Perdita di energia della luce nello spazio

interstellare e intergalattico

M. Missana

via Liberta` 40, 17023 Ceriale (SV)

1 Introduzione

Lo studio della perdita di energia delle onde elettromagnetiche nellattraver-sare la materia, interstellare o intergalattica, mi e` stato suggerito nel 1965 circada L. Rosino e G. Righini perche Rosino aveva cercato, senza successo, di mis-urare il cosidetto redshift cosmologico tramite la riga Lyman dellatomo diidrogeno negli spettri galattici. Tal studio puo` essere fatto mi pare con duemetodi.

Quello che ho seguito, da circa 35 anni, considera la diffusione (e lassor-bimento) delle onde elettromagnetiche da parte di elettroni liberi o legati adatomi; studio consigliato in quegli anni anche da L. Pasinetti al fine di inter-pretare gli spettri delle stelle tipo 41 Tauri, da A. Masani per studiare lo spettrodella nebulosa di Orione e da altri colleghi.

Per calcolare le sezioni durto della diffusione ho fatto uso della meccanicaquantistica e della teoria quantistica del campo elettromagnetico.

Per sezione durto della diffusione di unonda elettromagnetica da parte di unelettrone o altra particella si intende il rapporto tra lintensita` dellonda deviata(diffusa) e lintensita` dellonda incidente, quando si ha un elettrone per unita` divolume, essendo gli elettroni disposti su una superficie piana di spessore uno.

Per sezione durto dellassorbimento di unonda elettromagnetica da partedi un elettrone o altra particella si intende il rapporto tra (intensita` dellondaincidente - intensita` dellonda trasmessa) e intensita` dellonda incidente, menola sezione durto totale per la diffusione allindietro, quando si ha un elettroneper unita` di volume, essendo gli elettroni disposti su una superficie piana dispessore uno.

Le sezioni durto dellassorbimento sono tabulate per molti elementi da Wiese[1].

Il secondo metodo mi e` stato esposto, circa 20 anni fa, dal dott. RobertoMonti (Tesre, Bologna), ed e` molto piu` semplice dal punto di vista matematico,ma necessita di alcune ipotesi ad hoc. Esso consiste semplicemente nellintro-durre nelle equazioni delle onde elettromagnetiche che si propagano nella mate-ria interstellare o intergalattica, un indice di rifrazione opportuno n, diverso da

uno, una corrente opportunaJ ed una densita` di carica opportuna Q. Il valore

di queste quantita` viene determinato a posteriori dal Monti imponendo che lasoluzione dellequazione delle onde elettromagnetiche[

()2 +(nc

)2 d2dt2

]A = J, (1)

1

dia il red shift cosmologico e le attenuazioni osservate delle intensita`; con J (J ,Q), A 4-potenziale dellonda elettromagnetica, (1, 2, 3, 4), c costante

della velocita` della luce nel vuoto; (x, y, z) coordinate cartesiane, t tempo e

( ddx,d

dy,d

dz

).

Per red shift cosmologico si intende lo spostamento verso le lunghezze dondamaggiori delle lunghezze donda delle righe spettrali osservate negli spettri dellegalassie lontane; spostamento che e` in media tanto maggiore quanto e` minorelintensita` luminosa della galassia.

Per attenuazione si intende la diminuizione della luminosita` delle galassie alcrescere della distanza, distanza dedotta con qualche metodo astronomico (stellevariabili etc.).

2 Lequazione del trasporto radiativo

Tornando al metodo da me seguito, una volta ottenute le sezioni durto per ladiffusione e lassorbimento della radiazione elettromagnetica da parte degli ato-mi, molecole e corpuscoli del mezzo interstellare, esse sono inserite nellequazionedel trasporto della radiazione, equazione che va poi risolta con lausilio del com-puter dato che nessuno e` riuscito a risolverla con funzioni algebriche o specialieccetto in casi semplici; infatti ci si trova a risolvere una equazione integrale allederivate parziali contenente differenze finite.

Si introduce ora un sistema di coordinate polari xj (r, , ), j (1, 2, 3),ed un sistema ad esso sovrapposto di coordinate cartesiane xj (x, y, z); percomodita` di scrittura si indica = cos e z = r la distanza lungo lasse polare,che e` diretto verso losservatore terrestre.

