Musica e Matematica

Luca Calatroni

Sommario

I seguenti appunti sono una trascrittura e una possibilità di appro-fondimento della lezione Musica e Matematica tenuta dal Prof. M.P.Bernardi, dal Dott. G. Albini e dal Prof. S. Antonini durante il corsodi Musica e..dialoghi tra discipline tenuto presso il Collegio Borromeo diPavia. In queste pagine introdurremo in modo elementare le de�nizionie le proprietà caratteristiche delle ben note isometrie piane (traslazioni,ri�essioni, rotazioni e glissori�essioni) per notare come nella pratica mu-sicale ricorra un uso assiduo di esse, più o meno consapevole. Daremoalcuni esempi notevoli di una forma musicale che si serve in maniera sin-golare di queste trasformazioni, il canone, per poi introdurre le nozioni digruppo e sintetizzare la cosiddetta teoria dei modi a trasposizione limitata

introdotta e studiata per la prima volta da O. Messiaen. Concluderemocon un breve accenno alla costruzione di una rete di altezze (Tonnetz)utile soprattutto nello studio della musica post-tonale.

1 Un primo esempio: F. Chopin, valzer op. 34

n.2

Per comprendere meglio le nozioni che introdurremo in seguito, partiamo daun esempio. Ascoltiamo attentamente le prime battute del Valzer in La minoredi F. Chopin (ricordiamo che il 2010 abbiamo festeggiato il bicentenario dellanascita del compositore!), op. 34 n.2 e compiamo qualche osservazione.

Figura 1: F. Chopin, valzer op. 34 n.2

Il brano, almeno in questa prima sezione, risulta essere formato da tre lineemelodiche: una prima linea, di accompagnamento per bicordi, assegnata alla

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mano destra, la linea melodica vera e propria che conduce il canto e una lineadi sostegno, in forma di pedale, assegnate alla mano sinistra. Focalizziamo lanostra attenzione sulla linea del canto, isolandola nelle sue prime quattro bat-tute.

Figura 2: F. Chopin, valzer op. 34 n.2, linea melodica

Senza preoccuparci, almeno per ora, dell'e�etto sonoro risultante dal suo ascolto,possiamo �n da ora notare alcune analogie limitandoci semplicemente all'analisidella scrittura. Osserviamo la prima battuta e notiamo che essa è formata dauna nota di 2/4 più due ottavi, per un totale di 3/4, coerentemente all'anda-mento ritmico tipico dei valzer. Ora osserviamo la seconda battuta: sebbenel'andamento della linea sia leggermente diverso da quello della prima battuta(dove gli ottavi hanno andamento ascendente, mentre qui presentano un anda-mento discendente) non si può notare un'analogia formale: anche qui due quartipiù due ottavi. Proseguiamo ancora, analizzando la terza battuta: notiamo cheessa ricalca esattamente la prima battuta del brano, così come la successivaquarta battuta è la fotocopia della seconda. Un altro tipo di analisi dunque,non più battuta per battuta, ma che consideri le due coppie di battute costituen-ti questo incipit, non può non evidenziare come la terza e la quarta battuta nonsiano altro che le prime due battute semplicemente spostate in avanti nel pezzo.Vedremo in seguito quali sono le spiegazioni e le formalizzazioni di questa osser-vazione, per il momento possiamo limitarci a un'osservazione qualitativa nellaquale, per maggior chiarezza, possiamo anche rappresentare gra�camente ciòche vogliamo dire. Riconsideriamo la prima battuta del brano osservando l'an-damento melodico della voce superiore e compiamo la stessa osservazione anchecon le battute successive: stiamo pensando di �collegare le note che compon-gono la melodia con una linea. Se siamo abbastanza abili nel disegno vediamoche la linea ottenuta ha la forma tipica di una sinusoide, almeno nelle primetre battute. Identi�cando la prima battuta con un simbolo, la seconda con unaltro simbolo e usando gli stessi simboli per frammenti tematici simili, possiamoinoltre dare vita al seguente pattern gra�co:

Non possiamo non apprezzare tale regolarità nella forma e siamo spinti a chieder-ci quali siano le possibili spiegazioni, osservazioni e gli eventuali modelli chepossono permetterci non solo di analizzare un qualsiasi brano, ma anche dicomprenderlo meglio. Proprio come nell'osservazione di un'opera d'arte o piùsemplicemente in una cornice la riproduzione regolare di un elemento (una foglia,un ricamo..) conferisce all'oggetto osservato una veste di eleganza e razionalità,possiamo così supporre che un'analisi analoga fatta in ambito musicale permettaun ascolto più sapiente e un approccio più matematico alla disciplina.Di seguito riportiamo alcuni esempi di motivi ricorrenti nell'arte che presentano

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una certa analogia con quanto visto: esse sono una sorta di sinusoidi in cui peròcompaiono elementi aggiuntivi che in un certo senso distruggono �quasi tutti glielementi di simmetria della �gura.

La seguente fotogra�a è stata scattata nel Duomo della Madonna del Carminedi Pavia.

2 Le isometrie piane

Introduciamo brevemente in questa sezione le de�nizioni e i concetti principaliche verranno applicati successivamente nell'analisi di alcuni frammenti musicali.Nel piano, con il termine isometria intendiamo una trasformazione del piano insè tale che la distanza di due qualsiasi punti è uguale alla distanza del lorotrasformati. Le isometrie piane sono:

• traslazioni

• rotazioni

• ri�essioni

• glissori�essioni

Vediamo, per ognuna, qualche dettaglio tecnico.

2.1 Le traslazioni

Una traslazione è un'isometria in cui due punti si corrispondono se il segmentoorientato che li unisce è congruente ed ha stessa direzione e verso di un segmentoorientato dato, detto vettore di traslazione. Le traslazioni non hanno punti unitie, intuitivamente, possono essere pensate come movimenti rigidi dello spazio dalmomento che la loro proprietà caratteristica è dunque quella di mandare ognicoppia ordinata di punti in un'altra che de�nisce lo stesso vettore.

