Moti stratificati (1/5)

Idraulica Ambientale 2

a.a. 2005/06

Stratificazione

Cause: • temperatura, • fasi disciolte, • solidi sospesi

Importanza gravità (es. Apollo13)

3 ,,,

L

Mtzyxf

Densità

~103 kg/m3 (acqua)

~1.2 kg/m3 (aria)

Variazioni di densità

Acqua di mare:

anomalia = - 1000 kg/m3

equazione di stato UNESCO (STP)

Equazione di conservazione della massa

0

ut

flusso di massa (teorema della divergenza di Gauss)

0 udt

d

0 uincomprimibilità(particella materiale)

0dt

d

utdt

dderivata totale (euleriano-lagrangiano)

Equazioni del moto

ugpudt

ud 22 equazioni di Navier-Stokes in un sistema di riferimento ruotante

Coriolis

accelerazionegradiente di pressione

forze di volume (gravità)

diffusione viscosa

gpdt

ud equazioni di Eulero (fluido ideale)

viscosità cinematica

~10-6 m2/s (acqua)

~1.4·10-5 m2/s (aria a 1 bar)

uut

u

dt

ud

Equazioni del moto (vorticità)

pu

dt

d2

2 1

“stretching”produzione

diffusione viscosa

uj

kijki x

u

vorticità

Idrostatica

gz

p

distribuzione idrostatica delle pressioni

dzzgppz

s 00

Approssimazione di Boussinesq (1903)

ppp s 0

gpgppdt

uds 00

gpdt

ud

000

11

gp

dt

ud 0

1

gg0

~

perturbazioni dovute al moto:

10

(valida quasi sempre)

forza motrice

Stabilità

z0

dz

d

equilibrio stabile

z0

dz

d

equilibrio indifferente

z0

dz

d

equilibrio instabile

Stabilità

frequenza di galleggiamento N [s-1](interpretazione fisica: “molla”) dz

dgN

NT

2periodo di oscillazione

z

0dz

d

0

VgF 0 2

2

0 dt

dVmaF

dz

d 0

022

2

02

2

N

dt

d

dz

dg

dt

d

Ntcos0 risultato: moto oscillante attorno alla posizione di equilibrio

equilibrio stabile

T

t 2cos0

(frequenza di Brunt-Väisälä)

Stabilità

frequenza di galleggiamento N [s-1](dalle equazioni) dz

dgN

(frequenza di Brunt-Väisälä)

0dt

d00

dz

dw

t

0 wvuu ,,perturbazioni dovute al moto: 1

gp

dt

ud

00

(incomprimibilità)

lungo zg

z

p

t

w

00

1

idrostatica

a)

b)

w da a in b:

gz

p

tdzd 002

2

0

11

z

pN

t

0

22

2 1

e analoghe per le altre variabili

Numeri adimensionali

Richardson:

• di gradiente

• “bulk”

• di flusso

2

22

dzdu

dzdg

dz

duNRi

22

1'

db FU

HgRi

Hg

UFd

'

Froude densimetrico PrandtlReynolds

UL

Re

Pr

dzdu

u

wgRi f

2*

~~

(turbolenza) rapporto tra il tasso di rimozione dell’energia

per le forze di galleggiamento e la produzione dovuta alle tensioni

Esempi

profili di densità in laghi, estuari …

Riferimenti bibliografici

J.S. Turner, Buoyancy effects in fluids, Cambridge University Press, 1973

Moti stratificati (2/5)

Idraulica Ambientale 2

a.a. 2005/06

I laghi

origine

stratificazione

mixing

onde interne

mixing ridotto sulla verticalebasse velocità moto laminare diffusione molecolare

lunghi tempi di residenza (se i tempi sono brevi non c’è tempo per lo sviluppo della stratificazione

morfologia (topografia): depressioni profonde che limitano lo scambio tra acque superficiali e profonde

stratificazione: prevalentemente termica (acqua dolce)

Origine

tettonica vulcanica

costiera

glaciale

sbarramento

fluviale

Bilancio energetico

dt

dE

dt

dE

dt

dE

dt

dE TKPtot

energia potenziale

energia cinetica

energia termica

energia meccanica

SLBHswn HHHHHH

Hn flusso netto di energia termica

Hsw flusso di radiazione solare diretta (onda corta)

HH flusso di radiazione diffusa (onda lunga)

HB flusso di radiazione riflessa

HL flusso perso per evaporazione

Hs flusso di calore sensibile (conduzione, convezione)

Flusso di energia termica

misure (radiometro)

legge di Stefan-Boltzmann (nuvole, atmosfera)

4TEH

zkHH eswzsw exp,

penetrazione della radiazione ad onda corta (legge di Beer)

Profilo termico

Tsuperficie

fondo

effetto della radiazione solare

Tsuperficie

fondo

radiazione solare +

azione del vento

coefficiente di estinzione

Ciclo stagionale di stratificazione

Stratificazione estiva

stratificato

non stratificato

Circolazioni

barotropiche (trascurando le variazioni di densità): circolazioni complessive

barocliniche (considerando variazioni di densità): onde interne (tempi grandi)

Onde di sessa (seiche)

sessa uninodale

sessa binodaleperiodo delle onde di sessa?