Nella fig. 1 il piano fondamentale delle coordinate suddette coincide con lasuperficie della stella o galassia (supposta piana per semplicita`) in cui si originalo spettro che e` poi assorbito e diffuso.

Lequazione del trasporto che ho utilizzato in questo studio e` quella data daChandrasekhar [2], per onde piane, sostituendovi la sezione durto della diffu-sione isotropa con la piu verosimile sezione durto di Thomson e con laggiuntadel solo assorbimento [3]; essa e`

(32d

d+ 1)I(, , ) = aDa

TD I(, , ) + 3

16pi

2pi0

d pipi

d(1 + cos2 )

I[, , (1 cos )], (2)

concos =

+

1 2

1 2 cos( ),

=

3

2T

z0

Ddz (2a)

2

Fig. 1 - Mezzo interstellare tra i piani (x, y) e (x, y

). (Figura di D. Garegnani)

(diverso da quello di Chandrasekhar) D numero di centri diffusori per unita`di volume, Da numero di centri assorbenti per unita` di volume, I(, , ) in-tensita` dellonda elettromagnetica, lunghezza donda della radiazione elettro-magnetica, = 2, 41012 m lunghezza Compton dellelettrone, a e` la sezionetotale durto per lassorbimento, T sezione durto totale di Thomson per la dif-fusione = 6, 7 1029m2 nel caso dellelettrone libero a riposo, per le lunghezzedonda dello spettro visibile (in condizioni di diffusione lineare, secondo il prof.Mario Verde dellUniversita` di Torino, 1974 circa).

Sia

S =

3

2T

R0

Ddz =

3

2TDR, (2b)

con Z = R la distanza attraversata dalla luce nel tragitto dalla sorgente allaTerra, le condizioni al contorno sono{

I(0, , ) = () per > 0 (z = 0),

I(S , , ) = 0 per < 0 (z = R),(3)

ove () e` una funzione arbitraria dettata dalle condizioni fisiche.Una soluzione di questa equazione, valida per delle onde piane che si pro-

pagano lungo la direzione dellasse z, in un riferimento di coordinate cartesiane,puo` essere espressa con lintegrale di funzioni algebriche e speciali dato nella for-ma che segue, nellapprossimazione di puro assorbimento e diffusione Thomson,cioe

=3

16piT (1 + cos

2 )

ed = (1 cos )

3

come specificato nelleq.(2), in presenza di effetto Compton da elettroni a riposo[4, 5] (errata corrige [6]). Ponendo per semplicita` di calcolo a = 0, T = cost.ed assumendo nelle condizioni (3) che alla sorgente il profilo delle righe spettralisia una Gaussiana di ampiezza W0, cioe [7]

() = I0exp[( 0)2

W 20

]=

1

2pi

I0piW0exp

[2W 204

]

exp[i( 0)]d, (3a)

nellapprossimazione di una sola intensita` che si propaga in avanti ed una solache torna indietro, la soluzione per lintensita` che si propaga in avanti, e` datada

I(,

13, )

= Re{ 1pi

0

F+(, )exp[i( 0)]d}, (4)

con i unita` immaginaria e

F+(s, ) =2piI0W0exp

[2W 204

][P1exp(s ) P2exp(s )]

, (5)

= (C2 C2 2KC +K2)1/2,I0 intensita` della riga spettrale alla sorgente, definita nelleq. (3a), W0 larghezzadella riga spettrale (= 0, 6 FWHM), alla sorgente,

K = 2exp[i],

s = sexp[i] = s2/K,P1 = C

K ,P2 = C

K + ,C e` il complesso coniugato di C

C = exp[i/3][J0(2/3) J2(2/3)/6] + iJ1(2/3),

ove Jn(x) = (1)nJn(x) e` funzione di Bessel di prima specie, di ordine n,nella variabile x [8]. Ricordo che per ottenere le formule (4) e (5) si e` fatto usodelle formule di quadratura di Gauss nel caso n = 2 [2] 1

1f()d

ni=1

f(i)ai f(1)a1 + f(1)a1, (5a)

con 1 = 1/

3, a1 = 1 e dellintegrale notevole [9] 2pi0

exp[itcosx]cos(nx)dx = 2piexp[ inpi

2

]Jn(t), n = 0, 1, 2...

