Onde elettromagnetiche21 ottobre 2013

Predizione dell’esistenza di onde elettromagnetiche

Velocita` di propagazione

L’opera di H. HertzSoluzioni progressive e regressiveOnde sinusoidaliLunghezza d’onda e periodo dell’ondaPolarizzazione Trasporto di energia di un’onda Vettore di PoyntingIntensità di energia di un’onda sinusoidale

Equazioni di Maxwell nel vuoto

• L’assenza di cariche e correnti magnetiche rende le equazioni asimmetriche tra i campi E e B

• Si ottiene perfetta simmetria nelle zone di spazio ove non ci sono cariche ne’ correnti elettriche

dt

EdldB

C

)(00

0)( E

0)( B

dt

BdldE

C

)(

2

Soluzioni delle eq. di Maxwell nel vuoto

• In forma differenziale:

• Consideriamo la prima equazione e facciamo la rotazione dei due membri:

t

BE

t

EB

00

t

BE

0 E

0 B

3

Lemma

• Calcoliamo la rotazione della rotazione del campo E per componenti cartesiane

• Sommiamo e sottraiamo un termine

xz

E

z

E

y

E

xy

E

x

E

z

E

zy

E

x

E

yE

zxxy

zxxy

x

2

2

2

2

22

xz

E

xy

E

x

E

z

E

y

E

x

E

x

E

x

E

xz

E

z

E

y

E

xy

EE

zyxxxx

xxzxxy

x

22

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

22

2

2

2

22

4

Lemma

• La prima parentesi e` il laplaciano della componente Ex

• mentre la seconda e` la componente x del gradiente della divergenza di E

• Le componenti x e y si ricavano per permutazione ciclica degli indici; sommandole alla componente x troviamo infine

xxxx E

z

E

y

E

x

E

2

2

2

2

2

2

Exz

E

y

E

x

E

xxz

E

xy

E

x

E zyxzyx

22

2

2

EEeEx

eEE kk

kk

kk

ˆˆ5

Soluzioni delle eq. di Maxwell nel vuoto

• La divergenza di E è nulla, poiché siamo in una regione priva di cariche, quindi

• Per il secondo membro dell’eq.

• scambiamo l’ordine tra gradiente e derivata rispetto a t e quindi usiamo la legge di Faraday:

2

2

0000 t

E

t

E

tB

tt

B

EE

t

BE

6

Equazione delle onde

• Abbiamo infine:

• Se fossimo partiti dalla seconda equazione avremmo ottenuto

• Ciò significa che per ogni componente di E e di B, vale un’equazione del tipo

02

2

002

t

EE

02

2

002

t

BB

0,,2

2

002

trft

trf

7

Dimensioni di

• Cioè le dimensioni dell’inverso di una velocità al quadrato

• Possiamo scrivere • L’equazione diventa

• che e` la famosa equazione delle onde

00

2

2

00dimL

T

00

1

v

0,1

,2

2

22

trftv

trf

8

Equazione delle onde

• Questa equazione descrive la propagazione della grandezza f con velocita` v

• Le equazioni di Maxwell predicono l’esistenza di onde elettromagnetiche

• Queste onde si propagano con velocita` • Le grandezze che oscillano sono le componenti

dei campi E e B

001 v

9

Valore della velocita`

• Calcoliamo la velocita` delle onde elettromagnetiche

• Il valore coincide quasi esattamente con la velocita` della luce

• Maxwell penso` che questa coincidenza non potesse essere fortuita

• Fece l’ipotesi che la luce fosse un fenomeno elettromagnetico

s

mv 8

12700

10999.21085.8104

11

cv 10

Hertz e la scoperta delle

onde e.m.

• Hertz uso` un generatore di scariche comandato da un rocchetto di Ruhmkorff e una coppia di fili lunghi un metro come trasmettitore

• Sfere capacitive erano presenti alle estremita` per regolare la risonanza del circuito

• Il ricevitore era una semplice antenna dipolare a mezz’onda

11

L’opera di Hertz

• Con i suoi esperimenti Hertz studio`– Riflessione– Rifrazione– Polarizzazione– Interferenza

• delle onde elettromagnetiche e ne misuro` la velocita` di propagazione

12

Soluzioni dell’equazione delle onde

• Per semplicità ci limiteremo a studiare l’equazione per f dipendente da una sola variabile spaziale x e dal tempo t:

• Soluzioni di questo tipo sono dette onde piane• Si può dimostrare che una qualunque funzione di

argomento x-vt o di argomento x+vt è soluzione di questa equazione

• Inoltre l’equazione è lineare, quindi date due soluzioni qualunque, anche una combinazione lineare arbitraria di esse è soluzione

