Popolazioni

Giambattista SalinariDipartimento di Statistica di Firenze

Una popolazione è un processo che si sviluppa nel tempo sotto l’azione degli eventi elementari delle popolazioni: nascite, decessi, immigrazioni ed emigrazioni.

Tem

po

Tempo

Età

Ingresso

Uscita

Traiettoriaindividuale

Gli individui di una popolazione possono essere rappresentati come linee su un diagramma che abbia in ascissa il tempo (ad es. Anni) e in ordinata l’età. La demografia considera dunque gli individui come delle traiettorie comprese fra iun momento d’ingresso e un momento d’uscita .

Età

Tempot t+1

Unione

Intersezione

Differenza Pt e PsDifferenza Ps e Pt

Insieme di individui che appartengono all’insieme Ps, ma non a Pt. Si tratta dell’insieme delle Uscite avvenute fra gli istante s e t.

Insieme di individui che appartengono a Pt ma non a Ps. SI tratta degli Ingressi verificatesi fra s e t.

Insieme di individui che appartengono simultaneamente a Ps e a Pt. Si tratta dell’insieme dei Sopravviventi nell’arco temporale s-t.

Eventi elementari di una popolazione

Equazione fondamentale della popolazione

Poiché It e Ut sono disgiunti

(Fondamentale perché stabilisce la natura markoviana delle popolazioni)

Definizione di popolazione

Per ogni ingresso esiste un’uscita

Per ogni uscita esiste un ingresso

Se una traiettoria passa per r e per t allora è più probabile che sia passata anche per s piuttosto che non lo sia, se r<s<t

MF

MF

MF

MF

Individui CaratteriStrutturaLa struttura è un’applicazione che collega gli individui di una popolazione a certe loro caratteristiche

CelibeSposato

CelibeSposato

Gli eventi sono dei cambiamenti che occorrono nella struttura di una popolazione

CelibeSposato

CelibeSposato

Coorte = Insieme di individui che hanno subito nel medesimo intervallo temporale uno stesso evento (ad esempio tutti coloro che si sono sposati nel 1997)

Generazione = insieme di tutti coloro che hanno subito l’evento elementare nascita in un dato anno (una generazione è un particolare tipo di coorte).

S(t+1)|S(t) Celibe Sposato Divorziato Vedovo

Celibe p_11 p_12 0 0

Sposato 0 p_22 p_23 p_24

Divorziato 0 p_32 p_33 0

Vedovo 0 p_42 0 p_44

Matrice di transizione o matrice degli eventi

Stati di partenza (t)

Stati di arrivo

Probabilità primo matrimonio

Probabilità divorzio

Un celibe non può diventare vedovo

Un coniugato non può ritornare celibe

Rappresentazione della matrice di transizione attaverso un grafo

Celibe Sposato Divorziato Vedovo

Lo stato “celibe” si dice transitorio perché una volta abbandonato non esite nessun tragitto che vi ritorni

Gli stati “sposato”, “divorziato”, “vedovo” si dicono ricorrenti perché una volta abbandonati esistono dei tragitti che vi riportano.

Eventi come il matrimonio, il divorzio o il diventar vedovi si dicono rinnovabili perché riguardano stati ricorrenti

S_t+1|S_t 0 figli 1 figlio 2 figli >2 figli

0 figli p_11 p_12 0 0

1 figlio 0 p_22 p_23 0

2 figli 0 0 p_33 p_34

> 2 figli 0 0 0 1

Matrice di transizione realtiva alla parità.

0 1 2 >2

Gli stati 1, 2, 3 sono transitori (perché una volta usciti non vi si ritorna più)

Lo stato “>2” è uno stato assorbente perché una volta entrati in questo stato non si può più uscire

L’evento “cambiamento di parità” è dunque un evento non-rinnovabile perché nessuno degli stati è ricorrente.

Tempo

Età

t_1 t_2 t_3

e_2

t_0

e_1

e_0

Traiettorie individuali

Gli eventi possono essere descritti in relazione alla loro intensità o in relazione alla loro cadenza

Tempo

Età

t_1 t_2 t_3

e_2

t_0

e_1

e_0

Traiettorie individuali

Eventi non-rinnovabili

Eventi rinnovabili