Media: miglior stima del valore vero senza altre info (+ misure migliore approx e minor influenza degli err casuali)

Deviazione: (miglior stima del max err di precisione. Proprietà: e sono gli scarti quadratici)

Deviazione media:

(media della somma delle deviazioni in valor assoluto; stima eccess pessimistica)

Dev Std:

(indicazione di qnto disperse sono le misure rispetto al valor medio: )

Varianza:

, quadrato della deviazione standard

Probabilità(discreto):

(esprime la stima della possibilità di occorrenza di un

determinato evento, tra quelli possibili, espressi da un numero finito)

Probabilità(continuo):

(esprime la stima della possibilità di occorrenza di un valore

della funzione, compreso tra due estremi); Calcolo delle probabilità :

Proprietà della probabilità - La probabilità è sempre positiva e compresa tra 0 e 1: ; - Un evento complementare ad uno , si ha ; - Se due eventi e sono mutuamente esclusi la prob di evenienza di e è: ; - Se due eventi e sono indipendenti la probabilità che avvengano entrambi è: ; - La prob di evenienza di o o entrambi è:

Valore atteso:

Varianza (prevista):

Funzione di Distrib Cumulativa:

(per istogr:

)

Proprietà: se

Densità di prob Gaussiana:

(descrive bene l’andamento di parte degli errori presenti nelle

misure, in qnto mostra la dispersione dei dati sperimentali conseguenza di fattori casuali)

Densità di prob normale: Ponendo

, la funzione densità di prob normale è

, quindi

. La funz è disponibile nel semipiano .

Intervallo di confidenza: La DevStd in una funz di prob permette di definire un intervallo attorno alla media nel qle ci si può aspettare che rientrino le nuove misure, al qle si associa un livello di prob definito dall’area sottesa dalla funzione densità di prob tra i valori limite di : Scegliere l’interv in base al livello di conf: x det ke intervallo bisogna assumere x conseguire un certo livello di confid bisogna trovare per corrisponda una probabilità pari a quella desiderata. Se l’intervallo di confidenza è simmetrico occorre rintracciare la metà del livello richiesto nella tabella e dedurre il parametro corrispondente. Scegliere il livello di confid in base all’interv: per det il livello di confid assicurato da un det intervallo, espresso in rapporto alla dev std bisogna valutare quale prob è associata all’intervallo . Utilizzando i valori integrati numericamente, riportati in tabella, è possibile valutare i livelli di confidenza, ovvero la prob che i valori della misura cadano negli intervalli di confidenza definiti con una semiampiezza pari a volte la dev std attorno al valore medio. L’intervallo è frequentemente utilizzato e corrisponde ad un livello di confidenza del 95%. Statistica finita: La media e la dev std sn parametri descrittivi delle caratteristic statiche di una popolazione a patto di elaborare tutti i dati disp. Nel caso di una misura la popolaz è teoricamente infinita e qndi bisogna ridursi ad usare un campione. Si potrà qndi utilizzare la media campionaria e la dev std del campione, costituenti di fatto un’approx dei dati ideali. Nel caso di misura di 1 var casuale continua la misuraz comporta un’incertez e il risultato dell’indagine statistica fornisce un risultato complessivo. Nel caso di misure il problema è che gli effetti casuali concorrono ad influenzare la media e soprattutto la dev std. Questi due parametri, relativi ad un campione, possono quindi essere impiegati a fronte di un opportuno fattore di confidenza per prevedere le probabilità di rilevare ulteriori misure in un certo intervallo. Per quanto riguarda il valore atteso è ragionevole ritenere che la media campionaria sia una sua ragionevole approx, dopotutto l’operatore è lineare. Al crescere degli eventi, media e dev std tendono a stabilizzarsi identificando i parametri del processo casuale. La scelta di un det campione rispetto ad un altro influenza i due parametri. L’obiettivo è qndi di definire l’interv di confidenza entro il qle sicuramente cade la migliore stima possibile della variabile in modo da rendere la stima indip dal numero delle misure piuttosto ke da uno specifico campione. Campioni diversi producono stime differenti anche con un uguale num di eventi e l’unica cosa ke si può aspettare è ke la diff tenda a diminuire all’aumentare del num di eventi, così come la dev std delle medie. Per suff grande

le stime dei valori medi hanno una distrib gaussiana con dev std:

, e l’incertezza sarà

.

Student’s distribution: conveniente x num di campioni basso, . Nel caso di poche misure viene qndi utilizzato

un nuovo indicatore, “Student’s” definito come:

. Esiste una famiglia di distrib di ke, al contrario

della distrib normale dipende dal num di misure ( ). definisce il num di gdl. La funz di densità t-student è simmetrica e inoltre si abbassa e si allarga al diminuire del numero di misure. Graficamente le distrib sono simili alla distrib normale e diventano equivalenti ad essa al crescere del num di misure. Qste distrib possono dunque essere utilizzate, analogamente a quelle normali, x stimare un interv di confid della media di un num di misure < 30. La procedura è del tutto analoga a qlla della distrib normale: una volta scelta la curva corrisp ai gdl ( ) si può definire la

prob che cada nell’interv ke si ottiene sostituendo il valore di . Dal pnto di vista

operativo si tratta di introdurre un termine di amplificazione delle incert ke permette di compensare un’insufficiente disp di dati. Con il parametro così calcolato, il num di gdl e un’apposita tabella, ci si può ricavare il coeff che

garantisce la confidenza desiderata e in base a qsto coeff si esprime l’incert

. I dati nec sono

dunque il coeff di copertura definito come (il livello di confid desiderato) e il numero di gradi di libertà .

Distribuzione : può risultare interessante anke la stima della varianza e in qsto caso vengono definiti due coeff moltiplicativi della dev std calcolata sul campione ( ) ke permettono di stabilire un valore max e min all’interno del

qle dovrebbe trovarsi la dev std vera ( ) con un livello di confid da esprimersi:

Max Verosimiglianza: Secondo il princ di Max Verosimiglianza la miglior stima del valore e della dev std si ha qndo è max la prob di ottenere la misura. Per il princ di max verosim l’esp dell’esponenziale deve essere min. Differenziando rispetto a x e uguagliando a 0 si ottiene la formula della media. Differenziando rispetto a si ottiene l’espressione della dev std. La media e la dev std, come migliori stime, hanno qndi un limite di applicabilità rappresentato dalla distrib gaussiana: se la distrib di errori nn è di qsto tipo nn si può affermare con certezza ke siano la stima migliore. Se la distrib degli errori è simmetrica si può cmq affermare ke la media sia la miglior stima del valore misurato reale.

Prop degli err: La variazione della funz è definita mediante la sua linearizzaz:

, esatta per variazioni

infinitesime. Nel caso di misure possiamo sostituire alle variaz le rispett incertezze di misura ( ) ottenendo

l’incertezza del risultato:

. In forma adim, l’incertezza % è data da:

RSS: scelta ottimale x gestire errori che possono essere sia positivi che negativi, cioè tiene conto della probabilità che

i diversi errori concorrano alla misura con il loro valore massimo:

. La varianza di è data da:

. Applicabile nell’hp di indip e simmetria degli scostamenti delle incertezze di variabili casuali.

Incertezza relativa:

dove

è il coefficiente di amplificazione

dell’incertezza, che permette di valutare il peso relativo delle singole incertezze senza ancora conoscerle e quindi di capire a quali elementi prestare maggiore attenzione, ragionando a incertezze relative equivalenti.