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Figura 3: E�etto della traslazione, la �gura di partenza è quella in bordeaux

2.2 Le rotazioni

Nel piano si dice rotazione di centro O e ampiezza α assegnati, l'isometria chemantiene �sso il punto O, detto centro, e associa ad ogni punto P del piano,distinto da O, un punto P ′ tale che la distanza OP sia uguale alla distanza OP ′

e che l'angolo POP ′ sia congruente ad α. Il caso particolare di rotazione in cuiα = π è chiamato simmetria centrale di centro O.

Figura 4: E�etto della rotazione, la �gura di partenza è quella in bordeaux

2.3 Le ri�essioni

Nel piano le isometrie dette ri�essioni sono anche chiamate simmetrie assiali.Due punti distinti, A e B, si dicono corrispondenti nella ri�essione rispetto aduna retta r se il punto medio del segmento che li congiunge appartiene ad r ese tale segmento è perpendicolare alla retta r. Chiamiamo dunque ri�essionerispetto all'asse r (o, analogamente, simmetria assiale di asse r), la trasfor-mazione del piano in sè che ad ogni punto del piano associa il suo punto cor-rispondente rispetto alla retta r. In una simmetria assiale, tutti i punti dell'assedi simmetria sono punti uniti nella trasformazione.

Figura 5: E�etto della ri�essione, la �gura di partenza è quella in bordeaux

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2.4 Le glissori�essioni

Una glissori�essione nel piano è la composizione della ri�essione rispetto aduna retta r con una traslazione lungo la direzione della stessa retta. L'ordinein cui tale composizione avviene è indi�erente dal momento che il risultato,in entrambi i casi, è la stessa glissori�essione. Le ri�essioni possono essereconsiderate glissori�essioni nel caso particolare in cui il vettore di traslazione èil vettore nullo. Le traslazioni e le rotazioni sono dette isometrie dirette, mentre

Figura 6: E�etto della glissori�essione, la �gura di partenza è quella in bordeaux,quella verde è la sua simmetrica e la blu è la traslata della simmetrica

le ri�essioni e le glissori�essioni sono dette isometrie inverse.

3 Trasformazioni geometriche sul pentagramma

Consideriamo l'usuale piano cartesiano Oxy ai �ni delle nostre analisi. Riporti-amo sull'asse x delle ascisse il tempo che in musica corrisponde a una successionedi battiti ad intervalli costanti (per intenderci, quelli prodotti da un metronomoper esempio) e sull'asse y delle ordinate, in scala logaritmica, l'altezza dei suonidisposti in ordine crescente dal più grave al più acuto. Così facendo una qual-siasi melodia può essere rappresentata da una legge f in modo che y = f(x).Con questa premessa �ssiamo poi le unità di riferimento. Per l'asse x �ssiamocome unità di misura il minuto secondo e l'abbiniamo alla �gura musicale diuna semiminima (stiamo cioè dando al metronomo l'indicazione quarto= 60) eil semitono temperato1 per l'asse y. Possiamo avere così una rappresentazionegra�ca mediante segmenti che indicano il valore di durata di ogni singolo suono,ossia il loro scorrere nel tempo e l'altezza assoluta di ognuno di esso riferitaalla scala temperata. Osserviamo anche la presenza di tratti verticali, non tipi-ci dal punto di vista matematica, ma che esprimono continuità dal punto divista musicale. Poniamo come origine del nostro riferimento (ovvero il livelloy = 0) l'altezza del suono corrispondente al do immediatamente successivo aldo centrale. Possiamo allora rappresentare, nel piano così costruito, il seguenteframmento musicale come segue:A questo punto, ricordandoci delle de�nizioni delle trasformazioni viste nellasezione precedente, possiamo considerare le trasformate di questo inciso melod-ico che risultano essere:

• nel caso della traslazione verticale. Notiamo che il vettore di traslazioneè orientato lungo la direzione verticale ed è diretto verso il basso. Ricor-

1Con semitono temperato si intende la distanza fra un qualsiasi suono della scala e ilsuo immediatamente successivo, sia in senso ascendente che discendente. Esso è l'intervalloè l'intervallo più piccolo del nostro sistema musicale (sistema temperato) e corrisponde allametà di un tono

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Figura 7: Un frammento melodico

Figura 8: Traslazione

dandoci poi un quadretto corrisponde ad un semitono, possiamo dire cheil modulo di tale vettore è 5. Il risultato è un inciso tematico che presen-ta lo stesso andamento ritmico dell'originale, ma i cui suoni questa voltasi trovano ad altezze di�erenti. Nella pratica musicale, un tale tipo dioperazione si chiama trasporto. L'altezza dei suoni viene invece preserva-ta in caso di applicazione di una traslazione orizzontale che comportal'esecuzione del frammento considerato o in ritardo (traslazione verso de-stra) o in anticipo (traslazione verso sinistra) rispetto all'originale. Lacomposizione di di una traslazione orizzontale con una verticale è unatraslazione obliqua.

Figura 9: Ri�essione rispetto all'asse x

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• nel caso della ri�essione fatta, in questo caso, rispetto all'asse x. Secon-do le caratteristiche descritte nella sezione precedente notiamo che il doiniziale, giacente sull'asse rispetto a cui si e�ettua la ri�essione, è puntounito della trasformazione e pertanto rimane invariato. Gli altri suoni,invece, pur mantenendo inalterate le caratteristiche ritmiche, di duratae le relazioni reciproche di altezza, appaiono ribaltati. La melodia, orig-inariamente discendente, è ora diventata ascendente. Notiamo che taleri�essione ha richiesto l'introduzione di un'alterazione (il si[); una trasfor-mazione che anzichè operare in questo modo avesse un si naturale cometrasformato, sarebbe scorretta perchè non manterrebbe il rapporto tra lealtezze di suoni vicini, caratteristico invece di una ri�essione e, in generale,di un'isometria. Nella melodia di partenza, infatti, le note �nali do e redistano un tono, mentre l'intervallo tra si (naturale) e do è solo di unsemitono. Nella pratica musicale un tale tipo di procedura è detto inver-sione. Se la ri�essione è compiuta rispetto ad una retta orizzontale diversadall'asse x, combinando i due casi appena visti notiamo che il risultato puòessere pensato come la combinazione di una simmetria rispetto all'asse xe una traslazione verticale, ovvero come la combinazione di inversione etrasporto.

