Processi Di Eflusso

Carlo Gregoretti – Idraulica – capitolo 5 – 14 Nov. 08 79

EFFLUSSO DA LUCI

5.1 Introduzione

Il moto di un fluido che fuoriesce da una luce è influenzato dalle forze di gravità ed inerziali

essendo trascurabili gli sforzi tangenziali dovuti alla viscosità in mancanza di un contorno fisso

(responsabile della fomazione di un gradiente di velocità in una corrente e quindi della presenza di

sforzi tangenziali secondo l’ equazione 1.4). Di conseguenza il moto viene studiato come moto di

fluido perfetto ed incomprimibile. La forma del getto che fuoriesce da una luce (fig. 5.1) dipende

sia dalle forze inerziali e di gravità che dalle dimensioni e dallo spessore della luce stessa. Le forze

inerziali pari al prodotto massa per accelerazione rappresentano l’ inerzia di un corpo in

movimento. Dimensionalmente sono pari a: ma = ρ L3 V/T = ρ L2 V L/T = ρ L2 V2 essendo L una

lunghezza di riferimento.

mh

mh

0

1

0

1

a a

In assenza delle forze di gravità il getto assume la configurazione 0 (figura 5.1). Infatti trascurando

le forze dissipative allo sbocco le particelle si muovono di moto rettilineo uniforme essendo le forze

agenti sulle stesse nulle. All’ aumentare della forza di gravità il getto tende verso la configurazione

1 (figura 5.1). Le linee di corrente in corrispondenza della luce tendono a essere più fitte e rettilinee

quando la luce è “stretta” (figura 5.2a) e con curvature e meno fitte quando la luce è “ampia” (figura

5.2b). La luce a è intesa stretta quando il rapporto tra l’ apertura a ed il carico idraulico hM rispetto

alla mezzeria della luce è prossimo al valore zero (a/hm ≈ 0) ed ampia quando tale rapporto non è

trascurabile (a/hm > 0.2). Un basso valore di tale rapporto comporta una variazione di carico


idraulico nell’ apertura trascurabile per cui la velocità può essere assunta costante e le linee di

corrente diventano fitte e rettilinee. Un alto valore del rapporto invece comporta variazioni sensibili

di carico idraulico nell’ apertura per cui la velocità varia significativamente nella sezione di efflusso

e quindi anche il rapporto puntuale tra le forze inerziali e gravitazionali per cui le linee di corrente

sono meno fitte e con curvatura più accentuata. Il getto immediatamente dopo lo sbocco tenderà ad

assumere la configurazione 0 nel primo caso e la configurazione 1 nel secondo caso (figura 5.1).

La forma del getto è inoltre influenzata dallo spessore della parete da cui il fluido effluisce. In

particolare si dice efflusso in parete sottile quando lo spessore della parete è piccolo rispetto all’

apertura a della luce e meglio ancora se con i bordi di forma tagliente (figura 5.3a). In questo caso l’

efflusso a valle della luce, è caratterizzato da un fenomeno di contrazione di vena con la formazione

di una sezione di vena contratta in cui le linee di corrente se la luce è stretta stretta sono rettilinee e

la distribuzione delle pressioni è idrostatica. In caso di parete non sottile si ha l’ efflusso in parete

grossa in cui la vena dopo la sezione di vena contratta si adagia sulla parete (figura 5.3b). Per

continuità si crea un moto secondario di ricircolo che comporta una dissipazione localizzata di

energia con conseguente modifica del campo di moto ed attenuazione del fenomeno di vena

contratta. Il fenomeno di vena contratta si spiega applicando la seconda equazione di Eulero (eq.

4.5b) in prossimità dello spigolo del bordo di uscita:

n

p

∂∂

+ γn

h

∂∂

= - ρr

V2

(4.5b)

Nel caso in cui la vena segua il bordo facendo una curva a spigolo vivo il raggio di curvatura r tende

a zero e questo comporterebbe una pressione tendente a - ∝ infinito (h rimane pressoché costante) il

che è fisicamente assurdo.


La contrazione della vena è stata studiata teoricamente da Von Mises in assenza di gravità per un

moto bidimensionale (ovvero uniforme nella direzione perpendicolare al piano del disegno) per i

diversi casi rappresentati nella figura 5.4 e riportati in tabella 5.1. Il coefficiente di contrazione CC è

il rapporto tra l’ area della sezione di vena contratta e l’ area della luce.

La luce in parete da cui vi è efflusso è denominata a battente quando l’ efflusso avviene attraverso

un apertura e la quota del carico idraulico che vi insiste è più alta della sua estremità superiore ed è

denominata a stramazzo quando l’ efflusso avviene sopra l’ apertura.

Tabella 5.1 – Valori del coefficiente di contrazione per differenti valori del rapporto a/b e di β

a/b β = 45° β=90° β= 135° β=180°0.0 0.746 0.611 0.537 0.50.1 0.747 0.612 0.546 0.5130.2 0.747 0.616 0.555 0.5280.3 0.748 0.622 0.659 0.5440.4 0.749 0.633 0.580 0.5640.5 0.752 0.644 0.599 0.5860.6 0.758 0.662 0.620 0.6130.8 0.789 0.722 0.698 0.6910.9 1.0 1.0 1.0 1.0

La luce in parete da cui vi è efflusso è denominata a battente quando l’ efflusso avviene attraverso

un apertura e la quota del carico idraulico che vi insiste è più alta della sua estremità superiore ed è

denominata a stramazzo quando il battente è nullo.

C

a

C

O

O

b0 av c

C

=180°

a

C0.5 a

cc

=45°

0.764 a

a v a

=90°

C

C

0.611 a

=135°

0.537 a


5.2 Luci a battente

5.2.1 Luce di fondo

Una luce di area A è ricavata sul fondo sottile di un recipiente contenente liquido di quota costante

hO (figura 5.5). La luce distante dalle pareti è di apertura stretta in modo che nella sezione CC si

formi una sezione di vena contratta con le linee di corrente al di sotto di essa parallele (nel caso di

apertura troppo grande o vicina alle pareti le linee di corrente non son parallele per cui la vena non

presenta una contrazione uniforme). Nella sezione CC la pressione è nulla perché essendo le linee di

corrente parallele e la coordinata h costante (eq. 4.10) la pressione ha il valore di quella esterna

ovvero la pressione atmosferica pA = 0.

