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Meccanica della Frattura Lineare Elastica

Costruzione di macchine Corso di laurea magistrale in Ingegneria meccanica Antonio Gugliotta

Indice

Introduzione La teoria di Griffith Stato di tensione allapice del difetto Fattore di intensificazione delle tensioni Raggio plastico C.O.D. C.T.O.D. Tenacit alla frattura Caratterizzazione dei difetti Applicazione della MFLE al progetto e verifica Propagazione del difetto sotto carichi ciclici

Costruzione di macchine MFLE - a. a. 2012/2013 - Antonio Gugliotta 2

Introduzione

La progettazione classica basata sull'ipotesi che la struttura o l'organo di macchina siano privi di difetti; il dimensionamento viene normalmente eseguito verificando che un "modulo" caratteristico sia minore o uguale di una certa frazione del corrispondente modulo di confronto: la tensione di snervamento o quella di rottura nel caso statico, il limite di resistenza a fatica nel caso di carichi variabili, il limite di instabilit nel caso questa possa essere una delle cause del collasso.


Introduzione

Questo tipo di approccio progettuale si per rivelato inadeguato nel caso di alcune inesplicabili rotture di strutture e/o componenti assoggettati a carichi di esercizio anche ben inferiori a quelli di progetto. Alcuni di questi cedimenti furono probabilmente dovuti ad una progettazione insufficiente, ma nella maggior parte dei casi i risultati delle analisi delle rotture indicarono che il cedimento ebbe inizio in corrispondenza di saldature e che molte di esse presentavano difetti o discontinuit.


Introduzione: asse ferroviario


a) Asse ferroviario rotto in opera; b) ingrandimento della sezione

Introduzione: asse ferroviario


Asse ferroviario rotto in opera (incidente di Viareggio)

In January 1943 the one-day old T2 tanker SS Schenectady had just completed successful sea trials and returned to harbour in calm cool weather when . . . Without warning and with a report which was heard for at least a mile, the deck and sides of the vessel fractured just aft of the bridge superstructure. The fracture extended almost instantaneously to the turn of the bilge port and starboard. The deck side shell, longitudinal bulkhead and bottom girders fractured. Only the bottom plating held. The vessel jack- knifed and the center portion rose so that no water entered. The bow and stern settled into the silt of the river bottom. The ship was successfully repaired. There were nearly five hundred T2 tankers built in US yards between 1942 and 1945, with average production time around 70 days. At the start of the programme some 30% of Liberty Ships suffered catastrophic fracture, though not necessarily so dramatically as the Schenectady.

Introduzione: Liberty ships


The general technological fraternity was unaware of Fracture Mechanics principles when these ships were designed, and the reason for the disastrous fractures was a mystery since conventional safety assessments were unremarkable and the extremely short lives ruled out conventional fatigue as the culprit. It later became clear that the failures could be attributed to:

the all- welded construction which eliminated crack- arresting plate boundaries which are present in riveted joints the presence of crack- like flaws in welded joints performed by inexperienced operators pressed into service by the exigencies of the programme the use of materials whose low resistance to crack advance ( toughness ) was further reduced by low temperatures.

Introduzione: Liberty ships


A photo of the world's first model of jet airliner, the De Havilland Comet which was prone to sudden fracture of the fuselage and loss of the entire plane due to growth of cracks from rivet holes near windows and hatchways G-ALYY was leased from B.O.A.C. to South African Airways. Flight SA201 was on its way from London to Johannesburg. After a fuel stop in Rome the plane took-off, but only 36 minutes later the radio-contact was interrupted in the area of Stromboli. The next morning remains were found in the sea. Since the sea was at this place as deep as 1000 meters, no parts of the aircraft could be inspected. Only four days after the crash the Comet flights were again suspended, one of the reasons being the similarities to the YP crash. G-ALYY had only performed 2704 flighthours. A very intensive flight test program was performed in order to find out the reason of the YY and YP crashes, with no special conclusion.

