Metodi di Analisi Non Lineare applicati a Segnali...
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Lez. 22-01-04
Metodi di Analisi Non Lineare applicati a Segnali Fisiologici
Maria Gabriella Signorini
Dipartimento di Bioingegneria, Politecnico di Milano
Lez. 22-01-04
Introduzione� I segnali biologici sono caratterizzati da estrema variabilità sia in condizioni
fisiologiche sia patologiche. Complessità, comportamento erratico, biforcazioni sono termini che descrivono molti eventi biologici.
� La quantificazione di queste proprietà e delle loro variazioni costituisce un aiuto alla comprensione della fisiologia ed in grado di fornire indicazioni cliniche e diagnostiche
� Come si procede per stimare parametri non lineari in una serie sperimentale?
� Si utilizzano metodi che misurano la dimensione frattale e gli esponenti di Lyapunov dalla ricostruzione di una singola variabile , con il metodo del time-delay, in uno spazio di embedding.
� Problemi
� Questi metodi non discriminano tra determinismo e correlazione lineare in serie con spettri power-law
� Il sistema che genera la variabile analizzata e’ ignoto
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Esempi di segnali biomedici• Potenziale d’azione: intracellulare, extracellulare.
• Elettroencefalogramma (EEG)• Elettrocardiogramma (ECG)• Elettromiogramma (EMG)• Elettrooculogramma (EOG)• Frequenza cardiaca• Pressione arteriosa• Flusso/portata sanguigna• Acidità del sangue (Ph)• Flusso/volume respiratorio• Forza, tensione muscolare
ECG con EMG (disturbo)
EMG depurato dell’ECG sovrapposto
Portano informazione su sistemi non indagabili direttamente: 1- importanti per conoscere i meccanismi di generazione; 2- SNR sfavorevole; 3- diversa struttura
(ECG: quasiperiodico, EEG pseudostocastico)
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ddall’ ECG all’ ECG allaalla serie di variabilitàserie di variabilità
� Esempio di segnale ECG
� L’intervallo tra due battitisuccessivi misurato dalpicco dell’onda R al successivo(R-R) variafisiologicamente nel tempo
� La serie dei valori degliintervalli R-R in funzione del numero dei battiti costituiscela serie temporale divariabilità (HRV)
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Scopo: determinaredeterminare, a partire da una serie temporale di variabilità della frequenza cardiaca se l’evoluzione del sistema se l’evoluzione del sistema cardiovascolare:cardiovascolare:
- è governata da processi stocasticioppure
- può essere interpretata come azione di pochi oscillatori con caratteristiche non lineari che mostrano un comportamento caotico.
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Obbiettivi:Obbiettivi: - verificareverificare la presenza di determinismo determinismo non linearenon lineare nel segnale di variabilità variabilità cardiaca.cardiaca.
-eliminare, tramite un filtraggio non lineare, il rumore e le componenti non implicate nella dinamica per poter valutare in modo corretto i parametrivalutare in modo corretto i parametriestratti dal segnale biologico misurato sperimentalmente
-Il metodo e’ generale e puo’ essere esteso ad altre serie temporali sperimentali per le quali sia ignoto il meccanismo di generazione
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0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000-20
0
20
t
0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000-20
0
20
t
0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000
-20
0
20
t
x~
x
xx −~
Sistemi CaoticiSistemi Caotici
EsEs. Sistema di . Sistema di LorenzLorenz
Proprietà:- Determinismo
- Aperiodicità e dinamica limitata
- Presenza di Strani Attrattori con dimensione frattale (finita e non intera)
- Entropia K2 convergente
- Traiettorie divergenti dull’attrattore; Sensibile dipendenza alle condizioni iniziali (almeno un Esponente di Lyapunov >0)
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Metodi per la misura di parametri non Metodi per la misura di parametri non lineari lineari Dimensione di correlazione Dimensione di correlazione νν
Un valore della dimensione ν piccolo e non intero è considerato segno della presenza di uno Strano Attrattore che ha generato la dinamica. In realtà Se c’e uno strano attrattore, la dimensione e’ non intera, non vale il contrario.
Si puo’ stimare la dimensione a partire da una sola variabile misurata (Th di Mané-Takens)
Esponenti di Lyapunov Esponenti di Lyapunov λλI sistemi caotici possiedono almeno un esponente di Lyapunov positivo.
