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ANNO ACCADEMICO 2011 - 2012

1

CORSO DI

MECCANICA DELLE TERRE

LEZIONE 3

TENSIONI E DEFORMAZIONI NELLE TERRE

Prof. Ing. Geol. Eugenio Castelli

Dipartimento di Ingegneria Civile ed Architettura

Universit degli studi di Trieste

LEZIONE 3. TENSIONI E DEFORMAZIONI NELLE TERRE 2

COMPORTAMENTO DEI MATERIALI

L'applicazione di una sollecitazione ad ogni materiale da luogo ad una deformazione e ad una distorsione.

Qualora non si abbia alcuna deformazione o distorsione si dice che il materiale rigido.

Se sotto l'applicazione di una sollecitazione si hanno deformazioni o distorsioni del materiale anche variabili

nel tempo, ma che raggiungono un valore finito, mentre mantenuto lo stato di tensione, allora si dice che il

materiale solido.

Se sotto l'applicazione di una sollecitazione si ha un continuo aumento delle deformazioni o delle distorsioni

si dice che il materiale fluido.

In meccanica si definisce fluido perfetto un continuo all'interno del quale la pressione in un punto sempre

diretta perpendicolarmente ad ogni sezione infinitesimale che passa per quel punto in ogni arbitraria

direzione.

Gli elementi di un solido possono invece trasmettere attraverso ogni sezione oltre alle componenti normali

delle sollecitazioni anche componenti tangenziali.

Tutti i fluidi a riposo possono essere considerati fluidi perfetti, mentre nei fluidi in moto si pu osservare la

presenza di tensioni tangenziali.

Si deve ancora ricordare che un materiale, le cui propriet in un punto si manifestano ugualmente in tutte le

direzioni, detto isotropo; se queste propriet sono costanti in tutti i punti della massa il materiale detto

omogeneo.

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La meccanica del continuo basata sulle principali leggi e principi della fisica cui si associa la costituzione

interna del materiale che gioca un ruolo molto importante.

Una legge costitutiva data da un modello matematico che descrive le nostre idee sul comportamento di un

materiale; il vantaggio principale di avere un modello matematico quello di poterlo applicare ad eventi

quantitativamente complessi, ma ovviamente la sua potenzialit dipende da quanto il fenomeno fisico

stato capito e simulato.

molto difficile ricostruire una legge costitutiva che copra tutti i possibili campi e modi di eccitazione e di

comportamento di uno stesso materiale; pertanto necessario limitare la considerazione del problema a

campi di specifico interesse.

Il comportamento meccanico dei terreni argomento vasto e complesso; i terreni hanno infatti una struttura

composta da particelle, pi o meno grandi, che interagiscono fra di loro.

Ricostruire un modello matematico che descriva puntualmente le idee sul comportamento di un materiale

cosa alquanto complicata, forse inutile in molteplici situazioni. Pertanto, per superare le innumerevoli

problematiche, si assume l'ipotesi di un mezzo ideale e continuo, in modo tale che ogni elemento

infinitesimale abbia le stesse propriet del corpo nel suo insieme.

Il comportamento dei materiali, sottoposti a carichi esterni, pu essere studiato e compreso a livelli diversi,

ovvero da considerazioni matematiche astratte a considerazioni empiriche ed intuitive.

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Gli aspetti principali di cui ogni modello deve tenere conto sono i seguenti:

il legame sforzi-deformazioni non lineare anche nell'ambito di un comportamento elastico; una cospicua aliquota delle deformazioni totali irreversibile; le caratteristiche sforzi-deformazioni-resistenza dipendono dalla tensione di confinamento e dalle

condizioni di deformazione;

si ha interazione tra le varie fasi costituenti il terreno e si deve prevedere la pressione interstiziale generata da ogni variazione i dello stato tensionale;

vi sono fenomeni di dilatanza e dipendono dalla tensione di confinamento; si ha comportamento instabile (strain-softening) dei materiali sabbiosi molto addensati e delle argille

sovraconsolidate;

le caratteristiche sforzi-deformazioni-resistenza dipendono anche dalla direzione di sollecitazione (anisotropia).

A tali aspetti, gi di notevole complicazione, vanno poi sommati quelli dipendenti da fenomeni di viscosit

strutturale (tixotropia, rilassamento, creep).

Ne consegue l'impossibilit di avere un unico modello in grado di descrivere tutti i sopramenzionati aspetti e

la necessit quindi di individuare correttamente i limiti di applicazione e il significato fisico dei parametri che

essi utilizzano nell'ambito dei modelli pi semplici.

D'altro lato evidente che tutti gli aspetti sopraindicati non hanno lo stesso peso per i vari terreni e per le

diverse situazioni.

I modelli classici fondamentali sono quelli di solido elastico, di mezzo plastico e di mezzo viscoso.


MODELLI REOLOGICI

La reologia studia landamento delle deformazioni nella materia sotto leffetto dellapplicazione di un

sistema di sollecitazioni; essa cerca di caratterizzare il comportamento meccanico dei materiali mediante

la definizione di modelli matematici che stabiliscano dei legami tra tensioni, deformazioni e tempo (detti

legami costitutivi).

La meccanica dei terreni ricorre allimpiego di modelli reologici, ovvero di schemi pi o meno

semplificati, per linterpretazione di fenomeni fisici complessi e per la previsione del comportamento

dei vari mezzi in seguito allapplicazione di un sistema di sollecitazioni.

N.B. Un modello reologico non legato solo al tipo di materiale, ma anche e soprattutto al fenomeno

fisico che lo interessa; per questo motivo la scelta del tipo di modello strettamente dipendente oltre che

dal tipo di materiale, da quello dellapplicazione ingegneristica considerata.

Tra i modelli classici, quelli di maggiore interesse nellambito

della meccanica dei terreni sono:

a) il modello elastico

b) il modello plastico

c) il modello viscoso

Possono essere assunti singolarmente o in combinazione tra loro

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Modello elastico

Il comportamento di un corpo definito elastico se le deformazioni prodotte da un sistema di sollecitazioni

scompaiono una volta rimosse tali sollecitazioni. La relazione sforzideformazioni

biunivoca e indipendente dal tempo: una stessa sollecitazione produce sempre la stessa deformazione anche

se applicata ripetutamente.