Introduzione: De Havilland Comet


An illustration showing the recovered (shaded) parts of the wreckage of the de Havilland Comet 1 G-ALYP Yoke Peter and the forward ADF* aerial window in the cabin roof where the initial fatigue failure occurred

Only after a very long expensive investigations, which included the assembly of the remains of the crashed YP and the underwater stress test of the YU Comet which came from B.O.A.C. Finally the fuselage of YU broke up on a sharp edge of the forward escape-hatch. After that this rupture was repaired the tests were restarted, but only shortly afterwards the fuselage broke up. This time the rupture started at the upper edge of a window and was three meters long. The YP and YY crashes were due to metal fatigue, which took place because of the crystalline changes in the fuselage skin. They were amplified by the high speed and altitude the Comets were operated. The metal fatigue resulted in ruptures of the fuselage, this had as a consequence a terrible decompression at 33Kft, tearing up the plane with all known consequences

Introduzione: De Havilland Comet


Introduzione: Boston Molasses Flood


Introduzione: Point Pleasant Bridge

The Point Pleasant Bridge Suspension Bridge collapse was famous in its time on account of the years it took before the true cause of the collapse was determined (a hairline fracture in the unique and unwise chain used in its construction to replace cable). Here's what actually happened. The Silver Bridge, a suspension bridge near Point Pleasant, W. Virginia on the Ohio River, plummeted into the near-freezing 30-70 foot waters of the Ohio at 5:00 PM on December 15, 1967. The Silver Bridge collapsed claiming 46 lives and injuring 9. The Christmas rush applied an extra load to the 39 year old bridge causing a cleavage fracture in one of the eyebars. This was followed by a ductile fracture near the pin. Unable to support the weight of the entire bridge, the south side chain also snapped. The structure only took about 1 minute to completely fall into the river below. An investigation, led by John Bennett, immediately followed the collapse of the Silver Bridge. The bridge was constructed of carbon steel, which tends to crack. Many cracks were found throughout the bridge among extensive corrosion. The failure resulted from stress corrosion and corrosion fatigue, two concepts which were not known in 1927. It was also found that the flaw could not have been detected, even by today's methods, unless the bridge was taken apart and tested. In addition to the investigation, the federal government mandated the National Bridge Inspection Standards (NBIS). The new standards required periodic inspection of all the nation's bridges.




Foto del ponte di St. Mary, simile al ponte di Point Pleasant prima del collasso

uzio



Foto del Ponte Point Pleasant dopo il collasso

Introduzione: Motor case


Failed motor case with pieces laid out in approximately the proper relation to each other (Nasa Lewis Research Center)

Introduzione

E ormai comunemente accettato che nella strutture o componenti di macchine siano presenti dei difetti o discontinuit (di varia origine: lavorazioni, saldature, etc. e che questi possono propagarsi, sotto l'azione dei carichi, ad alta o bassa velocit. Nel primo caso si parler di rottura fragile; nel secondo si potr avere rotture duttile o propagazione per fatica del difetto con successiva rottura fragile o duttile. La Meccanica della frattura, supponendo che all'interno della struttura siano presenti dei difetti, permette di valutare in termini quantitativi sia la rilevanza del difetto sia il periodo di crescita stabile del difetto stesso.


Introduzione

Le origini della Meccanica della frattura si possono far risalire ad un lavoro di Griffith (1921), il quale utilizz un approccio energetico per spiegare il comportamento a frattura del vetro; in seguito questa teoria fu estesa da Orowan e Irwin (1948) per tener conto della zona plastica all'apice della cricca, e sviluppata in forma organica da Irwin (1957) con l'introduzione del concetto di fattore di intensificazione delle tensioni. Si arriv cos alla definizione della Meccanica della frattura lineare elastica.


