Perdite istantanee e Cadute lente in travi di CAP · Cadute di tensione lente: effetto combinato...

UniversitàdegliStudiRomaTre– DIPARTIMENTODIINGEGNERIA– CorsodiCementoArmatoprecompresso– A/A2018-19- Prof.FabrizioPaolacci

Perdite istantanee e Cadute lente in travi di CAP


INTRODUZIONE

Prediteecadute

Lente

Viscosità Ritiro Rilassamento

Istantanee

Accorciamentoelastico Attrito Rientroancoraggi

Laforzadiprecompressionenonpuòingeneraleritenersicostante,siaperchéspessoapplicatainfasisuccessive,siaperchérisultainfluenzatadafenomeniingradodigenerarecaduteditensioneneicavi,chepossonoesseredinaturaistantaneaodifferitaneltempoinaccordoconloschemaseguente


Caduteditensionenell’acciaioCaduteditensionelente:laviscosità

LaTeoriadellaviscoelasticità lineareprevedecheperilcalcolodelladeformazionenelcls sipossautilizzarelaseguenteformulazione:

Lapartedideformazioneviscosa(2° termine)produrràinevitabilmenteunaccorciamentodelcls e,datal’ipotesidiperfettaaderenza,anchedell’acciaio,generandocosìunaperditaditensioneneicavi.Atempoinfinito,quest’ultimasipuòcalcolareassumendoladeformazionedell’acciaioεp=εv .Diconseguenzalavariazioneditensionenell’acciaiosiesprimeràcomesegue:

( ) ( ) ( ) el,cc

el,cpel,cpv n,tE

E,tE,t σσ

εσ ∞Φ=∞Φ=∞Φ=Δ 000

00 ),()( ttttEE

tc

c

c

cvelc ≥Φ+=+=

σσεεε


NOTA:Latensioneelasticanelcalcestruzzosicalcolamettendoincontolaprecompressionescontatadelleperditeistantanee,ilpesoproprio,isovraccarichipermanentievariabili;questiultimiandrannoconsideratisolamentenelcasoincuiessisianodinaturaquasipermanente.Isovraccarichivariabiliincombinazioneraraofrequentenondovrannoessereconsiderati.

( ) ( ) ( ) el,cc

el,cpel,cpv n,tE

E,tE,t σσ

εσ ∞Φ=∞Φ=∞Φ=Δ 000

σ c,el =NiA+NieW

−MG +M p+q

W

Variabiliquasipermanenti

Caduteditensionenell’acciaioCaduteditensionelente:laviscosità


CaduteditensionenelcalcestruzzoCaduteditensionelente:laviscosità- EsempioEsempio 5.5: Con riferimento all’esercizio 5.4 si calcolino le cadute di tensione dovute alla viscosità della trave ipotizzando un ambiente con umidità del 75% e un tempo di applicazione della precompressione t0=15gg. Si ipotizzi che il contributo Mp+q sia legato esclusivamente a carichi variabili in combinazione rara.

Per il caso esaminato l’area esposta risulta essere pari a A=1.125 m2, (si trascurano le armature), mentre il perimetro p=7.5m. Quindi il parametro vale h0=300. Poiché l’umidità è pari al 75% il coefficiente di viscosità a tempo infinito vale φ (∞,t=15gg)=2.2. Il coefficiente di omogeneizzazione può essere calcolato a partire dalle caratteristiche meccaniche dei materiali, desumibili dalla tabella 4.3.


CaduteditensionenelcalcestruzzoCaduteditensionelente:laviscosità- Esempio

Esempio 5.5: Con riferimento all’esercizio 5.4 si calcolino le cadute di tensione dovute alla viscosità della trave ipotizzando un ambiente con umidità del 75% e un tempo di applicazione della precompressione t0=15gg. Si ipotizzi che il contributo Mp+q sia legato esclusivamente a carichi variabili in combinazione rara.