Il simbolo comunemente usato per rappresentare lelasticit di un mezzo una molla, e lo schema

monodimensionale semplificato quello di Hooke.

Se si immagina di applicare una forza F allestremit libera del

carrello e di registrarne lo spostamento s, la relazione tra F ed s

del tipo: F = f(s).

Se f(s) una funzione lineare (linea (a)), ovvero: F = Ks con K = costante, si parla di comportamento elastico-lineare, con

K costante elastica del mezzo.

Se dipende dal livello di sforzo (o di deformazione) raggiunto

(curva (b)), si parla di legame elastico non lineare. La funzione

che rappresenta un legame elastico non lineare pu essere

approssimata con una funzione lineare a tratti, su intervalli

opportunamente piccoli dello spostamento.

Le principali applicazioni geotecniche per le quali viene spesso

assunta lipotesi di comportamento elastico del terreno sono:

il calcolo delle deformazioni nei terreni sovraconsolidati;

lanalisi della diffusione delle tensioni nel terreno;

il calcolo delle strutture di fondazione.

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Modello plastico

Il comportamento di un corpo definito plastico se, raggiunta una determinata soglia di sollecitazione, si

manifestano deformazioni permanenti (ossia che si conservano anche una volta rimosse le sollecitazioni) e

indipendenti dalla durata delle sollecitazioni applicate.

La relazione sforzi-deformazioni quindi indipendente dal tempo e non biunivoca: ad uno stesso valore della

deformazione, s, possono corrispondere valori diversi della sollecitazione, F.

La plasticit di un mezzo pu essere rappresentata mediante un pattino ad attrito, secondo lo schema

monodimensionale semplificato di Coulomb.

Se si immagina di applicare una forza F allestremit libera del

carrello collegato al pattino, si osserva che non si hanno

spostamenti fino a che la sollecitazione non raggiunge un valore

limite F*.

In corrispondenza di tale valore lo spostamento plastico pu

avvenire:

1. a forza applicata costante (mezzo plastico perfetto) (linea (a));

2. progredire con aumento della forza applicata (linea (b)) o

diminuzione della forza applicata (linea (c)), si parla,

rispettivamente, di mezzo incrudente positivamente o

negativamente.

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Annullando la forza F non si ha alcun recupero dello spostamento accumulato; incrementando nuovamente la

forza F il pattino rimarr fermo nella posizione assunta sotto il carico precedente, fino a che lintensit della

forza applicata non raggiunge il nuovo valore limite F*, che sar uguale al precedente per mezzo plastico

perfetto, maggiore per mezzo incrudente positivamente, minore per mezzo incrudente negativamente.

La relazione tra lo spostamento plastico, dsp, e laliquota

di forza che eccede F*, dF*, del tipo:

dove H, detto coefficiente di incrudimento, sar uguale

a zero per mezzo plastico perfetto, positivo per mezzo

incrudente positivamente, negativo per mezzo incrudente

negativamente.

Nelle applicazioni geotecniche lipotesi di comportamento plastico assunta nella trattazione dei

problemi di stabilit, per i quali si fa riferimento alle condizioni di equilibrio limite (capacit

portante delle fondazioni, stabilit dei pendii, delle opere di sostegno, ecc..)


Modello viscoso

Il modello di mezzo viscoso caratterizzato dall'esistenza di un legame tra la sollecitazione applicata e

la velocit di deformazione corrispondente che esprime la velocit u di spostamento relativo tra due

piani paralleli posti alla distanza a e che scorrono con la sostanza liquida.

Il mezzo viscoso caratterizzato da deformazioni permanenti che si sviluppano con una velocit legata

alla sollecitazione applicata. La velocit di deformazione si annulla allannullarsi della sollecitazione.

Il simbolo con cui si rappresenta la viscosit di un mezzo lo smorzatore viscoso (o ammortizzatore

idraulico) costituito da un pistone forato che scorre in un cilindro pieno di liquido.

Lo schema monodimensionale semplificato del modello in genere

quello dovuto a Newton.

Se si immagina di applicare una forza F allestremit libera del carrello e

di registrarne lo spostamento s, si osserva una relazione tra F e la

velocit di spostamento s = ds/dt , ossia (linea (a): comportamento di un

mezzo viscoso).

Se f(s) una funzione lineare (linea (b): comportamento mezzo viscoso

perfetto o newtoniano, con viscosit del mezzo).


RELAZIONI TRA SFORZI E DEFORMAZIONI NELLE TERRE

Nelle terre si ha la presenza di una quantit di diversi comportamenti in relazione alle sollecitazioni in gioco

e alle deformazioni corrispondenti.

Vi innanzitutto una notevole differenza di comportamento tra terre granulari e terre coesive; inoltre le terre

hanno in generale un comportamento non lineare e spesso anelastico e quindi le deformazioni dipendono

dalla sequenza delle sollecitazioni.

Per lo studio di questi comportamenti necessario ricorrere a diversi tipi di apparecchiature di laboratorio

che sottopongono il provino a diverse condizioni al contorno, sia come tensioni totali e neutrali che come

spostamenti.

Nelle terre abbastanza spesso le situazioni pi frequenti e onerose si hanno con materiale saturo; nelle prove

perci necessario considerare I'interazione tra la fase liquida e la fase solida ed in particolare definire cosa

si intenda per condizioni drenate e condizioni non drenate.


Le tensioni in ogni punto di una sezione attraverso una massa di terreno possono essere calcolate dalle

tensioni principali totali: 1, 2 e 3 che agiscono in quel punto. Se i pori del terreno sono pieni dacqua ad

una pressione u, le tensioni principali totali possono scomporsi in due parti. Una parte, u, agisce nellacqua

e nella fase solida in tutte le direzioni con eguale intensit, ed chiamata pressione neutra (o pressione di

pori). Le differenze 1 = 1 u, 2 = 2 u, e 3 = 3 u rappresentano un incremento rispetto alla

pressione neutra ed hanno sede esclusivamente nella fase solida del terreno.

Questa frazione della tensione totale principale sar chiamata tensione principale efficace.

