Potenziale costante V(x)=cost

La forza (gradiente del potenziale) è nulla → Particella libera

Quando la relazione tra l’energia totale di una particella e la sua energia potenziale è tale che classicamente la particella sarebbe limitata a una regione limitata dello spazio perché l’energia potenziale eccederebbe quella totale al di fuori di tale regione, allora la teoria di Schroedinger predice che l’energia totale è quantizzata.

Quando questa relazione è tale che la particella non è legata ad una regione e che la particella non è legata ad una regione limitata allora la teoria predice che l’energia può assumere qualunque valorelimitata allora la teoria predice che l’energia può assumere qualunque valore

Ma anche la funzione con –k è soluzione associata con lo stesso valore dell’energia. Ma anche la funzione con –k è soluzione associata con lo stesso valore dell’energia. Sono due onde che viaggiano in direzione oppostaSono due onde che viaggiano in direzione opposta

Potenziale costante V(x)=cost

Una combinazione lineare delle due funzioni è ancora soluzione dell’equazione per la stessa energia (eq alla derivata seconda quindi due costanti di integrazione)

Se una delle costanti è presa nulla si ha un onda che viaggia in una direzione o nell’altra. Se le due costanti sono uguali si ha un’onda stazionaria

Vediamo nel caso di onda che viaggia in una direzione i valori di aspettazione della Vediamo nel caso di onda che viaggia in una direzione i valori di aspettazione della posizione e dell’impulsoposizione e dell’impulso

02

2*

**

xxx

kx

ipp txP cos)( *

x

p 0

Gradino di Potenziale

Funzione d’onda finita in tutto l’intervallo di validità

V(x>0)=V0

V(x<0)=0

Prendiamo 0<E<V0 e consideriamo separatamente l’eq per x positive e negative

Continuità della funzione d’onda in x=0

Continuità della derivata della funzione d’onda in x=0

Gradino di Potenziale V(x>0)=V0

V(x<0)=0

Interpretiamo la soluzione trovata

onda piana che viaggia da -∞ verso 0 una che viaggia da 0 verso -∞ esponenziale decrescente da 0 verso da 0 verso -∞

Onda incidente

1*

*

AA

BBR Coefficiente di riflessione

OPPURE

Onda riflessaOnda evanescente

Onda stazionaria

Onda evanescente

Penetrazione in una zona classicamente esclusa (x>0)

Penetrazione in una zona classicamente

esclusa

V(x>0)=V0

V(x<0)=0

Distanza di penetrazione x per una particella, r = 10 -6 m = 104 kg/m3 , v = 10 -2 m/sec, V0(x>0)=2K(x<0) V0-E=K=

Per particelle più massive e/o energie maggiori (tipiche dei casi della meccanica classica) la penetrazione diminuisce ancora

)(2

1

02 EVmkx

Gradino di PotenzialePrendiamo ora E>V0 e consideriamo separatamente l’eq per x positive e negative

Continuità della funzione d’onda in x=0

Continuità della derivata della funzione d’onda

Due (coppie di) onde con diverso impulso/lunghezza d’onda nelle due diverse regioni di potenziale.

Non c’è però ragione di considerare un onda che si propaga nella direzione delle x decrescenti per x>0 Quindi D=0

Gradino di Potenziale V(x>0)=V0

V(x<0)=0

Interpretiamo la soluzione trovata

onda piana che viaggia da -∞ verso 0 una che viaggia da 0 verso -∞ una che viaggia da 0 verso da 0 verso ∞

Onda incidente

Coefficiente di riflessione

Onda riflessa

Onda trasmessa

X<0 onda stazionaria (probabilità oscillante tra il valore di min e quello di max)X>0 onda viaggiante (probabilità costante su tutta la regione)

(Assumendo k1=2k2 ovvero → R=1/3)03

4VE

Barriera di potenziale

Le soluzioni nelle zone a potenziale nullo sono note

Per le usuali considerazioni si può assumere D=0

Per la zona all’interno della barriera invece bisogna considerare separatamente il Per la zona all’interno della barriera invece bisogna considerare separatamente il caso di E maggiore o minore di Vcaso di E maggiore o minore di V00

In entrambi i casi non si può assumere che In entrambi i casi non si può assumere che G=0G=0

La regione è limitata e quindi nessuno dei La regione è limitata e quindi nessuno dei due esponenziali esplode due esponenziali esplode in alcun limite

All’interfaccia All’interfaccia x=a si ha riflessione dell’onda si ha riflessione dell’onda e quindi occorre prevedere una e quindi occorre prevedere una componente che viaggia nella direzione componente che viaggia nella direzione delle delle x decrescenti decrescenti

Barriera di potenziale E<V0

Abbiamo 5 parametri da determinare usando le 4 relazioni di continuità (2 relazioni Abbiamo 5 parametri da determinare usando le 4 relazioni di continuità (2 relazioni per 2 interfacce). Rimane l’ultimo parametro (ad es. A) per la normalizzazioneper 2 interfacce). Rimane l’ultimo parametro (ad es. A) per la normalizzazione

Fino ad Fino ad x=ax=a la situazione è uguale al caso la situazione è uguale al caso del gradino di potenzialedel gradino di potenziale

