Nozioni fondamentali di matematica per lostudio dell’economia

Fabio PadovanoCentro Studi delle Istituzioni -

Dipartimento di Istituzioni Politiche e Scienze SocialiUniversità Roma Tre

Tel: 0655176402; Fax: 0655176234e-mail: padovano@uniroma3.it

November 4, 2004

1 Prefazione: l’ansia da matematicaQueste dispense sono scritte per quegli studenti che ritengono che la matematicasia una materia “di¢cile” (ma la usano inconsapevolmente in ogni istante dellapropria vita), che a¤ermano di non capirla in quanto hanno fatto il classico(come me), che all’esame di economia mi assicurano di aver “capito la cosa aparole” ma non riescono a “capire i gra…ci e tantomeno le formule” (è moltopiù di¢cile ricordare ed esprimere un argomento solo a parole, senza l’aiutodei gra…ci e delle formule), che ritengono che la matematica sia una disciplinaessenzialmente diversa dall’inglese (entrambe sono lingue, ma la matematica èmadrelingua per tutti gli esseri umani, mentre l’inglese lo dobbiamo imparare)e che, in fondo, preferiscono ritenere che l’integrale sia un biscotto (questo è inparte vero).

Ma allora perché le a¤ermazioni che ho appena riportato e contestato sonocosì di¤use, e perché per molti studiare la matematica è come dover prendereuna medicina amara - un fatto necessario, ma del quale si farebbe volentieri ameno? Perché quando si apre un libro e lo si trova pieno di formule si pensasubito “Oh no, questo è di¢cile”? Perché a Stephen Hawkins, il …sico autoredel best seller Una breve storia del tempo sull’evoluzione della …sica moderna,gli editori hanno detto che per ogni formula ed equazione che lui avesse scrittoi lettori si sarebbero dimezzati?

Questa reazione alla matematica - che è stata studiata ed ha pure un nome,“l’ansia da matematica” - dipende in larga parte dal modo insano con cui spessoquesta disciplina viene insegnata agli studenti, nelle scuole e all’università.L’idea che sintesi signi…chi eleganza (il cosiddetto “rasoio di Occam”) fa sì che,specialmente nei libri di testo, le spiegazioni a parole siano spesso troppo esiguee concise; in breve, che siano spiegazioni che non fanno capire, che lasciano gli

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studenti pieni di dubbi e con la sensazione che la materia sia al di sopra dei loromezzi intellettuali. Sempre nei libri di testo uno stile espositivo eccessivamenteformale, astratto, teso a rendere le parole il più possibile formule, privo di il-lustrazioni che facilitino l’intuizione del concetto o di dimostrazioni della suaimportanza anche pratica riduce la voglia di imparare dello studente. Una pro-gressione non costante nel livello di complessità della materia può far sembrarecerti contenuti della matematica più ardui di quanto non siano in realtà. In…ne,la scelta di esercizi eccessivamente sos…sticati serve solo a distruggere la …duciadegli studenti, piuttosto che a stimolare le loro capacità di ri‡essione.

In queste dispense ho cercato, nei limiti del possibile e del tempo che mi èstato disponibile per scriverle, di eliminare simili cause di ansia da matematica.Ho scritto le spiegazioni cercando di usare una parola in più del necessario, piut-tosto che una in meno. Ho usato uno stile il più possibile semplice e colloquiale.Ho cercato di organizzare le spiegazioni in modo da anticipare, piuttosto chereagire, le domande che possono emergere nella mente dei lettori. In altre pa-role, ho cercato di minimizzare il tempo in cui il dubbio “mi sa che questo nonl’ho capito” rimane nella mente degli studenti. Ho cercato di scrivere le dispensenon di un corso di matematica “pura”, ma di matematica per le scienze sociali,in modo da rendere subito chiaro in che modo le tecniche matematiche servonoagli scopi di analisi delle scienze sociali. Ho cercato di visualizzare i concettimatematici con l’ausilio di molti gra…ci, sicuro che le facoltà visive del nostrocervello aiutino lo capacità di comprensione dei concetti. In…ne, non ho inseritoesercizi, ma questo è un limite, non un merito, di queste dispense, una lacunadovuta alla mancanza di tempo per eleborare problemi validi (e di trovarne lesoluzioni giuste!).

In…ne queste sono dispense, non un libro. Se lo diventeranno, dipende piùdagli studenti che le leggono, le usano, le commentano, ne trovano gli errori, ilimiti, le sciocchezze e riportano tutte queste sensazioni a me, che dall’autorestesso. Queste dispense sono una base, da cui progredire con un lavoro comune.Per questo sarò molto felice e grato per ogni sensazione che, in classe o dopo, mivogliate riferire, senza alcuna timidezza o “ansia da professore universitario”.Per questo motivo ho riportato sul frontespizio il mio recapito ed indirizzo e-mail. In fondo, se è vero che, come molti scienziati e professori universitaria¤ermano, che si insegna per imparare, deve essere anche vero che gli studentiche stanno in classe per apprendere devono avere molto da insegnare.

2 La matematica come linguaggioL’idea fondamentale che voglio trasmettere con queste dispense è che la matem-atica è un linguaggio. Precisamente è il linguaggio con cui si esprime il nostropensiero: le operazioni matematiche (uguaglianze, diseguaglianze e così via) es-primono relazioni tra grandezze che i nostri sensi percepiscono e che il nostrocervello valuta; le funzioni esprimono relazioni tra fenomeni che noi osserviamo(se il prezzo di un bene sale noi ne acquistiamo di meno, perché la quantitàdomandata dipende dal - è funzione del - prezzo); i famigerati teoremi non sono

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q u a n t i t à d o m a n d a t a

p r

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Figure 1:

altro che dei “pacchetti”di deduzioni logiche preconfezionati che ci assicurano ilraggiungimento di conclusioni coerenti con le premesse e ci risparmiano la faticadello sforzo deduttivo.

È assai semplice dimostrare che la matematica è un linguaggio. La leggedella domanda può essere espressa a parole: “ se il prezzo di un bene au-menta, la quantità di esso domandata diminuisce”; oppure mediante la funzioneQ = f (p) f 0 < 0, che signi…ca che se il prezzo p aumenta la quantità do-mandata Q diminuisce, in quanto la funzione f esprime una relazione inversa; oanche mediante il gra…co della …gura 1, dove ho riportato le quantità domandatesull’asse orizzontale e il prezzo sull’asse verticale (un’inversione alla consuetu-dine matematica che prevede la variabile indipendente - la “causa” - sull’asseorizzontale dovuta all’economista inglese Alfred Marshall). Il concetto è uno,solo espresso in tre modi, con tre linguaggi diversi. Se dicessi “when the priceof a commodity rises the quantity demanded decreases” non avrei che aggiuntoun quarto linguaggio.

La sua natura di linguaggio la rende applicabile a qualunque disciplina, sianoesse scienze …siche come scienze sociali. È utilizzabile in economia come in statis-tica, in sociologia come in scienza politica, a seconda che il fenomeno che si vuoledescrivere ricada nell’ambito di ciascuna di queste discipline. È, oltretutto unlinguaggio sempre più usato, in quanto tende a sostituire quello logico-letterarionella ricerca, nella produzione e divulgazione del sapere umano. Non a casoquando si aprono le migliori riviste di scienze sociali, (e …siche a fortiori), qualiil Journal of Political Economy, l’American Journal of Political Science, il Jour-nal of Sociology o il Journal of the American Statistical Association, è sempre

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più frequente trovare articoli che fanno un esteso uso della matematica nelle loroelaborazioni teoriche e veri…che empiriche. Quali sono, dunque, i vantaggi, peril lavoro scienti…co, della sostituzione del linguaggio logico-letterario, prevalentenelle scienze …siche …no al XVII secolo e in quelle sociali …no a metà del secoloscorso, con quello matematico? Quali, invece, gli svantaggi?

I vantaggi sono essenzialmente cinque, e gli svantaggi possibili uno.Primo vantaggio: il linguaggio matematico, con le ipotesi e le conclusioni

scritte mediante simboli piuttosto che parole, e le relazioni mediante equazionie funzioni piuttosto che frasi, è più sintetico e preciso di quello logico-letterario.La sintesi è una virtù perché consente di risparmiare energie mentali. Ci vuolemolto meno sforzo a portarsi appresso mentalmente due simboli piuttosto chedue concetti vaghi e complessi. Maggiori energie mentali possono quindi esseredestinate nel ragionamento deduttivo teso a scoprire le relazioni tra fenomeni.

Secondo vantaggio: essendo basata su teoremi, cioè di relazioni ipotesi-tesi(se succede questo - ipotesi - allora la conseguenza è quella -tesi) la matematicaspinge lo studioso ad essere preciso ed esplicito nella de…nizione delle proprieipotesi ad ogni stadio del ragionamento. Se l’ipotesi è vaga, imprecisa o nonspeci…cata, la conseguenza, la tesi, rimane dubbia oppure non segue. In questomodo la matematica aiuta il rigore scienti…co, che è la maggiore garanzia diqualità del nostro bagaglio di conoscenze.

Terzo vantaggio: i teoremi hanno una validità generale, nel senso che gen-eralizzano le conclusioni a tutte le circostanze che rientrano nelle ipotesi fatte.Gli studiosi possono quindi utilizzare teoremi già formulati in casi diversi, maa partire dalle assunzioni analoghe. Pensate all’ipotesi che gli individui cercanodi compiere qualunque azione con il minor sforzo possibile - tra i vari sportelliscelgono quello con la coda più breve, tra beni simili acquistano quello che costadi meno e così via. Non vi sempre molto simile alla scoperta scienti…ca che i…umi si scavano il percorso là dove trovano minore resistenza? Al principio …sicoche il moto si concentra nel punto di minor attrito? Gli studiosi hanno molto daimparare dalle scoperte delle altre discipline (si chiama pensiero laterale ) ancheperché possono applicare alla propria le scoperte, condensate in teoremi, fattein altre discipline. Questa interscambio è tanto più facile quanto più i vari ramidella scienza parlano una lingua comune - la matematica.

Rimane da capire perché bisogna usare la formalizzazione matematica in-vece che i più immediati e visivi metodi geometrici. Ecco il quarto vantaggio:la geometria ha il limite delle tre dimensioni (un gra…co quadridimensionalenon è disegnabile, e quelli tridimensionali sono già di di¢cile lettura), men-tre la matematica consente di trattare agevolmente fenomeni n dimensionali.Fenomeni con una causa sola o due nelle scienze sociali sono rari, e l’imposizionedi troppe condizioni di ceteris paribus può limitare le capacità di comprendereveramente la natura del fenomeno in esame.

