Numeri e conti presso gli antichi Sumeri - DiMaI...

IL GIARDINO DI ARCHIMEDE unmuseo perla[matematica]

PROGRAMMA LEONARDO TOI

PROGETTO PIT.AGORA’Codice CUP : G12F10000140006.

Laboratori matematici

Numeri e conti presso gli antichi Sumeri

I calculi degli antichi sumeri

Introduzione

Il nostro modo di contare e senz’altro uno dei piu potenti e completi che siano mai stati

sviluppati. Ma e anche uno dei piu complessi e piu difficili da apprendere. Altre strategie,

preliminari o alternative, altri punti di vista, piu primitivi ma in alcuni casi non meno

efficaci, aiutano a comprendere meglio alcuni aspetti del contare, a mettere a fuoco e superare

certe difficolta, ad afferrare meglio le potenzialita del nostro modo di contare, oltre che a

scoprirne la sua storia affascinante.

In questa prospettiva sono nati i laboratori de Il Giardino di Archimede dedicati ai sistemi

di numerazione, pensati per le scuole di ogni ordine e grado e dedicati ad alcuni di questi

antichi modi di contare.

Scopo di questo opuscolo, dedicato al sistema di numerazione degli antichi Sumeri, e fornire

agli insegnanti che desiderino riproporre le attivita nelle proprie classi alcune informazioni

teoriche necessarie per impadronirsi dell’argomento e una serie di suggerimenti pratici per

lo svolgimento dei laboratori stessi.

Indice

Note storiche 3

La tecnica dei calculi sumeri 5

Rappresentazione e cambi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5Addizioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6Sottrazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6Moltiplicazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7Divisioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

Il sistema posizionale babilonese 9

Indicazioni sullo svolgimento dei laboratori 12

2

Note storiche

Un antichissimo strumento utilizzato unpo’ ovunque per aiutarsi nei conteggi e co-stituito da semplici sassolini. Non a caso laparola “calcolo” deriva dal latino calculus,che significa appunto sassolino. Per conta-re con i sassolini le pecore di un gregge cheesce dall’ovile bastera prendere un piccolosasso per ogni pecora. Il mucchietto cheviene a formarsi esprime la quantita dellepecore e serve anche a conservare il risulta-to del conteggio cosı da poter, ad esempio,controllare che la sera tutte le pecore sianotornate.

Il contare con i sassi, anche nella formapiu semplice, mostra alcuni aspetti propridel nostro modo usuale e piu evoluto di con-tare. In entrambi i casi si ha un insiemeche serve da riferimento: l’insieme dei sas-si nel primo caso, la sequenza astratta deinumeri “uno, due, tre, ...” nel secondo; ilconteggio avviene con stesse modalita in-dipendentemente dalla natura di cio che siconta; nel processo del conteggio si istitui-sce una corrispondenza biunivoca fra gli og-getti da contare e l’insieme di riferimento;si arriva all’espressione finale della quantitain coincidenza della fine di questo processo.

La pratica rudimentale di contare ricor-rendo ai sassolini subisce un primo notevoleraffinamento presso alcuni popoli del MedioOriente dove, a un certo punto, si inizianoa confezionare in argilla piccoli oggetti dausare al posto dei sassolini raccolti in natu-ra. Diversamente dalle pietruzze indifferen-ziate, ai sassolini in argilla fatti dall’uomosi potevano far assumere forme prestabilite.Si trovano cosı, presso i vari popoli, coni o

bastoncini, biglie, dischi, coni piu grandi,sfere ed altro. La possibilita di distinguerela forma permette di compiere un impor-tante passo avanti: un sassolino non indi-ca necessariamente una unita semplice, mapuo rappresentare, a seconda della forma,unita di ordini diversi, o in altre parole, puoassumere valori diversi.

Gli Assiri e i Babilonesi diedero successi-vamente a questi piccoli oggetti per nume-rare il nome di abnu, cioe “pietra”. I Su-meri li avevano designati col nome di im-

na, “pietra d’argilla”. Per questo, e perla coincidenza con l’etimologia latina, lichiameremo calculi.

Nelle regioni della Mesopotamia, dell’I-ran, della Siria e zone limitrofe alcuni diquesti piccoli oggetti di grandezze e formedifferenziate, a partire dalla seconda metadel IV millennio a.C., risultano racchiusi al-l’interno di contenitori ovoidali cavi semprein argilla, detti bolle. Questi oggetti rap-presentano il primo mezzo di registrazioneconcreta di diverse operazioni di contabi-lita, nelle societa allora in piena espansio-ne dei Sumeri e degli Elamiti. Servivanoa quantificare ad esempio l’ammontare diun debito o un pagamento effettuato o laregistrazione di una proprieta. La chiu-sura della bolla impediva una accidentaledispersione dei sassolini stessi, garantendola conservazione della memoria del conteg-gio, e l’impressione sull’esterno di un sigilloconferiva al tutto un valore giuridico.

Il sistema di registrazione di una quantitatramite i sassolini inseriti nella bolla avevail grande svantaggio che per leggere il nu-mero ogni volta la bolla doveva essere rottaed eventualmente poi ricomposta e sigillata

di nuovo.

Una ricostruzione delle vicende che por-tano da qui alla nascita di una vera e pro-pria forma di scrittura e basata sulle te-stimonianze archeologiche, particolarmen-te ricche e significative ad esempio nel ca-so della citta elamita di Susa, nell’attualeIran. A partire dal 3300 a.C., sulla par-te esterna delle bolle qui rinvenute, oltreal sigillo vengono impressi dei simboli cor-rispondenti ai diversi calculi racchiusi al-l’interno, come una sorta di riassunto o disimbolizzazione grafica del contenuto di cia-scun documento contabile. Le bolle pero aquesto punto sono divenute inutili e pocodopo vengono rimpiazzate da pani d’argil-la pieni di forma tondeggiante o allungatache si fa poi sempre piu schiacciata e rego-lare: le prime tavolette. Su queste venivanoimpresse le stesse informazioni che compa-rivano sull’esterno delle ultime bolle, ossia isimboli dei calculi, all’inizio servendosi de-gli stessi calculi, poi riproducendo le loroforme con degli appositi stili.

