Presentazione Non so a chi dare i...

Presentazione

Non so a chi dare i resti. . .

PLS 2013/2014 � Scuola Estiva 2014

Dario Benedetto

Domenico Colella (insegnante)

Eleonora Mattiuzzio (tirocinante)

Pietro Mercuri (dottore di ricerca)

Mariagrazia Montanaro (tirocinante)

db () PLS � scuola estiva 2014 4 settembre 2014 1 / 61

Presentazione

di che parleremo

• approssimazioni

• sistemi elettorali proporzionali


Presentazione

a che scopo?

• sono argomenti rilevanti per le applicazioni

• presentano più problemi di quanti non immaginate

• permettono di sperimentare alcuni aspetti della Matematica


Presentazione

quali aspetti della Matematica?

• bellezza e purezza non le possiamo promettere. . .

• precisione del linguaggio

• astrazione• processi dimostrativi

• spirito di osservazione

• formulazione di ipotesi

• pensiero laterale

• invenzione complessa


Presentazione

quattro tappe in salita

• �ssare le idee: approssimazioni e notazioni

• idee semplici: sistema proporzionale bipartitico

• testare le idee semplici: sistema proporzionale multipartitico

• scoprire/inventare: sistema proporzionale corretto


Fissare le idee

approssimazioni: scheda 1 � A

determina l'approssimazione per arrotondamento, e il corrispondete errore,

per il numero 25, 63956

approssimazione errore

unitàprima cifra decimaleseconda cifra decimaleterza cifra decimalequarta cifra decimaledecine

numero = approssimazione + errore


Fissare le idee

approssimazioni: scheda 1 � A

determina l'approssimazione per arrotondamento, e il corrispondete errore,

per il numero 25, 63956

approssimazione errore

unità 26 −0, 360 44prima cifra decimale 25,6 +0, 039 56seconda cifra decimale 25,64 −0, 000 44terza cifra decimale 25,640 −0, 000 44quarta cifra decimale 25,6396 −0, 000 04decine 30 −4, 360 44

errore negativo: approssimazione per eccesso

errore positivo: approssimazione per difetto


Fissare le idee

approssimazioni: scheda 1 � B

B.1 Tutto chiaro?

approssima 0, 491 alla prima cifra decimaleapprossima 0, 491 alla seconda cifra decimaleapprossima 1, 05 alla seconda cifra decimaleapprossima 1, 05 alla prima cifra decimaleapprossima 1, 15 alla prima cifra decimale


Fissare le idee


B.1 Tutto chiaro?

approssima 0, 491 alla prima cifra decimale 0,5approssima 0, 491 alla seconda cifra decimale 0,50approssima 1, 05 alla seconda cifra decimale 1,05approssima 1, 05 alla prima cifra decimale 1,0 o 1,1?approssima 1, 15 alla prima cifra decimale 1,1 o 1,2?

B.2 Qual è la scelta giusta e perché?


Fissare le idee


se il numero �nisce con �5�, ci sono varie scelte �giuste�:


Fissare le idee



• scegliere sempre l'approssimazione per eccesso

• scegliere sempre l'approssimazione per difetto

vantaggi: semplicità

svantaggi: gli errori non sono �equidistribuiti�


Fissare le idee



• scegliere a caso l'approssimazione per eccesso o per

vantaggi: gli errori sono equidistributi

svantaggi: irriproducibilità del risultato


Fissare le idee



• scegli l'approssimazione per eccesso se la penultima cifra è pari, quella

per difetto se la penultima cifra è dispari

11, 5→ 11 34, 5→ 35

vantaggi: gli errori sono equidistributi

svantaggi: è un po' più complessa


Fissare le idee



d'ora in poi ignoreremo questo problema.


Fissare le idee

notazioni: scheda 1 � C

La parte intera del numero x è il più grande intero non maggiore di x

(cioè minore o uguale a x), e si indica con

bxc

La parte frazionaria, o mantissa, è invece

{x} = x − bxc

Queste funzioni veri�cano:

• x = bxc+ {x}• 0 ≤ {x} < 1, e x è intero se e solo se {x} = 0

• bxc ≤ x < bxc+ 1 = bx + 1c• bxc+ byc ≤ bx + yc ≤ bxc+ byc+ 1


Fissare le idee

notazioni: scheda 1 � C

La parte intera del numero x è il più grande intero non maggiore di x

(cioè minore o uguale a x), e si indica con

bxc

La parte frazionaria, o mantissa, è invece

{x} = x − bxc

C Disegna il gra�co delle funzioni bxc e di {x}


Fissare le idee

notazione decimale: scheda 1 � D

Come ben noto, ogni numero reale x tra 0 e 1 si può espandere in

notazione decimale come

x =a1

10+

a2

102+

a3

103+ · · ·+ ak

10k+ . . .

con a1, . . . ak , . . . interi tra 0 e 9, escludendo il caso in cui le cifre siano

tutte uguali a 9 da una certa cifra in poi.

