APPUNTI di MECCANICA

per gli allievi del corso di TEORIA E PROGETTO DI COSTRUZIONI E STRUTTURE

1. Introduzione, leggi della dinamica

In Fisica si assumono come fondamentali le grandezze seguenti: lunghezza, massa, tempo e carica elettrica, misurate rispettivamente in metri (m), chilogrammi (massa, kg), secondi (s) e coulomb (C) 1. Ai nostri fini possiamo euristicamente assumere la massa come misura della quantità di materia contenuta in un corpo ed il tempo quello misurato con l’orologio.

Fondiamo questi appunti sulle tre leggi o principii della dinamica, in cui entrano le grandezze velocità ed accelerazione, che non abbiamo ancora definito: comunque in questa fase per queste grandezze basta il concetto intuitivo derivante dall’esperienza comune.

1° PRINCIPIO DELLA DINAMICA (LEGGE DI INERZIA): una particella libera (punto materiale) si muove sempre con velocità costante.

Molto spesso il primo principio è espresso come: “Un corpo non soggetto a forze permane nel suo stato di quiete o di moto rettilineo uniforme”. Questa espressione è sicuramente accatti-vante ed esplicativa, ma è criticabile per due motivi: (1) richiede il concetto di forza, che, invece, deriva dal secondo principio; (2) si usa genericamente il termine corpo, quando le tre leggi fondamentali valgono per il punto materiale, che è in realtà un’astrazione, avendo dimensioni nulle ma essendo dotato di massa 2.

2° PRINCIPIO DELLA DINAMICA (LEGGE DI NEWTON): se definiamo la quantità di moto come vMp rr

= essendo vr la velocità ed M la massa del punto materiale, la legge è espressa dall’equazione

( ) aMtvMvMtt

ptF rr

vrr

==== dd

dd

dd)( (1.1),

ove t indica il tempo, )(tFr

la forza ed ar l’accelerazione. La legge espressa dall’Eq. (1.1) può essere sintetizzata come: l’accelerazione di un punto materiale prodotta da forze applicate è proporzionale alla risultante delle forze stesse ed inversamente proporzionale alla massa del corpo.

Per i nostri fini l’Eq. (1.1) definisce la forza 3. Più in generale la forza è quell’ente, per mezzo del quale due corpi interagiscono tra loro. Nel punto 2 definiremo le 4 classi di forze della Fisica: tutte le forze esistenti in natura sono riconducibili ad una queste classi.

1 Si ricorda che nel Sistema Tecnico di unità di misure si assume come grandezza fondamentale la forza, che è misurata in chilogrammi (kg, peso), unità che ha lo stesso nome e lo stesso simbolo dell’unità di massa nel sistema SI. Tuttavia, le 2 unità sono diverse concettualmente ed operativamente. Dall’Eq. (1.1) con a = g, essendo g l’accelerazione di gravità uguale a circa 9.81 m/s2, si ha che la massa di un kg peso è @ 1/9.81: nel si-stema SI tale massa vale 1 kg massa. Nella pratica di ogni unità di misura si utilizzano multipli e sottomultipli come km = 103 m, mm = 10-3 m. 2 Tuttavia, le tre leggi fondamentali valgono anche per un corpo generico, se il moto a cui si fa riferimento è quello del centro di massa del corpo. Qualora la distribuzione della massa nel corpo sia uniforme, il centro di massa coincide con il baricentro della geometria elementare. 3 Conviene richiamare le unità di misura delle forze: nel sistema tecnico la forza ha unità di misura fondamentale, detta kilogrammo (kg); spesso a kg si aggiunge il termine "peso" per distinguere dal kilogrammo del sistema SI. L'unità di massa nel sistema tecnico consegue dalla (1.1): non ha un nome specifico ed ha

2

3° PRINCIPIO DELLA DINAMICA (LEGGE DI AZIONE E REAZIONE): 2 punti materiali isolati interagiscono con forze che sono uguali ed opposte ed hanno la stessa linea di azione. Questo principio è spesso espresso nella forma “statica” che ad ogni a-zione corrisponde una reazione uguale e contraria.

