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ELABORATO CON MENZIONE

DALL’ABACO ALL’ALGORITMO

Alunni: Matteo Adezati, Andrea Actis Caporale, Umberto Barella,

Simone Celano, Chiara D’Amico, Gianmattia Gandino, Fabio Mozzato,

Giulia Piazzano, Edoardo Rozzino, Alessandro Spanu, Giorgio Vaccarino

(Studenti della IV E dell’Istituto di Istruzione Superiore “Piero Martinetti”

di Caluso -Torino)

Referente: Prof. ssa Giuseppina Tarantino

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Sommario

1. Il mondo cristiano

1.1 L’arte dei numeri nel mondo cristiano: I numeri romani

1.2 L’abaco

1.3 Saper far di conto

1.4 Valore simbolico dei numeri

2. Il mondo arabo

2.1 La “Casa della Sapienza”

2.2 Muhammad ibn Musa al-Khawarismi

2.3 Il sistema di numerazione posizionale

2.4 L’ALGEBRA

3. Un ponte tra la cultura cristiana e quella islamica: Papa Silvestro II

4. Il primo incontro tra il mondo arabo e quello cristiano

4.1 L’uomo più sapiente del mondo

4.2 L’abaco a colonne

5. Leonardo Fibonacci: il più grande matematico del suo tempo

5.1 “Liber abaci”

5.2 Algoritmi per la moltiplicazione

5.3 Sequenza Fibonacci

6. Le scuole di abaco

7. Abacisti e algoristi

8. Quod arabice “zephirum” appellatur: la cifra “zero”

APPENDICI

1) Il primo libro di matematica stampato al mondo 2) Una pagina del “Liber Abaci” – BIBLIOTECA NAZIONALE DI FIRENZE 3) Struttura del “Liber Abaci”

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1.IL MONDO CRISTIANO

Subito dopo la caduta dell'impero romano gran parte della matematica greca andò

persa. Molte biblioteche, come quella di Alessandria, andarono distrutte. Gli studiosi

cristiani non diedero importanza alla matematica nei loro lavori e, in alcuni casi,

parlarono anche contro di essa.

Nei primi secoli dopo la fine dell'Impero romano non ci fu quasi nessun progresso

nel sapere matematici anche se la matematica era insegnata nelle Università come

“arte liberale”.

Andrea Bonaiuti (1343 –1377), Arti liberali, Cappellone degli Spagnoli, Firenze

Nella facoltà di Filosofia venivano apprese le arti del “Trivio” (complesso delle

discipline liberali costituto da Grammatica, Retorica, Logica) e del Quadrivio

(complesso delle discipline scientifiche costituite da Matematica “pura”: Aritmetica

e Geometria e dalla Matematica “mista”: Musica e Astronomia, viste come loro

rispettive applicazioni).

La facoltà di Filosofia era la più importante per il numero di studenti che la

frequentavano, i quali dopo aver concluso i corsi, potevano proseguire gli studi in

una delle altre tre facoltà (Teologia, Diritto, Medicina).

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1.1 L’ARTE DEI NUMERI NEL MONDO CRISTIANO: I NUMERI ROMANI I romani per scrivere i numeri utilizzavano alcune lettere dell’alfabeto.

Presso i Romani il modo primitivo di contare era quello delle dita della mano: “I” un

dito, corrispondeva ad una unità; “V” la mano aperta e stilizzata, indicava cinque

unità;”X” due mani aperte, stilizzate, affiancate od opposte, significavano dieci

unità. La numerazione si perfezionò solo successivamente ed i numeri vennero

indicati con le lettere dell’alfabeto.

SISTEMA DI NUMERAZIONE ROMANO Il sistema di numerazione romano è un sistema a legge additiva cioè a ogni simbolo

è associato un valore e il numero rappresentato è dato dalla somma dei valori dei

simboli.

Esempio: “XX” = 10 + 10 = 20

“XV” = 10 + 5 = 15

“CL” = 100 + 50 = 150

La posizione di una cifra immediatamente a sinistra di un'altra di numero maggiore

va intesa in senso sottrattivo.

Esempio: “IV” = “ V” – “I” = 4

“IC” = “C” – “I” = 99

“XL” = “L” - “X” = 40

Il sistema di numerazione romano utilizzava i seguenti simboli

(con I corrispondenti valori nel sistema decimale)

I V X L C D M

1 5 10 50 100 500 1000

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OPERAZIONI CON I NUMERI ROMANI

Le operazioni con i numeri romani sono abbastanza semplici nei casi in cui

l'operazione si riduca a una semplice riscrittura dei simboli, come appare negli

esempi successivi:

• CXXI + CXII = CCXXXIII (121 + 112 = 233) addizione

• XVI + VII = XXIII (16 +7 = 23) addizione

• XVII – VI = XI (17 - 6 = 11) sottrazione

• CXII x II = CCXXIV (112 x 2 = 224) semplice moltiplicazione

Si complicano quando si deve operare con numeri in notazione sottrattiva:

• MCMXCVI + XIV = MCMXCXX = MCMCX = MMX. (1996 + 14 = 2010 = 2010 = 2010)

Nel Medioevo il sistema di numerazione romano venne modificato perché, essendo

ammessa la ripetizione di un simbolo per quattro volte, alcuni numeri risultavano

troppo lunghi.

Esempio: il numero “nove” si scriveva “VIIII” con la nuova notazione si scrive “IX” ( X – I ) Le nuove regole impongono che i tre simboli base I, X, C, M, possano essere ripetuti

al massimo tre volte e che i simboli V, L, D, non si ripetano mai.

Con queste regole il numero più alto che si può scrivere è 3999.

3999 = MMMCMXCIX (3000+900+90+9)

Il simbolo M non si può ripetere più di tre volte e non c'è nessun simbolo

fondamentale superiore a M.

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MOLTIPLICAZIONE PER POTENZE DI DIECI

Per risolvere il problema delle potenze di dieci e proseguire la numerazione, i

Romani usarono un accorgimento: con un trattino sopra il simbolo si moltiplicava

per 1.000 il valore del numero.

Se alla linea soprastante si aggiungono due trattini verticali ai fianchi del simbolo, il

suo valore originale viene moltiplicato per 100.000.

Se e si sovrappongono al simbolo con due trattini orizzontali il suo valore originale

viene moltiplicato per 1.000.000.

Numeri romani moltiplicati per 1.000. 100.000, 1.000.000

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LA MOLTIPLICAZIONE CON I NUMERI ROMANI

Pensiamo di voler calcolare il seguente prodotto: 18x25 Il calcolo inizia impostando due colonne di numeri, in testa alle quali si scrivono il

moltiplicando, in rosso e il moltiplicatore in blu; a sinistra e a destra, i valori

corrispondenti in notazione decimale.

Il moltiplicando viene diviso per due trascurando i decimali fino a ottenere il numero

1.

Il moltiplicatore viene moltiplicato per due ( fino al corrispondente moltiplicando

uguale a 1.

.

Il prodotto si ottiene sommando i moltiplicatori in posizione dispari sul

moltiplicando

Con numeri grandi il calcolo diventa molto difficile

Per eseguire calcoli con numeri grandi si usava l’abaco.