La prima forma di scrittura simbolica diun numero appare cosı essere il “disegno”dell’oggetto materiale che lo rappresenta,discendente diretto dell’insieme di sassolini.

I vari popoli utilizzavano calculi, e di con-seguenza segni, con forme e valori diversi,anche se in parte ricorrenti. Alla fine delIV millennio ad esempio gli Elamiti dispo-nevano di un sistema contabile basato suunita di diverso ordine a forma di baston-cino, di biglia, di disco, di piccolo cono, digrande cono perforato. Questi calculi e iloro segni corrispondevano rispettivamentea 1, 10, 100, 300 e 3000 unita semplici.

I Sumeri avevano invece come unita di

conto il piccolo cono, la biglia, il grandecono, il grande cono perforato, la sfera ela sfera perforata. I valori relativi corri-spondevano rispettivamente a 1, 10, 60 (lagrande unita), 600, 3600 e 36000.

Nella forma di scrittura sumerica arcai-ca, o curviforme, i segni venivano impressisulle tavolette usando due stili di sezionecircolare e diametro diverso (circa 4 e 10millimetri) che usati perpendicolarmente oinclinati permettevano di riprodurre tuttele forme dei calculi ; con la parte appuntitasi tracciavano poi gli altri segni pittografi-ci. Nel periodo piu antico, attorno al 3200a. C., le forme avevano generalmente il se-guente aspetto e orientazione:

Nel 2700-2600 a.C. circa lo stilo cambiaforma: l’estremita e tagliata in modo daavere un tratto rettilineo con cui si impri-mono segni a forma di cuneo. Il cambimen-to da origine alla scrittura cuneiforme, conla graduale stilizzazione dei segni. I simbolidei numeri assumono allora un aspetto dif-ferente, e si aggiunge un simbolo con valorepari a 36000×6, ossia 216000:

Vari secoli dopo, attorno al XIX secolo a.C., a partire da questa antica numerazionesumera, gli scienziati babilonesi creano unsistema di scrittura basato sui soli simbo-

li e . Il primo simbolo, oltre al valore1, poteva rappresentare anche il 60. L’1 eil 60 fin dalle origini presentano la stessaforma, ma anticamente si distinguono perla dimensione. Ora il simbolo diviene uni-co e per distinguere i valori ci si basa sulcontesto o sulla posizione. Il numero 62,

ad esempio, si rappresenta con la scrittura

, in cui il primo cuneo indica una ses-santina, ossia una unita di ordine superioree gli altri due cunei le unita semplici. Inmodo analogo si possono aggiungere gruppidi segni da riferire a sessantine di sessanti-ne e cosı via per potenze del 60 sempre cre-

scenti. Cosı la scrittura sipuo leggere come un 3600, cioe 60×60, piu12 sessantine, piu ventuno unita semplici,cioe 3600+12×60+21=4341.

La tecnica dei calculi sumeri

La comparsa delle prime tavolette e del-le prime forme di scrittura coincide con lascomparsa delle bolle, ma non coincide conquella dei calculi. Questi continuano a ri-trovarsi, sciolti, nei vari siti archeologici in-sieme alle tavolette contabili scritte con ci-fre arcaiche, fino alla fine del III millen-nio quando le stesse cifre arcaiche si fannosempre piu rare per essere definitivamentesoppiantate dalle cuneiformi.

La convivenza dei calculi con le cifre ar-caiche indica con ogni verosimiglianza che,sebbene non piu usati per la memorizzazio-ne dei valori, essi continuavano a svolgere ilproprio ruolo nell’esecuzione dei conti.

Rappresentazione e cambi

Nel sistema completo si utilizzano calculi disei forme diverse: il piccolo cono, la sferet-ta, il grande cono, il grande cono perforato,la sfera e la sfera perforata.

I valori di questi calculi sono crescenti se-

condo una scala che procede per 10 e per 6alternativamente. Ci vogliono cioe 10 sas-solini del primo tipo per fare un sassolinodel secondo tipo, 6 sassolini del secondo ti-po per fare un sassolino del terzo, 10 sasso-lini del terzo per un sassolino del quarto, 6del quarto per uno del quinto, 10 del quintoper uno del sesto.

−→

−→

−→

−→

−→

In altre parole i sassolini e i loro segni han-no valori corrispondenti a 1, 10, 60, 600,3600 e 36000.

I valori dei calculi, o dei loro segni, si som-mano. Cosı , cioe tre conetti presi in-sieme, rappresentano il numero tre. ,rappresenta invece complessivamente il nu-mero ventuno, formato da due sassolini da

dieci e un sassolino da uno. cor-risponde al nostro 3683, dato da 1×3600+1 × 60 + 2 × 10 + 3 × 1.

Dodici conetti, , rappre-sentano il numero dodici, ma lo stesso do-dici si rappresenta meglio sostituendo dieciconetti piccoli con una sola sferetta piccola,ossia in totale con una sferetta e due conet-ti: . Si e eseguito in questo caso un“cambio”, ossia la sostituzione di un grup-po di calculi con un solo calculo di formadiversa e di valore equivalente, secondo lascala ricordata sopra. Attraverso i cambisi riduce il numero di calculi impiegati perrappresentare un dato valore, si rende lasua rappresentazione piu compatta e signi-

ficativa anche a colpo d’occhio. Nel versoopposto si ha la “spicciolatura” di un sas-solino in piu sassolini di valore inferiore. Icambi costituiscono la base fondamentalenell’impiego dei calculi e intervengono nel-le varie tecniche operatorie. Nel caso deicalculi sumeri si deve ricordare l’alternan-za dei raggruppamenti in insiemi ora di 10ora di 6.

Addizioni

Il sistema di rappresentazione dei valori at-traverso i calculi, o i loro segni, e un siste-ma additivo. Come in ogni sistema di rap-presentazione additivo l’operazione di addi-zione risulta particolarmente semplice. Peraddizionare due o piu valori bastera infattimettere insieme i simboli di ciascuno degliaddendi. Nel caso dei calculi, se dobbia-mo addizionare due numeri, bastera unirei due gruppi di sassolini che rappresentanoi due numeri. L’addizione e compiuta inquesto stesso gesto dell’unione dei sassoli-ni. I sassolini messi insieme mi indicheran-no complessivamente il valore risultato dal-l’addizione. Ad esempio volendo sommare

con , si otterra .

