Organi di trasmissione flessibili

CINGHIE

Organi flessibili propriamente detti per la trasmissione del moto da

una puleggia motrice ad una puleggia condotta montate su alberi

relativamente lontani tra loro. L’avanzamento avviene per l’aderenza

della cinghia sulle pulegge.

Organi di trasmissione flessibili

CINGHIE

Organi flessibili propriamente detti per la trasmissione del moto da

una puleggia motrice ad una puleggia condotta montate su alberi

relativamente lontani tra loro. L’avanzamento avviene per l’aderenza

della cinghia sulle pulegge.

VANTAGGI:

• Funzionamento silenzioso; assorbimento elastico e

smorzamento urti

• Semplice e versatile costruzione

• Trasmissione di potenza con elevati interassi

• Elevato rapporto potenza/peso

• Assenza lubrificazione e manutenzione ridotta

• Possibilità di brevi sovraccarichi

• Buon sincronismo a regime

Slittamento in funzione della forza periferica, del

precarico e del coefficiente d’attrito

Limite nella temperatura di funzionamento (secondo la

cinghia: –50°C … 60 °C; - 20°C … 80 °C)

Rendimento non elevato per cinghie trapezoidali (0.85 ÷

0.89)

Sensibilità ad agenti corrosivi (acidi, benzine, olio e

vapore d’acqua)

Fattore di attrito dipendente dalle condizioni operative

Maggiore carico agente sugli alberi

Possibilità di cariche elettrostatiche per attrito

SVANTAGGI:

TIPO DI CINGHIE

PIATTE

TRAPEZOIDALI

DENTATE

SPECIALI: SEZIONE CIRCOLARE

SEZIONE TRIANGOLARE

SEZIONE QUADRANGOLARE

(per piccole forze e comandi di

precisione)

f

g

f: trasmissione a cinghia con sezione circolare. g: trasmissione a cinghia con

rotazione contraria a cinghia aperta (contatto su entrambi i lati della cinghia)

Il tendicinghia, posto sul ramo lento, aumenta l’angolo di

avvolgimento (di contatto tra cinghia e puleggia) con

conseguente aumento della coppia trasmissibile

Geometria di una trasmissione a

cinghie piatta

j=

2

j=

𝜃𝐷 = 𝜋 + 2𝜑; 𝜃𝑑 = 𝜋 − 2𝜑

𝐿 = 4𝐶2 − 𝐷 − 𝑑 2 +1

2𝐷𝜃𝐷 + 𝑑𝜃𝑑

𝜃 = 𝜋 + 2𝜑

𝐿 = 4𝐶2 − 𝐷 + 𝑑 2 +1

2𝐷 + 𝑑 𝜃

M1

1 d1/2

d2/2

T1

T0

dj

T

T+dT

j

Il flessibile si definisce ideale quando è schematizzabile mediante una linea

rappresentante l’asse geometrico, è inestensibile secondo tale asse, e può

disporsi in un piano secondo una qualsiasi configurazione senza variazione

di energia interna.

Si possono individuare due condizioni di funzionamento:

• la prima in assenza di scorrimento in cui le forze di trasmissione

tangenziale tra puleggia e flessibile sono trasmesse per aderenza.

• La seconda quando è presente lo scorrimento che, per l’inestensibilità

del flessibile è globale e le forze tangenziali al contatto vengono

trasmesse per attrito.

T+dT

Tdj

dFc, dN

fdN

j

jdf

qv)(T

dT

2

j

j

jj

f

T

T

eqvT

qvTdf

qvT

dT

2

0

2

0

2

0

)(

Nell’ipotesi di attrito costante lungo tutto l’arco di avvolgimento

(incipiente slittamento):

Trascurando le forze di volume:j feTT 0

02

dsendT)(T

2

dsen)(TdNdFc

jj

jj

02

dcosdT)(T

2

dcos)(TfdN

jj

jj

jj d)(TdNdFc

dTfdN jj dvq4

ddq

2

ddmdF 2

21212

c

jjj d)(Tf

dTdvq 2

jj dfqv)(TdT 2

j d2

dqdm 1

T+dT

Tdj

dFc, dN

fdN

Equilibrio in direzione normale e tangenziale:

02

dT

2

dTM 1

01

11

11

01112

dTTMP

Equilibrio alla rotazione:

Potenza:

Si considera la

seconda

condizione di

funzionamento

q: densità lineare

(1)

Pertanto l’aderenza globale e l’assenza di scorrimento è garantita se M<Mmax. Ma

nel flessibile reale la variazione di tensione da T0 a T1 provoca una variazione di

lunghezza dei tratti infinitesimi del flessibile lungo l’angolo di avvolgimento . In

una generica posizione j, detta la deformazione unitaria del flessibile, si ha:

j

sE

)(T1ds1dsds 00

E: modulo di Young

s: sezione resistente

Osservazioni: Il flessibile reale presenta, al contrario di quello ideale, una rigidezza

flessionale non nulla.

Ne consegue che per variare la sua configurazione, il flessibile assorbe:

• una determinata quantità di energia in forma elastica quindi restituita quando esso

ritorna in configurazione di riposo.

• Una determinata quantità di energia in forma anelastica dissipata attraverso

fenomeni di attrito interno.

Il flessibile assume pertanto una conformazione

asintotica parallela alla direzione di trazione

tangente alla puleggia e coincidente con la

configurazione del flessibile ideale. La distanza

dall’asintoto varia tra il ramo lento ed il ramo

teso, per il diverso contributo di energia

anelastica assorbita.

2

d

e

1evqT

2

dTTM 1

f

f2

11

01max

Il momento massimo trasmissibile in condizioni limite di aderenza globale è:

10 )( TTT j

100 T)(TTcon

sE

)(T1

dt

ds

dt

ds)(v j

jj

La velocità di scorrimento è:

sE

T1

dt

ds

dt

dsv 00

0

sE

T1

dt

ds

dt

dsv 10

1

Tratto lento

Tratto teso

La velocità varia pertanto lungo l’arco di avvolgimento e tale variazione rispetto

alla velocità periferica costante della puleggia r provoca degli strisciamenti

locali. Pertanto il flessibile si allunga lungo la puleggia condotta mentre si accorcia

lungo la puleggia motrice. Tale fenomeno è indicato come MOTO

VERMICOLARE.

Nell’espressione (1) si sono considerate condizioni di incipiente slittamento

ovvero tutto l’arco abbracciato sulla puleggia è considerato utile ed in presa

dalla cinghia. Ciò vuol dire che si sta trasmettendo il momento massimo Mmax a

causa del solo scorrimento locale.

Nella realtà, quando M<Mmax la condizione di funzionamento è intermedia, ovvero

solo una porzione dell’angolo di avvolgimento è necessaria affinché si verifichi

lo scorrimento locale e quindi la variabilità da T0 a T1.

Si dimostra che nell’effettivo andamento del fenomeno, in condizioni diverse da

quelle limite, lo scorrimento locale tra cinghia e puleggia si esercita solo su una

porzione dell’arco abbracciato f.

Sulla restante parte dell’arco di avvolgimento -f si avrà aderenza essendo

assente lo scorrimento locale e quindi la sollecitazione T è costante. Poiché tale

arco non partecipa alla trasmissione del momento viene detto arco ozioso. Esso

si trova sempre adiacente al punto di primo contatto tra cinghia e puleggia.

A tale scopo si riporta lo schema di una trasmissione a pulegge mediante elemento

flessibile, caratterizzata, solo per semplicità, da pulegge uguali.

Per quanto detto, la velocità della cinghia sul ramo teso (in alto) è maggiore di quella

sul ramo lento. Indicata, a differenza di prima, con q la forza tangenziale distribuita

applicata alla cinghia (in corrispondenza dell’interfaccia puleggia/cinghia), essa deve

essere tale da muovere in avanti la cinghia quando questa è avvolta sulla puleggia

motrice (deve avere, quindi, un’azione motrice) e deve avere un segno opposto

quando la cinghia è avvolta sulla puleggia condotta, così come mostrato in figura.

Poiché la forza distribuita all’interfaccia cinghia/puleggia deve essere tale da opporsi

al micro-scorrimento è chiaro che la puleggia motrice è più veloce della cinghia nella

zona di micro-scorrimento (dovendo la puleggia esercitare sulla cinghia un’azione

tale da muoverla in “avanti”) e che avviene esattamente l’opposto per la puleggia

condotta.