Poiché la tensione elastica del calcestruzzo σc,el in esercizio, considerando il soli carichi e sovraccarichi permanenti (i variabili sono in combinazione rara) a livello del cavo vale 8.95 MPa, (vedi figura 5.8), la corrispondente variazione di tensione nel cavo dovuta alla viscosità risulta essere: ∆!v=∅ ∞,t0 !n!!c,el=2.2×6.29×8.95=123.85 MPa Che corrisponde percentualmente a una perdita di forza di precompressione pari a: ΔN=Δσv Ap = 12.385 × 45 = 557 kN (12.3%)

CaduteditensionenelcalcestruzzoCaduteditensionelente:laviscosità- Esempio


Caduteditensionenell’acciaioCaduteditensionelente:Ilritiro

Comegiàvistolanormativaattualeprevedeuncalcoloanaliticodelladeformazionedaritiroinfunzionedellecondizioniambientali,dellageometriaedellaqualitàdelcalcestruzzo.

Lacadutaditensionenell’armaturadiprecompressionedovutaalritiroèquindivalutabilesemplicementemoltiplicandoladeformazionefornitadallanormativaperilmoduloelasticodell’armaturadiprecompressione,ipotizzandochetaledeformazionesiauniformementedistribuitasullasezione.

ritprit E εσ =Δ

Ritirodaessiccamento

RitiroAutogeno

εrit*L

L


Esempio 5.6: Sempre con riferimento all’esercizio 5.4 si calcolino le cadute di tensione dovute al ritiro nella trave ipotizzando un ambiente con umidità del 75% e un tempo di applicazione della precompressione t0=15gg

Il valore medio a tempo infinito della deformazione per ritiro da essiccamento ha l’espressione: εcd,∞= kh εc0 (5.29) Poiché il coefficiente h0 = 300, il coefficiente kh risulta essere pari a 0.75 (vedi tabella 4.7). Poiché la resistenza cilindrica caratteristica del calcestruzzo è pari a 29 MPa e l’umidità relativa è pari al 75% per determinare la deformazione di base εc0 occorre interpolare i valori riportati in tabella 4.6, che forniscono un valore pari a 0.312.



La deformazione per ritiro autogeno si desume direttamente dalla relazione seguente:

( ) 6101052 −∞ ⋅−−= ck,ca f.ε =4.75 × 10-5

Il valore di deformazione totale dovuta al ritiro vale dunque: εcs=0.75 × 0.312 + 4.75 × 10-5 = 0.234/1000 La perdita di tensione corrispondente nel cavo è la seguente: Δσr = 0.234/1000 × 205000 = 48 MPa che in termini di sforzo di precompressione risulta:

ΔN = 4.8 × 45 = 216 MPa , ossia una perdita del 4.8 % kN



Caduteditensionenell’acciaioCaduteditensionelente:effettocombinatoIl calcolo delle cadute di tensione così come in precedenza illustrato è basato sull’ipotesi di non-interdipendenza dei fenomeni lenti. L’ipotesi di tensione costante per il calcolo della viscosità verrebbe meno non appena si considerasse la contemporanea presenza del rilassamento dell’acciaio che varia la tensione nel cavo. Vale naturalmente anche l’opposto. Sicché è necessario determinare l’entità di questa interazione reciproca.

F=cost d=cost

Condizioni diViscosità Ideali Condizioni diRilassamento Ideali

Interazione


A tale fine l’Eurocodice 2 (p. 5.46) prevede l’utilizzo della seguente espressione

∆Npr=Ap∆!p,c+s+r=Ap!csEp+0.8∆!pr+

EpEcm

!(t,t0)!c,QP1+

Ep

Ecm

Ap

Ac1+

AcIcecp2 1+0.8φ(t,t0)

(5.31)

dove Δσp,c+s+r è il valore assoluto della variazione della tensione nei cavi dovuta

alla viscosità, al ritiro e al rilassamento, valore calcolato al tempo t e nella sezione x

εcs il valore assoluto della deformazione dovuta al ritiro del calcestruzzo Ep il modulo elastico dell’acciaio Ecm il modulo elastico medio del calcestruzzo Δσpr la variazione di tensione nell’armatura di precompressione dovuta al

rilassamento dell’armatura di precompressione stessa. Ap Area dell’armatuta di precompressione Ac Area della sezione di calcestruzzo Ic Momento d’inerzia della sezione di calcestruzzo ecp eccentricità delle armature di precompressione ϕ(t,t0) funzione di viscosità al tempo t, con riferimento al tempo inziale t0 σc,QP Tensione nel calcestruzzo a livello del cavo di precompressione

∆Npr=Ap∆!p,c+s+r=Ap!csEp+0.8∆!pr+

EpEcm

!(t,t0)!c,QP1+

Ep

Ecm

Ap

Ac1+

AcIcecp2 1+0.8φ(t,t0)