1

pA

dc

C

O

hh

0

v0

vc

A

C

pA

O

v0

Assumendo come quota di riferimento dell’ energia la sezione CC nella stessa si ha solo l’ energia

cinetica. Con riferimento alla figura 5.5 si applica il teorema di Bernoulli tra il pelo libero e la

sezione CC, essendo VC la velocità in sezione contratta e la velocità di arrivo VO trascurabile:

h1 = VC2/2g

da cui

VC = (2g h1)1/2 (5.1)

L’ equazione 5.1 è la ben nota formulazione della velocità torricelliana. In realtà c’è una piccola

dissipazione di energia per cui la velocità secondo l’ espressione 5.1 viene ridotta tramite un

coefficiente:


VC = 0.96 (2g h1)1/2 (5.2)

Essendo dC = h1 - hO la distanza verticale tra la luce e la sezione CC la 5.2 diventa:

VC = (2g hO)1/2 (5.3)

Indicata con AC = CC A l’ area della sezione di vena contratta, la portata, utilizzando la 5.3, è:

Q = VC AC = AC (2g hO)1/2

Q = CC A (2g hO)1/2 (5.4)

Il valore del coefficiente di contrazione si desume dalla tabella 5.1 essendo β = 90° ed a/b → 0 (per

b si intende la larghezza della base del recipiente): CC = 0.611.

5.2.2 Luce in parete verticale

Una luce di area A è praticata su di una parete verticale. Nel caso di luce stretta (a/hm ≈ 0)il getto è

orizzontale per cui si ha una sezione CC di vena contratta (figura 5.6) in cui in tutti i punti si ha

pressione nulla e velocità uniforme ed il valore della coordinata verticale h è assunta costante e pari

ad hm poiché varia di poco.

mh

C

C

Definito hm il carico medio corrispondente alla mezzeria, l’ applicazione del teorema di Bernoulli

tra il pelo libero e la sezione di vena contratta CC comporta ancora la velocità torricelliana:


VC = (2g hm)1/2 (5.5)

e la portata vale:

Q = CC A (2g hm)1/2 (5.6)

In questo caso si assume CC = 0.611 tramite la tabella 5.1, essendo, con riferimento alla figura 5.4,

β = 90° ed a/b → 0 (per b si intende hm).

Nel caso di luce ampia l’ espressione per la portata data dalla 5.6 non è valida. La vena a causa

della gravità si inflette (figura 5.7) ed anche se si riesce a definire una sezione di vena contratta

quasi orizzontale il valore della coordinata h dei punti che le appartengono non può più essere

approssimato con un valore unico come nel caso precedente perché la differenza tra gli stessi non è

più trascurabile.

h2

1h

In caso di luce rettangolare di ampiezza a = h2 - h1 e larga b nella direzione normale al piano del

disegno (figura 5.7) per il calcolo della portata effluente si procede nel seguente modo: si divide l’

ampiezza a in tratti elementari dh per ciascuno dei quali si assume sia valida la velocità torricelliana

V = (2g h)1/2. Si assume ora (ipotesi di Poleni, 1717) di considerare ogni singolo tratto elementare

dh come una luce stretta a se stante ed indipendente dalle altre adiacenti per cui la vena

corrispondente ad ogni tratto elementare dia luogo ad una contrazione con asse orizzontale (velocità

costante e di direzione normale alla luce). L’ ipotesi di Poleni equivale a non considerare la forza di

gravità per cui il getto esce orizzontale. La portata corrispondente ad un singolo tratto elementare dh

è:

dQ = CC b dh (2g h)1/2 (5.7)


La portata totale effluente dalla luce è uguale all’ insieme delle portate per ogni singolo tratto

verticale elementare:

Q = ∫2h

1h C dh2ghbC (5.8)

Per l’ ipotesi di Poleni il coefficiente di contrazione CC è lo stesso per ogni tratto elementare e

permette l’ integrazione della 5.8:

Q = )h(h2gbC3

2 3/21

3/22C − (5.9)

Nonostante l’ approssimazione in contrasto con la “gravità” con cui è stata ottenuta, l’ espressione

5.9 permette una stima sufficientemente esatta della portata effluente da un luce ampia in una parete

verticale con CC = 0.61.

5.2.3 Paratoia sollevata a battente

La vena che defluisce sotto una paratoia sollevata a battente sul fondo di una luce a subisce una

contrazione di vena con CC pari a quello del getto effluente senza peso riportato in Tabella 5.1 per β

= 90° (si può facilmente osservare che la linea di fondo è un asse di simmetria orizzontale del getto

effluente da una luce in una parete in assenza di gravità).

2vy2

1v1ca C = ya

0v

h0

2g

v02

L’ applicazione del teorema di Bernoulli tra una sezione del moto indisturbata della corrente di

monte e la sezione di vena contratta con riferimento alla figura 5.8 comporta:

hO + VO2/2g = CC a + VC

2 (5.10)

Per la continuità vale:


VO hO = VC CC a

da cui si esplicita VO:

VO = VC (CC a/hO)

che sostituito nella 5.10 comporta:

hO +2g

V

h

aC 2C

2

O

C

= CC a +

2g

V2C (5.11)

scambiando di membro alcuni termini nella 5.11 si ottiene:

hO - CC a =2g

V2C -

2g

V

h

aC 2C

2

O

C

=

2g

V2C

2O

22C

h

aC-1

da cui si ha:

hO - CC a =2g

V2C ( )( )

2O

COCO

h

aChaCh +−(5.12)

Dividendo ambo i membri della 5.12 per hO - CC a ed esplicitando hO a primo membro si ottiene:

hO =2g

V2C ( )

O

CO

h

aCh +

da cui estraendo la radice quadrata ed esplicitando VC a primo membro si ottiene:

VC =

O

C

h

aC1

1

+Ohg2

La portata per unità di larghezza è quindi:

q = CC a VC = CC a

O

C

h

aC1

1

+Ohg2 (5.13)

introducendo il coefficiente di portata cq:

cq = CC

O

C

h

aC1

1

+(5.14)


il coefficiente di portata cq è minore del coefficiente di contrazione e sostituendolo nella (5.13) si

ottiene:

q = cq a Ohg2 (5.15)

L’ espressione (5.15) dipende dal coefficiente di portata cq, dalla luce a e dal carico idraulico hO. A

sua volta il coefficiente di portata cq dipende dal coefficiente di contrazione CC, dalla luce a e dal

carico idraulico hO. Il valore di cq è graficato in funzione del rapporto hO/a nella figura 5.9 in cui

compare il caso dell’ efflusso rigurgitato. In quest’ ultimo caso la vena che defluisce sotto battente,

si immerge in una corrente con conseguente dissipazione di energia localizzata e l’ espressione 5.10

non è più valida se non sostituendo CC a con y2 ed aggiungendo a secondo membro un termine che

tenga conto delle perdita di energia localizzata.

120.0

liberarigurgitata

0 4 8

0.28

64

0.4 2

0.6

h /a016

10 y /a2

qC luce luce

Fermo restando la validità dell’ intero procedimento si ha un cambiamento dell’ espressione del

coefficiente di portata che è graficata in figura 5.9 in funzione del rapporto y2/a. Il coefficiente di

portata cq è inferiore a parità di altre condizioni nel caso di luce rigurgitata a causa della minor

differenza di carico (hO – y2 invece di hO – a CC) e della dissipazione di energia localizzata allo

sbocco:

hO + VO2/2g = y2 + ∆E + V2

2/2g

Nel caso di efflusso da parete inclinata di un angolo α rispetto all’ orizzontale (figura 5.10) il valore

del coefficiente di portata è graficato in funzione del rapporto a/hO e di α secondo i dati

sperimentali di Gentilini (1941) e riportati da Ghetti (1983) in figura 5.11.

Analogamente per il deflusso da paratoia a settore (figura 5.12) sono disponibili i valori del

coefficiente di portata in funzione del rapporto a/hO e di α secondo i dati sperimentali di Gentilini

(1941) e riportati da Ghetti (1983) in figura 5.13.

I dati sperimentali di Gentilini (1941) non coincidono completamente con i diagrammi dell’

Hydraulic Design Criteria editi dall’ US Army Engineering Corps basati sulle esperienze


sperimentali di altri autori oltre che su quelle di Gentilini. Questi diagrammi non coprono però tutti

i possibili casi e sono inoltre di più difficile applicazione.

ha0

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5a/h 0

0.8

0.7

0.6

0.5

Cq =15°20°30°40°50°60°70°80°90°

ah0

R

0.8

0.7

0.6

0.50.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

a/h 0

Cq =15°20°

30°40°50°60°70°80°90°

Nel caso di paratoia a settore rigurgitata da valle (figura 5.14) si utilizza la seguente relazione (US

Army Corps of Engineers):

q = cq y2 )y/2gV(hg2 22OO −+ (5.16)


Il valore del coefficiente di portata è graficato in figura 5.15 in funzione del rapporto a/y2.

0.03 0.04 0.06 0.08 0.1 0.2 0.3 0.4 0.6 0.8 1.0

40

30

20

10

876

5

4

3

2

1

y / a2

C q

h0

ae

y2

v02g

2

Nel caso di paratoie poste sulla sommità di uno sfioratore le relazioni di deflusso cambiano. Per una

paratoia rettangolare (figura 5.16) il rapporto tra la portata sfiorata in presenza di paratoia Q e

quella sfiorata in assenza di paratoia QS (paragrafo 5.4) è:

3/2O

3/21

3/22

S h

hh

Q

Q −= (5.17)

h0

h1

a

h2

Nel caso di paratoia a settore (figura 5.17) si utilizza la seguente relazione:


q = cq a 2hg2 (5.18)

essendo h2 la quota del serbatoio di monte rispetto alla mezzeria della luce della paratoia. Il

coefficiente cq viene stimato in base al grafico in figura 5.18 in base al valore del rapporto X/hO.

-Y/h0

X/h0

e

h2h0

X/h =0.00

q

0.1<X/h <0.30

5.3 Luci a stramazzo

Una luce limitata solo inferiormente da un bordo rigido è denominata luce a stramazzo e può essere

vista come una luce a battente nullo. La vena effluisce sopra lo stramazzo con un abbassamento del

pelo libero (figura 5.19a) che si raccorda con un profilo di chiamata alla superficie libera

indisturbata. Lo stramazzo è denominato in parete sottile od in parete grossa in dipendenza dello

spessore della parete. Nel primo caso la vena non si adagia sullo parete e subisce una contrazione,

nel secondo caso si adagia sullo stramazzo prima di dare luogo ad un getto vero e proprio. A parità

di altre condizioni è più efficiente (convoglia una maggior portata) lo stramazzo in parete sottile

perché in parete grossa si ha una perdita di energia localizzata dovuta alla corrente di ricircolo che

si forma per continuità sotto la vena. Lo stramazzo può essere inoltre rigurgitato (figura 5.19b). In

questo caso a parità di altre condizioni il carico idraulico della corrente di monte è minore (h1


invece di hO) e si ha una perdita di energia localizzata dovuta all’ immissione della vena

stramazzante in una corrente, il che comporta una portata effluente minore rispetto al primo caso.

h0h1

5.3.1. Stramazzo Bazin o Poleni

La luce è rettangolare e si hanno i due casi illustrati alla figura 5.20 per cui le pareti coincidono con

quelle del canale di arrivo (luce larga b) o sono ristrette rispetto a quest’ ultime (luce larga l).

