GEODESIA

Rappresentazione metrica(principali difficoltà)

• Superficie fisica di forma irregolare

• La superficie di rappresentazione ideale non è piana

• Dimensione del terreno superiore alla dimensione dell’uomo complesse e raffinate operazioni di misura.

Operazioni teoriche per la rappresentazione

• Determinazione di un alto numero di punti

• Proiezione lungo la direzione della verticale sul geoide (distanza tra superficie e geoide =quota ortometrica)

• Misure sul geoide tra i punti: direzioni, angoli e distanze (la superficie è curva!)

• Determinazione delle coordinate curvilinee (è necessario conoscere la forma matematica della superficie)

• Costruzione in scala della zona misurata evidenziando le caratteristiche morfologiche, metriche e semantiche.

• Passaggio dalla rappresentazione sulla superficie curva ad una superficie piana, corrispondenza bi-univoca tra punti sul geoide e punti sul piano.

Operazioni pratiche

• Le misure sono fatte sulla superficie fisica I metodi di misura di angoli e distanze tra punti della superficie fisica sono tali da fornire angoli e distanze quali si sarebbero misurati sul geoide

• Occorre definire:

• Equazione del geoide

• Sistema di coordinate curvilinee

Operazioni pratiche

• Definire in modo univoco angoli e distanze (superficie curva!)

• Definire i calcoli per dedurre dalle misure le coordinate curvilinee dei punti

• Specificare le rappresentazioni cartografiche e le deformazioni che queste comportano

SCOPO DELLA TOPOGRAFIA

definire metricamente erappresentare il territorio

definire metricamente

Definire un opportuno sistema di riferimento

La superficie della terra ha una forma molto irregolare e non è possibile rappresentarla in forma analitica semplice

rappresentare il territorio

PROBLEMA

quale superficie viene “spontaneo” utilizzare?

posso utilizzare una superficie di riferimento?

Dipende dalle dimensioni dell’area di interesse?

In ogni punto della superficie terrestre è possibile individuare con estrema facilità una direzione di riferimento: la direzione del campo di gravità.

Ogni punto sulla superficie terrestre è sottoposto

all’azione della forza di gravità

g = Forza gravitazionale F + Forza centrifuga f

sud

P

F g

fCampo vettoriale Potenzialeg(x,y,z) V(x,y,z)f(x,y,z) υ(x,y,z)

DEFINIAMO LINEE DI FORZA DEL CAMPO GRAVITAZIONALE LE LINEE CHE HANNO IN OGNI LORO PUNTO PER TANGENTE LA DIREZIONE DELLA FORZA

Le linee di forza del campo gravitazionale sono curve gobbe

linea di forzala verticale è tangente

gg è la forza di gravitàLa tangente alla linea di forza in un

punto si chiama verticale e coincide con la direzione del filo a piombo:è facilmente individuabile

Linee di forza

Superfici equipotenziali

DEFINIAMO SUPERFICI EQUIPOTENZIALI DEL CAMPO GRAVITAZIONALE LE SUPERFICI CHE IN OGNI LORO PUNTO SONO ORTOGONALI ALLA DIREZIONE DELLA FORZA

P

P’

mareverticale

GEOIDE

TRA LE INFINITE SUPERFICI EQUIPOTENZIALI QUELLA CHE MEGLIO APPROSSIMA LA SUPERFICIE TOPOGRAFICA DELLA TERRA E’ IL GEOIDE

IL GEOIDE E’ QUELLA SUPERFICIE EQUIPOTENZIALE DEL CAMPO DELLA GRAVITA’ CHE IN PARTE COINCIDA CON LA SUPERFICIE “MEDIA” DEGLI OCEANI (depurata cioè dal moto ondoso e da alcune irregolarità periodiche o accidentali quali le maree, le variazioni di pressioni atmosferica, le correnti....)