Si accetta che le propriet di un elemento di terreno, infinitesimo o finito, siano le stesse, e che si possano

estendere anche ai terreni i concetti di tensione e deformazione propri dei mezzi continui con le relative

notazioni. E necessario stabilire una legge di interazione tra le fasi, ovvero tra i due continui solido e fluido

che occupano lo stesso volume di terreno. Tale legge il principio delle tensioni efficaci, enunciato da Karl

Terzaghi nel 1923:

Ogni effetto misurabile di una variazione dello stato di tensione, come la compressione, la distorsione e la

variazione di resistenza al taglio attribuibile esclusivamente a variazioni delle tensioni efficaci.

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JosembiTypewritten TextDef: PRINCIPIO DELLE TENSIONI EFFICACI (Karl Terzaghi 1923)


Si osservi che:

Terzaghi non attribuisce alcun significato fisico alle tensioni principali efficaci, ma le definisce

semplicemente come differenza tra tensioni principali totali e pressione interstiziale;

le tensioni principali efficaci non sono dunque direttamente misurabili, ma possono essere desunte solo

attraverso la contemporanea conoscenza delle tensioni principali totali e della pressione interstiziale;

il principio delle tensioni efficaci una relazione di carattere empirico (Terzaghi precisa infatti che Ogni

effetto misurabile.....), sebbene sia stato finora sempre confermato allevidenza sperimentale.

In definitiva per studiare il comportamento meccanico di un terreno saturo ci si riferisce a due mezzi continui

sovrapposti e mutuamente interagenti, e si definiscono in ogni punto il tensore delle tensioni totali, il tensore

delle pressioni interstiziali (isotropo) e, per differenza, il tensore delle tensioni efficaci.

Importanti implicazioni del principio delle tensioni efficaci sono:

una variazione di tensione efficace comporta una variazione di resistenza,

se non vi variazione di tensione efficace non varia la resistenza,

una variazione di volume sempre accompagnata da una variazione di tensione efficace,

una variazione di tensione efficace non comporta necessariamente una variazione di volume,

condizione necessaria e sufficiente affinch si verifichi una variazione di stato tensionale efficace che la

struttura del terreno si deformi, la deformazione pu essere volumetrica, di taglio o entrambe.

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Condizioni drenate

Quando si in condizioni drenate, in ogni elemento di terra e in ogni istante la variazione delle tensioni

effettive uguale a quella delle tensioni totali e quindi sufficiente misurare queste ultime. evidente che

per avere le condizioni drenate il provino deve essere collegato idraulicamente con l'esterno; inoltre per le

terre a bassa permeabilit le sollecitazioni esterne devono variare lentamente in modo da non provocare

variazioni delle pressioni neutrali e quindi permettere alla fase solida di deformarsi come se non ci fosse

acqua. Per i terreni granulari che hanno quasi sempre una permeabilit alta le condizioni drenate si ottengono

anche con velocit di carico relativamente elevate, ovviamente sempre che il provino sia collegato

idraulicamente con l'esterno.

Condizioni non drenate

Le condizioni non drenate si ottengono quando non vi collegamento idraulico con l'esterno e quando le

sollecitazioni agiscono in tempi brevi rispetto a quelli necessari per avere il movimento ed eventualmente

l'espulsione dell'acqua. Nelle condizioni non drenate con mezzo saturo, poich si considerano incompressibili

la parte solida e l'acqua, non si hanno variazioni di volume. In condizioni non drenate per determinare le

tensioni efficaci si devono misurare le tensioni neutrali e applicare il principio delle tensioni effettive.

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Se consideriamo allinterno di un deposito di terreno un generico punto P, con riferimento ad un elemento

cubico infinitesimo di terreno, i cui lati sono orientati secondo un sistema di riferimento cartesiano

ortonormale (0,x,y,z) con asse z verticale, lo stato tensionale pu essere definito una volta note le componenti

normali, , e tangenziali, , delle tensioni agenti sulle facce dellelemento di terreno considerato. Tali tensioni

sono legate tra loro ed alle componenti dPx, dPy e dPz delle forze di volume, presenti nellelemento,

attraverso le equazioni indefinite di equilibrio alla traslazione e alla rotazione:


Nel caso di:

piano di campagna orizzontale ed infinitamente esteso uniformit orizzontale delle propriet del terreno (quindi terreno omogeneo od eventualmente

stratificato, con disposizione orizzontale degli strati)

falda orizzontale e in condizioni di equilibrio idrostatico si realizza per ragioni di simmetria uno stato tensionale assial-simmetrico rispetto allasse z, in cui in

ogni punto il piano orizzontale e tutti i piani verticali sono principali e le tensioni orizzontali sono tra

loro uguali, in tutte le direzioni. Si pu pertanto porre:

Lo stato tensionale totale in un generico punto P pu essere dunque univocamente definito mediante

una tensione totale verticale, z = v, e una tensione totale orizzontale, h =x = y.

yx 0 zxyzxy


Se per esaminiamo la situazione in corrispondenza delle fondazioni e dei pendii necessario considerare il

sistema generale delle tensioni.

Idealmente, quando si vuole sottoporre un campione di terreno a prove meccaniche, si dovrebbe cercare di

trasferire l'elemento di terreno dalla sua ubicazione naturale all'apparecchio di prova senza disturbo; quindi si

dovrebbero modificare le tensioni e osservare le corrispondenti deformazioni e pressioni neutrali.

Inoltre sarebbe importante poter imporre al provino uno stato di tensioni generali e il provino dovrebbe essere

libero di cambiare lo stato di tensioni in modo che i piani principali possano ruotare durante il carico; infine

l'apparecchiatura ideale dovrebbe permettere di assoggettare il provino agli stati di tensione e di

deformazione pi diversi che possono verificarsi in situ. In pratica impossibile ottenere questo; vi il

disturbo legato al campionamento e quello legato alle variazioni di tensione per la preparazione del provino.

Le difficolt tecniche sono tali per cui si sono ideati parecchi tipi di attrezzature, ognuno dei quali sollecita il

campione di terreno in modo particolare e solo parzialmente pu riprodurre le variazioni di stati tensionali

che si hanno in situ.