Moltiplicando Moltiplicatore

18 XVIII per XXV 25

9 IX L 50 +

4 IV C 100

2 II CC 200

1 I CD 400 +

XVIII per XXV CDL = 450

18x25= 450

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1.2 L’ABACO L'abaco, progenitore degli odierni pallottolieri, è uno dei più antichi strumenti di

calcolo utilizzato in Mesopotania (2000 aC.), in Egitto, in Persia in Grecia e presso

gli antichi romani ..Per calcolare, i popoli antichi si servivano dell’abaco, una

tavoletta di legno suddivisa in colonne sulle quali si ponevano dei sassolini, oppure

un supporto con alcune asticelle sulle quali si infilavano degli anellini.

Un abaco romano, quasi a grandezza naturale, conservato al Cabinet des

Médailles di Parigi. Una tavoletta calcolatrice nella quale alcune pedine mobili

scorrevano lungo linee parallele. Queste linee rappresentavano il valore

posizionale di ogni pedina.

Un abaco, nella sua forma più comune, è costituito da una serie di guide (fili,

scanalature, ...) parallele, che convenzionalmente indicano le unità, le decine, le

centinaia e così via. Lungo ogni guida possono essere spostate delle pietruzze, dette

calcoli, da cui il termine moderno di accezione matematica, o altri oggetti mobili per

eseguire le operazioni aritmetiche.

Il funzionamento si basa sempre sul principio fondamentale che il valore di una

configurazione di “calculi “ dipende dal posto che occupa , ossia dalla guida su cui è

posizionata. Cioè le pietruzze su linee diverse indicano grandezze di ordine diverso,

anche frazionarie. Tale principio sarà poi alla base di ogni sistema di numerazione

posizionale.

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1.3 SAPER FAR DI CONTO

Le nozioni matematiche studiate impartite dal maestro “calculator”, nelle scuole di

abaco, riguardavano soprattutto l’agrimensura e avevano lo scopo di preparare gli

studenti alle attività commerciali, artistiche o mercantili.

Miniatura di una bottega di commercio medievale

1.4 VALORE SIMBOLICO DEI NUMERI Nel Medioevo i numeri non servivano tanto a misurare quanto a stabilire

corrispondenze simboliche tra microcosmo e macrocosmo; quattro sono gli

elementi della natura (aria, acqua, terra e fuoco), quattro gli elementi del corpo

umano (carne, sangue, respiro, calore).

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I numeri della Divina Commedia

Dante era molto attento al valore dei numeri, non come semplice gioco aritmetico

ma come evidenza della razionalità del Cosmo, pensato e voluto dal Creatore.

Il numero “1” Il numero “1” rappresenta Dio, il principio primo, l'origine di tutte le cose.

Il numero “3” 3 è il numero della Trinità; 3 sono i libri; 33 le cantiche come gli anni di Gesù.

Il numero “6” Il 6 è un numero perfetto di per sé, e non perché Dio ha creato il mondo in sei giorni;

piuttosto è vero il contrario. Dio ha creato il mondo in sei giorni perché questo

numero è perfetto, e rimarrebbe perfetto anche se l'opera dei sei giorni non fosse

esistita» (Sant'Agostino d'Ippona “La città di Dio”).

Il numero “7” 7 è il numero della perfezione umana.

Il numero “9” 9 rappresenta il cambiamento, l'invenzione e la crescita attraverso l'ispirazione e la

perfezione massima poiché quadrato del numero tre; 9 sono i gironi dell’inferno, i

gradini del purgatorio e i cieli del paradiso.

Il numero “100” Il totale dei canti è 100, il simbolo della perfezione, perché il 10 moltiplicato per se

stesso rappresenta l'infinito, cioè Dio.

Dante e le tre fiere

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IL SIMBOLISMO NELLE CATTEDRALI MEDIEVALI

Cattedrale Notre-Dame de Chartres

I costruttori di cattedrali dovevano rispettare proporzioni e regole numeriche

precise perché i numeri esprimevano l'ordine e l'armonia dell'universo.

Le cattedrali medievali trasmettevano attraverso simboli, statue, numeri e colori

particolari il messaggio del Cristianesimo alle popolazioni per lo più analfabete del

Medioevo.

2.IL MONDO ARABO

La matematica araba iniziò nel VII sec. con l’espansione del dominio arabo, che

andava dall'Indo, in Asia, fino all'Ebro, in Spagna. Gli arabi realizzano la fusione

della matematica orientale, in particolare indiana, con quella occidentale, greco-

ellenistica: dalla prima acquisiscono le conoscenze teoriche di aritmetica e di

astronomia, mentre dalla seconda quelle di geometria.

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Nei secoli VII e VIII non si hanno contributi originali del mondo arabo alla

matematica, che viene considerata unicamente per la sua utilità nella risoluzione di

problemi pratici sorti dal commercio, dall'architettura, dall'astronomia, ecc..

Dopo il 750 molti scienziati e filosofi dalla Siria, dalla Persia e dalla Mesopotamia

vennero chiamati a Bagdad. Grazie al mecenatismo di alcuni califfi, Bagdad divenne

la nuova capitale della cultura, il centro degli studi matematici.L’arabo divenne il

linguaggio scientifico internazionale.

2.1 LA CASA DELLA SAPIENZA

La “Casa della sapienza” fu la prima e una delle massime istituzioni culturali di tutti i

tempi del mondo arabo-islamico. Nata inizialmente a Baghdad come biblioteca

privata del Califfo Abbaside Hārūn al-Rashīd, divenne, con oltre mezzo milione di

volumi, la più grande biblioteca del mondo arabo-islamico con opere in lingua

greca, siriaca, ebraica, copta, lingua medio-persiana, o pahlavi e sanscrita.

LE TRADUZIONI IN ARABO

Grazie a strumenti altamente qualificati, come dizionari bilingui, manuali e

grammatiche, si realizzarono le traduzioni in arabo (passando spesso attraverso il

siriaco) delle opere memorabili della filosofia e scienza greco-ellenistica:

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Gli “ELEMENTI DI EUCLIDE” tradotti in arabo con testo a fronte

Nella “Casa della Sapienza” dimoravano sia dotti che traduttori e questi ultimi

avevano il compito di tradurre dal greco i testi classici scientifici e filosofici.

Vennero tradotte in lingua araba opere classiche dell'antichità, tanto nel campo

della fisica, della matematica, dell'astronomia che della medicina e delle scienze

naturali.

Fra i membri della Casa della Sapienza si annovera il matematico e astronomo,

Mohammed ibn-Musa al-Khuwarizmi : il matematico a cui si deve la prima

esposizione del sistema di numerazione indiano.

2.2 Muhammad ibn Musa al-Khwarizmi: uno dei più grandi matematici di tutti i

tempi

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Abū Ja�far Muhammad ibn Mūsā al-Khwārizmī (in persiano: خوارزمی محمد; Corasmia

o Baghdad, 780 circa – 850 circa) è stato un matematico, astronomo, astrologo e

geografo persiano.

Della sua vita non si conosce quasi nulla, tranne forse il fatto che, come indica il

nome, egli era originario di Khwarizm (oggi Khiva), città del Turkestan.

