Piergiorgio Odifreddi - Logica Matematica

7/28/2019 Piergiorgio Odifreddi - Logica Matematica

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LOGICA MATEMATICA

(In 20 lezioni)

P. G. Odifreddi

A cura di C. CellaSeptember 2007


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INDICE Pag.

Lezione1: La logica matematica . 1

Lezione2: I l naso di Pinocchio . 10Lezione3: Le gambe di Achille 19Lezione4: Il teatro dellassurdo ... 28Lezione5: Idee accademiche . 37Lezione6: Una metafisica liceale .. 46Lezione7: Lezione sotto il portico ........ 54Lezione8: Interregno . 63Lezione9: Un inglese calcolatore .. 71Lezione10: Un tedesco sensato e (in)significante 79Lezione11: Un Nobeluomo paradossale ... 87Lezione12: Alle ricerche del trattato perduto 96Lezione13: Questioni di forma . 105Lezione14: Lintuizione al potere .... 114Lezione15: Un austriaci (mica tanto) completo . 124Lezione16: Metamorfosi di un teorema .. 132Lezione17: Risposta a Pilato . 141Lezione18: Lenigma dellinformatica 150Lezione19: Gran finale . 159Lezione20: Un secolo di fondamenti . 167

Note: Le seguenti 20 lezioni di logica matematica sono state da me trascritte dalle relativevideolezioni del Prof. P. G. Odifreddi, adattate al linguaggio scritto, aggiustate e da me interpretate,spero in modo corretto, in certi passaggi non del tutto chiari o espliciti. Ho fatto questo lavoro spintosolo dallinteresse per questa materia, che non ho potuto soddisfare nei lontani tempi delluniversit,per mancanza del materiale didattico adeguato o difficolt di reperirlo.Questo corso di logica mi ha aperto le idee sulla matematica moderna, in particolare lalgebraastratta e la teoria insiemistica avanzata, ostiche per me quandero studente di fisica, soprattuttonella comprensione di certi teoremi.

Consiglio di seguire questi corso agli studenti dei primi anni di fisica e naturalmente di matematica.Prof. C. Cella

LEZIONE 1: La logica matematicaMi chiamo Piergiorgio Odifreddi e vi invito a seguire un corso di logica matematica. Questa la primalezione, una lezione introduttiva che divideremo in due parti, poi naturalmente sar seguita da un lungo ciclodi 19 altre lezioni in cui entreremo ovviamente nei dettagli di questa materia. Cerchiamo per di capire checos' la logica matematica, anzi dovrei cercare di convincervi a seguire le prossime lezioni, perci cercherdi spiegarvi in parole povere e anche cercando di attirare la vostra attenzione, che cos' la logica


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matematica. Cominciamo subito a vedere qualcuna delle slide. Vi dico anche, gi dagli inizi, che questeslide voi potrete trovarle sul sito del Nettuno e quindi ogni volta che faremo una nuova lezione potreteandare a rivedervi queste cose, piano piano e a ripassare ci che stato detto. Allora, dicevo, incominciamocon una definizione, perch come avrete capito dall'aggettivo matematica, questo corso qualche cosa cheha a che fare appunto con la matematica e soprattutto con i procedimenti della matematica. Ora questi

procedimenti, qualcuno di voi lo sapr, anzi mi immagino che la maggior parte di voi, visto che seguitecorsi di questo genere, sapr cosa significa fare matematica, significa in particolare seguire il metodomatematico, che un metodo assiomatico, che parte da definizioni, parte da assiomi e poi sviluppa via vianozioni pi complesse e proposizioni pi complicate che vengono derivate dagli assiomi. Alloracominciammo, anche noi subito, dalla migliore tradizione della matematica con una definizione: che cos' lalogica? Beh, la logica si pu definire in tanti molti, ma io ho scelto questo modo qua: la logica semplicemente la scienza del ragionamento. Ci sono ovviamente due termini del discorso, cio scienza eragionamento e su questi dobbiamo soffermarci per un momento, anzitutto ragionamento. Questo significa

LOGICA che stiamo cercando di costruire una teoria per non unaScienza del ragionamento teoria, per esempio di come fatto il mondo, di come

LOGICA MATEMATICA fatto il cervello o tante altre cose; a noi interessa in questo

Scienza del ragionamento matematico corso e soprattutto nell'ambito della logica, della logicamatematica, ma pi in generale della logica, ci interessa studiare come l'uomo ragiona, luomo intesoovviamente come essere umano. Questo il primo termine di questa definizione, ma c' anche quest'altrotermine che ci dice anche come noi cercheremo di studiare questo ragionamento, cio il termine scienza eper lappunto scienza significa che cercheremo di usare il metodo scientifico, che poi nel caso nostro sar inparticolare il metodo matematico. Quindi vi ho detto in breve quale sar l'argomento del nostro discorso,cio il ragionamento e quale sar il metodo con cui noi affronteremo questo discorso, cio il metodoscientifico. Ora questo, gi in parte dovrebbe, dirvi come mai si parla di logica matematica, cio ilmatematica, in questo titolo logica matematica pu stare a significare per lappunto, il fatto che noiseguiremo, adotteremo, useremo il metodo della matematica per studiare il ragionamento. In effetti, cos inparte, ma solo in parte e questo il motivo o uno dei motivi, per cui la logica matematica si chiama, perlappunto matematica, a differenza dalla logica in generale, che era invece una scienza o meglio unargomento che veniva studiato gi dai tempi dei greci, come diremo anche fra pochi minuti, ma in un modoforse un po' diverso, in maniera pi discorsiva, pi filosofica, pi intuitiva e quindi non in manierascientifica, anche per un ovvio motivo, perch all'epoca la scienza non era ancora nata. Ma andiamo oltre eproseguiamo con una seconda definizione e qui veramente stiamo cercando di definire quale sar il nostrosoggetto, il soggetto di queste 20 lezioni, cio che cosa la logica matematica. Se la logica la scienzadel ragionamento, si pu immaginare per analogia che la logica matematica sar la scienza delragionamento matematico. Ed ecco che allora qui il matematico interviene in una maniera diversa, nonsoltanto come nella prima definizione, come metodo di studio del ragionamento, ma anche come oggetto delragionamento stesso, cio ci interesseranno non soltanto i ragionamenti in generale, anche perch questo tra

l'altro un campo enorme, vastissimo su quale poi ovviamente diremo anche qualcosa, per noi cercheremodi concentrarci, com tipico tra l'altro del metodo scientifico di non fare grandi castelli, su un particolareaspetto del ragionamento, che il ragionamento matematico. Questo per tanti motivi, in parte anche storici,ma anche dovute al fatto che nella matematica si pensa, si sempre pensato fino dall'antichit, fino daitempi di Pitagora, che il ragionamento matematico sia forse la forma pi perfetta, pi astratta, pi sviluppatadi ragionamento. Ed ecco che allora si va a studiare matematicamente il ragionamento che viene fatto nellamatematica. Dunque la matematica interviene in due maniere contrapposte, in parte come oggetto dellostudio ed in parte come metodo di studio. Quindi questo pi o meno quello che vorremmo fare. Alloraadesso cerchiamo di avvicinare il nostro soggetto. Ovviamente, come vi ho gi detto, questa una lezioneintroduttiva, tutte le cose di cui parleremo quest'oggi, a cui accenner quest'oggi, saranno riprese in lezioni,anzi dedicheremo a ciascuno degli argomenti di cui parler adesso e a ciascuno dei personaggi a cui

accenner in seguito, una lezione speciale e poi naturalmente parleremo anche di altre cose, ma questalezione introduttiva vuole essere un invito per lappunto, una specie di scheletro, per cercare di farvi vederequali saranno gli argomenti da una parte e i personaggi dall'altra, di cui parleremo in queste lezioni.


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Vediamo pi da vicino quali sono appunto gli argomenti che ho indicati in questo modo, premetto checercheremo sempre di usare dei titoli un pochettino anche fantasiosi, per cercare di attirare l'attenzione,perch questo anche il modo di insegnare, allora dicevo le tre vie della logica: come si arriva a studiare lalogica, perch si pensato in certi periodi storici di studiare la logica, cio di studiare in maniera scientificae poi successivamente in maniera matematica il ragionamento?. Le tre vie che ho indicato sono:

la dialettica, i paradossi e le dimostrazioni, su ciascuna delle quali dir adesso alcune parole e poi inseguito cominceremo gi dalla prossima lezione ad affrontarepi da vicino e pi in dettaglio. La prima via, come ho detto, la via della dialettica, che stata iniziata perlomeno inOccidente dalla Scuola greca dei sofisti e qui nella slidevediamo un'immagine di sofista. Sofista oggi un aggettivonon particolarmente piacevole, perch quando si d a qualcunodel sofista questo lo si fa in genere maniera negativa, significache questo qualcuno sta facendo un discorso capzioso, stacercando di menare il can per laria, sta usando parole spessevolte senza significato, giocando pure sull'equivoco e cos via.

Ebbene i sofisti erano in parte anche questo, non soltantoquesto. Ci furono grandi personaggi nella Scuola sofista, inparticolare questi due che si chiamano Protagora e Gorgia.Qualcuno di voi li riconoscer, coloro che hanno fatto gli studiclassici, perch sono i titoli di due famosi dialoghi di Platone,che appunto Platone dedic a questi due personaggi. Platone eraovviamente in contrapposizione con i sofisti e quandoparleremo di Platone, perch a lui dedicheremo una lezione,vedremo meglio, pi da vicino, come mai c'era questacontrapposizione. Ora i sofisti erano interessati in particolareall'arte della parola, all'arte del discorso e allora per cercare dicatturare il discorso, per cercare di fare il discorso in unamaniera pi incisiva possibile, ecco che i sofisti incominciaronoanzitutto a studiare quali erano le regole che stavano dietro, che

soggiacevano al discorso, per cercare di usarle ai propri fini. Su questa tradizione io non dir molto di pi,perch in realt questa una via che se ne va, noi diremo in matematica per la tangente, se ne va da un'altraparte e dico soltanto per concludere questa idea, questa prima via che approccia alla logica, che in realt lavia della dialettica qualche cosa che viene usata ancora oggi ovunque; la si usa nei tribunali, la si usa neiparlamenti, la si usa nei media, in televisione, eccetera. E la via meno scientifica, ma quella che poi tuttosommato noi usiamo, quando cerchiamo di convincere un avversario o un pubblico, qualcuno appunto checerchiamo di convincere di qualche cosa, usando le arti del discorso e l'arte del discorso per antonomasia era

per lappunto la dialettica e per usare l'arte del discorso bisogna conoscerne le regole. Questo il primomotivo per cui storicamente si cominciata a studiare la logica. Per come vi ho detto, questo un motivoche noi non tratteremo, perch una cosa pi filosofica, certamente meno matematica e meno scientifica.La seconda via invece, che la via deiparadossi, qualche cosa che veramente ha a che fare con il nucleodel nostro di discorso e infatti a questi paradossi, cio al paradosso del mentitore e al paradosso di Achille ela tartaruga che sono i due pi famosi paradossi della storia ai quali brevemente accenner fra un momento,dedicheremo per ciascuno un'intera lezione, cio un'intera lezione al paradosso del mentitore e uninteralezione al paradosso di Achille e la tartaruga, ma prima di parlare di queste paradossi vediamo meglio checosa sono i paradossi. Ebbene i paradossi sono dei ragionamenti che apparentementesono corretti e che,per tutto sommato, dovrebberoessere sbagliati, perch le loro conclusioni sono per lappunto paradossali,vanno contro l'opinione comune, paradoxa significa proprio questo. Doxa, qualcuno di voi si ricorder che

c' addirittura un'azienda che fa inchieste, indagini su ci che la gente pensa, che si chiama per lappuntodoxa e para significa oltre, quindi paradoxa significa oltre l'opinione comune. Invero questi paradossiebbero un'origine antichissima, non soltanto in Grecia, ma addirittura in Cina, lo vedremo meglio quando