Per esempio, se x = 0, 324, allora

a1 = 3 a2 = 2 a3 = 4 a5 = a6 = · · · = 0


Fissare le idee


Indichiamo con tk(x) il numero che si ottiene troncando alla k-esima cifra

l'espansione di x (cioè uguagliando a 0 tutte le cifre dopo la k-esima), e

con rk(x) il resto, cioè

rk(x) = x − tk(x).

Per esempio, se x = 0, 324, allora

t1 = 0, 3 t2 = 0, 32 t3 = t4 = · · · = 0, 324r1 = 0, 024 r2 = 0, 004 r3 = r4 = · · · = 0

D.1 Come si scrivono le funzioni tk e rk usando le funzioni b c e { }?

Risposta: tk(x) = b10k × xc/10k rk(x) = {10k × x}/10k


Fissare le idee


D.2 De�nisci precisamente come ottieni l'arrotondamento alla k-esima

cifra decimale.

se rk(x)× 10k < 0, 5, l'arrotondamento è tk(x),

se rk(x)× 10k > 0, 5, l'arrotondamento è tk(x) + 10−k ,

se rk(x)× 10k = 0, 5, l'arrotondamento è tk(x) se . . . , l'arrotondamento è

tk(x) + 10−k se . . .


Idee semplici

uno scenario ipotetico

Fate parte dello sta� tecnico-politico di un nuovo partito, e volete proporre

una legge elettorale proporzionale, perché assegna i seggi a un partito

in proporzione al numero di voti

dunque ritenete che sia quella che meglio rappresenta il voto espresso dai

cittadini

Prima di cominciare a scrivere la legge elettorale, cioè l'algoritmo che

traduce i voti in seggi, è il caso di fare qualche esperimento mentale.

Cominciamo a vedere come funziona se ci sono solo due partiti.


Idee semplici

due partiti: scheda 2 � A

Ipotizza che ci siano solo due partiti, X e Y , che abbiano ottenuto le

seguenti percentuali di voto

X : x = 37% = 0, 37Y : y = 63% = 0, 63

Indica con Sx il numero di seggi che attribuisci a X , e con Sy il numero di

seggi che attribuisci a Y . Se ci sono solo 100 seggi, ovviamente

Sx = 37 e Sy = 63


Idee semplici

due pariti: scheda 2 � A



X : x = 37% = 0, 37Y : y = 63% = 0, 63

A.1 Se i seggi sono 10, come li attribuisci?


Idee semplici




X : x = 37% = 0, 37Y : y = 63% = 0, 63

A.1 Se i seggi sono 10, come li attribuisci? Sx = 4 e Sy = 6


Idee semplici




X : x = 37% = 0, 37Y : y = 63% = 0, 63


A.2 E se sono 20?


Idee semplici




X : x = 37% = 0, 37Y : y = 63% = 0, 63


A.2 E se sono 20?

20× 0, 37 = 7, 4 20× 0, 63 = 12, 6

Sx = 7 e Sy = 13


Idee semplici

due partiti: scheda 2 � B

Scrivi, nel modo precisamente la regola generale per calcolare Sx(n) e

Sy (n), cioè il numero di distribuire n seggi tra due soli partiti, che abbiano

ottenuto le percentuali x e y .

Spiega in che senso l'approssimazione che fai è �giusta�, sia a parole che

matematicamente.


Idee semplici

due partiti: scheda 2 � B

Sx(n) = arrotondamento di nx e Sy (n) = arrotondamento di ny

Il metodo è �giusto� nel senso che rende più piccolo possibile l'errore

|Sx(n)− nx |+ |Sy (n)− ny |

Infatti, usando che x + y = 1 e Sx + Sy = n si ottiene che

Sy (n)− ny = n − Sx(n)− n(1− x) = −(Sx(n)− nx)

dunque l'errore è 2|Sx(n)− nx | che è minimo se e solo se Sx(n) è proprio

l'arrotondamento di nx .


