduttore, passando per itre ingranaggi. La velocita angolare decresce di 40 volte e quindiparallelamente cresce la coppia.

Il primo organo di macchina che si va a progettare sono le ruote dentate: ilpignone di pezzo e la condotta calettata tramite linguetta. Infatti avrebbepoco senso procedere al dimensionamento dell’albero prendendo comeparametri delle ruote quelli del motoriduttore Rossi, in quanto le potenze ele velocita in gioco sono differenti.

2.2 Ruote dentate

Si vanno a progettare le ruote dentate con l’approccio dei fattori sinteticiper poi verificare la flessione del dente e il pitting piu accuratamente.Come gia detto si riprogettano completamente le ruote e quindi si sceglie ditener libero l’interasse, mentre i parametri bloccati sono la coppia, ilrapporto di trasmissione e l’angolo d’elica.

2

2.2.1 Corona calettata (ruota 4)

La ruota calettata collega il primo albero all’albero centrale e nel progettodi Rossi ha un diametro primitivo di oltre 100 mm. In questo caso pero lapotenza e minore e quindi ci si aspetta un diametro minore.La verifica e fatta sul pignone dell’ingranaggio, cioe sulla ruota 3 che faparte dell’albero precedente rispetto a quello centrale, quindi serviracalcolare la coppia su quell’albero.

Il numero di denti di confronto per capire se e necessario lo spostamento diprofilo e zmin = 17 con αn = 20◦.

Dati della ruota Valori ottenutie vincoli

β = 16◦16′ K∗ = 7αn = 20◦ si sceglie b/Dp3 = 1u = 5 a = 43.7 mm

C3 = 9 015.7 Nmm b = Dp3 = 14.6 mmDp4 = 72.8 mm

Ul∗ = 80

mn = 1.06 mm→ 1passo = 3.27 mm

z3 = 14 < 17z4 = 70→ 71εα = 2.27εβ = 1.3

Si vogliono mantenere primi tra loro z3 e z4 in modo da non generare usuradisuniforme e quindi si aggiunge un dente alla ruota 4, cioe quella didiametro maggiore. In questo modo il rapporto di trasmissione ottenutonon e 5 ma circa 5.07 e quindi per mantenere invariato il rapporto ditrasmissione totale si dovra correggere gli altri due ingranaggi.Un altro problema nasce dal fatto che z3 < zmin e quindi serve unospostamento di profilo. Per il pignone 3 e necessario che lo spostamento diprofilo sia negativo, cosı da permettere la diminuzione del numero di denti:

zmin =2 · ha

m · sin2 α=

2 · (m+ v)

m · sin2 α=

2 · (1 + x)

sin2 α

3

⇒ x3 =zmin

2sin2 α− 1 ' −0.24

x4 = −x3 = 0.24

Si faccia attenzione ai segni degli spostamenti: si potrebbe anche invertirliimponendo gia una diminuzione dell’addendum ha = m− v e quindiottenendo un coefficiente di spostamento positivo per il pignone.Quindi l’addendum del pignone 3 diminuisce e parallelamente crescera dellastessa quantita quello della corona calettata 4 in modo da avere l’interassecostante durante il funzionamento.

Infine εα indica il numero medio di denti in presa ed essendo maggiore di 1significa che il moto e trasmesso senza intermittenze. Invece εβ tiene contodel fatto che il singolo dente non e completamente in presa a causa dellageometria elicoidale.

2.2.2 Pignone di pezzo (ruota 5)

In questo caso si dimensiona usando proprio il diametro del pignone.

Dati della ruota Valori ottenutie vincoli

β = 14◦22′ K∗ = 7αn = 20◦ si sceglie b/Dp5 = 1u = 4.16 a = 64.4 mm

C = 45 079 Nmm b = Dp5 = 25.2 mmUl∗ = 80

mn = 1.77 mm→ 1.75passo = 5.68 mm

z5 = 14 < 17z6 = 58εα = 1.7εβ = 1.14

Casualmente il numero di denti del pignone 5 e lo stesso del pignone 3 equindi e richiesto lo stesso spostamento di profilo: x5 = −0.24.Il rapporto di trasmissione effettivo e u56 = 58/14 ' 4.14.