00 221121rrrrrrrr

=´+´=+ FrFrFF (1.2),

dove 1Fr

ed 2Fr

sono le forze che i 2 punti materiali si scambiano.

2. Le forze

In Fisica si distinguono 4 classi di forze, che sono: 1) FORZA GRAVITAZIONALE; 2) FORZA ELETTROMAGNETICA; 3) INTERAZIONE FORTE o NUCLEARE, grazie a cui i protoni ed i neutroni del nucleo atomico

rimangono insieme; 4) INTERAZIONE ELEMENTARE o DEBOLE, che agisce a livello di particelle elementari e regola il

decadi-mento radioattivo dei neutroni. Si noti che gli ultimi 2 tipi di forze fanno sentire il loro effetto a distanze molto piccole, ri-spettivamente di 10-16 e 10-18 metri.

Nell’accezione comune l’azione di una forza è quasi sempre associata all’idea di contatto tra 2 corpi: in realtà anche macroscopicamente non si ha sempre contatto (si pensi all’azione di una calamita che attira un elemento di ferro), mentre, analizzando il problema ad una scala più piccola, molecolare od atomica, si può vedere che non c’è compenetrazione tra le moleco-le e/o gli atomi di due corpi. La forza è quell’ente mediante cui due corpi interagiscono: la Fi-sica studia come avviene questa interazione, problema che non è trattato in questi appunti.

Nella Meccanica delle Strutture la maggior parte delle forze agenti sulle strutture ha origi-ne gravitazionale. Pertanto, vogliamo dare qualche nozione sulla FORZA GRAVITAZIONALE: questa è la forza che due corpi si scambiano per il fatto che sono dotati di massa. Quindi, due corpi rispettivamente di massa m1 posto in P e di massa m2 posto in Q, essendo r la distanza

dimensioni 21 smkg ×× - (dato il valore dell'accelerazione di gravità - 2m/s9.81 -, nel sistema tecnico la massa di un corpo è circa 1/10 del suo peso). Nel sistema SI l'unità di base è quella di massa ed è detta ancora kilogrammo (kg), specificandosi spesso kilogrammo massa. L'unità di misura delle forze deriva dalla (1.1): ha dimensioni ,smkg(massa) 2-×× ed è detta newton (N). Notare: 1 N peso.kg10/1»

In Meccanica si definisce pressione il rapporto tra forza ed area: nel sistema tecnico a rigore l'unità di misura della pressione è il ,kg(peso)/m 2 ma nelle applicazioni si preferisce usare il .mkg(peso)/c 2 Nel sistema SI l'unità di misura della pressione è il pascal che equivale ad .newton/m 1 2 Siccome il pascal è una quantità molto piccola, si utilizzano i suoi multipli: - ettopascal = hPa = ;N/m100 2 - kilopascal = kPa = ;N/m1000 2 - megapascal = MPa = ;N/m1000000 2 Siccome ,mm10m1 262 = si ha l'equivalenza 2N/mm1MPa1 = . Per questi motivi nelle applicazioni in genere misureremo le forze in newton e le lunghezze in mm.

3

Fig. 1 - Forza gravitazionale e forza peso

tra i due punti, si scambiano la forza (Fig. 1):

221

2112 rmmhFF ==

rr (2.1),

dove h è la costante di gravitazione universale pari a 6.67×10-11 N×m2×kg-2. La forza gravitazionale è, quindi, diretta secondo la congiungente i centri di massa dei due corpi: se questi non sono puntiformi, vanno pensati come puntiformi con la massa concentrata nel cen-tro di massa.