Quinto vantaggio: nelle scienze, sociali e naturali, esiste il momento dellaelaborazione della teoria e il momento della veri…ca se i fatti confermano ofalsi…cano, nel gergo popperiano, la teoria. Molte scienze sociali hanno svilup-pato questo seconda fase del lavoro scienti…co ricorrendo alle metodologie elab-orate nella statistica, oppure sviluppando discipline empiriche proprie, come

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l’econometria per l’economia. Queste metodologie usano anch’esse uno strumen-tario essenzialmente matematico: pensate semplicemente alla media aritmetica,il modo più semplice di individuare una tendenza in un fenomeno. Pertantose le teorie sottoposte a test sono anch’esse espresse in forma matematica ilraccordo tra momento teorico e momento empirico del lavoro scienti…co è più‡uido e l’operazione di veri…ca empirica avviene in modo più preciso e rigoroso.Viene così ridotta al minimo la possibilità di falsi…care sbagliando teorie cheinvece descrivono bene la realtà (il cosiddetto errore di prima specie) oppure diaccettare sbagliando teorie che invece non rappresentano correttamente la realtà(errore di seconda specie).

La critica che viene di solito mossa all’impiego della matematica nelle scienzesociali è che le teorie derivate per via matematica sono essenzialmente astrattee irrealistiche. Questa critica è, a sua volta essenzialmente, priva di signi…cato.La teoria è, per sua stessa natura, un’astrazione della realtà. La teoria non èaltro che un mezzo per identi…care solo i fattori più importanti di una relazioneper poter studiare gli aspetti cruciali del problema, senza le complicazioni cheil mondo reale presenta. Supponiamo che dobbiamo andare da una città adun’altra e che la carta stradale sia la nostra teoria. Useremmo mai mappe conscala 1:1, che riproducono ogni zolla di terreno in tutti i suoi aspetti? No;sceglieremmo carte che riducono la realtà a quegli aspetti che noi interessano,come le distanze, i percorsi e a volte le altimetrie. Quella carta sarebbe unarappresentazione astratta, essenziale, e pertanto irrealistica del mondo realeche separa le due città. Pertanto non ha senso criticare una teoria perché èirrealistica: le teorie sono utili, interessanti nella misura in cui sono esplicative,nella misura, cioè, in cui ci aiutano a capire la realtà.

Una critica sensata relativa all’impiego della matematica nelle scienze socialiè, invece, quella della violazione del rasoio di Occam. Il rasoio di Occam (dalnome del …losofo tomista inglese William Occam, vissuto a cavallo tra il XIII e ilXIV secolo) è un principio di parsimonia della complessità: se esistono due modialtrettanto esplicativi (nel senso richiamato sopra) di spiegare un fenomeno,bisogna scegliere quello più semplice. È purtroppo vero che negli ultimi tempi,specie in economia, l’uso della matematica è a volte degenerato nel virtuosismo.Molti studi si distinguevano per l’impiego di concetti matematici sempre piùcomplessi che però nulla aggiungono alla nostra precedente comprensione dellarealtà. Ma questo è un problema relativo all’uso di qualunque tipo di linguaggio,non è intrinseco al linguaggio matematico. Non preferiamo infatti le persone che“parlano chiaro”?

3 I modelli matematiciL’espressione di una teoria in forma matematica è generalmente chiamata “mod-ello”. È una rappresentazione essenziale, un pò scheletrica se vogliamo, delfenomeno che vogliamo studiare. Da qui il termine “modello”. È “matematico”perché le sue componenti sono espresse in forma matematica.

In genere i modelli matematici sono organizzati in due fasi. Nella prima fase

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(organizzazione o setup del modello) si speci…cano le ipotesi del modello. Leipotesi svolgono il lavoro di sempli…cazione della realtà, di astrazione degli as-petti fondamentali da quelli ritenuti non rilevanti ai …ni della teoria. Le ipotesisi esprimono in forma matematica mediante una serie di equazioni che stabilis-cono le relazioni ipotizzate esistenti tra gli aspetti della realtà. Le variabili delmodello rappresentano matematicamente gli aspetti della realtà considerati nelmodello. Nel secondo stadio (detto della soluzione del modello) alle equazioniche esprimono le ipotesi vengono applicate operazioni e teoremi matematiciche consentono di derivare una serie di conclusioni, le predizioni della teoria.L’applicazione dei teoremi matematici garantisce che le conclusioni siano logi-camente coerenti con le ipotesi. Vediamo ciascuno di questi elementi in maggioredettaglio.

3.1 Gli ingredienti di un modello3.1.1 Variabili, costanti e parametri

Una variabile è un aspetto della realtà, una grandezza che può assumere diversivalori. Esempi di variabili in economia sono i prezzi, i pro…tti, il reddito, ilconsumo, le importazioni, le esportazioni e così via. Nella scienza politica sonovoti, seggi elettorali, durata delle legislatura e così via. Siccome il valore di unavariabile può cambiare, dobbiamo rappresentarla mediante un simbolo piuttostoche con un numero reale: p pertanto indica di solito il prezzo, ¼ il pro…tto,Y il reddito e così via. Se scriviamo, ad esempio, p = 3 oppure Y = 1000“blocchiamo” queste variabili a valori speci…ci.

Un modello può essere risolto per trovare le soluzioni di una data serie divariabili, ad esempio il prezzo che rende uguali quantità domandate e quantitào¤erte di un bene, o il livello di imposte che assicurano un gettito pari allespese pubbliche. Tali variabili, i cui valori sono generate dal modello, sonodette variabili endogene (generate dall’interno del modello). Il modello peròcontiene anche variabili i cui valori sono determinati, sulla base delle ipotesifatte, da variabili esterne al modello, e in quanto tali sono presi come dati.Queste sono le variabili esogene (generate all’esterno). A seconda dei modelli,cioè dei fenomeni in esame, una variabile può essere endogena in un modelloed esogena in altri. Se studiamo il mercato di un bene il suo prezzo è generatodal modello, mentre se studiamo il comportamento di un singolo consumatoredi quel bene generalmente si assume il prezzo come un dato.

Nei modelli le variabili appaiono di frequente accoppiate a dei numeri …ssio costanti, come nel caso 7p oppure 0:5R: Una costante è una grandezza il cuivalore, come dice la parola, non varia. Quando una costante è accoppiata aduna variabile è de…nita anche come il suo coe¤ciente.

I coe¢cienti possono essere espressi in forma numerica come sopra, ma anchein forma simbolica (per esempio, ap) spesso per conferire maggiore generalitàalla teoria. In questo caso il simbolo a ha una natura un pò schizofrenica: èuna costante che può assumere qualunque valore, in quanto non gli abbiamopreassignato alcun valore numerico. Per distinguerli da quelli numerici, i coef-

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…cienti simbolici sono de…niti parametri.

3.1.2 Equazioni e identità

Con le variabili noi rappresentiamo aspetti della realtà. Nelle scienze siamointeressati a scoprire le relazioni esistenti tra tali aspetti; essi quindi, e le variabiliche li rappresentano, acquistano interesse quando sono in relazione tra loro.Gli strumenti matematici con cui si rappresentano le relazioni tra variabili sichiamano equazioni e diseguaglianze. In questa fase ci occupiamo solo delleprime.

Le equazioni che si incontrano nei modelli matematici delle scienze socialisono di tre tipi: equazioni de…nitorie, equazioni comportamentali e condizionidi equilibrio.

Le equazioni de…nitorie, dette anche identità, de…niscono appunto una iden-tità tra due espressioni che hanno lo stesso signi…cato. Sono contraddistinte dalsimbolo ´, che si legge “è identicamente uguale a”. Se de…niamo il tasso diinteresse nominale i come la somma del tasso di interesse reale e del tasso diin‡azione atteso ¼e, possiamo de…nire la somma del tasso di interesse reale edel tasso di in‡azione atteso come il tasso di interesse nominale: sono la stessacosa, un’identità, appunto: i ´ r + ¼e :

Le equazioni comportamentali, invece, speci…cano in che modo si comportauna variabile in risposta al cambiamento del valore di un’altra variabile. Iden-ti…cano, cioè, una reazione. Tali reazioni possono riguardare sia il comporta-mento umano (il consumo diminuisce se il reddito diminuisce) come il compor-tamento non umano (i costi di un’impresa variano al variare della produzione).Per costruire una buona equazione comportamentale bisogna anzitutto capire,dall’osservazione della realtà, come le due grandezze sono legate tra loro e poitrovare l’equazione che meglio esprime (approssima) questo legame. Le seguentidue equazioni

C = 75 + 8QC = 75 + 16Q

illustrano due reazioni diverse dei costi C al variare della quantità Q prodotta:nella seconda il coe¢ciente di variazione è doppio rispetto alla prima; i costicrescono due volte più rapidamente. Su questo aspetto torneremo quando af-fronteremo le funzioni.

In…ne, se il modello prevede la nozione di equilibrio, possiamo incontrareanche le condizioni di equilibrio. Sono equazioni che descrivono i prerequisitiper il raggiungimento dell’equilibrio in un determinato contesto. Una famosacondizione di equilibrio in macroeconomia è l’eguaglianza tra risparmio S einvestimenti I

S = I (1)

Come si può vedere, tali equazioni non sono de…nitorie (risparmio e investi-menti sono due cose diverse) e neppure comportamentali: l’equazione (1) non

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ci dice nulla sul comportamento di risparmio e investimenti rispetto ad altrevariabili, oppure l’una rispetto all’altra. Le condizioni di equilibrio sono quindiuna classe a sé.

4 FunzioniAbbiamo visto che le equazioni comportamentali rappresentano in forma matem-atica il modo in cui, nella realtà, un fenomeno risponde ad un altro fenomeno(o più altri fenomeni). Tali modi possono essere diversi a seconda dei fenomeniin considerazione e del legame che intercorre tra loro. Tale legame ci dice chese un dato fenomeno appare (ipotesi: ad esempio il prezzo di un bene aumenta)di regola un altro fenomeno consegue (tesi: la quantità domandata del benediminuisce). Si tratta di rappresentare matematicamente tale legame. Lo stru-mento usato è chiamato funzione. Essendo un aspetto molto importante dellamatematica usata nelle scienze, lo tratteremo in un certo dettaglio.

Un legame di corrispondenza reciproca tra grandezze variabili retto da regoledeterminate viene chiamato legame funzionale o funzione. La sua rappresen-tazione generale in simboli è la seguente:

y = f (x)

e si legge: y è funzione di x. I simboli y e x rappresentano i valori di duegrandezze variabili (ad esempio, quantità domandata e prezzo di un bene), men-tre il simbolo f identi…ca il legame di corrispondenza stabilito fra le due variabilistesse. In altre parole, il valore via via assunto dalla grandezza y varia al vari-are dei valori della grandezza x, secondo la relazione stabilita da f . È in questosenso che si dice che la variabile y dipende dalla variabile x. Per questo mo-tivo la variabile y, che rappresenta il valore della funzione, viene detta variabiledipendente; la variabile x è chiamata variabile indipendente. Nel precedenteesempio, si può dire che la quantità domandata di un bene dipende dal prezzodel bene stesso.