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Si riassumono i parametri delle due ruote:

Corona 4 Pignone 5

ANGOLO ELICA 16◦16′ 14◦22′

SENSO ELICA D DINTERASSE [mm] 43.7 64.4

DENTI 71 14DENTI ACCOPPIATI 14 58

RAPPORTO DI TRASMISSIONE 5.07 4.14MODULO [mm] 1 1.75

DIAMETRO PRIMITIVO [mm] 72.8 25.2COEFF. DI SPOSTAMENTO x 0.24 -0.24

ALTEZZA DENTE [mm] 2.24 3.94DIAMETRO DI TRONCATURA 75.3 27.9ESTERNA d = Dp + 2 ha [mm]DIAMETRO DI TRONCATURA 70.8 20INTERNA d = Dp − 2 hf [mm]

PASSO CIRCONF. [mm] 3.27 5.68SPESSORE [mm] 14.6 25.2

Si noti che i rapporti di trasmissione non sono quelli di progetto, infatti si eritenuto che fosse sconveniente avere un rapporto intero e cioe numeri didenti non primi tra loro. L’ingranaggio 3-4 ha un rapporto leggermentemaggiore mentre il 5-6 poco minore, quindi in parte c’e gia unacompensazione per ottenere il rapporto totale voluto.Se fosse richiesta maggiore precisione si dovrebbe regolare di conseguenzaanche l’ingranaggio 1-2.

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2.2.3 Verifica a pitting

Il pignone 5 e di pezzo quindi e dello stesso materiale dell’albero, mentre lacorona 4 e in 16NiCr4, cementato e temprato con Rsn = 590 MPa eRm = 1130 MPa. Per le due ruote inoltre si sa che:

• la durezza e 650 HB

• E = 210 000 MPa

• si lavora per 108 cicli, a 40◦C

Includendo gia il coefficiente di sicurezza nel parametro di riferimento, laverifica e:

σH = ZHZEZεZβ

√Ftb Dp

u+ 1

u

√KAKVKHαKHβ ≤ σHP =

σHlimSHmin

ZNZLZRZVZWZX

Ruota 4 Ruota 5

ZH 2.4 2.44ZE 191.6 191.6Zε 0.66 0.77Zβ 0.98 0.99KA 1.5 1.5KV 1.1 1KHα 1 1KHβ 1.4 1.4

σHlim (1350+1650)/2 (1350+1650)/2SHmin 1.35 1.35ZN 1 1ZL 1.05 1.05ZR 0.97 0.97ZV 0.95 0.9ZW 1 1ZX 1 1

σH 537.3 468.6σHP 1 075 1 018

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2.2.4 Verifica a flessione del dente

La verifica e:

σF = YFaYSaYεYβFtb mn

KAKVKFαKFβ ≤ σFP =σFlimSFmin

YSTYNTYδrelTYRrelTYX

Ruota 4 Ruota 5

denti virtuali 79.5 15.3YFa 2.35 2.7YSa 1.95 1.45Yε 0.5 0.7Yβ 0.86 0.88KA 1.5 1.5KV 1.1 1KFα 1 1KFβ 1.33 1.346

σFlim (1350+1650)/2 (1350+1650)/2SFmin 1.5 1.5YST 1 1YNT 1 1YδrelT 1.02 0.97YRrelT 0.95 0.95YX 1 1

σF 367.6 385.8σFP 969 921.5

Si faccia caso che si e preso un coefficiente di sicurezza maggiore rispetto alpitting infatti questo fenomeno e ben piu dannoso in quanto impedisce latrasmissione.

In ogni caso l’abbondante sicurezza con cui sono verificate entrambe leruote permette di non preoccuparsi dell’eventuale approssimazione con cuisono stati ottenuti certi valori correttivi.

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2.3 Reazioni vincolari e diagrammi delle azioniinterne

Dimensionate le ruote dentate quindi si conoscono le forze tangenzialiscambiate negli ingranamenti:

[N] Ruota 4 Ruota 5

Ft = 2C/Dp 1 237.8 3 577Fr = Ft tanαn/ cos β 469.3 1 343.9

Fa = Ft tan β 361.2 916.2

Le ruote a denti elicoidali generano infatti spinte assiali e pertanto icuscinetti dovranno dare anche una componente assiale.Dal trasporto della forza assiale dal punto di applicazione all’assedell’albero nasce un momento flettente di trasporto per ogni ruota:

• Mf,A4 = FA4Dp4/2 = 13 150 Nmm

• Mf,A5 = FA5Dp5/2 = 11 550 Nmm

Si ipotizza per semplicita che l’albero sia vincolato isostaticamente, quindicon cerniera all’estremo destro A e carrello all’estremo sinistro B. Si scegliel’estremo in cui mettere la cerniera in modo che l’azione assiale sia dicompressione, per avere una resistenza maggiore rispetto alle sollecitazionia fatica.Dalle sei equazioni di equilibrio si trovano le due reazioni vincolari fornitedal carrello e le tre dalla cerniera. Di fatto l’equilibrio ai momenti rispettoall’asse dell’albero e superfluo in quanto sottolinea l’imposizione che ilmomento torcente passi dalla ruota 4 alla 5.