Idee semplici

una de�nizione

Se un partito conquista la percentuale x dei voti,

bnxc è la quota minima di Hare del partito

bnxc+ 1 è la quota massima di Hare del partito

Il sistema che hai de�nito per il caso di due partiti veri�ca

Hare minima ≤ Sx(n) ≤ Hare massima


Idee semplici

proprietà: scheda 2 � C

Il sistema proporzionale per il voto tra due partiti veri�ca la seguente

proprietà:

se x < y allora Sx(n) ≤ Sy (n)

Infatti x < y ⇒ nx < ny ⇒ l'arrotondamento di nx sarà minore o uguale

di quello di ny .

C) Dimostra che Sx(n) cresce con il crescere di n, cioè

proprietà di monotonia HM : Sx(n + 1) ≥ Sx(n),

che deve valere per ogni buon sistema elettorale!


Idee semplici

proprietà: scheda 2 � C

Anche questa a�ermazione è una conseguenza del fatto che se a < b allora

l'arrotondamento di a è ≤ dell'arrotondamento di b.

Infatti

Sx(n) = arrotondamento di nx

Sx(n + 1) = arrotondamento di (n + 1)x

e nx < (n + 1)x , dunque Sx(n) < Sx(n + 1).


Testare le idee semplici

molti partiti: scheda 3 � A

Considera tre partiti con i seguenti risultati:

x = 53% y = 35% z = 12%

Supponi che ci siano in gioco 10 seggi,

come li distribuisci in modo proporzionale?

E se i seggi sono 9? o se è solo 1? o 2? o 3? o 4?

Pensaci su, magari con l'aiuto della tabella seguente.




n n × x n × y n × z Sx Sy Sz

10 5,30 3,50 1,20

9 4,77 3,15 1,08

1 0,53 0,35 0,12

2 1,06 0,70 0,24

3 1,59 1,05 0,36

4 2,12 1,40 0,48




in nero l'Hare minima, in rosso i seggi assegnati in base ai resti


10 5,30 3,50 1,20 5 3+1 1

9 4,77 3,15 1,08 4+1 3 1

1 0,53 0,35 0,12 0+1 0 0

2 1,06 0,70 0,24 1 0 +1 0

3 1,59 1,05 0,36 1+1 1 0

4 2,12 1,40 0,48 2 1 0+1



molti partiti: scheda 3 � B

Enuncia precisamente qual è il sistema elettorale proporzionale nel caso di

più di due partiti, in cui siano in palio n seggi

• si assegnano a ogni partito bnxc seggi

se il totale dei seggi assegnati è inferiore a n:

• si scrivono i resti {nx} = nx − bnxc• si mettono in ordine dal più alto al più basso

• si attribuiscono i seggi rimasti ai partiti usando l'ordine dei resti



molti partiti: scheda 3 � B

Quello che hai de�nito è un sistema proporzionale �puro�, in cui la

distribuzione dei seggi avviene assegnando a ciascuna lista l'Hare minima, e

distribuendo i seggi rimanenti con la regola del

massimo resto

In questo modo rendi più piccolo possibile il massimo degli �errori�∣∣∣∣x − Sx

n

∣∣∣∣Una scelta del tutto ragionevole!



molti partiti: scheda 3 � C

Le leggi elettorali sono una materia delicatissima, dunque non ci deve

essere nessun dubbio:

è possibile che dopo aver attribuito i seggi rimanenti con la regola

del massimo resto, rimanga ancora qualche seggio da attribuire?

Fai il tuo mestiere di consulente e dimostra che non può avvenire!




C.1) Supponi che i partiti siano k e i seggi n; cosa devi dimostrare

esattamente?

inizia assegnando a ogni partito la sua Hare minima bnxcrimangono da assegnare

n − (bnx1c+ bnx2c+ · · ·+ bnxkc)

devi dimostrare che questo numero è ≤ k , perché hai solo k resti da

prendere in considerazione




C.2) dimostrazione

per ogni partito

bnxc ≤ nx < bnxc+ 1

dunque

nx − 1 < bnxc ≤ nx

facendo la somma su tutti e k i partiti, si ottiene

n − k < somma delle Hare minime ≤ n

dunque il massimo numero di seggi che rimangono da assegnare è < k .



qualcosa non va: scheda 4 � A

Esploriamo il sistema proporzionale puro: determina la divisione in seggi

con n = 4 e con n = 5.