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Una grossa difficolt collegata al fatto che si hanno spesso grandi deformazioni del provino; con terreni

densi e compatti si arriva a rottura con deformazioni del 5% della dimensione iniziale del provino, ma con

terreni argillosi molli si arriva con facilit a deformazioni del 20 40%. Con queste grandi deformazioni

possono sorgere interferenze con le piastre di carico. Un'attrezzatura di carico applicher le forze

generalmente attraverso piastre rigide o membrane flessibili e, poich sono quasi sempre forze di

compressione, non necessario che le piastre o le membrane siano attaccate al campione. Attraverso la

piastra, generalmente piana, si trasferiscono al campione forze normali Fa e forze tangenziali Fab e Fac. Si fa

l'ipotesi che le tensioni di contatto siano uniformi sulla faccia della piastra e che le tensioni siano date

semplicemente da:

a

aa

A

F

a

abab

A

F

a

acac

A

F

Questo valido per piastre ruvide mentre per piastre lisce ab = ac =0 e

quindi in questo caso avremo piani principali paralleli ai piani della

piastra e tensioni perpendicolari ai piani della piastra, cio tensioni

principali.

Una membrana flessibile consiste in un diaframma sottile e molto

deformabile, generalmente di gomma, con un fluido che agisce su di

esso e quindi trasmette forze senza contatto diretto con il provino. Se il

diaframma sottile e flessibile non verr trasmessa alcuna tensione di

taglio al terreno, i piani paralleli alle facce della membrana saranno piani

principali nel campione e la pressione del fluido sulla membrana sar

una tensione principale.


Una prima classe di attrezzature

caratterizzata dalla coincidenza dei piani

principali delle tensioni e delle deformazioni e il

campione contenuto da piastre rigide, lisce e

non ruotanti, o da membrane flessibili.

Se consideriamo un campione prismatico si ha

che le tensioni z, y , e x sono tensioni

principali che alternativamente possono essere la

maggiore, la media e la minore; con un

campione cilindrico usualmente si indica con r

la tensione radiale e con a , la tensione assiale e

si fa la semplice ipotesi che la tensione

tangenziale t sia uguale a r .

In questa classe di attrezzature le prove

utilizzate comunemente per ricavare le

caratteristiche del terreno da usare nella

progettazione sono quelle di compressione

cilindrica (usualmente e impropriamente detta

triassiale), di compressione edometrica e di

compressione uniassiale, mentre la prova

triassiale vera o quella di deformazione piana o

biassiale vengono eseguite nei laboratori di

ricerca con apparecchiature speciali.


Un secondo tipo di attrezzature di prova riguarda le prove di taglio

ed caratterizzato da piastre usualmente ruvide e che possono non

ruotare o ruotare; di conseguenza i confini del campione non sono

necessariamente piani principali delle tensioni o delle deformazioni e

i piani principali possono ruotare.

In Figura sono indicati i tre tipi di prova: di taglio diretto, di taglio

semplice e di torsione.

Lo stato di tensione nelle prove di torsione uguale a quello che si ha

nel taglio diretto, ma nella prima prova si possono applicare

deformazioni di taglio molto rilevanti ed cos possibile studiare la

resistenza al taglio residua.

La prova di taglio diretto viene adoperata usualmente, mentre quelle

di taglio semplice e di torsione sono utilizzate quasi solamente in

laboratori di ricerca.


TENSIONI LITOSTATICHE E STORIA DELLO STATO TENSIONALE

Lo stato tensionale esistente in un punto del terreno dipende dal peso proprio del terreno, dalla sua storia

tensionale, dalle condizioni di falda e dai carichi esterni ad esso applicati.

Tensioni dovute al peso proprio. La conoscenza di queste tensioni, dette litostatiche o geostatiche,

importante per valutare adeguatamente i dati che si raccolgono con le prove di laboratorio e con le prove

in situ. Un caso semplice e frequente quello di terreno delimitato da una superficie orizzontale e con

caratteristiche uniformi in direzione orizzontale. In questa situazione i piani verticali e orizzontali sono

piani principali e quindi su questi piani non si hanno tensioni tangenziali.

La tensione verticale totale alla profondit z data, nel caso di terreno omogeneo con peso di volume ,

dalla relazione molto semplice:

E nel caso di terreno stratificato da:

La tensione verticale litostatica efficace v0,, conoscendo le condizioni di falda e quindi il valore della

pressione dell'acqua u0, data da:

La determinazione dei valori della tensione orizzontale h0 , costituisce un problema complicato, poich

il suo valore dipende dalla storia tensionale del deposito, cio dal susseguirsi delle tensioni

come entit e durata fino allo stato attuale.

zv 0

iiv z 0

000' uvv

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In genere la tensione orizzontale effettiva viene espressa in funzione di quella verticale come:

I1 valore di K dipende principalmente dalle deformazioni orizzontali avvenute e dal grado di

sovraconsolidazione.

I1 rapporto esistente tra la tensione orizzontale efficace h0 e quella verticale efficace v0 in una situazione

di condizioni litostatiche data da:

con K0 denominato coefficiente di spinta a riposo e avente valore compreso tra 0,4 e 0,6.

Questa situazione di condizioni litostatiche in genere modificata da altri fenomeni, quali ad esempio

variazioni del livello di falda, capillarit, movimenti tettonici, cementazione, incrudimento tixotropico, creep

drenato (aging), ecc.

I1 verificarsi o meno di questi fenomeni influenza notevolmente il comportamento del terreno e lo stato

tensionale naturale. Per questo si parla di storia tensionale del deposito.

vh K ''

000 'vh K


La tensione verticale totale nel punto P (Figura 3.5a), in corrispondenza del piano di campagna,

inizialmente uguale alla pressione interstiziale, quindi la tensione efficace verticale risulta nulla. Durante la

deposizione, dopo un certo periodo di tempo, il terreno nel punto P si trova ad una certa profondit z dal

piano di campagna, e una volta raggiunto lequilibrio sotto lazione del peso del terreno sovrastante, si

osserva che la pressione interstiziale rimasta immutata, mentre per effetto del peso del terreno sovrastante,

aumentata la tensione verticale totale e con essa, per il principio delle tensioni efficaci, anche

la tensione efficace verticale, v(A).