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t

r

a

A

B

VA

TA

VB

HB

TB

Si tracciano quindi i diagrammi delle azioni interne, dopo aver trovato lereazioni vincolari:

• TA = 2 668 N

• VA = 477 N

• TB = 2 147 N

• VB = 397 N

• HB = 555 N

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2.4 Dimensionamento e Verifica dell’albero

Ulteriori dati di progetto dell’albero, che si prendono invariati rispetto almotoriduttore Rossi, sono le distanze tra ruote e supporti:

• a = 37.5 mm e la distanza tra l’estremo sinistro in cui c’e ilcarrello e il baricentro della ruota 5

• b = 34.5 mm e la distanza tra i baricentri delle due ruote

• c = 32 mm e la distanza tra l’estremo destro in cui c’e la cernierae il baricentro della ruota 4

2.4.1 Dimensionamento

Per il pre-dimensionamento si compongono i momenti massimi nelle tredirezioni. In questa fase, i momenti non devono essere necessariamentecalcolati nella stessa sezione, ma in questo caso i valori massimi sonolocalizzati tutti a ridosso della ruota 5, nel tratto compreso tra le due ruote.In direzione tangenziale Mft,max = TA a.In direzione radiale Mfr,max = VA a+Mf,A5.

Si ottengono Mf,max =√M2

fr,max +M2fr,max e Mt,max = 1.6C.

Pertanto Mf,eq =√M2

f,max + 0.25 M2t,max = 110 360 Nmm.

⇒ d ≥ 2.17√

6Mf,eq/Rm ' 19 mm

2.4.2 Verifica statica

La sezione piu critica e certamente quella in cui la geometria passa daldiametro dell’albero al diametro del pignone di pezzo. Infatti li ci sono siaun intaglio piuttosto marcato sia la cava della linguetta.Per precauzione si prendono i valori massimi degli sforzi anche se sono staticalcolati nella mezzeria del pignone e non all’estremita e quindi nella realtai valori dei momenti flettenti sarebbero minori.IMMAGINE SEZIONE

σnom =32Mf,max

πd3+

4N

πd2

τnom =16Mt,max

πd3+

16√T 2t + T 2

r

3πd2

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Con Guest-Tresca si constata che la verifica e ampiamente soddisfatta,infatti basterebbe un diametro di 14 mm che ha η = 1.51. In ogni caso nonsi assume quest’ultimo valore di diametro per le seguenti verifiche in quantoper la fatica non basterebbe certamente.

2.4.3 Verifica a fatica

Come premesso, non solo non basta un diametro di 14 mm ma anched = 18 mm e insufficiente.La procedura che permette calcolare il diametro necessario per la resistenzaa fatica richiede la conoscenza del diametro stesso per entrare nei grafici diPeterson inerenti all’intaglio. Pertanto, prima si ipotizzano i valori ignoticome Kt o b2 e si trova il diametro necessario. Successivamente, conoscendoil diametro, si entra nei grafici e si trovano i veri valori prima ipotizzatiaggiornando quindi i risultati.A questo punto se il diametro che esce dalla verifica e lo stesso del passoprecedente, allora si assume quello. Altrimenti, iterativamente, si continuaad aggiornare il diametro fino a convergere.Alla luce di queste considerazioni, i termini di seguito riportati sono riferitial diametro finale e cioe d = 21 mm:

• raccordo r = 1 mm ⇒ r/d = 0.048

• D e il diametro primitivo del pignone di pezzo ⇒ D/d = 1.20

• sensibilita all’intaglio q = (1 + 0.0634/r)−1 = 0.94poiche a = 0.0634 e il valore associato ad acciai temprati/bonificati

• b2 = 0.95 infatti la dimensione dell’albero e simile a quella delprovino di riferimento

• b3 = 0.9

• Kt,fl = 2.1 ⇒ Kf ,fl = 1 + q (Kt,fl − 1) = 2.0344dai grafici di Peterson

Vediamo ora quali calcoli hanno portato a tale valore di diametro.Lo sforzo medio e σmed = −3.1 MPa di compressione grazie al quale silavora nella zona delle ascisse negative del diagramma di Haigh che e piubenevola. Essendo molto piccolo, Haigh non altera il limite di fatica, che equindi dato da