L’addizione dunque in un certo senso “sifa da se”, grazie al modo di rappresenta-zione. Perche il risultato compaia nella for-ma migliore, ossia impiegando meno calculi

possibile, sara a volte necessario aggiustarela scrittura sostituendo gruppi di sassolinicon un solo sassolino di valore superiore,ossia compiendo un cambio.

Nel sommare ad esempio

con si otterrebbe in prima

battuta . So-stituendo poi dieci coni con un solo cono

forato, il risultato si riscrive come .

Sottrazioni

La sottrazione fra due numeri si puo ese-guire nel seguente modo. Si costruisce unprimo mucchio di sassolini che rappresen-ta il numero di partenza, ossia il minuen-do. Si forma il numero da sottrarre, os-sia il sottraendo, in un secondo mucchio disassolini attingendo, per fare cio, ai sasso-lini del primo mucchio. Quando il secondomucchio e completato, i sassolini rimasti nelmucchietto di partenza danno il risultato.

Se ad esempio vogliamo eseguiremeno , si prepara il primo mucchiettocon una pallina e cinque conetti, poi si faun secondo mucchietto con quattro conetti,prendendoli dal primo mucchietto. Si vaora a vedere quali sassolini sono rimasti nelprimo mucchietto; questi danno il risultato:

.Puo capitare che nel mucchietto di par-

tenza non vi siano tutti i sassolini necessariad esprimere il secondo. In questo caso oc-correra “spicciolare” un sassolino di ordinesuperiore e procedere come sopra.

Ad esempio, se vogliamo sottrarre

da , prepariamoil mucchio di sei coni grandi. Da questo,per formare il sottraendo, prendiamo quat-tro coni grandi. A questo punto abbiamoallora che nel primo mucchio sono rimasti

due coni grandi: , mentre nel secon-

do abbiamo . Per completare il

sottraendo abbiamo bisogno ancora di ag-giungere una pallina al secondo mucchio.Questa pero non e immediatamente dispo-nibile nel primo mucchio. Dobbiamo allorasostituire uno dei due coni grandi del pri-mo mucchio con le sei palline che gli equi-valgono. Abbiamo ora nel primo mucchio

e nel secondo . Spo-stiamo una pallina dal primo al secondomucchio ed avremo completato il sottraen-do. I sassolini rimasti nel primo mucchio

indicano il risultato: .

Moltiplicazioni

Un modo concettualmente molto semplicedi eseguire una moltiplicazione e quello diridurla ad addizione ripetuta. Si puo allorainiziare rappresentando il numero da mol-tiplicare e poi ripetendo ogni sassolino diquesto mucchietto tante volte quante il nu-mero per cui si vuole moltiplicare; alla finesi compiono gli eventuali cambi.

Ad esempio, se vogliamo moltiplicare

per quattro costruiremo un secondomucchietto in cui ogni sassolino del primoe ripetuto quattro volte, metteremo cioequattro coni grandi, quattro palline e an-

cora quattro palline: .Avremo cosı ottenuto il risultato.

Molto spesso sara necessario operare deicambi per aggiustare la forma finale del ri-sultato. Se ad esempio devo moltiplicare

per 2 ottengo ;sostituendo sei sferette con un solo cono

grande, il risultato e dato da .Per sveltire il procedimento, soprattut-

to quando i numeri in gioco sono piuttostograndi, si possono impiegare vari accorgi-menti. Facendo riferimento alle forme deisumeri, osserviamo ad esempio che per mol-tiplicare un cono grande per dieci basta so-stituirlo con un cono forato, per moltipli-carlo per sessanta basta sostituirlo con unasfera grande, per moltiplicarlo per seicen-to, cioe 10×6×10, basta sostituirlo con unasfera grande forata. In altre parole alcunidei sassolini possono essere moltiplicati im-mediatamente per 10, e anche per 6×10,10×6×10, 6×10×6×10, altri per 6 e ancheper 10×6, 6×10×6:

−→

×10

−→

×6

−→

×10

−→

×6

−→

×10

Quando dobbiamo moltiplicare un datonumero per un altro, converra allora osser-vare come questo secondo numero si puocomporre in somme di 6, 10 o loro prodot-ti. La scomposizione piu utile dipenderadai calculi del numero di partenza che stomoltiplicando.

Ad esempio, se voglio moltiplicare per 12

, due coni grandi e una sfera picco-la, posso procedere cosı. Iniziamo dai conigrandi. Come gia detto, questi si moltipli-

cano facilmente per 10: −→

×10. Dunque

mi conviene spezzare 12 in 10+2 ed eseguirela moltiplicazione in due parti: moltiplico iconi prima per 10, poi per 2. Per moltipli-care per 10 prendo un cono forato per ognicono di partenza; per moltiplicare per dueprendo due coni uguali a quelli di partenzaper ognuno dei coni di partenza.

−→

×10

−→

×2

Mettendo insieme i due risultati parziali ot-tengo il prodotto dei due coni per 12:

−→

×12

Le sfere piccole invece si moltiplicano facil-

mente per 6: −→

×6. Dunque mi conviene

spezzare 12 in 6+6. Per ogni sfera di par-tenza prendo allora un cono grande (ed homoltiplicato per sei) e ancora un cono gran-de (ed ho moltiplicato di nuovo per sei):

−→

×12

Il risultato si legge mettendo insieme tut-ti i calculi, eventualmente dopo aver fatto icambi. Nel nostro esempio otteniamo dueconi forati e sei coni grandi.

−→

×12

Andando a tradurre i valori abbiamo che130 per 12 fa 2×600+6×60, ossia 1560.

Divisioni

La divisione e una operazione di grande im-portanza nella vita sociale e ricorre spessoin antichissime tavolette. In una di que-ste (2650 a. C. circa) compare ad esempiola divisione di 1152000 misure di orzo in 7parti.