Incertezza % :

dove

è il contributo % ke tiene conto anke del

valore atteso della variabile. Per migliorare la misura occorre ridurre l’incertezza sugli elem + critici. Se la relaz è una

prod di potenze:

. L’errore % è legato alle incertezza sulle singole misure:

.

Incertezze da Normativa: classificaz in base al metodo col qle sn state det: Tipo A: valutazione incertezze mediante analisi statistica di una serie di osservaz/misure; Tipo B: valutaz mediante strumenti diversi dall’analisi stat del tipo A.

Tipo A: calcolate come deviazione standard , ricavate statisticamente come radice della varianza stimata e dal

numero di g.d.l. ad essa associati. L’incertezza standard è . Valutazione di incertezze del tipo A: 1) ripetere N volte la misura (N piccolo comporta una insuff stima dello scarto tipo)

2) calcolare la media:

3) calcolare la stima dello scarto tipo:

4) la misura è data dalla media e la sua incertezza è lo scarto tipo della media:

Tipo B: una componente di incertezza ottenuta con qsto metodo è descritta da una quantità radq della varianza

, a sua volta det in base ad una ragionevole hp di distribuz di densità di prob, basata su tt le info disponibili.

L’incertezza standard è . Valutazione di incertezze di tipo B:

1) individuare la distrib di probabilità applicabile (congruente con tutte le info disponibili)

2) calcolare il valore atteso:

3) calcolare la varianza:

4) la misura è data dalla media e la sua incertezza è lo scarto tipo della media Una valutazione delle incertezze B è basata sull’esame di tt le info disponibili come risultati di precedenti misure e info del/sul sistema di misura. Poiché le info disponibili possono anche essere molto diverse è difficile ricavare un criterio unico per l’espressione delle incertezze di tipo B. Si può affermare che le incertezze di tipo B sono espresse attraverso la deviazione standard della densità di prob ke si è supposto descrivere la variabile casuale in esame. Incertezza estesa: per definire l’incertezza in termini di affidabilità della misura si definisce l’incertezza estesa, ottenuta moltiplicando l’incertezza di misura x il fattore di copertura . L’incertezza estesa della variabile è definita: , dove viene scelto sulla base del livello di confidenza desiderato per l’intervallo definito come , ed ha tipicamente valori tra 2 e 3 con livelli di confidenza rispettivamente di 95% e 99%. Si usa lo schema per variabili gaussiane poiché le medie di una variabile generalmente casuale seguono questa distribuzione. Incertezza combinata: se tt le misure affette da incertezza di tipo A sono acquisite con un num di eventi elevato si possono combinare le incertezze e utilizzare direttamente il fattore di copertura valido per una variabile a distrib gaussiana. In gen vi sono procedure per la det di qste incert pesando i contributi delle varie misure e le loro incert.

Det incert comb: . Per poter applicare la combinazione, occorre rendere compatibili le incert A e B: Se il

contributo è di tipo A si usa la DevStd della media, qndi l’incert della media (non estesa):

;

Se il contributo è di tipo B occorre det una DevStd ipotizzando la densità di prob corrispondente. In assenza di info si

può assumere la distrib uniforme:

dove è la semi-ampiezza del rettangolo corrispondente.

Mediante il th del limite centrale si può dim che, trattare l’incertezza standard combinata come una grandezza a distribuzione gaussiana ed estesa con il coeff di copertura nec x ottenere il livello di confidenza richiesto, , è valido indip dalla tipologia delle incertezze combinate o dalla distribuzione assunta per le incert di tipo B. Valutaz strum di misura: Occorre cercare di scomporre il sist di acquisizione e individuare i singoli elementi in modo da caratterizzare individualmente le possibili fonti di incert. Il processo di misura può essere suddiviso in: dispositivi elementari (strum generalizzato) e 3 fasi distinte: calibrazione (si definiscono le caratteristiche di qualità di ciascuno in termini di leggi ingresso-uscita e di incertezze), acquisizione dei dati (fase in cui si esegue l’attività di misura e si memorizzano i dati) e trattamento dei dati (si usano manipolazioni numeriche nec per ridurre il risultato richiesto). Calibrazione: operazione che permette di mettere in relazione l’uscita di uno strumento con l’ingresso attraverso l’impiego di una misura nota e precisa dell’ingresso stesso. Può essere diretta (le uscite dello strumento vengono confrontate con ingressi noti) o indiretta (confrontando le uscite con quelle fornite da uno strumento già calibrato). L’accuratezza dello strumento utilizzato per confronto deve essere un ordine sup di quella dello strumento da tarare. Modalità di prova: la calibrazione prevede l’applicazione di ingressi sull’intero campo di misura dello strumento. La conoscenza dei fenomeni fisici coinvolti permette di valutare a priori quale metodo utilizzare. Gli ingressi possono essere applicati in maniera sequenziale o casuale:

- Sequenziale: variaz progressiva dell’ingresso sull’intervallo desiderato in salita e in discesa: ogni applicazione dell’ingresso consiste in un increm/decr del precedente. Vantaggi: permette di evidenziare effetti di isteresi.

- Casuale: applicazione degli ingressi in un ordine casuale: ogni applicazione dell’ingresso è indipendente dal precedente. Vantaggi: permette di minimizz gli effetti indesiderati cm le interferenze sugli ingressi o l’isteresi.

Regress dati sperim: è prassi relazionare dati mediante la regress di funzioni matematiche, come polinomi di basso ordine o esponenziali. Una funz in genere utilizzata a qsto scopo è la retta: le regressioni lineari sono infatti molto spesso adatte per l’interpretazione di dati e si cerca spesso di ricondursi a questo tipo di fitting. Nel caso polinomiale

generico, la funz di regres è:

, in forma matric: . L’errore per ogni

punto è: . L’errore quadratico tot è:

, in forma matric: . La

procedura di regressione ai minimi quadrati prevede di minimizzare l’errore totale trovando il punto di stazionarietà

rispetto ai parametri . Scriveremo quindi equazioni del tipo:

, che in notazione matriciale:

, dove

. Per i diversi ordini avremo:

- Ordine 0 : - Ordine 1 (fitting lineare):

- Ordine 2:

Coeff di regres: indicatore della qualità di regressione:

dove

Otteniamo che se tutti i punti giacciono sulla retta; se i punti hanno una distribuzione casuale. Una buona correlazione presenta un coefficiente di regressione superiore a 0.98. Regress lineare con trasformazione: le coordinate logaritmiche consentono la visualizzazione dei dati in forma rettilinea. Eseguendo il log delle misure , otteniamo un problema di regressione nella forma lineare: . Esistono 3 schemi operativi: Regressione totale (utilizzando tt i valori disponibili); Regressioni indipendenti sui singoli cicli di scarico e valutazione dei valori medi e delle DevStd dei coeff di regressione (dà un’indicazione di incertezza per i coeff); Regressione sui valori medi per ogni punto di ingresso (è la più coerente con la formulazione). I risultati sono identici se i pti di misura sono gli stessi per tt i cicli. Operare una regressione su punti multipli non è corretto dal punto di vista teorico. Un approccio formalmente + corretto è quello di ricondurre le misure multiple al loro valore medio e alla rispettiva incertezza, effettuare una regressione sui valor medi e poi propagare l’incertezza delle misure sui coeff della regressione. Incertezze sui coeff di regres: nella th alla base della regress si assume che le misure non siano affette da incertezza. Bisogna fare attenzione al loro propagarsi ai coeff della regress. La presenza di qsti errori comporta la propagazione di un’incertezza sui coeff della regress lineare . Assumendo ke tutte le misure siano affette da incert