Se si conosce il valore di una delle due variabili è possibile, conoscendoil legame funzionale, conoscere il valore corrispondente dell’altra. f , infatti,trasforma (“mappa”) ciascun valore che la variabile x può assumere in un val-ore della variabile y. Se il legame funzionale tra le stesse variabili y e x cambiae viene de…nito, per esempio, come:

y = h(x)

a medesimi valori di x corrisponderanno diversi valori di y rispetto al caso dellafunzione y = f (x). Questo perché, pur essendo le variabili y e x uguali, il legamefunzionale h è diverso dal legame f .

Una funzione che stabilisce un legame fra due sole grandezze viene dettafunzione ad una variabile indipendente. Se, invece, la funzione stabilisce unlegame fra una grandezza da un lato e due o più variabili indipendenti dall’altrosi parla di funzione a più variabili indipendenti. Ciascuna variabile indipendente

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della funzione viene anche chiamata argomento della funzione. Una funzione apiù variabili indipendenti può essere scritta nel seguente modo:

y = f (x1; x2; :::; xn)

Le funzioni presentate …nora sono espresse in forma generica : de…niscono, cioè,l’esistenza di una relazione che va da x ( o da una serie di variabili xi) a y, manon speci…cano di quanto varia y per ciascuna variazione di x. Per conoscerel’aspetto quantitativo del legame funzionale tra x e y bisogna rendere esplicitala funzione, esprimendola sotto forma di equazione. Un’equazione può, infatti,essere considerata anche come un modo per assegnare un valore ad una funzione.

Un esempio di funzione esplicita ad una variabile dipendente è dato dalprezzo di un biglietto della metropolitana di Londra. Il prezzo del bigliettodipende dalla lunghezza del percorso e¤ettuato. Si può quindi dire che il prezzodella biglietto sia funzione della lunghezza del percorso secondo una data regola,stabilita dalla metropolitana. Potremo scrivere, ad esempio:

p = 300 + 50mil

in cui p è il prezzo pagato e mil il numero di miglia percorse. In questo casola tari¤a stabilisce un prezzo …sso minimo di 300 pences, che si paga comunqueanche per i percorsi più brevi, oltre i quali il prezzo complessivo cresce in ragionedi 50 pences al miglio.

Il prezzo di una corsa in taxi, invece, dipende sia dalla lunghezza della corsa,sia dalla sua durata. In questo caso possiamo dire che il prezzo da pagare èfunzione di due variabili, distanza e durata. Potremo avere, ad esempio:

p = 6400 + 5000km + 500min

dove il simbolo min rappresenta la durata in minuti della corsa in taxi. In questocaso, il prezzo corrisposto è composto da una quota …ssa di 6400 lire, oltre laquale si paga un ammontare pari a 5000 lire per ogni chilometro percorso e a500 lire per ogni minuto di durata della corsa. In questo caso la funzione hadue argomenti, perché due sono le variabili indipendenti; il valore di 6400 lire è,infatti, costante.

Il legame funzionale fra due variabili può essere espresso anche in formaimplicita. Sono dette funzioni implicite quelle in cui non vi è una distinzioneformale tra variabile dipendente e variabile (o variabili) indipendenti. La rapp-resentazione generale in simboli della funzione implicita è la seguente:

F (x; y) = 0 (2)

In questo caso si parla di funzione implicita. Ogni funzione implicita può esseretrasformata in funzione esplicita rispetto ad una delle due variabili.

Un esempio di funzione implicita è la spesa complessiva per l’acquisto diun bene x da parte di un consumatore. Tale spesa è uguale al prodotto dellaquantità del bene x acquistata per il prezzo di mercato di x. Se S è la spesa,px il prezzo e qx la quantità del bene x acquistata, potremo scrivere:

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S ¡ pxqx = 0

Per rendere esplicita tale funzione possiamo dire che la spesa di un consumatoredel bene x dipende dal prezzo del bene, px, e dalla quantità di esso acquistata,qx . Si potrà così scrivere la seguente funzione esplicita:

S = f (px; qx)

dove f indica una funzione diversa da F dell’equazione (2).

5 Tipi di funzioni e loro rappresentazioni gra-…che

In questo paragrafo illustreremo i tipi di funzioni che più frequentemente ri-corrono nello studio dell’economia. Tratteremo le funzioni lineari, esponenziali,paraboliche e iperboliche.

5.1 Funzioni lineariUna funzione del tipo:

y = ax + b (3)

è una funzione lineare, che viene così de…nita perché la sua rappresentazionegra…ca in un sistema di assi cartesiani è una linea retta.

Per ottenere una rappresentazione gra…ca della funzione (3) occorre anzituttoassegnare ai parametri a e b valori numerici de…niti. Poiché sia a che b possonoessere positivi, negativi o nulli, abbiamo le seguenti 9 combinazioni possibili:

1 a > 0b > 0 2 a > 0

b < 0 3 a > 0b = 0

4 a < 0b > 0 5 a < 0

b < 0 6 a < 0b = 0

7 a = 0b > 0 8 a = 0

b < 0 9 a = 0b = 0

Il sistema di assi cartesiani delle …gure 2-7 misura, lungo l’asse orizzontale(ascisse), i valori della variabile indipendente, x; lungo l’asse verticale (ordi-nate) i valori della variabile dipendente, y1 . Consideriamo ora il caso 1), in cuiambedue i parametri sono positivi. Un possibile esempio di questo caso è ilseguente:

1 In alcuni testi sulle ordinate la variabile y viene riportata come f (x), cioè come funzionedella sua variabile indipendente; infatti y = f (x).

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Figure 2:

y = 4x + 3

dove, evidentemente, abbiamo attribuito i seguenti valori: a = 4 e b =3. Predisponiamo una tabella su due righe, annotando nella riga superiorevalori arbitrari attribuiti alla variabile x; nell’altra i valori corrispondenti dellavariabile y, ricavati dal calcolo della equazione y = 4x + 3. Avremo il seguenterisultato:

x ¡3 ¡2 ¡1 0 1 2 3y ¡9 ¡5 ¡1 3 7 11 15

Riportando queste coppie di valori lungo i due assi e ricercando nel dia-gramma i punti corrispondenti ad ogni coppia, si individua la linea della …gura2.

Lo stesso procedimento può essere ripetuto per individuare le rappresen-tazioni gra…che degli altri 8 casi. Un esempio del caso 2) (a positivo, b negativo)può essere il seguente:

y = 4x ¡ 3

Per il caso 3) (a positivo, b uguale a zero) possiamo avere:

y = 4x

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Figure 3:

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x

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Figure 4:

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x

y

Figure 5:

Per i casi 4), 5) e 6) potremo scrivere, rispettivamente:

y = ¡4x + 3y = ¡4x ¡ 3

y = ¡4x

I casi 7), 8) e 9), in cui a = 0, non presentano interesse ai …ni dell’illustrazionedella funzione di tipo lineare. Se, infatti, il parametro a è nullo non esiste alcunacorrispondenza fra le due variabili. In termini gra…ci, la funzione individua unpunto nello spazio cartesiano, non una linea.

Le …gure 2-7 illustrano gra…camente i casi 1) - 6) sopra individuati. Dal loroesame si possono trarre le seguenti tre conclusioni:

1. la rappresentazione gra…ca di una funzione del tipo y = ax + b (dove a eb sono coe¢cienti costanti) è una linea retta;

2. se il termine costante è nullo (se, cioè, b = 0), la retta passa per l’originedegli assi. Se, invece, b 6= 0, la funzione attraverserà l’asse delle ordinatead un valore positivo (nel caso in cui b > 0) o negativo (nel caso in cuib < 0) in corrispondenza di un valore zero di x. Il valore della variabiley corrispondente ad un valore 0 di x viene chiamato intercetta verticale(positiva o negativa) della funzione;

3. se il coe¢ciente a è positivo, la retta è crescente; se è negativo, la retta èdecrescente.

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Figure 7:

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Figure 8:

Un esempio, tra i molti possibili, di impiego di funzioni lineari in economiaè la retta di bilancio a cui è soggetto il consumatore di due beni.

Più in generale le funzioni lineari sono frequenti nelle scienze sociali perché leteorie, essendo delle sempli…cazioni della realtà, tendono a ricorrere a forme didipendenza semplici, quali appunto quelle rappresentate dalle funzioni lineari.Inoltre, come mostra la …gura 8, fenomeni non lineari (quale l’andamento ciclicodi y in …gura - potrebbe essere un business cycle) possono essere scomposti eapprossimati mediante una serie di funzioni lineari.

5.2 Funzioni esponenzialiUna funzione si dice esponenziale se una delle variabili che la compongono com-pare come esponente:

y = ax

Se consideriamo solo valori positivi di x, avremo come rappresentazione gra…cauna curva crescente. Se x = 0, il valore della funzione risulta sempre uguale a 1;qualsiasi numero, infatti, elevato all’esponente zero, dà come risultato l’unità.In tale caso, l’intercetta positiva della funzione è uguale a 1. Si veda al propositola …gura 9.

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35

40

0 1 2 3 4 5 6 7

x

y

Figure 9:

Un esempio di uso di funzioni esponenziali in economia si ha nello studiodella crescita del prodotto interno lordo pro capite. L’economista Robert Solowha dimostrato come, tra le varie cause, il reddito pro capite nei paesi industri-alizzati è cresciuto costantemente dal dopoguerra ad oggi a causa del progressotecnologico. Successivi studi hanno evidenziato come, là dove tale progresso èpiù pronunciato, si creano le condizioni migliori per ulteriori innovazioni e, diconseguenza, per un progresso ancora più rapido e per una sempre maggiorecrescita del reddito pro capite (questa è, per inciso, una delle cause del divariotra i paesi industrializzati e il Terzo Mondo). Una simile dinamica del redditopro capite è approssimabile con una funzione esponenziale - non a caso, infatti,si parla di crescita esponenziale del reddito.

5.3 Funzioni parabolicheUn esempio di funzioni esponenziali frequentemente usato sono le funzioni par-aboliche. La rappresentazione generale di una funzione parabolica è la seguente:

y = ax2 + bx + c (4)

Le funzioni paraboliche sono funzioni quadratiche, nel senso che uno degli argo-menti è elevato al quadrato.

È utile precisare che l’esponente di valore più elevato a cui è elevata lavariabile indipendente (o una delle variabili indipendenti, nel caso delle funzionia più argomenti) indica il grado della funzione. La funzione (8) può esserechiamata una funzione di secondo grado, perché l’esponente di valore più elevato

16

-10

0

10

20

30

40

50

-6 -4 -2 0 2 4 6

Figure 10:

a cui è elevata la variabile indipendente è pari a 2. Una funzione lineare è unafunzione di primo grado, in quanto x1 = x. Una funzione quale:

y = x3 + x2 + 5

è una funzione di terzo grado, e così via.Dal punto di vista gra…co, la rappresentazione gra…ca di una funzione quadrat-

ica è una parabola. A titolo di illustrazione consideriamo i seguenti tre casi:

1a = 1b > 0c > 0

2a = ¡1b < 0c > 0

3a = 1b = 0c = 0

Introducendo valori numerici al posto di quelli simbolici, possiamo proporrei tre esempi seguenti:

y = x2 + 4x + 2y = ¡x2 + 4x + 2y = x2

Dalle rappresentazioni gra…che delle …gure 10-12 possiamo pervenire alle seguenticonclusioni:

1. un’equazione quadratica avente il coe¢ciente a positivo dà luogo ad unaparabola col vertice nel suo punto minimo (…gura 10);

2. un’equazione quadratica avente coe¢ciente a negativo dà luogo ad unaparabola col vertice nel suo punto massimo (…gura 11);

3. un’equazione quadratica avente il coe¢ciente b e il termine costante nullidà luogo ad una parabola avente il vertice nell’origine degli assi (…gura12).