Alan Arnold Griffith George Rankine Irwin Egon Orowan

Introduzione

Pi recentemente (1968) Rice e altri hanno sviluppato le teorie della Meccanica della frattura elasto-plastica per l'interpretazione di rotture di tipo duttile Nel frattempo (Paris, 1964) sono stati sviluppati metodi per analizzare la crescita del difetto sotto l'azione di carichi variabili per poter prevedere, con una certa approssimazione, il periodo di vita della struttura. In quanto segue ci si soffermer solo sulla teoria ed applicazioni della Meccanica della frattura lineare elastica.


James R. Rice Paul C. Paris

Introduzione

Le numerose ricerche condotte in questo campo hanno mostrato che il fenomeno pu essere analizzato mediante i seguenti tre parametri principali, i quali a loro volta potranno variare in funzione di parametri secondari:

dimensioni del difetto o cricca, a ; stato di tensione, : tenacit alla frattura, Kc, KIc, Kd


Introduzione

La meccanica della frattura lineare elastica, utilizzando strumenti propri della meccanica del continuo, permette di correlare l'intensit e la distribuzione delle tensioni nell'intorno dell'apice del difetto alla tensione nominale ed alle dimensioni, forma ed orientazione del difetto. Irwin, basandosi su di un metodo sviluppato da Westergaard, formul le equazioni che descrivono lo stato di tensione nell'intorno dell'apice del difetto.


Introduzione

Dall'esame delle equazioni si deduce che la distribuzione delle tensioni in prossimit dell'apice del difetto invariante in tutti i componenti strutturali soggetti allo stesso tipo di deformazione e che l'intensit del campo di tensioni pu essere descritto da un singolo parametro detto:

fattore di intensificazione delle tensioni e indicato con KI, KII, KIII a seconda del tipo di deformazione.


Introduzione

Di conseguenza la sollecitazione applicata, la forma, dimensione e orientazione del difetto e la configurazione strutturale del componente influenzeranno il valore del fattore di intensificazione delle tensioni, ma non altereranno la distribuzione delle tensioni. L'uso di questo concetto ha il grande vantaggio che le propriet del materiale in presenza di un difetto possono essere misurate in termini di "valore critico" del fattore di intensificazione delle tensioni, detto:

tenacit alla frattura La tenacit alla frattura pu essere definita come l'abilit del materiale di deformarsi plasticamente o di assorbire energia in presenza di un intaglio e viene generalmente indicata con KIc in condizioni di stato di deformazione piano.


La teoria di Griffith

La prima analisi del comportamento a frattura di componenti strutturali contenenti difetti acuti fu sviluppata da Griffith nel 1921. L'energia potenziale elastica pu essere scritta come:


0 aU U U U

U energia potenziale elastica; Uo energia potenziale elastica della lastra priva

di difetto; Ua decremento di energia potenziale elastica

dovuta all'introduzione del difetto nella lastra U incremento di energia superficiale elastica

dovuta alla formazione delle superficie del difetto


La condizione di equilibrio rispetto all'estensione del difetto ottenuta uguagliando a zero la derivata prima dell'energia totale rispetto alla lunghezza del difetto: ovvero, essendo Uo indipendente da a: Griffith, utilizzando l'analisi dello stato di tensione sviluppata da Inglis, calcol, nel caso di una lastra di larghezza infinita con un difetto largo 2a:


0Ua

aUU

a a


In stato di tensione piano: e nel caso di difetto con un solo apice: Il termine G detto "strain energy-release rate", cio energia di deformazione elastica liberata per unit di avanzamento del difetto.


2 2

a

aU

E

22aU aa E

2aU a Ga E

2 2 21a

aU

E

T.P.

D.P.