, le incertezze sui coeff della regress sn date da:

;

La curva diventa: , per cui la stima dell’uscita fornita dalla retta di regressione può collocarsi in qualsiasi punto all’interno di una banda la cui ampiezza è minima allo zero e max all’estremo superiore. Incertezza della Calibrazione: è opportuno utilizzare un campo simmetrico per la regressione mediante un riferimento d’appoggio centrato sul campo di misure. L’incertezza è minore nella zona centrale del campo di misura Incertezze su misure x: l’errore dovuto ad una incert in può essere trasformato in un err dovuto ad una incertezza

equivalente in moltiplicandolo per il coeff di pendenza della regress lineare:

Incert su misure x e y: combinando le 2 incert otteniamo un’incert equiva per le misure in :

Taratura: insieme di operazioni ke stabiliscono, sotto condizioni specificate, la relazione tra i valori indicati da uno strum di misurazione o i valori rappresentati da un campione materiale e i corrispondenti valori noti di un misurando. Lo scopo della taratura è quello di qualificare il sistema di misura, legando la grandezza di ingresso con quella di uscita. - I dati vengono trascritti/registrati in tabelle - Vengono elaborati con una regress (lineare) x ottenere la curva di calibraz: - La relazione viene risolta rispetto all’ingresso di misura. Il legame così definito è chiamato curva di taratura dello

strumento (utilizzata durante la misura): . La curva di taratura permette di ricavare la misura da assegnare al misurando per ogni valore di lettura fornito da un dispositivo di misuraz. Tale curva è una relaz biunivoca tra ogni valore fornito dallo strum e il corrispondente valore da assegnare al misurando.

Può essere utile anche il diagramma di taratura per determinati valori delle grandezze di influenza (ricavato dalla curva di taratura con l’aggiunta della banda di incertezza). Permette di ricavare da ogni valore di lettura fornito da un dispositivo la misura da assegnare al misurando. Definisce una fascia di possibili valori del misurando corrisp ad un’uscita dello strum. È costituito da un intervallo la cui semiampiezza è l’incertezza strumentale, ke rappr l’incert associata al valore dato dalla curva di taratura x garantire la compatibilità della misura corrisp alla lettura effettuata. Passi del procedimento:

1) Acquisire le coppie di valori ingresso/uscita sull’intero campo di misura; 2) Mettere i punti in grafico; 3) Calcolare e mettere in grafico le deviazioni; 4) Calcolare e tracciare la retta di regressione; 5) Calcolare e mettere in grafico le deviazioni alla retta di regressione; 6) Calcolare e tracciare l’intervallo di confidenza.

Inserire i punti in un grafico permette di evidenziare comportamenti anomali come punti discutibili o differenze di

comportamento tra i vari cicli di carico.

Err di linearità: valore max delle deviazioni delle misure dalla retta di regress: Isteresi: proprietà di un materiale di fornire valori di lettura diversi in corrispondenza di un medesimo misurando, quando questo viene letto per valori crescenti e per valori decrescenti.

Err di isteresi: valore massimo delle differenze tra il valore di carico e scarico in corrispondenza di un punto di misura

(per cicli di carico e scarico regolari): oppure

Ripetibilità: calcolo dell’intervallo di dispersione per ciascun punto di carico a parità di modalità di presentazione

dell’ingresso. L’indicatore della ripetibilità dello strumento è

, il cui risultato dipende dalla modalità di carico.

Segnale analogico: può essere rappresentato mediante una fun del tempo, continua nel tempo e continua in valore. Segnale digitale: costituito da una fun tempo discreta e quantizzata, definita solamente in un insieme numerabile di istanti equispaziati e dotata di un codominio costituito da un insieme discreto di valori: . Pregi: resistenza al rumore, elaborazione + facile e registrazione + fedele e stabile rispetto a quelli analogici. Conversione A/D: richiede 3 fasi: Campionamento (discretizzazione del tempo del segnale), Quantizzazione (discretizzazione dell’ampiezza); Codifica (uso di parole binarie per esprimere il valore del segnale). Campionamento: significa prelevare da un segnale analogico una successione temporale di valori costituita dalla sequenza di valori istantanei assunti dal segnale in corrisp di particolari valori di tempo detti “istanti di camp” , e il suo reciproco viene detto “freq di campi” . Un modello matematico del campionamento può essere definito come

prodotto del segnale con una serie di funzioni di campionamento :

. Il

risultato è una serie di valori corrisp all’ampiezza del segnale nell’istante del campionamento . Th del camp: x camp al meglio il segnale occorre fissare una freq di campionamento in modo da ridurre gli errori che si compiono. Il camp infatti provoca una perdita di info del segnale analogico sul valore assunto in tutti gli istanti di tempo diversi da quelli di camp. Il th detta le condizioni perché non si abbia una perdita di info: se un segnale è campionato con una freq almeno doppia rispetto al suo max contenuto in freq, il camp non introduce errori:

. Campionando a freq la banda di freq ammissibile è

. Si identifica qndi la freq di Nyquist come

.

Aliasing: se nn è rispettato il th, si incorre nel fenomeno di aliasing, dove il contributo energetico delle freq x le qli il th di camp non è rispettato appaiono a freq inferiore e si confondono con qlle presenti in quella parte dello spettro. In qsto caso si parla di sottocampionamento. L’aliasing si manifesta anche nel dominio delle freq: il picco della sinusoide appare ad una freq inferiore a quella reale. Risultano delle freq che nn esistono realmente nella banda delle freq ammissibili, ma sono le immagini delle stesse componenti al di fuori della banda stessa. In assenza di un termine di confronto, non si è in grado di dire se qllo che si visualizza sia reale o apparente, per qsto bisogna cercare di evitare l’aliasing. Ogni componente armonica per cui non valga il th del camp è soggetta ad aliasing. L’effetto è xò diverso x segnali a freq diversa e su uno stesso segnale varia con la freq di camp. Se non si conosce completamente e a priori lo spettro del segnale nn si può prevedere l’alterazione della freq e in ogni caso nn è possibile rimuovere l’effetto di aliasing. Consideriamo una generica sinusoide. Si può esprimere la freq in multipli della freq di Nyquist:

dove è un num intero (nullo se il th del camp è verificato) e è un

num frazionario. La sinusoide campionata diventa: . Siccome e sono num interi per ogni valore intero dei 2 fattori . Si distinguono due casi:

- Se è pari, la freq apparente è

(retta di freq con la pendenza corretta ma traslata di

)

- Se è dispari, la freq apparente è

(retta con pendenza ridotta e cambiata di segno)

Teoremi di convoluzione: Si può vedere il campionamento come prodotto nel tempo della funz originale per una sequenza di impulsi di campionamento . Bisogna qndi ragionare sui fattori che concorrono nel mantenere o modificare la freq della funz prodotta. In questo modo si può giustificare razionalmente il fattore che dimezza la banda osservabile rispetto a quella di camp. La trasf di Fourier di un segnale e la sua antitrasf sono date da:

. Si può ricorrere al th di convoluzione x dimostrare qnto detto sopra e capire se e qndo lo

spettro di una funz campionata corrisponde a qllo della funz continua originaria, almeno per la zona di interesse. Th della convoluzione: la trasf di un segnale campionato è data dalla convoluzione della trasf del segnale continuo e

di qlla della funz di camp. Possiamo dunque affermare che:

Th della convoluzione in freq : il prodotto di due funz nel tempo ha come trasf la convoluzione delle rispettive trasf:

dove . La convoluzione prevede l’integrale del prodotto delle due

funzioni una volta che una di esse sia stata ritardata in frequenza della quantità e ribaltata rispetto all’asse delle frequenze. Il risultato è indipendente dalla scelta della funzione sulla quale far agire le due operazioni menzionate. Th della convoluzione nel tempo: il prodotto di due funzioni in frequenza ha come anti trasformata la convoluzione

delle rispettive storie temporali:

dove

Sintesi: la risp di un sist lineare caratterizzato dalla funz di trasferimento , trasformata della risp impulsiva

, ad una forzante , è data dall’antitrasf di:

, oppure dalla convoluzione

della risp impulsiva e dalla storia temporale del carico:

.