1 0,53 0,35 0,12

4 2,12 1,40 0,48

5 2,65 1,75 0,60

Noti qualche cosa di strano?



qualcosa non va: scheda 4 � A


1 0,53 0,35 0,12

4 2,12 1,40 0,48 2 1 1

5 2,65 1,75 0,60 3 2 0

Il partito Z aveva 1 seggio su 4 ma 0 seggi su 5!

Si chiama �e�etto Alabama�, perché è realmente accaduto in una elezione

in Alabama. In seguito all'aumento del numero di seggi disponibili, un

partito ha visto diminuire il numero di seggi conquistati.

Il numero di seggi attribuito a un partito non è una funzione

crescente del numero di seggi disponibili!



qualcosa non va: scheda 4 � B

Esploriamo un altro aspetto del sistema proporzionale puro.

Ipotizza che il partito Y si presenti diviso in due partiti alleati, Y1 e Y2, con

il 18% di voti il primo e il 17% di voti il secondo. La percentuale

complessiva dei due partiti è uguale al 35%, pari a quella del partito Y .

Determina la divisione tra i 4 partiti X , Y1, Y2, Z , nel caso di 4 seggi

disponibili, e confronta il risultato con il caso in cui Y1 e Y2 si presentano

insieme come partito Y .




Caso X , Y , Z :


1 0,53 0,35 0,12

4 2,12 1,40 0,48 2 1 0+1

Caso X , Y1, Y2, Z :

n n × x n × y1 n × y2 n × z Sx Sy1 Sy2 Sz

1 0,53 0,18 0,17 0,12

4 2,12 0,72 0,68 0,48 2 0+1 0+1 0

Noti qualche cosa di strano? Spiegane le conseguenze �politiche�.




Il partito Y , dividendosi in due partiti con la stessa percentuale complessiva

dei voti, ottiene un seggio in più strappando il resto che veniva attribuito al

partito Z .

Questo sistema elettorale favorisce la frammentazione: per vincere è

meglio presentarsi con più partiti di�erenti.

La conseguenza è che i partiti diventano di�erenti e anche se si presentano

come alleati, poi potrebbero non collaborare come promesso. . .



qualcosa non va

Il sistema proporzionale puro ha due difetti

• il numero di seggi vinti da un partito non è una funzione crescente del

numero di seggi disponibili

• favorisce la frammentazione


Scoprire

e ora?

Come inventi un sistema elettorale che non ha queste due patologie?

• procedi per tentativi

• esplori il sistema, sperando che ti venga in mente qualche cosa. . .

Seguiamo questa strada di pensiero laterale concentrandoci su un altro

aspetto.


Scoprire

voglio vincere un seggio!

I comitati elettorali dei singoli candidati passano parte del loro tempo a

calcolare quanti voti sono necessari per conquistare almeno un seggio, e in

base a questo dato decidono le strategie elettorali.

Ma quanti voti servono per conquistare almeno un seggio?

Se ci sono n seggi e un partito prende 1/n del totale dei voti, allora vince

almeno un seggio (l'Hare minima è maggiore o uguale a 1).

Questo valore però non è ottimale, bastano meno voti per vincere

sicuramente un seggio!


Scoprire

voglio un seggio: scheda 5 � A

A.1 Se c'è solo un seggio a disposizione (n=1) e k = 2 partiti, quanti voti

servono per conquistare sicuramente almeno un seggio?

1/2 del totale

A.1 Se k ≥ 3?

1/2


Scoprire

voglio un seggio: scheda 5 � B

B.1 Se ci sono n = 2 seggi in palio e k = 2 partiti, quanti voti sono

su�cienti per ottenere almeno un seggio?

sia x il risultato del mio partito e y quello dell'altro

per avere un seggio devo avere un resto migliore, dunque

2x > 2y − 1 = 2− 2x − 1 = 1− 2x

da cui si ottiene x > 1/4


Scoprire

voglio un seggio: scheda 5 � B

B.2 Se k = 3?

se uno dei partiti conquista un seggio come quota Hare minima mi riduco

al caso precedente, dunque x > 1/4

se nessun partito supera la metà dei voti mi basta avere uno dei due resti

migliori, cioè mi basta non essere il partito meno votato, dunque x > 1/3

B.3 Se k ≥ 4?

sempre x > 1/3


Scoprire

voglio un seggio: scheda 5 � C

C.1 Se ci sono n = 3 seggi in palio e k = 2, quanti voti sono su�cienti per

ottenere almeno un seggio?