Provenzale ed Osborne hanno dimostrato che PROCESSI STOCASTICI SEMPLICI(caratterizzati da spettro di potenza Power-Law con fasi di Fourier casuali, indipendenti ed uniformemente distribuite) possono generare serie temporali con dimensione ν finita ed entropia K2 convergente
Entropia KEntropia K22Entropia K2 convergente (finita e diversa da zero) è considerata come “prova” dell’esistenza di una dinamica caotica.
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Test di Ipotesi basato sui dati surrogati (1)Test di Ipotesi basato sui dati surrogati (1)
Ipotesi nullaIpotesi nulla: : è l’ipotesi che vogliamo confutare.
Vogliamo rifiutare l’ipotesi che un processo stocastico lineare sia il meccanismo che ha generato i nostri dati
Noi vogliamo dimostrare che la struttura della serie è inconsistente con l’ipotesi di linearità, ovvero che i modelli lineari sono inadeguati per spiegare i dati della serie originale.
Dati SurrogatiDati Surrogati::Sono serie di dati casuali che condividono con la serie originale x(t)=1,2…N , alcune proprietà lineari (media, varianza, spettro di Fourier)
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Test di Ipotesi basato sui dati surrogati (2)Test di Ipotesi basato sui dati surrogati (2)
Criterio di rifiutoCriterio di rifiuto: : specifica per quali valori della statistica discriminante noi rifiutiamo l’ipotesi nulla.
Statistica discriminanteStatistica discriminante: : è un numero o una funzione che quantifica alcune proprietà di una serie temporale.
Funzione di Funzione di autocorrelazioneautocorrelazione::
Mutua Mutua Informazione:Informazione:
( ) ][ ττγ +∗ ⋅= nnxx xxE
∑= +
++ ⋅
⋅=N
n nn
nnnn xPxP
xxPxxPI1 )()(
),(ln),()(τ
τττ
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Dati SurrogatiDati SurrogatiMetodi di Surrogazione:Metodi di Surrogazione:
RandomizzazioneRandomizzazione delle fasi (delle fasi (OsborneOsborne 1986)1986)
AAFT AAFT Amplitude Adjusted Fourier TransformAmplitude Adjusted Fourier Transform ((TheilerTheiler1992)1992)
AAFT AAFT RicorsivoRicorsivo ((SchreiberSchreiber 1998)1998)
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Variazione percentuale della mutua informazione
0 5 10 150
0.15
0.3
0.45
0.6
0.75
τ
Mut
ual
Info
rmat
ion )(τorI
)(τsurI mI
)(τdI
∑=
=M
isiI
M 1)(1 τ)(τsurI
=)(τdI )(τorI − )(τsurI
mI ∑=
=T
T 1
1τ
)(τorI
mI)()(%
ττ dII =∆
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Serie Originale x(t)
Controllo Surrogazione
Surrogazione della Serie Originale x(t) Cattiva Surrogazione
Grande Variazione della autocorrelazione (> 1%)
Piccola Variazione della autocorrelazione
(< 1%)
Buona Surrogazione
Variazione della mutua informazione
Piccola Variazione della mutua informazione (< 5%)
Dinamica NON deterministica
Grande Variazione della mutua informazione (> 10%)
Dinamica Deterministica
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Variazione di Mutua Informazione ed Variazione di Mutua Informazione ed AutocorrelazioneAutocorrelazione nei sistemi simulatinei sistemi simulati
0 5 10 150
20
40
60
80
100
120
140
160
τ
Var
iazi
one
%
Ikeda
0 20 40 60 80 1000
10
20
30
40
50
60
τ
Var
iazi
one
%
Lorenz
0 20 40 60 80 1000
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
τ
Var
iazi
one
%
Processo stocastico con spettro 1/f
0 20 40 60 80 1000
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
τ
Var
iazi
one
%
Processo AR
0 20 40 60 80 1000
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
τ
Var
iazi
one
%
Processo MA
Sistemi Caotici Processi Lineari
Trasformazione non lineare di Rumore
0 20 40 60 80 1000
0.5
1
1.5
2
τ
Var
iazi
one
%
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Esempi di applicazione della procedura a serie HRV
0 5 10 150 5
10 15 20 25 30 35 40 45
τ
%
Normals: Surrogates AAFT Difference % Autocorrelation Difference % Mutual Inf.(10)Difference % Mutual Inf.(50)
0 5 10 150
5
10
15
20
25
30
35
40
τ
%
Normals: Surrogates SCHREIBERDifference % Autocorrelation Difference % Mutual Inf.(10)Difference % Mutual Inf.(50)
0 5 10 150
5
10
15
20
25
30
35
40
45
τ
%
Myocardial Infarction: Surrogates AAFTDifference % Autocorrelation Difference % Mutual Inf.(10)Difference % Mutual Inf.(50)
0 5 10 150
5
10
15
20
25
30
35
τ
%
Myocardial Infarction: Surrogates SCHREIBERDifference % Autocorrelation Difference % Mutual Inf.(10)Difference % Mutual Inf.(50)
0 5 10 15 0
1
2
3
4
5
6
τ
%
Heart Transplant: Surrogates AAFT Difference % Autocorrelation Difference % Mutual Inf.(10) Difference % Mutual Inf.(50)
0 5 10 15 0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
τ
%
Heart Transplant: Surrogates SCHREIBER Difference % Autocorrelation Difference % Mutual Inf.(10) Difference % Mutual Inf.(50)
Dati surrogati con AAFT (sopra) e con l’algoritmo di Schreiber (sotto)
In ROSSO: calcolo della MI con 10 bin. In nero calcolo della MI con 50 bin.