σlim =b2 b3 0.5Rm

Kf

= 216.4 MPa

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Lo sforzo alternato e dovuto alla flessione che e fissa nello spazio ed equindi rotante per l’albero. Infine la torsione e costante e il limite si calcolacome τlim = 0.58Rsn.Si ottiene:

• σalt = 32Mf,max/πd3 = 114.7 MPa

• H = σlim/τlim = 0.51

• τ = τnom = 144.8 MPa

σGP =√σ2alt +H2τ 2 = 136.2 ≤ σlim/η

Da Gough-Pollard si trova che d = 21 mm porta a η = 1.59.

Dai calcoli simili fatti in precedenza e non riportati, ovviamente con valoridiversi per i vari coefficienti di intaglio e di fatica, si era ottenuto η = 1.42per d = 20 mm.Ritenendo η = 1.42 una sicurezza troppo bassa, si preferisce la cautela equindi:

d = 21 mm

2.4.4 Verifica a deformata: frecce e rotazioni

Per il calcolo delle frecce si trascura la massa delle ruote dentate, infatti daun contributo minore di 1 N che e ridicolo rispetto alle forze in gioco dicentinaia di Newton.Si studia l’effetto delle ruote dentate sulla deformazione dell’albero,sfruttando il principio di sovrapposizione. Le frecce nei piani radiale etangenziale vengono composte vettorialmente.

Effetto ruota 4 Effetto ruota 5

frecce 0.0055 0.0196rotazioni di A 0.188 · 10−3 0.658 · 10−3

rotazioni di B 0.211 · 10−3 0.561 · 10−3

limite frecce: l/3000 0.035 mmlimite rotazioni 10−3 rad

Tutte le frecce e le rotazioni sono inferiori ai limiti consentiti.

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2.4.5 Velocita critiche

Per la velocita critica flessionale si studia il sistema considerando una ruotaalla volta.

ω2cr,f4 =

12E Jp l

c2(a+ b)2ρ π b4D2p4

ω2cr,f5 =

12E Jp l

a2(b+ c)2ρ π b5D2p5

⇒ ωcr,f =ω2cr,f4 ω

2cr,f5

ω2cr,f4 + ω2

cr,f5

= 624.4 rad/s = 5 963 rpm

Invece quella torsionale e:

wcr,t =

√(I4 + I5)GJp

I4 I5 b= 2 365.5 rad/s = 22 590 rpm

dove b e la distanza tra le ruote, G e il modulo elastico tangenziale e I sonoi momenti d’inerzia di massa.

2.5 Cuscinetti

Ora e il momento di dimensionare i cuscinetti, cercandone uno che riesca areggere i carichi sia della cerniera sia del carrello. Infatti avendo un solotipo di cuscinetto per entrambi i vincoli e piu semplice la manutenzione e lasostituzione, oltre al fatto che il sistema e meglio bilanciato.Il diametro di primo tentativo per il cuscinetto e stato proprio il diametrodell’albero ma il supporto e risultato sovradimensionato.Infatti e sufficiente un diametro interno del cuscinetto di 17 mm, le cuiprestazioni sono trattate nel seguito.Da catalogo si sceglie il cuscinetto con diametro esterno minore possibile,cioe D = 40 mm, al quale sono associati i valori riportati in tabella, insiemead altre specifiche di progetto:

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dm = 28.5 mmC = 19 kNPu = 1.83 kNY = 1.7e = 0.35

k = ν1/ν = 190/100 = 1.9ηc = 0.6a1 = 0.62

Fa/Fr =Hb√

T 2B + V 2

B

= 0.254 < e = 0.35

Quindi la componente assiale della cerniera non e rilevante e i parametridimensionanti sono:

CERNIERA CARRELLOa23 0.9 0.85P Fr = 2.18 kN Fr = 2.71 kN

Cmin = P [Lmin/(a1 a23)]0.3 12.6 < 22.4 15.9 < 22.4

Coeff. di sicurezza fd = C/P 8.70 7.01Ore effettive 120 000 > 30 000 55 000 > 30 000

