OPERE DI SOSTEGNO 3 - PCI -...

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Sussidi didattici per il corso di

OPERE DI SOSTEGNO

Sussidi didattici per il corso di COSTRUZIONI EDILI

Prof. Ing. Francesco Zanghì

OPERE DI SOSTEGNO IIAGGIORNAMENTO 14/02/2013

II

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Progetto di un muro di sostegno in c.a. Facciamo riferimento allo stesso muro, di altezza h=5.00m, già progettato a gravità nella dispensa “Opere di sostegno I”. Sul terrapieno di monte insiste un sovraccarico stradale distribuito pari a 20 kN/mq.

Lungo un tratto di strada, della larghezza complessiva di m. 12,00, in trincea si rende necessario procedere alla costruzione,

per entrambi i lati, di due muri di sostegno per il contenimento delle terre. I due muri avranno rispettivamente l'altezza

complessiva di m. 5,00 e 2,50. γt = 16 KN/m3 ; φ = 35°.

Predimensionamento dell’opera

Per il predimensionamento di un muro a mensola, in c.a., facciamo riferimento alla figura riportata a lato. Come già detto in precedenza, in mancanza di indicazioni in merito, decidiamo di impostare la fondazione del muro ad almeno 1.00 m dal p.c. pertanto l’altezza complessiva a cui fare riferimento per il predimensionamento è H=6.00 m.

- Spessore in testa: assumiamo 0.30 m

- Spessore alla base: �� = ��� = 0.60 m

- Spessore fondazione: ℎ� = �� + 10 = 0.70 m

- Larghezza fondazione: assumiamo � = 0.5 ∙ � = 3.00 m

- Mensola interna: �� = �/3 = 2.00 m

- Mensola esterna: � − �� − �� = 0.40 m

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Calcolo del peso del muro e del terrapieno sulla mensola di monte

Calcoliamo i pesi, con riferimento sempre ad una striscia di muro larga 1.00.

W� = �0.30 ∙ 5.30 ∙ 1.00� ∙ 25 = 39.75 kN/m

W� = 0.30 ∙ 5.302 ∙ 1.00! ∙ 25 = 19.875 kN/m W# = �3.00 ∙ 0.70 ∙ 1.00� ∙ 25 = 52.50 kN/m W$ = �2.00 ∙ 5.30 ∙ 1.00� ∙ 16 = 169.60 kN/m

Ciascuna forza è applicata al baricentro del singolo poligono elementare. Trascuriamo il peso del terrapieno sulla mensola di valle in quanto esiguo.

VERIFICA A RIBALTAMENTO (EQU+M2)

Calcolo della spinta sulla superficie ideale

Come già osservato nell’ESEMPIO 3, nei muri di sostegno a mensola, il terreno che grava sulla suola di monte esercita una funzione stabilizzante. Il calcolo della spinta complessiva sull’opera dovrà essere condotto, pertanto, con riferimento alla superficie verticale ideale passante per il piede del muro a monte, come se il terreno gravante sulla fondazione facesse parte del muro stesso. La porzione di sovraccarico gravante sulla mensola di monte deve essere trascurata in quanto, nella verifica a ribaltamento, offre un contributo favorevole.

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Angolo d’attrito ridotto:

φ'() = arctan tanφ1.25 ! = arctan tan35°1.25 ! = 29.36°

Calcolo del coefficiente di spinta attiva:

K1 = tg� 90 − φ2 ! = tg� 90 − 29.362 ! = 0.342

Calcolo dell’altezza di terreno equivalente al sovraccarico: h∗ = qγ8 = 2016 = 1.25 m

Calcoliamo la spinta agente sulla superficie ideale amplificando di 1.1 la componente dovuta al terreno e di 1.5 quella dovuta al sovraccarico:

9 = :;2 ∙ �� ∙ <= ∙ 1.1 + 2 ∙ ℎ∗� ∙ 1.5!