Dalla (2.1) si ricava il PESO di un corpo di massa M posto sulla superficie terrestre, quindi a distanza dal centro della terra pari al raggio terrestre RT:

MRM

hGT

T2=

r

(2.2), dove MT è la massa della terra. Dall’Eq. (2.2) osserviamo: · la forza peso è un vettore diretto dal centro di massa del corpo di massa M al centro della

terra. · con ottima approssimazione, poiché il raggio della terra è grande (RT = 6.37×103 km),

localmente la superficie della terra è approssimabile con il piano tangente e la forza peso con un vettore verticale ortogonale a questo.

· La forza peso diminuisce con la quota z, in quanto nella (1.4) al posto di RT si ha RT + z.

Definendo l’accelerazione di gravità come

2T

T

RM

hg =r

(2.3), l’Eq. (2.2) si scrive come MgG vr

= (2.4). La forza peso appartiene ad una classe particolare di forze, quelle conservative (o posizionali) su cui torneremo nel seguito. FORZA ELASTICA - Si abbia una molla come in Fig. 2 ed al suo estremo libero si applichi una forza :F

s sperimentalmente si riscontra che la molla si allunga di sr ; quindi, l’estremo

libero si sposta della quantità sr . Si ha comportamento elastico se: · il legame tra F

s ed sr è lineare;

4

Fig. 2 - Molla elastica

· Rimuovendo la forza, la molla torna alla sua configurazione originaria.

Quindi il legame tra Fr

ed sr si scrive come skF vv

= (2.5), dove la costante di proporzionalità ha dimensioni ( ) .1-× lunghezzaforza

3. Elementi di cinematica e di dinamica del punto materiale

La Cinematica è la parte della Meccanica che studia il movimento indipendentemente dalle cause che lo producono. Per semplicità, iniziamo lo studio riferendoci al caso semplice di un punto materiale, che si muove su una retta orientata X (Fig. 3): la posizione del punto al tem-po t è data dalla funzione x(t), detta LEGGE ORARIA. Lo spostamento che il punto ha tra gli i-

Fig. 3 - Spostamento di un punto materiale su una retta orientata

stanti t e t’ è dato da )()'()'( txtxts -= . Definiamo VELOCITÀ MEDIA la quantità

ttxxv

-¢-¢

= (3.1), che evidentemente dà lo spostamento compiuto nell’unità di tempo. Al limite per ttt -= 'D

0® si ha la FUNZIONE VELOCITÀ o VELOCITÀ ISTANTANEA:

=)(tv tt ®¢lim

ts

ttxx

dd

=-¢-¢

(3.2).

L’ACCELERAZIONE è la variazione della velocità nel tempo. L’ACCELERAZIONE MEDIA e la FUNZIONE ACCELERAZIONE sono rispettivamente:

=-¢-¢

= )()()( tatttvtva tt ®¢

lim2

2

dd

dd

ts

tv

ttvv

==-¢-¢

(3.3, 4). La velocità è misurata in m/s e l’accelerazione in m/s2: queste unità di misura non hanno nome.

Il punto materiale si muova ora su una retta r generica del piano cartesiano x, y (Fig. 4):

5

Fig. 4 - Punto materiale su una generica retta orientata r

le relazioni precedenti assumono carattere vettoriale, cioè

rrr iiaivrrrrr

=== av 2

2

dd

ts

(3.3, 3.5), in cui v ed a sono rispettivamente i moduli dei vettori v

r ed ar ed ri

r è il versore della retta r 4.

ESEMPIO 3.1

Il moto sulla retta r avvenga con velocità v0 costante: integrando la (3.2) tra zero e t con primo membro uguale a v0, si ottiene tvsts 00)( += (3.6), che è l’equazione del moto rettilineo uniforme, in cui la costante di integrazione s0 rappre-senta la posizione del punto materiale sulla retta r all’istante t = 0. ESEMPIO 3.2

Sia a(t) = a0 = costante: integrando 1a (3.4) con 0)( ata = , si ottiene tavtv 00)( += (3.7), in cui la costante di integrazione v0 rappresenta la velocità del punto materiale all'istante ini-ziale. Integrando la (3.2) con v(t) dato dalla (3.7), si ottiene

2

000 21)( tatvsts ++= (3.8),

che è funzione parabolica. Le Eqq. (3.7, 8) rappresentano rispettivamente la velocità e l'acce-lerazione del punto materiale nel moto uniformemente accelerato.

