Numeri Triangolari

-In matematica, un numero triangolare è un numero poligonale rappresentabile in forma di triangolo,

ovvero, preso un insieme con una quantità di elementi pari al numero in oggetto, è possibile disporre i suoi

elementi su una griglia regolare, in modo da formare un triangolo rettangolo isoscele o un triangolo

equilatero, come nella figura sotto.

1

3

6

10

15

21

-La Formula di Gauss.

L'n-esimo numero triangolare si può ottenere con la formula di Gauss

Osservando che ciascuna riga del triangolo è costituita da un numero di

elementi pari all'indice della riga, e contiene quindi un elemento in più della riga precedente,

si verifica facilmente che la formula corrisponde a quella della somma dei primi termini

della progressione aritmetica di ragione 1.

È possibile ottenere anche una giustificazione geometrica della formula: avvicinando all'n-esimo

triangolo un triangolo uguale, si ottiene un rettangolo di lati , che è formato da punti, il

doppio di quelli del triangolo.

2

6

12

20

30

42

L'n-esimo numero triangolare corrisponde al numero di possibili coppie non ordinate estratte da un

insieme di elementi. I primi numeri triangolari sono: 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66, 78, 91,

105, 120, 136, 153, 171, 190, 210, 231, 253, 276, 300, 325, 351, 378, 406, 435, 465, 496, 528, 561,

595, 630,666, 703 ecc.

-Esistone altre proprietà per i numeri triangolari,e sono:

(somma di numeri triangolari);

(prodotto di numeri triangolari);

-Tutti i numeri perfetti sono triangolari;

i reciproci dei numeri triangolari formano la serie di mengoli moltiplicata per 2; la loro somma vale

pertanto 2;il quadrato dell'n-esimo numero triangolare è uguale alla somma dei primi cubi:

-Test per i numeri triangolari

Per stabilire se il numero è triangolare si può calcolare l'espressione:

Se, è intero, allora è l'm-esimo numero triangolare, altrimenti non è triangolare.