Nel secondo caso la vena subisce una contrazione laterale. Lo stramazzo è in parete sottile ed è

illustrato in figura 5.21a. La curvatura delle linee di corrente non permette l’ applicazione del

teorema di Bernoulli per l’ intera sezione e si utilizza il procedimento approssimato del Poleni (eq.

5.8), ovvero considerando la luce costituita da una serie di tratti elementari con velocità torricelliana

e con coefficiente di contrazione costante:

Q = ∫oh

0C dh2ghbC (5.19)

Integrando il secondo membro della 5.19 si ottiene:


Q = 2/3OC h2gbC

3

2(5.20)

Sostituendo CC = 0.61 ed adottando cq = 2/3 CC = 0.41 la 5.20 diventa:

Q = 0.41 b 2/3Oh2g = 1.81 b hO

3/2 (5.21)

L’espressione della portata Q secondo la 5.21 può essere ottenuta direttamente dal’ eq. (5.9) con h1

= 0 e h2 = hO. Per tener conto della contrazione laterale si ha:

Q = 2/3OOC h2g)0.2h-(LC

3

2(5.22)

Qh1 h1

gh

Q

0h

g 1

In figura 5.21a a valle dello stramazzo si ha una la formazione di un gradino che può essere

spiegato applicando il teorema della quantità di moto nella direzione x al volume di controllo in

figura 5.21b, assumendo per semplicità la portata entrante normale ad x:

Sg – S1 = ρ Q V1 (5.23)

essendo Sg = b 0.5 hg2 ed S1 = b 0.5 h12 le spinte sulle sezioni g ed 1 per cui la 5.23 diventa:

0.5 b (hg2 – h12) = ρ Q V1 (5.24)

Dalla (5.24) si evince che per bilanciare il termine ρ Q V1 a secondo membro deve essere hg > h1.

Se la profondità della corrente a valle dello stramazzo raggiunge una quota superiore al petto dello

stramazzo di 2/3 hO questi viene rigurgitato perché come spiegato nel capitolo dell’ idraulica dei

canali a pelo libero, la vena stramazzante viene influenzata dalla corrente di valle. In questo caso la

portata viene calcolata mediante un bilancio di energia tra la sezione di monte indisturbata, ovvero

al di fuori del profilo di chiamata, e la sezione della corrente a valle dello stramazzo dove si sia

raggiunto il completo mescolamento. L’ unica incognita in questo bilancio di energia è il valore


della portata, oltre che la dissipazione di energia, essendo note le profondità delle sezioni di monte e

di valle. Altrimenti sono disponibili i grafici illustrati nei paragrafi seguenti.

5.3.2 Stramazzi in parete sottile di altri tipi

Per lo stramazzo di forma trapezioidale in figura 5.22 (stramazzo Cipolletti):

Q = 2/3OOC h2gbC

3

2(5.25)

Essendo bO la larghezza al fondo dello stramazzo.

h 0

b 0

b

4

1

1

p

0h

0

bl

Per lo stramazzo triangolare in figura 5.23 con angolo al vertice α si ha:

Q = 5/2OC h2gC

2

αtan

15

8(5.26)

Tale relazione, ottenibile analiticamente con il procedimento del Poleni è valida per hO ≥ 0.06 m ed

p > 0.1 m. Il valore del coefficiente di contrazione nel caso di angolo al vertice rettangolare (α =

90°) viene stimato mediante il grafico in figura 5.24.

Per angolo al vertice di forma generica si può utilizzare la seguente relazione:

Q = 0.552 cq hO3/2 (5.27)

Il valore del coefficiente di portata da utilizzare nell’espressione (5.27) è riportato in figura 5.25. Un

equazione alternativa proposta dall’ USBR (1997) e valida fino ad α = 150° ((Martinez et al, 2005)

è:


Q = 2

5

O k)(h2gcq2

αtan

15

8 + (5.28)

cq = 0.6072 – 0.000874 α + 6.1 106 α2 (5.29)

k = 4.42 – 0.1035 α + 1.005. 10-3 α2 – 3.24 10-6α3 (5.30)

essendo k un fattore di correzione per tener conto degli effetti di tensione superficiale e viscosità

(0.005 ≤ k ≤ 0.009).

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0h /p0

Cc

0.2 0.4 0.6 0.82.4

2.5

2.6

2.7

2.8

2.9

h0

Cq

90°60°

45°

20°

Lo stramazzo triangolare viene utilizzato per misurare portate caratterizzate da valori molto bassi

perché ad una piccola variazione di portata corrisponde una sensibile variazione del carico idraulico

hO che insiste sullo stramazzo. Per misurare piccole portate si può utilizzare anche uno stramazzo

rettangolare con una sezione contratta molto stretta (fig. 5.26). La portata in questo caso vale

(Aydin et al., 2002):

Q = 23 /Oh2gbcq

3

2(5.31)

con

cq = 0.562 + 11.354/Re0.5 (5.32)

La relazione (5.32) è valida per 1.07 ≤ hO/b ≤ 55.8, 0.0167 ≤ b/B ≤ 0.25, 0.135 ≤ hO/p ≤ 6.7, 2163 ≤

Re ≤ 42572 e per 12.74 ≤ We ≤ 328.9 (essendo We = (2ghO/T)0.5 il numero di Weber e T la tensione

superficiale che per l’acqua vale 0.746 Pa).