(5.31)

dove Δσp,c+s+r è il valore assoluto della variazione della tensione nei cavi dovuta

alla viscosità, al ritiro e al rilassamento, valore calcolato al tempo t e nella sezione x

εcs il valore assoluto della deformazione dovuta al ritiro del calcestruzzo Ep il modulo elastico dell’acciaio Ecm il modulo elastico medio del calcestruzzo Δσpr la variazione di tensione nell’armatura di precompressione dovuta al

rilassamento dell’armatura di precompressione stessa. Ap Area dell’armatuta di precompressione Ac Area della sezione di calcestruzzo Ic Momento d’inerzia della sezione di calcestruzzo ecp eccentricità delle armature di precompressione ϕ(t,t0) funzione di viscosità al tempo t, con riferimento al tempo inziale t0 σc,QP Tensione nel calcestruzzo a livello del cavo di precompressione

Caduteditensionenell’acciaioCaduteditensionelente:effettocombinato


L’espressione precedente può essere facilmente dedotta immaginando di prendere un elemento di calcestruzzo di lunghezza unitaria in corrispondenza del cavo e uguagliando la variazione di deformazione del cavo a quella del calcestruzzo

00

pp NNεε

Δ=Δ

N0+ΔN

( ))t,t()t(NN

crilvritc 0001 φχεεεεε +

Δ+++=Δ

CLS

Acciaio

VariazionedidefNell’acciaio

Variazionedideformazionenel cls

EffettodiviscositàcausatodallavariazionediN – χ=0.8



cp εε Δ=Δ

( ))t,t(.n

.)t,t(nE

NN

cp

rilcritp

000

0

0 80180

φσσ

σσφε

+−

Δ++=

Δ

Lanormativa sottovalutail contributodel rilassamento conunadiminuzione del20%

Tensione nel clsalivello del cavo

σ c =NA+NeJe = N

A(1+ A

Je2 )

Ricordando infine che N0=Apσp0 e tenendo conto del segno opposto delle tensioni nell’acciaio e nel calcestruzzo si ottiene l’equazione



Caduteditensionenell’acciaioCaduteditensionelente:effettocombinato- Esempio

Esempio 5.7: Con riferimento all’esercizio 5.4 si calcolino le cadute di tensione combinate della trave ipotizzando che le cadute per rilassamento siano pari a Δσril = 150 MPa e le cadute dovute alla viscosità e al ritiro siano quelle calcolate negli esercizi 5.5 e 5.6.


Caduteditensionenell’acciaioCaduteditensionelente:effettocombinato- Esempio

Per la soluzione occorre semplicemente applicare la formula seguente:

∆Npr=Ap∆!p,c+s+r=Ap!csEp+0.8∆!pr+ EpEcm!(t,t0)!c,QP

1+EpEcm

ApAc

1+AcIcecp2 1+0.8φ(t,t0)

=45! 20500×0.000234+6.29×2.2×0.848+0.80×15.01+6.29

4511250

1125015300000×67

2 ×(1+0.8×2.2)=990 KN

Ciò corrisponde, in termini percentuali, a una caduta di tensione totale pari al 22%, essendo N0=4500 kN.


Caduteditensionenell’acciaioPerditeditensioneistantanee

Oltreallecaduteditensionechesono,comevisto,differiteneltempo,esistonoaltrecausecheall’attodellaprecompressionediminuisconoiltiroinizialmenteimposto.Essesonolecosìdetteperditeditensioneistantanee chesimanifestanoinmanieradiversaintraviacavipost-tesietraviacavipre-tesi.

• Nelcasoditraviacavipost-tesiilfenomenodelleperditeditensioneèdovutoessenzialmenteall’attritotraguainaeilcavo,alrientrodegliancoraggideicaviealleperditealmartinetto.Questeultimeduecausesonoingeneredientitàminoreequindispessovengonotrascurate.

• Nelletraviacavipre-tesileperditeditensionesimanifestanoall’attodeltagliodellearmaturedopolamaturazionedelgettoacausadell’accorciamentoelasticodelcalcestruzzo.