Applichiamo questi risultati e la legge fondamentale della dinamica ai 2 casi di Fig. 5: in entrambi i casi il corpo di massa M è da considerarsi puntiforme e non vi è attrito tra il corpo ed il piano. Nel primo caso la (1.1) dà

MFa a

=cos (a).

Supponendo che all’istante iniziale t = 0 il corpo si trovi nell’origine s = 0 ed abbia velocità v0 nulla. Allora al tempo t velocità e posizione del corpo sono:

2cos21)(cos)( tM

FtstMFtv a

=a

= (b). 4 Si ricorda che il versore di una retta è un vettore di modulo unitario giacente sulla retta. Poiché la somma dei quadrati dei coseni direttori di una retta vale 1, le componenti di un versore secondo gli assi sono

.cos,cos,cos zyx aaa

6

h

L

Fig. 5 - Corpo di peso G = g×M su un piano orizzontale e su un piano inclinato

Nel caso del corpo sul piano inclinato la forza attiva è a=a sinsin MgG : pertanto l’accelerazione è costante e vale asing . Le (b) diventano

2sin21)(sin)( tgtstgtv a=a= (c).

Il fatto importante nelle (c) è che la velocità e l’accelerazione non dipendono dalla massa M del corpo: quindi, in assenza di attrito due corpi, uno di massa M ed uno di massa aM (a > 1). Supponiamo che il corpo parta dal vertice superiore del triangolo di Fig. 5: l’ipotenusa ha lun-ghezza asinh e vogliamo conoscere in quanto tempo il corpo percorre questa distanza. Si risolve la seconda delle (c) rispetto a t ponendovi a= sinhs :

a

=a

×a

= 2sin2

sin2

sin gh

ght (d).

In presenza di attrito la forza attiva si riduce a ff FMgFG -a=-a sinsin . Se si trascura l’attrito del mezzo e si considera solo l’attrito radente tra corpo e piano, secondo il modello coulombiano per l’attrito am= cosGF f , cioè la forza di attrito è direttamente proporzionale alla forza normale al piano, che in questo caso è la componente normale al piano del peso del corpo, secondo il coefficiente di attrito m. ESEMPIO 3 Il moto del punto materiale su una retta avvenga secondo la legge oraria tttts cos552)( 23 ++= : si determinino velocità ed accelerazione.

Si ha:

ttttstv sin5106

dd)( 2 -+==

ttta cos51012)( -+=

3.1 Il moto curvilineo piano del punto materiale

Nel moto curvilineo piano la traiettoria è esprimibile in forma parametrica mediante le fun-zioni temporali x(t), y(t), che forniscono le coordinate della posizione del punto materiale al tempo t (in un moto non piano vi è una terza componente z(t), che è identicamente nulla nel

7

Fig. 6 - Spostamento nel moto curvilineo

caso piano). Introducendo il vettore rr

tra l'origine e la posizione A del punto, questo è: jir

vrv )()( tytx= + (3.9), essendo i

r e jr

rispettivamente i versori dell’asse x e dell’asse y. Lo SPOSTAMENTO del punto materiale da A a B è dato dal vettore (Fig. 6) [ ] [ ] jijirrs

vrvrrrr yxAyByAxBx= D+D=-+-=-¢ )()()()( (3.10). Si faccia attenzione a che lo spostamento e la traiettoria sono quantità diverse (Fig. 6). Il mo-dulo s=sr e l’arco di traiettoria BA

) hanno valori diversi, essendo il secondo

ò +t

ttytx=BAL0

22 'd)'()'()( &&)

(3.12). Solo in un atto di moto infinitesimo )( BAL

)r=s .