Poiché la velocità della cinghia non è la medesima tra l’arco teso e l’arco lento

(rallenta) e siccome la velocità periferica della puleggia è la stessa lungo tutto l’arco

d’abbraccio, se ne deduce che la parte di aderenza è quella ad entrare prima in

contatto. In altri termini, quando la cinghia si avvolge sulla puleggia motrice possiede

un’ “elevata” velocità ed aderisce alla stessa, poi la tensione in essa diminuisce

insieme con la sua velocità e la condizione non è più di aderenza ma di micro-

scorrimento, con la cinghia che è trascinata dalla puleggia nel moto. Discorso

analogo si può ripetere per l’avvolgimento sulla puleggia condotta: all’inizio c’è

aderenza e la velocità della puleggia condotta è più bassa, poi man mano che

aumenta la tensione nella cinghia si verifica contemporaneamente un aumento di

velocità della cinghia e quindi un micro-scorrimento tale da generare una

distribuzione di tensioni all’interfaccia cinghia/puleggia che pongono in rotazione

puleggia condotta.

Nella definizione di rendimento, tali velocità possono essere imputate a

quelle relative alla puleggia motrice ed alla puleggia condotta.

In tal caso sarebbe

In condizioni correnti il valore sopra riportato vale circa 2-3 %. Il valore così

basso rende lecito trascurare, a livello globale, la variazione di velocità,

assumendo quindi:

22

21

11 v2

d

2

dv

2

1

1

2

d

d

È interessante definire un

rendimento della trasmissione,

imputabile alla variazione di

velocità e trascurando l’energia

anelastica assorbita dal

flessibile.

1 0 1 0

1 1

v v T T1

v E s T

11

f

f2

1f

f2

12

d

e

1evqTv

e

1evqTP

Potenza massima trasmissibile:

sE

T

dt

dsv 00

2 1

sE

T

dt

dsv 10

1 1

2

1 12

1max

d

e

evqTM

f

f

1 1 1 0 2 2 1 0 1 01 2 1 2

1 1 1 1 0 1 1

d 2 (T T ) d 2 (T T ) T TP P v v1

P d 2 (T T ) v E s T

0ve

1eqv2T

e

1evqT

v

Pf

f

1f

f2

1

q3

T

q3

Tv max1

max

Velocità che rende massima la potenza trasmessa in funzione di T1, massima

sollecitazione ammissibile nella cinghia (Tmax).

Tensioni presenti nella cinghia

Flessione:R

yE

J

y

R

JE

W

M

f

ff

y: massima distanza dall’asse neutro,

ipotizzato nel centro dello spessore

della cinghia

1

maxmax

R

yE

s

T

1

amm

1

ammmaxR

yE

3

1

R

yE

q3

sv

s

q densità

materiale

Velocità massima compatibile con le caratteristiche del materiale costituente la cinghia

ve

1esP

f

f

centfamm

Potenza massima compatibile con le caratteristiche del materiale

v

s

s

vqR

yE

2

cent

f

amm tensione ammissibile (fatica)

effetto flessione

effetto centrifugo

sezione cinghia

velocità periferica

2sen

ff *

cinghia

trapezoidale

v

e

evqTP

f

f

12

1

Equilibrio cinghia

trapezoidale

Equilibrio in direzione radiale: 𝑑𝐹𝑐 + 2𝑑𝑁𝑠𝑖𝑛𝛾

2+ 2𝑓𝑑𝑁𝑐𝑜𝑠

𝛾

2= 𝑇𝑑𝜑

Equilibrio in direzione tangenziale: 𝑑𝑇 = 2𝑓𝑑𝑁

Con 2dN dalla seconda, la prima diventa: 𝑞𝑣2𝑑𝜑 +𝑑𝑇

𝑓𝑠𝑖𝑛

𝛾

2+ 𝑓𝑐𝑜𝑠

𝛾

2= 𝑇𝑑𝜑

Si possono quindi riottenere le stesse equazioni di Eulero e ripetere anche le

considerazioni successive viste prima usando come coefficiente d’attrito la quantità:

𝑓∗ =𝑓

𝑠𝑖𝑛𝛾

2+𝑓𝑐𝑜𝑠

𝛾

2

In realtà, ad incuneamento avvenuto della cinghia sulla puleggia, si riscontra che il

coefficiente di attrito equivalente diviene semplicemente: 𝑓∗ =𝑓

𝑠𝑖𝑛𝛾

2

SOLLECITAZIONE DELLA CINGHIA

2

f

1

f

LTu

cTF2T

T

cLF2L

L

d

yE2

d

yE2s

tT

vs

F

vs

F

2

1

tensione ramo lento + tensione forza centrifuga

tensione dovuta alla flessione sulla puleggia 1

tensione dovuta alla flessione sulla puleggia 2

tensione ramo teso + tensione forza centrifuga

A causa della variabilità della sollecitazione agente sulla cinghia si può considerare

un ciclo di fatica

Q

START

2

f2

a2

1

a1

f1

Tensione utile

CICLO DI FATICA

Si può considerare un ciclo equivalente: i massimi della tensione nel ciclo m1 e

m2 sono sostituiti da:

feTMeq con condizione limite ammMeq

Quindi la potenza trasmissibile per una data durata:

ve

esP

f

f

centfeamm

1

La tensione da flessione può essere scritta, essendo una tensione a fatica:

tcosnnn eqf2f1f eq21

eq21 n

2

n

1

n

1 Ipotesi di accumulo

lineare del danno

1f

1f

1f eq21

2

1eq

12

11 d2dd

d

yE2f

Essendo in generale

12

11

1eq d

1

d

1

d

2

12

11

12

111

eqdd

dd2d

11eq d1

2d

ponendo ;2

1

d

d

11

2c

16.0

20.0 cinghie a sezione larga

cinghie a sezione stretta

15.112.1c

Si può quindi scrivere

1

fdc

yE2eq

e quindi la potenza

ve

1es

dc

yE2P

f

f

cent

1

amm

1dcdeq

con

Si può valutare anche il valore della tensione ammissibile:

knamm

067.0

09.0con

cinghie a sezione larga

cinghie a sezione stretta

Il valore limite di amm per 107 cicli è compreso tra 9 e 14 MPa, pertanto k è

compreso tra 39 e 60 MPa per cinghie a sezione larga e tra 26 e 41 MPa per

cinghie a sezione stretta.

Il modulo di Young E vale:

MPa155125

MPa11060 cinghie a sezione larga

cinghie a sezione stretta

La densità varia tra 1200 e 1350 Kg/m3

PROCEDIMENTI DI PROGETTO E VERIFICA

DATI:

• potenza da trasmettere (solitamente di targa del motore)

• n1

•

• (interasse)

• condizioni di esercizio, natura del carico e tipo di motore

1. Determinazione potenza di calcolo

:CPCP ssC coefficiente di servizio secondo la

natura del carico

PROCEDIMENTI DI PROGETTO E VERIFICA

2. Scelta del tipo di cinghia (da diagramma con n1 e PC)

Tipi di sezione

PC=P·CS [CV]

2. Scelta del tipo di cinghia (da diagramma con n1 e PC)

Tipi di sezione

3. Noto il tipo di cinghia, si ricavano dall’unificazione le

dimensioni geometriche caratteristiche

Diametri primitivi unificati per differenti tipi di sezione

vse

1ev

dc

yE2v

h2

LkP

f

f2

1

00

knamm

n

kamm

0L

vh2n

v

1

h2

Lk 0

amm

5. Calcolo della lunghezza della cinghia L

)(42

2

2

1221 mm

I

ddddIL

L va arrotondato al più vicino presente in commercio; quindi se necessario

si interviene sull’interasse I

6. Calcolo della potenza di una trasmissione tipo

considerandoeq01νeq dπI2Ldcdπα

vse

1e

dc

yE2P

f

f

cent

1

amm0

3dI

31d2

1I

2

1

4. Controllo compatibilità con interasse richiesto:

qualora l’interasse sia una specifica di progetto, si interviene sui valori di

d1 e d2.

2

LLII v

corr

h: durata cinghia

7. Calcolo della potenza attuale relativa alla trasmissione

reale 0LLπα

0LA PCCP

1e

e

e

1eC

f

f

f

f

nella trasmissione reale

CL da tabelle

(tiene conto di L0 e L)

8. Calcolo del numero di cinghie in parallelo necessario

per la trasmissione della potenza PC

A

C

P

Pz z intero arrotondato in eccesso