0h

b

B

p

Nel caso in cui occorre misurare con precisione valori della portata sia piccoli che elevati si utilizza

uno stramazzo composto costituito da uno stramazzo rettangolare in parete sottile sul cui petto viene

intagliato uno stramazzo triangolare con angolo al vertice di 90° (figure 5.27 e 5.28). Questo tipo di

stramazzo è utilizzato per la misura in continuo della portata in un torrente in ambiente alpino in cui

la portata è mediamente bassa salvo aumentare rapidamente durante un evento di piena. Con

riferimento alla figura 5.26 la relazione che lega la portata al carico idraulico per h1 > h è:

Q = 1.52

1.721 h2gL41.00.042h2g1924.0 +− (5.33)

Questa relazione è stata ottenuta da un numero di prove di laboratorio non sufficiente per

comprendere il possibile campo di variabilità della lunghezza dello stramazzo L e dei carichi

idraulici h1 ed h2 per cui è valida per 0 ≤ L ≤ l.2 m ed h1 ≤ 1 m.

h

hh 21L/2

90° L/2

Fig. 5.27

Fig. 5.28Un altro stramazzo composto è il dispositivo in figura 5.29 e la relazione che lega la portata alle

caratteristiche geometriche ed al carico idraulico per α2 ≤ 150° è (Martinez et al, 2005):

Q = ( )( ) ( )

−+−− 25

125

125 /

O2/

O/

O1 hh

2

αtanhhh

2

αtan2gcq

15

8(5.34)

con


2

αtan

h

h/

2

αtan

2

αtancq

h

h/

2

αtancq

cq

2

/

O

1

2

/

O

1

+

−

−

+

−

−

=

111

111

251

2

251

1

(5.35)

con cq1 e cq2 i coefficienti di portata relativi agli stramazzi triangolari in parete sottile di angoli α1

ed α2 calcolati tramite l’equazione (5.32).

h1

2O

Fig. 5.295.3.3 Stramazzo in parete sottile rigurgitato

Uno stramazzo viene teoricamente rigurgitato, ovvero la portata dipende oltre che dalle condizioni

di monte anche da quelle di valle, quando la quota del pelo libero di valle è superiore a 2/3 del

carico hO della corrente indisturbata in corrispondenza del petto dello stramazzo (spiegazione in

dettaglio al capitolo 11).

In questo caso (figura 5.30) la portata sfiorante Q viene stimata mediante quella in condizioni libere

non rigurgitate QS tramite il grafico in figura 5.31. Dal grafico in figura 5.31 si evince che lo

stramazzo viene rigurgitato per quote del pelo libero di valle inferiori a quella teorica di 2/3 hO a

causa della presenza di curvature come spiegato in maggior dettaglio nel capitolo dell’ idraulica dei

canali a pelo libero.

h

p

0 h2


5.3.4 Stramazzo in parete grossa

Lo stramazzo in parete grossa o ad soglia larga è uno stramazzo in cui la vena non si contrae bensì

si adagia sullo stramazzo con linee di corrente rettilinee almeno in un breve tratto iniziale tale da

garantire il passaggio attraverso la sezione critica (capitolo 12). Immediatamente a valle

dell’imboccatura dello stramazzo si ha una perdita di energia localizzata dovuta alla formazione di

una corrente di ricircolo (figura 5.32).

0.1

0.0

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

Qs

Q

h 0

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0h 2

n

h 0

h 2

Q = portate in condizioni non rigurgitates

Q = portata in condizioni rigurgitate

n = esponente del carico idraulico dellacorrispondente relazione di deflusso

h 0

h 2n

stramazzo triangolarecon angolo di 90°

Q vs

h0

h2n

stramazzo triangolare

Q vs

h0

h2n

stramazzo di altra geometriain parete sottile

Q vs

Fig. 5.31

Lo stramazzo si dice in parete grossa quando vengono soddisfatte le seguenti condizioni (Longo e

Petti, 2005):

5110 .d

h. O ≤≤

Nel caso il rapporto hO/d risulti maggiore di 1.5 la lunghezza della soglia d non è sufficiente a

garantire la formazione di una sezione a traiettorie rettilinee e parallele ed il coefficiente di portata

aumenta perché tende alla configurazione di stramazzo a parete sottile (Longo e Petti, 2005). Nel

caso il rapporto hO/d risulti minore di 0.1 la soglia diventa troppo lunga ed il coefficiente di portata

viene a dipendere dalla dissipazione di energia sulla soglia per cui è impossibile da utilizzare come

misuratore formandosi inoltre delle ondulazioni (Hager, 1994). Per valori del rapporto hO/d

compresi tra 0.1 e 0.4 il coefficiente di portata rimane costante ed aumenta per valori superiori fino

al limite hO/d = 1.5.


Lo stramazzo in parete grossa rientra nel caso più generale di un gradino o traversa al fondo di un

canale. In questo caso tramite un bilancio di energia tra la sezione di monte indisturbata e la sezione

in corrispondenza dello stramazzo, per una luce rettangolare, si ottiene:

Q = 0.385 b 2/3Oh2g (5.36a)

Il coefficiente di portata cq = 0.385 per lo stramazzo in parete grossa è inferiore a quello per lo

stramazzo in parete sottile (cq = 0.41) per la presenza della perdita di energia localizzata. L’

espressione (5.36a) si ottiene tramite un bilancio di energia (illustrato più avanti nel capitolo dell’

idraulica dei canali a pelo libero) tra una sezione della corrente indisturbata di monte ed una sezione

in corrispondenza dello stramazzo. In questo caso si utilizza un bilancio di energia globale perché la

curvatura delle linee di corrente in corrispondenza dello stramazzo in parete grossa è meno

pronunciata rispetto al caso dello stramazzo in parete sottile e l’ errore commesso nell’ assumere

idrostatica la distribuzione di pressione è minore. La relazione (5.36a) è valida per il caso dello

stramazzo Belangier, ovvero uno stramazzo con il bordo d’attacco arrotondato e non a spigolo vivo

come nella figura sottostante.

d

hO

p

Nel caso di luce trapezioidale (fig. 5.22) si ha:

Q = 0.385/15 (11 bO + 4 b1)2/3

Oh2g (5.36b)

Nel caso di stramazzo rettangolare in parete grossa di larghezza b uguale a quella del canale di

arrivo le relazioni che legano la portata al carico idraulico tramite le caratteristiche geometriche

sono rispettivamente:


23 /OR h2gbcq

3

2Q = (5.37)

con cqR = 0.5 + 0.05 (hO/d)0.2 per 0.1 ≤ hO/d ≤ 0.4 e

2/3OVRR h2gCbcq385.0=Q (5.38)

per 0.4 < hO/d ≤ 1.5 con il cqR che nel caso di imboccatura con bordo a spigolo vivo è funzione di

hO/d secondo il grafico in figura 5.33 (per hO/d ≥ 0.35 la curva in figura può essere approssimata

con cqR = 0.7656 + 0.1927 hO/d) e che nel caso di imboccatura con bordo arrotondato

dell’imboccatura dipende dalla seguente relazione:

3/2

OR h

rd2c1

b

rd2c1cq

−−

−−= (5.39)

essendo c un coefficiente che varia tra 0.003 (soglia in cls molto liscia) e 0.005 (soglia liscia in cls

in campo) ed r il raggio di curvatura del bordo all’imboccatura.