= 162 ∙ 6.00� ∙ 0.342 ∙ 1.1 + 2 ∙ 1.256.00 ∙ 1.5! ≈ 170 ?@/A

Calcoliamo la posizione della spinta dalla base del muro amplificando, sempre di 1.5, l’altezza fittizia del terreno equivalente al sovraccarico:

d = H3 ∙ H + 3h∗ ∙ 1.5H + 2h∗ ∙ 1.5! = 6.003 ∙ 6.00 + 3 ∙ 1.25 ∙ 1.56.00 + 2 ∙ 1.25 ∙ 1.5! = 2.385 m

Verifica

Momento ribaltante, prodotto dalla spinta: ME = 170 ∙ 2.385 = 405.45 kNm/m

Momento stabilizzante, dovuto al peso del muro e del terreno sulla mensola di monte:

MF = 0.9 ∙ �W� ∙ 0.85 + W� ∙ 0.60 + W# ∙ 1.50 + W$ ∙ 2.00� = 0.9 ∙ �39.75 ∙ 0.85 + 19.875 ∙ 0.60 + 52.50 ∙ 1.50 + 169.60 ∙ 2.00� ≈ 418 kNm/m

Coefficiente di sicurezza al ribaltamento: FS = IJIK = $�L$�M.$M = N. OP > 1 VERIFICA POSITIVA

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VERIFICA A SCORRIMENTO (A1+M1+R3)

Calcolo della spinta sulla superficie ideale Calcolo del coefficiente di spinta attiva:

K1 = tg� 90 − φ2 ! = tg� 90 − 352 ! = 0.271

Calcoliamo la spinta agente sul paramento interno del muro amplificando di 1.3 la componente dovuta al terreno e di 1.5 quella dovuta al sovraccarico:

9 = :;2 ∙ �� ∙ <= ∙ 1.3 + 2 ∙ ℎ∗� ∙ 1.5!

= 162 ∙ 6.00� ∙ 0.271 ∙ 1.3 + 2 ∙ 1.256.00 ∙ 1.5! ≈ 150 ?@/A

La spinta è applicata sempre a 2.385 m dalla base della fondazione (vedi verifica a ribaltamento).

Si rammenta che, nella valutazione della risultante delle forze verticali, poiché le forze peso offrono un contributo favorevole (cioè si oppongono) alla traslazione, vanno moltiplicate per il coefficiente 1 anziché 1.3. Anche in questo caso, l’effetto benefico del sovraccarico gravante sulla mensola di monte va trascurato.

Verifica

Risultante forze orizzontali: T = S = 150 kN/m

Risultante forze verticali: N = 1.0 ∙ �W� + W� + W# + W$� = 1.0 ∙ �39.75 + 19.875 + 52.50 + 169.60� ≈ 282 kN/m

Coefficiente d’attrito per terreno sabbioso: f = 0.60 Coefficiente di sicurezza allo scorrimento: FS = S∙TU = �.V�∙�L��M� = �VW.��M� = N. NP > 1.1 VERIFICA POSITIVA

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VERIFICA A CAPACITÁ PORTANTE (A1+M1+R3)

Per quanto riguarda i coefficienti da applicare ai parametri geotecnici e alla spinta, vale quanto già riportato con riferimento alle verifiche a scorrimento. In questo caso il peso del muro e del terrapieno sulla mensola di monte risultano sfavorevoli ai fini della capacità portante, pertanto va utilizzato il coefficiente 1.3. Inoltre va considerato il sovraccarico gravante sulla mensola di monte moltiplicato per il coefficiente sfavorevole 1.5.

• Momento ribaltante dovuto alla spinta: ME = 150 ∙ 2.385 ≈ 358 kNm/m

• Momento stabilizzante rispetto al centro di rotazione a ribaltamento:

MF = 1.3 ∙ �W� ∙ 0.85 + W� ∙ 0.60 + W# ∙ 1.50 + W$ ∙ 2.00� + 1.5 ∙ �q ∙ b(� ∙ 2.00 = 1.3 ∙ �39.75 ∙ 0.85 + 19.875 ∙ 0.60 + 52.50 ∙ 1.50 + 169.60 ∙ 2.00� + 1.5 ∙ �20 ∙ 2.00� ∙ 2.00 ≈ 723 kNm/m

• Risultante forze verticali: NY) = 1.3 ∙ �W� + W� + W# + W$� + 1.5 ∙ �q ∙ b(�= 1.3 ∙ �39.75 + 19.875 + 52.50 + 169.60� + 1.5 ∙ �20 ∙ 2.00� ≈ 426 kN/m

• Eccentricità della risultante, rispetto al centro di rotazione a ribaltamento:

u = IJ[IKT = \�#[#ML$�V ≈ 0.86 m

• Eccentricità della risultante, rispetto al baricentro della fondazione:

e = �̂ − u = #.��� − 0.86 = 0.64 m

e =0.64 > B/6=3.00/6=0.5: risultante esterna al nocciolo. Il terreno non offre alcuna resistenza a trazione pertanto la sezione di base si parzializza.

