Paolo Di Marco Nicola Forgione Corso di - unipi.ita006600/nettuno/c11htx012p.pdfPaolo Di Marco Cap....

Diploma Universitario in Ingegneria Meccanica

Corso di Fisica Tecnica

Nicola Forgione

Paolo Di Marco

Cap. 11. Scambiatori di calore

Versione 01.01 – 16/11/2001.

La presente dispensa è redatta ad esclusivo uso didattico degli allievi dei Diplomi Universitari del settore industrialedell’Università degli Studi di Pisa.Gli autori se ne riservano tutti i diritti. Essa può essere riprodotta solo totalmente ed al fine summenzionato, non può esserealterata in alcuna maniera o essere rivenduta ad un costo superiore a quello netto della riproduzione.Ogni altra forma di uso e riproduzione deve essere autorizzata per scritto dall’autore.Gli autori saranno grati a chiunque segnali loro errori, inesattezze o possibili miglioramenti.

Scambiatori di calore

2

1. Tipologia degli scambiatori di caloreGli scambiatori di calore sono delle apparecchiature nelle quali si ha trasmissione del caloreda un fluido ad un altro. Gli scambiatori di calore possono distinguersi in:• scambiatori a miscelamento, in cui i due fluidi hanno in genere la stessa natura e si

mescolano tra loro;• scambiatori a superficie, in cui i due fluidi, che possono essere di diversa natura, sono

separati da una superficie impermeabile alla massa e non si mescolano.

Nel seguito tratteremo solo gli scambiatori di calore a superficie senza che di volta involta venga specificato. In essi la trasmissione del calore tra i due fluidi avviene perconvezione tra i due fluidi e le rispettive superfici solide lambite e per conduzione attraversola parete del tubo che li separa.

Alcuni esempi di scambiatori di calore sono: il radiatore di un autoveicolo,l’evaporatore di un’unità di condizionamento, il condensatore di una centrale termoelettrica,ecc.

Il più semplice scambiatore di calore è quello costituito da due tubi coassiali (vedifigura 1). Uno dei due fluidi fluisce nel tubo interno mentre l’altro fluisce nella regioneanulare, in equicorrente o in controcorrente con il flusso del fluido interno; si parlarispettivamente di scambiatore ad equicorrente (figura 1.a) e di scambiatore acontrocorrente (figura 1.b). Nel confrontare le due disposizioni, equicorrente econtrocorrente, si può notare che solo per lo scambiatore a controcorrente la temperatura diuscita del fluido freddo può essere maggiore della temperatura di uscita del fluido caldo.

(a) Scambiatore ad equicorrente. (b) Scambiatore a controcorrente.

Figura 1: Andamento delle temperature negli scambiatori di calore a tubi coassiali.

T T

x x

Tc,e

Tf,e

Tc,u

Tf,u

1 2 1 2

Tc,e

Tf,u Tc,u

Tf,e

Cc >Cf


3

Un tipo di scambiatore molto diffuso nelle applicazioni industriali è quello a tubi emantello (vedi esempio mostrato in figura 2) costituito da un fascio di tubi opportunamenteracchiusi all’interno di un involucro (mantello). I tubi sono mantenuti in posizione all’internodel mantello mediante dei diaframmi che svolgono anche la funzione di miglioramento delloscambio termico convettivo. Un fluido (generalmente liquido) viene fatto scorrere all’internodei tubi che possono essere sagomati a più passaggi (il fluido percorre in direzioni opposte illato interno dei tubi prima di uscire), mentre l’altro fluido (generalmente liquido) viene fattopassare all’esterno dei tubi ed all’interno del mantello.

Figura 2: Scambiatore di calore a tubi e mantellocon 1 passaggio nel mantello, fornito di diaframmi, e 2 passaggi nei tubi.

Allorché uno od entrambi i fluidi sono in fase gassosa si utilizzano scambiatori acorrenti incrociate (vedi figura 3), nei quali si cerca di ridurre l’effetto di degradazione delloscambio termico, dovuto alla relativamente bassa conducibilità termica dei gas, aumentando lasuperficie di scambio termico (mediante alettature) su una od entrambi le superfici di scambio(scambiatori compatti). I flussi incrociati possono essere: entrambi puri (figura 3.a), quandoi due fluidi sono forzati a percorrere cammini tra loro perpendicolari; entrambi mescolati,quando entrambi i fluidi sono liberi di muoversi anche in direzione parallela l’uno all’altro;uno mescolato e l’altro puro (figura 3.b).

(a) Entrambi i flussi puri. (b) Un flusso misto ed uno puro.

Figura 3: Scambiatore di calore a correnti incrociate.