Figura 10: Simmetria rispetto all'asse y

• nel caso della ri�essione fatta stavolta rispetto ad una retta verticale.Qui le cose cambiano. Ciò che dobbiamo immaginarci è di leggere alcontrario la melodia di partenza, partendo dunque dall'ultima nota e an-dando a ritroso �no alla prima. Nel nostro piano cartesiano infatti ciò chesuccede è che la rappresentazione dell'inciso melodico viene con questatrasformazione ribaltata a sinistra dello zero temporale ovvero dell'istantein cui ha inizio il suono. Abbandonando qualsiasi osservazione sconsider-ata sull'inversione dello scorrere del tempo, tale tipo di trasformazione èda interpretare come spiegato sopra. Va comunque notato come, sebbenein una lettura retrograda di tale trasformazione si possano rintracciare, siaa livello ritmico che armonico, i medesimi rapporti tra le note costitutive,una lettura in avanti della melodia trasformata non preservi questi rap-porti con la melodia di partenza (la seconda nota, per esempio, vale tresedicesimi nella melodia originaria ed un solo sedicesimo in quella trasfor-mata). Nella pratica musicale un tale tipo di procedura viene chiamataretrogradazione.

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Figura 11: Glissosimmetria

• nel caso della glissori�essione. Essa va vista come composizione di unasimmetria assiale rispetto ad un asse orizzontale con una traslazione equiv-ersa di vettore con modulo 4 (corrispondente per noi alla durata di unquarto) notiamo come la traslazione in avanti (ovvero diretta stavolta indirezione positiva dell'asse x) faccia sì che la melodia trasformata inizi unquarto dopo rispetto all'inizio di quella originale.

• Nel caso della simmetria centrale riportiamo solo a titolo di esempiola seguente pagina della Rapsodia Spagnola di M. Ravel in cui, pur senzaintrodurre riferimenti cartesiani, è evidente l'uso di tale trasformazione.

Figura 12: Glissosimmetria

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3.1 Polifonia e trasformazioni geometriche

Fino ad ora ci siamo occupati di studiare solamente le trasformazioni di un sin-golo inciso melodico in seguito all'applicazione di una delle isometrie viste senzaoccuparci di come l'uso di tali trasformazioni possa combinare e sovrapporre traloro melodie trasformate con risultati interessanti geometricamente e gradevolimusicalmente. La forma più tipica di composizione polifonica composta secondoquesti criteri è certamente il canone. In ambito musicale esso è de�nito comeuna composizione contrappuntistica che presenta una linea melodica principale(dux ) e una numero variabile di voci (comes) che seguono e imitano la voceprincipale. Con imitazione si intende proprio la trasformazione del dux com-piuta tramite l'applicazione delle trasformazioni dette. Se il canone è costruitotramite l'utilizzo di una sola particolare trasformazione tra quelle viste assumenomi speci�ci, ovvero:

• Nel caso di traslazione in direzione orizzontale ovvero di imitazione all'u-nisono dux da parte dei comes si parla di canone semplice. L'esempio piùfamoso e popolare di questo tipo di canone è Fra' Martino.

• Nel caso di traslazione in direzione verticale e orizzontale ovvero di im-itazione della melodia proposta dal dux da parte dei comes a qualsiasiintervallo che non sia l'ottava o l'unisono si parla di canone all'interval-lo (per esempio si parlerà di canone alla quarta o al quarto grado se lamelodia del dux è riproposta innalzata o diminuita di un intervallo diquarta).

• Nel caso di ri�essione rispetto all'asse x si parla di canone per moto con-trario o inversione o ancora, nel caso in cui melodia originale e ri�essainiziano simultaneamente, canone a specchio.

• Nel caso di ri�essione rispetto all'asse y si parla invece di canone retrogradoo cancrizzante.

• Nel caso di simmetria rispetto all'origine, ovvero di simmetria centrale concentro O origine degli assi, si parla di canoni retrogradi dell'inverso

3.1.1 Un esempio notevole: Ma �n est mon commencement

L'analisi e lo studio dei canoni che ci sono pervenuti ha messo in luce comespesso non fosse chiaro a priori in che modo un canone dovesse essere eseguito.La sua esecuzione, infatti, spesso doveva essere preceduta dalla risoluzione diindovinelli (originariamente titoli o sottotitoli del canone stesso) che stabilivanoi rapporti ritmici, di durata e di altezza tra le melodie del dux e quelle deicomites. Tali canoni sono infatti stati chiamati enigmatici e possono esseredi una qualsiasi tipologia tra quelle sopra elencate. Senza scendere in troppidettagli tecnici, possiamo citare qui alcuni esempi, per la maggior parte raccoltinell'elenco stilato da padre G.B. Martini Esemplare ossia Saggio fondamentalepratico di contrappunto:

• Crescit in Duplo (in Triplo..): nell'esecuzione di questo canone i comes de-vono duplicare, triplicare etc. la durata delle note componenti la melodiadel dux.

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Figura 13: Ma �n est mon commencement di Guillaume de Machaut

• Nigra sum sed formosa: nell'esecuzione di questo canone il comes devecantare le note nere come se fossero bianche.

• Ocia dant vicia: nell'esecuzione di questo canone il comes tralascia lepause del dux e canta le sole note.