Il termine a secondo membro della (3) rappresenta la resistenza del materiale all'avanzamento del difetto ed generalmente indicato con R. Per materiali fragili R pu essere considerata costante (l'energia richiesta per produrre un avanzamento da del difetto per decoesione dei legami atomici, la stessa per ogni incremento da). In tal caso l'energia superficiale elastica relativa alla creazione di nuove superficie di frattura uguale al prodotto dell'energia superficiale e del materiale per l'area delle superficie di frattura; per un difetto con un solo apice si ha:


UR

a


Per avere propagazione del difetto si deve quindi avere, nel caso di stato di tensione piano: e, in stato di deformazione piano:


2 eU

a

2 eU a

G R2

2 ea

E2 eEa

2

2

1eEa

mm

mm


Si nota che, essendo le caratteristiche del materiale E e e delle costanti, si ha la propagazione del difetto quando il prodotto raggiunge un valore critico. Il valore critico caratteristico del materiale pu essere determinato sperimentalmente ed indicato con Kc o, in condizioni di stato di deformazione piano, con Kic.


2 eEa

2

2

1eEa

a

T.P.

D.P.


Irwin e Orowan (1948) notarono che l'energia richiesta per la propagazione di un difetto nei metalli era pi grande dell'energia superficiale necessaria per creare superficie libere; ci dovuto alla presenza di una zona plastica all'apice del difetto. Essi suggerirono quindi una modifica al criterio di frattura sviluppato da Griffith per materiali fragili per tener conto di una piccola deformazione plastica all'apice del difetto:


2

2 e pa

E


essendo p l'energia corrispondente alla deformazione plastica all'apice del difetto. La resistenza all'avanzamento R costante se l'energia necessaria alla formazione della zona plastica la stessa per ogni incremento da del difetto: questo ci che si verifica in prima approssimazione nel caso di stato di deformazione piano. Anche in tal caso si ha quindi propagazione quando G raggiunge un valore critico Gic:


21IcEGa

Ic

UG R

a

Stato di tensione allapice del difetto

L'analisi dello stato di tensione si basa sulle equazioni introdotte da Westergaard, le quali distinguono tre modi di separazione delle superficie del difetto. Il modo I (modo di apertura o "opening mode") caratterizzato da deformazioni locali che sono simmetriche rispetto ai piani x-y e x-z. Si incontra in fratture fragili di componenti in condizioni di stato di deformazione piano.



Nel modo II (modo di scorrimento o "sliding o shear mode") le deformazioni sono simmetriche rispetto al piano x-y e antisimmetriche rispetto al piano x-z ; le due superficie di frattura scorrono l'una sull'altra in direzione perpendicolare alla linea definita dall'apice del difetto. Nel modo III (modo di lacerazione o "tearing mode") le deformazioni sono antisimmetriche rispetto ai piani x-y e x-z ; le due superficie di frattura scorrono l'una sull'altra in direzione parallela alla linea definita dal fronte del difetto. E' raramente riscontrato nel fenomeno di frattura dei materiali metallici.




Modo I

Modo II

Modo III

3cos 1 sin sin

2 2 22

3cos 1 sin sin

2 2 22

3sin cos cos

2 2 22

Ix

Iy

Ixy

z x y xz yz

K

r

K

r

K

r

3sin 2 cos cos

2 2 22

3sin cos cos

2 2 22

3cos 1 sin sin

2 2 22

IIx

IIy

IIxy

z x y xz yz

K

r

K

r

K

r

sin22

cos22

0

IIIxz

IIIyz

x y z xy

K

rK

r


Riferendosi al modo I, anche perch quello che pi frequentemente si riscontra, le equazioni si possono riassumere nella formula di carattere generale:


2I

ij ij

Kf

r


La distribuzione delle tensioni nell'intorno dell'apice del difetto invariante in tutti i componenti soggetti al modo I di deformazione; L'intensit del campo pu quindi essere caratterizzata da un solo parametro, KI , fattore di intensificazione delle tensioni . Analogo risultato si ottiene per i modi II e III di deformazione, avendosi rispettivamente i parametri KII e KIII .