La VELOCITÀ MEDIA è definita come

jirvrrrr

ty

tx

t=DD

DD

DD

+= (3.13). La funzione velocità si ottiene dalla (3.13) passando al limite per 0®tD : =)(tvr 0

lim®tD jiv

r&

r&

ryx= + (3.14).

Quindi, le componenti del vettore velocità secondo gli assi coordinati sono x& ed y& . Pertanto il vettore velocità ha modulo =v 22 yx= &&

r+v (3.15).

Tale vettore è diretto come la tangente alla traiettoria (Fig. 7 a), come si dimostra facendo ten-dere 'r

r ad r

r.

Analogamente per l’accelerazione abbiamo:

jivarrrr

tv

tv

t= yxD

DD

DDD

+= (3.16)

=)(tar 0lim®tD a

r

0lim®tD tD

Dv jir

&r

& yx vv += (3.17).

8

(a)

(b)

(c)

Fig. 7 - (a) Vettore velocità; (b) vettore velocità e vettore accelerazione; (c) componenti del vettore accelerazione nel sistema di coordinate locale.

La (3.17) può essere scritta come

=)(tar 2

2

dd

trv (3.18).

Le componenti ed il modulo del vettore accelerazione sono rispettivamente:

2

2

2

2

d

dd

d

dd

dd

t

rt

va

tr

tva yy

yxx

x ==== == ar

a 2222yxyx rraa &&&& +=+ (3.19 a-c).

Il vettore accelerazione a

r in generale non è diretto nè secondo la tangente t alla traietto-ria né secondo la normale n a questa (Fig. 7 b), le quali costituiscono un sistema di assi locale nel generico punto P della traiettoria (Fig. 7c). La scomposizione di a

r secondo queste direzioni è

tarr

=)(t +tv

dd

r

2vnr (3.20), in cui t

r ed n

r sono rispettivamente il versore tangente ed il versore normale, mentre r = r(x) è il raggio di curvatura della traiettoria in P (se la traiettoria è data nella forma Y(x), si ha, co-me noto, )(1)( xYx ¢¢=r ). Il primo termine della (3.20) è detto accelerazione tangente ed il secondo accelerazione centripeta.

4. Lavoro, energia e potenza nei sistemi meccanici

4.1 Lavoro statico

In Statica le grandezze sono il più delle volte assunte costanti. Sotto l’ipotesi di costanza della forza e di spostamento costante e rettilineo, il LAVORO di una forza F

r per uno spostamento

sr è dato dal prodotto scalare di queste due grandezze: a××=a××=´= coscos sFsFsFL rrrr

(4.1), in cui a è il coseno dell’angolo compreso tra le direzioni dei 2 vettori (Fig. 8 a). La (4.1) può essere posta nelle 2 forme alternative ( ) ( ) Fs sFsFLsFsFL ×=a´=×=´a= coscos rrrr

(4.2 a,b), in cuit Fs è la componente di F

r nella direzione di sr ed sF è la componente di sr nella dire-

zione di Fr

. Evidentemente il lavoro è una quantità scalare. Il LAVORO di una coppia M

r per una rotazione J

r è definito come:

9

(a)

(b)

Fig. 8 - (a) Prodotto scalare (lavoro) del vettore forza per il vettore spostamento; (b) vettore momento e vettore rotazione.

J×=×J×=J´= MMML )0cos(rrrr

(4.3), essendo il vettore rotazione J

r definito parallelo al vettore coppia (Fig. 8 b).

Siccome il coseno di un angolo il lavoro di una forza per uno spostamento ha dimensio-ni [forza]×[spostamento], che si nota essere le medesime dimensioni del momento di una for-za. Tuttavia, nel caso del lavoro a newton×m si dà il nome di joule (J). È frequentemente usato anche il kilowattora (kWh) uguale a 3.6×106 J (si giustificherà in seguito questo valore). Si constata immediatamente che il lavoro di una coppia ha le stesse dimensioni.