Tale fenomeno di deformazione

monodimensionale pu essere descritto

riportando su un grafico in scala

semilogaritmica la tensione efficace

verticale nel punto P considerato e

lindice dei vuoti corrispondente,

raggiunto al procedere della deposizione

del materiale. I valori si dispongono su

una retta detta linea di compressione

vergine (linea ABC in Figura 3.5b).

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JosembiLine

JosembiSticky NoteIl punto C detta Pressione di Consolidazione. Il terreno in questo punto si definisce SOVRACONSOLIDATO (OC)

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JosembiSticky NoteNel punto D vi il GRADO DI SOVRACONSOLIDAZIONE. (OCR {Over Consolidation Ratio})

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JosembiLine

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La storia tensionale notevolmente importante per i depositi di argilla,

ma la sua ricostruzione difficile.

Un'argilla di recente deposizione, che sotto l'effetto del proprio peso ha

raggiunto una situazione di equilibrio senza aver subito ancora

deformazioni differite nel tempo (aging), indicata come

normalconsolidata.

Durante la consolidazione, il terreno sotto il peso degli strati sovrastanti

assoggettato ad una compressione assiale senza deformazioni laterali,

date le condizioni di simmetria che devono essere soddisfatte

considerando che il fenomeno avviene su un'area grande. I1 fenomeno

pu essere descritto da una relazione lineare nel diagramma in cui

l'indice dei pori e in scala normale e la pressione verticale efficace

v0 in scala logaritmica.

In queste condizioni il coefficiente di spinta a riposo Ko (NC) dipende

solo dalla natura del terreno, e pu essere determinato e , mediante

formule empiriche.

Per molti terreni naturali normalmente consolidati viene utilizzata la

formula di Jaky :

che d valori abbastanza corrispondenti a quelli che si ottengono nelle

prove di laboratorio.

Figura 9

'10 senK

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Molti depositi di argilla, dopo le fasi di sedimentazione e di

consolidazione hanno subito una fase di erosione con conseguente

scarico tensionale: in questi casi la massima tensione effettiva p

sopportata durante la storia geologica risulta superiore a quella

attuale v0 .

L'argilla, per questo effetto di precompressione, viene detta

sovraconsolidata e ha una struttura caratterizzata da una

maggiore resistenza al taglio e da una minore compressibilit.

Il fenomeno pu essere descritto ancora nel diagramma e-

log v (Figura 9). I depositi che durante la loro storia sono stati

assoggettati a tensioni v ; superiori alla tensione attuale v0

sono definiti sovraconsolidati e l'entit del fenomeno di

sovraconsolidazione usualmente individuata dal parametro:

denominato grado di sovraconsolidazione .

La tensione v0 si calcola come gi stato detto, mentre la

pressione di consolidazione p determinata sperimentalmente

per mezzo di prove di laboratorio.

Figura 9

0

'

)(v

pioidationRatOverConsolOCR


I1 grado di sovraconsolidazione conseguente a fenomeni di erosione massimo vicino alla superficie e

tende all'unit con l'aumentare della profondit, poich la diminuzione di pressione conseguente

all'erosione costante, mentre la pressione effettiva aumenta con la profondit.

Variazioni del livello di falda danno luogo a sovraconsolidazione e in prossimit della superficie

l'oscillazione di falda accompagnata dall'azione dell'evaporazione e della capillarit, per cui si

pu avere un grado di sovraconsolidazione pi elevato.

L'essiccamento, il gelo e l'ossidazione agenti sul terreno argilloso superficiale danno luogo alla

formazione di una crosta superficiale, il cui spessore dipende dalla permeabilit dell'argilla e dalle

condizioni climatiche. Questa crosta formata da argilla compatta, talora fessurata, con contenuto d'acqua

vicino al limite di plasticit.

OCRNCKOCK )()( 00

Quando il terreno passa da uno stato normalconsolidato a uno sovraconsolidato, il coefficiente di

spinta a riposo K0 aumenta e pu essere valutato mediante relazioni empiriche del tipo (Schmidt,1966;

Alpan, 1967)

Un valore di = 0,5, come suggerito da Meyerhof (1976), pu essere usato per molte argille.


Se dopo la sedimentazione l'argilla rimane sotto l'azione di v0 per molto tempo, essa continua a

deformarsi per creep in condizioni drenate, come si pu vedere in Figura.

Questo fenomeno di invecchiamento, indicato

come aging, corrisponde a una configurazione dei

grani pi stabile quindi ad una maggiore resistenza e

minore compressibilit.

Se successivamente l'argilla assoggettata ad una

v0 maggiore, il comportamento simile a quello

di un terreno sovraconsolidato, fino a che non viene

superata una soglia critica pc indicata come

pressione critica o pressione di quasi-

sovraconsolidazione (Bjerrum, 1967).

Tale fenomeno caratterizzato dal fatto che il valore

di pc proporzionale alla v0 e il rapporto pc / v0

costante in un deposito omogeneo e aumenta

all'aumentare di Ip, fino a un massimo di 2.


Anche per le sabbie si pu fare riferimento a terre normalmente consolidate e a terre

sovraconsolidate; il grado di sovraconsolidazione determinabile con molte difficolt.

La formula di Jaky

K0 (NC) = l sin

pu essere utilizzata anche per le sabbie.

In genere molti depositi naturali hanno una storia geologica piuttosto complessa, e

conseguentemente anche una storia tensionale complessa.

Pertanto i valori di K0 corrispondenti ad uno stesso valore di v e di v0 possono essere diversi

in relazione alla loro storia tensionale.

Si pu quindi affermare che le relazioni empiriche che permettono un calcolo del coefficiente Ko

sono applicabili soltanto ai depositi normalconsolidati e ai depositi che hanno subito una

sovraconsolidazione di tipo meccanico a seguito di uno scarico.

In tutti gli altri casi la pressione orizzontale pu essere soltanto misurata direttamente con prove in

situ.


COMPRESSIONE EDOMETRICA DELLE ARGILLE E CONSOLIDAZIONE

Le caratteristiche di compressibilit delle terre sono spesso determinate mediante le prove di

compressione edometrica.

Le condizioni al contorno per queste prove sono caratterizzate da uno stato di simmetria radiale e

dall'assenza di componenti radiali della deformazione che quindi monodimensionale.