Per entrambi si osserva una durata molto superiore alla richiesta. Inoltre icoefficienti di sicurezza alti non possono che essere ben accetti, vista lafragilita di questi elementi di macchina.Vista la bassa potenza che deve trasmettere il motoriduttore, sui supportiagiscono bassi carichi e quindi si puo prendere una coppia di cuscinetti conle minime qualita. Erano possibili due scelte da catalogo, infatti oltre allasoluzione adottata vi era una tipologia con d = 15 mm. Si e preferitod = 17 mm innanzitutto per ridurre la variazione di sezione dell’albero equindi l’intaglio e secondariamente perche il cuscinetto con diametrominore aveva coefficienti caratteristici piu alti e quindi possibilmente ancheun maggior costo.Dalle successive analisi FEM risultera accettata questa soluzione, nel sensoche gli sforzi generati in corrispondenza dell’intaglio non supereranno ilimiti di resistenza.

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2.6 Linguetta

La linguetta e in C45, con Rm = 1050 MPa e Rsn = 565 MPa.I suoi parametri sono quelli associati ad un diametro dell’albero compresotra 17 e 22, cioe:

• b = 6 mm e la larghezza della linguetta

• h = 6 mm e l’altezza della linguetta

• l = 14 mm e la lunghezza della linguetta

• talbero = 3.5 mm e l’altezza della sezione dell’albero a contattocon la linguetta

• tmozzo = 2.8 mm e l’altezza della sezione del mozzo a contattocon la linguetta

Si nota che la somma delle altezze di albero e mozzo e maggiore di quelladella linguetta, infatti questo collegamento esclude il contatto tra la basesuperiore della linguetta e il mozzo poiche la coppia passa solo attraverso ifianchi.Sapendo che il fattore di frazionamento e unitario in quanto c’e una solalinguetta, le verifiche portano ai seguenti risultati:

LINGUETTA ALBERO MOZZOPressione locale [MPa] 49.1 92.1 117.9

plim = fsRsn 1 · 565 = 565 1.2 · 735 = 882 1.5 · 590 = 885Coeff. sicurezza 11.50 9.58 7.51

A carico massimo si verifica con CmaxPressione locale [MPa] 78.6 147.4 188.6

plim = fL(N)Rsn 1.5 · 565 = 847.5 1.5 · 735 = 1 102.5 1.5 · 590 = 885Coeff. sicurezza 10.78 7.48 4.70

Il mozzo e la parte piu critica del collegamento, dato che ha un limite disnervamento piuttosto basso. Anche la linguetta ha un limite confrontabilema una sezione resistente decisamente maggiore. In generale comunquetutte le verifiche sono ampiamente soddisfatte.I risultati del FEM, che sara trattato in seguito, mostrano che il coefficientedi intaglio teorico sperimentale alla base della linguetta e di Kt = 2.21. Inquesta sezione pero ci sono carichi molto minori e quindi la verifica a faticae soddisfatta.

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3 Modello FE per la verifica numerica

Nella simulazione FEM tramite Abaqus ci si avvale del modelloStandard/Esplicit. Si parte importando il motoriduttore da Inventor.Nell’ambiente PART si creano le partizioni in modo da associare i carichiapplicati su alcuni punti a determinate superfici: ci saranno quindi duezone in cui si scaricano i carichi dei cuscinetti, una zona di ingranamentoper il pignone di pezzo in cui agiscono i carichi ed infine si prende un puntosull’asse dell’albero in corrispondenza della mezzeria della linguetta dove sifanno agire i carichi della corona calettata.Fatto questo, si divide il pezzo in due parti: un anello circolare esterno delpignone di pezzo e il resto dell’albero.Per alleggerire il modello FE si disegna la ruota con il solo diametroprimitivo senza evidenziare tutta la geometri dei denti.Si compilano i moduli STEP, ASSEMBLY e PROPERTY, inserendoun’unica sezione di acciaio e supponendo il materiale perfettamenteelastico: E = 206 GPa e ν = 0.33.

Figura 2: Coupling relativo alla corona calettata

In figura (2) e mostrato il passaggio all’ambiente INTERACTION: lı sicreano i reference point in cui saranno applicati i carichi poi distribuiti sullesuperfici associate. Il modo in cui si fa questa associazione e proprio ilCoupling.Inoltre e necessario introdurre un vincolo di tipo Tie (incastro) in modo dacollegare le superfici delle due parti.

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3.1 Vincoli e carichi

Si e giunti all’ambiente LOAD e si comincia ad imporre i vincoli. In figura(3) si puo osservare che, dopo aver definito un sistema di riferimento incoordinate cilindriche, si impongono nulli gli spostamenti assiali e radialiper la cerniera.