L'analisi dimensionale indica che il fattore di intensificazione delle tensioni deve essere direttamente proporzionale alla tensione nominale ed alla radice quadrata di una lunghezza caratteristica. In base ad analisi condotte da Griffith su strutture in vetro contenenti difetti ed a successive estensioni a materiali pi duttili, si trovato che tale lunghezza caratteristica la lunghezza del difetto. In forma del tutto generale il fattore di intensificazioni delle tensioni pu quindi essere espresso dalla relazione:


IK Y a


dove: Y un fattore di forma adimensionale dipendente dalla geometria

del sistema, dalla forma del difetto e dal tipo del carico, la tensione nominale agente in direzione normale al difetto

a la dimensione caratteristica del difetto.


IK Y a

Fattore di intensificazione delle tensioni Lastra piana con difetto a tutto spessore

Per una lastra soggetta ad una sollecitazione uniforme di trazione s contenente un difetto di lunghezza 2a si ha, nel caso di a/w 1 (larghezza infinita): Ricordando che la "strain energy-release rate G, in stato di deformazione piano, data da: si ha:


IK Y a

2 21aG

E

2 21IKG

E


Nel caso di lastra di larghezza finita w :

dove Y il coefficiente di forma.

Una prima soluzione approssimata per Y dovuta a Westergaard, Irwin, Koiter, e ricavata dall'analisi dello stato di tensione di una lastra di larghezza infinita con difetti collineari e ugualmente spaziati di un passo pari a w:


IK Y a

tanw a

Ya w


Feddersen ha proposto una diversa formulazione approssimata sulla base della soluzione di Isida:


1sec

cos

aY

aww



andamento del coefficiente di forma in funzione di 2a/w per le formulazioni di Irwin e Feddersen.

Fattore di intensificazione delle tensioni Lastra piana con due difetti ai lati

Per una lastra soggetta ad una sollecitazione uniforme di trazione s contenente due difetti laterali di lunghezza a si ha, nel caso di a/w 1 (larghezza infinita): Nel caso di lastra di larghezza finita w :

con:


1.12IK a

IK Y a

2 3

1.12 0.76 8.48 27.36a a a

Yw w w

Fattore di intensificazione delle tensioni Lastra piana difetto laterale

Per una lastra soggetta ad una sollecitazione uniforme di trazione s contenente un difetto laterale di lunghezza a si ha, nel caso di a/w 1 (larghezza infinita): Nel caso di lastra di larghezza finita w:

con


2 3 4

1.12 0.41 18.7 38.48 53.85a a a a

Yw w w w

1.12IK a

IK Y a

Fattore di intensificazione delle tensioni Trave inflessa con difetto laterale

Per una trave inflessa soggetta ad un momento flettente M, si ha:


a/w 0.05 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 Y 0.36 0.49 0.60 0.66 0.69 0.72 0.73

3 2

6I

MK Y

w a

Fattore di intensificazione delle tensioni Trave inflessa con difetto laterale

Per una trave di spessore B , soggetta ad un carico concentrato P nella mezzeria, si ha:


1 2 3 2 5 2

3 2

7 2 9 2

2.9 4.6 21.8

37.6 38.7

I

PS a a aK

Bw w w w

a aw w

Fattore di intensificazione delle tensioni Provino di trazione CTS


1 2 3 2 5 2

1 2

7 2 9 2

29.6 185.5 655.7

1017.0 638.9

I

P a a aK

Bw w w w

a aw w

Fattore di intensificazione delle tensioni Difetto di tipo ellittico in piastra infinita

Molti difetti riscontrati in pratica sono spesso situati sulle facce laterali o sugli spigoli del manufatto; essi tendono ad accrescersi verso l'interno ed assumere forme semiellittiche o di quarto d'ellisse ("surface flaws" e "corner cracks"). A causa di questa loro importanza il problema dei difetti di tipo ellittico stato ampiamente trattato in letteratura.