17

-50

-40

-30

-20

-10

0

10

-6 -4 -2 0 2 4 6

Figure 11:

0

5

10

15

20

25

30

-6 -4 -2 0 2 4 6

Figure 12:

18

Le funzioni di costo medio di un’impresa vengono a volte rappresentate me-diante funzioni quadratiche. I costi produttivi totali sono infatti composti dacosti …ssi, indipendenti dalla quantità di beni prodotti dall’azienda (ad esempio,i costi per l’acquisto di un capannone esistono anche se l’azienda non produce) ecosti variabili, legati all’uso dei fattori produttivi nel processo di produzione (adesempio, i salari dei lavoratori). Nella funzione (4) i costi totali sono rappresen-tati da y, i costi …ssi sono rappresentati dal termine costante c, mentre i costivariabili tendono ad avere l’andamento impresso dai valori di x; dove x indica laquantità di fattori produttivi impiegati. L’andamento quadratico delle funzionidi costo dipende dal fatto che, man mano che la produzione si espande, i fattoriproduttivi disponibili diventano sempre più scarsi, e devono quindi essere pagatisempre di più.

5.4 Funzioni iperbolichePrendiamo in esame la seguente funzione:

(x ¡ a)(y ¡ b) = c

Come esempio, prendiamo un caso in cui i parametri siano positivi:

(x ¡ 4)(y ¡ 8) = 18

La rappresentazione gra…ca è data dalla …gura 13. Dal gra…co si può vedereche questa funzione dà luogo ad una curva discontinua, articolata in due ramidistinti, a seconda che l’una o l’altra variabile assuma valori positivi o negativi.Ciascuno dei due rami, inoltre, tende a raggiungere un valore minimo delle duevariabili in corrispondenza di un valore in…nito dell’altra.

Nel caso particolare in cui si abbia a = b = 0, la funzione si riduce allaforma:

xy = c

La rappresentazione gra…ca di questa forma funzionale è data nella …gura 12.In questo caso i due rami della curva tendono ad avvicinarsi agli assi, senzatoccarli mai se non a valori in…niti dell’altra variabile. In questo caso si dice chela funzione tende asintoticamente agli assi.

Alcuni tipi di curve di indi¤erenza tra due beni vengono rappresentate me-diante funzioni paraboliche, limitate al quadrante positivo degli assi cartesiani.Le curve di indi¤erenza, infatti, identi…cano combinazioni di consumo di beniche danno al consumatore lo stesso livello di soddisfazione; per questo motivoil consumatore è indi¤erente tra le varie combinazioni possibili. Le funzioniiperboliche, come quelle riportate sopra, rappresentano bene questo concetto,in quanto esprimono combinazioni tra più variabili che risultano sempre ugualiad un valore costante.

19

Figure 13:

5.5 Valore assoluto e logaritmoIl valore assoluto di un numero è una funzione f (x) tale che:

f (x) =½

x se x ¸ 0¡x se x < 0

¾

È possibile cioè determinare il valore assoluto di un numero semplicemente elim-inandone il segno. Il valore assoluto di x si scrive jxj.

Il logaritmo (naturale) di x rappresenta una particolare funzione di x, chescriviamo y = ln x oppure y = ln(x): Il logaritmo è una funzione che gode delleseguenti proprietà:

ln(xy) = ln(x) + ln(y)

per qualsiasi numero positivo x e y e

ln(e) = 1

dove e è la base dei logaritmi naturali, ed è uguale a 2,7183....La prima delle espressioni precedenti signi…ca che il logaritmo del prodotto di

due numeri è uguale alla somma dei logaritmi dei due numeri. Questa proprietàimplica la seguente

ln(xy) = y ln(x)

20

cioè il logaritmo di x elevato alla potenza y è uguale al prodotto di y per illogaritmo di x.

5.6 Proprietà rilevanti delle funzioniUna funzione è detta continua se può essere disegnata senza sollevare la matitadal foglio: in una funzione continua non vi sono salti. Ad esempio, le funzionirappresentate …nora sono tutte continue, con l’eccezioni di quelle iperboliche:non è possibile, infatti, disegnare le due curve della …gura 13 con un unico trattodi penna.

Una funzione derivabile è una funzione che non presenta angoli o spigoli.Nella …gura 9 la linea curva è una funzione derivabile, mentre la sua approssi-mazione lineare ha 3 spigoli; non è quindi derivabile.

Una funzione monotòna è una funzione costantemente crescente o decres-cente: una funzione monòtona positiva e costantemente crescente al cresceredi x, mentre una funzione monòtona negativa è costantemente decrescente alcrescere di x. Trasformazioni monotòne di una funzione ne cambiano il valorenumerico senza in‡uenzare l’andamento. Tipici esempi di funzioni monotònesono o¤erti dai cambiamenti di unità di misura delle variabili. Il reddito di unapersona espresso in lire ha una certa evoluzione; se espresso in euro ha la stessaevoluzione, solo si troverà a valore 1936,27 volte più in basso sull’asse delle y -detto anche asse dei valori.

5.7 Funzioni inverseSi ricordi che una funzione è una relazione che associa a ciascun valore di xun unico valore di y, e che una funzione monòtona è costantemente crescente odecrescente. Ne consegue che per una funzione monotòna vi sarà un unico valoredi x associato a ciascun valore di y: Nella funzione diretta a seconda del valoredella variabile indipendente x desumiamo il valore di y. Nella funzione inversaa partire da ciascun valore della variabile y si desume un unico valore dellavariabile x: Notate che l’ottica con la quale nella funzione inversa si osserva larelazione tra x e y è invertita rispetto alla funzione diretta (non a caso si chiamafunzione inversa).

Le funzioni inverse sono utili specialmente nei casi in cui nella funzionediretta la variabile indipendente x sia per qualche motivo non osservabile o nonmisurabile (ad esempio perché esprime un concetto astratto quale l’utilità di unbene) mentre la variabile dipendente y è quanti…cabile (ad esempio, le quantitàconsumate di un bene). Tale situazione presenta il problema di come attribuire ivalori alla variabile indipendente. È quindi opportuno rovesciare l’ottica usandola funzione inversa, in maniera da avere la variabile indipendente misurabile (lequantità y consumate del bene) e calcolare tramite la funzione il valore dellavariabile non osservabile (l’utilità x del consumatore).

Il calcolo della funzione inversa è molto semplice. Se è noto il valore di y infunzione di x, è possibile calcolare la funzione inversa semplicemente risolvendoper x in funzione di y. Se, ad esempio, y = 2x, la funzione inversa sarà x = y

2 :

21

Figure 14:

Non tutte le funzioni dirette hanno una inversa. Se, ad esempio, y = x2; perqualsiasi y il valore della funzione potrà essere ottenuto elevando al quadratosia x = +py che x = ¡py; non vi sarà quindi un unico valore di x associato aciascun valore di y:

6 PendenzaPrendiamo ora in esame la linea retta che compare nella …gura 14. Se immag-iniamo che tale linea rappresenti una strada in salita potremo giudicare a occhioche la pendenza della strada è costante lungo l’intero percorso e, quindi, in tuttii punti della linea. Come è noto, la pendenza misura la variazione di altitudinesul livello del mare per ogni unità di spostamento in una data direzione: se unastrada in salita che si dirige da nord a sud ha una pendenza del 15% ciò signi…cache per ogni chilometro percorso in direzione sud l’altitudine sul livello del marecresce di 150 metri.

In economia, la funzione di o¤erta di un bene possiede una inclinazionepositiva. Quando questa funzione assume un andamento lineare, la pendenzapositiva indica di quanto aumenta la quantità o¤erta del bene in seguito ad undato aumento del prezzo del bene stesso, e viceversa.

Tornando alla linea retta della …gura 14, possiamo dire che la sua pendenza(così come quella di qualsiasi retta) misura la variazione della grandezza rapp-resentata lungo uno dei due assi che si accompagna ad una variazione unitaria

22

Figure 15:

dell’altra grandezza. In questo caso si suppone che l’unità di misura abbia unvalore molto piccolo, tendenzialmente in…nitesimale.

Poiché la linea della …gura 14 è generata da una funzione y = f (x) e giacchégli assi cartesiani misurano sulle ordinate il valore della funzione y e sulle ascisseil valore della variabile indipendente x, possiamo anche dire che la pendenzadella linea misura la variazione nel valore della funzione determinata da unavariazione unitaria della variabile indipendente.

Nel caso di linee rette, il calcolo della pendenza è assai semplice. Nella …gura14 per misurare la pendenza della linea nel punto B basta calcolare il rapportofra la lunghezza del segmento AB e la lunghezza del segmento 0B.

In trigonometria ciò equivale a misurare il rapporto tra il seno e il cosenodell’angolo formato dalla linea retta con l’asse delle ascisse o, in modo equiva-lente, la tangente trigonometrica dell’angolo .

Infatti:

sin ®cos ®

´ tan ® =AB0B

La pendenza risulta positiva se la linea retta è crescente; in questo caso, infatti,se si assegnano valori via via crescenti alla variabile x anche la funzione y as-sume valori crescenti. La pendenza risulta invece negativa se la linea retta èdecrescente; in tale caso a valori crescenti di x corrispondono valori decrescentidi y.

Qualora si voglia misurare la pendenza di una linea curva, il procedimento

23

è lievemente più complesso. Una strada contraddistinta da un tratto in salitaseguito da un tratto in discesa presenta pendenze diverse. La pendenza di unacurva, quindi, assume un valore diverso in ogni punto della curva stessa. Nella…gura 15, ad esempio, è chiaro che la pendenza della curva risulta via via mag-giore in corrispondenza di valori più elevati della variabile x. Di conseguenza, lamisurazione della pendenza di una curva deve essere e¤ettuata separatamenteper ogni suo singolo punto.

Scegliamo, per esempio, il punto B e misuriamo la pendenza della linea inquel punto. A tale scopo, conduciamo la retta tangente alla curva nel punto B; lapendenza di tale retta (misurata dall’ampiezza dell’angolo ) misura la pendenzadella curva nel punto B. La pendenza risulta positiva o negativa a seconda chela curva sia crescente o decrescente.