4

Un tipo di scambiatori di calore attualmente molto usato, soprattutto nel campodell’industria alimentare, è quello rigenerativo. Si tratta di uno scambiatore di tipo modularecostituito da una serie di piastre metalliche, dotate di particolari rilievi, serrate tra di loromediante tiranti. Nello scambiatore si ha passaggio alternato di fluido caldo e di quello freddoattraverso una stessa sezione. Il calore viene trasferito in una prima fase dal fluido caldo alrigeneratore (piastra metallica) e successivamente al fluido freddo.

2. Il coefficiente di scambio termico globaleLa potenza termica scambiata tra due fluidi mantenuti a temperatura costante Tc (fluido caldo)e Tf (fluido freddo), separati da una parete solida, è data da:

( )fct TTAuW −= [W]dove A è la superficie attraverso cui avviene lo scambio ed u è il cosiddetto coefficiente discambio termico globale o conduttanza termica unitaria (W/(m2K)). L’analogia con lalegge di Ohm consente di introdurre la resistenza termica totale Rt legata al coefficiente discambio termico globale attraverso la seguente formula:

AuRt

1= (⇒ t

fct R

TTW

−= ) [K/W]

Andiamo ora a mostrare le diverse tipologie che possono presentarsi per il calcolo dellaresistenza termica globale (e quindi di u) negli scambiatori di calore.

• Caso di parete di separazione piana (vedi figura 4):

AAks

ARRR

AuR

eiepareteit αα

111 ++=++==

dove s è lo spessore della parete, k è la conducibilità termica della parete e iα ed eαrappresentano, rispettivamente, il coefficiente di scambio termico convettivo interno edesterno.

AR

ii α

1=

AksRparete =

AR

ee α

1=

Figura 4: Resistenza termica totale nel caso di parete di separazione piana.

• Caso di parete di separazione cilindrica (vedi figura 5): bisogna considerare che ingenerale l’area di scambio termico esterna è diversa da quella interna e che l’area da

Ri RpareteTc TfRe

s

Tc, αi Tf, αe


5

introdurre all’interno della resistenza termica conduttiva è un’opportuna media(logaritmica) tra queste due.

eeiieeiit AAk

sAAuAu

Rαα

1111 ++===

dove in questo caso ie rrs −= ed A è la media logaritmica tra l’area esterna e quellainterna, data da:

( )( )ie

ie

ie

ie

rrLrr

AAAAA

/log2

loglog−=

−−= π

iii A

Rα

1=

( )Lkrr

AksR ieparete π2

/log==

eee A

Rα

1=

Figura 5: Resistenza termica totale nel caso di parete di separazione cilindrica.

• Caso di parete di separazione cilindrica con alettatura esterna (vedi figura 6): in questocaso l’area da considerare per lo scambio convettivo esterno è un’area efficace,generalmente minore dell’area totale esterna, da calcolare mediante la seguente formula:

.,.,, alettealettaalettnoneeffe AAA η+=

dove alettaη è l’efficienza dell’aletta valutabile in funzione della forma e della dimensionedell’aletta tramite diagrammi od appropriate formule. Così facendo si tiene conto dellevariazioni di temperatura lungo le alette.

Nel caso di alette anulari all’esterno di un tubo a sezione circolare (vedi figura 6) iparametri da utilizzare per il calcolo dell’area esterna efficace possono essere ottenutifacendo uso delle seguenti formule:

( ) LftPrA alettealetteealettnone −= π2.,

( )[ ] LftrrrA alettealetteealettealette ππ 22 22., +−=

( )ψ

ψηb

baletta

tanh= ; ( )( )aa log35.011 −−=ψ ; alette

e

rra ≡ ;

tkrb

alette

ealette

α2≡

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]ψψψψψ bbbbb −+−−≡ expexp/expexptanh

Ri RpareteTc TfRe

Tc, αi Tf, αe

ri

re


6

nelle quali falette sta ad indicare la frequenza delle alette (alette/m), mentre gli altriparametri geometrici sono definiti in figura 6.

Figura 6: Caso di parete di separazione cilindrica alettata.

Generalmente le prestazioni di uno scambiatore di calore peggiorano durante ilfunzionamento a causa dell’accumulo di depositi ed incrostazioni (in inglese fouling) sullesuperfici di scambio. In un calcolo di verifica si può tener conto di questa degradazione delloscambio termico aggiungendo due resistenze termiche addizionali nella serie di resistenzetermiche per il calcolo della conduttanza termica globale. In fase di progetto è però difficileprevedere il valore di queste resistenze termiche addizionali per cui si preferisce non tenerneconto nel computo della conduttanza termica globale, ma si sceglie uno scambiatore esistentein commercio avente un’area di scambio maggiore di quella calcolata.