Visse a Baghdad presso la corte del califfo al-Ma�mūn, che lo nominò responsabile

della sua biblioteca, la famosa Bayt al-Hikma, "Casa della Sapienza".

Sotto la sua direzione furono tradotte in arabo molte delle principali opere

matematiche del periodo greco-ellenistico, dell'antica Persia, di Babilonia e

dell'India.

L'attività di traduzione dei testi greci non u affidata a linguisti, ma a matematici.

LE OPERE DI Al- Khwarizmi Al-Khwarizmi scrisse un trattato sui numeri arabo-indiani. Il testo arabo è stato

perduto ma esiste una traduzione latina, “Algoritmi de numero Indorum” cioè

“Calcolo con i numeri indiani sull'arte indiana del calcolo danno origine alla parola

“algoritmo” derivante dal nome del titolo.

2.3 IL SISTEMA POSIZIONALE L’opera descrive il sistema di valore indiano dei numeri basato sui dieci simboli:

“ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0”

Per la prima volta si usa lo “zero” ”0” nella notazione fondamentale delle posizioni

Nel trattato vengono descritti i metodi per il calcolo aritmetico, e un metodo per

trovare le radici quadrate ( perso nella versione latina).

Al-Khwarizmi scrisse un importante lavoro sulla geografia che indica le latitudini e

longitudini di 2402 località come basi di una mappa mondiale; scrisse anche molte

opere considerate minori su argomenti come l’astrolabio e il calendario ebraico.

Un altro importante lavoro di al-Khwarizmi fu la sua opera sull'astronomia “Sindhind

Zij” basato sulle opere astronomiche indiane.

Gli argomenti principali trattati da al-Khwarizmi sono i calendari; il calcolo della vera

posizione del sole, della luna e dei pianeti, le tavole del seno e delle tangenti;

l'astronomia sferica; le tavole astrologiche i calcoli del parallasse e dell'eclisse; la

visibilità della luna.

La versione originale di questo lavoro è andata persa

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Pagina dell’Almagesto di TOLOMEO

Non appena iniziarono gli interessi per l'astronomia, gli arabi si accostarono agli

scritti indiani e da quelli appresero il sistema di numerazione posizionale in base 10

e il simbolo dello zero. Subito ne compresero l'importanza e iniziarono ad elaborare

un'aritmetica decimale, che si rivelava molto semplice ed efficace.

Al-Khowârizmî è l’autore di “Al-jabr w'al muqâbala” cioè “Calcolo con

complemento e riduzione” nel cui titolo vengono indicate quali debbano essere le

due operazioni fondamentali per la risoluzioni di equazioni di secondo grado.

La parola “al-jabr” significa "ristabilire", cioè ristabilire l'equilibrio tra i membri di

un'equazione mediante lo spostamento di un termine da un membro all’altro.

Al-Khwarizmi usa il seguente esempio: x 2 = 40 x - 4 x

2 si trasforma in

5 x 2 = 40 x.

(vengono rimossi i termini negativi)

La parola “al muqâbala” significa "semplificazione" cioè la riduzione dei termini

positivi della stessa potenza presenti in entrambi i membri di un’equazione.

Al-Khwarizmi usa il seguente esempio: 50 + 3 x + x 2 = 29 + 10 che si riduce a

21 x + x 2 = 7 x

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Ad esempio, due applicazioni di "al-muqabala" riduce 50 + 3 x + x 2 = 29 + 10 a 21 x +

x 2 = 7 x (una domanda a che fare con i numeri e un secondo a che fare con le radici).

La parola al-jabr , trasportata in Spagna e divenne “algebrista”, tradotta in latino si

trasformò in “algebrae” e il nome della disciplina venne infine abbreviato in

“Algebra.

Le opere di Abū Ja"far Muhammad ibn Mūsā al-Khwārizmī sull'aritmetica e

sull'algebra sono diventate famose e hanno esercitato notevole influenza sullo

sviluppo della matematica medioevale occidentale, oltre che sugli studi successivi

compiuti dagli arabi.

L’ALGEBRA

L'algebra di al-Khwarizmi è interamente “retorica”; egli non usa infatti alcun

simbolo ed è piuttosto prolisso nelle spiegazioni..

Pagina dell’algebra di al-Khwarizmi.

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La nozione di base è quella di equazione a coefficienti numerici ed i termini di

un'equazione sono indicati con nomi diversi.

I numeri sono chiamati dirham, probabilmente dal nome dell'unità monetaria

greca: la dracma;

l'incognita è designata con say' (cosa) o gizr (radice), dal termine arabo che

indicava la radice di una pianta, ed è usato anche per significare la radice

quadrata;

mal (bene, possedimento) denota il quadrato dell'incognita.

I Greci non possedettero mai un modo di pensare algebrico: la loro matematica era

esclusivamente geometria.

L'introduzione dell'algebra e dei procedimenti algebrici costituì quindi una delle più

grandi rivoluzioni nella storia della matematica.

Ma ancora più importante fu, il fatto che i successori di al-Khwarizmi intrapresero

l'applicazione sistematica dell'aritmetica all'algebra e dell'algebra all'aritmetica, e

dell'algebra e dell'aritmetica insieme alla trigonometria.

L'algebra fu anche applicata alla teoria euclidea dei numeri e alla geometria.

Reciprocamente, la geometria fu applicata all'algebra. I risultati furono molto più

fecondi di quanto gli storici della matematica siano mai stati disposti ad ammettere.

Ne derivarono l'algebra dei polinomi, l'analisi combinatoria, l'analisi numerica, la

soluzione numerica delle equazioni, la nuova teoria elementare dei numeri e la

costruzione geometrica delle soluzioni delle equazioni.

Al-Khwarizmi scrisse ancheun importante lavoro sulla geografia che indica le

latitudini e longitudini di 2402 località come basi di una mappa mondiale e molte

opere considerate minori su argomenti come l’astrolabio e il calendario ebraico.

DIFFUSIONE DELLA CULTURA ARABA Nel corso del IX secolo d.C. l’aritmetica indiana si diffuse anche nelle regioni

conquistate dagli arabi in Occidente e raggiunse l’ Africa e la Spagna .

Gli Arabi avevano adottato il sistema di numerazione posizionale in base 10

introdotto dagli indiani e avevano usato gli stessi simboli per rappresentare i

numeri; però con il passare del tempo questi simboli si trasformarono assumendo

forme ben diverse da quelle dei caratteri utilizzati negli scritti indiani.

In Occidente, presso gli arabi del Maghreb, e della Spagna, il sistema decimale

posizionale di origine indiana si espresse con una grafia diversa da quella degli arabi

d’Oriente e questa venne detta delle “cifre ghobār” (o ghubār).

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“Ghobār “(o ghubār) è un nome arabo che significa “la polvere” e viene attribuito ai

numeri dei dai matematici arabi occidentali probabilmente perché , anch’essi,

ebbero l’abitudine di scrivere sulla sabbia o di impolverare di sabbia fine una

tavoletta su cui calcolare.

Cifre arabe occidentali di tipo ghobār

La scrittura araba è da destra a sinistra mentre l’ordine dei numeri è da sinistra a

destra a partire dal decimale più elevato, come da tradizione indiana.