LA MASSIMA ELEVAZIONE DELLE TERRE EMERSE E’ CIRCA 2 10-3 R, DOVE R E’ IL

RAGGIO MEDIO TERRESTRE:R 6370 Km

IL GEOIDE E’ UNA BUONA APPROSSIMAZIONE DELLA SUPERFICIE TOPOGRAFICA

z

y

x

P’

P

Verticale v

H

SISTEMA DI RIFERIMENTO BARICENTRICO LEGATO ALLA GRAVITA’

GEOIDE

Superficie topografica

SISTEMA DI COORDINATE NATURALI

latitudine astronomica

longitudine astronomica

H altezza ortometrica

SISTEMA DI COORDINATE CARTESIANE

X,Y,Z

z

y

x

P’

P

Verticale n

H

Se il geoide fosse esprimibile in forma matematica semplice avremmo risolto il problema

GEOIDE

Superficie topografica

Superficie topografica (P)

GEOIDE (P’,H)

definire metricamente erappresentare il territorio

ELLISSOIDE

GEOIDE

GEOIDE assai più regolare della superficie topografica, ma ancora troppo complesso ELLISSOIDE

ELLISSOIDEL’Ellissoide è una superficie teorica generata dalla rotazione, intorno all’asse polare , di un’ellisse i cui semiassi hanno le dimensioni dei semiassi terrestri.

L’equazione dell’ellissoide è

a = 6.378.388 mb= 6.356.911.946 m

HayfordSistema internazionale 1971

ba

I parametri a e b sono calcolati sulla base di opportune misure

Con l’evolversi delle tecniche di osservazione tali parametri sono continuamente ricalcolati e “migliorati” da appositi Enti di Ricerca

GRS 67 a=6378160 m

GRS 80 a=6378137 m

il campo di gravità terrestre può essere scomposto nella somma di due termini:

campo gravità = campo normale + campo anomalo

campo gravità GEOIDE

campo normale ELLISSOIDE

l’ellissoide è una particolare superficie equipotenziale del campo normale:

sull’ellissoide il potenziale normale ha lo stesso valore del potenziale di gravità sul

geoide

ELLISSOIDE

GEOIDEVerticale v

Normale n’

Z// asse rotazione terrestre

y

X// meridiano di Greenwich

P’

P

Normale ellissoidica n’

h Superficie topografica

SISTEMA DI RIFERIMENTO BARICENTRICO LEGATO ALL’ELLISSOIDE

SISTEMA DI COORDINATE GEODETICHE

latitudine geodetica

longitudine geodetica

h altezza geodetica o ellissoidica

SISTEMA DI COORDINATE CARTESIANE

X,Y,Z

Piano equatoriale

ellissoide

PMeridiano origineMeridiano origine P( )

EquatoreEquatore

Longitudine: angolo tra il meridiano origine e il meridiano passante per P

Meridiano per P

La posizione di un punto generico P su di una superficie geometrica, può essere agevolmente individuata istituendo sulla superficie stessa un sistema di linee coordinate, capace di definire in maniera univoca la relativa ubicazione rispetto a due linee coordinate prescelte come origine di riferimento (equatore, meridiano fondamentale). Infatti, sezionando l’ellissoide di rotazione terrestre, prima con un infinito insieme di piani normali all’asse di rotazione terrestre, poi con un fascio di piani aventi per costola lo stesso asse di rotazione, è possibile ottenere sull’ellissoide stesso due distinte famiglie di curve, denominate paralleli e meridiani, intersecantesi ad angolo retto, capaci di compiere la stessa funzione di riferimento assolta dagli assi cartesiani ortogonali del piano.

Assumendo quindi come parallelo di origine quello contenente il piano equatoriale, e scegliendo un meridiano di origine, la posizione di un punto P sull’ellissoide terrestre sarà determinata dalla coppia di linee coordinate che si intersecano nello stesso punto P.