Al crescere di x aumentano i seggi che vinco, dunque mi basta considerare

il caso in cui l'altro partito prende due seggi per Hare minima (quindi

3y > 2) e io l'altro per miglior resto:

3x > 3y − 2 = 3− 3x − 2 = 1− 3x

dunque x > 1/6


Scoprire


C.2 Se k = 3?

se il partito più votato ha 2 seggi per Hare minima sono nel caso

precedente, dunque x > 1/6

analizziamo il caso in cui due partiti (Y e Z ) hanno entrambi un seggio per

Hare minima; la condizione è

3x > 3y − 1 3x > 3z − 1

se z > y , basta veri�care la seconda, che equivale a

6x + 3y > 2

il minimo valore possibile per y è 1/3, dunque ancora

x > 1/6


Scoprire


resta il caso in cui un solo partito prende un seggio per Hare minima:

z > 1/3, y < 1/3, x < 1/3

prendo uno dei resti se x > y oppure 3x > 3z − 1 = 2− 3x − 3y , cioè

6x + 3y > 2

il caso peggiore è x ≤ y da cui si ottiene x > 2/9

complessivamente dunque la condizione è x > 2/9 (che è maggiore di 1/6)


Scoprire


C.3 Se k = 4?

analizzo il caso in cui nessun partito supera 1/3 dei voti (altrimenti mi

riduco ai casi precedenti).

prendo un seggio se non sono il partito meno votato

se ho almeno 1/4 dei voti, c'è necessariamente un partito con meno voti

del mio, dunque x > 1/4

C.4 Se k > 4?

la condizione è sempre x > 1/4


Scoprire

voglio un seggio: scheda 5 � D

Osserva i risultati che hai ottenuto nei punti A, B, C, e formula un'ipotesi

sul numero minimo di voti su�ciente per ottenere un seggio.

Congettura:

per ottenere almeno un seggio su n disponibili, è su�ciente ottenere la

frazione 1/(n + 1) del totale dei voti.


Scoprire

una osservazione sulla frammentazione

il calcolo dei seggi è equivalente al solo confronto dei resti


Scoprire


Esempio: x = 23% e 10 seggi.

Al partito vanno 2 seggi sicuri, e un seggio aggiuntivo se il resto

2, 3− 2 = 0, 3 è abbastanza alto rispetto agli altri.

Frammentiamo X in tre partiti: due con percentuale 9, 99% e uno con

percentuale 3, 02%

Nessuno dei tre partiti ha il seggio sicuro, ma i resti dei primi due sono

0, 999 e il resto del terzo è 0, 302

Dunque i primi due prendono un seggio a testa, il terzo prende il seggio se

e solo se il partito intero prendeva il terzo seggio.


Scoprire


L'assegnazione dei seggi al partito X è equivalente a frammentare il partito

X in bnxc partiti con (poco meno di ) 1/n del totale dei voti voti, e un

partito con (poco più di) {nx}/n voti, e sommare i seggi ottenuti.

Dimostra ora la congettura sulla percentuale minima dei voti per ottenere

almeno un seggio.


Scoprire

voglio un seggio: scheda 5 � F

Per l'osservazione precedente, è su�ciente dimostrarla nel caso in cui tutti i

partiti sono sotto la quota Hare minima.

Necessariamente, ci sono più di n + 1 partiti, inoltre al massimo ci sono n

partiti con più di 1/(n + 1) voti, dunque se x > 1/(n + 1) il partito

conquista un seggio.


Scoprire

reinventiamo il metodo d'Hondt / Je�erson

Lo scopo �nale è inventare/scoprire una regola per attribuire i resti in

modo che

HD : ai partiti non conviene frammentarsi

HM : se n aumenta, il numero dei seggi assegnati a ogni partito non può

diminuire


Scoprire

metodo in costruzione: scheda 6 � A

Comincia dal caso semplice: considera k = 2 partiti e attribuisci i seggi in

modo che siano veri�cate le ipotesi HD e HM .

Suggerimento: basta calcolare il numero minimo di seggi che otterrebbe un

partito se si presentasse diviso.