La forma delle cifre ghobār che raggiunse la Spagna e la Sicilia, si propagò, poi,

nell’Europa medievale sotto il nome di cifre arabe evolvendosi nella forma dei

numeri a noi noti.

3. UN PONTE TRA LA CULTURA CRISTIANA E QUELLA ISLAMICA: PAPA

SILVESTRO II

La ricchezza intellettuale, morale ed umana di questo grande uomo, vissuto

santamente e protagonista della storia scientifica e politica del suo tempo, richiede

un lavoro previo di presentazione delle sue opere e delle fonti storiografiche.

La vita di Gerberto, a mille anni di distanza, offre spunti preziosi e appassionanti

tanto allo scienziato quanto al politico, allo storico e agli ecclesiastici moderni.

Attorno a Gerberto scopriamo un mondo culturale in grande fermento, che se non

fosse per le tracce lasciate dal grande docente salito al soglio di Pietro, difficilmente

conosceremmo oggi.

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Nell’immagine, ai quattro lati di papa Silvestro II, sono raffigurate l’Astronomia, la

Geometria , l’Aritmetica e la Musica. Sono in evidenza anche tre R, che ricordano

Reims, Ravenna e Roma che furono le sue sedi episcopali.

Da: “Convegni in onore di Gerbert d’Aurillac - Soluzioni innovative nella Didattica -

Piacenza, Roma, Milano,Pescara 2-12 maggio 2005”

Silvestro II, nato Gerberto di Aurillac (la data di nascita, compresa tra il 938 e il 950,

è incerta così come la sua origine) fu il 139º papa della Chiesa cattolica dal 999 alla

morte, primo papa francese.

Prolifico studioso del X secolo, fu lui a introdurre le conoscenze arabe di aritmetica e

astronomia in Europa. La leggenda lo vuole pastorello, mentre è probabile invece

che fosse di famiglia benestante, di recente insediamento nell'Auvergne, attratta

dallo sviluppo urbano e sociale seguito alla fondazione dell'Abbazia di Aurillac da

parte di San Geraldo, alla fine del IX secolo.

Rimasto orfano nel 963 fu accolto dai monaci del monastero benedettino di San

Geraldo di Aurillac, dove si segnalò per la sua intelligenza e dove imparò i primi

elementi di retorica, geometria e astronomia.

Nel 967 il Conte Borrell di Barcellona, in pellegrinaggio al monastero di Aurillac,

portò con sè Gerberto, affinchè potesse proseguire gli studi nelle matematiche

presso la scuola diretta da Attone, vescovo di Vich in Catalogna (Spagna) .

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In Catalogna Gilberto frequentò la vicina abbazia di Santa Maria di Ripoll, prestigioso

centro culturale dove si copiavano e si traducevano anche libri dall’arabo.

Al tempo in Spagna, quasi interamente occupata dai saraceni, fioriva la cultura

arabo-islamica.

4. Il PRIMO INCONTRO TRA IL MONDO ARABO E QUELLO CRISTIANO

Durante la sua permanenza in Spagna, Gerberto di Aurillac frequentò la scuola

superiore di Cordoba, il centro della civiltà araba più sviluppato dell'epoca, in

quegli anni califfato omayyade.

A Cordoba approfondì le materie comunemente insegnate all'epoca cioè quelle del

Trivium (grammatica, dialettica, retorica) e quelle del Quadrivium (aritmetica,

musica, geometria, astronomia) e maturò interessi per le scienze e in particolare per

la matematica e l’astronomia trasmesse dal mondo arabo (presso gli arabi

esistevano le traduzioni delle opere di astronomia di Tolomeo mentre nel mondo

latino i testi in greco non erano più reperibili).

A differenza degli altri studiosi del tempo, il futuro papa, cercava libri e strumenti,

come l’astrolabio, che gli permettessero un'osservazione diretta delle stelle invece

di studiarla attraverso le sacre scritture e la loro interpretazione.

L’ASTROLABIO

A Gerberto viene attribuita l’introduzione e la diffusione in Occidente

dell’astrolabio.

L'astrolabio (dal latino astrum = "astro" e labor, labi = "scorrere) è un antico

strumento astronomico tramite il quale è possibile localizzare o predire la posizione di

corpi celesti come il Sole, la Luna, i pianeti e le stelle.

Un rudimentale astrolabio fu introdotto nel II secolo a.C. nella Grecia antica ma si

diffuse in gran parte del bacino del Mediterraneo con lo sviluppo della cultura

islamica.

Gerberto fu autore di De utilitatibus Astrolabii con cui introdusse l’astrolabio e

l’astronomia degli arabi in Europa .

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Impressionato dall’enorme cultura della civiltà araba, non esitò ad abiurare la sua

Fede cristiana per essere ammesso ai corsi dell’università di Cordoba e di Fes in

Marocco, la più antica Università del Mondo.

In Spagna apprese l’uso delle cifre arabe nella forma occidentale, denominata

ghubar. La somiglianza dei numerali ghubar con i numerali occidentali moderni è

molto forte, superiore a quella delle cifre indo-arabiche orientali.

Numerali orientali, ghubar e occidentali.

Il primo manoscritto noto, in cui si ritrovano le nove cifre significative di origine

indiana, proviene dal Nord della Spagna e risale alla seconda metà del secolo X: si

tratta del Codex Vigilanus, copiato nell’anno 976 nel convento di Albelda da un

monaco di nome Vigila, dove le nove cifre indo-arabe sono riprodotte in una grafia

assai simile a quelle delle cifre dette ghobār.

Durante i suoi studi in Spagna Gerberto frequentò i circoli dei saggi mussulmani per

avvicinarsi sempre più a quelle conoscenze che, secondo la mentalità medievale,

erano chiamate “arti magiche”. Grazie a una straordinaria apertura intellettuale il

giovane Gerberto di Aurillac fu capace di assimilare la cultura araba fondendola a

quella cristiana del suo tempo e all’antica cultura greca.

4.1 L’UOMO PIU’ SAPIENTE DEL MONDO: Gerbert D’Aurillac: un ponte tra la

scienza e la cultura Araba con quella Cristiana

Gerbert d’Aurillac divenuto universalmente famoso per la sua reputazione di

sapiente, di profonda cultura, esperto senza eguali nella musica e nella matematica,

una volta ritornato in Francia, si guadagnò immediatamente la fama di uomo più

dotto dei suoi tempi .

La disputa vittoriosa con Otrico di Magdeburgo a Ravenna sulla natura della filosofia

e della fisica gli varrà la stima di Ottone II e successivamente la nomina ad abate di

Bobbio.

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ABBAZIA DI BOBBIO: TUTTO IL SAPERE DEL TEMPO Quando Ottone II divenne Imperatore del Sacro Romano Impero nominò nel 983

Gerard di Aurillac abate dell'abbazia di Bobbio. In questo periodo compose il

“Trattato sulla geometria” con l'aiuto dei numerosi antichi manoscritti che erano

conservati nello Scriptorium del monastero.

Nell’abbazia di Bobbio lingua greca che, a quel tempo, andava perdendosi in tutta

Europa, era ben conosciuta dai monaci che erano capaci di leggere in lingua

originale i manoscritti di Aristotele e Demostene.