Si può anche dire che la posizione di P si individua con la misura dell’angolo che la normale n in P all’ellissoide forma con il piano equatoriale, e la misura dell’angolo diedro che il piano contenente il meridiano passante per il punto P medesimo, forma con il piano contenente il meridiano di origine.

Ellissoide

L’ellissoide e il geoide

O1

EuropeN. America

S. America Africa

TopographyN

• Quale ellissoide scelgo ?

Normalmente, per sistemi di riferimento locali, si sceglie

l’ellissoide con orientamento locale che meglio approssima il geoide

O2

O1

EuropeN. America

S. America Africa

NTopography

N

L’ellissoide e il geoide

• The World Geodetic System (WGS 1984)

E’ un ellissoide geocentrico,

che approssima

globalmente il geoide, ed è

utilizzabile quindi nello

stesso modo per tutta

la superficie terrestre

EuropeN. America

S. America Africa

NTopography

L’ellissoide e il geoide

World Geodetic System (WGS84)

• L’origine coincide con il centro di massa della terra

• L’asse Z è perpendicolare al piano X,Y e coincide con l’asse medio di rotazione terrestre

• Gli assi X e Y sono perpendicolari tra loro e definiscono il piano equatoriale

• L’asse X passa per il Meridiano di Greenwich

h

P

Z

X

Y

World Geodetic System (WGS84)

• Le posizioni e le coordinate calcolate dai ricevitori GPS di un generico punto P sulla superficie terrestre, sono espresse nel sistema di coordinate WGS 84

– Latitudine, Longitudine e quota ellissoidica

– Cartesiane geocentriche X,Y,Z

h

P

Z

X

Y

Il problema della quota

• Le quote determinate usando il GPS sono riferite all’ellissoide WGS 84

– La quota ellissoidica di un punto” h” è la lunghezza del segmento di normale all’ellissoide tra il punto e l’ellissoide stesso

h = Quota ellissoidica Ellipsoid

P Topography

h

• Il geoide è una superficie equipotenziale che corrisponde al livello medio del mare

• Le quote ortometriche sono riferite ad un Datum che è generalmente il livello medio dei mari; quota ortometrica di un punto è la lunghezza dell’arco di linea di forza tra il punto ed il geoide

• Il geoide è ondulato a causa della distribuzione di massa.

H = Quota sopra il geoide Quota ortometrica

Ellipsoid

P

H

Geoid

h

Topography

Il problema della quota

• La differenza di quota tra l’ellissoide e il geoide è chiamata ondulazione del geoide o separazione geodetica

• L’ondulazione del geoide deve essere presa in considerazione per ottenere la quota ortometrica, se

si conosce del punto la quota

ellissoidicaEllipsoid

P

H

GeoidN

N = Separazione geodetica

h

Topography

Il problema della quota

h = H + N

• L’ondulazione del geoide può essere sia positiva che negativa

Ellipsoid

hP Topography

H

GeoidNN = Separazione geodetica

H =Quota ortometrica Quota sopra il geoide

h = Quota ellissoidica

Il problema della quota

Trasformazione di coordinate

• Il sistema di riferimento delle misure GPS è il geocentrico WGS84

• I sistemi geodetici locali impiegati in geodesia sono invece basati su ellissoidi orientati in modo da approssimare bene localmente la superficie geoidica

• Un qualsiasi ellissoide orientato localmente si differenzia in modo notevole da quello geocentrico del WGS84, non solo per i diversi parametri, ma soprattutto per la posizione del centro e l’orientamento degli assi

• Le coordinate geografiche di uno stesso punto nel datum locale e nel WGS84 risultano sensibilmente diverse