0,1

,2

2

22

2

txftv

txfx

)( vtxg )( vtxh

13

Significato della soluzione g

• Consideriamo il valore di g nel punto x=x1 al tempo t=t1

• Consideriamo poi il valore di g nel punto x=x1 al tempo t=t2

x1

g

x

g(x1,t1)

t=t1

14

Significato della soluzione g• Scriviamo l’argomento in x=x1 al tempo t=t2

• È lo stesso valore che in x=x1-x al tempo t=t1

• Questo vale per tutti i punti sull’asse x

11112121 )( vtxxvtttvxvtx

x1x1-x

g

x

g(x1,t2)

t=t2

15

Significato della soluzione g

• Significa che la funzione al tempo t2 si trova traslando la funzione all’istante precedente t1 della quantità x

• La funzione g rappresenta quindi un’onda progressiva, cioè che si sposta verso x positivi, con velocità v

x1x1-x

g

x

g(x1,t2)

t=t2

16

Significato della soluzione h

• Similmente possiamo affermare che la funzione h rappresenta un’onda regressiva, cioè che si sposta verso x negativi, con velocità -v

17

Onde piane e.m. - componenti longitudinali

• Studiamo la componente x del rot E

• Essa e` nulla, in quanto per un’onda piana c’e` dipendenza dalla sola coordinata spaziale x

• Otteniamo l’equazione

• Similmente, studiando la componente x del rot B otteniamo

• Quindi le componenti x dei campi sono costanti nel tempo

0,

txBt x

t

B

z

E

y

EE xyz

x

0,

txEt x

18

Onde piane e.m. - componenti longitudinali

• Applichiamo ora le prime due equazioni di Maxwell

• Poiche’ le componenti dipendono solo dalla coordinata spaziale x, otteniamo

• Quindi le componenti x dei campi oltre ad essere costanti nel tempo, sono uniformi rispetto a x

• Si possono scegliere queste costanti uguali a zero

• Cio` significa che le componenti dei campi nella direzione di propagazione del moto sono nulle, ovvero l’onda e` trasversale

0,

txEx x 0,

txBx x

0

z

E

y

E

x

EE zyx 0

z

B

y

B

x

BB zyx

0, txBx 0, txEx

19

Soluzioni sinusoidali

• Sono soluzioni particolarmente semplici, in cui g assume la forma seno o coseno

• L’importanza delle soluzioni sinusoidali è dovuto alla teoria di Fourier, secondo cui qualunque funzione periodica si può esprimere come serie di funzioni sinusoidali di periodo uguale o multiplo intero e qualunque funzione si puo` esprimere come integrale di funzioni sinusoidali

• Ci si può quindi sempre ridurre al solo studio di funzioni sinusoidali; il prezzo da pagare è che, in generale, lo sviluppo contiene infiniti termini

vtxkAvtxg sin)(

20

vtxkAvtxg cos)(

Soluzioni sinusoidali

• Cerchiamo il significato di k: dimensioni

• Fissato un valore per t, scegliamo due punti x1 e x2 tali per cui la funzione assume lo stesso valore per periodicita`

1)dim( Lk

x1 x2

21

Lunghezza d’onda

• Le fasi possono differire per un multiplo di 2

• Questo definisce la relazione tra x1 e x2

• La minima distanza tra x1 e x2 che soddisfa la richiesta si ha per n=1 e rappresenta la lunghezza d’onda

• La costante k prende il• nome di numero d’onda • ( (o anche vettore d’onda)

nvtxkvtxk 2)()( 21

nxxk 2)( 12

k

xx 2

min12

x1 x2

2

k

22

Periodo dell’onda• Fissato un valore di x scegliamo due tempi t1 e t2 tali che

la funzione assuma lo stesso valore per periodicita`• Le fasi possono differire per un multiplo di 2

• Questo definisce la relazione tra t1 e t2

• Il minimo intervallo di tempo che soddisfa questa richiesta si ha per n=1 e rappresenta il periodo dell’onda

nvtxkvtxk 2)()( 21

nttkv 2)( 12

kvTtt

2)( min12

t1 t2

23

Soluzioni sinusoidali• Abbiamo l’importante relazione tra i parametri dell’onda

• Possiamo scrivere l’onda sinusoidale in uno qualunque dei modi seguenti

Tkv

2

T

txA

tkxA

vtxkA

2sin

sin

sin

24

Soluzioni sinusoidali• Tali soluzioni rappresentano onde dette

monocromatiche • Il motivo e` che nello spettro della luce visibile

ad ogni frequenza corrisponde un colore • e che le onde sinusoidali contengono una sola

frequenza (o pulsazione)