Irwin, basandosi su uno studio di Green e Sneddon, ricav la formulazione del fattore di intensificazione degli sforzi per un difetto ellittico all'interno di un corpo infinito soggetto a sollecitazione di trazione; con le notazioni di figura, KI dato da: dove l'integrale ellittico di seconda specie:


22 24 sin cosI

a aK

c

2 2 22

20

1 sin dc ac


Per difetti circolari (a = c) si ha:

=0 si riduce al quella relativa al difetto a tutto spessore in lastra piana: I valori di possono essere calcolati in modo approssimato mediante l'espansione in serie: Per a/c tendente a zero il terzo termine della serie pu essere trascurato:


2IK a

22 2 2 2

2 2

1 31

2 4 64c a c ac c

IK a

2

2

38 8

ac

Fattore di intensificazione delle tensioni Difetto superficiale di tipo ellittico

La soluzione per il difetto ellittico pu essere applicata, con piccole modifiche, al caso di un difetto ellittico superficiale. Il valore del fattore di intensificazione delle tensioni varia lungo il fronte del difetto; il massimo si ha sull'asse minore = /2 :

e il valore minore sull'asse maggiore =0:


,max 2I

aK

2

,max 0I

a cK


Normalmente a queste espressioni sono applicate due correzioni: la prima per tener conto del fatto che il difetto superficiale, la seconda per tener conto della zona plastica. L'espressione finale per il valore massimo di KI la seguente:

dove Q, fattore di forma, dato da:


,max 1.12Ia

KQ

2

2 0.212s

Q


con tensione nominale e s tensione di snervamento. Infine una terza correzione si rende spesso necessaria per tener conto di forme molto appiattite di difetti; si ha quindi:

dove Mk , fattore di correzione dovuto a Kobayashi et al., dato in forma grafica, avendo indicato con B lo spessore del componente.


,max 1.12I ka

K MQ



Stato di deformazione all'apice del difetto Raggio plastico

L'equazione mostra che nell'intorno dell'apice del difetto, dove r a, le tensioni sono molto elevate, al limite infinite per r tendente a zero. In realt nell'intorno dell'apice del difetto si dovr presupporre una regione plasticizzata.


2I

ij ij

Kf

r


La figura rappresenta l'andamento della tensione y lungo l'asse x ( =0):


2I

y

K

x


In tal caso le tensioni y e x sono tensioni principali ed in prima approssimazione la zona plastica pu essere considerata di forma circolare il cui raggio rp* pu essere ottenuto dalla (42), trattando il problema in condizioni di stato di tensione piano e ponendo il valore di y uguale al valore della tensione di snervamento s :


2

* 12

Ip

s

Kr


e per un difetto passante in una lastra di larghezza infinita In realt la zona plastica dovr essere pi grande di quella definita da rp*; infatti la quota parte di carico corrispondente all'area tratteggiata (al di sopra della tensione di snervamento) dovr essere equilibrata mediante una diversa distribuzione delle tensioni.


IK a

2 2*

2 22 2p s s

a ar


A tale scopo Irwin ha suggerito quanto segue: in presenza di una zona plastica il difetto si comporta come se fosse caratterizzato da una dimensione effettiva aeff pi grande della sua dimensione fisica a di una quantit incognita :


effa a


La figura illustra le condizioni relative al difetto "effettivo": anche in tal caso la tensione y non potr superare il limite di snervamento s e la dimensione della zona plastica corrispondente al difetto lungo aeff



Il valore di pu essere determinato in modo analogo a quanto fatto per rp*; si ha, con

da cui, essendo a :


IK a

22I

s

K a

2

22 s

a


Il campo di tensione nell'intorno dell'apice del difetto "fisico" (area delimitata da ) anch'esso limitato dalla tensione di snervamento s . Per l'equilibrio del sistema la distanza deve essere grande abbastanza da controbilanciare la parte di carico corrispondente all'area A. L'area A deve essere quindi uguale all'area B , quest'ultima vale:

e l'area A:


sB

0

dy sA x

Stato di deformazione all'apice del difetto Raggio plastico con:

Si ha quindi:

ed essendo a e l = rp*:


2 22I

y

aK ax xx

0

d 22 s s

aA x a

x

* *2 p s pA ar r

Stato di deformazione all'apice del difetto Raggio plastico La condizione A = B :

essendo Risolvendo l'equazione di 2 grado si ottiene:


* *2s p s par r2

2* * *22 4p p ps

r ar r2

*

2p s

ar

*

*2

p

p p

r

r r


Tutto ci valido nel caso di stato di tensione piano in cui z = 0 e le condizioni di snervamento si raggiungono quando y = s . Nel caso di stato di deformazione piano, all'apice del difetto si ha: Le condizioni di snervamento (secondo l'ipotesi della tensione tangenziale massima) si hanno quando:


1 2

3 2

x y

z x y y

1 3 s 2y y s 31 2

sy s


In condizioni di stato di deformazione piano la tensione di snervamento effettiva quindi tre volte pi grande del corrispondente valore in stato di tensione piano: ci a causa dei vincoli elasto-plastici dovuti a z = 0. Il raggio plastico corrispondente : In realt non possibile riscontrare uno stato di deformazione piano "puro" poich in corrispondenza delle superficie libere si ha uno stato di tensione piano ( z = 0)


2 2

* 1 12 3 18

I IIp

s s

K Kr


di conseguenza la tensione di snervamento effettiva in un componente in prevalente stato di deformazione piano sar pi piccola di 3 s. Irwin ha stimato un fattore pari a Si ha quindi: Per conoscere la forma della zona plastica bisogna calcolare le dimensioni del raggio plastico per confrontando la tensione equivalente (secondo l'ipotesi di Von Mises o della tensione tangenziale massima) con le condizioni di snervamento (in stato di tensione piano o deformazione piano).


pppppppppp

2

* 16

IIp

s

Kr


In un componente spesso con difetto si hanno condizioni di stato di deformazione piano nella porzione centrale del fronte della cricca, dove lo spostamento secondo z nullo, e condizioni di stato di tensione piano vicino le superficie libere, dove

z = 0. La regione plastica varia lungo il fronte della cricca essendo pi piccola nella zona centrale e pi estesa nelle zone vicine alle superficie libere.




zona plastica all'apice del difetto



zona plastica all'apice del difetto


La presenza di una regione plastica troppo estesa rende non pi valide le ipotesi di base della Meccanica della frattura lineare-elastica: in particolare il campo di tensioni all'apice del difetto non pu pi essere descritto da: Irwin ha mostrato come tale formulazione possa essere ancora utilizzata, mediante opportuna correzione, purch la zona plastica sia piccola rispetto alle dimensioni caratteristiche del difetto, cio che rp* sia al massimo qualche percento della lunghezza a del difetto.


2I

ij ij

Kf

r


La correzione consiste nell'aumentare la lunghezza del difetto di un valore pari al raggio della zona plastica; viene cos introdotto il concetto di difetto equivalente di lunghezza pari a 2(a + rp*) . Il fattore di intensificazione delle tensioni diventa quindi: E' da notare che necessaria una soluzione iterativa, dal momento che KI dipende da rp* che a sua volta funzione di KI .


*I pK Y a r

Stato di deformazione all'apice del difetto C.O.D - C.T.O.D.

E' anche interessante conoscere lo spostamento COD dei bordi del difetto (C.O.D.: Crack Opening Displacement). Nel caso illustrato in figura si ha: Al centro del difetto (x = 0) il COD raggiunge il valor massimo:


2 242COD v a xE

max

4 aCOD

E

Stato di deformazione all'apice del difetto C.O.D - C.T.O.D.

Il risultato fornito per x = a (COD = 0) non corretto in presenza di una zona plastica in quanto l'apertura all'apice del difetto "fisico" (CTOD: Crack Tip Opening Displacement) diversa da zero. Applicando la correzione plastica al COD si ottiene:

e, per x = a:


2* 24pCOD a r xE

2 *2 * 2

2*

42

4 42

p p

Ip

s

COD a r ar aE

Kar

E E

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