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parleremo nelle due prossime lezioni di questi argomenti, cio dei due paradossi pi famosi, il paradosso delmentitore e il paradosso di Achille e la tartaruga. Qual il paradosso del mentitore? Molto semplicemente ilparadosso del mentitore il paradosso di qualcuno che dice io sto mentendo. Come mai paradossale?Perch a prima vista questa un'affermazione che potrebbe sembrare sensata e coerente, per se voi cipensate bene, se andate a riflettere un momentino da vicino, uno che vi dica io sto mentendo, non si

capisce bene se sta dicendo la verit o se sta dicendo il falso. Infatti, se supponiamo che sta dicendo laverit, allora quello che sta dicendo vero, per sta dicendo che sta mentendo, quindi se dice la verit dice ilfalso. Va bene, voi potrete dire, allora non dice la verit, dice il falso; beh, la storia perfettamentesimmetrica. Se dice il falso, allora quello che sta dicendo, cio dice di mentire, non vero, vero ilcontrario, ma se non vero, ovviamente allora dice la verit. Quindi se supponiamo che, chi dice io stomentendo, dica il vero, allora abbiamo dedotto che dice il falso e se invece supponiamo che dica il falso,abbiamo dedotto che dice il vero, perci siamo entrati in un circolo vizioso. Se la cosa vi sembrata un po'veloce, un po' da mal di testa, magari da farvi girare la testa, aspettate con pazienza la prossima lezione e laprossima lezione parleremo per lappunto del paradosso del mentitore, cercheremo di affrontarlo pi davicino e quindi andremo a scavare non soltanto nella sua storia, ma cercheremo anche di vedere qual , o sec, una soluzione di questo paradosso. Il secondo paradosso invece, di cui parliamo oggi, il famoso

paradosso di Achille e la tartaruga, che qui illustrato. La storiella forse tutti la conoscete, una gara traAchille pi veloce e la tartaruga zampa lenta, cio i due simboli della velocit e della lentezza. Orasembrerebbe una gara poco sensata a far correre Achille contro la tartaruga, quindi per dare alla tartaruga,almeno un minimo di vantaggio, si permette alla tartaruga di partire un po' davanti ad Achille. QuindiAchille parte in questo punto (v. grafico) e la tartaruga parte in questaltro. Scatta il cronometro, si sente losparo della pistola che d il via alla gara, ecco che tutti e due partono. Naturalmente la tartaruga fa quelloche pu, cio si muove un pochettino e ad un certo punto percorre un certo percorso. Nel momento in cuiAchille ha raggiunto il punto in cui partita la tartaruga, la tartaruga si mossa di una certa quantit dispazio. Benissimo, Achille continua la sua corsa molto veloce, percorre la quantit di spazio che la tartarugaaveva percorso nel tempo in cui lui aveva raggiunto il punto d'inizio della gara della tartaruga, la tartaruga si a sua volta mossa di nuovo di un altro pezzettino di spazio. Achille percorre quel pezzo di spazio e cos viae il problema sta proprio nel cos via, perch sembra che a questo punto il gioco possa andare avanti

all'infinito; dunque Achille non raggiunger mai la tartaruga perchogni volta deve prima percorrere lo spazio che, anzitutto lo separa dalpunto di partenza della gara della tartaruga, poi lo separa dal punto incui la tartaruga arrivata mentre lui faceva il primo pezzo e cos via.Sembrerebbe, dunque, che Achille non possa mai raggiungere latartaruga. C' qualcosa di sbagliato, perch sappiamo tutti che se cimettiamo a correre dietro una tartaruga prima o poi, anzi molto prima,la raggiungiamo; dove sta l'errore, qual' il problema, eccetera? Quindivedete che ci sono effettivamente dei problemi dietro a queste cose,

dietro a questi ragionamenti e la logica cerca anche di studiare, questa la seconda via, per lappunto la via dei paradossi, cerca di studiare


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quali sono i problemi che stanno dietro a questi tipi diragionamenti, cerca di andar a vedere dove sta l'inghippo, comediremmo oggi, dove sta l'errore, se c' un errore, qual il modo diriformularli, insomma cerca di analizzare queste cose. Quindiquesta la seconda via a cui dedicheremo, come ho detto, due

intere lezioni, le prossime due. Ma c' una terza via, che invecequella che ci interessa pi da vicino, perch come vi ho dettoprima stiamo facendo o cercheremo di fare, di avvicinarci pianpiano alla logica matematica e dunque ci interessa la matematica,il ragionamento matematico e la terza via la cosiddettavia delle

dimostrazioni. Come mai? Ma perch come forse qualcuno di voi sapr, agli inizi la matematica natasenza dimostrazioni; qualcuno intuiva che c'erano dei risultati che si potevano ottenere, li scriveva, peresempio ilfamoso papiro di Rhind, che riporta alcuni dei risultati egiziani che risalgono a 2000 anni a.C. epi. Ebbene questi risultati venivano semplicemente scritti, trascritti senza nessuna giustificazione, senzanessun motivo per il quale noi avremmo dovuto credere. Ci fu un momento nella storia della Grecia, cioverso il 600 a.C. in cui i greci capirono che non si doveva pi fare cos, anche perch non c'era modo di

sapere se un risultato era giusto o sbagliato, a volte gli egiziani effettivamente intuivano il risultato corretto,altre volte invece si sbagliavano e intuivano, per modo di dire, quello sbagliato. Allora come si fa a decideredi fronte ad un'intuizione, a quello che ci sembra vero, se questa cosa effettivamente vera oppure no?Bisogna dimostrare. Oggi per noi la cosa lapalissiana, lampante che per avere un teorema matematicobisogna avere una dimostrazione. Ebbene non stato sempre cos lampante e i greci inventarono questonuovo modo di fare matematica; in particolare furono stimolati allo studio delle dimostrazioni da due famosirisultati che sono collegati fra di loro, anche a questo personaggio di cui parliamo adesso, cio Pitagora, acui dedicheremo un'intera lezione perch Pitagora il punto di partenza della filosofia occidentale, dellascienza occidentale, della matematico occidentale, quindi veramente un personaggio in cui si racchiudonotantissime idee, tantissime cose che furono scoperte per la prima volta in quel periodo e quindi torneremo aparlare, forse non con molta profondit, ma per un'ora intera di questo personaggio. Il teorema di Pitagora, ilfamoso teorema che tutti riconoscono, tutti conoscono, tutti ricordano, ebbene questo teorema di Pitagora, ilfatto che, se si prende un triangolo rettangolo, si ha che il quadrato costruito sull'ipotenusa equivalente inarea alla somma dei quadrati costruiti sui cateti, un qualcosa che molte civilt intuirono, come i babilonesi,gli egiziani, i cinesi, gli indiani eccetera, ma un conto intuire, come dicevo prima e un conto dimostrare.La dimostrazione del teorema di Pitagora, perlomeno la prima dimostrazione che c' pervenuta neglielementi di Euclide, una dimostrazione molto complicata. Ed ecco che allora sorge immediatamente ilmotivo, il bisogno di andare ad analizzare queste dimostrazioni, cercare di capire che cosa sta dietro alledimostrazioni, quali sono i mezzi che fanno s che una dimostrazione sia corretta e la logica parla, siinteressa precisamente di questo argomento. Il secondo risultato di cui parleremo a fondo, quandoaffronteremo nella terza lezione l'argomento di Pitagora, la fa molta scoperta che, se voi prendete un

quadrato e considerate la diagonale del quadrato, ebbene non c' nessuna unit di misura che stia in unamaniera intera, sia nel lato che nella diagonale. Questo viene detto, in altri modi, dicendo che la diagonale eil lato del quadrato sono fra loro incommensurabili, cio non c' nessuna misura comune, misura intesa nelsenso di numeri interi ovviamente. Ebbene questo che oggi esprimiamo dicendo che la radice quadrata di 2,cio la diagonale del quadrato irrazionale per lappunto, non si pu scrivere come un rapporto di numeriinteri, in maniera razionale, anche questo un qualche cosa che scoprirono i pitagorici, una scopertaveramente dovuta Pitagora o perlomeno alla sua scuola. Questa scoperta basata su una dimostrazione, non qualcosa che si veda ad occhio e questa dimostrazione, la dimostrazione che sta dietro alla irrazionalitdella radice di 2, qualche cosa che era nuovo all'epoca e forse il primo esempio di quello che vienechiamato dimostrazione per assurdo. Ed ecco quindi un nuovo motivo per cercare di capire che cosa stadietro alle dimostrazioni, quali sono le leggi che regolano queste dimostrazioni e dunque una nuova via, un

altro modo di arrivare a questa logica matematica. Quindi queste sono le tre figlie: la dialettica, i paradossie ledimostrazioni. Sulla dialettica, come ho detto, non diremo altro, ma sui paradossi e sulle dimostrazioniinvece diremo parecchio, perch cercheremo di andare a fondo. Che cos'altro faremo in queste lezioni?