Metodi x evitare l’aliasing: l’aliasing non è rimuovibile e pertanto deve essere evitato. I filtri che si possiamo utilizzare possono elaborare il segnale ma non influire sull’aliasing. Vi sono 2 modi per evitare il fenomeno: - Alzare la freq di camp fino a rispettare il th del campionamento (sempre che il segnale sia a banda limitata) - Inserire un filtro passa-basso a monte del convertitore A/D in modo da creare artificialmente una banda limitata

Filtraggio: prevede l’utilizzo di filtri passa-basso, chiamati filtri anti-aliasing che attenuano tt le armoniche del segnale superiori ad una freq caratteristica, detta freq di taglio. Qsta deve essere definita con attenzione in funzione delle caratteristiche del filtro, del segnale da acquisire, dell’intervallo di freq di interesse e delle caratteristiche del sist di acq, compresi i condizionatori. Si assume come freq di Nyquist quella per cui il contributo armonico sia ridotto ad un livello assegnato confrontabile con il rumore che caratterizza il sistema di misura. Due tipologie di problemi:

- Regolato il filtro, determinare la frequenza di campionamento per evitare aliasing; - Trovare la freq, multipla di qlla di taglio, a partire dalla qle si può ritenere di aver cancellato i contributi armonici. Un filtro ideale ha pendenza costante dopo la freq di taglio, ma ciò è irreale. Il segnale in uscita non potrà avere ampiezza inferiore al rumore dello strumento e diventerà circa costante. Non ha senso campionare con freq troppo elevate xké il contributo armonico del segnale filtrato sarebbe sostituito da rumore. In +, possono essere presenti rumori non causati da filtro ma da elementi precedenti, maggiormente visibili se il filtro è di ottima qualità. Scelta la freq di taglio, nota la retta di attenuazione e l’attenuazione richiesta, sarà opportuno scegliere come freq di Nyquist

l’intersezione del segmento attenuante con la retta orizzontale ad attenuazione pari a

del rapporto

per

cui:

. Il contributo armonico residuo darà origine ad aliasing ma la sua ampiezza sarà

trascurabile e dell’ordine del rumore. La frequenza di campionamento sarà ovviamente: .

Finestra di osservazione: se si osserva un fenomeno per passi di campionamento, la finestra di osservazione è ed equivale ad applicare al segnale una finestra uniforme avente valore unitario nel periodo di osservazione e nullo all’esterno. Il num di campionamenti della storia è pari ad . Il contenuto in freq è dato dalla forma digitale della trasf di Fourier che è anch’essa definita da valori complessi. La trasf di un segnale reale è simmetrica per la parte

reale e antisimmetrica per quella immaginaria ed è definita per un campo di freq – definita in base alla

freq di Nyquist. Tra lo e si hanno

punti spaziati in freq di:

. L’inverso del tempo

di osservazione fornisce la risoluzione in freq. Esiste un legame tra la freq di acquisizione e il passo in freq della

trasformata:

l’espressione della trasf si semplifica:

con e .

Aumentando la freq di camp si allarga la band di freq osservabili. Aumentando il tempo di osservazione (a parità di freq di camp) aumenta la risoluz in freq. Supponendo di avere una funz sinusoidale correttamente campionata e osservata, la trasformata si ottiene associando quella del segnale campionato con quella della funz di finestratura. L’effetto risultante è la riproduzione su ciascun picco della trasformata della funz finestra. L’energia associata ad una freq viene distribuita su un intervallo di freq tanto + ampio qnto + breve è la finestra di oss: questo è il fenomeno del Leakage, che nn si presenta solo per le sinusoidi con periodicità sottomultiplo intero del periodo di osservazione. Rimedio leakage: uso di finestre temporali sul segnale misurato, in modo da ridurre il fenomeno ma non eliminarlo

del tutto. Le finestre comunemente utilizzate hanno equazioni nella forma:

. Tutte le

armoniche subiscono questo effetto distribuendo l’energia su una banda di freq più ampia. Si commettono quindi errori sia nell’identificazione delle frequenze dei picchi che nel loro smorzamento. L’effetto è noto anche con il nome di Smearing. Per i transitori il problema è meno sentito a patto di utilizzare una finestra di osservazione abbastanza lunga da contenere tutto il fenomeno. In questo caso bisogna però utilizzare delle finestre di tipo esponenziale. Quantizzazione: consiste nell’attribuzione del segnale ad un livello tra quelli disponibili, quindi a tutti i valori compresi tra i due estremi dell’intervallo verrà assegnato un singolo num binario. Qsto comporta un limite di risoluzione. Il num di intervalli in cui suddividere il campo di misura è arbitrario, ma per consuetudine, operando con sistemi binari, si adotta un valore di potenza di 2 in ragione del numero di bits utilizzati per la codifica del segnale. Incertezza di quantizzazione: tutti i valori che rientrano nell’intervallo vengono associati ad uno stesso

valore digitale e la misura così ottenuta è affetta dall’errore di quantizzazione e ha come valore max:

. La distrib di prob è uniforme. L’incert può essere ridotta riducendo il campo di misura o aument il num di

intervalli in cui qsto viene suddiviso. Essendo cost, assume un peso relativo + o meno importante a seconda del

valore della misura: tanto + è piccola risp al FS tanto maggiore è il valore dell’incertezza relativa di quantizzaz. X cercare di contenere l’incert di quantizzaz a livelli accettabili si possono utilizzare quantizzazioni nn uniformi: - Quantizzazione uniforme: l’errore relativo dell’incertezza non è uniforme sul campo di misura; - Quantizzazione non uniforme: l’errore relativo dell’incertezza è uniforme sul campo di misura.

Risoluzione: l’incertezza di quantizzaz corrisponde alla risoluzione, cioè la minima variazione della grandezza in ingresso apprezzabile. Corrisponde al valore del bit meno significativo. Un problema tipico è costituito dalla presenza nel segnale di un valore costante che obbliga ad adeguare il FS al valore max. La componente costante può essere rimossa con un opportuno circuito di condizionamento analogico: un filtro passa-alto che rimuova solo la componente cost (modalità AC) o un circuito di offset per aggiungere/togliere una tensione cost pari al valore medio del segnale. Si preferisce la prima soluzione. Togliendo la parte costante si fa in modo che la risoluzione operi solamente sulla parte dinamica del segnale. Naturalmente un alto numero di bits risolve a monte il problema. Conversione unità fisiche: alla codifica deve sempre essere applicata la relazione di conversione per associare alle

ordinate il valore fisico della misura di tensione corrispondente:

.