In BLU la ACf
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0 5 10 150
10
20
30
40
50
60
70
τ
Var
iatio
n %
0 5 10 150
10
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70
τ
Var
iatio
n %
0 5 10 150
10
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τ
Var
iatio
n %
0 5 10 150
10
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τ
Var
iatio
n %
0 5 10 150
10
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τ
Var
iatio
n %
0 5 10 150
10
20
30
40
50
60
70
τ
Var
iatio
n %
Normal Subjects Myocardial Infarction Heart Transplanted
Mutua Informazione di segnali HRV di soggetti con patologie
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� Questo risultato suggerisce che� Possiamo rifiutare l’ipotesi nulla per il segnale di
variabilità della frequenza cardiaca
� Per quali altri segnali biologici si e’ verificata la possibilità che i meccanismi di generazione e controllo fossero non lineari e deterministici?� Il cammino di soggetti patologici (Huntington disease)� Segnali Elettromiografici� Altri segnali di variabilità cardiovascolare� ….� EEG(???)
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Proposta di procedura per la ricostruzione e la riduzione del rumore in una serie temporale
sperimentale�� Stima del valore ottimo dellStima del valore ottimo dell’’intervallo di ricostruzioneintervallo di ricostruzione ττR; R;
ττR R è la massima differenza % nell’indice MI
�� Stima della dimensione ottima di ricostruzioneStima della dimensione ottima di ricostruzione..
metodo dei Falsi Vicini (False Nearest Neighbours)�� Stima della dimensione ottima dello spazio di proiezioneStima della dimensione ottima dello spazio di proiezione kkRR del del
sistemasistema. .
Basata sullo spettro locale degli autovalori della matrice di Covarianza delle traiettorie.
�� Filtraggio non lineare nello spazio di stato con i parametri calFiltraggio non lineare nello spazio di stato con i parametri calcolaticolati
�� Calcolo dei parametri Calcolo dei parametri invariantiinvarianti: dimensione frattale, Esponenti di : dimensione frattale, Esponenti di LyapunovLyapunov
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Filtraggio non lineare basato su proiezioni locali
((TakensTakens Theorem )Theorem )
)()()( nwnxnx T +=
Recostructed trajectory with:
)])1((),...,([)( τ−−= dnxnxnx
Covariance matrix of Covariance matrix of trajectoriestrajectories
Eigenvalues of the Eigenvalues of the Covariance matrixCovariance matrix
- The largest k eigenvalues represent the power of the useful signal
- d-k eigenvalues represent the power of “noise” in dimensions which are not visited by the system trajectories.
)()()( nwnxnx T +=
Measured series:
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0 2 4 6 8 100
50
100
150
200
τ
Var
iatio
n %
Estimation of theReconstruction delay (τR)
τR
Estimation of the projectiondimension (kR)
1 2 3 4 5 6
0.2
0.6
1
1.4
eige
nval
ues
Dimension
kR
Estimation of the reconstructiondimension (dR)
1 3 5 7 90
20
40
60
80
100
% F
alse
Nea
r.Nei
ghbo
urs
Dimension
dR
False NearestNeighbours
Nonlinear Noise Filteringin the Space State
First Lyapunov Exponent
Basato sulle proiezioni locali della matrice delle traiettorie
Rimuove componenti che non contribuiscono alle
dinamiche non lineari del sistema
Procedura per il filtraggio della serie nello spazio di Procedura per il filtraggio della serie nello spazio di statostato
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HRV of a normal (A and B) vs. an heart transplanted subject (C and D) submitted to nonlinear noise reduction procedure.