Figura 3: Vincolo cerniera: si bloccano assiale e radiale in coord. cilindriche

Essendo libero di ruotare il sistema e labile. Si sceglie quindi di bloccare ladirezione tangenziale del pignone di pezzo in modo da vincolarlo in tutte ledirezioni. Per imporre correttamente il vincolo si definisce un nuovo sistemadi riferimento (figura 4), inclinato di β4 = 14.22◦.

Infine in figura (5) si sono evidenziati il momento di trasporto dovuto allaforza assiale, che e diretto opposto all’asse x, e la pressione che genera ilmomento torcente:

P =MT

A rm= 147.2 MPa

dove A = talb l = 35 mm2 e l’area della cava e rm = 8.75 mm e la distanzamedia dell’area dall’asse.

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Figura 4: Definizione del sistema di ingranamento e bloccaggio della direzioneperpendicolare al contatto

Figura 5: Si nota la pressione applicata per generare torsione e il momentodi trasporto di Fa4 applicato al RP3

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3.2 Mesh

Figura 6: Mesh dell’anello circolare esterno

In figura (7) e mostrata la discretizzazione della parte esterna del pignonedi pezzo. Si e scelto di usare elementi tetraedrici in quanto per l’albero nonera possibile altra soluzione, nonostante i tentativi di partizionare di piu emeglio il componente.Il passo di discretizzazione e di 2 mm, tranne nella sezione di ingranamentoin cui si e preferito infittire leggermente a 1.8 mm.Si osservi che, essendo questa la superficie Slave del Tie, la precisione deveessere minore di quella della superficie Master per evitare probleminumerici.

L’albero vede una mesh piuttosto regolare grazie alle opportune partizionicon passo di 1.7 mm anche se questi elementi non garantiscono unaprecisione ottima.La linguetta invece necessita sicuramente di un focus maggiore e quindi siriduce il passo a 0.8 mm.

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Figura 7: Mesh della parte restante

3.3 Risultati numerici e confronto con i risultatianaltici

Figura 8: Reazioni Vincolari

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Figura 9: Sforzo di Von Mises

I risultati della verifica sono rappresentati nelle presenti immagini. Come cisi aspettava la regione con lo sforzo massimo e il fondo della cava dellalinguetta dove si raggiungono circa 800 MPa. E gia stato detto che l’effettodi intaglio e molto rilevante ma va aggravare una situazione che in realta emolto tranquilla per via dei carichi bassi e quindi non si creano problemi.

Al di fuori di questa regione, compresi le sezioni raccordate in cui cambianoi diametri, i valori di sforzo si mantengono piuttosto contenuti.

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Si considera ora la configurazione in cui linguetta e ingranamento non sonopiu allineati, ma ruotati di 90◦ grazie al comando nel modulo ASSEMBLY.Si ottengono nuovi risultati.

Figura 10: Rotazione relativa dell’anello circolare esterno di 90◦

Figura 11: Sforzi nella sezione di ingranamento

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Dal confronto tra le figure (9) e (11) si nota che gli sforzi nella sezione diingranamento aumentano leggermente ma allo stesso tempo si osserva,grazie alla figura (12), che quelli sulla linguetta diminuiscono non poco: sipassa infatti da 802 a circa 711 MPa.

Figura 12: Sforzi sulla linguetta

La condizione piu gravosa per il componente e quindi la prima analizzata incui linguetta e ingranamento sono allineati. Pertanto e in quellaconfigurazione che si calcolano i coefficienti di intaglio.Sperimentalmente l’intaglio teorico tra il diametro primitivo del pignone dipezzo e quello dell’albero risulta di 2.16 quindi quello calcolato tramitePeterson e leggermente sottostimato.In ogni caso si sono scelti coefficienti di sicurezza alti nel dimensionamentoappunto per sopperire ad eventuali errori successivi come questo. Pertantola leggera variazione di Kt non incide sulla verifica.

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Figura 13: Reazioni vincolari maggiori rispetto a prima

Figura 14: Grafico del path sulla linguetta: sforzo massimo in mezzeria

E riportato infine il grafico di una Path ottenuta sul fondo della cava nellaseconda configurazione, da cui si deduce un andamento simil parabolico perlo sforzo.

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4 Bibliografia

• Mc Graw-Hill - Costruzioni di Macchine

• Finite Element Modeling for Stress Analysis - Robert D. Cook

• Materiale del corso ”Laboratorio Progettuale di Calcolo Strutturale”

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