Si det la misura in unità fisiche mediante l’utilizzo del coefficiente di taratura: . S&H: i circuiti AD richiedono un tempo finito x completare la loro funzione durante il qle è indispensab ke il segnale da convertire presenti fluttuazioni minime, altrimenti potrebbe rendere imprecisa o impossibile la conversione. Per eliminare qsto probl si utilizza un dispositivo che congela il segnale x il tempo nec al completamento della quantizz: il Sample/Hold. Il circuito mantiene in uscita il valore del segnale nell’istante nominale di campionamento utilizzando un condensatore come dispositivo di memorizzazione. Il sist di acq viene programmato in modo che il S/H si attivi prima del convertitore memorizzando la tensione. Qsta verrà poi inviata al convertitore mediante la scarica del cond. Dopo la chiusura del circuito occorre attendere la completa ricarica prima di poter riattivare il mantenimento. Esistono prob dovuti alla progressiva perdita di carica del cond che porta ad una caduta di tensione in uscita. Codifica: consiste nell’associare ad ogni intervallo in sui è stato suddiviso il campo di misura un codice binario che lo identifichi univocamente. Il numero di bits determina il numero massimo di intervalli in cui è possibile suddividere il campo, pertanto influisce sulla risoluzione e quindi sull’entità dell’incertezza di quantizzazione. Convertitore A/D: elemento fondamentale di qualsiasi sist di acq dati: con una cadenza temporale fissata esegue l’operazione di Conversione (quantizzazione+codifica). Le caratteristiche principali sono: Risoluzione (n° di bits, errore di quantiz); Velocità (tempo di convers dal dato analogico al digitale); Fondo-scala (dinamica di ingresso, unipolare/bipolare). Il convertitore può essere visto come un sistema costituito da 4 elementi principali:

- un convertitore DA con ingresso a bits che rende in uscita un segnale analogico il cui valore è proporzionale al prodotto tra il valore numerico posto al suo ingresso e il quanto;

- una unità logica di controllo che può variare il valore numerico secondo una particolare strategia; - un generatore di tensione campione; - un comparatore.

Conv A/D integratore: All’inizio della convers l’ULC dispone gli N bits della parola a 0 e avvia un ciclo di passi durante il qle incrementa il contatore in ingresso al convertit DA. Ad ogni passo la ULC esegue le seguenti operazioni: - Incrementa di 1 il contatore (integra); - Genera l’uscita analogica corrispondente; - Se la differenza tra la tensione prodotta e quella da misurare è al disotto della soglia del comparatore il ciclo si

conclude e la parola binaria viene memorizzata. Conv A/D ad approx successive: Opera mediante una ricerca binaria del valore attuata a passi sempre più fini. All’inizio della convers l’ULC dispone gli N bits della parole al valore nullo e avvia un ciclo di N passi che scandisce i bits a partire da quello più significativo. Ad ogni passo la ULC esegue le seguenti operazioni:

- Pone ad 1 il bit corrispondente al ciclo; - Verifica se la tensione prodotta da un DAC a fronte della parola binaria; - Se la tensione di riferimento risulta superiore lascia il bit al valore 1, altrimenti lo mette a 0; - Alla fine del ciclo la parola binaria è completa

Conv A/D istantaneo (flash): opera come circuito quantizzatore/codificatore. Il dispositivo può essere costituito da un partitore resistivo che genera le tensioni corrisp agli estremi degli intervalli in cui è stato suddiviso il campo di misura, da una schiera di comparatori analogici e da una rete che ha il compito di eseguire la codifica del valore di uscita. Funzionamento: la sequenza di resistenze realizza una caduta di tensione progressiva. Queste tensioni vengono confrontate dalla schiera di compartitori con la tensione da misurare, ottenendo un valore “alto” o “basso”. I due compartitori con uscita discorde sono a cavallo della misura: la misura infatti ricade nell’intervallo delle tensioni di codifica corrispondenti alla loro posizione nella schiera. La rete combinatoria ha il compito di codificare

tale info nel formato binario prescelto. Qsti convertitori sono in grado di fornire le prestazioni + elevate, ad un costo ovviamente + elevato; data la complessità dello schema non può avere una risoluz troppo alta (tipicamente 4-8 bits) Conv D/A: Consente di generare un segnale continuo nel tempo, ma sempre discreto x ampiezza, a partire da un num binario. Può essere costituito da un sommatore che combina tanti segnali qnti sn i bits del convertit, ciascuno pesato con il rapporto tra una opportuna resistenza di canale e una resistenza di controreazione (se il bit è nullo il circuito è aperto). Per avere un comportamento lineare servono resistenze correttamente scalate.

Conv D/A a scala di resistenze: è composto da resistenze tutte uguali (anziché di peso relativo ). Qsta architettura rende possibile una maggiore precisione del conv e quindi anche del convertitore AD nel quale venga inserito. Sist acq dati : utilizzano la componentistica descritta x consentire l’acq multicanale. I componenti principali sono: convertitore AD; circuito di amplificazione; multiplexer; circuito di memoria SH e filtri anti aliasing. Questi elementi possono essere organizzati in architetture diverse per ottenere possibilità operative e prestazioni differenti. Due soli elementi restano in posizioni prestabilite: il trasduttore (primo) e il convertitore AD (ultimo). Il filtro anti-aliasing (AA) deve operare su un segnale di analogia con l’ingresso quindi prima di elementi ke ne modifichino la storia temporale. Sono possibili collegamenti a Bus interno (schede acquisizione dati) o a collegamento esterno (con protocolli di comunicazione). Vantaggi del primo: costo e dimensioni contenuti e maggiore velocità di trasf dati dall’acquisizione al PC. Vantaggi del secondo: completa indip dei sottosistemi; possibilità di misure remote. Multiplexer: Collega ciclicamente un ingresso con l’uscita seguendo una temporizzazione programmata che consente l’acq multicanale. Il circuito SH e quello Ampli possono essere posizionati indiff prima o dopo il MUX, mentre il filtro AA (1 x canale) deve essere posizionato prima. Vi è la possibilità di adeguare il condizionamento al singolo canale senza perdere tempo se l’amplificat viene posto a monte del MUX (anziché a monte del convertitore). Acquisizione multicanale : con la struttura prec descritta si ha un ritardo tra l’acq di un canale e qllo successivo pari alla somma dei tempi di conversione e di commutazione del Mux. Il collegamento sequenziale dei canali in ingresso con un unico convertitore comporta un ritardo progressivo nell’acquisizione. Per effettuare misure contemporanee su tutti i canali ci sono due tecniche: Scheda SH e AD x ogni canale o Scheda a soli SH multipli prima del MUX. Anal in freq: Semplifica i probl; Si ha 1 distrib delle energie lungo lo spettro; Si possono individuare segnali di piccola ampiezza, specie a freq elevate. Qndi si devono usare schemi opportuni x recuperare sensibilità alle freq elevate. Trasf di Fourier: permette di scomporre un segnale nelle sue due comp armoniche. L’integrale di Fourier definisce la

trasf più generale tra tempo e frequenza:

. Il contenuto di info passa

inalterato attraverso questa trasformazione e quindi può essere invertita:

.

Le funz coinvolte sn continue, complesse e infinite nel tempo e nella freq anche se tipicamente si rappr in . Condizioni di esistenza:

-

, sufficiente ma non necessaria

- e

con decrescente per crescente.

Se almeno una di qste condizioni è soddisfatta è possibile trasformare in e viceversa. La trasf di Fourier è un potente mezzo x l’analisi dei segnali permettendo di risolvere un probl analiticamente + semplice di qllo originale. Serie di Fourier : si può usare su una funzione continua e periodica nel dominio del tempo la cui trasformata diviene

infinita e discreta nel dominio della frequenza con passo

Trasf discreta : si applica ad una funz periodica e discreta nel dominio del tempo la cui trasf nel dominio delle freq

è periodica di periodo

:

oppure

La trasf di una funz finestra di osserv nulla all’esterno dell’intervallo – , di valore all’interno e

agli estremi,

ha la forma:

ke risulta una funz smorzata, continua, infinita ad ampiezza decrescente.

