Pile di sabbia e dune del deserto

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Pile di sabbia e dune del deserto: materia granulare e matematica di Stefano Finzi Vita La materia granulare: interesse e applicazioni Se pensiamo ai materiali che in natura si presentano come agglomerati di parti- celle, ci vengono in mente diversi esempi: ovviamente la sabbia, che possiamo considerare come il prototipo della famiglia, ma anche il terriccio, la ghiaia, per- fino la neve fresca in particolari condizioni. Ma è facile trovare molti altri interes- santi esempi di materiali di questo tipo come prodotti dell’industria: alimentare (zucchero, cereali, caffè in grani), farmaceutica (pillole) o chimica (certi materia- li plastici isolanti) (Fig.1). Fig. 1. Esempi d i materiali granulari: caffè, polistirolo, zucchero, pillole, terriccio, neve fresca Interno Matematica e cultura:Matematica e Cultura 23/12/09 16:32 Pagina 155 (Nero pellicola)

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Pile di sabbia e dune del deserto: materia granulare e matematicadi Stefano Finzi Vita

La materia granulare: interesse e applicazioni

Se pensiamo ai materiali che in natura si presentano come agglomerati di parti-celle, ci vengono in mente diversi esempi: ovviamente la sabbia, che possiamoconsiderare come il prototipo della famiglia, ma anche il terriccio, la ghiaia, per-fino la neve fresca in particolari condizioni. Ma è facile trovare molti altri interes-santi esempi di materiali di questo tipo come prodotti dell’industria: alimentare(zucchero, cereali, caffè in grani), farmaceutica (pillole) o chimica (certi materia-li plastici isolanti) (Fig.1).

Fig. 1. Esempi di materiali granulari:caffè, polistirolo,zucchero, pillole,terriccio, neve fresca

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Fig. 2. La sabbia: un’immagine da molto vicino (Credit: NASA)

È quindi chiaro che conoscere bene le proprietà fondamentali e il comporta-mento di tali materiali può avere ovvie ricadute in tutti questi ambiti: nei pro-grammi di salvaguardia ambientale, per la previsione di delicati fenomeni natu-rali come la migrazione delle dune, i processi di erosione o deposizione comefrane e valanghe, e nei processi industriali, dove tali materiali vanno prodotti, tra-sportati e immagazzinati in maniera ottimale e controllata.

Le prime ricerche nel campo risalgono a scienziati illustri (Eulero, Faraday,Reynolds, Coulomb). Rimaste poi a lungo tema di interesse esclusivo degli inge-gneri, solo in anni recenti hanno riattirato l’attenzione dei fisici e, ultimamente,anche dei matematici. Il fatto è che un materiale granulare può essere considera-to come un esempio significativo dei cosiddetti sistemi complessi. Si pensi che ariposo ogni granello interagisca con altri granelli vicini, in genere tra i cinque e inove (Fig.2). Quando invece è in moto le interazioni diminuiscono leggermente(da tre a cinque granelli soltanto), ma ovviamente i granelli coinvolti cambiano dicontinuo. Nemmeno un supercomputer potrebbe tenere traccia di tutte questeinterazioni.

Nel 1988 alcuni fisici introdussero la cosiddetta teoria dei Sistemi Critici Auto-Organizzati (Self-Organized Critical Systems, [1]) per descrivere grandi sistemidinamici interattivi che evolvono naturalmente verso uno stato critico in cuianche un piccolo evento può innescare una reazione a catena in grado di coinvol-gere intere regioni del sistema. La sabbia fu presa come possibile rappresentantedi questi sistemi in cui il comportamento macroscopico dipende dalla totalitàorganizzata di tutti i suoi componenti, piuttosto che dalla semplice somma di essi,e in cui esistono molti equilibri attrattori della dinamica anche se solo debolmen-te stabili. Questo ne fece l’oggetto di studi scientifici miranti a determinaremodelli matematici in grado di riprodurne il comportamento. Una teoria similesi rivelava affascinante perché applicabile a contesti anche molto diversi tra loro:l’attività solare, l’emissione di luce delle galassie, le piene dei fiumi, i fenomeni ditraffico, i movimenti tellurici in una zona sismica, la stabilità dei mercati finan-