Abate di Bobbio

Gerberto di Aurillac, abate dell’Abazia di Bobbio fece redigere un catalogo della

biblioteca, che raccoglieva oltre 700 codici, tra cui il Glossarium Bobiense del IX

secolo, una delle prime enciclopedie medievali.

Accanto ad opere liturgiche, patristiche e agiografiche, vi si trovavano opere di

autori latini, di grammatici, trattati scientifici, scritti giuridici, di storia, di medicina,

di agricoltura, di arte e di musica.

Tra gli autori classici sono testimoniate opere di Plauto, Virgilio, Terenzio, Ovidio e

Cicerone, e storici come Livio, Lucano e Orosio.

Quella di Bobbio fu una breve parentesi, poiché la morte improvvisa del suo

protettore, l’imperatore Ottone II, priverà Gerberto del sostegno politico necessario

per governare la potente abbazia.

Nel 991 fu nominato Arcivescovo di Reims e nel 997 Arcivescovo di Ravenna quindi,

con l’appoggio dell’imperatore Ottone III, di cui era stato precettore, il 2 aprile del

999 salì al trono Pontificio assumendo il nome di Silvestro II.

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Il 139º papa della Chiesa cattolica.

Papa Silestro II fu un grande studioso, umanista e profondo conoscitore delle

scienze matematiche, contribuì alla diffusione dei numeri arabi, reintrodusse in

Europa l’uso dell’abaco, diffuse l’uso dell’astrolabio; costruttore d’organi e teorico

della musica diede impulso a tutte le scienze di cui era esperto.

IL PAPA MAGO

Gerbert d’Aurillac fu il più grande intellettuale cristiano del suo tempo da

meravigliare a tal punto la massa ignorante e superstiziosa dei contadini e del

popolo, da far credere loro che egli non l’avesse ricevuta umanamente .

Al tempo chi s'interessava di scienza e in particolare di cose celesti, veniva tacciato

facilmente di magia.

Per la sua capacità di eseguire mentalmente calcoli estremamente difficili per le

persone che pensavano in termini di numeri romani e per i suoi interessi nel campo

scientifico, soprattutto per la matematica, nacque più tardi la leggenda che lo volle

mago ed eretico.

Grazie a lui la Chiesa si aprì all’Europa dell’Est (fondò le prime diocesi in Polonia e

Ungheria) ed il progetto di restaurare il Sacro Romano Impero sembrò realizzabile;

grazie al suo prestigio.

La scienza ebbe cittadinanza nelle scuole cattedrali e poi nelle nascenti Università.

Mai come nel suo pontificato Fede e Scienza furono tanto vicine.

Il pontificato di Papa Silvestro II durò quattro anni: morì il 12 maggio 1003 e fu

sepolto a S. Giovanni in Laterano (oggi visibile dietro al pilastro di S. Filippo

Apostolo).

24

ANNO DOMINI 999: LA NOTTE DI SAN SILVESTRO

Fu Papa Silvestro II a ufficiare la messa dell’anno mille, l’ultima messa della storia del

mondo, essendo opinione diffusa che quel 31 dicembre dell’anno 999 il mondo

dovesse davvero finire. Ma così non fu.

Da: “Atti del Convegno su Gerberto d'Aurillac”

Bobbio 2004

4.2 L’ABACO A COLONNE

Gerbert D’Aurillac, Papa Silvestro II scrisse un trattato “Sul calcolo con l'abaco”. che

pose le basi per il calcolo decimale e per la nascita della matematica moderna; gli

venne attribuita l’introduzione e la diffusione in Occidente di un nuovo tipo di abaco

denominato a colonne.

L’abaco romano venne rivoluzionato con la sostituzione dei dischetti a sfere su cui

erano riportate le cifre arabe , probabilmente nella versione “ghubar”, disposte su

tre colonne rappresentanti i tre ordini decimali.

Per eseguire i calcoli bastava inserire nella colonna solo una pietra segnata, e non 9

prive di segni come era tradizione al tempo.

L’assenza di un’unità veniva segnalata lasciando vuota la colonna corrispondente.

25

Abaco a “colonne”

Su questo tipo di abaco, le nove cifre presero un valore di posizione e si poterono

effettuare moltiplicazioni e divisioni, senza che fosse necessaria neppure la

conoscenza dello zero. Grazie a tale meccanismo, le cifre indo-arabe si diffusero in

Occidente nei secoli XI e XII. La prima diffusione delle cifre arabe in Europa non

avvenne tramite i manoscritti, ma grazie all’insegnamento della tecnica del calcolo

basato sull’abaco (tavola a colonne) di tipo completamente nuovo.

Il merito dell’introduzione del sistema Arabo in Europa viene attribuito

principalmente al matematico italiano, Leonardo Pisano detto Fibonacci.

Il principio di rappresentazione dei numeri interi per mezzo di “apices” sull’abaco perfezionato da Gerbert e dai suoi discepoli

26

5.LEONARDO FIBONACCI IL PIÙ GRANDE MATEMATICO DEL SUO TEMPO

Leonardo Fibonacci, figlio di Guglielmo Bonacci, nacque a Pisa intorno al 1170. Suo

padre era segretario della Repubblica di Pisa e responsabile a partire dal 1192 del

commercio pisano presso la colonia di Bugia, l’odierna Behaia, in Algeria , dove i

Pisani intrattenevano fiorenti traffici commerciali con gli arabi. A Burgia visse tra il

1170 ed il 1200 e in quella città apprese l’arabo e si appassionò a quelle

matematiche.

Dal padre, che lo voleva mercante, apprese le tecniche di calcolo con l’abaco e

venne avviato allo studio della matematica araba e soprattutto del calcolo con cifre

indo-arabiche, che non erano ancora state introdotte in Europa.

Per portare avanti il commercio della repubblica pisana viaggiò in Egitto, Siria,

Grecia, Sicilia e Provenza e in queste regioni fece studi approfonditi delle opere dei

matematici islamici di maggior valore, come il persiano al-Khwārizmī o come

l’egiziano ibn Aslam (vissuto tra l’850 e il 930), oltre che sui classici greci ed

ellenistici tradotti in arabo.

27

Intorno al 1200, Fibonacci tornò a Pisa dove per i seguenti 25 anni lavorò alle sue

personali composizioni matematiche.

La reputazione di Leonardo come matematico divenne così grande che l’imperatore

Federico II si rivolse a lui chiedendogli un’udienza mentre era Pisa nel 1225.

L’incontro con Federico II e la corte imperiale fu un evento centrale nella vita di

Fibonacci. A Federico e ai notabili della sua corte Fibonacci dedicherà le sue opere

successive.

5.1 LIBER ABACI: “far di conto”

In tutta la sua produzione l’opera più importante è il Liber abaci (comparso attorno

al 1228) un lavoro contenente quasi tutte le conoscenze aritmetiche e algebriche

del tempo ed ha avuto una funzione fondamentale nello sviluppo della matematica

dell’Europa occidentale. In particolare la numerazione indo-arabica, che prese il

posto di quella latina semplificando notevolmente i commerci extraeuropei e che

divenne conosciuta in Europa tramite questo libro. In tale sistema di numerazione, il

valore delle cifre dipende dal posto che occupano: pertanto Fibonacci fu costretto

ad introdurre un nuovo simbolo, corrispondente allo zero "0", per indicare le

posizioni vacanti.