Un esempio notevole di canone enigmatico cancrizzante dalle caratteristichedavvero singolari è dato dal brano Ma �n est mon commencement di Guillaumede Machaut (1300-1377). Il brano ha una costruzione molto particolare, infattiil dux (qui indicato come cantus) esegue una melodia che viene proposta daltriplum, suo comes, esattamente uguale ma in moto retrogrado. La terza vocedel tenor è composta da una melodia che ha durata metà della precedente eviene eseguita una volta in un verso e una seconda volta nel verso contrario.Ciò che emerge da questi esempi è che la scelta di una linea melodica principalecui sovrapporre le altre linee melodiche trasformate in modo tale che il risul-tato sia gradevole all'ascolto, è un'operazione veramente di�cile e di natura eapproccio razionale e matematico. Per concludere questa sottosezione di esem-pi accenniamo solo al fatto che un autore successivo a de Machaut, GuillameDufay usò le proporzioni geometriche per edi�care vere e proprie architetturemusicali. Alcuni studiosi hanno rilevato che le proporzioni usate da Dufay inun suo mottetto (Nuper rosarum �ores) riproducono quelle di Santa Maria delFiore a Firenze (Magnano, 2004). In altri lavori Dufay usò il rapporto del-

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la sezione aurea. Naturalmente all'ascolto non vengono percepite queste pro-porzioni, ma la loro presenza è il segno di un pensiero rivolto all'espressione diconcetti matematici attraverso forme musicali, del tutto in linea con le idee cheavevano caratterizzato il mondo medievale e che provenivano direttamente dallascuola pitagorica della Grecia antica.

3.2 Evoluzioni storiche

Nel Rinascimento e nel Barocco continuò l'utilizzo delle tecniche compositivebasate sulle simmetrie matematiche, i generi più signi�cativi di questo perio-do sono le invenzioni i canoni le variazioni e nelle fughe. Il materiale musicalecomposto spesso da soggetti e controsoggetti si sviluppa attraverso progressioni,imitazioni, ripetizioni, distribuzione tra le voci. Il materiale musicale può esseresottoposto a tutte le trasformazioni descritte nelle sezioni precedenti, siano essesvolte in maniera esatta o no. Dal punto di vista della struttura matematica, ildiscorso musicale del tardo Medioevo è governato da regole rigide, mentre nelRinascimento questo è sottoposto a regole più �essibili e malleabili alle esigenzedel compositore. Il discorso musicale quindi è in grado di accogliere moven-ze inconsuete e ardite, di accettare le nove et straordinarie dissonanze che inmisura sempre maggiore caratterizzano la musica del tardo '500. Bach il com-positore più importante dell'età barocca fu tra l'altro un sostenitore del nuovosistema di intonazione della scala musicale che permetteva di suonare la stessamelodia in qualsiasi tonalità senza alterare i rapporti di frequenza tra le note(come invece era sempre avvenuto �no ad allora). Nella sua celebre opera Ariacon trenta variazioni, nota come Variazioni Goldberg Bach scrive nove canoniche hanno relazioni tra le voci dall'unisono alla nona; quasi tutti sono canoniaccompagnati, in cui la voce del basso è indipendente. Nel XVIII secolo si dif-fuse tra vari compositori il divertimento di comporre musica mediante l'utilizzodei dadi. In tale forma di composizione automatizzata si faceva uso di numericasuali per mettere insieme frammenti melodici. Nel 1757 Johann Philipp Kirn-berger pubblicò una guida alla composizione delle polonaise e dei minuetti conl'aiuto dei dadi. A Mozart si deve invece la pubblicazione di un manuale per lacomposizione di valzer con l'aiuto dei dadi. Il manuale venne pubblicato da N.Simrock a Berlino nel 1792, con istruzioni in tedesco, francese e inglese. Duranteil Romanticismo le simmetrie musicali e la matematica in musica divennero pocointeressanti, durante il 900 invece questi approcci compositivi vengono riscoper-ti. L'uso di forme matematiche aleatorie viene sviluppato da alcuni compositoricome John Cage, l'utilizzo di rigide tecniche contrappuntistiche si ritrova invecenella tecnica di composizione a dodici note inventata da Arnold Schoenberg, ilquale dopo aver abbandonato il sistema tonale si è posto di fronte al problemadi dare una forma alla propria musica che fosse in qualche modo percepibile.Schoenberg arrivò quindi al contrappunto e alle leggi di simmetria per una ne-cessità di tipo formale e percettivo. Nella tecnica seriale di Anton Webern, unallievo di Schömberg, i parametri altezza, durata, timbro vengono controllatiseparatamente e sottoposti a ferree leggi generative.

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3.3 Un esempio bachiano: invenzione a due voci n◦1

Citiamo qui e diamo un accenno di analisi di una delle composizioni più sem-plici di J.S. Bach in cui sono evidenti alcune delle isometrie viste. Osserviamola seguente �gura:

Figura 14: Prima pagina dell'invenzione a due voci n◦1 di J.S.Bach

Con il termine invenzione si intende una composizione a carattere imitativo incui le voci (in questo caso due) si inseguono. La composizione appare diversadal canone in quanto il frammento tematico e le sue imitazioni sono seguite daaltri frammenti melodici che rendono la composizione più varia. Esse rappresen-tano le antenate delle ben più complesse fughe bachiane. In questa invenzioneil tema è costituito da tutta la prima battuta assegnata alla mano destra più ilprimo sedicesimo della seconda battuta. Nella �gura però ho voluto dividere idue sintagmi tematici che lo compongono utilizzando il colore rosso per il primosintagma e blu per il secondo. La prima trasformazione è visibile già nella primabattuta ed assegnata alla mano sinistra che esegue il primo sintagma del tema inritardo di due quarti rispetto alla sua esposizione. Questo è l'esempio del risul-tato di una traslazioni temporale del tema. Nella seconda battuta è evidenteanche una traslazione verticale della melodia, questa volta esposta partendo dalSol e non dal Do, sia per la linea della mano destra che per quella della manosinistra. Nella terza battuta ho evidenziato con il colore arancione un fram-mento che rappresenta un simmetrico del primo sintagma: notiamo che i valorimusicali delle note che compongono il tema sono rimasti inalterati così comei rapporti intervallari tra le note (movimento per gradi congiunti iniziali e poi

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per terze), ma l'andamento è invertito (per retrogradazione e inversione). Senzaentrare troppo nei dettagli e senza ripeterci notiamo come queste trasformazioniavvengano ancora in queste prime righe della composizione. L'abilità di Bachconsisteva nello sfruttare tutte le possibili modi�che del tema iniziale, smembra-to nei suoi sintagmi, non in modo meccanico, ma combinando insieme in modocontrappuntistico le diverse voci costituenti. Così, ad esempio, in una fuga a 4voci contemporaneamente si può sentire il tema, il tema aumentato (ovvero lacui durata delle note costituenti è per esempio raddoppiata), un tema rovesciatoe un secondo sintagma mischiati mirabilmente insieme.