La determinazione del coefficiente di scambio termico globale, u, può risultare moltorapido allorché si faccia uso dei cataloghi forniti dalle ditte che realizzano gli scambiatori dicalore. Infatti, per una data tipologia di scambiatori, u può essere ricavato da appositidiagrammi in funzione delle portate del fluido freddo e del fluido caldo.

3. Il dimensionamento degli scambiatori di caloreLo scopo del presente paragrafo è quello di fornire le nozioni necessarie per eseguire sia

il calcolo termico di progetto che il calcolo termico di verifica di uno scambiatore di calore.• Il calcolo termico di progetto ha come scopo quello di dimensionare e di scegliere

opportunamente uno scambiatore che deve realizzare il voluto scambio termico tra duefluidi di cui sono note le portate massiche e le temperature di ingresso e di cui è prescrittauna temperatura di uscita (desiderata). Il calcolo consiste allora nel selezionare un tipo discambiatore di calore e nel determinare l’area di scambio termico A necessaria per ottenerela desiderata temperatura di uscita.

• Il calcolo termico di verifica viene eseguito su uno scambiatore già esistente di cui sononote l’area totale di scambio termico, le portate massiche, le temperature di ingresso deidue fluidi. In questo caso l’obiettivo è quello di determinare la potenza termica scambiatae le temperature di uscita dei due fluidi.

rire

ralette

Palettet


7

Il calcolo termico degli scambiatori avviene normalmente facendo uso delle equazioni dibilancio della massa e dell’energia e dell’equazione di scambio termico; quest’ultimaassocia la potenza termica scambiata tra i due fluidi alle temperature di ingresso e/o di uscita,alle portate, al coefficiente di scambio termico globale ed all’area di scambio. Questeequazioni vengono normalmente ricavate considerando gli scambiatori di calore come sistemiaperti a regime, globalmente adiabatici, nei quali si suppone che la pressione, la conduttanzatermica unitaria ed i calori specifici dei due fluidi rimangono costanti lungo tutto loscambiatore.

Applicando le equazioni di bilancio di massa e di energia al fluido caldo ed al fluidofreddo (vedi figura 7) si ottengono le seguenti formule per il calcolo della potenza termicaglobale:

( )ucecct hhGW ,, −=

( )efufft hhGW ,, −=Nell’ipotesi che i due fluidi nonsubiscono cambiamenti di fase e che icorrispondenti calori specifici e pressionisiano costanti, le equazioni precedentidivengono:

( )uceccpct TTcGW ,,, −= Figura 7: Bilancio di energia in unoscambiatore di calore.

( )efuffpft TTcGW ,,, −=Nello studio degli scambiatori di calore è utile riferirsi alla cosiddetta portata termica(oraria), C, data dal prodotto tra la portata massica ed il calore specifico:

cpcc cGC ,= ; fpff cGC ,= [W/K]

In tal caso le due equazioni di bilancio precedenti possono scriversi nella seguente forma:

( )ucecct TTCW ,, −=

( )efufft TTCW ,, −=Esistono due differenti metodi per ottenere un’equazione di scambio termico da

associare alle due equazioni di bilancio dell’energia viste precedentemente. Il primo è ilmetodo della media logaritmica delle differenze di temperatura (o MLDT) ed il secondo èil metodo εεεε-NUT.

Gf hf,e

Gc hc,e

Parete adiabatica Gf hf,u

Gc hc,uWt


8

Metodo della media logaritmica delle differenze di temperatura (MLDT o in inglese LMTD)In questo caso la potenza termica scambiata tra i due fluidi viene legata alla differenza ditemperatura tra il fluido caldo ed il fluido freddo, fc TTT −=∆ . Una tale legge di scambiodovrebbe essere un’estensione delle legge di Newton, con il coefficiente di scambio termicoconvettivo, α, rimpiazzato dal coefficiente di scambio termico globale, u. Tuttavia, poiché

T∆ varia con la posizione all’interno dello scambiatore di calore è necessario utilizzare unadifferenza di temperatura opportunamente mediata. Nel caso degli scambiatori di calore adequicorrente o a controcorrente si dimostra che la differenza di temperatura da utilizzare è lamedia logaritmica tra le differenze esistenti a monte ed a valle dello scambiatore ottenendocosì la seguente equazione di scambio termico:

mlt TAuW ∆= (dove ( )2121

/log TTTTTml ∆∆

∆−∆≡∆ )

La relazione per la differenza di temperatura media logaritmica vista precedentemente èvalida solo per scambiatori di calore ad equicorrente o a controcorrente. Per gli altri tipi discambiatori l’effettiva differenza media di temperatura da utilizzare nell’equazione di scambiotermico è data dal prodotto di quella ottenuta come media logaritmica (come se lo scambiatorefosse ad equicorrente o a controcorrente) per un fattore di correzione, F, minore di uno:

FTAuW mlt ∆=

Il fattore di correzione dipende dal tipo di scambiatore e dalle temperature di ingresso e diuscita dei due fluidi. Esso è quindi diagrammato per ogni scambiatore di calore in funzionedelle temperature dei due fluidi (vedi figura 8).