Lespressione (4) dellintensita` diffusa puo` essere valutata mediante il program-ma INOXC.f , in Fortran77, ottenibile dallautore a semplice richiesta.

4

HHHHHWo 500 1000 2000 6000 10000 20000 50000 100000

0 0 0 0 0 0 0 0 01 37, 6 38, 4 38, 6 38, 7 38, 7 38, 7 38, 7 38, 72 108 113, 3 115, 1 115, 6 115, 6 115, 6 115, 6 115, 63 200 216, 6 223, 5 225, 8 225, 8 225, 8 225, 8 225, 86 553, 5 642 707 745 750 751, 2 752, 5 752, 59 1008 1172, 5 1349 1520 1549 1562 1567 156712 1590 1795 2089 2495 2591 2649 2668 267015 2327 2531 2916 3610 3834 3991 4049 405818 3230 3408 3835 4830 5228 5559 5707 5732

Tabella I

Da queste formule si deduce con il programma su detto che lintensita` cen-trale delle righe larghe e quindi lintensita` dello spettro continuo di valoreI(0, 1/

3, 0) = Ic allorigine, varia in buona approssimazione con la formula

seguente [3, 7, 10]:

I(s, 1/

3,

0

)I(

0, 13, 0

)1 + s

=I(

0, 13, 0

)1 + RR0

, (6)

0 > 0 + s2/

3; (6a)

con s spessore ottico del mezzo diffondente definito nella formula (2b), R0 =2

3TD, D numero di centri diffusori per unita` di volume, come su definito,

con 0 lunghezza donda di una riga osservata in una galassia lontana (dopo ladiffusione) mentre 0 e` la corrispondente lunghezza donda di una riga osservatain uno spettro di laboratorio.

Questa formula (6), puo` essere ottenuta per lintensita` dello spettro contin-uo, senza calcoli numerici, facendo uso delle distribuzioni [8], ponendo ugualea Ic() la trasformata di Fourier di () definita nelleq. (3), () e` la fun-zione delta di Dirac; cio e` anche riportato nellarticolo [7] ove tuttavia in eq.

(12) vi e` erroneamente ~0(~x, t) invece di ~0(~x, ) e poi ~0(~x, ) cost. in-vece di ~0(~x, ) (), come mi era stato fatto notare da P. MantegazzadellOsservatorio di Brera a Merate.

Per le righe piu sottili invece i risultati numerici indicano un calo di inten-sita` molto piu accentuato al crescere dello spessore ottico s, come segue dairisultati numerici riportati in tabella II, tratti da [7];essi sono stati ottenuti conil programma INOXC.f, che usa la doppia precisione.

Per inciso e` bene notare che la verifica della stabilita` numerica dei risultati e`stata fatta in modo parziale, solo per quegli spessori ottici s inferiori allunita`che possono interpretare il redshift delle righe osservate nel sole [4, 11].

In tabella I ci sono gli spostamenti della lunghezza donda delle righe spettrali0 0 in mA = 1013m in funzione delle ampiezze W0 date nella prima riga,sempre in mA e dello spessore ottico (adimensionale) in prima colonna.

In tabella II ci sono le intensita` centrali delle righe spettrali, assumendo1 = I0 lintensita` delle righe prima della diffusione, in funzione delle ampiezze

5

HHHHHWo 500 1000 2000 6000 10000 20000 50000 100000

0 1 1 1 1 1 1 1 11 0, 495 0, 499 0, 4995 0, 4995 0, 5 0, 5 0, 5 0, 52 0, 319 0, 329 0, 333 0, 333 0, 333 0, 333 0, 333 0, 3333 0, 2245 0, 242 0, 248 0, 25 0, 25 0, 25 0, 25 0, 256 0, 0926 0, 1195 0, 134 0, 142 0, 1425 0, 1425 0, 1428 0, 14289 0, 043 0, 0655 0, 0841 0, 0972 0, 099 0, 0995 0, 1 0, 112 0, 0221 0, 0378 0, 0548 0, 0718 0, 0748 0, 0763 0, 0768 0, 076915 0, 0125 0, 0299 0, 0366 0, 0547 0, 0589 0, 0615 0, 0623 0, 062418 0, 0076 0, 0145 0, 0251 0, 0424 0, 0475 0, 051 0, 0523 0, 0525

Tabella II

W0 date nella prima riga, in unita` di mA = 1013m ed in funzione dello spessore

ottico (adimensionale) dato nella prima colonna; la quarta cifra decimale none` significativa.