Sx = bx(n + 1)c e Sy = by(n + 1)c

infatti bx(n + 1)c è il numero minimo di seggi che il partito x sicuramente

otterrebbe dividendosi, by(n + 1)c è l'analogo per y e inoltre

bx(n + 1)c+ by(n + 1)c = n, e così abbiamo attribuito tutti i seggi

disponibili


Scoprire

metodo in costruzione: scheda 6 � A

Per provare quest'ultima a�ermazione, tieni presente che se la somma di

due numeri è un intero h, uno avrà prate frazionaria > 0, 5, l'altro < 0, 5,

dunque la somma delle parti intere sarà h − 1.

Questo modo di attribuire i seggi è diverso dal proporzionale puro.

Considera n = 10 e x = 0, 64, y = 0, 36. Con il proporizionale puro daresti

6 seggi a X e 4 a Y , mentre 11× x = 7, 05, ×y = 3, 96, dunque daresti 7

seggi a X e 3 seggi a Y .


Scoprire

metodo in costruzione: scheda 6 � B

Supponendo che valga l'ipotesi di monotonia HM , dimostra la seguente

semplice a�ermazione

se il numero di seggi passa da n a n + 1, allora per tutti i partiti

tranne uno:

Sx(n + 1) = Sx(n)

mentre per il partito rimanente

Sx(n + 1) = Sx(n) + 1


Scoprire

metodo in costruzione: scheda 6 � C

Dunque se vale HM :

esiste un'ordine con cui vengono attribuiti i singoli seggi

Per inventare il nostro sistema elettorale dobbiamo ricostruire questo

ordine, tentando di utilizzare l'ipotesi HD . Un modo per farlo è dare a ogni

partito quello che riuscirebbe a ottenere con il proporzionale puro

dividendosi come vuole

supponi che siano stati assegnati i primi n seggi, cioè siano noti i

valori di Sx(n) per tutti i partiti; sotto quale condizione il seggio n+1

viene dato al partito x invece che a un qualunque altro partito y?


Scoprire

metodo in costruzione: scheda 6 � C

Consideriamo solo i partiti X e Y . Se assegneremo il seggio a X vuol dire

che X si può dividere in molti partiti in modo che Sx + 1 resti siano più alti

di Sy + 1 resti che Y ottiene dividendosi.

Questa divisione si può fare considerando tutti i resti uguali, infatti se

fossero diversi, mettendoli uguali il resto minimo diventerebbe più alto.

Lo stesso vale per Y : per contrastare X gli conviene avere tutti i resti

uguali. Dunque la condizione è

x

Sx + 1>

y

Sy + 1


Scoprire

metodo in costruzione: scheda 6 � D

Scrivi ora l'algoritmo di attribuzione dei seggi.


Scoprire

art. 13 regolamento elezioni studentesche

a) Per ogni Lista è determinato il �numero elettorale� costituito dal totale

dei voti validi ottenuti;

c) Il �numero elettorale� di ogni Lista è diviso successivamente per uno, per

due e così via sino alla concorrenza del numero dei rappresentanti da

eleggere, determinando i relativi quozienti;

d) Tutti i quozienti si graduano in ordine decrescente scegliendo poi fra essi

quelli più alti in numero uguale a quello dei rappresentanti da eleggere; a

parità assoluta di quozienti è scelto quello cui corrisponde il minor �numero

elettorale�;

e) Le rappresentanze sono assegnate alle liste in corrispondenza ai quozienti

scelti come indicato nella lettera precedente;


Scoprire

un esempio

divisore X Y Z

/1 0, 531 0, 352 0, 127

/2 0, 2653 0, 1755 0, 06/3 0, 176̄4 0, 116̄8 0, 04/4 0, 13256 0, 0875 0, 03/5 0, 1069 0, 07 0, 024/6 0, 083̄10

Seggi, in rosso il confronto con il proprorzionale puron Sx Sy Sz1 1 0 02 1 1 03 2 1 04 3 2 1 1 0 15 3 2 0

n Sx Sy Sz6 4 3 2 2 0 17 4 2 18 4 3 19 5 3 1

10 6 5 3 4 1 1


Bibliogra�a

Fonti

Bibliogra�a

C. Bernardi, M. Menghini: Sistemi elettorali proporzionali. La

�soluzione�italiana Bollettino dell'Unione Matematica Italiana vol. 7 4-A

pp. 271�293 (1990)

Parole chiave: sistemi elettorali proporzionali, metodo d'Hondt, e�etto

Alabama, quoziente Dropp


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