7 DerivataÈ possibile calcolare il valore della pendenza di una linea (retta o curva) an-che senza fare ricorso a costruzioni gra…che e/o trigonometriche, ma operandodirettamente sull’espressione funzionale.

L’operazione che si compie a tale scopo è detta di¤erenziazione. Il risul-tato di tale operazione è chiamato derivata della funzione, in quanto si trattadi una nuova funzione derivata dalla funzione originaria (o, più precisamente,primitiva). In particolare, possiamo dire che:

1. la derivata di una funzione y = f (x) misura come e quanto varia y inseguito ad una variazione in…nitamente piccola (detta anche puntuale)della variabile indipendente x;

2. la derivata di una funzione viene ottenuta e¤ettuando sulla funzione unaoperazione chiamata di¤erenziazione;

3. la derivata di una funzione misura il valore della pendenza della linea cheè la rappresentazione gra…ca della funzione stessa.

La derivata di una funzione y = f (x) può essere indicata con vari simboli:

dydx

´ ddx

f (x) ´ f 0(x)

Il concetto di derivata si applica anche alle funzioni a più variabili (argomenti).In tale caso si de…nisce derivata parziale di una funzione a più variabili la vari-azione nel valore della funzione che si accompagna ad una variazione in…nita-mente piccola di una delle variabili, allorché tutte le altre variabili conservanoimmutato il proprio valore. È questa la condizione di ceteris paribus che dis-tingue l’analisi di equilibrio parziale da quella di equilibrio generale. La derivataparziale rispetto ad una variabile xi di una funzione y = f (x1; x2; :::; xn) puòessere indicata nei seguenti modi:

@y@xi

´ @@xi

f (x1; x2; :::; xn) ´ f 0(x1; x2; :::; xn)

24

Partendo da una funzione a più variabili si possono calcolare tante derivateparziali quante sono le variabili indipendenti. Ovviamente, ciascuna derivataparziale potrà assumere valori diversi in relazione ai diversi valori assunti daciascuna variabile.

In economia esempi di derivate parziali possono essere tratti dalla funzionedi domanda di un bene. Avendo più argomenti (prezzo del bene, prezzo deglialtri beni complementari e succedanei, reddito e gusti del consumatore) talefunzione può essere di¤erenziata rispetto a ciascuno di essi. Se, ad esempio,consideriamo la seguente funzione di domanda:

Qdx = q(px; pi 6=x; Y ; °)

dove Qdx indica la quantità domandata del bene x, che è funzione q del prezzo

dello stesso bene (px), del prezzo degli altri beni diversi da x (pi 6=x), del redditoe dei gusti del consumatore (rispettivamente, Y e °), possiamo avere le seguentiderivate parziali:

@ Qdx

@px< 0 @ Qd

x@pi 6=x

S 0 @ Qdx

@ Y > 0 @Qdx

@° ? 0

Il segno negativo della prima derivata parziale indica che la quantità domandatadi un bene diminuisce all’aumentare del prezzo dello stesso bene, ferme restandole altre variabili (prezzo di altri beni, reddito, gusti).

Sempre ferme restando le altre variabili, la seconda derivata parziale evi-denzia che la quantità domandata del bene x aumenterà, resterà invariata odiminuirà al crescere del prezzo degli altri beni i diversi da x, a seconda chequesti beni siano, rispettivamente, complementari, indipendenti o succedaneiad x. Se, ad esempio, supponiamo che il bene i sia il ca¤è e il bene x lo zuc-chero, un aumento del prezzo del ca¤è produrrà una riduzione della domanda dizucchero, perché si potrà acquistare meno ca¤è e ci sarà, quindi, minor bisognodi zucchero; al proposito si dice che zucchero e ca¤è sono beni complemen-tari. La derivata parziale avrà, quindi, un segno negativo. Se il prezzo delbiglietto aereo Roma-Milano (bene i) aumenta, ci saranno più viaggiatori chepreferiranno prendere il treno (bene x) e si domanderà un maggior numero dibiglietti ferroviari. Trasporto aereo e ferroviario sono, in altre parole, beni suc-cedanei. La derivata parziale della quantità domandata dell’un bene rispettoal prezzo dell’altro bene presenterà, quindi, un segno positivo. Ma se il prezzodello zucchero (bene i) aumenta, la domanda di biglietti aerei (bene x) resteràprobabilmente invariata, in quanto zucchero e trasporto aereo sono beni tra loroindipendenti.

La terza derivata parziale indica che un aumento del reddito del consumatoreprodurrà, ceteris paribus, un aumento della quantità domandata del bene x. In-…ne un cambiamento dei gusti del consumatore farà aumentare la domanda deibeni che, in base ai nuovi gusti, gli procurano maggiore soddisfazione e diminuirela domanda dei beni che gli procurano minore soddisfazione. Ad esempio, uncambiamento dei gusti a favore della musica rap e sfavore della prima predomi-nante musica rock farà aumentare la domanda di dischi di Jovanotti e diminuirequella dei dischi dei Rolling Stones.

25

8 Regole per il calcolo della derivata di una fun-zione

Le prime 6 sezioni di questo paragrafo sono dedicate alle regole per il calcolodella derivata di diversi tipi di forme funzionali, tutte, però, esplicite e con unasola variabile dipendente. La sezione 7 estende tali regole al caso delle derivateparziali, mentre la sezione 8 si occupa delle derivate di funzioni implicite.

8.1 Derivata di una funzioneEsaminiamo la funzione:

y = xn

La sua derivata è pari a:dydx

(xn ) = nxn¡1

Un esempio di calcolo di una derivata di una funzione è il seguente:

y = 6x4

dydx

(x) = 4 £ 6x4¡1 = 24x3

Corollario 1. La derivata della funzione y = x è uguale ad 1. Si consideriinfatti:

dydx

(x) = x1¡1 = x0 = 1

Corollario 2. La derivata di una costante è uguale a zero; infatti una grandezzacostante per de…nizione non varia al variare delle altre grandezze.

In economia, un caso di funzione con derivata prima uguale a zero è lafunzione di produzione a costi medi costanti. In base a tale funzione, un aumentodelle quantità prodotte produce, ovviamente, una variazione dei costi totali diproduzione, ma non dei costi medi; i costi marginali, misurati appunto dalladerivata prima della funzione dei costi totali rispetto alle quantità prodotte,sono pertanto costanti (e uguali ai costi medi) a qualunque livello di prodottovengano valutati. Un’applicazione di funzione di costi medi costanti è fornitodai cosiddetti beni pubblici, studiati in scienza delle …nanze. Sono beni di cuiil consumo da parte di un individuo in più non sottrae possibilità di consumoad altri individui. In questo senso, l’aggiunta di un consumatore ha un costomarginale costante, pari a zero. Un monumento, quale il Colosseo, è de…nitoun bene pubblico: la sua costruzione ha comportato un certo costo ma, unavolta terminato, l’aggiunta di un turista in più, sia esso britanno (a suo tempo)o giapponese (oggi), non impedisce agli altri turisti nella piazza di ammirareil Colosseo. Il costo marginale di ciascun turista è zero. Se consideriamo ilseguente esempio di funzione di produzione a costi medi costanti:

C(Q) = 800Q

26

dove C indica il costo totale della produzione della quantità Q del beneprodotto. Il costo marginale (MC ), misurato dalla derivata prima sarà:

MC ´ dCdQ

= 800

e il costo medio, AC = C(Q)Q ; sarà pari a

AC =C (Q)

Q=

800QQ

= 800 = MC

lo stesso valore del costo marginale.Il caso del bene pubblico è invece rappresentabile mediante una funzione con

totali costanti del tipo:C(Q) = 1500

dove Q indica, questa volta, il numero di turisti e C il costo totale di far visitareil monumento a Q turisti. Il costo marginale (M C), cioè il costo di far visitareil monumento al Q-esimo turista, sarà:

M C ´ dC (Q)dQ

= 0

Siccome far visitare il monumento a un turista in più non comporta costiaggiuntivi, la visita da parte di costui non sottrae possibilità di visita ad altrituristi. Non vi sono costi dovuti a fenomeni quali a¤ollamento o deperimentodel monumento.

8.2 Derivata di una somma (o di¤erenza) di funzioniLa derivata di una somma di funzioni è uguale alla somma delle derivate dellesingole funzioni. Analogamente, la derivata di una di¤erenza di funzioni è ugualealla di¤erenza delle derivate delle singole funzioni.

Se h e g sono due funzioni, entrambe con x come argomento, avremo:

ddx

[h(x) § g(x)] =dhdx

§ dgdx

Un esempio di derivata di una somma di funzioni può essere:

y = 5x3 + 20xdydx

= 15x2 + 20

In modo analogo, un esempio di derivata di una di¤erenza di funzioni è ilseguente:

y = 5x3 ¡ 20xdydx

= 15x2 ¡ 20

27

8.3 Derivata di un prodottoLa derivata di un prodotto è uguale alla somma dei due fattori ciascuno molti-plicato per la derivata dell’altro.

Se h e g sono due funzioni, entrambe con x come argomento, avremo:

ddx

(h £ g) = gdhdx

+ hdgdx

Ad esempio:

y = 35x4(5 + 20x3)dydx

= 140x3(5 + 20x3) + 35x4(60x2)

8.4 Derivata di un quozienteLa derivata di un quoziente è uguale ad un rapporto che ha per denominatoreil quadrato del denominatore della funzione e per numeratore la di¤erenza frail denominatore della funzione moltiplicato per la derivata del numeratore dellafunzione, da un lato, e il numeratore della funzione moltiplicato per la derivatadel denominatore della funzione, dall’altro.

Se he g sono due funzioni, entrambe con x come argomento, avremo:

ddx

µhg

¶=

g dhdx ¡ h dg

dxg2

Di¤erenziamo, ad esempio, la seguente funzione:

y =6x3

4x + 6Otteniamo:

y =(4x + 6)18x2 ¡ 24x3

(4x + 6)2

8.5 Derivata di una funzione esponenzialeLa derivata di una funzione esponenziale è uguale alla funzione stessa moltipli-cata per la derivata dell’esponente.

y = ax

dydx

= axn £ nxn¡1

Ad esempio:

y = 4(3x3+5)

dydx

= 4(3x3+5) £ 9x2

28

8.6 Derivata di una funzione logaritmicaLa derivata di una funzione logaritmica è uguale all’inverso della funzione stessamoltiplicato per la derivata della funzione.

Sia h una funzione avente x come argomento. Avremo:

ddx

ln(h) =1h

dhdx

Ad esempio

y = ln(4x2 + 5)dydx

=1

4x2 + 5£ 8x

8.7 Derivate parzialiLe regole sopra indicate si applicano anche al calcolo delle derivate parziali.Bisogna però tenere presente che, allorché si di¤erenzia una funzione rispettoad una qualsiasi variabile, tutte le altre variabili vengono considerate comegrandezze costanti.