Trasduttori: sono parte essenziale di un sist di misura. Per realizzare un trasd è nec sfruttare un principio fisico di trasformazione di energia, cioè una conversione di forma energetica da quella originale ad una + conveniente da elaborare. Le forme disp di energia sn: acustica, chimica, elettrica, magnetica, meccanica, nucleare, ottica, termica. I principi + utilizzati nell’ambito delle misure mecc sn: Variazione di resistenza; Induttanza; Capacità; Piezoelettricità.

Misure di resistenza: La resistenza elettrica è:

. Avendo a disposiz un generatore di corrente calibrato ed un

misuratore di tensione si è in grado di misurare la resistenza del filo. Attraverso una misura differenziale di resistenza si possono qndi rilevare variazioni di resistività, lunghezza e sezione del filo prodotte da un fenomeno qualsiasi. Variaz di resistenza : differenziando l’espressione della resistenza e rapportando il risultato al valore nominale si

ha:

. Il è dato dalla strizione conseguente l’applicaz del carico. Se la

def long è

, e assumendo x semplicità un conduttore a sez circolare di diam nominale

dopo la trasformì il diametro sarà:

. Da qste si ricava

ke in termini finiti anziché differenziali:

, trascurando gli infinitesimi di 2°ordine. La variazione di resistenza % può quindi essere

scritta come:

. La strizione aumenta la sensibilità del filo alla deformazione imposta. Si può

definire il fattore di sensibilità del sensore di deformazione come:

, pertanto si può

esprimere la variazione di resistenza % come

. Il fattore di sensibilità è una caratteristica del materiale e per

quelli più comunemente utilizzati varia da 2 a 4. In assenza di una variazione della resistività . Misure di capacità: trasduttori capacitivi rilevano la capacità di un condens a seguito del movimento relativo delle armature, qndi possono essere impiegati sia x la trasduzione dello spostamento ke della grandezza ke lo determina,

oltre ke x identificare il dielettrico frapposto:

( è la capacità, è la cost dielettrica dell’aria, è la cost

dielettrica del materiale frapposto tra le due armature, è l’area delle armature, è la distanza tra le due armature. Piezoelettricità: sn materiali ke presentano un’asimmetria nella strutt elettrica e possono avere un comportamento piezoelettrico diretto o inverso. L’effetto piezoelettrico diretto si ha qndo la def det la produzione di cariche e se qsta è prodotta da forze esterne, la produz di materiale ne det la contrazione. L’effetto piezoelettr inverso si ha qndo una tensione applicata al materiale ne det la contrazione. Il legame costitutivo esteso nelle ipotesi di linearità è:

dove sn tensori di sforzo e def, il vett di campo e spostamento elettrico,

la matrice costitutiva elastica valutata a campo elettrico cost, la matrice di caratterizzazione piezoelettrica (permettività elettrica), la matrice delle costanti dielettriche valutata a deformazione costante. Gli apici indicano rispettivamente che le matrici sono state valutate con campo elettrico costante (elettrodi cortocircuitati) e a deformazione cost (struttura vincolata). Per la misura di forze e deformazioni di solito si usa . Sono poco adatti per misure statiche in quanto la carica generata dall’applicazione del disturbo decade nel tempo con una costante di scarica che dipende dal piezoelettrico stesso o dal circuito di misura. Ponte di Wheatstone per misure differenziali: è frequente il caso di una misura che porta ad un valore piccolo come differenza tra due valori elevati, il ke comporta un problema di precisione e una doppia misura. Il ponte di Wheatstone risolve il probl realizzando una misura differenziale: la variazione della tensione in uscita è prop alla variazione della grandezza ke ha sbilanciato il ponte stesso. Qsti è costituito da 4 lati i cui vertici opposti (A-C) vengono alimentati da un generatore, la misura differenziale avviene tra gli altri due vertici (B-D). La corrente del tratto B-D è nulla e qndi implica ke la corrente ke passa per D e B passi da A e C per il loro lato senza essere modificata ( ). Siano la corrente che passa per D è pari

a

essendo queste in serie. è la tensione che alimenta A e D. Analogamente la corrente per B sarà

. La tensione a cavallo di B e D sarà:

. La

condizione di bilanciamento è , bisogna qndi scegliere le resistenze in modo che .

Quarto di ponte : se solo una resistenza è variabile si ha tale config per cui

. Se il

ponte è bilanciato e si utilizzano resistenze uguali allora

ke risulta essere una relazione nn lineare tra

e . Qsto legame può essere linearizzato nell’hp ke la variazione sia molto inferiore al valore della resistenza

nominale:

. Il ponte risulta particolarmente utile qndo si intende misurare una piccola variazione %.

Ponte intero :

. Nell’hp di ponte bilanciato, resistenze uguali, e variazioni

piccole si può semplificare:

. I contributi di lati opposti si sommano se uguali

(raddopp) o si annullano se opposti. I contibuti di due lati adiacenti si sommano se opposti o si annullano se uguali. Misure strutturali: trasdi tipici sn: potenziometri, LVDT, encoder; estensimetri elettrici; celle di carico; accelerometri. Potenziometro: (ordine 0) mediante la misura della tensione , a fronte di quella di alimentazione , riescono a

fornire una misura di spostamento:

. L’uso di un filo a spirale permette di aumentare la resistenza riducendo

i problemi di potenza, la risoluzione risulta finita (numero di spire). Se invece si utilizza uno strato resistivo in teoria si potrebbe ottenere una risoluzione infinita. Esistono potenziometri angolari che si aggiungono a quelli lineari utilizzati per gli spostamenti. Qsti permettono di eseguire misure lineari per grandi spostamenti. Trasformatore diff lineare(LVDT): è uno strum elettromagnetico. L’avvolgimento primario è alimentato in corrente alternata fornita da un oscillatore. Il flusso magnetico prodotto si accoppia attraverso l’equipaggio mobile, sul quale è fissato, con gli avvolgimenti secondari: la mutua induttanza tra le bobine esterne dipende dalla posizione di quelle interne. La diff delle tensioni indotte, collegate in serie e in opposizione, è prop allo scostamento dell’equipaggio mobile dalla posizione centrale. Vantaggi: robustezza meccanica e ambientale; basso attrito, quindi alta sensibilità e risoluz; vita a fatica virtualmente infinita, con adeguata manutenzione; sensibilità incrociata pratic nulla; misura assoluta: ripetibilità dello zero. Una variante (RVDT) si basa sugli stessi principi ma ha una geometria + complessa. Trasd capacitivi : la capacità può essere fatta variare con la distanza degli elettrodi o variando le due aree affacciate. Il dielettrico frapposto può anche non far parte dello strumento. Hanno i seguenti vantaggi: elevata sensibilità e stabilità, poco sensibili alle variazioni di temperatura, target non conduttore; mentre gli svantaggi: sensibile alle variazioni di capacità del cavo, sensibili alle variazioni delle caratteristiche del dielettrico, elevata impedenza. Encoder: il segnale di uscita è costituito da una success di N impulsi per . Lo strum di misura è il contatore di impulsi. Il numero max di impulsi dip dal diametro del disco: 1-9000. Si ha il prob della saturaz del contatore. La risoluz angolare è data dal num di incisioni sul giro (N impulsi sul giro). Il conteggio degli impulsi fornisce la rotazione . Possono essere utilizzati per misurare la velocità angolare di un albero misurando : . Monodirezionale: presenta due piste A e Z. Sulla prima vengono incisi N impulsi per giro, mentre sulla seconda ne viene impresso uno solo per giro. Non è in grado di fornire indicazioni sul verso di rotazione dell’albero. Bidirez: ha 3 uscite A,B e Z. La diff cn il monodirez è ke tra l’uscita A e B, ugualmente incise da N impulsi per giro, c’è ritardo. Se A è in anticipo su B la rotaz è oraria, se no è antioraria. Lo sfasamento serve xtanto a det il verso di rotaz. Encoder assol: è uno strum digitale costituito da un disco codificato con piste ke vengono lette simultaneamente da fotorilevatori indip fornenti un’uscita in codice. Per ogni settore angolare si ha un codice differente a seguito del mascheramento selettivo delle piste. Il num di settori angolari è . La codifica binaria è semplice ma può dare falsa lettura qndo un rilevatore è a cavallo della transizione, la codifica Gray consiste in un riordino delle posizioni. Il vantaggio è ke l’errore di lettura di un bit nn comporta una discontinuità dell’uscita, ma è nec decodificare la misura. A parità di tecnologia la collocazione delle tacche + corte sulla corona esterna consente una risoluz maggiore. La capacità del cavo limita la freq limite del segnale di ingresso poiké all’uscita le onde quadre vengono arrotondate. Misure di velocità: si utilizzano Pick-up magnetici o ottici abbinati a frequenzimetri. Risulta un analogo dell’encoder in qnto le tacche sn riportate sull’oggetto in movimento. Solo in casi particolari si raggiunge una discreta risoluzione. Misure di accelerazione: si utilizzano accelerometri piezoelettrici, piezoresistivi e servo accelerometri.