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ziari, lo stesso comportamento delle organizzazioni sociali avevano caratteristi-che comuni. In particolare per esempio tutti questi fenomeni obbediscono allacosiddetta legge di elevamento a potenza: la frequenza media di un evento di unacerta ampiezza risulta inversamente proporzionale a una determinata potenzadell’ampiezza stessa. Per esempio se si considera una pila di sabbia che si sta for-mando per gravità da una sorgente, si osservano sulla sua superficie tantissimepiccole valanghe, spesso costituite da pochi granelli e, solo molto più raramente,fenomeni di cedimento di intere porzioni dei versanti della pila che ne modifica-no sostanzialmente il profilo. Analogamente, in zone sismiche il numero di terre-moti di una certa energia è inversamente proporzionale a una potenza dell’ener-gia stessa, tante piccole scosse di assestamento convivono con pochi grandi even-ti realmente distruttivi. Si arrivò anche a leggere il crollo del Comunismo e delmuro di Berlino del 1989 come un evento di questo tipo, preceduto da tanti pic-coli sconvolgimenti in giro per l’Europa che non erano stati in grado fino ad allo-ra di minare la stabilità internazionale conseguenza della Guerra Fredda. Eccoallora il fascino di sistemi in cui l’ordine e il disordine non sono eventi così total-mente separati, ma convivono. È il cosiddetto orlo del caos, il confine tra lo statosolido dell’ordine e della stabilità e quello fluido del disordine e del cambiamen-to. Solo da questa sottile linea di confine può nascere qualcosa di nuovo. L’eccessodi ordine porta alla fossilizzazione, alla stasi. D’altra parte una continua ricercadella novità, il disordine assoluto conducono all’anarchia e alla distruzione. Lavita è in realtà nell’equilibrio dinamico tra le due tendenze, nella convivenza travecchio e nuovo, continuità e discontinuità. Si è detto che occorre rovesciare ilpunto di vista della fisica classica newtoniana, che ci ha abituato a considerarel’ordine e la stabilità come gli stati verso cui tendono tutti i sistemi. Qualcuno èarrivato a citare perfino Nietzsche: “Solo un enorme caos dentro di noi può gene-rare una stella danzante”.

In seguito si è capito che la sabbia non obbediva esattamente alla legge di ele-vamento a potenza, ma intanto le ricerche sui materiali granulari costituivanoormai un settore consolidato di frontiera della fisica moderna.

Ma proviamo a dare una definizione della materia granulare e a descriverealcune sue caratteristiche. Su Wikipedia troviamo per esempio:

La materia granulare è un insieme di particelle solide, di dimensioni maggio-ri di 1 μm, sufficienti a non renderle soggette a fluttuazioni o moti termici.

Al di sotto di un micron le particelle avrebbero caratteristiche colloidali. Non esi-ste invece un limite alla dimensione superiore: anche dei blocchi di ghiaccio in uniceberg o dei massi lungo il versante di una montagna sono esempi di materialigranulari. Il comportamento di un materiale suddiviso in granelli è in effettimolto diverso da quello di un solido o di un liquido. Quando l’energia di un insie-

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me di granuli è bassa questi sono immobili e il loro insieme si comporta come unsolido. Acquisendo energia (per esempio agitando il contenitore) i granuli comin-ceranno a scorrere fra di loro come un fluido, ma dissipando tale energia rapida-mente: il moto cesserà immediatamente appena si cessa di fornire energia. Sipensi per esempio a un autocarro che scarichi un carico di ghiaia: fino a una certapendenza del pianale la ghiaia resterà praticamente a riposo, quasi fosse un mate-riale coerente e omogeneo. Poi, all’improvviso, si rovescerà velocemente al suoloin un flusso violento e tumultuoso che altrettanto rapidamente si fermerà ricosti-tuendo una pila compatta a riposo.

Un’altra evidente differenza con i fluidi riguarda il comportamento nello stoc-caggio. Un fluido non ha in genere una forma propria ma tende ad acquisire quelladel contenitore, e in equilibrio la sua superficie tende ad assumere una conforma-zione uniforme e orizzontale. Al contrario la disposizione di un materiale granula-re in un recipiente dipenderà fortemente dal modo in cui questo è stato riempito oda eventuali successive sollecitazioni a cui è stato sottoposto, in una molteplicità dipossibili stati di equilibrio. Inoltre, al contrario di un fluido, la pressione esercitataa varie profondità da un materiale granulare non segue un andamento lineare, per-ché parte della spinta si scarica sulle pareti. Non tenerne conto nella progettazionedei silos può per esempio condurre a drammatici cedimenti strutturali.