Figura 5.33 Valore del coefficiente di portata cqR per stramazzo rettangolare in parete grossa in

funzione di hO/d, valido per hO/d/(hO/d + p) ≤ 0.35 (Petti e Longo, 2005).


Il coefficiente CVR è il coefficiente di correzione per le velocità per lo stramazzo rettangolare, pari

al rapporto tra il carico totale e quello piezometrico (tende all’unità all’aumentare del rapporto p/hO)

si può stimare mediante il grafico in figura 5.34.

Figura 5.34 Valori del coefficiente di correzione CV per diversi tipi di sezione in funzione del

prodotto cq AC/AO (AC area sezione liquida sulla soglia, AO area sezione liquida a monte con la

profondità ridotta ad hO) (Petti e Longo, 2005).

Per lo stramazzo triangolare la portata vale:

25 /OVTT h2g/5

2tanCcq

25

16Q

α= (5.40)

con cqT fornito dal grafico in figura 5.35 e CVT coefficiente di correzione delle velocità per

stramazzo triangolare che si può stimare secondo il grafico in figura 5.34.

Per lo stramazzo triangolare troncato (fig. 5.36 ) vale la relazione precedente (5.40) per hO ≤ 1.25 hB

e la seguente per hO ≥ 1.25:

( ) 2350 /BOVR h.h2gCbcq

33

2Q −= (5.41)

Per lo stramazzo a sezione trapezia (figura 5.37) si ha la seguente relazione:

CV

cq AC/AO


2523 /OVTT

/OVR1R h2/5g

2tanCcq

25

16h2/3gC2bcq

3

2Q

α+= (5.42)

Figura 5.35 Valore del coefficiente di portata cqT per stramazzo triangolare in parete grossa in

funzione di hO/d.

h

h

b

B

O

Il funzionamento di stramazzi composti in parete grossa è stato studiato da Jan e Chang (2005). Per

gli stramazzi alle figure 5.38, 5.39, 5.40, 5.41 hanno individuato le relazioni tra portata, carico

idraulico e caratteristiche geometriche.


b1

2_

hO

Per lo stramazzo doppio rettangolare (figura 5.38) si ha:

232

231

/OVR2R2

/1VR1R1 h2/3gCbcq

3

2h2/3gC2bcq

3

2Q += (5.43)

1h

hb

b1

1

b2

O

con cqR1 ed cqR2 relativi agli stramazzi rettangolari larghi rispettivamente 2b1 e b2 e stimati tramite

la figura 5.33 ed CVR1 e CVR2 secondo il grafico in figura 5.34. Per lo stramazzo trapezio-

rettangolare (figura 5.39) si ha:

252

231

/1VTT

3/2OVR2R2

/1VR1R1 h2/5g

2tanCcq

25

16h2/3gCbcq

3

2h2/3gC2bcq

3

2Q

α++= (5.44)


la figura 5.33 ed CVR1, CVR2 e CVT la figura 5.34.

Per lo stramazzo triangolo-rettangolare (figura 5.40 ) si ha:

( )3/2BOVT222R

3/2OVT11R1 0.5hh2/3gVbcq

3

2h2/3gC2bcq

3

2Q −+= (5.45)


h

2b

1b

1bh1

_2

Fig 5.39

O


la figura 5.33 ed CVR1 e CVR2 secondo il grafico in figura 5.34.

1b

b1 h 1h

2b

Fig 5.40

hB

O

Per lo stramazzo trapezio-triangolare (figura 5.41) si ha:

( ) ( )

( )5/2BOVTT

3/2BOVT222R

3/2BOVT11R1

hh2g/52

αtanCcq

25

16

0.5hh2/3gVbcq3

2hh2/3gC2bcq

3

2Q

−

+−+−=(5.46)

h

b1

b12_1

2

b2

Fig 5.41

Bh

O


5.4 Sfioratori di superficie

Lo sfioratore di superficie è un organo di scarico delle acque (figura 5.42a,b). Può essere visto come

uno stramazzo seguito da un profilo rigido di sfioro.

1.0

2.0

3.0

2.5

3.5

4.5

4.0

1.5

0hz

0.12/0.88

0.40/0.88

_

=0.50( )0

zh

1.85x

0h

Scimemi

0.12 h

0.880

h0 h=0.88h0

2.5 4.03.53.00.0 0.5 1.0 2.01.5

h0h0

Creager

=0.47( )xz 1.80

h0

x

Fig 5.42a Fig. 5.42b

Il profilo di sfioro della vena stramazzante per lo stramazzo in parete sottile è stato studiato da

Creager (1917) e da Scimemi (1930) che hanno proposto con riferimento alla figura 5.31

( OO h0.88h = ) rispettivamente le seguenti espressioni:

z/0.88 Oh = 0.47 (x/0.88 Oh )1.80

z/0.88 Oh = 0.5 (x/0.88 Oh )1.85

Il carico idraulico di riferimento è 0.88 hO per tener conto della contrazione iniziale per cui la

superficie inferiore della vena si alza di 0.12 hO.

Il profilo di sfioro cambia in dipendenza del carico idraulico di monte hO. Se si adotta un paramento

uguale ad un profilo di sfioro relativo ad un fissato valore di hO per un carico uguale la vena si

adagia sul paramento rimanendo a pressione atmosferica come nel caso in assenza del paramento

stesso. Per un carico inferiore la vena si adagia sul paramento andando in pressione perché il profilo

di sfioro che le compete in assenza di vincoli è inferiore al paramento. Conseguentemente

applicando la conservazione dell’ energia ad una singola linea di corrente se aumentano la pressione

e la coordinata verticale h, l’ energia cinetica diminuisce e quindi la velocità rispetto al caso di

assenza di paramento. Alla diminuzione della velocità corrisponde la diminuzione della portata

effluente rispetto al caso di assenza di paramento. Per un carico superiore la vena stramazzante non

dovrebbe toccare il paramento perché il corrispondente profilo di sfioro è più alto.