Essi sono stati ottenuti solo per valori non molto grandi dello spessore ottico;essi inoltre non sono soddisfacenti perche, essendosi assunto T costante perintegrare le equazioni del trasporto, danno un redshift cosmologico costante,indipendente dalla lunghezza donda delle righe osservate, in contrasto con lemisure che danno un redshift proporzionale alla lunghezza donda.

Una discussione della dipendenza della sezione durto della diffusione Tdalla lunghezza donda sara` oggetto di ulteriore comunicazione. Includendo oraleffetto dellassorbimento, lintensita` delle righe e dello spettro continuo, nelcaso di onde piane, puo essere ottenuta con le formule della pubblicazione [3];i calcoli sono piuttosto complessi, tuttavia qui si assume in prima approssi-mazione a = cost., indipendente da e si ottiene la formula seguente, semprenellapprossimazione dei due flussi:

I

(s,

13,

)

= I

(0,

13, 0

)

exp[aDaR]

Re{

1

pi

0

F+(, )exp[i( 0)]d}, (7)

I

(s,

13,

0

)=I(

0, 13, 0

)exp[aDaR]

1 + s,

0 > 0 + s2/

3; (6b)

Da e` il numerodi centri assorbenti per unita` di volume e 0 e` il valore di

per

cui si ha il massimo di intensita` della riga spettrale dopo la sua diffusione perlinterazione con la materia interstellare.

In realta` i risultati di tabella I mostrano che 0 0 cresce con legge

progressiva non lineare al crescere di s.

6

3 Paradosso di Olbers e radiazione di fondo

Per poter risolvere il paradosso di Olbers e studiare la radiazione di fondo,bisogna far uso dellequazione del trasporto in coordinate polari, in un mez-zo a simmetria sferica. Ho studiato questo problema nell articolo [12] con unprogramma di cui forse si conserva copia al Dipartimento di Astronomia del-lUniversita` di Oxford mentre la copia di Brera purtroppo fu distrutta. Dettoprogramma e` molto piu` complesso del programma INOXC.f ma non differiscesensibilmente da esso nei risultati, a parte il fattore 1/R2, nel caso dei due soliflussi di radiazione, per grandi valori di R. Infatti lequazione del trasporto incoordinate polari, nei casi suddetti, e` [2]:(

3

2

+

1 2DT r

+ 1

)

I ( , , ) = aDaTD

I(

, , )+

+3

16pi

2pi0

d pipi

d(1 + cos2)

I [ , , (1 cos)] (8)

con

=

3

2T

r0

Ddr.

Dalla eq. (1) sappiamo che per onde a simmetria sferica si hanno soluzioni deltipo: A(r, , , t) = f(r, , , t)/r, dove f(r, , , t) descrive unonda sferica etc.;pertanto poiche lintensita` I si ottiene da A con la formula di Poynting, poniamonelleq. (8)

I(

, , ) = I

(

, , )/r2, (9)

con I(

, , ) funzione incognita.

Ricordando anche che per la formula (7) dellarticolo [12], (nella stessaapprossimazione delle formule di quadratura di Gauss) indicando I(i) = Ii,introducendo i valori discreti di definiti in eq.(5a), si ha

I(J)

ni=1

Iidi,j ,

con di,j costanti in questo caso, e quindi dalla eq.(8) su scritta, moltiplicata per

7

r2 si ottiene (3

2j

+ 1

)I

(

, j , )+

+1

DT[(1 2j )

ni=1

I(

, i, )

di,j 2jI ( , j , )]/r == aDa

TDI

(

, j , ) +

3

(16pi)

2pi0

d pipi

d(1 + cos2)

I [ , , (1 cos)]. (8a)E` evidente che per grandi r la eq.(8a) coincide asintoticamnete con leq.(2)

in

e quindi si ha I = I; ne consegue che lintensita` centrale delle righe larghee quindi lintensita` dello spettro continuo, dovuto ad un flusso di radiazione asimmetria sferica, per le formule (9) e (7), e` data in buona approssimazionedalla formula seguente:

I(s,

13,

0

)

I(

0, 13, 0

)exp[aDaR]

R2(1 + s)=

=I(

0, 13, 0

)exp[aDaR]

R2(

1 + RR0

) (9a)0 > 0 + s2/

3; (6b)

con s spessore ottico del mezzo diffondente definito nella formula (2b),

R0 =2

3TD,

come si disse precedentemente, con 0 lunghezza donda di una riga osservata

in una galassia lontana e con 0 lunghezza donda di una riga osservata in unospettro di laboratorio.

Anche se il risultato di questa formula e` approssimato, essa permette di de-durre che lo spettro visibile, oltre ad attenuarsi allaumentare della distanza,tende anche a scomparire del tutto perche si sposta in unaltra regione dellospettro. Grazie a queste formule e` infatti possibile risolvere il cosidetto para-dosso di Olbers e dimostrare che anche se il cielo e` infinito, la luminosita` del cielonotturno resta finita, purche` ci sia della materia interstellare ed intergalattica.

Questo paradosso dice che la luminosita` media del cielo notturno, lontanoovviamente dalle stelle e galassie, che si indica IK , dovrebbe essere infinita se ilcielo e` infinito essendo data da

IK() = limR

(4piRIAmN) =, (10)

8

ove N e` il numero medio di stelle per unita` di volume, IAm e` lintensita` media diuna di esse, che puo essere ottenuta dalla magnitudo assoluta ed R e` la distanzadalla Terra.

La formula (10) puo essere dedotta con le semplici considerazioni seguenti: lintensita` media che ci arriva per unita` di area da una sorgente di intensita`

media IAm alla distanza R, in assenza di mezzo intergalattico e` IAm/R2;

la luminosita` media che ci arriva da tutte le stelle alla distanza tra R edR+ dR e`

dIK() = N4piR2dRIAm/R

2; (11)

ne segue che integrando tra zero ed infinito si ha la formula (10) di Olbers.Se invece introduciamo lassorbimento e la diffusione con la formula (9a), (in

cui si sostituisce I(0, 1/

3, 0) con IAm) ponendo cos` nelleq.(11)

IAmexp[aDaR]/[R2(1 +R/R0)]

al posto di IAm/R2, otteniamo lequazione seguente:

dIK() =N4pidRIAmexp[aDaR]

1 +R/R0. (11a)

Da questa equazione, nel caso del puro assorbimento, trascurando gli effettidella diffusione ed integrando si vede che lintensita` e` sempre finita e vale

IK() NIAm4pi/(aDa). (12)

Se non ce` assorbimento ma solo diffusione, sempre per la formula (11a),trascurando gli effetti dellassorbimento ed integrando si ha un infinito logarit-mico, molto debole e cioe

IK()

IAmNTD

limR

log

[1 +

3

2TDR

], (13)

e dalleq.(6b) segue

m > m + lim

RTDR; (13a)

ove m indica un valor medio della lunghezza donda di una certa zona spettrale,prima della diffusione nella materia interstellare, e

m indica un valore medio

della lunghezza donda nellintervallo spettrale corrispondente osservato dopola diffusione della luce nello spazio intergalattico. In definitiva si ha anche inquesto caso unestinzione totale della luce visibile perche per la formula (13a) lospettro si trasferisce nellinfrarosso estremo, da una certa distanza in poi. Conquesta formula (11a) si dimostra ora che in base alla teoria di Eddington [13] laradiazione di fondo (detta anche 3K) si origina entro 700 pc dalla Terra, 1 pc= 3, 085678 1016 m.

Si ricorda che nella teoria di Eddington si assume che la materia interstellaresia in equilibrio termodinamico con la radiazione proveniente delle stelle e che

9

irraggi come un corpo nero. Con questa semplice ipotesi dalla densita` di luceosservata si ricava la temperatura del mezzo interstellare e della luminosita` dellaradiazione di fondo: con i dati di allora Eddington aveva trovato per la materiainterstellare una temperatura di 3,18 K, prossima alla temperatura di 2,96 Kmisurata recentemente da Woody et al. [14].