Se insomma a livello microscopico la meccanica classica è sufficiente a descri-vere il comportamento e le interazioni tra i singoli granelli, a scale più grandi (ilivelli mesoscopico e macroscopico) compaiono nuovi e interessanti fenomeni,alcuni non del tutto compresi, e che nessun modello è finora in grado di riprodur-re completamente: metastabilità, valanghe, formazione di patterns e segregazione.

L’effetto “noci del Brasile”

Prendiamo l’esempio di una mistura granulare. Questi composti trovano notevoliapplicazioni nell’edilizia e nell’industria farmaceutica e alimentare. Una mistura gra-nulare può demiscelarsi in seguito alle sollecitazioni a cui viene sottoposto il conteni-tore, dando luogo al cosiddetto processo di segregazione, molto temuto perché alterasensibilmente le caratteristiche generali del prodotto. Particolarmente noto è il feno-meno conosciuto come Brazil Nut Effect, scoperto intorno al 1930: particelle in uncontenitore cilindrico o rettangolare posto in agitazione segregano in modo che quel-le più grandi si concentrano verso l’alto. Prende il nome dalle noci del Brasile (Fig.3),che in una mistura di frutta secca costituiscono di fatto quelle più grandi.

A volte è indicato anche come Muesli Effect, perché in una scatola di cerealiassortiti per la prima colazione è facile trovare in superficie proprio i pezzi piùgrossi. Che cos’è dunque che provoca, sfuggendo all’intuizione, la “risalita” insuperficie delle particelle più grandi? Il fenomeno non è chiarito in tutti i suoi

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Fig. 3. Noci del Brasile

aspetti, si sa solo che varia in funzione della taglia e densità delle diverse particel-le, della pressione del gas (in genere l’aria) tra di esse, della forma del contenito-re e dell’ampiezza e frequenza delle vibrazioni a cui esso è sottoposto. Due sonole principali spiegazioni:- durante il processo di agitazione del contenitore le particelle più piccole pos-

sono facilmente cadere negli spazi creatisi tra quelle più grandi, così che neltempo queste ultime risalgono verso la superficie. In altre parole il centro dimassa del sistema non è in genere quello ottimale, e in seguito all’agitazionedel contenitore tende ad abbassarsi.

- con l’agitazione si crea nella mistura delle particelle un flusso convettivo che lesolleva al centro fino alla superficie e le riporta giù lungo le pareti (lo stesso motoche si crea per esempio in una pentola d’acqua che bolle nella cottura degli spa-ghetti). Le particelle più grandi che arrivano in cima non riescono però facilmen-te a ridiscendere e rimangono intrappolate in superficie perché lungo le pareti, adifferenza di quanto avviene per l’acqua che bolle, le correnti sono più ristrette.Tutto chiaro? No, perché in alcune situazioni il fenomeno non si produce, o

addirittura si verifica il contrario, il Reverse Brazil Nut Effect, con le particelle piùgrandi concentrate sul fondo: è il caso per esempio di una mistura in un conteni-tore di forma conica anziché cilindrica.

La crescita di una pila di sabbia su di una tavola

Ma torniamo alla sabbia. La sabbia è come detto il prototipo del materiale granu-lare. In geologia indica in realtà una precisa classe granulometrica: è sabbia quel-

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Fig. 4. Crescita di una pila di sabbia e contatto col bordo

la formata da granuli di dimensioni comprese tra 0,06 mm e 2 mm. Particelle piùpiccole rientrano nella categoria della polvere, quelle più grandi si definisconociottoli o blocchi.

Si forma prevalentemente per erosione di rocce sedimentarie preesistenti: lasua composizione dipenderà quindi dalle rocce che l’hanno generata e dal bacinoidrografico di provenienza. Nel trasporto i granelli sono soggetti ad abrasionenell’impatto tra loro e tendono ad arrotondare gli spigoli del loro bordo. Quindiun granello ben arrotondato ha probabilmente viaggiato molto, mentre uno irre-golare si sarà mosso solo localmente. I granelli di un campione possono averetutti circa la stessa dimensione, o anche taglie molto diverse tra loro, e questodipenderà anche dal fluido che li ha trasportati, vento, acqua o ghiaccio.