“Le nove cifre indiane sono: 9 8 7 6 5 4 3 2 1. Con queste nove cifre e con il segno 0, che gli arabi chiamano zefiro, si può scrivere qualsiasi

numero come è dimostrato sotto”

Il trattato si divide naturalmente in quattro parti.

1. aritmetica: si introducono le cifre indo-arabe e la numerazione posizionale, e

gli algoritmi delle operazioni con i numeri interi e con le frazioni. Segue la

matematica mercantile (4 capitoli), nei quali vengono affrontati i

problemi tipici dell'esercizio della mercatura: acquisti e vendite, baratti,

società, e monete.

Novem figure indorum he sunt

9 8 6 5 4 3 2 1

Cum his itaque novem figuris, et cum hoc signo , quod arabice “zephirum” appellatur,

scribitur quilibet numerus, ut inferius demonstrator

da Liber abaci – Fibonacci 1202

28

2. Matematica divertente: problemi su borse di monete cavalli, conigli che si

moltiplicano senza limite.

3. Il tredicesimo capitolo è dedicato per intero al metodo della falsa posizione,

una delle tecniche più potenti dell'aritmetica araba e medievale.

4. Estrazione di radici quadrate e cubiche, un trattatello dei binomi e recisi e

teoria delle proporzioni geometriche e dell'algebra.

Un libro complesso e difficile come il Liber Abaci, richiese un tempo notevole prima

di dare i suoi preziosi frutti.

5.2 ALGORITMI PER LE MOLTIPLICAZIONI La moltiplicazione è l'operazione per la quale troviamo la maggior varietà di metodi,

che anche graficamente assumono aspetti molto diversi tra loro e ai quali gli

abachisti assegnarono i nomi più fantasiosi. L'attuale metodo veniva detto in

Toscana per biricucolo forse dal nome di certe crostate di albicocche che lo schema a

quadretti presente nei testi più antichi poteva ricordare.

Si tratta comunque di un metodo molto antico, già usato in India, che a lungo rimase

soltanto uno dei tanti non agevoli da utilizzare.

Algoritmo per la moltiplicazione per “graticola” o “gelosia Il nome “graticola” o “gelosia” deriva dalla grata, chiamata anche gelosia, che

veniva posta alle finestre per impedire la vista dall’esterno di ciò che succedeva

all’interno della casa. Dato che il metodo presuppone l’utilizzo di un reticolo che

ricorda questo tipo di grata esso stesso ha preso tale nome.

Esempio: 243 x 234 = 56.862

3x2= 6 4x2= 8 2x2= 4

3x3= 9 3x4= 12 3x2= 6

4x3= 12 4x4= 16 4x2= 8

29

I due numeri da moltiplicare vengono posti ai lati di una tabella avente tante righe e

colonne quante sono le cifre dei due fattori.

Ogni quadrato viene suddiviso dalla diagonale nella cui parte superiore conterrà le

decine mentre in quella inferiore le unità risultanti dalle moltiplicazioni parziali fra le

cifre dei fattori.

Esempio: 187 x 96 = 17.952

Il risultato, che viene fornito dalla somma dei numeri contenuti nelle strisce

diagonali partendo da destra in basso e facendo attenzione ai riporti, è dato dalla

lettura della sequenza dei numeri partendo dal lato

sinistro (dall’alto verso il basso) e proseguendo sul lato inferiore (da sinistra a

destra). Effettuando una rotazione di 45° del reticolo si ottiene una variazione

pratica molto utile: le cifre delle strisce diagonali da sommare si trovano incolonnate

verticalmente.

Algoritmo per la moltiplicazione per crocetta

Nel “Liber abaci” Fibonacci espone un metodo detto “per crocetta” noto agli Indiani

come “moltiplicazione fulminea” perché, una volta acquisito, risuluta essere un

metodo molto rapido da venire utilizzato ancora oggi usato dai campioni di calcolo

mentale.

30

“Ora devi fare, cominciando da destra: 4 via 2 che è 8 e lo scrivi qui sotto; poi 2 via

2 plus 3 via 4 che è 4 plus 12 cioè 16. Il 6 lo metti dinanzi all’8 e l’uno lo conservi

per dopo. Ora, infine, che ti manca? 2 via 3 che è 6, però devi aggiungere quell’uno

che ti restava e che dunque è 7 e lo metti davanti al 68… e fa 768!”

5.3 SEQUENZA FIBONACCI

Problema: Quante coppie di conigli verranno prodotte in un anno, a partire da un’unica coppia,

se ogni mese ciascuna coppia dà alla luce una nuova coppia che diventa produttiva a

partire dal secondo mese?

Fibonacci nel Liber abaci

La successione nacque da un semplice problema posto da Fibonacci: se una coppia

di conigli mette al mondo ogni mese una nuova coppia di conigli, che dopo due mesi

producono loro volta una nuova coppia di conigli, quante coppie di conigli avremo

dopo un anno, se tutti i conigli rimangono in vita?

Problema: Quante coppie di conigli verranno prodotte in un anno, a partire da un’unica coppia,

se ogni mese ciascuna coppia dà alla luce una nuova coppia che diventa produttiva a

partire dal secondo mese?

Fibonacci nel Liber abaci

I numeri di Fibonacci sono quindi elementi della successione :

F0, F1, F2, F3, ..., Fn, ...

Definita ricorsivamente come segue: F0 = 0, F1 = 1

Fn = Fn-1 + Fn -2 per n>1

I primi numeri della successione sono i seguenti:

1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377 610 987 1597 2584 4181 6765 …….

31

I primi due termini sono 1 ed 1, tutti gli altri termini sono la somma dei due termini

che li precedono:

F1 = 1

F2 = 1

F3 = 1 + 1 = 2

F4 = 2 + 1 = 3

F5 = 3 + 2 = 5

F6 = 5 + 3 = 8

F7 = 8 + 5 = 13

F8 = 13 + 8 = 21

F9 = 21 + 13 = 34

Una proprietà molto importante di questi numeri è che il rapporto tra un numero di

Fibonacci e quello immediatamente precedente si avvicina sempre di più al numero

1.61803398874989.....

Questo numero è la famosa Sezione Aurea o Numero Aureo.

Il “numero d’oro” Questo numero "magico" era conosciuto fin dall'antichità dalla scuola pitagorica.

“Dividere un segmento in modo che il rettangolo che ha per lati l’intero segmento e

la parte minore sia equivalente al quadrato che ha per lato la parte maggiore”

Proposizione 11 del libro II degli Elementi di Euclide

Essi lo ricavavano con un procedimento che corrisponde alla attuale soluzione

dell'equazione di secondo grado: x² - x – 1 = 0

Il rettangolo aureo Nella civiltà Greca troviamo l'uso della sezione aurea nel Partenone di Atene, nel

tempio di Atena a Paestum, nelle statue di Fidia, solo per citare le opere più note.

In generale: F(n) = F(n-2) + F(n-1)

32

Il Partenone, il tempio perfetto.

La sezione aurea in pittura

Troviamo poi la sezione aurea nel famoso "Uomo Vitruviano" di Leonardo da Vinci e nella Venere

del Botticelli.