Le prove edometriche sono semplici nelle apparecchiature e nelle procedure operative e

rappresentano la consolidazione naturale del terreno sotto il peso degli strati sovrastanti, cio una

compressione assiale senza deformazioni laterali.

La prova edometrica standard viene eseguita incrementando con progressione geometrica il

carico assiale, che ad ogni gradino viene mantenuto costante per un tempo sufficiente a completare

il fenomeno idraulico legato alla sua applicazione, fenomeno detto di consolidazione.

Quando un nuovo carico applicato al terreno si possono avere variazioni di volume per

compressione delle particelle solide, per compressione del fluido che riempie i pori e per

espulsione del fluido e riaggiustamento delle particelle solide in una nuova posizione,

corrispondente ad un indice dei vuoti pi piccolo. La compressibilit delle particelle solide e

dell'acqua per molto piccola rispetto a quella della struttura del terreno.

Nelle terre sature si hanno perci variazioni di volume apprezzabili solo per il riaggiustamento

delle particelle con espulsione del fluido.

La pressione efficace controlla sia le variazioni di volume che la resistenza al taglio ed legata

alla pressione totale e neutrale dalla relazione ' = - u.

In un'argilla satura, poich il fluido dei pori incompressibile, un aumento uniforme della

pressione totale (1 =2 =3 ) d luogo ad un eguale incremento della pressione neutrale, cio = u.

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D'altro lato l'aumento di pressione neutrale in una zona caricata d luogo a un movimento di

allontanamento dell'acqua, mentre il volume del terreno della zona caricata diminuisce. Questa

variazione di volume, accompagnata dall'espulsione del fluido, chiamata consolidazione.

Il processo continua e dopo un certo tempo t2 avremo

un'altra curva isocrona t2 e dopo un tempo

relativamente lungo, cio per t = t la sovrappressione

dell'acqua diventer nulla.

In questo modello fisico la molla rappresenta lo

scheletro solido del terreno, l'acqua il fluido

interstiziale, i fori nei pistoni la permeabilit.

Nella prova edometrica standard si ha consolidazione

unidimensionale e si misura la velocit e l'entit degli

assestamenti derivanti dalle variazioni di volume del

campione.

Il fenomeno pu essere rappresentato nel modo seguente.

Un recipiente cilindrico contiene una serie di pistoni forati e separati gli uni dagli altri con delle molle.

Tutto lo spazio vuoto riempito d'acqua; applicando una pressione unitaria p in superficie, al primo

istante essa tutta sopportata dall'acqua; dopo un certo tempo t1 la parte superiore del recipiente ha

perso un po' d'acqua e la diminuzione di volume ha messo in compressione le molle in questa zona,

mentre nella parte inferiore non cambiato nulla. Nei piezometri il comportamento rappresentato

dalla curva isocrona t1.


I1 campione indisturbato di argilla posto in un anello metallico, cosicch impedito ogni movimento

laterale, mentre sulle facce superiori e inferiori sono poste delle piastre porose che permettono il

drenaggio dell'acqua solo in direzione verticale. Il campione caricato verticalmente e si misurano i

cedimenti nel tempo a carico costante. Quando il cedimento sostanzialmente completato (di solito

dopo 24 ore), si aumenta la pressione e si misurano i cedimenti nel tempo con il nuovo carico. Il

procedimento viene ripetuto per tutto il campo di pressioni che si deve studiare. Le dimensioni del

provino rappresentano un compromesso tra varie esigenze.

Al crescere delle dimensioni del provino cresce la sua

rappresentativit delle caratteristiche dello strato; in

realt nella maggior parte dei casi il provino viene

ricavato da campioni indisturbati che frequentemente

hanno diametro di 8 10 cm. Il rapporto diametro-

altezza in genere non devessere inferiore a 2,5 per

ridurre al minimo l'influenza dell'attrito tra la

superficie laterale e l'anello di contenimento.

Si fa generalmente uso di provini di diametro non

inferiore a 50 mm e spessore non inferiore a 19 mm.

Gli incrementi di carico verticale sono applicati in

progressione geometrica, ad esempio, con questa

sequenza: 25, 50, 100, 200, 400, 800, 1600 kN/m2. Lo

scarico viene generalmente eseguito con un numero di

decrementi pari a met di quello degli incrementi di

carico.


Con argille normalconsolidate il carico verticale deve raggiungere valori pari almeno a circa otto

volte la pressione di consolidazione; in argille sovraconsolidate si dovrebbero raggiungere valori

superiori a otto volte la pressione di consolidazione.

Dai risultati delle prove edometriche possibile ottenere una relazione tra l'indice dei vuoti e la

pressione effettiva ed un insieme di curve rappresentative dei cedimenti in funzione del tempo

per ogni pressione di prova.

La variazione di altezza H per unit di altezza iniziale H0, essendo questa una prova di compressione monodimensionale, uguale alla variazione di volume V per unit di volume V0 cio:

Si pu esprimere allora V in funzione dell'indice dei vuoti e.

00 V

V

H

H

00

10

0

10

0

10

0 11)1(

)1()1(

e

e

e

ee

eV

eVeV

V

VV

V

V

S

SS

JosembiHighlight


e quindi si pu esprimere la diminuzione di spessore con la relazione (1):

che indipendente dal meccanismo che provoca la variazione di volume e dal grado di saturazione del

terreno.

I risultati di una prova edometrica su un campione di argilla vengono spesso riportati nel diagramma

(indice dei vuoti e-pressione ) e la pendenza della curva chiamata coefficiente di compressibilit:

Si pu cos vedere che, per costante, av diminuisce all'aumentare della pressione . Riprendendo la relazione (1) si pu scrivere:

Nella quale:

detto coefficiente di compressibilit di volume.

Questo coefficiente reciproco del modulo edometrico:

Cio:

0

0

01

He

eHH

'

1

Emv

'

eav

vmHH '0

01 e

am vv

MHH

E

'

/

''

0


E utile riportare i risultati della prova edometrica in scala semilogaritmica (e-log ). In questo diagramma la

curva sforzi deformazioni assume l'andamento tipico riportato in Figura 15, che pu essere cos interpretato:

Nel primo tratto AB, detto di ricompressione, la compressibilit del terreno bassa e con deformazione

prevalentemente elastica; nel secondo tratto BC detto di compressione, la compressibilit aumenta

notevolmente e le deformazioni sono di natura prevalentemente plastica, come evidenziato dal tratto CD di

scarico o di rigonfiamento: il e corrispondente a CD rappresenta la deformazione di natura elastica, mentre

quello corrispondente ad AD rappresenta la deformazione plastica.

