Ottica geometrica 4 10 gennaio 2014 Lenti sottili, eq. delle lenti, fuochi, ingrandimento Sistemi di...

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Ottica geometrica 4 10 gennaio 2014 Lenti sottili, eq. delle lenti, fuochi, ingrandimento Sistemi di lenti, doppietti addossati Trattamento degli oggetti virtuali Telescopio di Galileo e di Keplero Microscopio

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Ottica geometrica 4 10 gennaio 2014

Lenti sottili, eq. delle lenti, fuochi, ingrandimento

Sistemi di lenti, doppietti addossati

Trattamento degli oggetti virtuali

Telescopio di Galileo e di Keplero

Microscopio

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Lenti sottili

• Una lente può essere considerata l’insieme di due diottri• L’azione totale della lente è data dalla rifrazione

successiva dei due diottri• Le lenti più semplici sono quelle sottili, cioè con spessore

trascurabile rispetto alle altre lunghezze in gioco• Solitamente le lenti sono immerse in aria

• Siano R1 e R2 i raggi di curvatura delle superfici della lente e n l’indice di rifrazione del materiale relativo all’aria

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Lenti sottili

• Sia P l’oggetto, a distanza o = o1 dalla prima superficie (S1)

• La distanza i1 dell’immagine formata dalla rifrazione di S1 è data dalla formula del diottro

1

o1n

i1n 1R1

PQ1 Qo = o1

i1

i = i2

S1 S2

s

o23

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Lenti sottili• L’immagine formata da S1 (virtuale nel nostro caso)

diventa l’oggetto per S2• Poiché davanti alla superficie le distanze degli oggetti

sono positive e quelle delle immagini negative, vale la relazione

o2 i1 s

PQ1 Qo = o1

i1

i = i2

S1 S2

s

o24

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Lenti sottili• La distanza dell’oggetto da S2, trascurato lo spessore s

della lente, è uguale, in valore assoluto, a quella dell’immagine da S1

• La rifrazione di S2 si trova applicando l’eq. del diottro con n1 = n e n2 = 1, i2 = i

o2 i1

n

o21

i21 nR2

n

i11

i1 nR2

PQ1 Q

o = o1

i1 - o2

i = i2

S1 S2

5

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Distanza focaleEq. delle lenti sottili

• Sommando membro a membro con l’eq. del primo diottro otteniamo

• Poiche’ la distanza focale è la distanza dell’immagine (f=i) quando la distanza dell’oggetto è infinita (o=), otteniamo

• detta formula dei fabbricanti di lenti• e l’eq. delle lenti sottili assume la forma

21

111

1

RRn

f

1

o1

i1

f

21

111

11

RRn

io

6

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Lente convergente• Consideriamo una lente biconvessa con indice n > namb

cioè maggiore di quello dell’ambiente circostante• I fronti d’onda piani incidenti devono attraversare uno

spessore di vetro maggiore al centro della lente che nella parte esterna

• Poiché la velocità della luce è minore nel vetro che nell’aria, la parte centrale di ciascun fronte d’onda è in ritardo rispetto alla parte esterna

• Questo produce un’onda sferica che converge nel fuoco F’, e i raggi, perpendicolari ai fronti, passano per F’

F’ • Simbolo della lente convergente

7

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Lente divergente• Consideriamo una lente biconcava con indice n > namb

• I fronti d’onda piani incidenti devono attraversare uno spessore di vetro minore al centro della lente che nella parte esterna

• La parte centrale di ciascun fronte d’onda è in anticipo rispetto alla parte esterna

• Questo produce un’onda sferica che diverge e i prolungamenti dei raggi, perp. ai fronti, passano per F’

• Simbolo della lente divergente

F’

8

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Distanza focale• La distanza focale di una lente è data

dalla formula• Per una lente convergente

biconvessa, le convenzioni del diottro stabiliscono che R1 è positivo e R2 è negativo, ne segue che la distanza focale risulta positiva