Prendiamo, ad esempio, la seguente funzione a due argomenti:

y = f (x1; x2) = 4x31 ¡ 1

4x2

2

Le sue derivate parziali sono:

@y@x1

= 12x21

@y@x2

= ¡ 12x1

Oppure, nel caso della funzione:

y = f (a; b) = (a ¡ 1)(b ¡ 1)

Le derivate parziali sono:

@y@a = (b ¡ 1) @ y

@b = (a ¡ 1)

8.8 Derivata di una funzione implicitaLa derivata di una funzione implicita è uguale al rapporto inverso fra le derivateparziali, cambiato di segno:

F (x1;x2) = 0

@x1

@x2= ¡

@F@x2@F@x1

Prendiamo ad esempio la seguente funzione implicita

29

(x1 ¡ 1)(x2 ¡ 2) ¡ 25 = 0

Avremo:

@x1

@x2= ¡x1 ¡ 1

x2 ¡ 2

9 Derivate di ordine superiore alla primaNei casi in cui la derivata di una funzione è a sua volta una funzione, è possibilee¤ettuare l’operazione di di¤erenziazione anche sulla derivata prima. Il risultatodi questa operazione viene chiamato derivata seconda della funzione.

La derivata seconda misura di quanto varia la derivata prima in corrispon-denza di una variazione in…nitamente piccola della variabile indipendente. Tor-nando alla interpretazione della funzione come il piano di una strada, la derivataseconda misura di quanto varia la pendenza della strada per ogni spostamentounitario in una data direzione.

Le regole di calcolo delle derivate seconde sono identiche a quelle illustrateper le derivate prime. La derivata seconda viene indicata con questi simboli:

f 00(x) ´ d2ydx2

Ad esempio, prendiamo la funzione:

y = 4x3 + 6x + 20

la sua derivata prima è:

dydx

= 12x3 + 6

la sua derivata seconda è:

d2ydx2 = 24x

Nel caso sopra indicato l’operazione della di¤erenziazione può essere ancoraapplicata alla derivata seconda per calcolare il valore della derivata terza. Leregole per il calcolo delle derivate terze e di ordine ancora superiore sono lemedesime che si applicano per il calcolo delle derivate prime e seconde.

È bene tenere presente che non tutte le funzioni possiedono derivate superiorialla prima. Una funzione lineare possiede solo una derivata prima, mentre tuttele derivate successive alla prima sono nulle; una funzione quadratica possiedesolo derivate prima e seconda diverse da zero; una funzione cubica può esseredi¤erenziata …no alla derivata terza, e così via.

30

-10

-5

0

5

10

15

20

25

30

35

-4 -2 0 2 4 6 8

y

x

Figure 16:

10 Rappresentazione gra…ca delle derivateLe derivate, essendo espressioni funzionali, possono essere rappresentate gra…-camente. In questo paragrafo forniremo qualche esempio, soprattutto al …ne dichiarire ulteriormente il concetto di derivata.

10.1 Derivata di una funzione lineareUna funzione lineare primitiva quale quella espressa dall’equazione (5) e rap-presentata dalla …gura 16 possiede solo una derivata prima, che è costante epari a 4 (equazione (5)). La …gura 17 rappresenta la funzione derivata della(5). Il valore della funzione (6) dy=dx è pari a 4 qualunque sia il valore assuntodalla variabile x : la linea infatti è una retta parallela all’asse delle ascisse conintercetta verticale pari a 4.

y = 4x + 6 (5)

dydx

= 4 (6)

10.2 Derivata di una funzione quadraticaUna funzione quadratica possiede derivate prima e seconda. La prima è unafunzione lineare, la seconda è costante .

31

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

4

4,5

0 5 10 15 20 25 30

x

d y / d x

Figure 17:

y = 4x2 + 6dydx

= 8x

d2ydx2 = 8

32

0

50

100

150

200

250

300

350

0 2 4 6 8 10

x

y

0

10

20

30

40

50

60

70

80

0 2 4 6 8 10

x

d y / d x

33

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0 2 4 6 8 10

x

d2

y /

d x

2

10.3 Derivata di una funzione cubicaUna funzione cubica possiede derivate prima e seconda diverse da zero e noncostanti.

y = 4x3 + 6dydx

= 12x2

d2ydx2 = 24x

11 Sistemi di equazioniEsistono casi in cui una stessa variabile indipendente (o un insieme di variabiliindipendenti) è legata, sia pure tramite rapporti funzionali diversi, a una plural-ità di variabili dipendenti. È evidente che il valore di queste variabili dipendentiviene determinato simultaneamente dai valori assunti dalla variabile indipen-dente. Inoltre, si può dare anche il caso in cui una variabile indipendente di unafunzione (ad esempio, y = f (x)) può, a sua volta, essere funzione di un altravariabile (ad esempio, x = h(z)). In tale modo, la variabile y è legata anche allavariabile z.

In tali casi, per calcolare il valore delle variabili è necessario creare un sistemadi equazioni, che raggruppa l’insieme di funzioni che hanno argomenti in comune.

La teoria economica fa frequente uso dei sistemi di equazioni; un caso em-blematico è l’analisi delle quantità domandate e o¤erte di un bene sul mercato.È noto, infatti, che la domanda di un bene è funzione inversa del prezzo del

34

Figure 18:

bene; mentre l’o¤erta di un bene cresce al crescere del suo prezzo. Domandae o¤erta sono, quindi, entrambe funzioni del prezzo del bene. De…niamo Qd laquantità domandata di un bene, Qs quella o¤erta, e p il prezzo di un bene, esupponiamo che Qd e Qs siano funzioni unicamente di p. In questo caso l’analisiviene chiamata di equilibrio parziale, in quanto si ipotizza che le altre variabiliche in‡uenzano la domanda e l’o¤erta di un bene (ad esempio, reddito e gustidel consumatore per la domanda; costo dei fattori della produzione per l’o¤erta)restino costanti. Possiamo quindi scrivere il seguente sistema di equazioni, chesintetizza il funzionamento del mercato del bene:

Qd = 100 ¡ 2p (7)Qs = ¡20 + 4p

dove 100 è l’intercetta positiva della funzione di domanda e il parametro 2indica la sua pendenza. Analogamente, - 20 costituisce l’intercetta negativadella funzione di o¤erta e 4 il parametro di pendenza. La rappresentazionegra…ca di questo sistema di equazioni è fornita dalla …gura 18.

In teoria economica si cercano spesso le condizioni di equilibrio di un sis-tema di equazioni; in altre parole, si risolve il sistema con l’obiettivo di trovareil valore delle variabili indipendenti che fanno assumere alle variabili dipendentiil medesimo valore. Per risolvere un sistema di equazioni bisogna anzitutto chequesto sia determinato; bisogna, cioè, che il numero delle incognite non sia supe-

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riore a quello delle equazioni di cui è composto il sistema. Il sistema (7) contiene3 incognite (Qd, Qs e p) e due sole equazioni. Come tale è sottodeterminato e,pertanto, non è possibile risolverlo. Per renderlo determinato uno stratagemmapossibile, in questo caso, è di aggiungere alle equazioni del sistema (7) unacondizione di equilibrio, appunto Qd = Qs . Avremo quindi il nuovo sistema:

Qd = 100 ¡ 2p (8)Qs = ¡20 + 4pQd = Qs

che risulta detrminato, in quanto il numero delle equazioni, 3, è uguale alnumero delle incognite.

Per risolvere tale sistema occorre trovare i valori di Qd, Qs e p che, unavolta inseriti nelle espressioni del sistema, risolvono simultaneamente tutte lesue equazioni. In economia, tali valori di equilibrio vengono generalmente con-traddistinti da un asterisco: Qd¤, Qs¤ e p¤.

Il metodo più comunemente usato per risolvere un sistema di equazioni èquello di sostituzione delle variabili. Esso consiste anzitutto nel fare uso dellacondizione di equilibrio Qd = Qs per riscrivere il sistema (8) in due variabili edue incognite:

Q = 100 ¡ 2pQ = ¡20 + 4p

Sostituiamo ora la prima equazione nella seconda, ottenendo:

100 ¡ 2p = ¡20 + 4p

raggruppando i termini con la variabile p da un lato e i termini puramentenumerici dall’altro, avremo:

4p + 2p = 100 + 20

che equivale a:

p¤ =100 + 20

4 + 2= 20 (9)

p¤ = 20 è il valore del prezzo d’equilibrio; il suo valore è positivo, come ènecessario che sia un prezzo di mercato.

Per ricavare le quantità o¤erta e domandata in cui il mercato si trova inequilibrio, basta sostituire p¤ in una delle due equazioni che compongono ilsistema (8) e risolvere per Q¤. Se, ad esempio, sostituiamo (9) nell’equazionedella domanda di (8) otteniamo:

Q¤ = Qd = Qs = 100 ¡ (2 £ 20) = 60

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Figure 19:

Al prezzi di p¤ = 20 la quantità domandata è uguale alla quantità o¤erta:Qd e Qs sono entrambe pari a 60. Nella …gura 18 tale valore corrisponde alpunto di intersezione tra la linea che rappresenta la funzione di domanda Qd ela linea che rappresenta la funzione di o¤erta Qs (punto E). Come si noterà,infatti, è solo a quel punto che le due rette indicano lo stesso valore sull’assedelle ordinate. A tale punto corrisponde il prezzo di equilibrio p¤ , indicato sulleascisse.

È facile veri…care che so ottiene lo stesso risultato sostituendo (9) nell’equazionerelativa all’o¤erta del sistema (8).

12 Massimo e minimo di una funzione12.1 Funzioni ad una variabile dipendenteEsaminiamo il gra…co della …gura 19a. La curva che compare è la rappresen-tazione gra…ca della funzione y = f (x). La funzione tocca un valore massimo incorrispondenza di x = 2; a questo punto, infatti, il valore della funzione è y = 6.Analogamente, la funzione ra¢gurata nella …gura 19b tocca un valore minimo(y = 4) in corrispondenza di x = 2.

È facile riscontrare che, nel punto in cui la funzione tocca un valore estremo,massimo o minimo che sia, la pendenza della curva risulta nulla. Le linee trat-teggiate parallele all’asse delle ascisse rendono questo fatto ancora più evidente.

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È quindi possibile stabilire che:

1. In corrispondenza di un valore estremo di una funzione, sia massimo cheminimo, la derivata prima della funzione è uguale a zero.

Se, pertanto, vogliamo individuare il valore estremo di una funzione, pos-siamo calcolarne la derivata prima, e poi ricavare il valore della variabile incorrispondenza del quale la derivata stessa diviene uguale a zero.

Si consideri, ad esempio, la funzione:

y = x2 + x + 5 (10)

La sua derivata prima è:

dydx

= 2x + 1 (11)

Bisogna ora ricercare il valore di x in corrispondenza del quale la derivata primadiviene uguale a zero. A tale scopo poniamo l’espressione (11) uguale a zero erisolviamo per x.