Un fenomeno apparentemente semplice da studiare è quello della crescita di unapila di sabbia su di una tavola aperta. Supporremo la presenza di una sorgente verti-cale f di piccola intensità (di modo che i granelli non formino crateri o rimbalzino) inassenza di vento, che la sabbia sia uniforme, e che la tavola Ω sia limitata e inizialmen-te vuota. Succede allora che i granelli si accumulano formando pile sostanzialmenteconiche, la cui pendenza caratteristica g dipende dal materiale (sabbia più o menoasciutta, taglia media dei granelli, ecc.). Tale pendenza critica corrisponde alla tangen-te dell’angolo di riposo a (detto anche in edilizia angolo di natural declivio) (Fig. 4). Auna osservazione più attenta nella pila si possono distinguere due strati differenti: igranelli che cadono vengono direttamente incorporati nella pila, andando a formareil cosiddetto strato a riposo, oppure, se nel punto di caduta la pendenza ha raggiuntoil valore critico g, rotolano lungo il pendio formando uno strato rotolante che contri-buisce ad allargare la base. La pila quindi cresce e si allarga fino a raggiungere il bordoin qualche punto. In quell’istante la crescita allora sostanzialmente si ferma (si è rag-giunto uno stato di equilibrio): tutta la sabbia proveniente in seguito dalla sorgenterotolerà lungo il pendio nella direzione del punto di contatto e da lì cadrà dalla tavo-

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Fig. 5. Esempi di insiemi singolari per diverse forme della tavola

la (Fig. 4). Per capirne la ragione si può dire che la pila “sente” il contatto col bordo: acausa di questo il vertice del cono di sabbia si sposta impercettibilmente nella direzio-ne opposta creando di fatto una corsia preferenziale di uscita per tutta la nuova sab-bia che arriva. Solo a una scala temporale molto più lunga si può immaginare che lasabbia continui ad accumularsi anche nelle altre direzioni.

I modelli matematici

Cominciamo col chiederci quale sia il profilo della più grande pila che si possaformare su di una tavola di forma assegnata: si trova una sua espressione mate-matica abbastanza semplice, è la funzione

u*(x)= g d(x),

dove d(x) indica la distanza di ogni punto x dal bordo della tavola e g è il già cita-to valore della pendenza caratteristica. È chiaramente un equilibrio, e dipendesolo dalla geometria della tavola e non dalla intensità della sorgente. Tale funzio-ne avrà un insieme singolare S formato dai punti dove si verifica un salto di pen-denza, cioè dove la funzione non è differenziabile. In geometria tale insieme Sviene a volte indicato come il cut locus del bordo di Ω e coincide con l’insieme deipunti che non hanno proiezione unica sul bordo. L’immagine di tale insieme,detto il ridge della funzione u*, è costituito dalle curve i cui punti sono di fattomassimi locali in almeno una dimensione. Corrisponde a quello che con linguag-gio intuitivo chiamiamo cresta o crinale della pila. In (Fig. 5) compaiono variesempi di insiemi singolari relativi a diverse forme di tavola.

Non esistono modelli universalmente accettati per la materia granulare, anche

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se in letteratura sono stati proposti numerosi approcci (che usano tecniche mate-matiche diverse) in grado di simulare fenomeni almeno qualitativamente “vicini”a quelli reali:- modelli discreti di tipo combinatorio (basati sulla teoria degli automi cellulari),- modelli di meccanica statistica (basati su metodi alle particelle),- modelli differenziali continui (basati sulle equazioni alle derivate parziali).

Tra questi ultimi, per descrivere la crescita di una pila di sabbia sono stati uti-lizzati:- modelli variazionali: ammettono rotolamento solo a pendenza critica; sono

adatti a descrivere grandi pile o fenomeni visti da una certa distanza (dove iparticolari sono trascurabili) [scala spazio-temporale lunga];

- modelli a doppio strato: descrivono lo scambio nel tempo tra i due strati,anche a pendenza sottocritica; adatti a descrivere processi veloci e piccoli det-tagli [scala spazio-temporale breve].Qui ci limitiamo brevemente ad analizzare due modelli piuttosto studiati

anche se per il secondo la teoria matematica non è ancora completamente chiara(abbiamo assunto per semplicità g =1):

Un modello variazionale (Prigozhin, [2]): ∂tu- (vu) = f in ΩT=Ω x (0,T)|u| ≤ 1 , v=0 dove |u|<1 in ΩT (P)u=0 su ∂Ω , u(.,0)=0 in Ω