Utilizzando i calculi la divisione si puoeffettuare suddividendo il mucchio di cal-

culi che rappresenta il numero di parten-za in tanti mucchi uguali, ossia riproducen-do quell’operazione di distribuzione delle ri-sorse che rappresenta una delle motivazioniprimarie della divisione. Finche il divisoree abbastanza piccolo, dell’ordine della deci-na, la divisione si esegue piuttosto facilmen-te anche con dividendi molto grandi, come

nel caso della tavoletta con la distribuzionedelle misure d’orzo.

Vediamo con un esempio piu semplice co-me procedere concretamente. Vogliamo di-

videre in tre parti. Ilprocedimento prescrive di formare tante fi-le di tre sassolini uguali, iniziando da quellidi valore piu alto:

Otteniamo due file complete; avanza poi uncono grande. Prendiamo un rappresentan-te per ogni fila completa e lo mettiamo dauna parte: e un primo pezzo del risultato:

−→

−→

I calculi rimasti nelle file complete non en-trano piu nel procedimento e si possono eli-minare. Per proseguire la divisione si pren-dono invece i calculi avanzati dalla dispo-sizione in file, cioe tutti quelli con cui none stato possibile completare una fila, e sicambiano con opportuni calculi di valoreinferiore. Nel nostro caso sostituiamo il co-

no grande avanzato con sei palline: −→

. Se nel mucchio di partenza vi era-no alcune palline le uniamo a queste otte-nute dallo spicciolamento. Nel nostro casoabbiamo in tutto otto palline. Su queste ri-petiamo il procedimento della disposizionein file da tre:

Di nuovo prendiamo un rappresentante perogni fila completa e lo aggiungiamo al risul-tato parziale, scartando gli altri sassolini.

−→

−→

Proseguiamo ora la divisione prendendo icalculi avanzati dalla disposizione in file,ossia le due palline che non formavano unafila completa. Le cambiamo in sassolini divalore inferiore, cioe sostituiamo ciascunapallina con dieci coni piccoli. Nel mucchiodi partenza non c’erano altri coni piccoli edunque abbiamo ora venti coni piccoli dadisporre in file di tre:

Dalle file complete prendiamo un rappre-sentante e lo uniamo al risultato.

−→

−→

−→

−→

−→

−→

Essendo arrivati al sassolino di valore mini-mo, la divisione si ferma. Il mucchietto dicalculi composto dai risultati parziali da ilquoziente. Nel nostro caso questo e forma-to da due coni grandi, due palline e sei coni

piccoli: . I due coni piccoliavanzati all’ultimo passo mi danno il resto.Traducendo i valori, abbiamo diviso 440 pertre, ottenendo 146 con il resto di 2.

Il sistema posizionale babilone-

se

Scrittura e ambiguita

Il sistema sessagesimale posizionale svilup-pato dagli scienziati babilonesi si serve, co-

me gia accennato, di soli due simboli, e

. All’interno di ciascun ordine di gran-dezza i valori da 1 a 59 vengono costruitiin modo additivo. Cosı i numeri 3, 13 e

32 si scrivono rispettivamente come ,

, Simboli uguali ripetuti nonvenivano disposti in fila, ma raggruppati inmodo da facilitare la lettura. Cosı, i numeridal 4 al 9 si scrivevano nel seguente modo:

I numeri 40 e 50 invece compaiono invece

rispettivamente come e .Gli stessi simboli si usano per indicare

le unita degli ordini superiori: sessantine,tremilaseicentine, e cosı via per le altrepotenze del sessanta.

Questo sistema di scrittura permette fa-cilmente di scrivere numeri grandi a piaceree, poiche con lo stesso principio posizionalesi scrivevano anche le frazioni, anche nume-ri piccoli a piacere. A destra delle unita siscrivono infatti i sessantesimi, poi i tremila-seicentesimi, e cosı via per le altre potenzenegative del sessanta. Cosı 1

2, cioe 30

60, si

scrive , mentre la frazione cor-risponde a 7

60+ 30

602 , cioe 1

8. Solitamente e il

contesto che indica se la rappresentazionesi riferisce a numeri interi o a frazioni.

Laddove il contesto non aiuta rimango-no possibili ambiguita nell’interpretazionedelle scritture, anche solo limitandosi ainumeri interi, dovute anche alla mancan-za di uno zero e al fatto che all’internodi ciascun ordine di grandezza i cinquan-tanove simboli non sono distinti ma sonocostruiti additivamente per ripetizione di

e . La scrittura puo esse-re ad esempio interpretata come il nume-ro 23, cioe 10+10+1+1+1, ma anche co-me 613, cioe 10×60+10+3, oppure come1203, cioe 20×60+3, oppure come 36721,cioe 10×3600+12×60+1, e cosı via.

Piccole differenze di spaziatura permet-tono a volte di riconoscere l’interpretazionecorretta. A un certo punto, presumibilmen-te attorno alla fine del IV secolo a. C., com-pare, anche se non sistematicamente, l’usodi un segno spaziatore speciale con cui siindica l’assenza di unita di un certo ordinesessagesimale. Questo segno si presenta co-

me due cunei vicini e inclinati, , con pic-cole varianti grafiche. Il numero 25 e il nu-mero 1205 avrebbero allora rappresentazio-

ni ben distinguibili, rispettivamente

e .

Le operazioni

Con il sistema posizionale babilonese leoperazioni si possono eseguire con tecnichesimili a quelle del nostro sistema di rap-presentazione. Il fatto che ogni simbolo sia

costruito additivamente fa sı che la scrittu-ra stessa rappresenti anche in qualche casoun aiuto al calcolo.

Nell’addizione ad esempio, dopo aver po-sizionato gruppi di simboli che si riferisconoallo stesso ordine di grandezza in una stes-sa colonna, il risultato sara dato dal tota-le dei simboli opportunamente riordinati inciascuna colonna, eventualmente operandodei cambi che riducano il numero di simboli

ripetuti troppe volte: dieci danno un e

sei danno un nella colonna dell’ordinesubito superiore.

Nella sottrazione il risultato e dato daisimboli del primo numero che restano dopoaver eliminato tutti i simboli che compaio-no nel secondo, ovviamente rispettando gliordini di grandezza. Per completare l’eli-minazione puo essere necessario sostituirequalche simbolo con gli opportuni simbolidi ordine inferiore.