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Stima della Dimensione (intera) dello spazio con il metodo dei Falsi Vicini
Si ricostruisce la traiettoria in uno spazio di dimensione m
Si ripete l’operazione per m+1
Si calcola la distanza euclidea tra un punto e tutti gli altri
Si calcola la percentuale di punti VICINI (distanza al di sotto di una soglia fissata) in m e in m+1
Se 2 punti si trovano vicini in m per effetto della proiezione (in uno spazio troppo piccolo) non lo saranno piu’ per m+1
Si ripete al crescere di m fino ad individuare la dimensione corretta
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
m
FNN
per
cent
age
TEST 1 TEST 2 TEST
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
m
FNN
per
cent
age
TEST 1 TEST 2 TEST
0
10
20
30
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50
60
70
80
90
100
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
m
FNN
per
cent
age
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Dimensione di Correlazione di pazienti post-infarto
D2 minore nei pazienti con infarto al miocardio in cui la frazione di eiezione è ridotta rispetto al normale
D2
0,00
1,00
2,00
3,00
4,00
5,00
6,00
7,00
DAY NIGHT DAY NIGHT
D2
REDUCED EF NORMAL EF
P<0.05
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Primo Esponente positivo di Lyapunov
0,000
0,050
0,100
0,150
0,200
0,250
0,300
0,350
0,400
0,450
0,500
Normal MyInfarc Transpl Normal MyInfarc Transpl
Lyap
unov
Exp
onen
t Max
Original Series Series Filtered through the optimalprocedure
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ConsiderazionConsiderazionii
Soggetti NormaliSoggetti NormaliPicco di variazione della mutua informazione a bassi valori di τ ⇒ relazioni non lineari fra battiti vicini.
Soggetti TrapiantatiSoggetti TrapiantatiAssenza del picco di variazione della mutua informazione a bassi valori di τ ⇒ diminuzione relazioni non lineari fra battiti vicini ⇒ perdita di velocità ed elasticità di intervento delsistema di controllo dovuta alla denervazione chirurgica.
Determinismo Determinismo non Linearenon Lineare
Massimo Massimo Esponente di Esponente di
LyapunovLyapunov
• In seguito alla procedura di filtraggio e ricostruzione è sempre possibile effettuare il calcolo del massimo esponente di Lyapunov.
• Assume sempre un valore positivo ⇒ indica che il sistema di controllo cardiovascolare sul lungo periodo è essenzialmente di natura caotica per tutte le categorie di pazienti.
PreprocessingPreprocessingUn preprocessing adatto all’analisi lineare (es: analisi spettrale classica) può introdurre forti distorsioni nel segnale e alterare o eliminare le non linearità presenti nel segnale
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Scala temporale
breve periodobreve periodo lungo periodolungo periodo
λλ=0.37=0.37
λλ=0.43=0.43
Soggetti TrapiantatiSoggetti Trapiantati
Soggetti NormaliSoggetti NormaliSistema di controllo nervoso
Sistema di controllo nervoso
Caoticità Caoticità sul lungo sul lungo periodoperiodo
CaoticitàCaoticità sul lungo sul lungo periodoperiodo
0 5 10 15
Varia
zion
e %
τ
70
50
60
40
30
20
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0
0 5 10 15
Varia
zion
e %
τ
70
50
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30
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10
0
Warning finale per l’analisi di dati sperimentali
� Assicurarsi di avere a disposizione un numero sufficiente di punti per descrivere il fenomeno (non sovracampionare per aumentare i punti)
� Eseguire un test di determinismo basato sui dati surrogati
� Calcolare il time delay τ di ricostruzione dalla funzione di Autocorrelazione e di Mutua Informazione. Se i due risultati sono in conflitto, OK per la Mutua
� Stimare la dimensione dello spazio di embedding con l’algoritmo dei Falsi Vicini
� Stimare la dimensione di correlazione e gli esponenti di Lyapunov