25

tkxAftx

A

sin2sin

Onde e.m. sinusoidali - componenti trasversali

• Partendo dall’equazione per Ey e scelta una soluzione sinusoidale

• Troviamo la soluzione per Bz integrando rispetto al tempo l’equazione

• Ottenendo

• Cioè E e B hanno la stessa forma sinusoidale e sono in fase

• Esiste una relazione analoga tra Ez e By

tkxEtxE yy sin),( 0

tkxkEtxEx

txBt yyz

cos,, 0

tkxEk

dttkxEktxB yyz

sincos, 00

txEc

tkxEc

txB yyz ,1

sin1

, 0

26

txEc

txB zy ,1

,

Onde e.m. sinusoidali - componenti trasversali

• Da queste relazioni segue che i moduli dei campi sono proporzionali

• E che i campi sono ortogonali

cEcEcEBBB zyzy

222222

27

011

yzzyzzyy E

cEE

cEBEBEBE

Polarizzazione • Le onde e.m. piane sono puramente trasversali• I gradi di libertà trasversali sono due• Consideriamo il campo E, i due gradi di libertà

corrispondono alle componenti Ey, Ez

• Potremmo fare le stesse considerazioni con il campo B

• Questo non aumenta i gradi di libertà, poiché ad ogni componente di E è associata una componente di B

28

Polarizzazione • Supponiamo che il campo E sia

• Quindi il campo B risulta essere

• Nel piano trasversale il vettore E oscilla di moto armonico lungo un segmento la cui proiezione lungo y va da -Ey0 a Ey0 e lungo z da -Ez0 a Ez0

• Un’onda siffatta le cui componenti oscillano in fase, è detta polarizzata linearmente

ktkxEjtkxEtxE zyˆsinˆsin),( 00

jtkxBktkxBtxB yzˆsinˆsin),( 00

y

z

E

B

29

Polarizzazione • Supponiamo che il campo E sia

• Quindi il campo B risulta essere

• Nel piano trasversale il vettore E descrive un cerchio di raggio E0

• Un’onda siffatta le cui componenti oscillano sfasate di /2, è detta polarizzata circolarmente

ktkxEjtkxEtxE ˆcosˆsin),( 00

ktkxBjtkxBtxB ˆsinˆcos),( 00

y

z

E

B

30

Trasporto di energia

• L’energia e.m. di un’onda piana monocromatica che attraversa l’area A nel tempo t è uguale all’energia contenuta nel volume di base A e altezza ct

• Questa si trova moltiplicando la densità di energia per il volume del cilindro

• C’è un contributo elettrico ed uno magnetico

A ct

31

Trasporto di energia

• Tali relazioni, dimostrate per campi statici, valgono anche per i campi rapidamente variabili di un’onda

• L’intensità (istantanea) dell’energia incidente è definita come l’energia incidente diviso l’area e il tempo

tAcEVuU EE 202

1

A ct

tAcBVuU MM 2

02

1

cBcEcucutA

US MEt

2

0

2

00 2

1

2

1lim

32

• Parte elettrica

• Parte magnetica

Vettore di Poynting

• Tenendo conto che

• L’intensità si può riscrivere in qualunque delle forme

• Introduciamo il vettore di Poynting che ha S per modulo e direzione e verso dell’onda

• S è perpendicolare ai campi E e B e rappresenta il flusso istantaneo di energia e.m.

00

2 1

c

c

EB

EBEc

cBcES0

2

0

2

0

2

0

111

BES

0

1

33

Vettore di Poynting

• Verifichiamo quanto detto calcolando le componenti cartesiane del vettore S per un’onda piana monocromatica

• Si vede facilmente che la sola componente non nulla e` quella longitudinale (x)

• Tale componente e` positiva, ovvero S ha il verso x positivo, cioe` il verso di propagazione dell’onda

34

2

0

22

000

111111Ec

EEc

Ec

EEc

EBEBES zyzzyyyzzyx

Intensità media

• Molto spesso interessa l’intensità media, cioè la media nel tempo di S

• Calcolo di I per un’onda sinusoidale

T

EBdtT

SI0 0

11

2

0

20

2

0

20

0

2

00

2

0

1

2

1111

effeff

eff

T

Bc

cE

Ec

E

cE

cdtE

cTI

35