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Ebbene oltre che a parlare di teoremi, di risultati, di pensieri, faremo anche un tentativo di affrontarel'argomento in una maniera pi umana o umanistica, se cos vogliamo, cio cercando anche di parlare dicoloro che questi pensieri hanno pensato, cio dei pensatori e in particolare faremo tutto una serie, anziorganizzeremo le nostre lezioni proprio sulle vite dei logici e quindi si potrebbe quasi dire che i simboli, ilmotto delle nostre lezioni potrebbe essere vite da logico, che non ovviamente un gioco di parole, come

scritte da cani, ma vite da logico non cos brutto, appunto come tante altre. Praticamente questoggi iovoglio soltanto farvi familiarizzare con le facce e i nomi di coloro dei quali parleremo, quindi andremomolto brevemente ad affrontarli o meglio a presentarli e poi ripeto, a ciascuno di questi dedicheremo unalezione per vedere esattamente quali sono stati i loro contributi.ANTICHITA Ci sono stati tre periodi principali della storia della logica:l'antichit, poi l'era Platone moderna, percos dire e poi un'era contemporanea Aristotele cosacheparte dalla matematica, una delle grandi aree della matematica mo-

. La logica oggi un qualche

Crisippo derna, ma non stato sempre stato cos, agli inizi dovete nascere ovviamente,poi svilupparsi, adesso ha raggiunto completa maturit. Quindi vedremo anche, cercheremo di affrontare inqualche modo le basi storiche, di vedere da dove sono nati e chi ha fatto nascere, chi stato il primo o chisono stati primi a pensare in termini logici. Ebbene, questa prima parte della storia della logica la storia

dell'antichit. I tre personaggi, coloro che hanno fatto di pi per la logica moderna sono appunto: Platone,Aristotele, Crisippo. Platone e Aristotelesono due personaggi sul quale non c' bisogno di aggiungeremolto, perch tutti certamente conoscerete perlomeno i nomi; sono i due pi famosi filosofidell'antichit,coloro che ancora con le loro teorie oggi in qualche modo informano la filosofia moderna. Crisippo menonoto, ovviamente su Crisippo faremo anche su di lui una lezione, ma forse sar pi una scoperta, mentreinvece su Platone e Aristotele sar pi un dire qualche cosa che gi sapevamo o magari rivedere le cose chehanno fatto in maniera diversa, dal nostro punto di vista, dalla nostra angolazione. Cominciamo subito conPlatone. Sotto Platonevedete iscritto Accademia, perch ovviamente questa era la scuola che Platone aveva

fondato ecredo che il pi grande risultato che Platone port.Platone ovviamente questo signore che voi vedete nella statua,mentre alla destra c una parte del dipinto famoso della scuola diAtene di Raffaello. Ebbene il regalo che Platone port alla logica,che fece alla logica, quello che oggi viene chiamato il principio dinon contraddizione

due sono Aristotele e Goedel, di cui parleremo fra poco, verso lafine di questa lezione. Qui di nuovo abbiamo Aristotele anche luiritratto come Platone alla scuola di Atene, mentre qui alla sx c'un'altra statua dedicata a lui. Qual stato l'apporto fondamentale diAristotele alla logica? Beh, stato lo studio dei quantificatori, ciolo studio delle leggi che regolano il funzionamento e l'uso di

particelle come nessuno, qualcuno e tutti. Nessuno e tutti sonoovviamente contrapposti fra di loro, qualcuno sta a met, non nessuno n tutti. Ebbene, Aristotele fece uno studio dettagliato di

. Ho parlato poco fa dei sofisti, i sofisti nonusavano questo principio di non contraddizione, non chiaro chenon lo usassero perch non lo conoscevano o se invece loconoscevano e facevano finta di non conoscerlo, cio facevano i fintitonti come si potrebbe dire. Il principio di non contraddizionesignifica che non si pu impunemente dire una cosa e il suo contrarioallo stesso tempo. Non si pu dire oggi piove e dire oggi non

piove e poi pretendere che la gente creda a tutte le due cose, se ci stiamo riferendo allo stesso momento e

allo stesso giorno. Ebbene, la prima formulazione del principio di non contraddizione per lappunto inalcuni dei dialoghi platonici dei quali parleremo. Quindi questo un grosso risultato, il primo tentativo diisolare una delle grandi leggi della logica. Aristotele, invece, viene considerato in realt il padre fondatoredellalogica moderna e se dobbiamo dire il nome del pi grande logico mai vissuto, ebbene questo forse

veramente Aristotele e se invece dobbiamo dirne due, allora questi


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queste particelle che vengono chiamate quantificatori. I quantificatori solo una delle parti fondamentali dellalogica moderna.Il terzo personaggio della logica antica, della logica greca, Crisippo

abbiamo un'altra trinit e questa trinit costituita da Leibniz,BooleeFrege. Vediamo appunto pi da vicino anzitutto le loro

facce e poi cerchiamo di dire due parole su ci che fecero.Questa la faccia di Leibniz, naturalmente non pensate chequesto signore avesse questi bei boccoli in testa, erano delleparrucche, ci sono anche delle foto di Leibniz senza parrucca,completamente calvo, ma forse sono cose meno piacevoli davedere, quindi non le ho messe qua. Leibniz, come tutti sapete, stato un grandissimo e poi dovrebbero esserci dei puntini,

perch stato tantissime cose: stato giurista, diplomatico,ambasciatore, filosofo, matematico e cos via e fra le tante coseche ha fatto un uomo cos versatile e cos multiforme, statoanche un grande logico. stato colui che verso il 1600, fine del

1600, ebbe lavisione non in sogno, ma la visione filosofica, cioprecorse i tempi e praticamente inform con il suo pensiero, con isuoi sogni quella che poi sarebbe diventata la logica moderna. Il

. Platone aveva la sua Scuola che era l'Accademia,Aristotele aveva la sua Scuola che era il Liceo, Crisippo aveva

anche lui la sua scuola che era la Sto. Questi erano le tre grandiScuole di Atene, cio lAccademia, il Liceo e la Sto e di ciascunadi queste parleremo. Qual' stato il contributo invece di Crisippo?Ebbene, mentre Aristotele studi le regole dell'uso di questiquantificatori, Crisippo invece studi ci che oggi viene chiamatala logica proposizionale o meglio queste particelle linguistiche

che sono quelle che servono a mettere insieme delle frasi semplici per costruirne di pi complicate, questeparticelle vengono chiamate connettivi. Si chiamano connettivi perch connettono, mettono insieme perlappunto queste parti diverse. I connettivi che useremo e abuseremo anzi, verranno forse persino a noia,perch ne parleremo tantissimo e d'altra parte sono le parti pi essenziali del discorso logico, sono (questa la prima volta che li sentiamo, ma non sar l'ultima) la negazione (il non), la congiunzione ( le), la

disgiunzione ( lo) e inoltre, il pi importante di tutti dal punto di vista matematico e dal punto di vista delragionamento, la implicazione(il se ... allora). Un esempio con non: se voi avete una frase oggi piove,potete negarla, potete ottenere una frase che dice il contrario di questa, dicendo oggi non piove oppurenon vero che oggi piove. Un esempio con e: se voi avete due frasi: oggi piove ed io ho l'ombrello,potete metterle insieme dicendo: oggi piove e io ho l'ombrello, questa la congiunzione. Un esempio cono : poich la disgiunzione il connettivo che si usa quando si ha la possibilit di scegliere fra due cose,quando si ha un'alternativa , perci oggi mangio una pastasciutta o una bistecca, questa l'alternativa, ladisgiunzione. Infine il se... allora, come dicevo, il connettivo tipico dei ragionamenti matematici: sequesto vero, allora anche quest'altro vero, cio se l'ipotesi vera, allora anche la conclusione vera. Ilse.... allora per lappunto la congiunzione, la connessione, appunto per questo si chiamano connettivi, laconnessione tra l'ipotesi e la tesi, cio tra ci che si postula e ci che invece viene dimostrato. Quindi questifurono i grandi risultati della logica greca, a parte Platone che appunto fu praticamente un precursore,abbiamo da una parte Aristotele lo studio dei quantificatori, dall'altra parte Crisippo, con lo studio deiconnettivi e su questo appunto, come vi ho detto, ci fermeremo a lungo. Veniamo pi da vicini all'eramoderna ed ecco che dopo lunghi secoli, naturalmente nella logica ci furono altri personaggi che siinteressarono di logica nei secoli, in particolare durante la Scolastica, durante il Medioevo, ma di quelliparleremo poi in una delle lezioni che abbiamo chiamato interregno, appunto per far capire che era ilpassaggio dalla logica antica, dallera antica, all'et moderna, ma oggi non il caso di vederli, stiamosoltanto citando i nomi e i risultati pi importanti .Quando veniamo all'epoca moderna, ecco che qui


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suo sogno pi grande fu quello di avere, quello che appunto lui chiamava in latino la caracteristicauniversalis, cio di riuscire a costruire una lingua formale ovviamente, una lingua che fosse adatta a poteresprimere tutti i contenuti delle scienze, un qualche cosa che non fosse come la lingua naturale, che usiamotutti i giorni, che ha le sue imperfezioni, che ha anche i suoi problemi, tipo le antinomie che abbiamo visto,come quella del mentitore, eccetera, ma una lingua costruita a tavolino in qualche modo e che fosse per

formalmente perfetta. Ed ecco che questo sogno, che all'epoca era. soltanto un sogno, poi piano piano nelcorso degli anni, dei decenni, perch praticamente questo cominci verso il 1850 e sono passati dunque 150anni, questo sogno si concretizzato ed diventato praticamente quello che oggi noi potremo dire la linguadella logica matematica, ma per rendere pi chiaro la cosa, oggi che stiamo appunto soltanto facendosoltanto l'introduzione a questo argomento, si potrebbero dire che il sogno di Leibniz oggi si concretizzatoin quella che diventata la lingua dei calcolatori elettronici. L'informatica o meglio i programmi informaticisono precisamente versioni di quello che Leibniz sognava si potesse fare di questa caratteristicauniversale, questo linguaggio perfetto e puramente formale. Il prossimo personaggio invece quello cheforse potremo considerare veramente il primo logico moderno. Con Leibniz, con questo suo sogno si eraappunto nel 1676, mentre con Boole siamo nel 1849. Ebbene, a met dell'800, finalmente la logicamatematica incomincia ad uscire dal bossolo, a trasformarsi in qualche cosa d'altro e a prendere vita

autonoma. Boole, questo signore di cui ci sono pochissime foto, soltanto questa anzi ioconosco, ebbenequesto signore introdusse quella che oggi addirittura diventata qualche cosa che si chiama con il suo

cognome, cio la cosiddetta algebra booleana. Sulla algebra booleana dinuovo parleremo per un intera lezione, perch l'algebra booleana dauna parte un uovo di colombo, cio un'idea brillante che viene in mentesoltanto a persone geniali, perch cos semplice che noi tutti cipassiamo vicino senza mai riuscire ad usarla. Ebbene, questa algebrabooleana semplicemente l'idea di usare lo zero e l'uno, cio i primidue numeri interi, come se fossero l'analogo, dal punto di vistamatematico, di ci che nella logica, nel linguaggio, sono il vero e ilfalso. L'uno corrisponde al vero, lo zero corrisponde al falso, lascoperta di Boole fu che le leggi logiche, che regolano il

comportamento di vero e falso, sono praticamente le stesse leggi che regolano matematicamente oalgebricamente il comportamento dello zero e dell'uno. Ed ecco che allora algebra booleana significaprecisamente questo, cio comportarsi, lavorare, fare operazioni sullo zero e sull'uno, come se in realtquesti zero e uno stessero l ad indicare il vero e il falso. Ebbene questa una grande scoperta e fuveramente in qualche modo il punto finale, dico finale, dell'evoluzione della logica. Come mai il puntofinale? Perch in realt con l'algebra booleana si poteva descrivere da una parte la logica aristotelica, ilcomportamento di quei quantificatori di cui abbiamo parlato prima, perlomeno nel modo in cui li usavaAristotele e dall'altra parte il comportamento dei connettivi come veniva usato da Crisippo, cio l'algebrabooleana un unico mezzo che permette di parlare e di prendere sotto lo stesso tetto, due cose

apparentemente diverse, come la logica aristotelica e la logica di Crisippo. Questo era in qualche modo lachiusura, il completamento, la fine di un'epoca. Subito dopo ci sipoteva fermare l, ma invece venne questo signore austero, che sichiamaFrege, colui che veramente inizi la logica moderna, perch,come ho detto, Boole era pi che altro un completatore. La logica cheFrege introdusse, per la prima volta fu qualche cosa che andava oltrela logica che avevano gi studiato i greci, in particolare Aristotele eCrisippo. Si chiama oggi logica predicativa ed la logica deipredicati, la logica delle relazioni, quello che veramente servenella matematica, perch in matematica non si parla soltanto di cosetipo soggetto e predicato alle quali si interessava Aristotele, ma si

parla di relazioni in cui c' non soltanto un soggetto, ma ci possono essere pi soggetti, pi complementianche, quindi una struttura molto pi complicata. Tanto per fare un esempio, la relazione d'uguaglianza odisuguaglianza fra numeri, ecco che coinvolge due numeri e non soltanto uno, la relazione di maggiore


