Storia e definizione

Fasi

Classificazione dei problemi di scelta

Problemi di scelta nel caso continuo

Problema con funzione obiettivo retta

Problema con funzione obiettivo parabola (con soli vincoli di segno)

Problema con funzione obiettivo parabola (con vincoli tecnici oltre a quelli di segno)

Problemi di scelta fra più alternative

Caso minimo

Caso massimo

Storia :

La ricerca operativa si sviluppò intorno al 1939, quando in Inghilterra si rivelò necessario risolvere il problema della difesa antiaerea degli attacchi dei bombardieri tedeschi.

Contemporaneamente i militari americani, per difendersi dai sommergibili tedeschi e non essendo sufficienti le strategie belliche, si rivolsero a gruppi di scienziati progettando questo nuovo modo di operare. Successivamente, le nuove metodologie furono applicate al mondo dell’economia e dell’industria.

Definizione :La ricerca operativa è l’ applicazione del metodo scientifico da parte di gruppi interdisciplinari a problemi che comportano il controllo di sistemi organizzati uomo-macchina al fine di raggiungere soluzioni che meglio servono all’ organizzazione del suo insieme.

1. Formulazione del problema : si esaminano i dati e le informazioni, si prefissano gli obiettivi da raggiungere e i vincoli che li limitano;

2. Raccolta delle informazioni : le informazioni devono essere il più possibile ampie e dettagliate per poi essere esaminate ed elaborate;

3. Costruzione del modello matematico : un modello matematico che rappresenti in modo chiaro il problema con le variabili d’azione, i vincoli tecnici e i vincoli di segno;

4. Risoluzione del modello : fatto con i metodi tradizionali della matematica; la soluzione ottima è un elemento della regione ammissibile che rende minima o massima la funzione obiettiva prefissata.

5. Controllo del modello e delle soluzioni ottenute : si verifica che il modello teorico rappresenti abbastanza bene la realtà e che preveda o no gli effetti dovuti a variazioni del fenomeno analizzato, con gli opportuni adattamenti;

•Continui : quando le variabili possono assumere tutti i valori nel loro intervallo di variabilità; la scelta avviene fra un numero infinito di possibilità.

•Discreti : quando le variabile d’azione possono assumere solo valori interni all’interno dei loro intervalli di variabilità;

Problemi discreti e continui:

•In condizioni di certezza : i dati sono sicuri e fissi e la conseguenza è determinata a priori;

•In condizioni di incertezza : i dati dipendono da eventi casuali che hanno una certa probabilità di verificarsi.

•Effetti immediati, se il tempo intercorrente fra la decisone e la realizzazione è rapido;

•Effetti differiti, se invece bisogna valutare il tempo intercorrente fra la decisone e l’attuazione della scelta, come per esempio gli investimenti.

Problemi in una o più variabili :

Problemi con effetti immediati o differiti :

I termini più usati nei problemi di scelta sono i seguenti.

Costi : costituiti dalla somma dei costi fissi e dei costi variabili.

•Costi Fissi : non dipendono dalla quantità x di beni prodotti e/o venduti;

•Costi variabili : dipendono dalla quantità x di beni prodotti e/o venduti.

La somma di questi da il costo totale, indicato con C(x).

La funzione costo sarà quindi: C(x)= C.f. + C.v.

Ricavo : ciò che ottiene un’azienda dalla vendita dei suoi prodotti.

Può essere con concorrenza perfetta, quando il prezzo è fisso ed è indicato con la funzione R(x)= p·x, cioè prezzo di vendita moltiplicato per la quantità di prodotto venduto, oppure con monopolio, dove il prezzo dipende dalla domanda.

Guadagno (o utile o ricavo) : è la differenza fra il ricavo e il costo totale.

La funzione guadagno sarà quindi : G(x)= R(x) – C(x)

Il grafico di una funzione obiettivo può essere una retta, una parabola, un’iperbole oppure è espressa da più funzioni.