Il metodo MLDT viene utilizzato per l’analisi degli scambiatori di calore quando siconosce, oltre alle temperature di entrata e alle portate dei due fluidi, almeno una temperaturadi uscita (oppure quando si conosce, oltre alle temperature di entrata e di uscita dei due fluidi,almeno una portata). La procedura di calcolo è la seguente:

1. si determina l’eventuale temperatura di uscita (o l’eventuale portata) incognita facendouso di una delle due equazioni di bilancio dell’energia;

2. si calcola la differenza di temperatura media logaritmica e, una volta scelto il tipo discambiatore di calore da utilizzare, si individua il valore del fattore di correzione;

3. si determina il valore del coefficiente di scambio termico globale;4. si calcola l’area della superficie di scambio termico facendo uso dell’equazione di

scambio;5. si ordina quindi uno scambiatore di calore del tipo stabilito con una superficie di

scambio uguale o superiore a quella calcolata.Un secondo tipo di calcolo termico per gli scambiatori di calore è la determinazione

della potenza termica scambiata e delle temperature di uscita, note le temperature di ingresso ele portate dei due fluidi e noto il tipo di scambiatore nonché la superficie di scambio termico(calcolo termico di verifica). In questo caso si potrebbe ancora utilizzare il metodo MLDT, maricorrendo ad una risoluzione iterativa. Un metodo molto semplice per risolvere un problemadi questo tipo è, invece, il metodo ε-NUT che analizzeremo nel seguito.


9

Figura 8: Fattore di correzione per differenti tipologie di scambiatori.

(a) Scambiatore ad 1passaggio nel mantello e2, 4, 6, … nei tubi.

(b) Scambiatore a 2 passagginel mantello e 4, 8, 12,… nei tubi.

(c) Scambiatore a flussiincrociati con entrambi ifluidi puri.

(d) Scambiatore a flussiincrociati con un fluidopuro e l’altro misto.


10

Metodo εεεε-NUT (in inglese εεεε-NTU)Per ottenere un’espressione dell’equazione di scambio termico che non comprenda alcunatemperatura di uscita si definisce l’efficienza di uno scambiatore, ε, il rapporto tra la potenzatermica effettivamente scambiata nello scambiatore e la massima potenza termicascambiabile:

max,t

t

WW≡ε ( )10 , mentre la temperatura di uscita del fluido caldo uguaglia la temperatura di ingressodel fluido freddo quando fc CC < ; in definitiva si ha:

( )efecft TTCW ,,max, −≡ ( fc CC >se )

( )efecct TTCW ,,max, −= ( fc CC


11

0102030405060708090

100

0 1 2 3 4 5Numero di unità di trasmissione del calore (NUT =uA /Cmin)

Effic

ienz

a ( ε

) [%

]C min/C max = 0

0.25

0.50

0.751.00

Figura 9: Efficienza di uno scambiatore di calore ad equicorrente.

0102030405060708090

100

0 1 2 3 4 5Numero di unità di trasmissione del calore (NUT =uA /C min)

Effic

ienz

a ( ε

) [%

]

C min/C max = 00.25 0.50 0.75

1.00

Figura 10: Efficienza di uno scambiatore di calore a controcorrente.


12

0102030405060708090

100


Effic

ienz

a ( ε

) [%

]

C min/C max = 0

0.25

0.50

0.751.00

Figura 11: Efficienza di uno scambiatore ad 1 passaggio nel mantello e 2, 4, 6, … nei tubi.

0102030405060708090

100


Effic

ienz

a ( ε

) [%

]

C min/C max = 00.25 0.50

0.751.00

Figura 12: Efficienza di uno scambiatore a 2 passaggi nel mantello e 4, 8, 12, … nei tubi.


13

0102030405060708090

100


Effic

ienz

a ( ε

) [%

]C min/C max = 0

0.25 0.500.75

1.00

Figura 13: Efficienza di uno scambiatore a flussi incrociati con entrambi i fluidi puri.

0102030405060708090

100


Effic

ienz

a ( ε

) [%

]

C misto /C puro = 0, ∞

0.50

1.001.33

2.00

4.00

0.75

0.25

Figura 14: Efficienza di uno scambiatore a flussi incrociati con un fluido puro e l’altro misto.