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oppure di minore e cosi via, sono relazioni che coinvolgono per lappunto due cose e non soltanto una e poice ne sono tante altre che ne coinvolgono pi di due addirittura. Senza una logica che permettesse di parlaredi queste relazioni multiple, invece che univoche, unarie come quelle di Aristotele, ebbene senza una logicadi questo genere il sogno di Leibniz di avere una lingua per le scienze non si sarebbe potuto concretizzare.Quindi a Frege, anche lui, dedicheremo un intera lezione. Poi finalmente arriviamo allera contemporanea,

cio al 900, a coloro che, non sono forse pi vivi, ma di cui, in qualche modo, abbiamo la memoria benviva. E questi personaggi sono Post eWittgenstein, che sono due persone, non una sola, non un cognomedoppio e Goedel eTuring. Questi sono veramente grandi nomi. Di questi ovviamente parleremo nonsoltanto una volta, ma pi di una volta, ma per ora appunto cerchiamo di dare un anteprima e di fare unERA CONTEMORANEA trailer come nei film. EbbenePost, nel 1920, scopre che la Post-Wittgenstein

logica diCrisippo, la cosiddetta logica proposizionale era completa

Goedel poteva andare oltre, lanalisi che aveva fatto Crisippo, bench lavesse. Non si

Turing fatta 2200 anniprima in realt eraun analisi conclusiva.Boole lavevariformulata in termini algebrici, ma oltre Crisippo, se si rimaneva

POST nellambito dei connettivi, non si poteva andare. Questo fu ungrande(1920) risultato che fu scoperto nonsoloda Post, ma in qualche modo fu

Completezza della intravisto anche da Wittgenstein in quegli stessi anni, il 1921.Anchelogica proposizionale Wittgentein stato un famoso filosofo, oggi certamente pi famoso

come filosofo soprattutto del linguaggio, che non come logico matema-tico, perch il suo contributo stato un pochettino minimale emarginale, ma qualche cosa rimane e rimangono in particolare questetavole di verit, che sono dei mezzi di cui parleremo quando sar ilmomento, dei mezzi per cercare di capire qual il valore di verit, cioil vero e il falso di una proposizione composta, riducendola in base aivalori di verit delle proposizioni che la compongono, cio sapendo chese le proposizioni semplici che costituiscono una proposizionecomposta sono vere o false, allora possiamo con questo mezzo delletavole di verit dedurre se la proposizione intera vera o falsa, quindiqualche cosa di tecnicamente utile. Ma a questo punto veniamo

veramente al secondo logico della storia, qualcuno dice addirittura il primo, comunque uno delle due grandidivinit di questo corso e non soltanto del corso, ma anche addiritturadi questo soggetto, cio della logicamatematica. Goedel che questo signore che vedete qui vestito con panama, con un vestito bianco e conquesta aria piuttosto truce, fu uno dei pi grandi pensatori del 900, scrivo qui 1930-31, perch Goedel fece

tantissime cose e a lui dedicheremo pi di una lezione, perchnon possibile appunto fare un corso di logica e poi trattarlocome tutti gli altri ovviamente, per i suoi due primi grandirisultati furono nel 1930 e 1931. Nel 30 dimostr la

completezza della logica predicativa, cio lanalogo di ci chePost aveva fatto per la logica proposizionale. Post avevadimostrato che oltre Crisippo non si poteva andare, ciolanalisi di Crisippo era stata completa per quanto riguardavaqueiconnettivi, ebbene Goedel dimostr che lanalisi di Fregeper quanto riguarda invece la logica predicativa anchessa erastata completa, oltre Frege nonsi poteva andare, se si voleva

rimanere allinterno di quellambito li. E poi invece nel 1931, Goedel dimostr il suo pi famoso teorema, ilcosi detto teorema di incompletezza della aritmetica; mentre sia la logica proposizionale, che la logicapredicativa sono complete e quindi in qualche modo noi siamo arrivati alla fine della storia della logica equindi non c pi altro da aggiungere, a meno di non scoprire, inventare altre logiche nuove, ebbene invece

in matematica le cose stanno diversamente. Il teorema di Goedel dice per lappunto che laritmetica incompleta, non nel senso che oggi non si sono ancora trovati tutti i suoi assiomi, tutte le sue propriet edunque bisogna aspettare qualche altro genio che lo faccia, ma lo dice nel senso che qualunque sistema di


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assiomi per laritmetica sar sempre incompleto, laritmetica non si pu completare; cio mentre con lacompletezza della logica predicativa siamo arrivati alla fine della storia della logica, con lincompletezzadellaritmetica invece siamo arrivati di fronte ad un muro, abbiamo capito che noi come uomini abbiamodelle limitazioni nei confronti della matematica e questo il motivo per cui il risultato di Goedel cosimportante. Lultimo personaggio invece di cui parliamo questoggi, ma anche a lui dedicheremo una

lezione e non sar lultimo di cui parleremo quando faremole nostre 20 lezioni, ebbene questo signore si chiamaTuring, checome vedete era uno sportivo, Turing correva poi con questonumero 01, che sta appunto a significare la logica dei computer ecos via; non a caso la logica dei computer, perch nel 1936questo signore invent quella che allepoca fu chiamata e tuttoraviene chiamata nei dipartimenti di matematica e di informatica lamachina di Turing, che non un automobile, non unacompetizione per la General motors o per la Ford o per la Fiat, quello che oggi noi chiameremo semplicemente il computer.Lidea del computer venne precisamente ad un logico

matematico, venne a questo sig. Turing, quando poi aveva tralaltro 24-25 anni, cos come Goedel, cio questi geni dimostrano i loro risultati quando sono molto giovani,ebbene gli venne, dicevo a Turing, lidea della machina del computer studiando i teoremi di Goedel,cercando di affrontare un problema diverso, che era appunto il problema della decibilit della logicapredicativa. Ho detto prima che le tavole di verit di Wittgenstein sono qualche cosa che permette didecidere per le formule, per le proposizioni della logica proposizionale di Crisippo, se sono vere o false, cun metodo che permette di fare questa decisione. Ebbene ci che Turing dimostr che non c un metodoanalogo per la logica, quindi bench la logica predicativa sia completa, come ha dimostrato Goedel, in realtqualche problema ce lha gi e non c nessun metodo che permetta di decidere ci che vero o falso ingenerale per la logica predicativa. Ebbene mi sembra di aver dato pi o meno un idea di ci che sar questocorso e soprattutto di ci che la logica matematica, cio qualche cosa che ha a che fare con tre areedifferenti, infatti se avete fatto attenzione, abbiamo parlato praticamente di tre aspetti molto diversi tra diloro, che sembrerebbero essere staccati a prima vista, che sono la filosofia anzi tutto, con Platone,Aristotele, Crisippo e cos via, poi abbiamo parlato di matematica , abbiamo visto Boole, Frege e cos via,che facevano analisi matematica e poi siamo arrivati alla fine a parlare di machina di Turing, cio dicomputer, cio di informatica. Ebbene uno dei motivi, non il solo, ma uno dei motivi che rendono la logicamatematica interessante proprio questo: il fatto che sia una materia che non soltanto serve, ma che sta inqualche modo nellintersezione di tre aree cos diverse, da una parte la filosofia, dall'altra parte lamatematica e dallaltra parte linformatica e allora la logica matematica pu essere interessante, perlappunto, per i filosofi, coloro che si interessano di filosofia, interessante per i matematici, perch partedella matematica e studia la matematica, studia il ragionamento matematico con metodi matematici ed

interessante anche per gli infornatici perch linformatica nata precisamente da problematiche logiche, stata creata da uno dei logici ed una parte praticamente di quella che la logica matematica moderna.Quindi questi sono i grandi argomenti di cui parleremo nelle prossime 19 lezioni e vi do semplicementelarrivederci alle prossime lezioni, sperando di avervi convinto che la logica matematica un qualche cosache vale la pena di conoscere, vale la pena di studiare.


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LEZIONE 2: I l naso di PinocchioSono Piergiorgio Odifreddi e sono qui per incominciare finalmente il corso di logica matematica. Abbiamoavuto una lezione introduttiva, in cui abbiamo cercato di familiarizzarsi con alcuni dei problemi e dellenozioni della logica matematica e anche soprattutto con alcuni dei personaggi, ma finalmente siamo arrivati

agli inizi del corso di lezioni e questo corso di lezioni ho pensato di organizzarlo sulla base dei personaggi,di alcuni dei quali abbiamo gi parlato, cio ogni lezione sar dedicata ad uno dei grandi logici del passato oa uno dei grandi problemi della logica del passato. Cominceremo ovviamente molto da lontano, verso il 500- 600 a. C., parleremo di filosofia per qualche lezione, poi piano piano ci avvicineremo alla matematica, allalogica matematica come stata sviluppata a partire da Leibniz, Boole, Frege, Russell e cos via, tutti nomialcuni dei quali avete gi sentito e finalmente poi concluderemo in bellezza, diciamo cos, il gran finale diquesto corso con l'informatica, perch ho gi detto appunto un'altra volta che logica matematica ha questointeresse, il fatto di essere nell'intersezione di tre aree molto diverse fra di loro, che sono appunto quelle cheho appena citato, cio la filosofica, la matematica e l'informatica, quindi uno strumento molto versatile,molto variegato che permette di essere utilizzato appunto in tanti campi differenti. Benissimo,incominceremo come ho detto molto da lontano e quest'oggi la nostra prima lezione di questo corso sarfatta su uno dei paradossi pi importanti, che qualcuno di voi avr gi capito, il paradosso del mentitore.Questa lezione, anzi tutte le lezioni saranno intitolate in una maniera un pochettino inventiva, per cercare distimolare anche l'attenzione. Il naso di Pinocchio ovviamente il simbolo della menzogna e quindiquest'oggi parleremo di menzogna, cercheremo di andare ad analizzare pi da vicinoquesto concetto diverit e di falsit e soprattutto lo faremo parlando per lappunto di uno dei paradossi pi famosi, il famosoparadosso di Epimenide, di questo signore raffigurato nella slide o perlomeno uno che gli rassomigliava.