Caduteditensionenell’acciaioTraviacavipost-tesi:perditeperattrito

N2

N1 α

dα

ds

p

pt

AB

Pereffettodellacurvatura del cavo,sudiessoagisce unapressione p, parialrapporto tralosforzonormaleN e ilraggiodicurvatura R ingenerale variabile lungoil cavo:

RN

p =

αα NdfRdRN

fdspfdN ccc −=−=−=αcfeNN −= 12

)e( cf ασσ −−=Δ 11 Perditedovuteall’attritocavo-guaina


La normativa europea, alla quale la normativa italiana rimanda per la valutazione delle perdite dovute all’attrito, suggerisce i valori del coefficiente d’attrito riportati in Tabella

Tabella 5.1 - Valori di fc secondo l’EC2 Tipo di armatura Coefficiente d’attrito

Fili trafilati a freddo 0.17 Trefoli 0.19

Barre con risalti 0.65 Barre lisce 0.33

Nei tratti rettilinei, non essendoci alcuna variazione angolare, si dovrebbe assumere in teoria una perdita per attrito nulla. La normativa però considera, anche per tali tratti, una variazione di tensione, che dipende però oltre che dal coefficiente d’attrito fc, anche dalla lunghezza L del tratto considerato:

)e(NN Lkf c−−=Δ 1

Il termine k è la variazione angolare espressa per unità di lunghezza del cavo ed è generalmente compresa nell’intervallo 0.005 < k < 0.01 rad/m.



Nel caso di cavi con variazioni angolari e tratti lineari multipli, le perdite di tensioni per attrito possono essere valutate ancora con le 5.38 e 5.40 dove α ed L rappresentano ora la somma delle variazioni angolari e le lunghezze dei tratti rettilinei

ΔN = N0 1− e− fc αi

i∑ + kLj

j∑

%

&

''

(

)

**

%

&

'''

(

)

***

Levariazioni angolariαi sipossonoricavare unavoltanotol’andamentogeometrico del cavo.

Formulaper ilcalcolo delle perdite d’attritonel casodiandamentogenerico del cavo



Caduteditensionenell’acciaioTraviacavipost-tesi:perditeperattrito- esempio

Esempio 5.8: Valutare le perdite dovute all’attrito cavo-guaina nella sezione di mezzeria della trave precompressa a cavi post-tesi indicata in figura.

L

h

b

f

12.5 5.00 12.5

dp

A B C

D

Dati trave h

(cm) b

(cm) Ap

(cm2) L

(m) f

(m) dp

(cm) Lr

(m) 150 45 35 30 1.00 10 2,5

Latraveècostituitadaunatrattorettilineo centrale dilunghezza5meduetrattiparabolici dilunghezza12.5mealtezza f

Si assume inoltre che i coefficienti d’attrito abbiano i seguenti valori, come suggerito dalla normativa:

1. fc = 0,3 [1/rad] nel caso si utilizzino guaine metalliche ! k = 0,01 [rad / m]


TIP:Per lavalutazione dell’angolo α sipuòricavare l’equazione della parabola chedescrive la formadelcavotramite iseguenti passaggipervalutarepoiil valoredelladerivata prima intestaalla trave (puntoA):

! = !!! + !" + ! y

xIcoefficienti della parabola sipossonodeterminare imponendoche:

y 0! =0y' 0! =0y' l! =f

a= 1

156=0,0064;!!!!b=0 ;!!!!c=0 tan!= d

dxy(l) !=0,16 rad



Oraèpossibile calcolare laperditaditensione nel cavodovutaall’attrito,assumendoN0 =4500KNeLr =lunghezza del trattorettilineo dimetà trave:

Δσatt=N0Ap1-e-fc a+kL =69,413 MPa

Laperdita dicarico nelcavovalediconseguenza:

∆N=∆σattr·Ap=242,9 KN corrispondente al 5.4% corrispondente al5.4%



Caduteditensionenell’acciaioTraviafilipretesi:perditeperaccorciamentoelasticodelcls

Nelcasoditraviafilipre-tesinonsussistononeperditeperattritonetantomenoperditeperrientrodegliancoraggi.Leunicheperditesonodovuteall’accorciamentoelasticodelcalcestruzzoall’attodeltagliodeicaviadavvenutamaturazionedellostesso

Perilcalcolodell’accorciamentodelcavoèsufficiente,perl’ipotesidiperfettaaderenza,determinarel’accorciamentodelcls alivellodelcavostesso.

ε p = εc =N0EcAc

1+ e2

JAc

!