Se la funzione obiettivo è una retta (crescente), il grafico risulterà diviso in due sezioni: la parte superiore sarà la zona di guadagno o utile mentre quella inferiore la zona di perdita. (Fig.1)

Volevo rappresentare la funzione costo e la funzione ricavo, noteremo che le due rette si intersecano in un punto che divide le due zone: questo è detto break- eaven point, punto di rottura o di equilibrio economico. (Fig.2)

Fig.1 Fig.2

PROBLEMA CON FUNZIONE OBIETTIVO RETTA

Per produrre una certa merce, si sostengono costi fissi di € 700 e un costo per ogni chilogrammo di merce di € 3,45. La produzione massima consentita è di 650 kg. La merce viene rivenduta a € 5,72 il chilogrammo. Determiniamo quanta merce bisogna vendere per avere il massimo guadagno.

La nostra funzione ricavo è R(x)= 5,72x

e la funzione costo è C(x)= 3,45x + 700

Possiamo svolgere il problema in due modi.

1°MODO.

Mettendo a sistema le due funzioni otterremo il punto di intersezione P.1

{y =5,72xy = 3,45x + 700 {y = 5,72x

5,72x = 3,45x + 700 {y = 5,72x

2,27x – 700 = 0

{y = 5,75

2,27x = 700 {y = 5,75

x = 308,37 {y = 5,75 · (308,37) = 1763,88

x = 308,37

P(308,37);(1763,88)

Rappresentiamo graficamente le due funzioni ricavo e costo.

Vediamo che per 308,37 kg i costi eguagliano i ricavi, dopodichè i ricavi sono superiori ai costi e si ha un guadagno che cresce fino al massimo consentito di produzione di 650 kg.

Il guadagno massimo sarà quindi:R(650) – C(650) = 5,75 · 650 – 3,45 · 650 – 700 = 775,50.

2°MODO

Determiniamo la funzione guadagno G(x) = R(x) – C(x), dopodichè la rappresentiamo graficamente.

y = 5,75x – (3,45x + 700) y = 2,27x - 700

Determiniamo il punto in cui incontra l’asse delle x, cioè il punto per cui la funzione vale zero, attraverso il sistema

{y = 0

y = 2,27x - 700A(308,37;0)

Prima di A il guadagno è negativo, in A è zero, dopo A cresce fino al massimo consentito dalla produzione, cioè per x = 650.

Il massimo guadagno è pertanto y(650) = 2,27 · 650 – 700 = 775,50.

In entrambi i modi abbiamo ottenuto lo stesso risultato: il massimo guadagno è di € 775,50 per 650 kg di merce prodotta.

PROBLEMA CON FUNZIONE OBIETTIVO PARABOLA (con soli vincoli di segno)

Una ditta produttrice di detersivi per lavatrici ha costi al litro di € 2 e sostiene una spesa fissa settimanale di € 100. La ditta prevede di ricavare dalla vendita € 3 al litro con una spesa di vendita per ogni litro pari a del numero di litri

venduti. Calcolare il numero di litri che la ditta deve produrre per ottenere il massimo guadagno e quanti per non essere in perdita.

Dati

C(x) = 2x + 100 R(x) = 3x – (0,001x)x G(x) = 3x – 0,001x ² - 2x – 100 = - 0,001x² + x – 100

Troviamo ora le coordinate del vertice.

V(500;150)

Calcoliamo poi le coordinate dei punti di intersezione con l’asse delle x.

G(x) = - 0,001x ² + x – 100

-0,001x ² + x – 100 = 0

xa = 112,7 xb = 887,3 A(112,7;0) B(887,3;0)

Otterremo questo grafico :

CONCLUSIONI

Notiamo che con la produzione di 112,7 litri di detersivo il guadagno della ditta è ancora nullo e inizia a crescere da lì in poi, raggiungendo il massimo di 150 € con la produzione di 500 litri, corrispondenti, rispettivamente, all’ordinata e all’ascissa del vertice.

PROBLEMA CON FUNZIONE OBIETTIVO PARABOLA (con vincoli tecnici oltre a quelli di segno)

Riprendiamo ora il problema precedente introducendo un vincolo tecnico.La stessa ditta, infatti, la prima settimana può produrre al massimo 400 litri di detersivo (Fig. 1) e la seconda 650 (Fig.2).