Naturalmente quando si tratta di andare cos lontano nel tempo, il sestosecolo a. C., non mai chiaro di quali personaggi fossero questeraffigurazioni. Comunque era un greco del sesto secolo a. C., in realt uncretese, che un giorno ebbe la bella idea di dire questa frase i cretesi sono

bugiardi. Intendeva dire tutti i cretesi sono sempre bugiardi, diconosempre la falsit. Ebbene, che cosa pensate di una frase di questo generedetta da un cretese, che cosa significa? Pu essere vera una frase di questogenere? Ovviamente non pu essere vera, perch se vero che i cretesi sonodei bugiardi, il signor Epimenide viene da Creta, quindi un cretese e se

essere dei bugiardi significa dire sempre la falsit, beh, insomma questo era semplicemente qualche cosache non poteva essere vero. Allora abbiamo gi fatto un primo passo, abbiamo gi ottenuto un qualcherisultato, abbiamo scoperto che questa frase detta da Epimenide, non pu essere vera. Il problema per chela cosa si ferma qui, perch non c' nessun motivo di credere che questa frase possa essere vera. Che cosavuol dire che questa frase non pu essere vera? Vuol dire che non vero che tutti i cretesi dicono sempre ilfalso, il che significa che qualche cretese a volte dice la verit. Ora quel qualche cretese, non affatto

detto che sia per forza Epimenide, colui che parlava e se anche fosse lui, poich qualche cretese dice a voltela verit, non affatto vero, non affatto detto che sia proprio questa la frase di cui si sta parlando. Quindiabbiamo una frase di fronte a noi che sembra problematica, ma semplicemente una frase falsa, che nonpu essere vera, ma la cosa si ferma qui, non c' ancora nessun paradosso. Il fatto che questa frase che ingenere viene ripetuta, perch una frase molto famosa appunto, viene ripetuta come se fosse un paradosso,gi dice che forse ci sarebbe bisogno, per coloro che lo fanno, di seguire questo corso che appunto uncorso di logica, che ci insegner pian piano a districarsi in questi rompicapo, a cercare di capire dove sono iproblemi in questo caso. Benissimo, se non un paradosso questa frase, per abbastanza vicina ad un


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paradosso. Questaltra frase invece dovuta a un signore che si chiamaEubulide di Megara del quinto secolo a. C., il quale ovviamente di nuovonon lui nella raffigurazione, questo Pinocchio appunto, al cui nasoabbiamo intitolato la nostra lezione; ebbene Eubulide riformulquest'osservazione di Epimenide, che diceva tutti i cretesi mentono, ma io

sono un cretese, perch cera qualche cosa di strano e la riformuldicendo semplicemente io sto mentendo, cio quello che sto dicendo inquesto momento unamenzogna. Allora andiamo a vedere pi da vicino

se effettivamente questa frase di Eubulide ha dei problemi. Pu essere vera una frase di qualcuno che diceio sto mentendo?. Beh, ovviamente no, perch se fosse vera sarebbe vero che lui sta mentendo e dunquequello che sta dicendo dovrebbe essere falso; quindi certamente non pu essere vera, ma questo era gi ilcaso anche della frase di Epimenide. Vediamo adesso se questa frase pu essere falsa. Beh, se fosse falsa,allora sarebbe vero il contrario di quello che dite, ma sta dicendo io sto mentendo, dunque il contrariodovrebbe essere io sto dicendo la verit. Allora nemmeno falsa pu essere questa frase. Ed ecco chefinalmente Eubulide un secolo o un secolo e mezzo dopo Epimenide, riusc a trasformare questa frase diEpimenide in un vero e proprio paradosso, a costruire una frase che a prima vista sembra innocua, per

attenzione, c' un qualche cosa di molto interessante, qui c' un autoriferimento, si sta parlando di se stessi,anzi la frase sta dicendo qualche cosa su se stesso, sta dicendo di essere falsa, cio colui che parla stadicendo qualche cosa su se stesso, sta dicendo che sta mentendo. Ebbene, abbiamo costruito una frase chenon pu essere n vera n falsa. Questo fu effettivamente un trauma, perch si pensava che la verit fosse unconcetto universale, che le frasi appunto fossero tutte o vere o false, le frasi ovviamente ben poste, benformate nel linguaggio e invece Epimenide e Eubulide scoprirono questo trucco, fecero vedere che la veritha dei problemi e vedremo che ne ha parecchi. In questa lezione cercheremo di vedere varie versioni, variemetamorfosi di questo paradosso, per cercare di familiarizzarsi proprio con questa nozione di verit. Unadelle prime versioni quella data dallo stoico Diogene Laerzio nel secondo secolo a. C., una storiella cheparla di una mamma e di un coccodrillo. Eccolo qua il coccodrillo, questo non naturalmente la mamma,nella figura ci sono due coccodrilli. Ebbene la storiella la seguente: i coccodrilli, si sa sono cattivelli, a d

un certo punto un coccodrillo rapisce il figlio di questa mamma e adun certo punto le dice: te lo rid questo figlio, altrimenti me lomangio, te lo rid se tu riesci a indovinare che cosa io far. Lamamma gioca con il fuoco ovviamente e dice al coccodrillo: io credoche tu ti mangerai mio figlio. Ovviamente questa unariformulazione del paradosso del mentitore, perch se la mamma hadetto il vero, se ha indovinato che coccodrillo voleva mangiare ilfiglio, allora effettivamente il coccodrillo ha promesso che nel casoche la mamma indovinasse le avrebbe restituito il figlio. Quindi lamadre, giocando con questo trucco, diciamo cos, inventato da

Eubulide e Epimenide, riesce a salvare il bambino dalle fauci delcoccodrillo, che come vedete qui erano gi ben aperte per papparsi il povero bambino. Quindi questa unariformulazione in chiave, diciamo cos, scherzosa, storica delparadosso di Epimenide. Un'altra riformulazione, naturalmentefacciamo salti, passi da gigante in questo corso, in cui stiamoimparando molto, la ritroviamo nel quattordicesimo secolo, ancheperch le metamorfosi del paradosso di Epimenide, cio ilparadosso del mentitore, sono infinite, non possiamo fare altroche parlarne un pochettino cos, dare un accenno a qualcuna diqueste metamorfosi. Una di queste metamorfosi, una di questeforme, fu inventata dal famoso Buridano, dico famoso non come

filosofo, ma perch tutti conoscono il cosiddetto asino diBuridano, che a un certo punto mor di fame perch si trovavaalla stessa distanza da due mucchi di fieno e non sapeva quale


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scegliere di due e non riusc a decidersi, ad andareda nessuna parte e cos mor. Ebbene, Buridano in realtnon invent soltanto la storiella dell'asino, ma era un logico, per lappunto, del quattordicesimo secolo, cheformul una versione molto interessante del paradosso di Epimenide, perch si era sempre pensato fin aquell'epoca, durante la Scolastica, che i problemi del paradosso del mentitore, fossero per lappunto inquesta autoreferenza, nel fatto che si sta parlando di qualche cosa dicendo io sto facendo qualche cosa,

io sto mentendo e sipensava che il problema fosse per lappunto quello. Ebbene, Buridano fece vedereche il problema non era affatto quello, perch immagin una storiella in cui c'era da una parte Socrate edall'altra parte Platone due dei grandi filosofi che aprirono un pochettino la storia della filosofia occidentale,della filosofia greca. Ebbene, Buridano immagin il seguente dialogo fra i due, Socrate questo signorequa gi, che sta parlando appunto ai suoi discepoli e dice Platone dice il falso. Platone che cosa risponde?Platone qua gi, nel dipinto di Raffaello, la Scuola di Atene, Platone dice ovviamente che Socrate diceil falso. Allora abbiamo una situazione in cui il maestro dice che lallievo sta dicendo il falso e lallievosta dicendo che invece il maestro dice il falso, cio l'autoriferimento si semplicemente spezzato in dueparti e non c' pi quell'autoriferimento diretto, diciamo cos, che c'era invece nel paradosso del mentitore.

Possiamo vedere questo autoriferimento pi da vicino, in unamaniera un pochettino pi logica, forse un pochettino pi seria, in

questa slide: la prima fase dice la frase seguente falsa. Laseconda fase dice la fase precedente vera. Queste frasi, unaqualunque di quelle frasi, vera o falsa o qual' la situazione?Proviamo a vedere, cominciamo con la prima. Questa frase, seappunto la verit fosse qualche cosa che merita il nome deldelegato, dovrebbe o essere vera o falsa. Cominciamo asupporre che sia vera: se la prima frase vera, quello che dice

deve essere effettivamente quello che succede, cio la frase seguente deveLa frase seguente falsa devessere falsa. Allora quello che dice la frase che segue non pu essere

vero, poich la frase che segue dice la fase precedente vera, alloraLa frase precedente vera poich questa frase non pu essere vera, questo significa che la fraseprecedente deve essere falsa. Allora abbiamo supposto che la prima frase fosse vera, abbiamo dedotto chela seconda frase non pu essere vera, poich la seconda frase stava dicendo che la prima era vera, dunqueabbiamo dedotto che la prima falsa, quindi non possibile che la prima frase sia vera, devessere allorafalsa. Ora vediamo se vera: se la prima frase fosse falsa, sta dicendo che la frase seguente falsa e sequesta non vera, allora la frase seguente deve essere vera. Andiamo a vedere che cosa dice la fraseseguente; beh, la frase seguente dice: la precedente vera; abbiamo supposto che la prima frase fosse falsa,abbiamo dedotto che quello che diceva la seconda era vera, la seconda diceva che la prima era vera. Quindiqui notate, non c' nessun autoriferimento, si sta soltanto parlando della frase seguente; se sopra ci fossescritto la frase seguente falsa e sotto ci fosse scritto io sono il capo di governo, effettivamente sarebbestata una situazione perfetta, perch io non sono capo di governo, quindi la frase seguente sarebbe

effettivamente stata falsa e cos pure per questa frase qui la fase precedente vera, se sopra ci fosse statoscritto io sono professore di logica che sta facendo il corso adesso a Nettuno, insomma questa frasesarebbe stata vera, la frase precedente sarebbe stata vera. Queste due frasi di per s, staccate, possonobenissimo essere vere e naturalmente possono anche benissimo essere false, non c' nessuna contraddizionein nessuna delle due, ma nel momento in cui le si mette insieme, ecco che succedono i pasticci, un po' comea volte succedono nei matrimoni o nei fidanzamenti, che le persone singolarmente possono esseresimpaticissime eccetera, quando poi le si mettono insieme succedono i pandemoni. Questo precisamentequello che succede in questo caso. Allora, abbiamo capito gi una cosa, che nel paradosso del mentitore, nelparadosso di Epimenide, di Eubulide, nel fatto di dire io sono falso e di trovare dei problemi, delleconseguenze non aspettate e non piacevoli in questa frase, ebbene il problema non sta nel fatto che ci si staautoreferendo, non sta nel fatto di dire: bah, una frase che dice io sono falsa, insomma potrebbe non avere

nessun significato, perch possibile spaccare questo autoreferenza, distruggere, diciamo cos,l'autoreferenza, il circolo vizioso e separare la frase in due frasi differenti che hanno gli stessi problemi dellafrase precedente. Benissimo, quali sono le soluzioni che sono state proposte di questo paradosso?