• Controllo della parzializzazione: 3u=2.57 m > B/2=1.50 eccentricità accettabile

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Calcolo del carico limite

Per tenere conto dell’eccentricità del carico nella valutazione di qlim, al posto della larghezza totale B della fondazione, inseriremo una larghezza equivalente (Meyerhof 1953):

_∗ = `a = 2 ∙ 0.86 = 1.72 m

Essa è la larghezza che corrisponde ad una fondazione equivalente rispetto alla quale il carico verticale è centrato. I coefficienti di capacità portante, precedentemente calcolati, sono:

N’c = 25 N’q = 14 N’γ = 12

In questo caso, per fondazione nastriforme: vc = vq = vγ = 1

La formula di Terzaghi fornisce:

qb(c = ve ∙ γ� ∙ D ∙ N′e + vh ∙ γ� ∙ B∗2 ∙ N′h = 1 ∙ 16 ∙ 1.00 ∙ 14 + 1 ∙ 16 ∙ 1.722 ∙ 12 = 224 + 165.12 = 389.12 kPa

Per il calcolo della resistenza di progetto del terreno, ai fini della verifica a capacità portante, si assume come fattore di

sicurezza γR = 1.4. La normativa indica chiaramente che tale coefficiente si applica solo alla forza normale alla fondazione che produce il collasso per carico limite. Verifica

Resistenza di progetto del terreno:

klm = nopq∙_∗N.r = #LW.�� ∙ �.\��.$ = 478 ?@/A > NY) = 426 kN/m VERIFICA POSITIVA

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CALCOLO ARMATURE FONDAZIONE

Calcoliamo prima di tutto l’andamento delle pressioni che il terreno esercita sulla fondazione, facendo riferimento alle azioni calcolate per effettuare la verifica a capacità portante, tenendo conto della parzializzazione della sezione di base.

• Pressione massima a valle (sezione parzializzata):

kPa

Lu

N sd

23.330

00.186.03

4262

3

2max

=

⋅⋅

⋅=

⋅⋅

⋅=σ

• Pressione all’incastro della mensola di valle (sezione A-A):

dalla similitudine fra i due triangoli rettangoli:

kPa

AA

AA

279

58.2

23.33018.2

58.218.2

58.218.2

max

max

=

⋅=⋅=

=

σσ

σσ

• Pressione all’incastro della mensola di monte (sezione B-B):

kPa

BB

BB

24.202

58.2

23.33058.1

58.258.1

58.258.1

max

max

=

⋅=⋅=

=

σσ

σσ

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Calcoliamo il peso proprio delle due mensole e i carichi gravanti sulla mensola di monte dovuti al peso del terreno di riempimento e al sovraccarico. Tali carichi agiscono dall’alto verso il basso.

• Peso proprio mensole: ( ) mkN /75.222570.000.13.1 =⋅⋅⋅

• Peso proprio terreno di riempimento: ( ) mkN /24.1101630.500.13.1 =⋅⋅⋅

• Sovraccarico sulla mensola di monte: ( ) mkN /00.302000.15.1 =⋅⋅

Sommando algebricamente tutti i contributi di momento e taglio dovuti ai vari carichi, ricaviamo le massime sollecitazioni nelle due sezioni d’incastro.

Sollecitazioni sezione A-A

( ) ( ) mkNmqqL

M ABAA /245.30722796

40.02

6

22

≈⋅+=+=− >0 tende le fibre inferiori

( ) ( ) mkNqqL

T BAAA /11325.2565.3072

40.0

2≈+=+=

RIPASSO

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Sollecitazioni sezione B-B

mkNmM BB /242326145.842

00.2163

6

58.124.202 22

−≈−=⋅

−⋅

=− <0 tende le fibre superiori

mkNT BB /23.16632677.15900.21632

58.124.202≈+−=⋅+

⋅−=

Calcolo delle armature nella sezione maggiormente sollecitata Progettiamo le armature e verifichiamo a taglio la sezione B-B di dimensioni 100x70, della mensola interna, in quanto maggiormente sollecitata. Caratteristiche dei materiali

o Calcestruzzo C25/30 Resistenza di progetto a compressione: Resistenza media a trazione:

o Acciaio B450C

Tensione di progetto allo snervamento:

Progetto armature

• Minimi di normativa per la flessione:

As, min = 0.26 ∙ fctmfyk ∙ b ∙ d = 0.26 ∙ 0.25545 ∙ 100 ∙ 66 = 9.72 cmq > 0.0013 ∙ 100 ∙ 66 = 8.58 cmq

fcd = 0.85fck

1.50= 0.85

25

1.50=14.11 MPa

fctm = 0.30 ⋅ f 2

ck3 = 0.30 ⋅ 252

=3 2.55MPa

fyd =fyk

1.15=

450

1.15= 391.3 MPa

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• Armatura a flessione:

As = Msd0.9 ∙ fyd ∙ d = 242000.9 ∙ 39.13 ∙ 66 = 10.41 cm�

Disponiamo superiormente e inferiormente 5Φ18 (As=12.72 cm2) al metro (cioè Φ18/20). L’armatura trasversale di ripartizione si pone pari al 20% dell’armatura longitudinale, cioè 0.20 x 12.72 = 2.55 cm2 , corrispondenti a 3Φ12 (3.39 cm2) cioè Φ12/30. Verifica a taglio

• Resistenza al taglio in assenza di armature specifiche:

K = 1 + x200d = 1 + x200660 = 1.55 ≤ 2 ; ρ� = AYbd = 12.72100 ∙ 66 = 0.0019 ≤ 0.02 ; σ} = 0 VE) = ��,�L∙�∙ ����∙��∙S���

h� � �+ 0,15 ∙ σ�} � ∙ b� ∙ d = �,�L∙�.MM∙ √���∙�.���W∙�M��.M ∙ 1000 ∙ 660 = 206358 N ≈ 206 kN/m > 113 ?@/A

Non occorrono ferri piegati. VERIFICA POSITIVA

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CALCOLO ARMATURE ELEVAZIONE

Il diagramma di spinta agente sul paramento verrà valutato adottando gli stessi criteri seguiti per la verifica a scorrimento. Il paramento del muro verrà calcolato come una mensola verticale, incastrata alla base e caricata, nel nostro caso, con un carico ad andamento trapezoidale. Per ottimizzare le armature progettiamo la sezione d’incastro C-C, a cui competono le massime sollecitazioni, e la sezione di mezzeria della parete D-D. La sezione avrà larghezza bm=(60+30)/2 = 45 cm. La pressione dovuta al terreno ad una generica profondità “z” sarà:

���� = <= ∙ :; ∙ �

• Pressione in testa dovuta al solo sovraccarico: z=1.5 ·h*=1.5·1.25=1.875 m

�� = 0.271 ∙ 16 ∙ 1.875 = 8.13 ?��

• Pressione nella sezione D-D (z=2.50 m): ��[� = �� + 1.3 ∙ <� ∙ :� ∙ 2.50= 8.13 + 1.3 ∙ 0.271 ∙ 16 ∙ 2.50= 22.22 ?��

• Pressione all’incastro C-C (z=5.30m): ��[� = �� + 1.3 ∙ <� ∙ :� ∙ 5.30= 8.13 + 1.3 ∙ 0.271 ∙ 16 ∙ 5.30 = 38.00 ?��

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Sollecitazioni sezione C-C

( ) mkNmM CC /25413.8200.386

30.5 2

=⋅+=−

( ) mkNT CC /12300.3813.82

30.5≈+=

Sollecitazioni sezione D-D

( ) mkNmM DD /4013.8222.226

50.2 2

=⋅+=−

( ) mkNT DD /3813.822.222

50.2≈+=

Progetto armature sezione C-C (100x60)

• Minimi di normativa per la flessione:

As, min = 0.26 ∙ fctmfyk ∙ b ∙ d = 0.26 ∙ 0.25545 ∙ 100 ∙ 56 = 8.25 cmq > 0.0013 ∙ 100 ∙ 56 = 7.28 cmq

• Armatura a flessione: As = IY)�.W∙S�)∙) = �M$���.W∙#W.�#∙MV = N`. �� cm� A�s = 50% ∙ As Avendo imposto in zona compressa il 50% dell’armatura tesa, scegliamo un numero pari di tondini in maniera che sia facilmente divisibile per due. Disponiamo in zona tesa (lato monte) 8Φ16 (As=16.08 cm2) al metro e, di conseguenza 4Φ16 (As=8.04 cm2) in zona compressa (lato valle). L’armatura trasversale di ripartizione si pone pari al 20% dell’armatura longitudinale, cioè 0.20 x 12.88 = 2.58 cm2 , corrispondenti a 3Φ12 (3.39 cm2) cioè Φ12/30.