Onda stazionaria a destra e funzione Onda stazionaria a destra e funzione esponenzialmente decrescente esponenzialmente decrescente oltrepassata l’origineoltrepassata l’origine

La novità è che dopo La novità è che dopo a torna ad esistere una onda che viaggia nella direzione delle x torna ad esistere una onda che viaggia nella direzione delle x crescenti con ampiezza che dipende dallo spessore della barriera di potenzialecrescenti con ampiezza che dipende dallo spessore della barriera di potenziale

Barriera di potenziale E>V0

Abbiamo onde viaggianti in tutte le regioni ma all’interno della barriera la lunghezza Abbiamo onde viaggianti in tutte le regioni ma all’interno della barriera la lunghezza d’onda aumenta ovvero la velocità diminuisced’onda aumenta ovvero la velocità diminuisce

92 2

0 amV

Potenziale a gradino

In entrambi i casi la riflessione tende a uno per In entrambi i casi la riflessione tende a uno per E/V0 → 0 e a zero per E/V0 → ∞

Ma per la barriera di potenziale si ha un passaggio più progressivo a causa dello spessore finito della zona classicamente esclusa che permette il tunneling di una parte dell’onda.

Inoltre si osservano oscillazioni dovute alla interferenza delle onde riflesse alle due interfacce della barriera (lo stesso vale anche per la parte trasmessa)

Barriera di potenziale

Il caso del potenziale a gradino corrisponde al limite della barriera di potenziale di Il caso del potenziale a gradino corrisponde al limite della barriera di potenziale di larghezza infinitalarghezza infinita

Fenomeni di tunneling attraverso barriere di energia sono frequenti.Fenomeni di tunneling attraverso barriere di energia sono frequenti.

La riflessione totale frustrata alla doppia interfaccia di due mezzi è l’analogo classico La riflessione totale frustrata alla doppia interfaccia di due mezzi è l’analogo classico del tunneling di particelledel tunneling di particelle

Ma il tunnelling attraverso una barriera di Ma il tunnelling attraverso una barriera di potenziale è anche all’origine di un paradosso potenziale è anche all’origine di un paradosso riguardo all’emissione di particelle nel riguardo all’emissione di particelle nel decadimento a di nuclei radioattividecadimento a di nuclei radioattivi. Dagli esperimenti di Rutherford si era determinato il potenziale nucleare con grande precisione. Però si osservava che nel decadimento a di di nuclei radioattivi l’energia della particella nuclei radioattivi l’energia della particella emessa era sensibilmente minore del emessa era sensibilmente minore del potenziale Coulombiano a distanze nucleari. La potenziale Coulombiano a distanze nucleari. La risposta sta nel tunneling quantistico attraverso risposta sta nel tunneling quantistico attraverso una barriera di potenziale.una barriera di potenziale.

Un altro esempio lo si può trovare Un altro esempio lo si può trovare nell’oscillazione della molecola di nell’oscillazione della molecola di Ammonia NHAmmonia NH33 tra le sue due tra le sue due

configurazioni configurazioni

Feynman, Leighton, and Sands, "The Feynman Lectures on Physics volume III chapter 9 "The Ammonia Maser."

La buca di potenziale

Classicamente la particella oscillerebbe tra le due pareti per un valore di energia (<V0) qualsiasi

Quantisticamente si comporta nella stessa maniera ma solo per dei valori discreti di energia (E<V0).

XImponendo le condizioni di continuità si determinano i coefficienti A,B,C,G. Ma sembrerebbe scomparire la costante di ampiezza arbitraria (normalizzazione). Ma non è così perché ora l’energia E non è più un parametro libero ma può assumere solo un set discreto di valori.

La buca di potenziale

I valori di energia E>V0 invece sono tutti permessi e danno onde propaganti come nei casi precedenti Le funzioni d’onda saranno del tipo riportato qui sotto. La onda deve essere stazionaria e questo impone che la lunghezza d’onda sia in relazione con la dimensione della buca (la penetrazione nella zona classicamente proibita entra anch’essa nel conto)

Quanto più profonda sarà la buca tanto minore sarà la penetrazione al di fuori

La buca infinita di potenziale

Imponiamo le condizioni di continuità sulla funzione d’onda ai due estremi della buca

Sommando e sottraendo perveniamo alle due relazioni.

Entrambe devono essere soddisfatte. Possiamo imporre che una tra A e B sia nulla e che k soddisfi l’altra

n=1,3,5, …

n=2,4,6, …

E0=0 non è permesso dal principio di indeterminazione. a

npp

ax

n

22

Oscillatore armonico semplice

• Potenziale continuo• Vastissima applicazione• Insieme al potenziale Coulombiano copre

una gamma vastissima di fenomeni fisici• Tutte le piccole vibrazioni intorno ad una

posizione di equilibrio• Ogni potenziale dotato di minimo può

essere approssimato per piccole oscillazioni da un oscillatore armonico

Oscillatore armonico semplice

• Classicamente frequenza

• Classicamente energia (x0 ampiezza)

m

k

2

1

2

202

1 kxE

2

2

1)( kxxV

• Quantisticamente energia

• Funzioni d’onda

)21( nEn

Energia di punto zero

n Autofunzioni

22 xmk

u

22

)(u

nnn euHA