Azione del vento

210

2*sup UCu aDw

CD~0.0013 coefficiente di drag

tensione originata dal vento

Destratificazione

Turbolenza

iiuuTKE ~~2

1

Turbulent Kinetic Energy [J kg-1]

iii uUu ~decomposizione di Reynolds

moto medio fluttuazioni turbolente

dissipazione energetica [W kg-1]ii uU

Bilancio dell’energia turbolenta

BPTKEt

)(

z

UwuP

~~

~~wg

B

2~5.7

z

u

P

BRi f

Bmix

numero di Richardson di flusso efficienza di mescolamento

tasso di dissipazione dovuto all’attrito interno (viscoso)

flusso di galleggiamento produzione dovuta alle tensioni di Reynolds

Numeri adimensionali

contributo negativo perché nel caso di stratificazione stabile la turbolenza trasporta particelle più pesanti verso l’alto e più leggere verso il basso e quindi “consuma” TKE

Lunghezze scala Definizione Range tipico [m]

Significato

vortici 1 - 103 E’ la lunghezza scala alla quale l’energia entra nel sistema (ad es. la lunghezza scala di oscillazione delle sesse o la profondità dello strato di mescolamento superficiale).

Ozmidov 10-2 - 1 Deriva dal bilancio tra le forze di galleggiamento e le forze inerziali. Rappresenta la misura dei vortici più grandi (vortici di dimensioni maggiori sono soppressi dalla forza di galleggiamento).

Thorpe(centrata)

E’ la dimensione verticale statistica dei microvortici turbolenti (spostamento verticale delle particelle d’acqua dalla loro posizione di equilibrio).

Kolmogorov 10-3-10-2 Deriva dal bilancio tra le forze viscose e le forze inerziali. E’ l’estremo inferiore dello spettro della TKE: per scale più piccole la TKE viene dissipata dalla viscosità (scompaiono le fluttuazioni di velocità).

Batchelor 10-3-10-4 E’ l’estremo inferiore dello spettro delle quantità scalari come la temperatura e la salinità Per dimensioni più piccole le fluttuazioni dello scalare sono dissipate dalla diffusione molecolare D.

2/1

3

NLO

TL CL

4/13

KL

iL

4/12

D

LB

Lunghezze scala

La lunghezza scala di Thorpe

0ZZT rh

n

i hT Tn

L1

21

prof. reale

prof. riordinato

Articolo proposto

SBL: par. 2

interior: par. 3

BBL: par. 4

Processi superficiali

waveSBL sup

SBL: Surface Boundary Layer

WASL: Wave Affected Surface Layer

Processi interni (stratificazione)

Processi al fondo

Meccanismi di trasporto e mixing

vento,boundary mixing (contorni),afflussi e deflussi,radiazione,reazioni chimiche (possono modificare la densità)

Diffusione turbolenta (verticale)

15.0

Bmix

2NK mixt

coefficiente di diffusione turbolenta

stratificazione

diapycnal mixing: attraverso superfici di uguale densità (stratificazione)

Un esempio: il lago di Levico

Levico

PergineBacino Brenta

Altitudine [m s.l.m.] 440

Superficie bacino imbrifero [km2] 27

Superficie del lago [km2] 1.13

Volume [m3] 13.4·106

Profondità massima [m] 38

Profondità media [m] 11.1

Classificazione termica del lago Dimittico

Elemento limitante Fosforo

Stato trofico Mesotrofico

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

22

24

26

28

30

32

34

36

38

0 5 10 15 20 25 30

T[C°]

z[m

]

T_ottobre

T_agosto

Metalimnio_ago

Metalimnio_ott

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

22

24

26

28

30

32

34

36

38

1.E-08 1.E-07 1.E-06 1.E-05 1.E-04 1.E-03 1.E-02 1.E-01

Kt[m2/s]

z[m

]

Kt ottobre

Media OTT

Kt agosto

Media AGO

Stratificazione e diffusione turbolenta

Riferimenti bibliografici

V. Tonolli, Introduzione allo studio della limnologia (Ecologia e biologia delle acque dolci), Istituto Italiano di Idrobiologia, Verbania Pallanza, 1964 (versione elettronica CNR, 2001).

A. Lerman, D.M. Imboden, J.R. Gat (eds.), Physics and Chemistry of Lakes, Springer-Verlag, 1995.

cap. 4: D.M. Imboden, A. Wuest, Mixing Mechanisms in Lakes

J.L. Martin, S.C. McCutcheon, Hydrodynamics and transport for water quality modeling, CRC Press, 1999

part III: Lakes and Reservoirs