14

Relativamente all’efficienza di uno scambiatore di calore, si possono fare leosservazioni riportate nel seguito.• L’efficienza aumenta rapidamente per piccoli valori del NUT (fino a NUT=1.5) e piuttosto

lentamente per grandi valori. Per questo motivo l’uso di scambiatori di calore con valori diNUT maggiori di 3 e quindi con grandi dimensioni può non essere economicamenteconveniente.

• Per un dato NUT e C l’efficienza maggiore è quella relativa ad uno scambiatore acontrocorrente seguito da vicino da uno scambiatore di calore a flussi incrociati conentrambi i flussi puri (vedi figura 15); il più basso valore dell’efficienza lo si ottieneinvece con uno scambiatore ad equicorrente.

• L’efficienza è indipendente dal rapporto delle capacità C per valori di NUT minori di circa0.3 (vedi figura 15).

• Per un dato NUT l’efficienza diventamassima per C = 0 e minima per C = 1. Ilcaso C = 0, corrispondente ad avere Cmax= ∞, è realizzato quando uno dei duefluidi nell’attraversare lo scambiatore dicalore subisce cambiamento di fase (inquesto caso la distribuzione ditemperatura è quella mostrata in figura16). Per C=0 l’andamentodell’efficienza è sempre lo stessoqualsiasi sia la tipologia degliscambiatori di calore. In particolare larelazione per l’efficienza si riduce alla:

)exp(1 NUT−−=ε Figura 15: Confronto dell’andamentodell’efficienza per tre differenti tipi di

scambiatore di calore.

(a) Evaporatore. (b) Condensatore.

Figura 16: Andamento delle temperature quando un fluido subisce cambiamento di fase.

La scelta di uno scambiatore di calore oltre a richiedere un calcolo termico puòrichiedere anche altre considerazioni quali quelle legate al costo (economiche), all’ingombro,alla facilità di impiego, all’affidabilità, al livello di rumorosità, ecc..

Tc,e

Tf

T

x

Tc,u

1 2

T

x

Tf,u

1 2

Tf,e

Tc

0102030405060708090

100

0 1 2 3 4 5Numero di unità di trasmissione del calore (NUT =uA /C min)

Effic

ienz

a ( ε

) [%

]

C min/C max = 1

Ad equicorrente

A controcorrente

A flussi incrociaticon flussi puri


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BIBLIOGRAFIA• Y. A. Cengel, “Termodinamica e trasmissione del calore”, McGraw-Hill, New York,

1998.• W. M. Kays, A. L. London, “Compact Heat Exchangers”, McGraw-Hill, New York, 1964.• R. Mastrullo, P. Mazzei, V. Naso e R. Vanoli, “Fondamenti di trasmissione del calore”,

Vol. 1, Liguori editore, Napoli, 1988.• F Kreith, “Principi di Trasmissione del calore”, Liguori editore, Napoli, 1991.• J.P. Holman, “Heat Transfer”, McGraw-Hill, New York, 1997.


16

ESERCIZIO 1

Il cilindro di un ciclomotore è costruito in lega di alluminio (di conducibilità termica190 W/(m K)) ed ha un’altezza pari a 0.16 m, un diametro esterno di 50 mm ed uno spessoredi 5 mm. In condizioni tipiche di funzionamento la temperatura del gas contenuto all’internodel cilindro raggiunge valori di circa 1200 °C. Il coefficiente di scambio termico convettivointerno è uguale a 30 W/(m2 K), mentre quello esterno vale 40 W/(m2 K). Il cilindro è espostoall’aria ambiente avente una temperatura di 25 °C ed è dotato di alette anulari (vedi figura) peraumentare lo scambio termico verso l’esterno. Le alette sono alte 20 mm e sono spesse 3 mm.

Qual’è l’aumento dello scambio termico dovuto alla presenza delle alette? Qual è latemperatura raggiunta sulla superficie interna del cilindro e quella che si raggiungerebbe nelcaso di assenza delle alette?

La conducibilità della lega di alluminio è uguale a circa 190 W/(m K).

Soluzione

1. Cilindro senza alettaturaIn questa configurazione l’area interna e l’area esterna valgono:

2m020.02 == LrA ii π2m025.02 == LrA ee π

ri = 20 mm

Palette= 20 mm

t=3 mm

re = 25 mm

realette = 45 mm

L = 0.16 mTc, αi Tf, αe

Tparete


17

Le singole resistenze termiche sono date da:

K/W67.11 ==ii

i AR

α

( ) K/W1017.12

/log 3−⋅===Lkrr

AksR ieparete π

K/W00.11 ==ee

e AR

α

La resistenza termica totale è data dallasomma delle tre resistenze calcolate inprecedenza:

K/W67.2=++= epareteitot RRRR

Si dispone quindi di tutte le informazioni necessarie per il calcolo della potenza termicascambiata dall’interno del cilindro verso l’esterno e della temperatura della parete interna:

W1.440=−

=tot

fct R

TTW ; C465 °=−= itcparete RWTT

1. Cilindro con alettaturaIn questa configurazione l’area interna è la stessa di quella valutata nella precedenteconfigurazione mentre l’area esterna della zona non alettata e di quella alettata valgono,rispettivamente:

( ) 2., m0214.02 =−= LftPrA alettealetteealettnone π( )[ ] 222., m0772.022 =+−= LftrrrA alettealetteealettealette ππ

L’efficienza delle alette calcolata mediante l’apposita formula e l’area esterna efficacevalgono:

( ) 97.0tanh ==ψ

ψηb

baletta

2.,.,, m0928.0=+= alettealettaalettnoneeffe AAA η

A questo punto è possibile rideterminare il valore della resistenza termica totale:

K/W26.01

,

==effee

e AR

α ⇒ K/W93.1=++= epareteitot RRRR

La potenza termica scambiata dall’interno del cilindro verso l’esterno e la temperatura dellaparete interna valgono:

W8.608=−

=tot

fct R

TTW ; C183 °=−= itcparete RWTT

E’ questo il motivo per il quale il cilindro non fonde pur avendo al suo interno unatemperatura di 1200 °C.

Ri RpareteTc TfRe

Tc, αi Tf, αe

ri

re


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ESERCIZIO 2

Uno scambiatore di calore di un impianto chimico è usato per riscaldare alcool etilico(cp,f = 2670 J/kg°C) da 25 °C a 70 °C ad una portata di 2.1 kg/s. Il riscaldamento viene fattocon acqua (cp,c = 4190 J/kg°C) che entra nello scambiatore a 95 °C ed esce a 45 °C.

Si determini la potenza termica scambiata tra i due fluidi e la portata di acqua necessariaper il processo.

Nell’ipotesi che il coefficiente di scambio termico globale sia pari a 800 W/(m2 °C),calcolare l’area della superficie di scambio termico nei seguenti due casi (si usi sia il metodoMLDT che il metodo ε-NUT):

1. scambiatore in controcorrente;2. scambiatore a tubi e mantello con 2 passaggi nel mantello ed 8 nei tubi (l’acqua entra

nel mantello).

SoluzioneSi tratta di un tipico calcolo termico di progetto. La potenza termica scambiata dai due fluidivale:

( ) W252315,,, =−= efuffpft TTcGWNota la potenza termica si può ricavare facilmente la portata dell'acqua:

( ) ( ) kg/s2.1,,,,,,=

−=⇒−=

uceccp

tcuceccpct TTc

WGTTcGW

1. Scambiatore in controcorrenteCon il metodo MLDT, nota la potenza termica scambiata tra i due fluidi, è facile ottenerel’area della superficie di scambio termico con la seguente formula:

2m1.14=∆

=ml

t

TuWA

Con il metodo ε-NUT è necessario trovarsi innanzitutto l’efficienza ed il rapporto tra lecapacità termiche orarie:

( ) 7143.0,,minmax,=

−==

efec

t

t

t

TTCW

WWε , 9.0

max

min ==CCC

A questo punto è possibile ricavare il numero di unità di trasmissione del calore attraversol’apposita formula (o l’apposito diagramma):

2min m1.14232.21

1ln1

1 ==⇒=

−

−−

=u

CNUTACC

NUTεε

Tc,e

Tf,u

Tf,e

Tc,uAcqua

Alcool


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Si noti come il metodo ε-NUT risulti più complesso di quello MLDT. Non è però semprepossibile usare il metodo MLDT in quanto non è detto che si conoscano sempre letemperature di uscita del fluido freddo e del fluido caldo.

2. Scambiatore a tubi e mantello con 2 passaggi nel mantello ed 8 nei tubiCon il metodo MLDT, nota la potenza termica scambiata tra i due fluidi è facile ottenere

l’area della superficie di scambio termico con la seguente formula:

FTuWA

ml

t

∆=

Il fattore di correzione F può essere ricavato dall’apposito diagramma. Si ottiene un valore diF pari a circa 0.81. L’area della superficie di scambio termico è:

2m4.17=∆

=FTu

WAml

t

Con il metodo ε-NUT è necessario trovarsi innanzitutto l’efficienza ed il rapporto tra lecapacità termiche orarie:

( ) 7143.0,,minmax,=

−==

efec

t

t

t

TTCW

WWε , 90.