La moltiplcazione si puo eseguire, comenel nostro procedimento, moltiplicando se-paratamente i valori dei vari ordini di gran-dezza e poi sommando il tutto. La tavo-la pitagorica per la moltiplicazione in basesessanta comprenderebbe prodotti da 1× 1a 59 × 59. In realta il fatto che ognuno diquesti valori sia costruito come somme diunita e decine permette di riferirsi soltan-to ad alcuni prodotti e di costruire gli altriapplicando ancora la proprieta distributi-

va. Cosı sara utile memorizzare che per

fa e riferirsi a questo valore per ilcalcolo di prodotti di valori composti.

La divisione si puo ricondurre alla mol-tiplicazione calcolando il reciproco del di-

visore. A questo scopo chi doveva com-piere calcoli aveva a disposizione tavole deireciproci.

Indicazioni sullo svolgimento dei laboratori

Altri materiali: sassolini di terracotta che riproducono i calculi sumeri, presentazioni,libro “Uri, il piccolo sumero”.

Le presentazioni sono contenute nel CD-rom allegato, nella cartella “Sumeri”. Si trattadi diapositive in formato PowerPoint da proiettare durante lo svolgimento delle attivita.Contengono immagini e brevi commenti da usare per le spiegazioni e per gli esercizi daproporre.

Le presentazioni sono differenziate in diversi livelli di complessita crescente. Il livello 0,pre-calcolo, e pensato per i piccolissimi, corrispondentemente alla sezione dei cinque annidella Scuola dell’Infanzia. I livelli 1 e 2 sono pensati per il primo e il secondo ciclo della ScuolaPrimaria. Il livello 3 e pensato per la Secondaria Inferiore e il 4 per la Secondaria Superiore.I riferimenti alle eta costituiscono pero un’indicazione di massima: ogni insegnante potravalutare se appoggiarsi al materiale di un altro livello, a seconda della classe, o se limitarsiad alcune parti degli argomenti svolti.

Alcune presentazioni comprendono anche schede di lavoro da stampare e utilizzare in sededi laboratorio.

Per le attivita di calcolo ci si puo servire degli appositi sassolini di terracotta in dotazioneche riproducono i calculi sumeri, secondo i valori 1, 10, 60, 600, 3600, 36000. Nelle attivitapreviste al livello 0 e livello 1 ci si limita all’uso di due soli sassolini: il cono e la pallina.Invece di usare il formato piccolo, si consiglia in questo caso di usare cono e sfera grandi,piu maneggevoli per i bambini di questa eta. Solo quando si usa anche il 60 sara necessariousare i piccoli per l’1 e il 10.

La storia “Uri, il piccolo sumero”, i cui personaggi compaiono nelle presentazioni, op-portunamente rivista e commentata a seconda dell’eta dei partecipanti, puo servire da filoconduttore per le attivita dei piu piccoli (Infanzia e inizio Primaria).

Livello 0

Eta indicativa: 5 anni.

Premessa sul laboratorio

Le attivita del laboratorio contribuiscono a lavorare su molteplici aspetti del pre-calcolo. L’a-spetto fondamentale e quello della determinazione e della rappresentazione della quantita diun certo insieme di oggetti. Il percorso che porta a una rappresentazione simbolica e astrattaviene compiuto in modo graduale. Un altro aspetto importante e quello dell’introduzionedella scrittura.

Tutta la presentazione e le attivita suggerite fanno riferimento alla storia di Uri che ri-propone in forma narrativa alcuni passaggi dello sviluppo storico del sistema sumero: in

un’epoca in cui “ancora non si sapeva bene come contare”, Uri si costruisce tante piccoledita di argilla, per non dover contare con le mani e ogni volta che la mamma gli chiede diandare a procurarsi un certo numero di oggetti, lui mette i sassolini nella sua bolla. Quandoi sassolini sono tanti nella bolla non entrano piu e diventa sempre piu difficile tenerli insiemesenza perderli. Ma un giorno, in sogno, gli appare il genio delle dita, U (il nome sumero delladecina). Anche la scrittura su tavoletta puo essere inclusa nella storia: a un certo puntoil nostro bambino pensa a come fare per non doversi portare dietro i sassolini, rischiandocomunque di perderne qualcuno o dovendo ogni volta chiudere e poi rompere la bolla, e cosıinventa la tavoletta. La scrittura diviene il mezzo per non affidarsi piu alla memoria e perregistrare permanentemente quello che si desidera ricordare.

Il conteggio attraverso le dita delle mani viene utilizzato ripetutamente. Sara un punto dipartenza e di riferimento per quei bambini che gia ne hanno una completa padronanza, sarainvece un obiettivo da rafforzare per gli altri. Dagli oggetti concreti e dalle dita si compieun primo passo verso l’astrazione introducendo i sassolini a forma di cono, oggetti indistintie simbolici con cui si puo contare.

A differenza delle dita, per forza di cose limitate a dieci, i sassolini si possono ripetere apiacere. In altre parole si possono mettere in corrispondenza biunivoca con insiemi di oggettianche numerosi. Si osservi che anche quando si lavora con quantita che vanno oltre il diecinon si pretende che i bambini le padroneggino in modo completo ne che sappiano associarviun nome; si procede un sassolino alla volta, come Uri, trasformando dita (o oggetti) insassolini. L’uso della ciotolina di terracotta (in riferimento alla bolla sumera) dove metterei risultati serve ad evidenziare che il numero finale che esprime una quantita e il risultato diun procedimento

Un punto nodale e delicato e l’introduzione della decina. Qui un solo oggetto simbolicoviene a rappresentare tanti oggetti. La difficolta di questo passaggio si puo affrontare aiu-tandosi con i richiami ai “geni delle dita” della storia di Uri che i nuovi oggetti permettonodi fare. Il simbolo della decina e allora rappresentazione di una testa, e la dove c’e una testaci sono dieci dita (ogni bambino potra mostrarlo); ma se nei bambini testa e dita possonovedersi contemporaneamente, nei geni delle dita o si vede la testa o si vedono le dieci dita,mai contemporaneamente. Cosı una pallina si potra far apparire al posto di dieci conetti, eviceversa.