4 Isometrie e strutture algebriche: il gruppo diedrale

e il gruppo dei fregi

L'insieme dell'isometrie de�nite nel piano euclideo, munito dell'operazione dicomposizione di funzioni, ha la struttura di gruppo. Dentro a questo, ha sensoconsiderare l'insieme delle isometrie che mutano un poligono regolare di n latiin se stesso. Tale sottogruppo viene de�nito come gruppo diedrale di ordine 2n.

4.1 Il gruppo diedrale D2n: de�nizione e caratteristiche

Il gruppo diedrale D2n (dove 2n indica il numero di elementi del gruppo) di unpoligono regolare di n lati è l'insieme delle ri�essioni e rotazioni di tale poligonoin se stesso. I gruppi diedrali sono uno tra gli esempi più semplici di gruppi�niti.

4.2 Elementi del gruppo diedrale

Un poligono regolare di n lati possiede 2n isometrie che mutano il poligonoin se stesso: n rotazioni e n ri�essioni. Se n è dispari ogni asse di simmetriacongiunge il punto medio di un lato con il vertice opposto. Se, invece n è parici sono n/2 assi di simmetria che congiungono i punti medi di lati opposti e n/2assi di simmetria che congiungono vertici opposti. In ogni caso, ci sono in tutton assi di simmetria e, in totale 2n elementi. La ri�essione rispetto ad un assedi simmetria composta con un'altra ri�essione rispetto ad un asse di simmetriadiverso dal primo, ha come risultato una rotazione di due volte l'angolo formatodai due assi di simmetria.

4.3 Struttura di gruppo

Nel gruppo considerato l'operazione di composizione è chiusa e associativa emunisce quindi l'insieme della struttura di gruppo. Tale gruppo non è abelianodal momento che la composizione non è commutativa. Facciamo un esempiodi ciò elencando esplicitamente in riga e in colonna gli elementi costitutivi delgruppo diedrale D6 associato a un triangolo equilatero, va da sè che con R∗intendiamo le rotazioni e con S∗ le simmetrie rispetto agli assi indicati nellaseconda �gura sottostante. Gli incroci di tale tabella sono il risultato dellacomposizione degli elementi in colonna con quelli in riga:Notiamo per esempio che S2 ◦ S1 = R1 6= S1 ◦ S2. In generale, il gruppo D2n

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Figura 15: Elementi e risultato della composizione di elementi di D6

è formato dagli elementi R0, . . . , Rn−1 e S0, . . . , Sn−1 e il risultato della lorocomposizione può essere generalmente espresso nel modo seguente:

Ri ◦Rj = Ri+j , Ri ◦ Sj = Si+j , Si ◦Rj = Si−j , Si ◦ Sj = Ri−j

4.4 Gruppi discontinui di isometrie piane

Un altro gruppo interessante di isometrie che ben si collega all'esempio inizialedel Valzer di Chopin proposto, è il cosiddetto gruppo dei fregi. Prima di de�nirlonel dettaglio, diamo qualche de�nizione più generale.Dato uno spazio euclideo de�nito su un certo spazio vettoriale assegnato, unsottogruppo G di isometrie del piano euclideo viene detto discontinuo se per ognipunto P del piano esiste un r > 0 tale che per ogni isometria g appartenente aG vale:

g(P ) 6= P =⇒ g(P ) 6= B(P, r)

dove con B(P, r) abbiamo indicato la bolla di centro P e raggio r. Ogni gruppo�nito di isometrie del piano euclideo è un gruppo discontinuo. Inoltre, i gruppidiscontinui di isometrie del piano euclideo si suddividono in tre classi: gruppi�niti, gruppi dei fregi e gruppi cristallogra�ci piani. Il loro studio si e�ettuaattraverso quello delle �gure di cui essi sono gruppi di isometrie.

4.4.1 Il gruppo dei fregi

La de�nizione precisa di gruppo dei fregi che possiamo dare è la seguente: ungruppo G di isometrie piane è chiamato gruppo di fregio se esiste una retta las-ciata �ssa da tutti gli elementi di G e le traslazioni appartenenti a G formanoun gruppo ciclico in�nito. Come esempio possiamo pensare all'insieme delleisometrie che lasciano globalmente inalterata una sinusoide. Riferendoci all'e-sempio iniziale, possiamo dunque capire che tale gruppo di isometrie �applicatoalla linea melodica del Valzer, la lascia globalmente inalterata.

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5 Simmetrie tonali

Quello che vogliamo fare ora è introdurre una nuova rappresentazione gra�cadei dodici suoni di una scala ponendo questi come vertici di un dodecagono re-golare, come in �gura:

Figura 16: Dodecagono avente per vertici i semitoni temperati

Strutture lineari della scala dodecafonica e di tutti i sottoinsiemi possibili cheformano le relative scale sono stati presentati formalmente da Forte (1977).Il gruppo degli intervalli musicali temperati sotto l'e�etto di trasposizioni einversioni è isomorfo al gruppo di rotazioni e ri�essioni del dodecagono rego-lare introdotto. Un approccio che si serva di questo tipo di struttura ha duevantaggi. Innanzitutto, le inversioni sono trattate come semplici ri�essioni delgruppo. Trasposizioni ed inversioni, come d'altronde ri�essioni e rotazioni, noncommutano, ma producono, se applicate in ordine scambiato, trasposizioni com-plementari. Un secondo vantaggio consiste nel fatto che un approccio di questotipo fornisce una rappresentazione visuale dei diversi sottoinsiemi formati dallescale temperate note in opposizione alle poco chiare rappresentazioni sul pen-tagramma o, ancora peggio, per elencazione dei rapporti intervallari tra le notecostituenti la scala. Qui le simmetrie di tali insiemi sono rappresentate in ter-mini di forme e corrispondenti assi di simmetria.Sono possibili dunque alcuni interessanti esperimenti ed osservazioni nella strut-tura così introdotta. Per esempio, proviamo a congiungere i vertici contraddis-tinti da Do, Mi e Sol, ottenendo così un triangolo. Immaginiamo di suonarecontemporaneamente questi tre suoni: essi, combinati, formano un accordo (otriade) maggiore. Vorremmo trovare, se esiste, una trasformazione tra quelledi D24 (gruppo diedrale delle trasformazioni che mutano il dodecagono in sè)che ci permetta di passare da accordo maggiore ad uno minore (in questo casoquindi vorremmo passare da un accordo di do maggiore ad uno di do minore).Ricordiamo che, essendo il dodecagono una �gura con un numero pari di verti-ci, una delle simmetrie possibili è quella avente per asse la retta passante per ipunti medi di lati opposti. Consideriamo allora il lato congiungente i due ver-tici contraddistinti da Re] (o Mi[) e Mi. Musicalmente parlando, l'uso di unodi questi due suoni piuttosto che l'altro discrimina il carattere maggiore o mi-nore dell'accordo. Infatti l'accordo di do maggiore risulta, come abbiamo detto,essere formato dai suoni: Do, Mi e Sol, mentre quello di do minore dai suoniDo, Mi[ e Sol. L'asse di simmetria disegnato è quello rispetto a cui dobbiamoe�ettuare la ri�essione grazie alla quale troviamo esattamente l'accordo voluto.

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Figura 17: Trasformazione da triade maggiore a triade minore

5.1 Un esempio di scala: la scala esatonale

In musica si chiama scala esatonale o scala per toni interi una scala in cui ogninota è separata dalle note successive e precedenti dall'intervallo di un tono. Essadi�erisce pertanto dalla scala usuale diatonica di sette note, poichè è formata dasei sole note tra le quali, appunto, non compaiono semitoni. La scala esatonaledi Do è la seguente: Do, Re, Mi, Fa], Sol], La], Do. Tramite una rotazioneR1 che manda ogni vertice (suono) di questa scala in quello immediatamentesuccessivo possiamo costruire la scala esatonale di Do] e, proseguendo nellerotazioni, la scala esatonale in ogni tonalità. Come osserveremo nella sezionesuccessiva ci sono soltanto due scale realmente distinte, le altre sono uguali ameno dell'ordine. L'utilità di una tale rappresentazione consiste dunque nelfatto che tramite opportune ri�essioni, rotazioni e loro composizioni è possibilepassare da una tonalità all'altra preservando i rapporti reciproci esistenti tra isuoni componenti.

Figura 18: Scala esatonale di Do]

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La scala esatonale fu particolarmente amata e usata da Claude Debussy inmolte sue composizioni di cui di seguito riportiamo un esempio:

Figura 19: Uso della scala esatonale di Do in un Preludio di Debussy

6 Modi a trasposizione limitata

Come abbiamo visto �no ad ora ci sono diverse strutture e simmetrie che sonopiù o meno rintracciabili nella pratica compositiva musicale. Olvier Messiaen,un compositore francese del ventesimo secolo, identi�cò 7 scale relativamentealle quali egli disse che è matematicamente impossibile trovare altri modi cheseguano le leggi strutturali che le identi�cano. Questi patterns musicali, i cosid-detti modi a trasposizione limitata, sono essenzialmente 7 scale strutturate inmodo che il movimento graduale dal basso all'acuto dei suoni componenti pre-senti la stessa sequenza di intervalli. I presupposti per la costruzione per lacostruzione di tali modi sono i seguenti:

• il sistema temperato, cioè la suddivisione dell'ottava in dodici semitoniaventi tutti la medesima distanza tra due gradi di scala adiacenti;

• il cromatismo, cioè l'avvenuta corrosione del principio di tonalità, cioè lacentralità di attrazione del primo suono di una scala. Le scale di esempiosi fanno partire dal do convenzionalmente.

Data l'assenza di un concetto di tonica in tali scale Messiaen include con iltermine prima trasposizione anche la sequenza base di ciascuna scala. Da quila di�erente accezione del termine trasposizione rispetto al suo consueto uso nellessico musicale italiano. Da qui in avanti si useranno le denominazioni usateda Messiaen. Stabilita la convinzione secondo cui:

• 1 = semitono

• 2 = tono

• 3 = terza minore

• 4 = terza maggiore

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• 6 = tritono

• 12 = ottava

e osservando che l'ottava, composta da dodici semitoni, può essere suddivisa in:

• dodici semitoni

• sei toni

• quattro terze minori

• tre terze maggiori

• due tritoni

possiamo allora elencare i possibili modi ottenibili:

Modi a una trasposizione

12 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = scala cromaticaVi è un'unica trasposizione in quanto ogni trasposizione della scala cromaticaripete sempre la stessa sequenza di intervalli.Modi a due trasposizioni

12 = 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = scala esatonaleVi sono solo due possibili trasposizioni: una partendo da do ed una partendoda do]; partendo da re si ritrovano le stesse note della prima trasposizione.Modi a tre trasposizioni

12 = 3 + 3 + 3 + 3 = arpeggio dell'accordo di settima diminuitaogni terza minore 3 si può dividere in 1+2 (equivalente a 2+1 facendo comin-ciare la scala dal secondo grado della precedente).Modi a quattro trasposizioni

12 = 4 + 4 + 4 = arpeggio della triade eccedenteogni terza maggiore (4), escluse le combinazioni precedenti (2+2), si può di-videre in:1+3 (equivalente a 3+1)2+1+1 (equivalente a 1+2+1 e a 1+1+2).Modi a sei trasposizioni