CCC

max

min ==

A questo punto è possibile ricavare il numero di unità di trasmissione del calore attraversol’apposito diagramma ottenendo un NUT pari a circa 2.8. L’area della superficie di scambiotermico vale:

2min m6.17==u

CNUTA


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ESERCIZIO 3

Uno scambiatore a controcorrente è usato per refrigerare l’olio di lubrificazione di unagrande turbina a gas di tipo industriale. L’acqua usata come refrigerante attraversa il tubointerno con una portata di 0.2 kg/s, mentre l’olio viene fatto passare nella regione anulare conuna portata di 0.1 kg/s. L’olio e l’acqua entrano alla temperatura di 100 e 30 °C,rispettivamente. Il tubo interno è un tubo in acciaio ¾” schedula 5S (tubi ANSI), mentre iltubo esterno ha un diametro di 45 mm.

Determinare la lunghezza del tubo affinché la temperatura di uscita dell’olio sia di60 °C.

(Proprietà: per l’olio di lubrificazione ad una temperatura media di 80 °C corrispondono leseguenti proprietà: cp=2131 J/(kg K), µ=3.25⋅10-2 Pa/s, k=0.138 W/(mK); per l’acqua direfrigerazione ad una temperatura di 30 °C corrispondono le seguenti portate: cp=4178 J/(kgK),µ=725⋅10-6 Pa/s, k=0.625 W/(mK), Pr=4.85; dalle tabelle ANSI si trova che il tubo in acciaioha un diametro esterno di 26.67 mm ed uno spessore di 1.65 mm, la sua conducibilità termicaè pari a circa 50 W/(mK))

Soluzione

Si tratta di un tipico calcolo termico di progetto. La potenza termica scambiata tra i due fluidipuò essere ottenuta dall’equazione di bilancio dell’energia per il fluido caldo:

( ) W8524,,, =−= uceccpct TTcGWLa temperatura con la quale l’acqua fuoriesce dallo scambiatore di calore può esseredeterminato mediante l’equazione di bilancio dell’energia per il fluido freddo:

C2.40,

,, °=+=fpf

tefuf cG

WTT

Per poter determinare l’area di scambio termico necessaria, mediante l’equazione di scambioMLDT, è necessario ricavare il coefficiente di scambio termico globale, u. A tal fine ènecessario innanzitutto determinare i coefficienti di scambio termico convettivi lato interno,

iα , e lato esterno, eα .Per il flusso di acqua all’interno del tubo si ha:

150294

Re ===fi

f

f

iff

DGDv

µπµρ

Tf,e

Tc,u

Tc,e

Tf,uAcqua

Olio

Di De Dan.


21

Essendo il flusso di tipo turbolento e pienamente sviluppato il coefficiente di scambio termicopuò essere determinato mediante la correlazione di Colburn:

5.85PrRe023.0 3/18.0 == fiNuQuindi il coefficiente di scambio termico lato interno vale:

KW/m2287 2==i

fii Dk

Nuα

Per il flusso di olio nella regione anulare del tubo il diametro idraulico da utilizzare per ilcalcolo del numero di Reynolds vale:

m1033.18 3.−⋅=−= eanh DDD

Il numero di Reynolds vale:

( ) 554/Re 22 . =−== eancf

c

hc

c

hcc

DDGDDv

πρµρ

µρ

Il flusso anulare è, quindi, di tipo laminare ed il numero di Nusselt è in queste condizionipressoché costante ed uguale a circa 4. Il coefficiente di scambio termico lato esterno valequindi:

KW/m30 2==h

cee D

kNuα

Nel paragrafo 2 si è visto che il coefficiente di scambio termico globale può esseredeterminato mediante la seguente relazione:

epareteieeii

t RRRAuAuR ++=== 11

dove:

LLDAR

iiiii

31096.511 −⋅===παα

( )LLk

DDRparete

ieparete

41020.42

/log −⋅==π

LLDAR

eeeee

11098.311 −⋅===παα

Come si può notare la resistenza termica dominante risulta essere quella esterna e le altrepossono essere trascurate. In definitiva si ha:

KW/m3011 2==≅⇒≅= eee

eeee

t ARuR

AuR α

A questo punto siamo in grado di poter applicare l’equazione di scambio termico per ricavarela lunghezza del tubo:

m5.78=∆

=mlee

t

TDuWL

π


22

ESERCIZIO 4Olio caldo (cp,c = 2200 J/kg K) viene refrigerato da acqua

(cp,f = 4180 J/kg K) in uno scambiatore di calore a 2 passagginel mantello e 12 passaggi nei tubi. I tubi hanno un diametrointerno di 1.8 cm. La lunghezza per ogni passaggio del tubo èdi 3 m ed il coefficiente di scambio termico globale interno èdi 340 W/(m2 K). L'acqua fluisce attraverso i tubi ad un rateodi 0.1 kg/s e l'olio attraverso il mantello ad un rateo di 0.2kg/s. L'acqua e l'olio entrano ad una temperatura di 18 °C e di160 °C rispettivamente. Determinare il rateo di scambio termiconello scambiatore di calore e le temperature di uscitadell'acqua e dell'olio.