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Naturalmente prima dei tempi moderni, perch la logica matematica fortunatamente ha fatto dei passi avantie quindi arrivata a dei risultati molto concreti. Ebbene delle soluzioni che sono state proposte dai greci edagli Scolastici soprattutto, perch queste sono le due scuole filosofiche che pi si sono interessate di questiargomenti, prima per lappunto dei tempi moderni, la prima soluzione stata semplicemente quella didire che lefrasi paradossali erano cose senza senso, erano dei non sense,direbberogli inglesi o senza

Soluzioni del paradosso senso, comediremonoi in italiano, cio addirittura arrivarono1. Non-senso a sostenere che la verit qualcosa di sottile,dievanescente, di2. Uso e menzione sfuggente e che ci sono delle frasi e degli esempi, deltipo io3. Linguaggio e metalinguaggio non sono vero, io sto dicendo il falso, che sono per lappunto4.Pi valori di verit frasi che non possono essere ne vere ne false, ma per l'unicomotivo che non hanno nessun senso. Sono frasi che sembrano grammaticalmente corrette, sembrano fattecome le altre frasi e quindi dovrebbero a prima vista essere o vere o false, poi per c' qualche cosa dinascosto, qualche germe che inficia la loro correttezza sintattica. C' stato un tentativo differente di dire, bahbisogna stare attenti, perch qui si sta facendo una confusione tra quello che oggi noi chiameremo l'uso e lamenzione, cio quando si dice che una frase vera, si sta parlando di un qualche cosa di diverso, si stausando la frase, mentre invece la frase che dice di se stessa di non essere vera, non sta usando un'altra frase,

perch lei stessa che lo sta dicendo e quindi c' questo circolo vizioso e forse dicevano gli scolasticipotrebbe esserci la soluzione del paradosso in questa separazione fra queste due nozioni. Vedremo poi inseguito che, in realt, non qui il problema. Questa invece che una proposta Medioevale, una propostaScolastica, pi vicina a quello che oggi noi diremo la vera soluzione del paradosso del mentitore, ciouna distinzione tra linguaggio e meta-linguaggio. Qui bisogna che diciamo due parole su questi due concettiche sono veramente importanti: il linguaggio praticamente la lingua di cui si sta parlando e il meta-linguaggio la lingua in cui noi parliamo del linguaggio. Il modo pi semplice di capire la differenza fralinguaggio e meta linguaggio supporre, per esempio, di stare imparando una lingua straniera, ad esempiol'inglese. Quando noi impariamo l'inglese, agli inizi ovviamente non cominciamo subito a parlare in inglese,si va a scuola e si comincia a dire, bah, l'inglese fatto cos, scritto in questo modo, ci sono queste regoleeccetera. Notate, stiamo imparando una lingua, che si chiama per lappunto il linguaggio dal p. di v. logico,ma ne stiamo parlando, la stiamo imparando in unaltra lingua che si chiama per lappunto ilmetalinguaggio. Nel caso dellesempio che ho appena fatto, cio di imparare una lingua straniera, la linguastraniera il linguaggio e l'italiano in cui noi descriviamo la grammatica, la sintassi, la semantica eccetera,di questa lingua che non ancora conosciamo si chiama metalinguaggio, quindi questi due livelli. Ebbene,l'idea di questa soluzione, di distinzione tra linguaggio e metalinguaggio appunto quella di dire: quandosi dice che qualcosa vero o qualche cosa falso, si fa un'affermazione nel meta-linguaggio (italiano),mentre si sta parlando del linguaggio(inglese) e le frasi che dicono io non sono vera, fanno una confusionefra questi due livelli, perch mischiano i due livelli in uno solo. Dicono io non sono vera, ma io dovreiessere nel linguaggio (inglese) e il fatto di dire vera, vuol dire che mi sto ponendo invece fuori dallinguaggio, mi sto ponendo nel metalinguaggio (italiano). Vedremo che questo precisamente uno dei

tentativi di soluzione di Tarski. Un altro tentativo, a cui accenno soltanto, ma per dirvi che in realt la logicasi sviluppata anche in direzioni differenti, quello di dire, bah, ci sono forse tanti valori di verit, il vero eil falso sono due prime approssimazioni, sono i pi importanti valori di verit che una frase pu avere, ma ilfatto che ci siano delle antinomie, come quella appunto del mentitore, ci fa supporre che ci possono esserealtri valori di verit, cio ci possono essere delle frasi che non possono essere ne vere e ne false e devonoessere qualche cosa altro, cio questo anche un modo molto elegante di uscire dall'impasse che ilparadosso del mentitore, ma pi in generale i paradossi provocano, dicendo appunto troppo restrittivolimitarsi a considerare soltanto verit e falsit, ci devono essere altri valori di verit e i paradossi sonoprecisamente delle frasi che hanno quegli altri valori di verit. Queste sono appunto alcune delle soluzioni,diciamo cos , classiche medioevali. Veniamo un po' pi vicino a noi, questa una fotografia e questa lafirma del famoso scrittore spagnolo Cervantes che scrisse per lappunto il Don Chisciote. Ebbene, in uno

degli episodi del Don Chisciote, ad un certo punto Sancho Panza, che voi tutti ricorderete era il cavaliere, loscudiero di Don Chisciote della Mancha, diventa governatore di una di una provincia della Spagna, il


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Barataria. Diventa governatore e come sempre succede aigovernatori, gli si presentano dei casi moltostrani , in particolare un giorno arriva in tribunale un signore che dice: ad un certo punto ci siamo trovati,noi siamo dei militari, ci siamo trovati di fronte ad una situazione insostenibile perch siamo stati messiin origine di fronte ad un ponte, con l'idea che possiamo far passare da questo ponte soltanto coloro che

diconola verit e dobbiamo invece impiccare coloro che chiedono

invece impiccare coloro che chiedono di passare il ponte che cidicono il falso, quando ne chiediamo il motivo. Quindi in questoponte possono passare i veritieri, coloro che dicono il vero, manon possono passare i bugiardi, coloro che dicono il falso.Ebbene, succede dicono i militari, che un giorno arriva un signore,lo fermano, gli dicono: tu vuoi passare questo ponte, dici comemai vuoi passare questo ponte. Questo signore dice: sono venutoqui, voglio passare il ponte perch voglio farmi impiccare in basea questa legge ed ecco che di nuovo si riproduce il paradosso delmentitore. Se fosse vero che lui vuole farsi impiccare in base alla

legge, starebbe dicendo il vero e dunque bisognerebbe farlo passare e viceversa. Allora Sancho Panza ha

una sentenza molto salomonica. Dice, bah, evidentemente questo signore, una parte della frase che ha dettoera vera, l'altra parte era falsa, voi militari dovreste implicare la parte di questo signore che ha detto il falsoe lasciare passare la parte di questo signore che invece ha detto il vero; naturalmente una soluzione unpochettino ironica, tipica appunto di questo romanzo, di quest'epoca. Bene, vediamo invece pi vicino a noi,perch in realt stiamo facendo un corso di logica per lappunto e quindi vorremmo cercare di capire pi davicino dove si situano i problemi.Ebbene, nel 1908 questo filosofo Grelling, non molto noto, noto soprattutto per questa riformulazione delparadosso del mentitore, scopr appunto che situazioni analoghe a quelle del paradosso del mentitore sitrovano in tanti campi del sapere e in particolare si trovano addirittura anche nella linguistica, nella

Grelling grammatica normale. Lui defin due aggettivi di cui non avete mai(1908) sentito parlare, perch appunto li ha definiti questo signor Grelling.

autologico: Il primo aggettivo si chiama autologico e come dice la parola si riferisce a se stesso qualche cosa che si riferisce a se stesso. Quand che un aggettivo

eterologico: autologico? Quando si riferisce a se stesso. Per es. corto, beh, cortonon si riferisce a se stesso un aggettivo molto corto, quindi per lappunto un aggettivo autologico.

Lungo, beh, lungo non pi lungo di corto, perch ha lo stesso numero di lettere, quindi certamente non siriferisce a se stesso e allora Grelling invent per questo tipo di aggettivi, come lungo, la parola eterologico,cio che non si riferisce a se stesso. Quindi ricordatevi autologico, un aggettivo che descrive una proprietche vera per se stessa e eterologico un aggettivo che descrive una propriet che invece non veradell'aggettivo stesso. Il problema che Grelling pose fu: eterologico come aggettivo autologico oeterologico?

Eterologico : Cio laggettivo eterologico, cio che non si riferisce a se stesso, si riferisce aautologico? se stesso oppure no?Ed chiaro che qui siamo di nuovo alle stesse solfe. Avrete

capito che il paradosso del mentitore nasce sempre quando si tratta di parlare dieterologico? un caso di vero e falso, in questo caso di riferirsi a se stesso oppure no. Si fa unafrase oppure si costruisce un concetto, che anzitutto si riferisce a se stesso e che poi usano, nel caso dellaverit il falso e nel caso del riferirsi a se stesso usano leterologico, cio non riferirsi a se stesso. Potete farecome esercizio, se volete a casa, cercate di vedere se eterologico autologico o eterologico, ovviamente viaccorgerete che in tutti e due i casi non c' possibilit di rispondere, perch se eterologico fosse autologicodovrebbe essere qualche cosa che si riferisce a se stesso e dunque dovrebbe appunto essere eterologico edunque non riferirsi a se stesso e cos via. Quindi queste cose sembrano un po dei giochi di prestigio, deigiochi d'equilibrio, ma fanno vedere come il paradosso del mentitore non ha niente a che vedere con laverit o con la falsit, si pu anche riformulare in un modo che appunto si riferisce soltanto alla grammatica.Andiamo avanti e qui vediamo un signore che stato uno dei pi grandi logici di questo secolo. Ho dettopi volte in altre edizioni che il pi grande logico del secolo e forse della storia stato questo Goedel, di cui