2x + 1 = 0

x =12

La funzione raggiunge un valore estremo allorché x = 1=2. In corrispondenza diquesto valore di x si avrà y = 2. Per ottenere quest’ultimo risultato è su¢cientesostituire 1=2 ad x nell’equazione (10) e risolvere per il valore numerico di y.

La regola esposta al punto 1. vale ugualmente per il valore massimo e per ilvalore minimo di una funzione. È quindi necessaria una regola addizionale che,una volta individuato un valore estremo, stabilisca se si tratta di un massimo odi un minimo.

Per identi…care tale regola torniamo alle …gure 19a e 19b. Nel primo caso(valore massimo) in tutti i punti precedenti il culmine della curva la pendenza èpositiva, mentre in tutti i punti successivi al culmine la pendenza è negativa. Diconseguenza, quando si ha un valore massimo della funzione, la derivata passaper lo zero provenendo da valori positivi e procedendo verso valori negativi; inaltri termini la derivata è decrescente (…gura 19a). Nel secondo caso (valoreminimo) la retta ha un andamento opposto: in tutti i punti precedenti il fondodella curva la pendenza è negativa, mentre in tutti quelli che lo seguono lapendenza è positiva. Per un valore minimo della funzione, quindi, il valore delladerivata passa per lo zero provenendo da valori negativi e procedendo versovalori positivi; in altri termini la derivata è crescente (…gura 19b).

Dal paragrafo 9 sappiamo come distinguere una derivata prima crescente dauna derivata prima decrescente; a questo scopo, è su¢ciente calcolare la derivataseconda, in quanto essa misura, appunto, l’andamento della derivata prima. Sela derivata prima è crescente, la derivata seconda è positiva; se la derivata primaè decrescente, la derivata seconda è negativa.

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Figure 20:

Possiamo quindi enunciare la seguente regola per distinguere i valori massimidi una funzione dai valori minimi:

2. Quando, nel punto in cui la derivata prima è nulla, la derivata seconda ènegativa, la funzione tocca un valore massimo; quando, nel punto in cuila derivata prima è nulla, la derivata seconda è positiva, la funzione toccaun valore minimo.

Le …gure 20a e 20b forniscono la rappresentazione gra…ca della derivataprima delle due funzioni rappresentate, rispettivamente, nelle …gure 19a (mas-simo) e 19b (minimo). Nella …gura 20a la derivata prima taglia la linea dellozero dall’alto in basso; nella 20b dal basso in alto. Nel primo caso abbiamo unalinea decrescente, per cui la derivata seconda sarà negativa; nel secondo caso,invece, abbiamo una linea crescente e la derivata seconda sarà positiva.

Torniamo adesso all’esempio numerico precedente. Una volta stabilito chela funzione y = x2 + x + 5 raggiunge un valore estremo in corrispondenza dix = 1=2 e y = 2 bisogna scoprire se questo è un massimo o un minimo. A talescopo calcoliamo la derivata seconda:

d2ydx2 =

ddx

(2x + 1) = 2

Poiché la derivata seconda è positiva, si tratta di un valore minimo.

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12.2 Funzioni a più variabili indipendentiRegole analoghe, anche se leggermente più complesse, valgono per le funzioni apiù variabili indipendenti. Una funzione a più variabili indipendenti tocca unvalore estremo allorché tutte le derivate parziali sono simultaneamente pari azero. La condizione necessaria perché si abbia un valore estremo di una funzioney = f (x1; :::; xn) è quindi:

@y@x1

=@y@x2

= ::: =@y@xn

Esistono inoltre condizioni di secondo ordine, simili a quelle indicate per lefunzioni a una sola variabile, che consentono di distinguere un valore massimoda un valore minimo.

Nel caso di funzioni a più variabili si deve ricordare che non è necessario chela funzione tocchi un valore massimo o un valore minimo simultaneamente pertutte le variabili. È infatti possibile che la funzione tocchi un valore massimoper alcune variabili e, simultaneamente, un valore minimo per altre variabili.Per avere un’idea intuitiva di questa possibilità, si pensi ad una funzione a duevariabili indipendenti, la cui rappresentazione geometrica può avvenire nellospazio tridimensionale. Potremo avere questi tre casi:

1. la costruzione geometrica assume la forma di una cima montuosa; in questocaso il culmine rappresenta un valore massimo rispetto a tutte le variabili(in qualsiasi direzione ci si muova, non è possibile trovare posizioni piùelevate);

2. la costruzione assume la forma di una conca; in questo caso il fondo rapp-resenta un valore minimo rispetto a tutte le variabili (in qualsiasi direzioneci si muova, non è possibile trovare posizioni meno elevate);

3. la costruzione assume la forma di una sella; in questo caso il punto centraledella sella rappresenta un valore minimo rispetto ad una variabile, unvalore massimo rispetto all’altra (muovendosi in una direzione, si trovanoposizioni sempre più elevate; muovendosi nell’altra, si trovano posizionisempre meno elevate).

13 Massimi e minimi vincolatiIn economia i massimi e i minimi come quelli presentati nel paragrafo 12 (dettianche massimi e minimi assoluti ) non trovano un’applicazione molto di¤usa: ilcaso più “celebre” di massimizzazione assoluta di una variabile è rappresentatodalla massimizzazione del pro…tto di un’impresa.

Molto più frequenti sono, invece, i casi di massimi e minimi vincolati. Il clas-sico esempio, che qui useremo per comprendere in cosa consista un massimo (o,analogamente, un minimo) vincolato, è quello della massimizzazione dell’utilitàdi un consumatore che è soggetto ad un vincolo di bilancio.

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Supponiamo che un consumatore abbia a disposizione una data somma didenaro, determinata, ad esempio, dal proprio reddito mensile, e che debbaspendere tale somma in modo da trarne il massimo grado di utilità possibile.L’esempio ci rende anzitutto chiara la di¤erenza tra un problema di massimiz-zazione assoluta, in cui non esiste alcun vincolo, e un problema di massimiz-zazione vincolata: se noi avessimo a disposizione una somma in…nita di denaropotremmo comprare qualunque cosa ci passi per la testa; se, invece, non possi-amo spendere una lira di più del nostro reddito, le nostre possibilità sono assaipiù limitate. Anche il livello di utilità massimo che otterremo nei due casi saràmolto diverso. Supponiamo inoltre che spendiamo tutto, cioè, non risparmiamouna lira. Questo ci consente di sempli…care il problema usando un vincolo diuguaglianza2 .

Possiamo rappresentare il problema di massimizzazione vincolata dell’utilitàdel consumatore nella seguente forma simbolica generale:

maxU = u(x1;x2; :::;xn)soggetto a : S(x1;x2; :::; xn; px1 ;px2;:::; pxn; Y ) = 0

L’utilità totale U del consumatore è funzione u delle quantità dei beni x1;x2; :::; xn,che egli acquista. La sua spesa complessiva S è funzione implicita delle quantitàdei beni acquistati, dei loro rispettivi prezzi, pxi , e del suo reddito, Y . Questafunzione non ha il risparmio tra i suoi argomenti: il reddito viene interamentespeso, il resto è, appunto, zero. La funzione di utilità del consumatore vienemassimizzata soggetta al vincolo di spesa complessiva3 .

Supponiamo per semplicità che il consumatore possa acquistare solo duebeni, x1e x2 e che la sua funzione di utilità assuma, ad esempio, la seguenteforma funzionale:

U = x1x2 + 2x1 (12)

Il vincolo del bilancio impone che la spesa per l’acquisto dei due beni, datadalle quantità dei beni acquistate per i loro prezzi, non superi il reddito delconsumatore; nel nostro caso immaginiamo che il prezzo del bene x1 sia p1 =4, il prezzo del bene x2 sia p2 = 2, mentre il consumatore abbia un redditocomplessivo di Y = 60. Possiamo quindi scrivere il vincolo di bilancio nellaseguente forma esplicita lineare:

4x1 + 2x2 = 60 (13)

Se il consumatore decide di comprare solo il bene x1, può acquistarne un mas-simo pari a x1 = 60=4 = 15 unità; se, invece, preferisce investire tutto il suo red-dito nell’acquisto di x2 ne potrà acquistare un massimo di x2 = 60=2 = 30unità.

2 Si veda Dixit (1990) per la risoluzione di problemi di ottimizzazione con vincoli di dis-eguaglianza.

3 Nel contesto dei problemi di massimizzazione vincolata la funzione da massimizzare vieneanche chiamata funzione obiettivo.

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Altrimenti, potrà acquistare una combinazione dei due beni. Il consumatoresceglierà la soluzione che gli o¤re la massima soddisfazione; quella, cioè, chemassimizza la sua funzione di utilità (12).

Esistono due metodi per massimizzare la funzione di utilità (12) soggetta alvincolo di bilancio (13): il primo metodo è quello della sostituzione di variabili;il secondo è quello del moltiplicatore di Lagrange. Vediamoli uno alla volta.

13.1 Massimizzazione mediante sostituzione di variabiliQuesto metodo consiste nel risolvere l’equazione del vincolo di bilancio per unadelle due variabili in termini dell’altra, sostituire il valore ottenuto nella funzionedi utilità e massimizzarla rispetto all’unica variabile rimasta.

Procedendo passaggio per passaggio, risolviamo anzitutto il vincolo (13) perx2 in termini di x1. Otteniamo:

x2 =60 ¡ 4x1

2= 30 ¡ 2x1 (14)

Sostituiamo tale valore nella funzione di utilità (12). Tale funzione sarà cosìespressa in una sola variabile, x1. Precisamente, avremo:

U = x1(30 ¡ 2x1) + 2x1 = 32x1 ¡ 2x21

A questo punto, per massimizzare questa funzione possiamo semplicementeapplicare il metodo illustrato nel paragrafo 11. Dovremo di¤erenziare U rispettoa x1 e stabilire il risultato uguale a 0:

dUdx1

= 32 ¡ 4x1 = 0

Possiamo così risolvere per il valore di equilibrio di x1, de…nito x¤1:

x¤1 =

324

= 8 (15)

Siccome la condizione di secondo ordine

d2Udx2

1= ¡4 < 0

è negativa, abbiamo la garanzia che il valore estremo indicato dalla (15) è unmassimo vincolato.

Per trovare anche il valore di equilibrio di x2, de…nito x¤2, basta sostitutire

il valore di x¤1, dato dalla (15), nel vincolo (14). Avremo quindi:

x¤2 = 30 ¡ 2 £ 8 = 14

Il consumatore sceglierà di acquistare le quantità di x1 = 8 e di x2 = 14.Moltiplicando tali quantità per i prezzi dei beni possiamo veri…care che egli harispettato il vincolo di bilancio:

42

Figure 21:

14 £ 2 + 8 £ 4 = 28 + 32 = 60

A tali quantità di equilibrio la funzione di utilità (12) raggiunge il suo val-ore massimo. Data la forma funzionale di (12), sostituendo in essa i valori diequilibrio di x¤

1 = 8 e di x¤2 = 14possiamo stabilire che il suo valore massimo è

pari a:

u = 8 £ 14 + 2 £ 8 = 112 + 16 = 128

La rappresentazione gra…ca di questo problema è data dalla …gura 21.Come si può vedere, in corrispondenza dei valori di equilibrio di x¤

1 e x¤2, la

curva che esprime il livello utilità totale massimo (detta curva di indi¤erenza) ètangente al vincolo di bilancio. Il punto di tangenza tra curva di indi¤erenza evincolo di bilancio indica infatti il punto di massima soddisfazione del consuma-tore e la combinazione dei beni che egli deciderà conseguentemente di acquistare.