12 = 6 + 6Ogni tritono (6), escluse le combinazioni già incontrate (ad. es. 1+2+1+2) sipuò dividere in:1+5 (equivalente a 5+1)2+4 (equivalente a 4+2)1+4+1 (equivalente a 1+1+4 e a 4+1+1)1+3+2 (equiv. a 3+2+1 e a 2+1+3)1+2+3 (equiv. a 2+3+1 e a 3+1+2)2+2+1+1 (equivalente a 1+1+2+2 e a 1+2+2+1)1+1+3+1 (equivalente a 1+1+1+3, a 1+3+1+1 e a 3+1+1+1)1+1+1+2+1 (equivalente a 1+1+1+1+2 a 1+1+2+1+1, a 1+2+1+1+1 e a2+1+1+1+1)Messiaen non citò nella sua trattazione tutti questi modi, ma solamente 7. Fuda questa selezione che partorì i moduli melodici da lui preferiti. I primi 3modi di Messiaen corrispondono a una divisione dell'ottava rispettivamente in6, 4 e 3 parti uguali, mentre gli ultimi 4 modi derivano dall'uso di 4 di�erenti

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modelli di passi nella divisione dell'ottava in 2 parti uguali. Le con�gurazionisimmetriche ottenute dal sistema di Messiaen mostrano la ricchezza di sotto-simmetrie derivante dalla divisione temperata della scala in 12 parti uguali. Larappresentazione dei 7 modi di cui abbiamo parlato si serve ancora una voltadel dodecagono prima introdotto come si vede nella seguente �gura 20:

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Figura 20: I 7 modi a trasposizione limitata di O. Messiaen.

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7 Teorie Neo-Riemanniane e Tonnetz

L'evoluzione musicale cui si assistette durante il corso dei secoli portò verso la�ne dell'Ottocento al raggiungimento di una musica de�nita post-tonale, inten-dendo con questo termine una musica la cui conduzione andava al di là dellatonalità tradizionalmente concepita. Durante gli anni Ottanta del secolo scor-so la necessità di studiare alcuni passaggi tipici di questa musica impose aglistudiosi un nuovo approccio matematico dal momento che i vecchi strumenti dianalisi apparivano inadeguati alle nuove forme che risultavano essere non piùbasate sull'armonia tonale. In questa nuova matematizzazione con�uirono di-verse teorie tra cui, in primo luogo, quelle di Oettingen e Riemann2 limitate alcaso del sistema temperato (le teorie dei due studiosi avevano una portata piùampia), oltre che le teorie di Eulero (il quale propose un primo esempio di Ton-netz ) e gli strumenti forniti dalla cosiddetta Pitch set theory in cui con�uisconoa loro volta formalizzazioni algebriche e un approccio musicologico-sistematico�nalizzato alla comprensione della musica atonale. Ciò che ne derivò fu un nuo-vo approccio sistematico all'analisi musicale e la creazione di nuove teorie chetradizionalmente prendono il nome di teorie Neo-Riemanniane.

7.1 Tonnetz

Con Tonnetz (in tedesco 'rete di altezze') si intende un particolare grafo utilealla rappresentazione di relazioni tra altezze. Come appena accennato, la suaorigine si può far risalire ad Eulero, ma è con Oettingen e Riemann e i lorosuccessori che tale oggetto viene correttamente formalizzato. Lo studio di untale grafo e delle strutture ad esso collegate risulta essere interessante per dueragioni:

• Per spiegare con nuovi strumenti e favorire la comprensione il linguaggiousato nella musica post-tonale e triadica che per la prima volta comparvesulla scena al concludersi del secolo scorso.

• Per formalizzare in maniera nuova le speci�che trasformazioni esistenti trale triadi, oggetti musicali che caratterizzano la musica occidentale degliultimi cinquecento anni.

La costruzione di un tale oggetto risolve anche questioni 'pratiche' con cui icompositori si trovano ad aver spesso a che fare. Limitando la nostra trattazionea triadi maggiori e minori3, immaginiamo di voler costruire successioni di triaditali che ad ogni passaggio si muova solo un'altezza su tre.Grazie alla teoria che introdurremo saremo capaci di rispondere a domandecome:Qual è la catena di triadi più corta che posso costruire senza ripercorre passaggise voglio iniziare e �nire un brano in Do maggiore?Sarebbe possibile costruire una catena con un solo passaggio in più?E se volessi una catena con un numero di passaggi dispari?Se incominciassi da un'altra triade maggiore/minore?

2Ci stiamo riferendo a Hugo Riemann e non al celebre matematico Bernhard Riemann.3Ricordiamo che con triade maggiore (rispettivamente minore) si intende un accor-

do composto da tre note caratterizzato dalla presenza di un intervallo di terza maggiore(rispettivamente minore) e di quinta giusta

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7.2 Costruzione del Tonnetz

Per costruire il nostro Tonnetz dobbiamo disegnare un grafo di dodici verticiin cui ogni vertice rappresenti una classe di altezze, ovvero l'insieme di tuttii suoni aventi lo stesso nome (Do, Do],..), ma aventi altezze di�erenti. Nellacostruzione del Tonnetz due altezze sono adiacenti a meno di rivolto di quinta(o quarta), terza minore e terza maggiore (sesta maggiore e sesta minore)4. Ilgrafo che si ottiene è riportato nella seguente �gura:

Figura 21: Tonnetz

Senza entrare nel dettaglio elenchiamo qui le caratteristiche che constraddistin-guono tale grafo:

• Può essere immerso in un toro tramite immersione cellulare 5 tale che ognispigolo è contenuto nella frontiera di due facce distinte (in altre parole,nessuna faccia è adiacente a se stessa lungo uno spigolo). Il toro qui è lospazio ambiente pertanto la frontiera di ogni faccia è unione di spigoli.

• L'insieme degli automor�smi di tale grafo, ovvero il gruppo di trasfor-mazioni che mappa vertici in vertici e preserva le relazioni di adiacenza èisomorfo a D24.