Un modello a doppio strato (Hadeler-Kuttler, [3]):∂tv = (vu) - (1-|u|)v + f in ΩT

∂tu = (1-|u|)v in ΩT (HK)u=0 su ∂Ω , u(.,0)=0 in Ω

I due modelli hanno differenti dinamiche, e quindi in genere evolvono in mododiverso nel tempo (come si usa dire hanno cioè un diverso comportamento asin-totico), ma hanno formalmente le stesse configurazioni di equilibrio, che è possi-bile caratterizzare matematicamente. In [4] si è infatti dimostrato recentemente ilseguente risultato:

EsistenzaUna soluzione di equilibrio per entrambi i modelli è data dalla coppia (d,v*), dovev* è esprimibile esplicitamente in forma integrale e si annulla sull’insieme S.

Quasi unicitàPer ogni altro equilibrio (U,V) si avrà V=v*, mentre U=u*=d nelle regioni dove V≥ 0 e potrà avere un profilo sottocritico altrove.

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Due sono allora in pratica i casi possibili:1. se il supporto della sorgente (cioè la regione della tavola dove cade sabbia) con-

tiene l’insieme S, entrambi i modelli tendono all’equilibrio massimale (d,v*).2. In caso contrario si ottengono equilibri differenti (a parità di strato rotolan-

te!). Per il modello (P): U = u, l’equilibrio minimo. È la funzione che si ottieneper sovrapposizione di tutti i coni centrati nei punti del supporto della sor-gente. Per il modello (HK) invece U > u, ed è caratterizzabile solo numerica-mente [5] (Fig. 6).È interessante notare che se cambiamo anche solo di poco il problema suppo-

nendo che il bordo della tavola sia in parte ostruito da pareti verticali (tavola par-zialmente aperta), le cose possono cambiare notevolmente. Si intuisce che la pilasi accumulerà lungo le pareti e scaricherà sabbia attraverso la regione aperta delbordo. Il profilo massimale coinciderà quindi con la funzione distanza da que-st’ultima regione. Ma la situazione è decisamente più complicata perché i punti diestremo delle pareti possono creare singolarità e discontinuità nello strato roto-lante, visto che vi si incontrano infiniti raggi di trasporto convergenti (si veda peresempio [6], dove sono anche presenti i risultati di simulazioni numeriche).

La dinamica delle dune

Abbiamo visto come la sabbia si accumula e si organizza sotto l’effetto della solaforza di gravità. Come cambia la dinamica se si tiene anche conto del vento?Spostiamoci nel deserto e proviamo ad analizzare le dune, colline di sabbiamodellate dai venti e quindi soggette a continui spostamenti e ridimensionamen-

Fig. 6. Due equilibri per la stessa sorgente: modello (P) (a sinistra), modello (HK) (a destra)

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Fig. 7. Foto di dune su Marte (credit: NASA, sonda Odyssey, 2001)

Fig. 8. R.A. Bagnold

ti dipendenti appunto dalla direzione e forza del vento. Grandi distese desertichesono presenti un po’ ovunque nel mondo, in Marocco, Libia, Egitto, Namibia, maanche in California, Nevada, Brasile, Perù. È quindi importante comprendere ilcomportamento delle dune, e cercare di ottenere modelli matematici adeguati.

Le possibili applicazioni vanno dalla previsione delle tempeste di sabbia allaprevenzione dalle ostruzioni di vie di comunicazione o centri abitati, dallo studiodei fondali sabbiosi di fiumi e coste alla ricerca spaziale (sulla superficie di Marteci sono moltissime dune, e anche se l’atmosfera è diversa, la fisica che regola i gra-nelli è la stessa (Fig. 7)).

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Un pioniere della ricerca sulla dinamica delle dune è stato senza dubbio RalphAlger Bagnold (1896-1990), ingegnere dell’esercito britannico, che tra le due guer-re aveva esplorato a fondo i deserti del nord Africa e dell’India (Fig. 8). Tornato inpatria, condusse esperimenti nella galleria del vento e pubblicò il libro The Physicsof Blown Sand and Desert Dunes [7] (uscito nel 1941 in pieno conflitto, e ripubbli-cato con ben maggiore diffusione nel 1954), considerato ancora oggi un testo fon-damentale, usato perfino dalla Nasa per le esplorazioni di Marte. Allo scoppio dellaseconda guerra mondiale fu richiamato alle armi e, trovatosi per caso col suoreparto in Egitto, propose ai suoi comandi di organizzare un reparto mobile chepotesse condurre nel deserto azioni di spionaggio e pirateria nei confronti delletruppe italiane e tedesche. Grazie alla sua esperienza e a veicoli appositamentemodificati per potersi spostare velocemente anche sulle dune, nacque così il LongRange Desert Group, che si rivelò una spina nel fianco per gli eserciti dell’Asse.