Accelerometri piezoelettrici:

dove q è la carica, è la costante piezoelettrica, la forza, la

sensibilità in tensione, la pressione e lo spessore. Posso lavorare a compressione, a compressione isolata, a compressione inversa e a taglio. A causa della modalità di installazione vi è una riduzione della banda. Piezores: usa estens x det lo spostam di 1 trave a sbalzo connessa a 1 massa calibrata immersa in 1 fluido smorzante. Servo accelerometri: vengono utilizzati x misurazioni di movimento a carattere generale e in presenza di vibrazioni a bassa freq. Particolarmente utili nei sistemi di controllo dell’accelerazione, dal momento ke il valore di accelerazione di interesse può essere imposto al sistema introducendo una corrente proporzionale generata da una sorgente esterna. Le armature sn fisse e vi è una lamina vibrante, intrappolata tra le due, che det la variazione di capacità. Misure di deform: x misurare le def si utilizzano estensimetri elettrici ed estensimetri a semiconduttore. La relaz

fondamentale dell’estensimetria è:

ed è valida indip dalla forma della sezione del conduttore. Il fattore di

taratura è approssimato a causa della sensibilità trasversale, i cui valori tipici sono: per estensimetri a conduttore ( ); per estensimetri a semiconduttore. La sensibilità è massimizzata nella direzione di misura e minimizzata nella direzione ortogonale. Gli effetti della temperatura sulla sensibilità sono: La griglia dell’estensimetro varia la sua lunghezza: ; La base del pezzo varia la sua lunghezza: ;

Cambia la resistenza

. I primi 2 termini producono una def apparente .

Qsti effetti sono compensabili con delle correzioni nelle misure. L’impiego degli estensim nei sist di misura di def

viene spesso associato ad un ponte di Wheat:

. La variazione % di resistenza è in

relazione diretta con la def subita dal conduttore e mediante un fattore, strain gage factor, con la deformazione

subita dall’estensimetro:

nel caso comune di estensimetri uguali.

Def assiale 1 estensimetro : un solo estensimetro a quarto di ponte. L’uscita del ponte è:

. La

sensibilità del ponte è:

. Cosa misura l’estensim: .

Def assiale, 2 estens: 2 estensim uguali su facce opposte, qndi con config a mezzo ponte, e collegati su rami opposti.

L’uscita del ponte è:

. Cosa misura l’estensim:

. I termini flessionali sn di segno opposto e qndi si annullano. La

misura ottenuta compensa gli effetti flessionali ma risente ancora di qlli termici. La sensib del ponte è qndi raddopp. Def assiale, 4 estens : 4 estens, tutti uguali, 2 per faccia: due opposti allineati con la direzione di carico, gli altri con

qlla trasversale. L’uscita del ponte è:

dove

.

Se i coefficienti di dilatazione termica e sono uguali le rispettive deformazioni vengono compensate. L’estensimetro misura . La sensibilità del ponte è . Def flessionale: per misurare la def flessionale in una posizione assegnata di una struttura si possono utilizzare 2 estensimetri in config a mezzo ponte. Il probl di qsto tipo di misure è ottenere solamente la componente flessionale della def eliminando i contributi assiali e termici. Per soddisfare qsta richiesta si sfruttano 2 rami adiacenti del ponte di Wheat, in quanto essi si sottraggono lasciando solamente la componente flessionale. L’uscita del ponte è:

. L’estens misura: .

Misure di forza: vengono utilizzate celle di carico estensimetriche o piezoelettriche. Eq dinamico: Per valutare le caratteristiche dinamiche è nec un modello. Servono qndi delle eq in presenza di forze dip dal tempo: . A det il movimento di un equipaggio mobile di un galvanometro, causato dal carico esterno, concorrono la reazione elastica, le forze d’inerzia e qlle viscose. + piccoli sono qsti ultimi 2 termini rispetto a qllo statico + la misura è ideale in qnto segue l’andamento del carico esterno. Lo smorzamento dovrebbe essere ridotto x evitare isteresi e scarsa sensibilità. Si può qndi scegliere di ridurre il mom di inerzia dell’equipaggio riducendone la lunghezza. Lo studio della dinamica di un sist può essere affrontato mediante la trasf di Fourier ke permette di trasformare in maniera reversibile le info dal tempo alla freq. Ad es partendo da si ottiene dove è l’operatore di derivazione nel dominio della freq. Risposta di un sist dinamico: Per lo strum si può utilizzare un modello dinamico a 1 gdl soggetto ad una forzante

armonica di periodo al qle corrisponde un pulsazione

. L’eq del moto è: , ke

ha come soluzione:

dove:

è la pulsazione propria,

è lo smorzamento

critico e

l’angolo di fase. Esaminando la struttura della risposta si osserva ke è armonica con la

stessa pulsazione della forzante e ke la sua ampiezza varia in funz del rapporto tra la freq propria e qlla di eccitazione oltre ke dal valore dello smorzamento. Considerando solamente i termini nn dipendenti dal tempo si ottiene

l’ampiezza del moto in funz della freq:

. Se si diagrammano l’ampiezza, normalizzata

rispetto alla deflessione statica, e la fase della risposta, si ottengo i diagrammi di risposta e fase. Il massimo della risposta ha valori finiti ed è collocato su valori di freq leggermente inferiori a qlla di risonanza (+ il sist è smorzato + si abbassa la freq di risonanza). Per i sist con smorzamento superiore a qllo critico la risposta non è oscillante e l’amplificazione dinamica alla freq di risonanza non è + presente. Per freq superiori a qlla di risonanza l’ampiezza della risposta decade rapidamente: lo strumento filtra l’ingresso. Dal diagramma di fase del sistema non smorzato si può notare come il ritardo della risposta si mantenga nullo sino alla risonanza dove si ha una variazione di per poi rimanere costante a freq superiori. La presenza di smorzamento modifica l’andamento su tt il campo di freq, anche per valori di smorzamento relativamente bassi la risposta viene ritardata in maniera significativa. Il passaggio di della fase a cavallo della risonanza viene però mantenuto e utilizzato per identificarla.