• Le lenti convergenti sono anche dette positive

• Per una lente divergente biconcava, al contrario, R1 è negativo e R2 è positivo, la distanza focale risulta negativa

• Le lenti divergenti sono anche dette negative

1

f n 1 1

R11

R2

9

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Fuochi • Se sistemiamo l’oggetto in modo che il fascio emergente

dalla lente sia costituito da raggi paralleli (ovvero l’immagine vada all’infinito), individuiamo il primo fuoco F della lente

• Viceversa, il punto in cui un fascio parallelo (quello emesso da un oggetto posto all’infinito) viene fatto convergere dalla lente è detto secondo fuoco F’

F’

F

10

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Fuochi • Per lenti divergenti occorre considerare non i raggi, ma i

loro prolungamenti• primo fuoco F: fascio emergente parallelo

• secondo fuoco F’: fascio incidente parallelo

F’

F

11

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Distanza focale• In una lente ci sono due fuochi, ma una sola distanza

focale• Infatti, ribaltando la lente, le superfici S1, S2 si scambiano

e anche i due raggi si scambiano

• E inserendo nella formula della distanza focale otteniamo lo stesso valore

1

f n 1 1

R11

R2

R1 > 0

R2 < 0 R’2 < 0

R’1 > 0

R'1 R2

R'2 R1

12

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Tracciamento dell’immagine• I raggi principali emessi dall’oggetto sono, in questo

caso – Il raggio parallelo all’asse che viene rifratto nel secondo

fuoco– Il raggio passante per il primo fuoco che viene rifratto

parallelamente all’asse– Il raggio passante per il centro della lente che viene rifratto

senza deviazione (le facce della lente sono parallele per questo raggio e quindi esso emerge nella stessa direzione, ma lievemente spostato. Poiché la lente è sottile, tale spostamento è trascurabile)

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Ingrandimento

• Usiamo il raggio incidente nel centro della lente: dai triangolo PP’C e QQ’C abbiamo

• e tenendo conto della convenzione dei segni

P

P’Q

Q’

C

QQ'

PP'Q'C

P 'C

G I

O

i

o

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• La potenza, o potere diottrico, di una lente è l’inverso della distanza focale

• L’unità di misura della potenza è la diottria D corrispondente all’inverso del metro

• Come conseguenza del segno di f, la potenza è – positiva per lenti convergenti– negativa per lenti divergenti

P 1

f

Potenza di una lente

Dm 1

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• Se si hanno più lenti, si può trovare l’immagine del sistema procedendo una lente per volta

• L’immagine di una lente, reale o virtuale che sia, sarà l’oggetto della lente consecutiva

• P.e. nel caso di due lenti si usa la distanza immagine della prima lente, assieme alla distanza d tra le lenti, per determinare la distanza oggetto della seconda lente

Sistemi di lenti

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• Si dicono addossate lenti la cui distanza è nulla

• Si può dimostrare (nel caso di due lenti) che vale la seguente relazione tra le distanze focali delle lenti e la distanza focale equivalente del sistema

• Ovvero, in termini di potenza

Lenti sottili addossate

1

feq1

f11

f2

Peq P1 P2

17

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• Sia dato un sistema di due lenti addossate di fuochi rispettivi f1 e f2, troviamo l’immagine Q di un punto oggetto P

• A tal fine troviamo dapprima l’immagine Q1 dovuta alla lente L1

Lenti sottili addossate

L1

P1=P

Q1

P

1

o11

i11

o1

i11

f1

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Oggetti virtuali

• I raggi principali per la prima lente, che ci hanno permesso di costruire l’immagine della prima lente, non lo sono necessariamente per la seconda

• Per trovare i raggi principali per la seconda lente si puo` procedere come segue

• Ricordiamo che l’immagine della prima lente diviene l’oggetto della seconda lente

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Oggetti virtuali

• Tracciamo allora all’indietro, cioe` da DX a SX i raggi uscenti dall’oggetto, principali per la seconda lente, fino a oltrepassare la lente, e come se questa non agisse