Come avviene dunque il moto della sabbia sotto l’azione del vento? Nel librodi Bagnold si studia come la sabbia è raccolta, trasportata e accumulata dal ventosu di una superficie piana. I granelli trasportati dal vento cadendo urtano altrigranelli provocandone il sollevamento (saltation), in genere con lo stesso angolodi incidenza. Se il vento è sostenuto (al di sopra di una soglia critica), questo pro-cesso si autoalimenta creando un flusso di sabbia che viaggia a pochi centimetridalla superficie. Se la sabbia è disomogenea, gli urti possono anche provocare unmovimento superficiale dei granelli più grossi non in grado di sollevarsi (surfacecreep o reptation) (Fig. 9).

Tutto questo avviene sul versante controvento di una duna. La sabbia trasporta-ta arriva fino alla cresta e quindi ricade per gravità nell’altro versante, con un pro-cesso di accumulo simile a quello visto per le pile di sabbia. In genere quando sulversante sottovento di una duna la pendenza supera il cosiddetto angolo statico, trai 32 e i 35 gradi, si produrrà una valanga. Il conseguente flusso superficiale si arre-

Fig. 9. Il moto della sabbia sotto l’azione del vento (da [7])

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Fig. 10. Disegno schematico di alcune possibili forme di dune: a duomo, barcana, transversa,lineare, stellata, a network

sterà appena la pendenza scenderà al di sotto di un secondo angolo (detto dinami-co o di riposo), tra i 30 e i 32 gradi.

Tutto questo spiega perché salire su di una duna può essere molto difficile. Sullato controvento la sabbia è compatta, i granelli sono ben compressi e quindi si puòcamminare. Invece sul lato opposto, sottovento, i granelli vengono accumulati cao-ticamente con molti spazi tra gli uni e gli altri e quindi si affonda inesorabilmente.

Non tutte le dune sono uguali. Possono essere immobili (se fossilizzate) omobili, quando il vento supera una velocità di soglia (circa 4 m/s). La loro veloci-tà è in genere inversamente proporzionale alla loro altezza, ma non supera pochedecine di metri per anno. A volte sono isolate, altre volte riunite in veri mari didune, grandi anche centinaia di chilometri quadrati. La loro forma dipende dallavariabilità del vento in intensità e direzione e dalla disponibilità di sabbia. Esistonoper esempio dune barcane, longitudinali, transverse, lineari, stellate, (Fig. 10).

Le più semplici sono le dune barcane, a forma di mezzaluna, che si formano e sispostano, in presenza di scarsa disponibilità di sabbia, sotto l’azione unidirezionaledel vento. Dove batte, questo solleva e trasporta la sabbia verso la cima, mentre sot-tovento la duna frana. Le barcane più piccole corrono anche alcuni metri al giorno,quelle grandi si spostano visibilmente solo nel corso di anni o decenni (Fig. 11).

Il fatto di avere un’unica direzione del vento semplifica la modellizzazionematematica del processo di avanzamento di una barcana. Schematizzando, sul latosottovento avvengono processi di erosione e trasporto dei granelli, di deposizionesu quello controvento, processi modellizzabili separatamente. In questo modoperò la cresta, cioè il confine tra i due versanti, si sposta. È quindi chiaro che unmodello matematico deve essere in grado di descrivere nel tempo non solo l’evo-

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Fig. 11. Forma di una barcana (da [7])

luzione del profilo della duna ma anche la posizione della cresta stessa. L’obiettivodi molte ricerche in corso è quello di caratterizzare il moto delle dune e delle valan-ghe in particolare attraverso modelli di equazioni alle derivate parziali in grado ditener conto contemporaneamente della viscosità del materiale, della turbolenzadel vento, del diametro dei granelli e della gravità. Un approccio comunementeusato è per esempio quello di Herrmann, Kroy e Sauermann [8], basato sul seguen-te schema iterativo:1. Dato un profilo della duna se ne calcola la relativa sollecitazione di taglio

(shear stress) attraverso un modello per il flusso del vento (per esempio quel-lo di Jackson-Hunt).