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abbiamo gi accennato, ai cui teoremi abbiamo gi accennato, maallo stesso livello o poco meno, diciamo cos, del livello di Goedelcera questo signore, Tarski, un logico polacco che emigr negliStati Uniti e che nel 1936 fece uno dei grandi teoremi appuntodella logica moderna,cio riusc a dare una definizione di verit. Di

questa definizione di verit parleremo molto estesamente in unalezione che dedicheremo soltanto a Tarski, perch cercheremo diandare nei dettagli, di vedere com che Tarski defin la verit, mala cosa che c'interessa in questo momento da vicino che, questadefinizione di verit, Tarski la diede ovviamente per i linguaggi

formali, per i linguaggi della matematica, ma il grande teorema, il teorema importante di Tarski fu ilseguente: il fatto che la verit, cos come lui la defin, non definibile nel linguaggio, ma soltanto nelmetalinguaggio. Ricordate la distinzione che abbiamo fatto prima: il linguaggio quello nel quale parliamo(inglese) e il metalinguaggio il linguaggio nel quale parliamo del linguaggio (italiano), cio in qualchemodo un livello superiore. Ebbene la definizione di verit di Tarski una definizioneper la verit delLa verit non definibile nel linguaggio, linguaggio e nel caso del linguaggio della matematica,

solo nel metalinguaggio per esempio, dell'aritmetica, Tarski diede una descrizionemolto precisa, molto matematica, diciamo cos, senza assolutamente nessun problema filosofico. Per ilproblema che, questa definizione di verit che viene data per il linguaggio, deve essere data nelmetalinguaggio, cio in un linguaggio diverso; non possibile per una teoria matematica, che il linguaggiomatematico sia in grado di dare la sua stessa definizione di verit. Come mai? Beh, non possibile proprioperch c' il paradosso del mentitore, cio nel 1936 Tarski riscopre non il paradosso del mentitore, perchquello non era mai stato dimenticato, ma scopre diciamo cos meglio, la possibilit di utilizzare il paradossodel mentitore all'interno della matematica. Trova una definizione di verit per il linguaggio e dimostra che,se questa definizione fosse esprimibile nel linguaggio stesso, allora sarebbe possibile derivare nel linguaggioil paradosso del mentitore e dunque ci sarebbe una contraddizione nella matematica; se noi invecesupponiamo che la matematica sia libera da contraddizioni, ossia quella che i logici chiamano consistente,ebbene in qualunque teoria consistente non possibile costruire nessun paradosso, in particolare ilparadosso del mentitore e questo significa che non possibile dare la nozione di verit, la definizione diverit all'interno del metalinguaggio. Questa in realt una versione del teorema di Goedel, che dice che leteorie matematiche sono incomplete, sono limitate e questo tipo di limitazione che scopr Tarski propriouna limitazione che oggi chiameremo semantica. la limitazione del fatto di non poter parlare dellapropria verit all'interno del sistema. Quindi in pratica proprio la soluzione o perlomeno un uso modernodelle soluzioni medioevali a cui ho accennato poco fa, dicendo che appunto non si poteva pensare dirisolvere il paradosso del mentitore, separando questi due livelli, cio il linguaggio e il metalinguaggio edicendoio dico il falso qualcosa che non si pu costruire, perch mi obbliga a stare nel linguaggio edico il falso, mi obbliga invece a stare fuori, a stare nel metalinguaggio e queste due cose devono essere

distinte, devono essere tenute separate. Il teorema di Tarski dimostra, per lappunto, che devono essereseparate, perch esiste una definizione di verit, ma se questa definizione di verit del linguaggio fossedentro il linguaggio ci sarebbe una contraddizione e allora deve stare fuori. Questo per appunto uno deigrandi risultati della logica moderna.Qui vediamo invece Bertrand Russell che fu insomma un famoso filosofo, come logico agli inizi del secolo

sembrava che sarebbe stato destinato a diventare il pi importante,invece forse i suoi contributi non furono cos grandi, ma oggi neparliamo per quanto riguarda il paradosso del mentitore, anche a luidedicheremo una lezione molto pi in l, verso la fine del corso equindi vedremo meglio quali sono stati i suoi contributi. Ebbene,Russell nel 1918 scopre questa riformulazione del paradosso del

mentitore: consideriamo un barbiere in un villaggio che radetutti e soli gli abitanti del villaggio che non si radono da soli,cio il villaggio piccolo, non c' bisogno di pi di un barbiere


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comune, questo barbierefa la barba a tutti gli abitanti del villaggio che non si fanno la barba da soli, masoltanto a loro. Allora domanda che Russell pose : chi rade il barbiere? Ovviamente il barbiere non si puradere da solo perch, per definizione, abbiamo appena detto che questo un barbiere, che fa la barbasoltanto agli abitanti della citt che non si fanno la barba da soli, quindi non se la pu fare lui. E allora nonsi rade, voi direte, eh, no, perch se lui non si rade, allora uno degli abitanti della citt che non si fanno la

barba da soli, quindi deve andare dal barbiere, quindi deve farsi la barba. Ed ecco che di nuovo, il solitotrucco, il solito circolo vizioso viene scoperto in una forma molto diversa. Attenzione, questo non unparadosso, perch questo vuol soltanto dire che non c' nessun barbiere di quel genere, non esiste unvillaggio in cui ci sia un barbiere che rade tutti e soltanto gli abitanti della citt. Per possiamo avvicinarciun pochettino di pi e andare a scavare, diciamo cos meglio, sotto questo paradosso del mentitore nellaforma del barbiere. Questa nuova riformulazione fu fatta nel 1947 da questo filosofoReichenbach, unfilosofo della scienza che non , ovviamente, questo signore, lavrete conosciuto, Kirk Douglas, il pap diMichel Douglas, che oggi forse pi famoso per i giovani. Questo un fotogramma di un famoso film diKubrick che si chiama orizzonti di gloria, un grande film antimilitarista degli anni 50, un bellissimo film,

forse uno dei pi belli di Kubrick; ebbene, lo abbiamo messo quisoltanto perch Reichenbach diede una riformulazione del paradosso

del mentitore nella forma di Russell del barbiere, parlando di barbieridella caserma. Che cos' cambiato questa volta? E cambiato il fatto chequando si in caserma, qualcuno di voi avr fatto il militare, qualcunodi voi dovr farlo primo o poi, ebbene sapete tutti che in caserma,quando si danno gli ordini, agli ordini si deve obbedire e non si pustare a questionare, a dire, mah, scusi il suo ordine non mi sembra unqualche cosa di logico, mi sembra contraddittorio, perch si finisce

subito in galera e quindi bene non farlo. Allora la riformulazione data da Reichenbach del paradosso delbarbiere, nella forma di Russell, la seguente: supponiamo di essere in caserma, supponiamo che questosignore con l'aria veramente burbera, stia dicendo a questo signore, che sempre un militare, tu deviradere tutti e soli i militari della caserma che non si radono da soli. Ora ci troviamo nella stessa situazionein cui ci eravamo trovati prima, parlando ovviamente di Russell, cio non sarebbe possibile per il militareradere tutti e soli i militari della caserma che non si radono da soli, perch c' questo circolo vizioso, se luinon si rade, allora dovrebbe radersi e se invece si rade, allora non dovrebbe radersi. La differenza, quelloche cambiato dal caso precedente, che il signore (qui appunto Kirk Douglas) ha dato un ordine e ilmilitare non pu rifiutarsi di obbedire; per l'ordine contraddittorio, quindi che cosa pu fare il poveromilitare? Ed ecco che stiamo scoprendo che l'antinomia, diciamo cos, il paradosso del mentitore, chesembrava essere poi un giochetto di questi poveri greci, cretesi che dicevano tutti i cretesi mentonoeccetera, in realt pu avere anche delle applicazioni nella vita quotidiana e in particolare possono essercidelle situazioni in cui qualcuno si trova, per lappunto, come questo povero soldato nella caserma, adover ubbidire o a dover sottostare a degli ordini che sono contraddittori. Che cosa succede? Ebbene

succedono delle cose purtroppo molto spiacevoli, perch comeci ha insegnato questo signore, vedete Gregory Bateson, unodei grandi filosofi della fine della seconda met del secoloventesimo, che ha spaziato in tanti campi, che ha scoperto cheil paradosso del mentitore, sta alla base praticamente o imeccanismi che sottostanno al paradosso del mentitore, stannoalla base di alcune malattie mentali ed in particolare, guardateun po, c' questa malattia che si chiama ebefrenia, forse pochidi voi la conoscono. Lebefrenia una fissazione sullinguaggio; molti di voi, io non posso dirlo perch stiamoregistrando in televisione, ma molti di voi a volte avranno detto

ai loro amici, ma vai..., per esempio possiamo dare una versione edulcorata, ma vai a dormire; ebbenelebefrenico che ha questa malattia mentale, sente la frase del linguaggio, io gli dico vai a dormire e lui va adormire, nel senso che non capisce che vai a dormire un modo cos, diciamo, obliquo di dirgli togliti dai


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piedi. Crede che il linguaggio dica effettivamente quello che effettivamente il linguaggio dice in manieraaperta e c' questa sensazione, cio l'incapacit di capire che dietro il linguaggio, dietro il primo strato,dietro appunto l'aspetto linguistico, ci pu essere il metalinguaggio, ci pu essere un secondo significato esentirsi dire vai a dormire, pu significare appunto semplicemente togliti dai piedi. C' una malattia uguale econtraria che si chiama paranoia; la paranoia invece la fissazione sul metalinguaggio. Questa volta il

paranoico invece cerca sempre un livello diverso delle cose che gli vengono dette e non riesce mai a capireche a volte le cose che gli vengono dette sono quelle che vengono dette; per esempio, se incontrate unasignora o una signorina paranoica e le dite; oh, come sei bella quest'oggi, magari intendendolo, la signorinaparanoica, ah, ho capito cosa vuoi dire, ecco mi stai dicendo che sono bella perch in realt hai visto chesono vecchia o cose del genere. Il paranoico fa questa cosa. Ed ecco che allora la distinzione fra linguaggioe metalinguaggio che sembrava essere una distinzione innocua, praticamente, semplicemente linguistica elogica, in realt sta sotto per lappunto queste malattie e quindi si potrebbe dire un motto, in qualche modosintetizzare il pensiero di Bateson in un motto, dicendo o si logici o si riesce a distinguere tra linguaggioe meta linguaggio o si patologici, cio si diventa dei malati mentali in qualche modo. Quindi l'idea delparadosso del mentitore pu aiutare, addirittura, secondo Bateson a superare queste malattie mentali, chenon riescono a capire la differenza tra linguaggio e metalinguaggio e uno degli ordini che hanno reso

famoso per lappunto Bateson nelle sue terapie con i malati mentali il seguente ordine: disobbedisci! Oraun malato che si trovi di fronte ad un ordine di questo genere, ma non soltanto malato, ma anche chiunque dinoi, si troverebbe nei problemi. Come si fa a disobbedire, a obbedire ad un ordine che dice disobbedisci.Disobbedire significa non stare a seguire l'ordine che ti sto dicendo; se ti ordino per di disobbedire, allora

se tu effettivamente mi disobbedisci, stai obbedendo e se inveceobbedisci deve disobbedire e quindi c' questo circolo vizioso. sembra, io non ho esperienza, fortunatamente di questi ambienti,per sembra che effettivamente questa terapia paradossale, questotipo di ordini che cercano di rompere i circoli viziosi che si trovanoa volte nelle malattie mentali, si possono effettivamente utilizzareper questo tipo di ordini, per lappunto, per spezzare la malattia e inqualche modo squilibrare lo squilibrato, cio per evitare checontinui questa fissazione. Ebbene allora, abbiamo capito, credoche ci stiamo avvicinando per lo meno, alla comprensione del fattoche la verit e la menzogna non sono poi cose cos secondarie, non