In realtà se non viene rifornita di aria la superficie inferiore del profilo di sfioro le particelle liquide

per attrito con l’ aria la trascinano via creando una depressione. La vena per effetto della

depressione si abbassa andando essa stessa in depressione nella parte inferiore il che comporta

rispetto al corrispondente profilo di sfioro in assenza di paramento una ugual quota geodetica ed

una pressione minore e quindi per la conservazione dell’ energia una energia cinetica maggiore.

All’ aumento della velocità corrisponde l’ aumento della portata rispetto al caso di assenza di

paramento. Adottando OO h0.88h = invece di hO il coefficiente di portata da utilizzare nella 5.21,

in assenza di paramento, è cq = 0.50. Nel caso di un profilo di sfioro sagomato per hO il coefficiente

di portata corrispondente ad un carico idraulico pari a 1.33 hO (per cui si ha un aumento di portata

rispetto all’ assenza di paramento) è, cq = 0.52.

5.5 Dispostivi di misura delle portate

Le luci a stramazzo costituiscono degli strumenti di misura indiretti delle portate. Indiretti perché la

portata non viene misurata ma viene stimata in base alla formula relativa allo stramazzo adottato

mediante misura della quota del pelo libero. Questi deve essere misurato in condizioni indisturbate,

ovvero immediatamente al di fuori della zona di chiamata. Il pelo libero viene misurato mediante od

un idrometro, ovvero una stecca graduata posta su una parete laterale di monte dello stramazzo, o

mediante la posizione in verticale di un galleggiante o più modernamente mediante un sensore ad

ultrasuoni.

Gli stramazzi triangolari per la loro precisione sono utilizzati per misurare valori bassi di portata.

Per dispositivi di misura con manutenzione frequente e correnti con trasporto solido trascurabile si

utilizzano gli stramazzi rettangolari o trapezioidali in parete sottile. Questi devono essere muniti di

dispositivi di aerazione per impedire depressioni nella vena stramazzante per le basse portate.

Gli stramazzi in parete grossa sono utilizzati nei restanti casi in particolare negli alvei torrentizi.

5.6 Imbocco di un serbatoio

L’ imbocco di un condotto da un serbatoio può essere interpretato come un restringimento: la vena

effluente non riesce a rimanere aderente alla parete e si creano delle correnti secondarie di ricircolo

(fig. 5.43) con conseguente dissipazione di energia localizzata.


V1V

Fig. 5.43

Il valore della costante k dell’ equazione 4.37 che esprime la perdita di energia localizzata dipende

dal numero di Reynolds e dalla geometria dell’ imbocco per regimi di moto laminare o di

transizione e solo dalla seconda per regime di moto turbolento. Se l’ imbocco è ben raccordato (fig.

5.44) le perdite di energia sono minori perché le correnti di ricircolo hanno estensione minore.

R Fig 5.44

Un valore indicativo di k può essere ottenuto calcolando la perdita di Borda (eq. 4.37)

corrispondente all’ allargamento della vena (fig. 5.32) ipotizzando appunto che le perdite maggiori

abbiano luogo nell’ allargamento (V1 = V/Cc):

∆E =2g

1(V1 – V)2 =

2g

1(V/Cc – V)2

adottando Cc = 0.611 corrispondente all’ efflusso libero da luce in parete verticale si ha:

∆E = 0.42g

V2

I risultati sperimentali per un imbocco a spigolo vivo indicano:


∆E = 0.52g

V2

(5.30)

che corrisponde ad Cc = 0.585. In figura 5.45 è proposto il grafico per il calcolo del coefficiente k

relativamente alla configurazione dell’ imbocco (per tubo di sezione qualsiasi) illustrata in figura

5.46 (Rh è il raggio idraulico è definito come il rapporto tra l’ area e perimetro della sezione liquida

ed è spiegato con maggior dettaglio nel capitolo 7).

K

/Rh1

b

1

Fig 5.45

Fig 5.46

Nel caso di imbocco ben raccordato (fig. 5.44) il coefficiente k viene stimato mediante il grafico in

figura 5.47).

Nonostante la perdita di energia localizzata la presenza di un tubo di imbocco di breve estensione in

una luce su di una parete verticale comporta l’ aumento della portata derivata rispetto al caso di

efflusso libero. Nella sezione 2 (figura 5.48) si ha pressione atmosferica mentre nella sezione 1 di

vena contratta si ha necessariamente una pressione minore (essendo la velocità superiore).

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

K

0.0 0.04 0.08 0.12 0.16 0.20 0.24

V

21

Fig 5.47Fig 5.48r/D


In ipotesi di distribuzione idrostatica delle pressioni rispetto al caso di luce in parete il carico sulla

luce aumenta del deficit negativo di pressione e conseguentemente la portata derivata aumenta. Il

bilancio di energia tra il pelo libero e la sezione di sbocco tenendo conto della perdita di energia

localizzata di imbocco è:

hm =2g

V2

+ 0.52g

V2

= 1.52g

V2

da cui:

V = 0.82 (2g hm)0.5

Moltiplicando la velocità per l’ area della luce (o sezione del tubo di imbocco) si ha la portata

derivata:

Q = 0.82 A mhg2 (5.31)

Il valore 0.82 è superiore al valore Cc posto nella 5.6 che fornisce la portata derivata da una luce

verticale. Il valore cq = 0.82 è confermato da valori sperimentali con differenze inferiori al 2 % per

hm ≤ 10 m.