Le attivita con la plastilina propongono un modo per avvicinarsi alla scrittura, ripercorren-do quello che e stato l’effettivo sviluppo storico. Inizialmente dunque si trattera di imprimereimpronte con i sassolini e solo successivamente di riprodurre la loro forma con gli stili.

A discrezione dell’insegnante questo laboratorio puo essere semplificato limitando leattivita al solo uso dei sassolini conici, senza introdurre la decina, e proseguendo con lascrittura su tavoletta (che in questo caso si limitara ad esempi che non comprendonol’impronta circolare).

Contenuto della presentazione per il laboratorio

Con le prime diapositive si introduce la storia di Uri. I primo aspetto su cui lavorare e larappresentazione dei numeri con le dita delle mani. Ci si limita inizialmente ad una manosola. Contare con le dita significa associare ad ogni mucca un dito e poi esprimere con ilgesto della mano il risultato di questo procedimento. Pian piano al gesto verra associato ilnome del numero corrispondente. La diapositiva che segue si intitola “La nostra scheda percontare”. Si suggerisce a questo punto di far iniziare ad ogni bambino la costruizione di unascheda che servira di appoggio per le attivita successive. Questa scheda alla fine conterra leimmagini delle due mani, con le dieci dita aperte. Le mani possono essere disegnate da ognibambino seguendo il contorno delle proprie mani. In alternativa si puo fornire una stampagia pronta lasciando verificare con la sovrapposizione della mano vera che il numero delledita e sempre lo stesso. Se si preferisce si puo rimandare la costruzione dell’intera scheda aquando si e introdotta anche l’altra mano.

Con la diapositiva che segue si chiede ancora di contare con la mano. Gli oggetti da contarequesta volta sono sei. Una mano dunque non basta piu e si dovra introdurre anche l’altramano. Si prova poi a contare con le due mani da uno a dieci, aggiungendo un dito alla volta.Si prova poi a esprimere con le mani il numero degli oggetti che erano stati mostrati. Sicompleta poi la scheda con il disegno delle due mani o, se non si era iniziata, si fa a questopunto.

Si introduce ora il problema della labilita della registrazione per mezzo delle dita e l’ideadi sostituire le dita con dei piccoli oggetti creati apposta per contare: le dita finte di Uri.Si propone poi ai bambini di contare sostituendo ogni dito vero con un “dito finto”, cioeun conetto di terracotta. Questo puo essere fatto aiutandosi con la scheda delle mani: ogniconetto andra sopra un dito della mano disegnata.

Si lavora poi mettendo i conetti richiesti dentro la bolla, direttamente o se necessariopassando ancora attraverso la scheda. La bolla sottolinea la compiutezza del risultato comepunto di arrivo di un processo.

L’ultimo esempio proposto mostra come con le dita finte si possono rappresentare anchenumeri che richiedono piu dita di quelle che un solo bambino ha a disposizione.

Si affronta poi il problema della ingestibilita dei conetti quando questi divengono tropponumerosi. Si introduce allora il nuovo sassolino, la sferetta, che sostituisce dieci conetti. Lediapositive che seguono mostrano alcune quantita con le dita chiedendo che i bambini letrasformino in sassolini da mettere dentro la bolla. Un modo per aiutare questo passaggio,come suggerito dalle diapositive, e raccontare che ogni volta che vi sono dieci dita, cioe duemani tutte aperte, compare un genio delle dieci dita; le dita scompaiono e si vede solo lasua testa; nella bolla si mettono solo le teste dei geni, non le dita. Ancor apiu efficace sarafar riprodurre ad alcuni bambini (due, tre o quattro, a seconda di quanti sono necessari) inumeri mostrati con le dita; i bambini che hanno tutte le dita aperte si trasformeranno ingeni delle dita.

Altre diapositive propongono poi il lavoro inverso: si mostrano dei sassolini e si chiede aibambini di rappresentarli con le dita. Se c’e una sferetta si fanno vedere tutte le dita delgenio.

Si passa poi ad affrontare la scrittura su tavoletta.La parte finale delle diapositive riguarda la scrittura su tavoletta. Ogni bambino o ogni

gruppo realizzera la sua tavoletta. Rimodellando la plastilina si potranno via via eseguirediverse scritture. Si inizia dalla forma di scrittura piu primitiva, in cui le forme si “stampano”direttamente con i sassolini. I numeri proposti si rappresenteranno prima con i sassolini;l’intero gruppo di sassolini si mettera sopra la tavoletta di plastina; premendo si realizzerannole impronte. Il cono andra adagiato in modo che lasci un’impronta a punta, ben distinguibileda quella della sfera. Oltre cha a scrivere si imparera a leggere, cioe a riconoscere numeriimpressi su tavolette.

Si mostra poi come impronte molto simili si possono ottenere scrivendo con dei bastoncini.Seguono semplici esercizi di scrittura su tavoletta: mucchi, sacchi e bambini sono propo-sti nelle diapositive; se ne potranno aggiungere altri eventualmente inventando un segnopittografico per indicare di quali oggetti si sta esprimendo la quantita.

Livello 1

Eta indicativa: 6-7 anni.


Nelle attivita di questo livello si utilizza il sistema dei calculi sumeri in una forma incompleta,limitandosi ai valori 1, 10. Un nodo fondamentale e quello dell’introduzione della decina.I sassolini danno modo di realizzare concretamente i raggruppamenti per dieci e i cambi,un’operazione fondamentale per comprendere la rappresentazione dei numeri. Diventanoanche un utilissimo strumento per l’esecuzione dei calcoli. Le addizioni mostrano la loronatura nell’unire in effetti in sassolini e le sottrazioni nel toglierli. Operando con i sassolinisi tocca con mano anche il meccanismo del riporto e del prestito.


Con le prime diapositive si spiega come contare fino a dieci ripetendo il sassolino conico ecome far intervenire il sassolino sferico per rappresentare i numeri da dieci in poi.

Si propongono poi esercizi in cui si mostrano gruppi di sassolini e si chiede di che numerosi tratta. Seguono esercizi in cui viceversa si chiede di realizzare alcuni numeri con conettie sferette.