• Il grafo è transitivo per vertici6: tale proprietà è importante perchè sot-tolinea il fatto che tale grafo, a meno di etichettamento, non permette didistinguere due vertici.

4Nella teoria dei gra� tale grafo è de�nito semplice e 6-regolare dal momento che non hapunti adiacenti con se stesso e il suo grado minimo e massimo coincidono con 6.

5Si de�nisce immersione di un grafo G in una super�cie S una funzione continua e iniettivai : G→ S. Nella maggior parte dei casi, il grafo G si assume sia un sottoinsieme della super�cieS, e la mappa i è la mappa di inclusione. Data un'immersione le componenti del sottoinsiemeS \G sono dette regioni. Se ogni regione è omeomorfa a un disco aperto, l'immersione è dettacellulare e le regioni sono dette facce dell'immersione. La chiusura nella super�cie S di unaregione in un'immersione cellulare non è necessariamente omeomorfa al disco chiuso.

6Un grafo si de�nisce transitivo per vertici se per qualsiasi coppia di vertici esiste unelemento del gruppo di automor�smi che mappa il primo nel secondo.

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7.3 Duale del Tonnetz

L'immersione del Tonnetz nel toro permette di considerarne il duale topologico,che permette di visualizzare con estrema semplicità relazioni tra triadi. Lefacce del Tonnetz rappresentano triadi se si considerano elementi delle stessei tre vertici che delimitano la faccia interessata. Siccome il duale topologicodi un grafo è un grafo che ha per vertici le facce del primo, ed è tale chedue vertici sono adiacenti se le due facce hanno una linea in comune, sembraragionevole etichettare i vertici del duale con il nome delle triadi in questione.Indicheremo d'ora in poi con D(Ton) il duale del Tonnetz. Elenchiamo qui lesue caratteristiche:

• D(Ton) ha 24 vertici, uno per ogni faccia del Tonnetz, contrassegnati inmodo tale che ad ognuno corrisponda una triade distinta e che quindii vertici costituenti D(Ton) corrispondano a tutte le triadi maggiori eminori;

• Due triadi sono adiacenti se hanno una linea (e quindi due vertici delTonnetz) in comune;

• D(Ton) è bipartito e in particolare l'insieme dei vertici è partizionato intriadi maggiori e minori;

• Anch'esso è tracciabile nel toro, Aut(D(Ton)) ∼= D24 ed è transitivo pervertici;

• D(D(Ton)) = Ton.

Con questa costruzione sono quindi ben in evidenza i collegamenti tra triadivicine ed è pertanto possibile rispondere alle domande che ci eravamo posti inprecedenza risolvendo il problema con estrema semplicità.

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Figura 22: Duale del Tonnetz

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7.4 Cicli Hamiltoniani

Un problema interessante riguardante il Tonnetz e il suo duale è lo studio deicicli hamiltoniani in D(Ton) ovvero di quei cicli massimali che passano una solavolta per tutti i punti; musicalmente ciò corrisponde a trovare quelle successionidi triadi che cambiando una sola altezza ad ogni passo passano per tutte letonalità maggiori e minori costituendo un ciclo. Il problema combinatorio delconteggio dei cicli hamiltoniani in un grafo è risolubile attraverso una ricercaesaustiva. Elenchiamo di seguito i 62 cicli hamiltoniani trovati con l'uso di uncalcolatore:

Figura 23: Elenco dei 62 cicli hamiltoniani di D(Ton)

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7.4.1 Un esempio di ciclo hamiltoniano: la nona sinfonia di Beethoven

Nella �gura sopra riportata abbiamo evidenziato la prima riga dell'elenco con-trassegnandola con la sigla H1. Il ciclo hamiltoniano contenuto nella riga è ilciclo più semplice che si possa costruire, nonchè molto interessante da un puntodi vista musicale. L'intero ciclo permette di passare per tutte le ventiquattrotriadi maggiori e minori muovendosi nell'insieme delle altezze attraverso passag-gi molto graduali che rendono quasi impercettibile il passaggio da un insiemeall'altro. Il movimento avviene sempre attraverso tutte le triadi in comune diinsiemi diatonici che si distinguono per una sola alterazione. L. V. Beethoven,tra le misure 143 e 176 del secondo tempo della sua Nona Sinfonia, dà avvio a unciclo H1 dopo una cadenza perfetta su Do maggiore, interrompendosi dopo 18trasformazioni (cioè dopo aver toccato 19 triadi): inizia dunque in Do maggioree termina con La maggiore prima di iniziare, con un passaggio cromatico, unanuova sezione in Mi minore.

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Figura 24: Battute 143-176 del secondo tempo della Nona Sinfonia di L.V.Beethoven

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Riferimenti bibliogra�ci

[1] Giovanni Albini,Modelli Matematici Per L'Analisi E La Composizione Mu-sicale: Uno Studio Sul Tonnetz E Sulle Teorie Neo-Riemanniane, tesi diLaurea Specialistica, Università di Pavia, A.A. 2007/2008.

[2] David J. Benson, Music: a Mathematical O�ering, disponibile online, 2008.

[3] Marco P. Bernardi, Giovanni Albini, Slides di presentazione della lezioneMusica e Matematica tenuta presso il Collegio Borromeo di Pavia il giorno12/11/2010.

[4] Enrico Cupellini, Simmetrie in musica, articolo disponibile sulla paginaweb personale dell'autore, 1999.

[5] Athanassios Economou, The Symmetry Of The Equal Temperament Scale,Mathematics and Design, College of Architecture, Georgia Institute ofTechnology, USA, 1998.

[6] Daniela Galante, Aspetti Didattici Dello Studio Delle TrasformazioniGeometriche, articolo disponibile su internet.

[7] Jonathan L. Gross, Thomas W. Tucker Topological Graph Theory, WilleyInterscience, 1987.

[8] David J. Hunter, Paul T. von Hippel, How rare is simmetry in musi-cal 12-ton rows?, The mathematical association of America, monthly 110,Febbraio 2003.

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