"#

$

%&= εGk

ΔNp = ApEpε p = Apnσ c,0k


Unaviadirettaperdeterminarelapreditanelcavoperaccorciamentoelasticodelcls infunzionedeiparametrimeccaniciegeometriciingiocoèlaseguente:

ε p0 −εc( )EpAp = εGEcAc εc = εG 1+e2

JAc

!

"#

$

%&= εGk

εc = ε po1

1+ AcnApk

Δσ p =N0

Ap +Acnk

Siesprime ladeformazione del cls εc alivello del cavoinfunzionediquella mediaεG.Imponendol’equilibrio allatraslazione della sezioneditrovalaperdita infunzionediN0,AP,Ac,n ek

Equilibrio alla traslazione



Esempio 5.9: Si consideri una trave in c.a.p., realizzata con calcestruzzo di classe C35/45, precompressa a mezzo di fili pretesi la cui area totale è Ap=10 cm2 e il cui cavo risultante presenta eccentricità costante e=25 cm. La sezione è rettangolare 40 x 80 cm, mentre lo sforzo iniziale N0 è pari a 1350 kN. Si calcoli la perdita di precompressione dovuta all’accorciamento elastico del calcestruzzo all’atto della precompressione della trave.

L’area della sezione di calcestruzzo è Ac=3200 cm2 mentre il coefficiente k della 5.43 risulta essere:

k= 1+e2

JAc = 1+

252

40×803

12

40×80 =2.17



Caduteditensionenell’acciaioTraviafilipretesi:perditeperaccorciamento elastico:esempio

Essendo il calcestruzzo di classe C35/45 il modulo elastico medio del calcestruzzo risulta pari a Ecm=34 GPa, sicché il coefficiente di omogeneizzazione n è uguale a 6.02. Applicando la 5.45 si ottiene la perdita di carico richiesta:

∆N=ApN0

Ap+Acnk

=1000×1350

1000+ 3200006.02 ×2.17

=52 kN

che corrisponde ad una perdita in percentuale del 3.85%.


Caduteditensionenell’acciaioEffettomutuodeicavinellapost-tensione

Nelcasoditraviinc.a.p. acavipost-tesiincuiicavivenganotesatiintempidifferenti,unoallavolta,oppurecomepiùspessoaccade,ingruppi,sussisteunaperditaperaccorciamentoelasticodelcls chesimanifestasuicaviunavoltachesolamenteungruppovengatesato.

Ilcls siaccorcia per l’azionediN1sulcavo1ilqualeprodurràancheun

accorciamento delcavo2equindiunasuaperdita

indiretta

Analogamente l’azione diN2sulcavo2produrràunaccorciamento delcavo1equindiunaperdita indirettaanalogaaquella del cavo1

N1N2


Caduteditensionenell’acciaioEffettomutuodeicavinellapost-tensione

Nelcasoditraviinc.a.p. acavipost-tesiincuiicavivenganotesatiintempidifferenti,unoallavolta,oppurecomepiùspessoaccade,ingruppi,sussisteunaperditaperaccorciamentoelasticodelcls chesimanifestasuicaviunavoltachesolamenteungruppovengatesato.Ilvalormediodelleperditeinciascuncavopuòesserevalutatocomesegue:

doveΔσc(t) èlaperditaaltempotriferitaalbaricentrodellearmaturediprecompressioneEcm(t)èilmoduloelasticodelcls altempot,n èilnumerodellearmature,Ap èl’areadellestesseedEpèilloromoduloelastico.Seilnumerodicavièelevatoèammessoadottarej=1/2.

∑Δ

=Δ)t(E)t(j

EANcm

cppEMC

σ dove nn

j21−

=


Caduteditensionenell’acciaioAltrifenomeni

RIENTRODEGLIANCORAGGIEssosimanifestapereffettodelleelevatetensioninelcls chepuòsubireplasticizzazioni locali.Ciòproduceunrientrodegliancoraggieunaconseguenteperditaditensioneneicavi.Essaèdidifficiledeterminazioneeingeneresivalutamediantetestdinaturasperimentale.

RIENTROCUNEIDEGLIANCORAGGIE’dovutoalnonperfetto“serraggio”deicavidapartedeicunei.Lasuaentitàèunacaratteristicadell’ancoraggioevienefornitadallacasaproduttricedegliancoraggi

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