” il rapporto tra l'altezza di un essere umano e l'altezza da terra dell'ombelico è la sezione

aurea, così come il rapporto tra il braccio e l'avanbraccio ”

Braccio e avambraccio

Uomo Vitruviano

33

La spirale aurea che ritroviamo spesso in natura

Spirale ottenuta in base alla serie di Fibonacci: la sequenza dei numeri è

strettamente legata al numerp “Phi”, rappresentativo della “sezione aurea”

conosciuta fin dall’antichità e di alcuni rapporti metrici presenti nel mondo

biologico.

Il “LIber Abaci” di Fibonacci, scritto in latino ma tradotto anche in volgare, contribuì

a diffondere il nuovo metodo di scritture dei numeri e di calcolo. Ma le autorità non

furono subito d’accordo. Nel 1299 a Firenze fu messo al bando il nuovo modo di

scrivere i numeri perchè si potevano facilmente falsificare i conti in banca.

ALTRE OPERE DI FIBONACCI 1220 il De practica geometriae, nel quale applicò il nuovo sistema aritmetico alla

risoluzione di problemi geometrici: un trattato di Geometria e Trigonometria, con il

quale ebbe avvio lo studio dei rapporti tra le estensioni figurate.

1225 realizzò il Liber quadratorum che costituisce un brillante lavoro sulle equazioni

indeterminate di 2° grado: un lavoro nel quale è visibile l'influsso della tradizione

culturale araba.

conchiglia del “Nautilus pompilius”

spirale aurea

34

6.LE SCUOLE DI ABACO

Le scuole d'abaco, accanto alle scuole di grammatica, faceva seguito ad un primo

ciclo scolastico elementare in cui i ragazzi imparavano a leggere e scrivere in latino e

volgare. Mentre la scuola di grammatica era dedicata all'approfondimento della

grammatica latina ed allo studio delle lettere, della retorica e della logica, la scuola

d'abaco era riservata all'apprendimento della matematica e aveva in prevalenza lo

scopo di preparare all'esercizio di attività mercantili, commerciali e artistiche; veniva

comunque frequentata anche da ragazzi di famiglia nobile e da chi desiderava

proseguire gli studi per intraprendere poi una professione .

Frate Luca Pacioli autore di una Summa dove era raccolto tutto il sapere

matematico del XV secolo.

7.ABACISTI E ALGORISTI

Nel Medioevo il sistema di numerazione posizionale in base 10 conobbe forti ostilità

tra i i tradizionalisti, estimatori dell’abaco cosiddetti “abacisti”, che calcolavano con

l'abaco, e gli “algoristi”, che calcolavano usando le nuove “cifre arabe”.

La controversia sarebbe culminata con la delibera del 1299 con cui le autorità

comunali fiorentine vietarono ai commercianti di utilizzare i numeri arabi per tenere

la contabilità, imponendo che i numeri fossero scritti con i tradizionali numerali

romani.

35

In questa incisione su legno del 1503, conservata al Museum of History of Science

di Oxford, viene rappresentata una disputa tra ABACISTI e ALGORISTI

I vantaggi del nuovo sistema erano infatti evidenti per chi, come il matematico,

faceva i suoi calcoli con carta e matita, per scritto, ma lo erano molto meno per la

stragrande maggioranza delle persone, abituate a usare l’abaco.

Solo nel Cinquecento, superate le diffidenze nei confronti dei nuovi numeri, lo zero e

il sistema di numerazione indo-arabico diventarono finalmente popolari, anche al di

fuori degli ambienti matematici.

Lo zero

Lo zero non è indispensabile nell’aritmetica più elementare: i romani e i greci, ad

esempio, ne fecero a meno, e fino al Medioevo lo zero venne usato in modo

impreciso, con molta circospezione .

In fondo usare lo zero implicava l’ammissione dell’esistenza del Nulla, cosa non

semplice.

Storia dello zero I babilonesi, circa duemila anni avanti Cristo, avevano perfezionato il loro sistema di

numerazione adottando un simbolo particolare per indicare la posizione vuota. Non

ancora un numero, ma solo l’indicazione dell’assenza di una cifra, che nelle tavolette

degli ultimi secoli del primo millennio avanti Cristo veniva rappresentata con due

piccoli cunei obliqui.

36

Nel sistema sessagesimale dei babilonesi, la posizione vuota indicava uno zero.

Successivamente per segnare tale posizione vennero inseriti due piccoli cunei

obliqui, un simbolo che non indicava ancora un numero, ma soltanto l’assenza di un

numero.

Una delle prime sistematiche adozioni di un simbolo per lo zero risale ai Maya. Era

una conchiglia o, secondo un’altra interpretazione, un occhio semichiuso. I maya

adottavano un sistema vigesimale, che andava quindi di venti in venti. I numeri

maya venivano scritti verticalmente: in figura il pallino corrisponde a un ventina e la

conchiglia a zero unità.

Il simbolo per la cifra zero è stato scritto nella figura di un puntino e

conseguentemente è stato denominato bindu “puntino”.

II “Brahmasputha Siddhanta” (L'apertura dell'universo) scritto nel 628 costituisce la

fonte più antica conosciuta, eccettuato il sistema di numerazione maya, a trattare lo

zero come un numero a tutti gli effetti. Nel trattato vengono enunciate le regole

dell'aritmetica sui numeri negativi e sullo zero che sono piuttosto vicine al modo di

ragionare moderno.

Regole di Brahmagupta Nel trattato vengono enunciate le regole dell'aritmetica sui numeri negativi e sullo

zero che sono piuttosto vicine al modo di ragionare moderno.

.: La somma di zero e di un numero negativo è negativa

La somma di zero e di un numero positivo è positiva

La somma di zero e di zero è zero

La somma di un positive e di una negazione è la loro differenza; o, se sono

uguali, zero.

37

La principale divergenza è costituita dal tentativo di Brahmagupta di definire la

divisione per zero, che viene invece lasciata indefinita nella matematica moderna.

Per esempio, egli afferma che “ 0/0 = 0”

8. Quod arabice “zephirum” appellatur: la cifra “zero”

Dall’India lo zero e il nuovo sistema di numerazione arriveranno in Europa. Non

direttamente, ma attraverso gli arabi. In , “Algoritmi de numero Indorum” Al-Khwarizmi descriveva l’uso dei nuovi numeri, da lui conosciuti attraverso gli scritti

dei matematici indiani.

A portare nel nostro continente lo zero e il sistema di numerazione posizionale come

la conosciamo oggi è Leonardo Pisano, detto Fibonacci, nell’anno 1202, quando

scrive e rende pubblico il suo “Liber Abaci”.

“Et dovete sapere chel zeuero per se solo non significa nulla - ma è potentia di fare

significare... Et decina o centinaia o migliaia non si puote scrivere senza questo

segno 0”.

Lo zero era diventato “cephirum” in latino, come traduzione della parola araba “sifr”

, traduzione a sua volta del termine “sunya” che in sanscrito significa “vuoto”.

Sifir, cephirum o ciphra indicheranno poi, in italiano, non solo più lo zero, ma

qualsiasi cifra. Zefiro, diventerà zero.