Trasformazione di coordinate

Nel caso di trasformazione dal sistema geocentrico WGS84 ad un sistema geodetico locale, occorre ricorrere ad algoritmi matematici. Le fasi della trasformazione (ipotizzando di passare da WGS84 a locale) sono le seguenti:

nel WGS84 si passa dalle coordinate geografiche alle coordinate cartesiane, riferite alla terna d’assi associata all’ellissoide

si opera una rototraslazione nello spazio per passare alle coordinate cartesiane nel secondo sistema geodetico (terna cartesiana associata al secondo ellissoide)

nel sistema locale si passa dalle coordinate cartesiane alle geografiche

Trasformazione di coordinate

Le fasi 1 e 3 vengono eseguite all’interno dello stesso ellissoide, e seguono semplici regole geometriche

Il cambiamento di datum vero e proprio si ha nella fase 2, nella quale è necessaria la conoscenza dei 6 parametri (3 traslazioni e 3 rotazioni) che definiscono la posizione relativa dei due sistemi cartesiani nello spazio.

In realtà avviene che ogni datum è definito da una rete ad esso associata e quindi risente degli errori di misura e conseguenti distorsioni della rete stessa.

Quindi il modello teorico viene modificato aggiungendo un fattore di scala che permette di modellare le imperfezioni della rete.

Trasformazione di coordinateRototraslazione a 7 parametri

I parametri da stimare per una rototraslazione con fattore di scala sono quindi 7: 3 traslazioni - 3 rotazioni - 1 fattore di scala

La rototraslazione con fattore di scala è detta anche ‘conforme’ in quanto mantiene invariati gli angoli e quindi la forma delle figure che costituiscono il rilievo originario.

Per la trasformazione a 7 parametri occorrono almeno 3 punti noti nei due sistemi di riferimento, ma in pratica è opportuno che i punti noti siano in numero superiore allo stretto necessario, per dare maggiore consistenza alla stima

Le trasformazioni più note sono quelle di Helmert e Molodensky

Trasformazione di coordinateRototraslazione a 7 parametri

Trasformazione di coordinateRototraslazione a 7 parametri

• Nei GIS sono utilizzati parametri approssimati

• Per stimare parametri sufficientemente precisi si possono utilizzare i punti doppi

Ovvero conoscendo le coordinate di alcuni punti in entrambi i Datum si determinano i 7 parametri della trasformazione

Punti doppi

Uno stesso punto P riferito a duediversi datum geodetici ha coordinategeografiche diverse (n.b. gliscostamenti sono esasperati). DaBeutler

La massima differenza in latitudine è diquasi 3’’, che corrispondono a circa 90metri. 1’’ in longitudine corrispondonocirca 20 metri.

Esempio

Trasformazionedi coordinate

Ellissoide Semiasse maggiore Schiacciamento EVEREST (1830) 6.377.276 m 1/300.8BESSEL (1841) 6.377.397 m 1/299.2CLARKE (1866) 6.378.206 m 1/294.9CLARKE (1880) 6.378.301 m 1/293.5HELMERT (1906) 6.378.140 m 1/298.3HAYFORD (1909) 6.378.388 m 1/297.0KRASSOVSKY (1942) 6.378.245 m 1/298.3FISCHER (1960) 6.378.160 m 1/298.3WGS84 (1987) 6.378.137 m 1/298.3

L’ellissoide di Hayford fu adottato nel 1924 dall’Unione Geodetica e Geofisica Internazionale con la denominazione di ellissoide internazionale

RegionStart datum

Target datum

(Metre) (Metre) (Metre) s (ppm)rx

(Arcsecond)ry

(Arcsecond)rz

(Arcsecond)

Slovenia ETRS89

D48 D96 409.545 72.164 486.872 17.919665 −3.085957 −5.469110 11.020289

England, Scotland, Wales

WGS84 OSGB36[2] −446.448 125.157 −542.06 20.4894 −0.1502 −0.247 −0.8421

Ireland WGS84Ireland 1965

−482.53 130.596 −564.557 −8.15 1.042 0.214 0.631

GermanyWGS84

DHDN −591.28 −81.35 −396.39 −9.82 1.4770 −0.0736 −1.4580

GermanyWGS84 Bessel

1841−582 −105 −414 −8.3 −1.04 −0.35 3.08

GermanyWGS84 Krassovski

1940−24 123 94 −1.1 −0.02 0.26 0.13

Austria (BEV)