2. A partire dalla sollecitazione di taglio si calcola il flusso superficiale di sabbia,usando per esempio le formule di Bagnold o altre sviluppate più di recente.

3. Dal flusso di sabbia si ricava un nuovo profilo mediante la legge di conserva-zione della massa.

4. Nel nuovo profilo viene trattato il versante sottovento affinché non si superil’angolo di riposo (con modelli di doppio strato tipo BCRE o simili).Non si conoscono invece ancora dei modelli differenziali di tipo macroscopi-

co in grado di riassumere in forma chiusa tutte e quattro queste fasi contempora-neamente.

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Fig. 12. Barcane del deserto di Tourine, Mauritania

Le dune “cantano”!

Quando l’uomo cavalca di notte per quel deserto [...] molte volte ode istormenti in aria e propriamente tamburi

Marco Polo, Il Milione, 1300 ca

Su di una grande duna, nel silenzio del deserto, può capitare di sentire la monta-gna di sabbia gemere, o persino produrre un rumore simile a quello di un’orche-stra di tamburi o di corni o a quello di un autotreno in corsa. Il fenomeno si trovadescritto per la prima volta in un manoscritto cinese del nono secolo e come vistofu registrato da Marco Polo durante i suoi viaggi. Si è a lungo pensato che il suono(fino a 100-105 db, udibile anche a diversi chilometri di distanza) dipendesse dalforte vento del deserto. Studi recenti hanno invece dimostrato che esso è dovutoalle vibrazioni del letto di sabbia provocate dalle collisioni sincronizzate dei gra-nelli di una stessa duna causate da una valanga. In pratica le collisioni all’internodella valanga creano onde elastiche di superficie e quest’ultime a loro volta sonoin grado di sincronizzare le collisioni dei granelli. Perché si produca il suono ser-vono però determinate condizioni. Le dune più grandi cantano quasi tutto iltempo in quanto la loro superficie diventa molto calda e quindi asciutta (specienel pomeriggio). Altre, per esempio le barcane del Sahara marocchino, cantanosolo se il sole riesce ad asciugarle bene in superficie, e la cosa riesce tanto più dif-

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ficile quanto più la duna è piccola. Altre ancora non cantano mai. Si è scoperto chei granelli in grado di produrre suono sono in genere ricoperti da uno strato carat-teristico di gel di silicio, che si forma durante i cicli di umidificazione e susse-guente asciugatura della duna. Quando questo strato si deteriora (in seguito aicontinui urti tra i granelli) le dune smettono di cantare. Nonostante queste sco-perte e le ricerche in corso (vedi), nessuno è stato finora in grado di produrre arti-ficialmente sabbia in grado di “cantare”. Per maggiori informazioni al riguardo sipuò consultare il sito del Laboratorio di Fisica e Meccanica degli ambienti etero-genei del CNRS di Parigi (http://www.pmmh.espci.fr/~andreotti).

Conclusioni

Esiste una sterminata letteratura su questi e altri fenomeni legati ai materiali gra-nulari, per lo più in ambito fisico. Sono relativamente pochi invece i lavori ditaglio matematico al riguardo, ma l’interesse sta crescendo dato che diversi pro-blemi interessanti da studiare rivelano legami anche con altri campi d’attualitàdella ricerca matematica (per esempio il trasporto ottimo di massa, l’infinitoLaplaciano, l’evoluzione di fronti, le equazioni di Hamilton-Jacobi, ecc.). Modellialle derivate parziali molto simili si trovano poi in altre applicazioni: river net-works, magnetizzazione di semiconduttori, deformazione elastoplastica, ecc.

Un’esposizione divulgativa ma più approfondita da un punto di vista matema-tico ai modelli matematici per le pile di sabbia si può trovare in [9], insieme airisultati di alcune simulazioni numeriche.

In un’esposizione di collezioni strane che c’è stata di recente a Parigi, […] lavetrina della collezione di sabbia era la meno appariscente ma pure la piùmisteriosa, quella che sembrava aver più cose da dire, pur attraverso l’opacosilenzio imprigionato nel vetro delle ampolle.

(da Italo Calvino, Collezione di sabbia, 1984, incipit)

Bibliografia

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