5.7 Bottiglia di Mariotte

La bottiglia di Mariotte è un dispositivo per mantenere costante la pressione in un recipiente o la

portata derivata da questi. In figura 5.49 è disegnato lo schema della bottiglia un cui esemplare è in

figura 5.50. La bottiglia di Mariotte consiste in un recipiente chiuso che è comunicante con

l’atmosfera tramite un tubo introdotto al suo interno sulla parte superiore e provvista di un orifizio

sulla parte inferiore. Il recipiente è parzialmente riempito di acqua. Aprendo l’orifizio dopo qualche

istante la portata derivata raggiunge un valore che mantiene costante. L’acqua defluente

dall’orifizio deve essere continuamente sostituita nel recipiente dall’aria che viene aspirata tramite il

tubicino superiore. La pressione nel punto B deve essere quella atmosferica per garantire l’ingresso

dell’aria. La quota energetica in B rimane costante perché la pressione è quella atmosferica. Il

bilancio di energia tra il punto B e la sezione di vena contratta, è analogo a quello della luce di

fondo (paragrafo 5.2.1) per cui la velocità dipende dalla quota h2 e rimane costante finchè la quota

dell’acqua nel recipiente rimane superiore ad h2. Se la velocità è costante lo è anche la portata

defluente dall’orifizio. Nel recipiente fintatochè h > h2 la pressione è negativa.


Figura 5.50 La bottiglia di Mariotte.

5.8 Equazione di continuità dei serbatoi

Sia V il volume di acqua contenuto in un serbatoio ed Qe e Qu le portate rispettivamente entranti ed

uscenti (fig. 5.51). Se Qe = Qu il volume V rimane costante nel tempo. Nel caso più generale Qe ≠

Qu ed il volume V invasato nel serbatoio aumenta se Qe > Qu mentre diminuisce se Qe < Qu.


Considerato un tempo infinitamente piccolo dt tale che Qe e Qu siano costanti la variazione di

volume invasato dV è uguale alla differenza tra il volume entrante e quello uscente:

dV = Qe dt – Qu dt

da cui dividendo ambo i membri per dt si ottiene:

dt

dVQuQe =− (5.32)

L’equazione (5.32) è chiamata equazione di continuità dei serbatoi.

5.9 Tempo di vuotamento di un serbatoio prismatico.

Posta h la quota generica del pelo libero del serbatoio rispetto alla base di area A dello stesso (fig.

5.52), il volume invasato è V = A h. Sul fondo del serbatoio è posta una luce di area Au da cui

defluisce una portata:

Qu = Cq Au (2g h)1/2

In ipotesi di portata entrante nulla (Qe = 0), sostituendo l’espressione di cui sopra nell’equazione di

continuità dei serbatoi (eq. (5.32)) si ha:

dt

dhA2ghAucq =− (5.33)

separando i termini dipendenti da h e da t si ottiene:

dhh2gAucq

Adt 2

1−

= (5.34)


Posti t1 e t2 due tempi consecutivi (t1 < t2) ed h1 ed h2 le corrispondenti quote del pelo libero (h1 >

h2), l’integrazione della (5.34) porge:

∫∫−

−=2h

1h

2

12t

1t

dhh2gAucq

Adt

da cui

∫∫−

=1h

2h

2

12t

1t

dhh2gAucq

Adt

ed infine

( )1/22

1/2112 hh

2gAucq

A2tt −=− (5.35)

Per ottenere il tempo vuotamento del serbatoio, si utilizza l’equazione (5.35) ponendo t1 = 0, h1 = hO

(quota iniziale) e h2 = 0:

1/2OVUOT h

2gAucq

A2t = (5.36)

moltiplicando il secondo membro della relazione (5.36) per hO1/2/hO

1/2 si ha:

inizialedeflussodiportata

inizialex volume2

h2gAucq

hA2t

O

OVUOT ==

Nel caso in cui la luce non sia sul fondo ma su di una parete laterale del serbatoio (fig. 5.53), h2 > 0

ed per h3 ≤ h ≤ h2 la relazione di deflusso cambia:

3/2h2gb.Qu 3850=


essendo b la larghezza della luce nel piano perpendicolare al disegno. L’espressione della relazionedi deflusso posta nell’ equazione di continuità (eq. (5.32)) permette:

dt

dhAh2gb385.0 3/2 =− (5.37)

separando i termini dipendenti da h e da t si ottiene:

dhh2gb0.385

Adt 2

3−

= (5.38)

Posti t2 e t3 due tempi consecutivi (t2 < t3) ed h2 ed h3 le corrispondenti quote del pelo libero (h2 <

h3), l’integrazione della (5.38) porge:

∫∫−

−=3h

2h

2

33t

2t

dhh2gb0.385

Adt

da cui:

−=−

3/22

1/23

23h

1

h

1

2gb0.385

A2tt (5.39)

la stima del tempo di vuotamento si esegue esplicitando t2 dalla relazione (5.35) e sostituendolo

nella (5.39) dopo aver assunto per t1 = 0, h1 = hO:

−+−=

3/22

1/23

1/22

1/2OVUOT

h

1

h

1hh

2gb0.385

A2t (5.40)


5.10 Tempo di vuotamento di un serbatoio non prismatico.

Per un serbatoio non prismatico è possibile determinare una relazione empirica tra il volume V e laquota del pelo libero:

V = c hn (5.41)

L’equazione di continuità dei serbatoi, sostituendo la relazione (5.41) nella (5.32) diviene:

dt

dhhnc

dt

dhcQuQe 1n

n−==− (5.42)

separando le variabili h e t dalla relazione (5.42) ed assumendo Qe = 0 e Qu = cq Au (2gh)0.5 si

ottiene:

dhh2gAucq

ncdt 2

3n−

−= (5.43)

Per un serbatoio con apertura sul fondo il tempo di vuotamento diviene:

1/2-nOVUOT h

3/2-n

1

2gAucq

nct = (5.44)

Per un serbatoio con apertura sulla parete il tempo di vuotamento diviene:

( ) ( )

−+−= −− /23n

33/2-n

21/2n

21/2-n

OVUOT hh5/2-n

1hh

3/2-n

1

2gb0.385

nct (5.45)

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