Si puo a questo punto spiegare che cosa era la bolla. La bolla servira nel seguito dellaboratorio come contenitore per le risposte agli esercizi proposti.

Con le diapositive successive si spiega il “cambio”: un gruppo di dieci conetti si sostituisce

con una sola sferetta. Seguono alcuni esercizi in cui si mostra un gruppo di sassolini e sichiede di mettere nella bolla lo stesso valore impiegando meno sassolini possibile; ad esempioinvece dei tredici conetti mostrati dalla diapositiva, si mettono nella bolla tre conetti e unasferetta, per un valore pari ancora a tredici.

Si spiega poi come eseguire un’addizione, unendo e poi mettendo nella bolla i sassolinidei due numeri da sommare. Il primo esempio, molto semplice, non prevede il cambio. Nelsecondo esempio invece i conetti complessivi sono piu di dieci e dunque, prima di mettere ilrisultato nella bolla, occorre eseguire un cambio, sostituendo dieci conetti con una sfera. Sipropongono alcune addizioni, le prime senza cambio, le successive con cambio.

Segue la spiegazione di come eseguire la sottrazione, componendo il primo numero e for-mando il secondo servendosi dei sassolini del primo; il risultato va dentro la bolla. Lasottrazione illustrata non richiede il cambio, e cosı gli esercizi che seguono. Segue la spiega-zione di una sottrazione che richiede un cambio per essere portata a termine, e di seguito irelativi esercizi.

Le ultime diapositive illustrano come passare alla scrittura su tavoletta. Si consiglia anchequi di procedere in due fasi, seguendo quello che e stato lo sviluppo storico. Nella prima fasela scrittura sulla plastilina si fa premendo direttamente con i calculi sulla plastilina, in modoche lascino la loro forma riconoscibile (il cono dovra essere sdraiato). Nella seconda fasesi scrive servendosi degli stili. La scrittura su tavoletta puo essere introdotta nel momentodel laboratorio che si ritiene piu opportuno, anticipandola ad esempio all’addizione o allasottrazione. Una volta introdotta si potra chiedere di fornire le risposte ad esercizi gia fattiservendosi della tavoletta invece che dei sassolini. Si potranno ad esempio riproporre gliesercizi sulla scrittura di numeri, oppure, se si e introdotta la scrittura su tavoletta primadell’addizione o della sottrazione, si potra chidere di scrivere i risultati dei relativi esercizisulla tavoletta, invece che riporre il gruppo finale di sassolini nella bolla.

Livello 2



Nelle attivita rivolte a questa fascia di eta si usa il sistema dei calculi sumeri limitandosi aivalori 1, 10, 60 e 600, cioe il cono e la sfera piccoli, il cono grande e il cono forato. Questoda modo gia di lavorare con basi diverse dal dieci. L’uso della sessantina e della seicentinae la scomposizione delle quantita utilizzando questi valori contribuisce all’allenamento delcalcolo mentale. Sui cambi e sull’addizione e sottrazione vale quanto detto per il livelloprecedente. Si presenta qui anche qualche semplice moltiplicazione che attraverso i calculi

viene ricondotta a un’addizione ripetuta. Le divisioni si eseguono tramite i raggruppamenti.


Attraverso le prime diapositive si illustra il funzionamento della rappresentazione proponen-do inizialmente esercizi sul riconoscimento di alcuni valori e, viceversa, sulla composizionemediante i sassolini. Si passa poi al funzionamento del cambio, con esercizi relativi che coin-volgono sia i conetti che le sfere che i coni grandi. Si suggerisce di servirsi della bolla perriporre i risultati via via elaborati.

Con le diapositive successive si spiega come eseguire un’addizione con un esempio moltosemplice e poi con uno che prevede l’esecuzione di un cambio per arrivare alla forma finaledel risultato. Anche negli esercizi proposti, ad eccezione del primo, e necessario eseguire ilcambio per arrivare alla forma finale del risultato. Si suggerisce anche qui di far riporre ilrisultato finale nella bolla.

Si spiega poi come eseguire una sottrazione componendo il primo numero e formando ilsecondo servendosi dei sassolini del primo. Anche qui si propone un primo semplice esempioe poi uno in cui, per poter portare a termine il secondo numero, e necessario eseguire uncambio. Seguono gli esercizi relativi alla sottrazione.

Si spiega poi come eseguire una moltiplicazione, trasformandola in addizione ripetuta.Si spiega infine la divisione, con la tecnica del raggruppamento. Seguono alcuni esercizi

relativi.Una diapositiva illustra la scrittura su tavoletta con gli stili, che puo essere introdotta in

qualunque momento del laboratorio. Per riprodurre le forme dei quattro sassolini occorronodue stili di sezione diversa, da usare da soli o combinati nelle varie inclinazioni. Una voltaintrodotta la scrittura su tavoletta, si puo chiedere di trascrivere su questa il risultato finaledegli esercizi che seguono. Nota: le operazioni si eseguono sempre comunque con i sassolini;e solo il risultato finale che eventualmente si puo scrivere sulla tavoletta, invece che esprimeremettendo i sassolini nella bolla.

Livello 3



Nelle attivita rivolte a questa fascia di eta si usa il sistema completo dei calculi sumeri, coni valori 1, 10, 60, 600, 3600, 36000. Rappresentazioni e operazioni appaiono nella loro formapiu complessa. Il sistema sessagesimale appare ora in modo piu compiuto e si richiede unamaggiore abilita di calcolo mentale.


Con le prime diapositive si introducono i sei valori e si propongono gruppi di sassolini di cuisi chiede di tradurre il valore.

Dopo gli esercizi sulla rappresentazione si introduce il cambio, a gruppi di 10 o di 6 aseconda dei sassolini. Seguono diapositive in cui si mostrano mucchi di sassolini che vannoridotti mediante un cambio. Si suggerisce almeno inizialmente di riprodurre effettivamentei mucchi con i sassolini, di fare le sostituzioni e di mettere la forma finale del numero dentrola bolla.

Si spiega poi come fare un’addizione, unendo i sassolini dei due numeri da sommare e ese-guendo eventualmente un cambio per arrivare alla forma finale del risultato. Si propongonoalcune addizioni da eseguire, in cui intervengono cambi su tipi diversi di calculi.