SoluzioneSi tratta di un tipico calcolo termico di verifica. In questo caso, se non si vuole procedereiterativamente, bisogna utilizzare necessariamente il metodo ε-NUT. Il numero di unità ditrasmissione del calore ed il rapporto tra le capacità termiche orarie valgono:

66.1min

==C

AuNUT ii , 95.0max

min ==CCC

L'efficienza dello scambiatore può quindi essere determinato dall'apposito diagramma; siottiene ε = 0.61. La potenza termica scambiata vale:

( ) Wk2.36,,minmax, =−== efectt TTCWW εεLe temperature di uscita dell'acqua e dell'olio possono essere determinate dalle equazioni dibilancio dell’energia:

( ) C6.104,

,,,,, °=+=⇒−=ffp

tefufefuffpft Gc

WTTTTcGW

( ) C7.77,

,,,,, °=−=⇒−=ccp

tecucuceccpct Gc

WTTTTcGW


23

ESERCIZIO 5

In un ciclo Rankine, una portata di vapore pari a 1.5 kg/s lascia la turbina come vaporesaturo secco alla pressione di 0.08 bar. Il vapore viene condensato a liquido saturo facendolopassare all'esterno dei tubi di uno scambiatore a tubi e mantello, mentre l'acqua liquida direfrigerazione, avente una temperatura di ingresso di 290 K viene fatta passare attraversol'interno dei tubi. Il condensatore contiene 100 tubi molto sottili, ciascuno di 10 mm didiametro e la portata totale di acqua attraverso i tubi è uguale a 80 kg/s. Il coefficiente discambio termico medio associato con la condensazione sulla superficie esterna dei tubi vale5000 W/(m2 K). Si determini:

1. la potenza termica scambiata tra i due fluidi;2. la temperatura di uscita dell'acqua di refrigerazione;3. la lunghezza richiesta per ogni singolo tubo, supposti tutti uguali;Per le proprietà dell'acqua di refrigerazione si assuma i seguenti valori: cp = 4186 J/(kg K),µ = 700·10-6 kg/(s m), k = 0.628 W/(m K) e Pr = 4.6; per le proprietà del vapore saturo sifaccia uso delle tabelle termodinamiche.

SoluzioneIn corrispondenza di una pressione di 0.08 bar il vapore saturo possiede le seguenti

proprietà: temperatura di 314.7 K, entalpia del liquido saturo di 173837 J/kg ed entalpia delvapore saturo secco di 2576907 J/kg. La potenza termica scambiata tra i due fluidi vale:

( ) W3604605,, =−= ucecct hhGWNota la potenza termica si può ricavare facilmente la temperatura di uscita dell'acqua direfrigerazione:

K8.300,, =+=pff

tefuf cG

WTT

Ricaviamoci l'area di scambio termico con il metodo ε-NUT; a tal fine è necessariotrovarsi innanzitutto l’efficienza dello scambiatore:

( ) ( ) 44.0,,,,minmax,=

−=

−==

efecpff

t

efec

t

t

t

TTcGW

TTCW

WWε

A questo punto è possibile ricavare il numero di unità di trasmissione del calore attraversol’apposita formula (od un qualsiasi diagramma):

( ) 58.01ln =−−= εNUT

T

A

Tf,u

1 2

Tf,e

Tc


24

Prima di ricavare l'area è necessario determinare anche il coefficiente di scambio termicoglobale u:

AAAu ei αα111 +=

Il coefficiente di scambio termico esterno, eα , è dato, mentre quello interno deve esseredeterminato mediante un’opportuna correlazione di scambio termico per convezione. Ilnumero di Reynolds per l'acqua che passa all'interno dei tubi vale:

145513100

4Re ==≡

DGDv

f

f

f

ff

πµµρ

Lo scambio termico avviene all'interno dei tubi per convezione forzata. Adottando lacorrelazione di Colburn si ottiene il seguente valore del numero di Nusselt:

4.516PrRe023.0 333.08.0 ==iNuIl coefficiente di scambio termico convettivo interno vale quindi:

K)W/(m32430 2==Dk

Nu fiiα

A questo punto è possibile ricavare il coefficiente di scambio termico globale:

KW/m2448811111 21

=

+=⇒+=

−

eiei

uAAAu αααα

Dalla definizione del numero di unità di trasmissione del calore si ottiene la seguenteespressione per il calcolo dell’area della superficie di scambio termico:

2min

min

m9.7==⇒=uCNUTA

CAuNUT

La lunghezza di ogni singolo tubo vale quindi:

m51.2==ND

ALπ

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