Riprendendo a comprimere il provino si ha nel tratto DE un comportamento prevalentemente elastico fino

alla massima tensione p(C) che aveva prodotto deformazioni plastiche nel precedente ciclo, e da C in avanti

si hanno deformazioni sia elastiche che plastiche.

La tensione p(C) chiamata pressione di consolidazione, pu essere

considerata una tensione di snervamento; rappresenta la massima

tensione di consolidazione cui stato sottoposto il terreno e dipende da

processi di consolidazione di vario tipo, come gi detto

precedentemente.

Gli andamenti con la profondit della pressione di consolidazione p e

della tensione verticale effettiva v0 possono rappresentare, sotto certi

aspetti, la storia tensionale di un deposito.

In genere la consolidazione di tipo meccanico e quella per aging danno

luogo ad andamenti di v0 e di p tali che la loro differenza (v0 - p )

costante con la profondit.

La consolidazione dovuta ad essiccamento o ad altri fenomeni fisico-

chimici d luogo ad andamenti irregolari.

Figura 15


La determinazione della pressione di consolidazione P pu essere eseguita graficamente con vari

metodi, il pi semplice e usato correntemente quello di Casagrande indicato in Figura.

Figura 16

Nel diagramma (e-log) di un campione di argilla prelevato correttamente (indisturbato), si individua

il punto di massima curvatura A e si traccia la linea AB bisettrice dell'angolo tra la orizzontale e la

tangente per A.

Il punto di intersezione D di questa bisettrice

con il prolungamento verso l'alto della parte

retta della curva e-log indica la pressione di

consolidazione P. Poich spesso difficile

individuare il punto di massima curvatura, pu

essere utile controllare che esso cada tra il

possibile limite inferiore indicato dalla

intersezione G della retta di ricompressione con

quella di compressione e il possibile limite

superiore dal punto E d'inizio della parte retta

della curva (e-log).

La correttezza della determinazione della

pressione di consolidazione P dipende

principalmente dal disturbo subito dal campione

durante le fasi di prelievo in situ e di

preparazione del provino in laboratorio.


Confrontando il valore della pressione di consolidazione P con la tensione verticale effettiva v0

attuale, si pu determinare il grado di sovraconsolidazione OCR definito dal rapporto

OCR=P/v0;

con OCR=l si ha argilla normalconsolidata e

con OCR > 1 argilla sovraconsolidata.


Con riferimento alle curve riportate nel piano

semilogaritmico e-log si possono individuare i

parametri di compressibilit: la pendenza della curva nel

tratto di ricompressione A-B chiamata indice di

ricompressione cr :

la pendenza della curva nel tratto di compressione

B-C definita indice di compressione cc:

la pendenza della curva nel tratto di scarico C-D definita

indice di rigonfiamento cs :

I valori dell'indice di compressione delle argille variano

generalmente tra 0,l e 0,8 con valori pi frequenti

compresi tra 0,l e 0,4; per i limi organici si possono

avere valori compresi tra 1,5 e 4, per le argille organiche

superiore a 4 e per le torbe anche valori superiori a 10.

v

r

ec

'log

v

c

ec

'log

v

S

ec

'log

JosembiHighlight

JosembiHighlight


Sono state proposte varie correlazioni empiriche che permettono di ottenere delle indicazioni sui parametri

di compressibilit dal valore di alcune propriet indici. Tra le pi usate vi quella di

Terzaghi e Peck (1967):

che lega l'indice di compressione al limite di liquidit.

In genere il valore dell'indice di ricompressione cr ottenibile dalla prova edometrica superiore al valore

esistente in situ; secondo Leonards (1976) tipici valori di cr dovrebbero ricadere nell'intervallo 0,015 0,035.

I1 valore dell'indice di rigonfiamento cs corrispondente a un ciclo di scarico in genere dell'ordine di 1/5

1/10 del valore di cc (Ladd, 1971).

Le deformazioni che avvengono con la consolidazione sono legate principalmente alla fuoriuscita dell'acqua

dai vuoti, ma si sviluppano anche a seguito delle deformazioni elastiche delle particelle di terreno e delle

deformazioni plastiche della struttura.

Queste ultime derivano dallo scorrimento relativo di una particella rispetto a un'altra, per effetto delle forze

di taglio, e dalla diminuzione della distanza esistente tra due particelle, distanza dovuta alla presenza

dell'acqua adsorbita e del doppio strato elettrico.

Nello scarico le deformazioni sono prevalentemente di natura elastica.

)10(009.0 Lc wc

JosembiHighlight

JosembiRectangle

JosembiUnderline


Eseguendo la prova edometrica su argille sature si pu controllare il fenomeno della consolidazione

unidimensionale. Con l'applicazione della pressione al campione, il procedere della consolidazione

potrebbe essere osservato misurando la diminuzione di pressione dell'acqua nei pori. Questa diminuzione

procede in diverso grado nelle differenti parti del campione; pi rapidamente nelle parti estreme, in cui il

drenaggio facilitato, meno rapidamente al centro. Nell'ipotesi che la relazione di Darcy e la relazione di

continuit governino la diminuzione di pressione dell'acqua dei pori, stata sviluppata da Terzaghi una

teoria per il calcolo della progressione dell'assestamento conosciuta come teoria della consolidazione.

Essa conduce ad una relazione tra il grado di consolidazione medio ed il tempo:

Con:

In questa espressione:

U% il grado di consolidazione medio, cio la percentuale di cedimento totale avvenuta ad un certo tempo t rispetto al cedimento totale;

Tv un fattore adimensionale chiamato fattore di tempo; cv una caratteristica del terreno chiamata coefficiente di consolidazione; H il massimo percorso dell'acqua e corrisponde alla met dello spessore del provino nel caso della

prova edometrica e t il tempo corrispondente al grado di consolidazione U.