Risp dinamica di uno strum: Qllo trattato è 1 caso particolare ma consente alcune consideraz di carattere generale: - La misura deve avvenire su un segnale ke si mantenga in proporzione costante con il segnale di ingresso; - Occorre evitare che nel tempo di frequenze di interesse intervengano effetti di distorsione; - Lo strum deve avere per l’intervallo di freq di interesse del segnale di ingresso, un comportamento uguale a

quello asintotico della zona di freq che nn risente degli effetti dinamici; - Lo strum ha un comportamento statico in un det campo di freq se si riesce a evitare il fenomeno di distorsione; - La banda passante dello strumento isolato può nn essere significativa in relazione ad 1 specifica applicazione.

Potenziometro : la funz di trasferimento di un potenziometro è:

, appare evidente che non compare

alcun termine differenziato del tempo e quindi il guadagno di è costante in frequenza. Termometro : siano la temp ambiente, la temp interna, il coeff di scambio termico, la massa del materiale

del bulbo, il calore spec del materiale del bulbo, il tempo. L’eq di equilibrio dei flussi è:

cui corrisponde un’equazione dinamica del 1° ordine: che può essere riscritta introducendo la

costante di tempo

. La sensibilità statica, ovvero il guadagno a regime è .

Accelerometro a massa sismica: si può utilizzare un modello ad 1 gdl con massa, molla e smorzatore. L’accelerazione è il segnale in ingresso e viene fornito mediante lo spostamento imposto alla base del misurando ke agisce con una forza pari a sulla massa flettendo la barretta sulla quale è fissata. Un trasduttore di posizione rileva lo

spostamento dell’estremità. L’eqì di equilibrio dinamico è pertanto:

, dove è il

movimento relativo della massa sismica e il movimento della base . L’eq in forma generale diventa ( )

. In questo caso il modello risulta essere del 2° ordine ad 1 gdl che trascura la dinamica dell’oggetto. L’ingresso è mentre l’uscita è .

La funzi di trasferimento del sistema è:

. Le caratteristiche di funzionamento sono: Sensibilità statica

; Pulsazione propria

; Coefficiente di smorzamento

.

Sensore di spostamento a massa sismica : in qsto caso l’uscita deve essere messa in relazione con l’ingresso di spostamento applicato al contenitore dell’accelerometro. Il movimento, variabile nel tempo, impone un’accelerazione alla base ke agendo sulla massa provoca una deflessione della barretta, il trasdutt di posiz rileva gli

spostamenti. L’eq di equil è: . La funz di trasferimento sarà:

.

Sensibilità statica

; Pulsaz propria

; Coeff di smorzamento

.

Per frequenze elevate la massa sismica rimane ferma e il movimento relativo coincide con quello di base. Strumenti di ordine zero: Eq caratteristica: che normalizzata diventa (legame ingresso-

uscita); Sensibilità statica (guadagno a regime):

. Rappr lo strum ideale dal pto di vista della risposta dinamica.

Dal momento che il legame ingresso-uscita è algebrico nn ha importanza la variaz nel tempo dell’ingresso poiké l’uscita seguirà perfettamente l’ingresso senza distorsioni o ritardi di fase. Il potenziometro e l’estensimetro sn 2 es. Strumenti di primo ordine: Equazione caratteristica: , riscrivibile come

(legame ingresso-uscita); Sensibilità statica (guadagno a regime):

; Cost di tempo

; Funz di

trasferimento

. Un esempio di strumento del primo ordine è il termometro.

Strum di secondo ordine: Essendo di 2°grado si può subito identificare la presenza di termini elastici, viscosi e inerziali. Il polinomio in dip dall’applicazione, ma nella stragrande maggioranza dei casi è di ordine zero. La forma generale dell’eq di equilibrio è: . I parametri caratteristici sono: sensibilità statica

; pulsaz propria

; coeff di smorzamento

; Funz di trasferimento:

Accuratezza: definisce la capacità dello strum di dare misure prossime a qlle definite dal campione di misura di riferim della grandez in esame. Il valore effettivo di una grandezza nn dovrebbe scostarsi + del valore di accuratezza dalla media delle misure fornite dallo strum. A tt gli effetti indica l’err di misura. Essa dip sia dalle caratterist dello strum che dall’operazione di calibrazione a cui è sottoposto. Una buona parte dell’errore di misura di un sist può essere eliminata mediante un’adeguata calibrazione, tuttavia è sempre presente una certa dose di errore residuo. La qualità della misura nn dip xò solamente dall’accuratezza dello strumento ma anche da come viene impiegato.

L’accuratezza si calcola come deviazione statistica dal valore vero: e si usa come

. Normalmente si esprime in % del FS:

e si usa come

.

Risoluzione: è data dalla min differenza rilevabile dallo strum. In mancanza di altre indicazioni si può assumere che l’errore di risoluzione sia pari alla metà della risoluzione della scala di lettura. Ripetibilità: consiste nel grado di concordanza tra i risultati di misure successive dello stesso misurando effettuate nelle medesime condizioni di misura ed eseguite in un breve intervallo temporale. Risulta quindi essere un indice della capacità di eseguire misure caratterizzate dallo stesso livello di accuratezza in un breve lasso di tempo. Riproducibilità: indica la capacità di ripetere una misura con una data accuratezza nel lungo periodo. Precisione: è una caratteristica qualitativa globale di tipo generico data dall’insieme delle caratteristiche di risoluzione, ripetibilità e riproducibilità. L’errore di precisione è dato da . Sensibilità: (o guadagno) pendenza della curva di calibrazione

dell’ingresso desiderato. Linearità: uno strum è lineare se la variazione dell’uscita è prop alla variazione dell’ingresso (nel range di misura). Isteresi: fenomeno x il qle parte dell’energia assorbita dal trasdutt viene dispersa anziché essere trasformata e resa disponibile per la misura. Campo di misura: il campo di misura ha ovviamente un limite inferiore e uno superiore che prendono il nome di fondo scala. Intrusività Accelerometro: la sua aggiunta modifica in significativamente il fenomeno dinamico se la sua massa diventa importante in relazione a qlla dell’oggetto del quale si vogliono rilevare le accelerazioni Intrusività Celle di carico: l’impiego di una cella di carico per un esperimento richiede di tenere da conto alcuni requisiti metrologici: la portata, la sensibilità e la compatibilità delle uscite cn il sist di misura. Bisogna cmq ragionare su eventuali effetti che questo provoca a seguito del suo inserimento nel sistema. Se la misura è dinamica occorre che la freq propria del sistema di misura sia alta rispetto a quella max del fenomeno. Un aspetto secondario è la freq propria della cella di carico che, in teoria, dovrebbe essere abbastanza alta. Importa di più come la presenza dello strumento modifichi la situazione: altera la massa totale del sistema e modifica le rigidezze/cedevolezze (effetto più rilevante). Affinché non vi sia intrusività, i comportamenti statico e dinamico del sistema sotto misura, in assenza e in presenza della cella, debbono essere praticamente coincidenti. Sulle schede tecniche viene normalmente riportata la cedevolezza della cella in forma diretta o indiretta. Quest’informazione deve essere utilizzata per valutare la variazione delle frequenze caratteristiche del fenomeno o dello spostamento dal punti di applicazione del carico.