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Verifica a flessione: Posizione asse neutro:

Momento resistente: ( ) ( )[ ]

( ) ( )[ ] kNmkNm

cxAxdAfM ssydrd

254336479.24.004.879.24.05608.1613.39

4.0'4.0

>≈−⋅⋅+⋅−⋅⋅=

−⋅+−⋅⋅=

VERIFICA POSITIVA Verifica a taglio Resistenza al taglio in assenza di armature specifiche:

K = 1 + x200d = 1 + x200560 = 1.60 ≤ 2 ; ρ� = AYbd = 16.08100 ∙ 56 = 0.0029 ≤ 0.02 ; σ} = 0 VE) = ��,�L∙�∙ ����∙��∙S���

h� � �+ 0,15 ∙ σ�} � ∙ b� ∙ d = �,�L∙�.V�∙ √���∙�.���W∙�M��.M ∙ 1000 ∙ 560 = 206358 N ≈ 208 �Tc > 123 �Tc

VERIFICA POSITIVA

Progetto armature sezione D-D (100x45)

• Minimi di normativa per la flessione:

As, min = 0.26 ∙ fctmfyk ∙ b ∙ d = 0.26 ∙ 0.25545 ∙ 100 ∙ 41 = �. Or cmq > 0.0013 ∙ 100 ∙ 41 = 5.33 cmq

• Armatura a flessione: As = IY)�.W∙S�)∙) = $����.W∙#W.�#∙$� = 2.77 cm� A�s = 50% ∙ As

Degli 8Φ16 che provengono dalla sezione inferiore 4 verranno interrotti a metà altezza e altri 4 proseguiranno fino alla testa del muro. In tal modo avremo in zona tesa (lato monte) 4Φ16 (As=8.04 cm2 > min 6.04) al metro. Per ragioni costruttive conviene prolungare in zona compressa e, di conseguenza (lato valle) i 4Φ16 (As=8.04 cm2) che provengono dalla sezione inferiore. Questo rende lo schema di montaggio più semplice e razionale. Manteniamo la stessa armatura trasversale di ripartizione precedentemente calcolata.

( ) ( )cm

bf

fAAx

cd

ydss79.2

10041.18.0

13.3904.808.16

8.0

'=

⋅⋅

⋅−=

⋅⋅

⋅−=

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Verifica a flessione: Posizione asse neutro:

Momento resistente:

( ) ( )[ ] [ ] kNmkNmcxAxdAfM ssydrd 4011604.844104.813.394.0'4.0 >≈⋅−⋅⋅=−⋅+−⋅⋅= VERIFICA POSITIVA

Verifica a taglio

• Resistenza al taglio in assenza di armature specifiche:

K = 1 + x200d = 1 + x200410 = 1.70 ≤ 2 ; ρ� = AYbd = 8.04100 ∙ 41 = 0.002 ≤ 0.02 ; σ} = 0 VE) = ��,�L∙�∙ ����∙��∙S���

h� � �+ 0,15 ∙ σ�} � ∙ b� ∙ d = �,�L∙�.\�∙ √���∙�.���∙�M��.M ∙ 1000 ∙ 410 = 206358 N ≈ 143 �Tc > 38 �Tc

VERIFICA POSITIVA

( )0

8.0

'=

⋅⋅

⋅−=

bf

fAAx

cd

ydss

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Fonti

• D. M. Infrastrutture Trasporti 14 gennaio 2008 (G.U. 4 febbraio 2008 n. 29 - Suppl. Ord.)

Norme tecniche per le Costruzioni” • Circolare 2 febbraio 2009 n. 617 del Ministero delle Infrastrutture e dei Trasporti (G.U. 26 febbraio 2009 n. 27 –

Suppl. Ord.) “Istruzioni per l'applicazione delle 'Norme Tecniche delle Costruzioni' di cui al D.M. 14 gennaio 2008”.