Poiche da Allen [15] abbiamo a 1013m2, Da 0, 5 106 granulim3 ponendo questi valori numerici della formula (11a), trascurando leffettodella diffusione che non e` noto e non e` dato da Allen, si deduce che il mezzointerstellare che irraggia la 3K, ed e` ad una distanza uguale o maggiore di 1 kpcda noi, da` un contributo allilluminamento del nostro cielo notturno inferiore a0, 21N4pidRIAm, cioe` e` marginale e la maggior parte della radiazione 3K cheosserviamo e` prodotta entro 700 pc. dal piano galattico, su cui allincirca sitrova la Terra.

Ricordando che lo spessore del disco galattico intorno alla Terra e` circa 1kpc (2 kpc spessore totale del disco) ne segue che la 3K e` di origine galatticalocale. Tuttavia sarebbe opportuno riottenere i valori di a e di Da con unateoria che distingua tra assorbimento e diffusione.

4 Discussione

Mario Carpino:Dove va a finire lenergia di fondo infinita alle grandi lunghezze donda?Risposta:In parte va alle stelle che lhanno emessa alle brevi lunghezze donda, in

parte va alla materia intergalattica che la riemette come radiazione di fondo(con le stesse formule di Eddington [13] ed i dati di osservativi di Allen [15],possiamo calcolare la temperatura della materia intergalattica nellipotesi cheessa sia in stato di equilibrio termodinamico con la radiazione ottica e in primaapprossimazione ricordo di aver trovato, parecchi anni fa, che essa e` inferiore a2,7 K) e poi forse vien assorbita per altri effetti.

Non va scordato inoltre che la sezione durto di Thomson usata ha un valoreapprossimato e quindi anche i risultati ottenuti sono di prima approssimazione.

Luigi Guzzo:La sezione durto della diffusione T varia con la lunghezza donda?Risposta:I dati sulle sezioni durto di diffusione della luce sono scarsi, nel caso del-

lelettrone libero secondo la letteratura corrente e` data dalla formula di Kleine Nishima; per lelettrone legato bisogna aggiungere ulteriori termini dovuti al-linterazione con gli altri elettroni, con il nucleo atomico, con gli altri atomi oltreai termini non lineari.

Riferimenti bibliografici

[1] WIESE W. L., SMITH M. W., e GLENNON B. M., Atomic Transi-tion Probabilities, NSRDS-NBS 4-, U.S. Governement Printing Office,(Washington D.C. 20402, 1966).

[2] CHANDRASEKHAR S., Radiative transfer, (Dover pub. inc., New York,1960) pp. 329, 61, 364.

10

[3] MISSANA M., Solution of the radiative transfer equations in the presence ofgeneralized Compton effect, Osservatorio Astronomico di Brera, stampatoin proprio, 1987 pp. 1, 22.

[4] MISSANA M. e PIANA A., Astrophys. Space Sci., 37 (1975) 263.

[5] MISSANA M. e PIANA A., Astrophys. Space Sci., 43 (1976) 129.

[6] MISSANA M. e PIANA A., Astrophys. Space Sci., 50 (1977) 518.

[7] MISSANA M., Astrophys. Space, Sci., 50 (1977) 409.

[8] TRICOMI F. G.,, Istituzioni di Analisi Superiore (Gheroni, Torino, 1961)pp. 426, 138.

[9] GRADSHTEYN I. S. e RYSZHIK I. M., Table of Integrals, Series andProducts (Academic Press , London, 1965) pp. 406, 482.

[10] MISSANA M., Distance of far galaxies and scattering of the photons inthe space, in Structure and Evolution of Active Galactic Nuclei, a cura diGiuricin et al. (D. Reidel Publishing Co., Dordrecht, 1986) p. 645.

[11] MISSANA M., Astrophys. Space Sci., 85 (1982) 137.

[12] MISSANA M., Astrophys. Space Sci., 33 (1975) 245.

[13] EDDINGTON A. S., The Internal Constitution of the Stars (CambridgeUniversity Press, 1926) p. 371.

[14] WOODY D. P. e RICHARDS P. L., Phys. Rev., 42 (1979) 925.

[15] ALLEN C. W., Astrophysical Quantities, (Athlone Press, London, 1973)pp. 265, 289.

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