Si spiega poi come eseguire una sottrazione. Anche qui si propone un primo sempliceesempio e poi uno in cui, per poter portare a termine il secondo numero, e necessario eseguireun cambio. Seguono gli esercizi relativi alla sottrazione. In alcuni e necessario eseguire piucambi.

La moltiplicazione viene anche qui presentata nella forma che la riconduce a un’addizioneripetuta. Sara l’insegnante a valutare l’opportunita di proporre anche la semplificazionedescritta nelle note di approfondimento che sfrutta i valori speciali 6 e 1.

Si spiega infine la divisione, con la tecnica del raggruppamento. Seguono alcuni esercizirelativi.

Fra le attivita di questo livello non e previsto il lavoro di scrittura su tavoletta. L’inse-gnante che giudichi opportuno introdurre anche questo tipo di attivita potra appoggiarsialle diapositive del livello precedente. Un’alternativa e quella di introdurre la scrittura cu-neiforme sumera (vedi Note storiche) e chiedere di trascrivere i risultati su carta con queisimboli.

Livello 4

Eta indicativa: dai 14 anni.


In questo livello si presenta il passaggio dal sistema dei calculi sumeri all’utilizzo del sistemaposizionale babilonese. Il sistema dei calculi viene presentato come nel livello precedente,eliminando pero alcuni degli esempio piu semplici.

Si passa poi al sistema posizionale. Il passaggio dal sistema dei calculi a quest’ultimo per-mettera di evidenziare i vantaggi di un sistema di rappresentazione posizionale. Le difficoltadel sistema babilonese permetteranno poi di riflettere sulle caratteristiche che un sistemaposizionale completo deve avere. In particolare si protra riflettere sul ruolo dello zero nelnostro sistema di rappresentazione e sulla differenza rispetto al segno separatore introdottoa un certo punto nel sistema babilonese.

Il fatto di usare una base diversa dal dieci permettera, oltre che a sviluppare il calcolomentale, di distinguere i diversi aspetti di una rappresentazione numerica: scelta della ba-

se della numerazione, scelta del sistema di rappresentazione (additivo, posizionale, misto),scelta dei simboli.

Molte diapositive contengono una traduzione delle scritture sessagesimali secondo conve-zioni piu moderne. Sono scritture del tipo [2; 5; 28], in cui ogni numero indica le unitadei crescenti ordini; in altre parole la scrittura [2; 5; 28] significa ventotto unita semplici,cinque sessantine e due tremilaseicentine; in notazione decimale diviene 28+5×60+2×602.L’insegnante valutera come servirsi di tali scritture per riferirsi all’argomento della rappre-sentazione in una diversa base di numerazione in modo piu generale, o se, eventualmente,ignorarle.

La riflessione sulla rappresentazione posizionale viene approfondita dalla parte dedicataalle frazioni. Questa offre interessanti spunti per complementi sulla rappresentazione conla virgola dei numeri razionali. Si potra ad esempio osservare quali frazioni hanno compor-tamenti uguali o diversi se rappresentate nel sistema decimale o in quello sessagesimale; sipotranno fare riflessioni sulla lunghezza del periodo. Piu in generale risultera evidente che ilpossedere una rappresentazione con la virgola limitata o periodica dipende solo dalla sceltadella base numerica.

La parte delle operazioni eseguite nel sistema cuneiforme babilonese, se presentate aconfronto con le tecniche dei calculi, permettera di evidenziare come il diverso modo dirappresentare i numeri diventi in qualche modo uno strumento per eseguire in modo diversoi conteggi. In particolare un sistema posizionale scritto come quello dei babilonesi si collocain qualche modo in un punto intermedio tra l’uso dei calculi di cui conservano memoria e inostri algoritmi di calcolo.


Con le prime diapositive si introducono i sei calculi. Si propongono alcuni esercizi sul rico-noscimento e sulla rappresentazione di numeri per mezzo di gruppi di sassolini. Si introducepoi il cambio, a gruppi di 10 o di 6 a seconda dei sassolini. Seguono alcuni esercizi.

Si spiega poi come poter eseguire l’addizione servendosi dei calculi. Seguono un paiodi addizioni da eseguire. Si spiega poi come eseguire una sottrazione e si propongono irelativi esercizi. Sempre attraverso esempi illustrati e proposti si mostra come eseguire unamoltiplicazione e una divisione.

Si passa poi alla parte dedicata alla rappresentazione cuneiforme usato dagli scienziatibabilonesi. Con le prime diapositive si ricordano i passaggi attraverso la curviforme e lacuneiforme sumera per arrivare infine al sistema di rappresentazione posizionale. Seguonodegli esercizi proposti sulla scrittura e sulla lettura di espressioni in cuneiforme.

Con le diapositive successive si accenna alle difficolta del sistema babilonese eall’introduzione di un segno separatore che elimini alcune ambiguita.

Segue la parte dedicata alle frazioni sessagesimali. Si mostra dapprima come si scrivonole frazioni estendendo ai sessantesimi la scrittura posizionale. Si propone poi come rap-

presentare alcune frazioni riducendole a frazioni sessagesimali. I primi esempi si limitano aldenominatore sessanta mentre per i successivi sono necessarie anche frazioni che hanno comedenominatore le successive potenze del sessanta. L’ultimo esempio mostra una frazione cheda luogo a una scrittura periodica.

Inizia poi la parte dedicata alle operazioni. Per prima cosa si mostra come si traduconoi cambi nella scrittura cuneiforme posizionale. Si illustra poi l’addizione e si propongono irelativi esercizi. Si passa poi alla sottrazione, sempre seguita da esempi da eseguire.

La moltiplicazione differisce in maniera piu evidente dalle precedenti operazioni rispetto alprocedimento con i calculi. Le diapositive illustrano passaggio per passaggio il procedimentoattraverso un esempio. Si propongono poi alcuni esercizi.

Si conclude con la divisione, mostrando come si riduca a una moltiplicazione calcolando ilreciproco del divisore. Seguono gli esercizi relativi.

Numeri e conti presso gli antichi Sumeri - DiMaI...

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