13.2 Risoluzione mediante il moltiplicatore di LagrangeNei casi in cui il vincolo di bilancio sia una funzione complessa, o in cui visia più di un vincolo sotto cui massimizzare la funzione obiettivo, il metodo disostituzione delle variabili diventa di di¢cile impiego. In tali casi è preferibilericorrere al secondo metodo di massimizzazione vincolata di una funzione, dettodei moltiplicatori (indeterminati) di Lagrange.

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Tale metodo consiste nel riunire anzitutto la funzione da massimizzare e ilvincolo di bilancio in un’unica funzione, chiamata “Lagrangiano”. Proseguendocon l’esempio sopra illustrato, possiamo costruire il seguente Lagrangiano:

` = x1x2 + 2x1 + ¸(60 ¡ 4x1 ¡ 2x2) (16)

come si vede, la funzione di utilità è antecedente al vincolo di bilancio.Nell’equazione (16) ` è il “Lagrangiano” e ¸ il “moltiplicatore di Lagrange”.

Quest’ultimo è un concetto importante in economia. Esso misura di quantovaria il valore della funzione da massimizzare in seguito ad un rilassamento o unrestringimento del vincolo. In altre parole, indica di quanto si riduce il livellodi utilità del consumatore in seguito di un restringimento del vincolo di bilancio(o, viceversa, di quanto aumenta il livello di utilità in seguito ad un rilassamentodel vincolo di bilancio). Un restringimento del vincolo può essere determinato,ad esempio, da un aumento dei prezzi; fermo restando il suo reddito, se i prezzidei beni aumentano il consumatore potrà acquistarne minori quantità e il suolivello di utilità diminuirà di conseguenza. In tale caso, mostra quanto si riducel’utilità totale del consumatore a seguito dell’aumento dei prezzi.

Per trovare i valori di equilibrio di x¤1 e x¤

2 bisogna di¤erenziare la funzione(16) rispetto alle sue tre variabili x1, x2 e porre i risultati ottenuti uguali a 0.Avremo quindi il seguente sistema di equazioni:

@`@x1

= x2 + 2 ¡ 4¸ = 0 (17)

@`@x1

= x1 ¡ 2¸ = 0

@`@¸

= 60 ¡ 4x1 ¡ 2x2 = 0

I valori di x1, x2 e ¸ per i quali le derivate parziali del sistema (17) sono simul-taneamente uguali a zero vengono de…niti condizioni di primo ordine.

Per trovare i valori di equilibrio di x1, x2 (e quindi di ¸ ), risolviamo ilsistema (17) per ¸ in termini di x1, x2. Ciò è possibile facendo uso delle primedue equazioni:

x1

2= ¸ =

x2 + 24

(18)

Dalla (18) possiamo trovare il valore di x1in termini di x2:

x1 =x2 + 2

2Inserendo tale valore nella terza equazione del sistema (17) troveremo il valoredi equilibrio di x2:

44

60 ¡ 4µ

x2 + 22

¶¡ 2x2 = 0

60 ¡ 2x2 ¡ 4 ¡ 2x2 = 060 ¡ 4 = 4x2

x¤2 =

564

= 14

Sostituendo x¤2 di nuovo nella terza equazione del sistema (17), troveremo il

valore di equilibrio di x1:

60 ¡ 4x1 ¡ 28 = 060 ¡ 28 = 4x1

x¤1 =

324

= 8

Come si può constatare, i valori di equilibrio di x¤1 e x¤

2 trovati mediante ilmetodo del moltiplicatore di Lagrange sono uguali a quelli ottenuti mediante ilmetodo di sostituzione delle variabili.

Non rimane che risolvere per il valore ottimale del moltiplicatore, ¸¤, perveri…care che, una volta inseriti x¤

1, x¤2 e ¸¤ nel Lagrangiano (equazione (16)),

quest’ultima fornisce lo stesso valore di utilità massima ricavato mediante ilmetodo di sostituzione. Per ottenere ¸¤ basta inserire x¤

1 (o, alternativamentex¤

2) nell’equazione (18). Facendo ad esempio uso di x¤1 avremo:

¸¤ =82

= 4

Sostituendo 8, 14 e 4 rispettivamente a x1, x2 e ¸ nella (16) troviamo:

` = 8 £ 14 + 2 £ 8 + 4(60 ¡ 4 £ 8 ¡ 2 £ 14)` = 112 + 16 + 4(60 ¡ 32 ¡ 28)` = 112 + 16 + 4(0)` = 128

14 Elasticità di una funzioneAbbiamo capito che lo scopo di una derivata è misurare come e di quanto lavariabile dipendente varia al variare della variabile indipendente. Il problema èche la misurazione del “quanto” è sensibile alle unità di misura usate per de…nireciascuna variabile. Ad esempio, se nel problema di ottimizzazione del precedenteparagrafo i prezzi p1 = 4 e p2 = 2 fossero espressi in euro, la loro trasformazione(monotòna!) in dollari produrrebbe valori di soluzione del problema totalmentediversi. Per ottenere misure di reattività insensibili alla scelta delle unità di

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misura è su¢ciente ponderare ciascun cambiamento di valore di una variabileper il valore iniziale della variabile stessa. Infatti, se io esprimessi il cambiamentosecondo una diversa unità di misura, anche la ponderazione sarebbe in base atale nuova unità, e il risultato …nale non cambierebbe. La misura di reattivitàcosì ottenuta si chiama elasticità.

L’elasticità della funzione misura la variazione proporzionale del valore dellafunzione corrispondente ad una variazione proporzionale in…nitamente piccoladel valore della (o di una) variabile indipendente. Essa quindi ci indica lareattività della variabile dipendente al variare di ciascuna delle sue variabiliindipendenti.

L’elasticità di una funzione viene de…nita come il rapporto tra la variazioneproporzionale della funzione e la variazione proporzionale della variabile:

"yx =dyyx

dx

dove "yx denota l’elasticità della funzione y rispetto alla variabile x. Tale espres-sione può essere ulteriormente sempli…cata nella formula che viene abitualmenteriportata nei libri di testo di economia:

"yx =dyyxdx

´ dyy

xdx

´ dydx

xy

(19)

Possiamo quindi de…nire la seguente regola di calcolo dell’elasticità di una fun-zione:

Regola. L’elasticità di una funzione è uguale alla derivata prima dellafunzione moltiplicata per il rapporto tra valore della variabile e valore della fun-zione.

Dalla formula (19) si possono trarre le seguenti conclusioni:

1. poiché in economia si trattano in genere grandezze positive, il rapportox=y sarà sempre positivo; di conseguenza, l’elasticità avrà lo stesso segnodella derivata della funzione;

2. l’elasticità è, in valore assoluto, maggiore dell’unità se la variazione pro-porzionale della funzione è maggiore della variazione proporzionale dellavariabile; inferiore all’unità se accade il contrario;

3. l’elasticità di una funzione sarà a sua volta una funzione o sarà unacostante a seconda che la derivata della funzione sia una funzione o unacostante.

Come esempio di calcolo dell’elasticità di una funzione, si prenda la funzione:

y = 100 ¡ 2x

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La sua derivata prima è:

dydx

= ¡2

Il rapporto tra le due grandezze x e y è:

xy

=x

100 ¡ 2x=

x2(50 ¡ x)

L’elasticità della funzione y rispetto alla variabile x pertanto sarà:

"yx ´ dydx

xy

= ¡2 £ x2(50 ¡ x)

= ¡ x50 ¡ x

15 Interesse e valore attualeUna somma di moneta M che frutti un interesse pari a r per cento all’anno,dopo un anno sarà uguale a:

M1 = M0 + rM0 = M0(1 + r)

Se l’interesse viene computato anno per anno solo sulla somma iniziale, si parladi interesse semplice. Con l’interesse semplice dopo t anni la somma inizialesarà uguale a:

Mt = M0 + trM0 = M0(1 + tr)

Se, invece, l’interesse viene computato non solo sulla somma iniziale, ma sullasomma che si è accumulata …no a quel momento (nella terminologia …nanziaria,sul principale più l’interesse), si parla di interesse composto. Il calcolo dell’inte-resse composto è lievemente più complesso rispetto a quello dell’interesse sem-plice. Nel caso dell’interesse composto, dopo due anni la somma accumulatasarà:

M2 = M0 + rM0 + r(M0 + rM0) == M0 + rM0 + rM0 + r2M0 =

M0(1 + 2r + r2) = M0(1 + r)2

Estendendo questa formula si ottiene che, dopo un periodo di t anni, la sommaaccumulata sarà uguale a:

Mt = M0(1 + r)t (20)

La formula (20) per il calcolo dell’interesse composto è chiamata formula dicapitalizzazione.

Nel caso in cui l’interesse, invece di essere computato una volta all’annonella misura di r%, viene computato due volte all’anno nella misura di 1

2r%, laformula di capitalizzazione diviene:

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Mt = M0(1 +12r)2t

In generale, se l’interesse viene computato n volte all’anno nella misura di 1n r,

la formula della capitalizzazione diviene:

Mt = M0(1 +1n

r)nt

Dalle formule di capitalizzazione è possibile ricavare le formule di sconto.Mentre le prime servono a trovare il valore futuro di una variabile (nel nostrocaso, principale più interesse), le seconde ricavano il valore attuale (o presente)di una grandezza che diventerà a noi disponibile nel futuro, ad esempio, a t annia partire da ora. Il calcolo del valore presente di una variabile è fondamentale incasi come il confronto della redditività futura di un investimento (ad esempio,i ricavi dei pedaggi per il transito su un ponte sullo stretto di Messina) con isuoi costi di realizzazione, che sono sostenuti nel presente. Si può così stimareil pro…tto atteso dall’investimento e decidere se è razionale e¤ettuarlo.

Le formule per il calcolo del valore presente di una variabile sono le seguenti:

1. per l’interesse semplice:

M0 =Mt

1 + rt

2. per l’interesse composto:

M0 =Mt

(1 + r)t

Bibliogra…a

- Chiang, Alpha C., Fundamental Methods of Mathematical Economics, IIIedition, London, McGraw-Hill Book Co., 1984.

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- Graziani, Augusto, Teoria Economica, Edizioni Scienti…che Italiane, 1967.

- Silbeberg, Eugene, The Structure of Economics. A Mathematical Analysis,II edition, London, McGraw-Hill Book Co., 1990.

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