Fig.1 Fig.2

CONCLUSIONI

Essendo il vincolo tecnico prima del vertice, il massimo guadagno si ha in corrispondenza della massima produzione settimanale consentita, cioè 400 litri, ed è di 140 €.

CONCLUSIONI

Il vincolo tecnico si trova dopo il vertice, pertanto il massimo guadagno sarà di 150 €, uguale a quello raggiunto nel problema iniziale senza vincoli.

Lo scopo è determinare per quali intervalli di variabilità della x una funzione è superiore o inferiore a un’altra,scegliendo tra funzioni dello stesso tipo oppure di tipo diverso.

I punti di incontro fra le funzioni obiettivo sono chiamati Punti di Indifferenza.

Questi problemi possono essere di minimo o di massimo: se il problema è di minimo viene scelta l’ alternativa rappresentata dalla funzione al di sotto, se il problema è di massimo dalla funzione al di sopra.

L’esempio presentato qui di seguito è un problema di minimo.

Un artigiano necessita per la sua attività di un autofurgone per trasporto merci. Con le caratteristiche desiderate,in commercio ne esistono 3 diversi tipi. Il tipo A ha un costo d’acquisto di 9000 € e costi successivi di manutenzione di 0,6 € per chilometro. Il tipo B ha un costo d’acquisto 15 000 € e costi successivi di manutenzione di 0,20 € per chilometro. Il tipo C ha un costo d’acquisto di 18 000 € e costi successivi di manutenzione di 0,1375 € per chilometro. Determinare quale autofurgone gli conviene acquistare.

Indichiamo con la x il numero di km che l’artigiano prevede di percorrere e con Ya, Yb e Yc le funzioni costo; abbiamo quindi:

Ya = 0,6 x + 9000 Yb = 0,20 x + 15 000 Yc = 0,1375 x + 18 000

Determiniamo poi in quali intervalli di variabilità della x una delle funzioni assume valori inferiori a quelle delle altre due.

Ya = 0,6 x + 9000 Yb = 0,20 x + 15 000 con x ≥ 0

Yc = 0,1375 x + 18 000

PROBLEMI DI SCELTA FRA PIU’ ALTERNATIVE

Per rispondere al problema, però, è necessario ricavare le coordinate dei punti Q e R in cui cambiano le situazioni.

{y = 0,6 x + 9000

y = 0,20 x + 15 000 {x = 15 000

y = 18 000Q( 15 000; 18 000)

{y = 0,1375 x + 18 000

y = 0,20 x + 15 000 {x = 48 000

y = 24 000R (48 000; 24 000)

L’alternativa A (P) è più conveniente se l’artigiano prevede di percorrere meno di 15 000 km.

L’alternativa B (Q) se prevede di percorrere da 15 000 a 48 000 km.

L’alternativa C (R) se prevede di percorrere più di 48 000 km.

Una ditta che produce articoli da vendere a domicilio,deve assumere rappresentanti di commercio ai quali offre le tre seguenti possibilità di retribuzione.

A) Stipendio fisso mensile di 1000 € più 0,25 € per ogni articolo venduto.B) Stipendio fisso mensile di 800 € più 0,50 € per ogni articolo venduto.C) Stipendio fisso mensile di 500 € più 0,65 € per ogni articolo venduto.

Qual è la retribuzione più conveniente per un rappresentante?

Indichiamo con y1, y2 e y3 i tre stipendi e individuiamo quale delle tre funzioni risulta superiore alle altre due:

Y1= 0,25 x + 1000

Y2= 0,50 x + 800 x ≥ 0

Y3= 0,65 x + 500

Esaminiamo ora un problema di massimo.

y = 0,5 x + 800{

Calcoliamo poi le coordinate dei punti P e Q.

y = 0,25 x + 1000 {x = 800

y = 1200P(800;1200)

{y = 0,65 x + 500

y = 0,5 x + 800 { x = 2000

y = 1800Q(2000;1800)

Dal grafico notiamo che, per un numero di articoli venduti inferiore a 800, l’alternativa più redditizia risulta essere la P.

Per un numero di articoli venduti tra 800 e 2000 la più redditizia è la Q.

Invece, per un numero di articoli venduti superiori a 2000, l’alternativa più conveniente è la terza.