• Invertiamo ora il verso dei raggi e costruiamo i raggi rifratti dalla lente

• Otterremo cosi’ l’immagine della seconda lente

L2

P2=Q1

L2

Q2=Q20

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• E quindi l’immagine dovuta alla lente L2

• Sommando membro a membro le due eqq., otteniamo

• Poiché il primo membro è l’inverso della distanza focale equivalente del doppietto, otteniamo la tesi

Lenti sottili addossate

1

o21

i21

i11

i1

f2

1

o1

i1

f11

f2

1

feq1

f11

f2

P

Q

L2

Q2=Q

P2=Q1

21

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Strumenti ottici composti

• Tra gli strumenti composti particolare importanza rivestono i telescopi

• Scopo di questi strumenti e` aumentare le dimensioni angolari di oggetti molto lontani

• Si definisce ingrandimento visuale V il rapporto tra la tangente dell’angolo sotto cui l’oggetto e` visto con lo strumento e la tangente dell’angolo sotto cui e` visto senza strumento

tg

tgV

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Telescopio

• Nella versione piu` semplice un telescopio e` formato da due lenti

• Una, la piu` vicina all’occhio dell’osservatore e` detta oculare (distanza focale fc)

• L’altra e` detta obiettivo (distanza focale fb)

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Telescopio di Galileo• E` formato da due lenti convergenti• Diciamo l la lunghezza del telescopio, definita come somma

delle distanze focali delle lenti• e y’ la dimensione dell’immagine dell’oggetto all’infinito

• L’ingrandimento visuale risulta• Storicamente V~30X c

b

b

c

f

f

fy

fy

tg

tgV

'

'

obiettivo

oculare

l

y’

cb ffl

24

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Telescopio di Keplero

c

b

b

c

f

f

fy

fy

tg

tgV

'

'

• L’obiettivo e` una lente convergente, l’oculare e` ora una lente divergente

• La lunghezza l del telescopio, e` con il vantaggio di compattezza rispetto al TdG

• L’ingrandimento visuale risulta

cbcb ffffl

obiettivo

oculare

l

y’

25

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Telescopio di Newton

• Nel 1671 Newton propose un telescopio riflettore, fino ad allora i telescopi erano stati di tipo rifrattore

• In questo modo si elimina l’aberrazione cromatica dell’obiettivo

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Specchio obiettivoLente oculare

Specchio deflettore

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Strumenti ottici composti

• Tra gli strumenti composti particolare importanza rivestono i microscopi

• Scopo di questi strumenti e` aumentare le dimensioni angolari di oggetti molto piccoli

• Si definisce ingrandimento visuale V il rapporto tra la tangente dell’angolo sotto cui l’oggetto e` visto con lo strumento e la tangente dell’angolo sotto cui e` visto senza strumento alla distanza prossima di visione nitida (d=25 cm)

tg

tgV

27

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Microscopio

• Nella versione piu` semplice un microscopio e` formato da due lenti convergenti

• Una, la piu` vicina all’occhio dell’osservatore e` detta oculare (distanza focale fc)

• L’altra e` detta obiettivo (distanza focale fb molto piccola)

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Microscopio• Diciamo l la lunghezza del microscopio, definita come

distanza tra il 2° fuoco della prima lente e il 1° fuoco della seconda lente

• Siano y e y’ le dimensioni dell’oggetto e dell’immagine

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obiettivo

oculare

l

yy’

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Microscopio• La distanza dell’oggetto dev’essere di poco maggiore della

distanza focale dell’obiettivo, di modo che l’immagine sia reale e molto ingrandita

• Si sposta l’obiettivo mantenendo fermi sia l’oggetto che l’oculare, fintanto che l’immagine dell’obiettivo cada nel 1° fuoco dell’oculare

• L’ingrandimento visuale risulta

30cbc

c

f

d

f

l

f

d

y

y

dy

fy

tg

tgV

''

obiettivo

oculare

l

yy’