WGS84MGI −577.326 −90.129 −463.920 −2.423 5.137 1.474 5.297

USAWGS84 Clarke

18668 −160 −176 0 0 0 0

Valori parametri per trasformazione di Datum

Fissato il sistema di riferimento

Il passaggio da un sistema di coordinate all’altro è un problema

puramente analitico

ellissoidiche cartesiane

X=X(,,h)Y=Y(,,h)Z=Z(,,h)

Si esprime la posizione di un punto, in coordinate cartesiane geocentriche, in funzione delle coordinate ellissoidiche

Y

Z

X

P

h

xy

z

Ad esempio: sistema di riferimento ellissoidico

,,h

X,Y,Z

X = (Rn+ h) cos cos

Y = (Rn+ h) cos sen

Z= [Rn (1-e2) + h] sen

Dove: Rn= a/1-e2sen2

e2 =1-(b2/a2)

Fissare il sistema di riferimento

Decidere quale approssimazione di campo

di gravità adottare

SUPERFICIE TERRESTRE

GEOIDE (campo vero)

ELLISSOIDE (campo normale)

n’normale all’ellissoide passante per P

P

P”

nverticaleper P

P’

Hh

N

deviazione della verticale (vale al max poche decine di secondi sessagesimali)

N ondulazione del geoide (vale circa 40 -50 m)

Misure da satellite

Sistema di riferimento globale

Sistema di riferimento “comodo” per il calcolo della posizione dei satelliti

Misure da satellite

Sistema di riferimento

baricentrico legato all’ellissoide

(WGS84)

Misure a terra

Sono fatte sulla superficie fisica riferendosi alla

verticale v

dimensioni “piccole” rispetto alla scala globale

LA SCELTA DIPENDE DAGLI ERRORI CHE NE DERIVANO

QUALE APPROSSIMAZIONE DI CAMPO ADOTTARE?

TALI ERRORI DEVONO ESSERE INFERIORI AGLI ERRORI DI

MISURA

(ambito di validità)

Errori di misura (planimetria)

Precisione relativa al massimo di 10-6

Posso misurare una distanza di 1 Km con

una precisione di 1 mm

Tutte le approssimazioni che comportano effetti inferiori a

10-6 sono accettabili

Entità errori

altimetriaplanimetria

• il geoide rappresenta la superficie di riferimento utilizzata per la determinazione delle quote,

•l'ellissoide è utilizzato per la definizione delle coordinate planimetriche.

Geoide per l’altimetriaEllissoide per la planimetria

planimetria

Campo ellissoide globalenormale baricentrico

Campo ellissoide nazionalenormale orientato

localmente

ELLISSOIDE ORIENTATO LOCALMENTE

ELLISSOIDE ORIENTATO

GEOIDE

Verticale v

Normale n’

N=0

v=n’

una direzione fissata

Come far coincide v=n in un punto?

Si effettuano misure astronomiche:Latitudine e Longitudine di un puntoAzimut astronomico

Datum fissato.

Campo sfera camposferico locale geodetico

(100 km)

Campo piano campopiano tangente topografico

(10 km)

GEOIDE

ELLISSOIDE BARICENTRICO

SFERA LOCALE PIANO TANGENTE

planimetria

ELLISSOIDE ORIENTATO.

Sono fatte sulla superficie fisica riferendosi alla verticale v

Misure a terra

n’normale all’ellissoide passante per P

P

vverticaleper P

deviazione della verticale

Come riportare le misure effettuate sulla superficie terrestre alla

superficie di riferimento?

altimetria

Precisioni relative di 10-6

(livellazione geometrica)

geoide

Precisioni relative di 10-5

(livellazione trigonometrica)

Sfera locale