Si vede che il tempo richiesto per raggiungere un certo grado di consolidazione, con date condizioni

di drenaggio, varia con il quadrato di H.

La relazione U% = f(Tv) stata risolta per alcuni problemi pratici e la soluzione riportata in tabelle o

grafici.

)(% vTfU

2H

tcT vv


CURVA TEORICA (TERZAGHI)

La soluzione relativa alla prova edometrica, corrispondente ad uno strato drenato su ambedue i lati,

riportata in Figura.


Il coefficiente di consolidazione pu essere valutato mediante alcune costruzioni grafiche nel

diagramma deformazione-tempo relativo ad un gradino di carico della prova edometrica.

In Figura riassunto il procedimento sviluppato da Casagrande e applicato alla curva deformazioni-

logaritmo del tempo.

Il primo passo del procedimento costituito dalla valutazione delle deformazioni corrispondente al

grado di consolidazione U rispettivamente = 0% ed U= 100%.

Per ottenere il punto corrispondente ad U= 0% bisogna scegliere un tempo tl inferiore a quello relativo

alla met della consolidazione totale sotto un dato carico e sia c il punto corrispondente nella curva.

Si segna poi il punto d corrispondente al tempo tl/4.

La distanza verticale tra i due punti sia a; l'ordinata

della linea che passa ad una distanza a al di sopra di

d corrisponde a U= 0%.

La U= 0% pu essere in una posizione superiore a quella

che risulta dalla prova edometrica; ci generalmente

dovuto alla presenza di bolle d'aria nel terreno.

Per trovare il punto corrispondente a U= 100%, dal punto

di inflessione e della curva si porta la tangente fino ad

incontrare, nel punto f corrispondente a U= 100%, la

tangente alla parte pi bassa della curva sperimentale.

CURVA SPERIMENTALE


Confrontando la curva teorica con quella sperimentale si vede che esistono delle differenze.

Mentre nella curva sperimentale la tangente al tratto finale inclinata, in quella teorica

orizzontale.

I1 fenomeno che d luogo alla differenza tra le due curve chiamato compressione secondaria,

mentre la consolidazione chiamata compressione primaria.

Non si conoscono ancora le leggi che regolano questa compressione secondaria, che sembra dovuta

ad una resistenza viscosa al movimento relativo delle particelle di terra. I1 fenomeno importante

in terreni con materiale organico o molto plastici ed in alcuni casi particolari, poich pu

rappresentare una frazione abbastanza grande di assestamento.

JosembiHighlight


Generalmente le curve sperimentali e teoriche coincidono fino a circa U= 60%, perci nel calcolare

e, necessario usare valori di t corrispondenti a gradi di consolidazione minori del 60%.

Generalmente si sceglie il valore di t corrispondente ad U= 50% a cui corrisponde nella

soluzione di Terzaghi Tv = 0,197; si pu quindi valutare

essendo H met dell'altezza del provino.

Il valore di cv , espresso in cm2/s varia pi frequentemente tra 10-3 e 10-4 diminuendo all'aumentare

del limite di liquidit. Conoscendo cv , a mezzo della Tv = cv t/H2 e utilizzando il diagramma U% = f

(Tv), si pu ricavare la relazione tempo-cedimenti per ogni opera che provochi consolidazione in

uno strato di argilla. Basandosi sui dati della prova edometrica si pu anche ricavare il coefficiente

di permeabilit k del campione sotto carico con l'equazione:

Dove mv il coefficiente di di compressibilit di volume gi definito e w il peso di volume

dellacqua.

2

50

Ht

Tc vv

vwv mck


Un secondo procedimento, adottato di solito per limi argillosi e per argille e limi con materiale

organico, stato sviluppato da Taylor (1948). Esso basato sull'osservazione che la relazione tra gli

assestamenti del provino e la radice quadrata dei tempi lineare fino a circa il 60% della

consolidazione, e che l'ascissa corrispondente a U= 90% 1,15 volte il valore di quella presa sulla

retta interpolatrice dei dati sperimentali (Figura 20).

Cos si riportano le deformazioni sotto una data pressione in

funzione della radice quadrata del tempo, tracciando la retta

interpolatrice e l'altra con ascisse incrementate del 15%, e

dall'intersezione di quest'ultima con la curva sperimentale si

trova il t90. A U = 90% corrisponde Tv = 0,848 e si pu quindi

valutare:

U= 0% determinato prolungando la retta interpolatrice verso

l'alto fino a intersecare l'asse delle ordinate; U= 100 % dato

da:

Con il metodo di Taylor si ottengono valori pari a 1,5 2 volte

quelli che si ottengono con il metodo di Casagrande.

90

2 848.0

t

Hcv

901009

10HH

JosembiHighlight


Il valore di e, influenzato dalla storia dello stato tensionale: in genere esso diminuisce nella fase di

ricompressione fino alla pressione di consolidazione p e poi rimane abbastanza costante nel tratto

normalconsolidato. I valori di cv corrispondenti alla fase di ricompressione e a quella di scarico spesso non

sono affidabili; inoltre a causa della non omogeneit si possono avere valori di cv diversi anche con provini

ricavati dallo stesso campione.

La previsione dell'andamento dei cedimenti nel tempo in un problema reale uno dei problemi pi difficili da

risolvere.

Tale difficolt dipende principalmente dalla possibilit di determinare un valore del coefficiente di

consolidazione cv che sia rappresentativo del comportamento del terreno in situ.

I1 coefficiente cv dipende dalla compressibilit, ma prevalentemente dalla permeabilit e quindi, ricordando

le difficolt connesse alla valutazione della permeabilit e il grande campo di variazione della stessa,

evidente che vi sono grosse difficolt nel valutare adeguatamente cv.

Si pu anche determinare cv con prove in situ o interpretando opportunamente l'andamento dei cedimenti e

della pressione neutrale con opere in vera grandezza (rilevati di prova).


Si visto che il grado di sovraconsolidazione OCR e il coefficiente di spinta a riposo Ko sono i due

parametri che rappresentano la storia dello stato tensionale di un deposito.

Nella figura si pu vedere l'andamento di Ko dedotto da una prova edometrica su caolino nella quale

stata misurata, oltre alla tensione verticale v anche la tensione orizzontale h.

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