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sono cose di cui si devono interessare soltanto i logici, soltanto i matematici o se volete, pi in generale,soltanto i filosofi; sono qualche cosa che hanno a che fare con la vita quotidiana. Ebbene, allora per finire,per arrivare pi vicini a noi, voglio farvi alcuni esempi di come effettivamente si riesca anche nell'arte,anche nella cultura, ad usare il paradosso del mentitore in maniera a volte abbastanza inaspettata. Noi non ce

ne accorgiamo, ma una volta che noi siamo stati allertati, quindi forse anche voi

dopo questa lezione, incomincerete a vedere che effettivamente verit e menzognasono un pochettino ubique dappertutto, si trovano anche nella cultura pi ingenerale. Questo signore che molti di voi conosceranno, uno dei grandi scrittoridi questo secolo, uno scrittore che ebbe dei grandi problemi a causa delle suepreferenze sessuali e del fatto che poi fin in galera, fin sotto processo ed OscarWilde. Ebbene, Oscar Wilde fece della menzogna addirittura una bandiera e unadelle sue frasi celebri, Oscar Wilde era famoso per i suoi aforismi, una delle sue

frasi pi celebri precisamente questa che la menzogna lo scopo dell'arte. Ebbene, se voi ci pensate unmomentino, effettivamente capite che l'arte in realt tutta fatta sulla menzogna. Quando voi guardate peresempio un dipinto o quando guardate anche soltanto una figura, una raffigurazione, una immagine, unafotografia, ebbene tutto questo menzogna. Qui si sta ponendo, sulla carta, diciamo cos, del colore e questo

colore, che una raffigurazione, dovrebbe in qualche modo indicare una persona, ecco la differenza fra illinguaggio e il metalinguaggio. Il linguaggio l'immagine, la fotografia, il meta linguaggio il significato,Oscar Wilde stesso in questo caso. Ebbene, l'arte tutta basata su questo; pensate alla prospettiva peresempio, che un modo di distorcere le linee in maniera apposita, cos da far pensare, da far risultare

l'immagine che poi noi vediamo, come se fosse vera. Si mente perdire la verit, si disegnano le cose appositamente distorte in mododa farle apparire quasi vere, di farle apparire proporzionali. Peresempio la famosa anamorfosi: voi andate a Roma a visitare laCappella Sistina, ebbene ci che voi vedete dal basso dellaCappella Sistina, queste meravigliose immagini di Michelangelo, viappaiono in perfetta proporzione. Se avete visto alcuni dei filmatiche sono stati fatti vedere quando vi era per esempio il restaurodella basilica, ebbene se voi questi dipinti che stanno sulla voltadella Cappella Sistina poteste vederli da vicino, vedreste che sonotutti distorti. Perch? Ma perch sono stati disegnati da

Michelangelo per lappunto in modo distorto, cos che, coloro che liguardano dal di sotto, possono vederli come se fossero invece nelleproporzioni giuste. Quindi la menzogna effettivamente nonsoltanto una boutade, quello che diceva Wilde, cio la menzogna un po lo scopo, ma anche il linguaggio dell'arte, cio l'arte parlaattraverso queste menzogne. Un altro artista molto noto, questo

signore dal sorriso molto simpatico, dalla risata simpatica che JohnCage, il famoso musicista, famoso anche per alcune delleprovocazioni pi grosse della musica, per esempio scrisse un pezzo per pianoforte che si chiamava 4 minutie 33 secondi e questo pezzo in realt pi famoso come il silenzio, perch consisteva nel fatto di sedersidi fronte al pianoforte e non suonare nulla, non suonare nulla, perch Cage voleva farci capire che in realtil silenzio non esiste, quindi se un'artista si pone di fronte ad un pianoforte e non suona assolutamente nulla,poi in realt si sentono lo stesso dei rumori, si sentono dei signori che tossiscono, quelli che si muovono omagari l'uccellino che entrato dentro la sala da concerto e cos via, quindi l'idea che il silenzio non c'. Main parte Cage era anche l'espressione di una poetica moderna, quella che l'opera d'arte finita, che non c'pi niente da dire. Ed una delle frasi pi famoso proprio questa non ho niente da dire e lo sto dicendo.Anche questa, una versione molto sottile del paradosso del mentitore, perch uno che non ha niente da dire

dovrebbe star zitto e invece sta dicendo, per appunto di non aver niente da dire. Bene, siamo arrivati allafine di questa nostra carrellata sul paradosso del mentitore e ritroviamo qua gi Pinocchio. Potremmo direforse alla conclusione della nostra lezione che forse abbiamo capito che tutto menzogna. Per, attenzione,


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perch tutto menzogna una frase del tipo di quelle di Epimenide tutti i cretesi mentono, perch sefosse vero che tutto menzogna, allora anche questa frase sarebbe vera e in particolare sarebbe falsa, perchtutto se falsa pu dire che non menzogna, lei sarebbe falsa. Quindi non possibile che questa frasesia vera, allora deve essere falsa, ma se falsa allora vuol dire che non vero che tutto menzogna, vuoldire che ci sono alcune le verit. Quindi oggi abbiamo scoperto qualche cosa e questo per i logici certamente

c'importa, perch abbiamo scoperto che ci sono delle verit e nel futuro cercheremo di avvicinarsi a questeverit, di scoprirne altre, comunque per quest'oggi abbiamo finito..

LEZIONE 3: Le gambe di AchilleSiete ormai stati introdotti nelle lezioni precedenti ad alcuni dei problemi della logica. La scorsa lezione, che stata la prima vera lezione di questo corso, abbiamo cercato di parlare di uno dei paradossi pi famosi, ilparadosso del mentitore. Questoggi faremo una seconda lezione sui paradossi che, come ricorderete forseda alcune delle lezioni introduttive, sono stati uno dei motivi introduttori della logica, uno dei motivi chehanno spinto i logici filosofi ad interessarsi di questa materia, che per l'appunto la logica, che poi sarebbediventata la logica matematica. Se il paradosso del mentitore uno dei pi famosi paradossi della storia, ilpi famoso di tutti, forse, quello di cui si vede qui il nome, cio Achille. Abbiamo intitolato come al solitola nostra lezione in maniera un po' scherzosa, la scorsa volta era il naso di Pinocchio, per ricordare appuntola menzogna, che un po' caratterizzata da Pinocchio e invece in questo caso siamo passati ad un'altra partedel corpo e questa volta le gambe, le gambe di Achille. Avete capito immediatamente che stiamo cercandodi parlare, stiamo cercando di introdurre, il discorsosul paradosso diZenone, i famosi paradossi di Zenone,uno dei quali, il pi famoso di tutti tra questi paradossi di Zenone, per lappunto quello che si chiamaAchille e la tartaruga. Vediamo pi da vicino di cosa si tratta. Questo signore per lappunto Zenone o unastatua che ricorda le fattezze di questo filosofo, che vissuto nel quinto secolo a. C. Vedete qui scritto sottoa Zenone Scuoladi Elea, perch in realt Zenone non stato il fondatore di questa Scuola. Il vero

fondatore della Scuola di Elea, la Scuola cosi detta Eleatica che sitrovava vicino a Napoli, una delle grandi Scuole della Magna Grecia,era Parmenide. Parmenide aveva questa idea, che tutti forse

ricorderanno dagli studi di filosofia, che per lui esisteva l'essere e nonil divenire. Il divenire era in qualche modo la filosofia di Eraclito einvece la filosofia di Parmenide era la filosofia dell'essere, cio chetutto statico, niente succede, niente si muove e ci che noi pensiamoinvece si muova, il movimento appunto, un illusione in qualchemodo. E allora proprio per cercare di dare man forte al suo maestroParmenide, Zenone il quale bisogna anche dire cos, in vena di

aneddoto, non era soltanto discepolo, ma anche amante di Parmenide, quelli erano tempi un pochettinodiversi e succedevano queste cose anche nelle scuole, ebbene Zenone cerc di inventare degli argomenti chepoi sarebbero diventati quasi pi famosi addirittura degli argomenti del suo maestro Parmenide, a favoredell'essere. Questi argomenti Zenone li propose, questo era uno dei motivi per cui diventarono cos famosi,

sotto forma di paradossi. I paradossi sono delle storielle, lo abbiamo gi visto altre volte nella lezioneintroduttiva e nella scorsa lezione, sono delle storielle che cercano di avere una morale nascosta; c unragionamento che sembra corretto, per il sembra dovuta al fatto che in realt la conclusione


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paradossale, sembra quasi che non stia in piedi. Cerchiamo di vedere pi da vicino quali sono stati iparadossi per lappunto che Zenone ha introdotto nella filosofia. Sono tutti paradossi che si riferiscono almoto, perch come abbiamo appena ripetuto e appena ricordato, Parmenide era contrario a questa idea delmoto. L'idea sua era che c'era per lappunto quest'essere immobile; allora il primo paradosso di Zenone cheovviamente un paradosso, che non si pu partire. Come mai? Mah, supponete di essere in una certa

posizione, in un certo punto della citt per esempio e di dover andare in un' altra parte della citt.Paradossi del moto Potete partire? Evidentemente no, perch per partire questo non si pu partire significherebbeche dovette incominciare un viaggio che va dal non si pu essere in viaggio punto di partenza al punto di arrivo, ma questo viaggio non si non si pu arrivare pu incominciare, perch prima di andare dal punto di partenzaal punto di arrivo dovete andare dal punto di partenza a met strada. Voi direte, va bene, questa met delmio viaggio, met del proposito che mi sono posto; per per arrivare dalla partenza a met della strada,dovete prima arrivare dalla partenza ad un quarto della strada e cos via ovviamente, perch questi paradossisi basano tutti su questo regresso all'infinito, su questo e cos via, su questi puntini che sono lasciati cosin sospensione. Allora, per andare dagli inizi alla fine, bisogna prima arrivare a met, bisogna prima arrivaread un quarto, bisogna prima arrivare ad 1/8 e cos via, per distanze sempre pi piccole, il che significa chenon si pu mai partire, perch bisognerebbe sempre percorrere una distanza ancora pi piccola di quella chesi dice che serva per iniziare il viaggio. Bene, il secondo paradosso di Zenone che non si pu essere inviaggio. Questo il famoso paradosso della freccia. Come mai non si pu essere in viaggio? Ma perch,prendete per esempio una freccia che sta volando in cielo oppure un'automobile oggi, un aeroplano che stavolando nel cielo, le automobili oggi volano, in genere su autostrade ad una velocit che non dovrebbeessere permessa, ebbene dicevo, se voi prendete una freccia o qualche cosa che si muova nello spazio eincominciate a fare delle fotografie di questa freccia, vedete che la freccia ferma, in qualunque momentodel suo motto, in qualunque momento del suo viaggio la freccia sta ferma. E allora il paradosso : com'possibile essere in viaggio, se il viaggio consiste di una serie infinita di momenti in ciascuno dei quali si stafermi, cio il paradosso sta appunto in questa paradossale commistione; da una parte il fatto che c' un

movimento, tutti sappiamo che effettivamente ci si muove da una parte all'altra e dall'altra parte invece c'questa assurdit che sembra che il moto sia fatto invece di tanti istanti in ciascuno dei quali noi siamo fermi,cio il moto fatto di tante fermezze, per cos dire. Oggi chiaro che soprattutto questo secondo paradossodi Zenone poco convincente, perch noi siamo abituati, tutti noi abbiamo avuto forse delle cinep

Piergiorgio Odifreddi - Logica Matematica

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