I nomi dello “ZERO”

38

La conquista dello zero, nella storia della matematica, e il suo riconoscimento al

rango di numero non fu facile e trovò molte resistenze. D'altra parte, se rappresenta

il Nulla, si potrebbe ritenere, a torto, che non sia così essenziale come gli altri

numeri.

Il monaco benedettino Guglielmo di Malmesbury (Wiltshire, 1080 o 1095 – 1143 ca

), considerava la matematica del mondo arabo, che introduceva lo zero una

"pericolosa magia saracena".

Altri attribuivano allo zero proprietà addirittura divine, come dimostra questo

brano, tratto da un celebre manoscritto del monastero di Salem, del XII secolo:

“Ogni numero nasce dall’Uno e questo deriva dallo Zero. In questo c’è un grande

sacro mistero: Dio è rappresentato da ciò che non ha né inizio né fine; e proprio

come lo zero non accresce né diminuisce un altro numero al quale venga sommato o

dal quale venga sottratto, così Egli né cresce né diminuisce”.

Il simbolismo matematico

Il simbolismo matematico oggi in uso, ad esempio il simbolo per l’addizione o

per l’estrazione di radice, l’uso delle parentesi, le lettere per indicare quantità

numeriche ecc., è una conquista relativamente recente: non più di tre o quattro

secoli rispetto ai millenni precedenti in cui la matematica è stata prevalentemente

descrittiva, basata cioè sull’uso della parola.

Lo “zero” nel linguaggio delle mani

39

Frontespizio da The Algebra of Mohammed ben Musa (Londra, 1831) di F. Rosen.

APPENDICI

40

Appendice num. 1

IL PRIMO LIBRO DI MATEMATICA STAMPATO AL MONDO Verso la fine del XV secolo si diffusero molti manuali di aritmetica : nel 1478 vide la

luce a Treviso il primo libro di matematica a stampa pubblicato al mondo, Larte de

labbacho, un manuale anonimo noto come l’Aritmetica di Treviso.

Larte de labbacho è un manuale costituito da sessantadue pagine non numerate ed

è dedicato “a ciascheduno che vuole usare larte de la merchadantia chiamata

vulgarmente larte de labbacho”:

ALGORITMI PER LE MOLTIPLICAZIONI

L’arte de labbacho (Treviso, 1478) d’autore anonimo. Il primo manualedi matematica a stampa pubblicato al mondo.

Ne Larte de labbacho non compaiono i segni con i quali, modernamente, sono

indicate le operazioni aritmetiche (+, –, ×, :), in quanto, rispetto alla data di

pubblicazione del manuale trevigiano (1478), l’introduzione di tali segni è più tarda.

Le operazioni aritmetiche sono così denominate ed indicate:

- “iongere” (sommare), operazione indicata dalla parola “et”;

41

- “levare, cavare” (sottrarre), operazione indicata dalla parola “de”;

- “moltiplicare”, operazione indicata dalla parola “fia”;

- “partire” (dividere), operazione indicata dalla parola “in”.

Tratto da:Giorgio T. Bagni, “Larte de labbacho (l’Aritmetica di Treviso, 1478) e la matematica medievale”I Seminari dell’Umanesimo Latino 2001-2002, Fondazione

Cassamarca, Antilia, Treviso, 9-32

Appendice num. 2 LORENZO FIBONACCI - “LIBER ABACI

42

STRUTTURA DEL “LIBER ABACI”

L’opera consta di 15 capitoli.

Nel I capitolo si tratta delle 9 cifre, dette da Fibonacci: indiane e che con questo

trattato furono per la prima volta introdotte in Europa

1, La conoscenza delle nove cifre indiane, e come con esse si scrivano tutti i numeri;

quali numeri si possano tenere nelle mani, e come, e l'introduzione all'abaco.

Nei capitoli II, III e IV espone le operazioni di moltiplicazione, addizione, sottrazione

e divisione, la decomposizione in fattori di un intero e relativi criteri di divisibilità.

2. La moltiplicazione degli interi.

3. L'addizione degli stessi.

4. La sottrazione dei numeri minori dai maggiori

I tre successivi capitoli trattano della frazioni e del minimo comune multiplo di più

numeri.

5. La divisione di numeri interi per numeri interi

6. La moltiplicazione degli interi con le frazioni, e delle frazioni senza interi.

7. La somma, la sottrazione e la divisione degli interi con le frazioni e la riduzione

delle parti di numeri in parti singole.

I capitoli VIII, IX, X e XI trattano di aritmetica commerciale, problemi connessi col

cambio delle monete, ecc..

8. L'acquisto e la vendita delle merci e simili.

9. I baratti delle merci, l'acquisto delle monete, e alcune regole simili.

10. Le società fatte tra consoci.

11. La fusione delle monete e le regole relative.

I capitoli XII e XIII trattano di questioni diverse dette “miscellanee”

12. La soluzione di questioni diverse, dette miscellanee.

Appendice num. 3

43

13. La regola della doppia falsa posizione, e come con essa si risolvano pressoché

tutte le questioni miscellanee.

Nel capitolo XIV si trovano le regole per calcolare radicali quadratici e cubici e

l’ultimo capitolo contiene questioni varie di carattere geometrico e risoluzioni di

equazioni.

14. Il calcolo delle radici quadrate e cubiche per moltiplicazione e divisione o da

estrazione, e il trattato dei binomi e recisi e delle loro radici.

Il capitolo XV tratta delle proporzioni geometriche e di questioni di algebra.

15. Le regole delle proporzioni geometriche; e le questioni di algebra e almucabala.

44

FONTI

Nadia Ambrosetti “L’eredità arabo-islamica nelle scienze e nelle arti del calcolo

dell’Europa medievale”(PPT)

Wikipedia, Progetto Polymath

http://matematica.unibocconi.it/articoli/la-tavola-pitagorica

http://it.wikipedia.org/wiki/Storia_della_matematica#Matematica_persiana_e_arab

a

28750_1400.29

http://it.wikipedia.org/wiki/Papa_Silvestro_II

http://it.wikipedia.org/wiki/Sistema_di_numerazione_arabo

http://it.wikipedia.org/wiki/Bayt_al-Hikma

(http://www.duepassinelmistero.com/Orientazionechiesecristiane.htm )

http://www.mastromarcopugacioff.it/Articoli/SilvestroSecondo.htm

http://www.treccani.it/scuola/maturita/materiale_didattico/arabi_e_filosofia/8.

html

http://www.fe.infn.it/u/filimanto/scienza/storia/arabia/arabic.htm

http://areeweb.polito.it/didattica/polymath/ICT/Htmls/Argomenti/Infoe/InfoeA

baco/Abaco.htm

http://php.math.unifi.it/convegnostoria/materiali/amato-federico.pdf

http://www.syllogismos.it/history/Adria.pdf

http://php.math.unifi.it/convegnostoria/materiali/amato-federico.pdf

http://www.matematicamente.it/magazine/maggio2011/154-Mazzucato-

moltiplicazione.pdf

http://php.math.unifi.it/archimede/archimede/fibonacci/catalogo/roero.php

http://www.matematicamente.it/cultura/storia_della_matematica/cinque_modi

_per_moltiplicare_due_numeri_200709011328/

http://php.math.unifi.it/convegnostoria/materiali/pettiliberabaci.pdf