(a)

(b)

Fig. 9 - (a) Vettore piano vv e sue componenti; (b) vettori av e b

v.

Al lavoro di una forza per uno spostamento si può dare la forma alternativa yyxx sFsFL ×+×= (4.3). L’Eq. (4.3) si giustifica facilmente: entrambi i vettori da moltiplicare scalarmente sono espri- mibili nella forma ji

rrryx vvv += (Fig. 9 a) ed il prodotto scalare gode della proprietà associa-

tiva. Quindi, si ha: )()()()()()( jjijjiiijijirrrrrrrrrrrrrr

´+´+´+´=+´+=´ yyxyyxxxyxyx sFsFsFsFssFFsF . Quest’ultima espressione è uguale alla (4.3) in quanto si ha 1)0cos(11 =××=´=´ jjii

rrrr e

0)2cos(11 =p××=´ jirr

. ESEMPIO

Si vogliano moltiplicare i vettori ar e br

di Fig. 9b, sapendo che 1== barr . Allora, per la

prima forma del prodotto scalare si ha 23)30cos(11 =°××=´ bavr . Per applicare l’Eq. (4.3),

10

è necessario prima calcolare le componenti dei 2 vettori che sono: ,23)30cos(1 =°×=xa

.23)30cos(1,21)30sin(1,21)30sin(1 =°×==°×==°×= yxy bba Si ha, quindi:

23

23

21

21

23 =×+×=´ ba

vr q.v.d.

(a)

(b)

Fig. 10 - (a) La forza F

r è variabile e lo spostamento avviene lungo una traiettoria curvilinea: il lavoro

totale è la somma di lavori infinitesimi. (b) Il lavoro compiuto spostando il punto materiale da A a B è uguale all’area sottesa dalla curva. In figura s è indicato con r ed L con W.

4.2 Lavoro dinamico

Le Eqq. (4.2, 3) sono valide, qualora forza e spostamento siano costanti. Nel caso in cui varii-no, in un tempuscolo dt lo spostamento ds del punto materiale a meno di infinitesimi di ordine superiore può essere considerato avvenire lungo la tangente alla traiettoria. Allora, il lavoro infinitesimo è sFL rr

dd ´= (4.4). Il lavoro compiuto nel portare il punto da A a B (Fig. 10 a) è la somma di tutti i lavori infini-tesimi, cioè K

rrrrrr+´+´+´= 332211 ddd sFsFsFL (4.5).

Al limite il LAVORO è dato da: ò ´=

l

rrsFL d (4.6),

in cui l è la linea che congiunge A e B. In altri termini il lavoro è l’area sottesa dalla curva (Fig. 10 b).

Utilizzando l’Eq. (4.3), la (4.6) diventa ( )ò +=

ldyFxFL yx d (4.7).

Nella (4.7) i differenziali dx e dy vanno valutati lungo la linea l , che deve essere nota nella forma parametrica )(),( tgYtfX == (in Dinamica t è il tempo, in Statica è un parametro. ESEMPIO Si vuole calcolare il lavoro che le due forze 2F , una verticale e l’altra orizzontale, compiono spostando un punto materiale lungo la circonferenza di Fig. 11. Le equazioni parametriche di

Fig. 11 - Lavoro lungo una semicirconferenza di raggio R

questa ed i differenziali sono:

ttRyttRxtRtYtRtX dcosddsindsin)(cos)( =-=== Applicando l’Eq. (4.7), si ha:

=+-=+= òòòòp

p-

p

p-

2

2

2

2

d)cos(2d)sin(2dy2d2 ttRFttRFFxFLll

[ ] [ ] RFRFRFtRFtRF×=×+×-=+--= p

p-pp- 2202sin2cos2

22

22

Si può osservare che la forza verticale compie lavoro nullo: infatti, la coordinata x iniziale e finale del punto materiale sono uguali, cioè il punto ha spostamento nullo in direzione x. Inve-ce, il suo spostamento in direzione y è 2R ed, infatti, il lavoro della forza orizzontale è dato da ( ) RF 22 × . La seconda osservazione importante che si deduce dal risultato ottenuto è che il percorso seguito per giungere nella posizione finale non ha in alcun modo determinato il valo-re del lavoro, che dipende solo dalla posizione iniziale e da quella finale. Le forze per cui ac-cade questo sono dette conservative e saranno trattate al punto 4.5 .

4.3 Potenza meccanica

Nelle applicazioni della Meccanica si è interessati a conoscere quanto lavoro è compiuto nel tempo. In un intervallo di tempo Dt il lavoro compiuto sia DL, noto dall’Eq. (4.6) o (4.7). Si definisce POTENZA MEDIA la quantità

tLW

DD

= (4.8). Le dimensioni della potenza W sono evidentemente [forza]×[spostamento]×[tempo]-1: la rela-tiva unità di misura è detta watt; poiché questa è piccola, si usa quasi sempre il kilowatt (kW), che vale 1000 watt. Il kilowattora è il lavoro compiuto in un’ora (3600 s) da una macchina a-vente potenza media costante di 1 kW.

Nel piano xy la linea l congiunge 2 punti A e B: assumiamo che il moto inizii in A, per cui questo punto è fisso e che B denoti la posizione del punto materiale all’istante t, cioè sia B(t). Allora, il lavoro L è funzione del tempo e la sua derivata prima

ttLtW d)(d)( = (4.9),

è detta potenza istantanea. La (4.9) può anche essere ottenuta facendo tendere a zero Dt nella (4.8).

12

4.4 Energia cinetica

In Fisica si studiano diversi tipi di ENERGIA quali l’energia cinetica, l’energia potenziale, l’energia chimica, l’energia elettrica, l’energia nucleare, ecc. . Possiamo designare l’energia come

la misura dell’attitudine di un corpo o sistema meccanico a compiere lavoro. Definiamo l’ENERGIA CINETICA per il punto materiale, la quale origina dal fatto che questo ha massa M e velocità vr . A tale scopo moltiplichiamo scalarmente a destra entambi i membri dell’Eq. (1.1), la legge di Newton, scritta mediante la quantità di moto:

( ) vFvvMtrrrr

´=´dd (4.10).

Poiché si ha ( ) ( )221dddd MvtvvMt =´

rr , la (4.10) può essere riscritta come

vFMvtrr

´=÷øö

çèæ 2

21

dd (4.11).

Si definisce l’energia cinetica come

Mp

MvEk 221

22

r

== (4.12). Poichè si può dimostrare che vFW rr

´= , l’Eq. (4.11) esprime il teorema dell’energia cinetica: la derivata prima dell’energia cinetica eguaglia la potenza della forza applicata 5. È da rilevare che ciò che conta nell’energia cinetica è il modulo v della velocità e non la sua direzione: l’e-nergia è, infatti, una quantità scalare.

L’energia ha le stesse unità di misura del lavoro, cioè il joule, i suoi multipli ed il kilo-wattora. Infatti, in base alla definizione Ek ha dimensioni [massa]×[lunghezza]2×[tempo]-2, cioè nel Sistema Internazionale kg(massa)×m2×s-2: poiché la forza ha dimensioni [massa]× [lunghezza]×[tempo]-2, Ek ha dimensioni [forza]×[lunghezza], cioè le stesse dimensioni del lavoro.

In un sistema fisico si hanno trasformazioni di energia da una forma all’altra: in un sistema ideale il quantitativo di energia totale Etot rimane costante (si veda il punto seguente). In un sistema reale ad ogni traformazione una parte dell’energia si trasforma in calore 6, in particolare a causa degli attriti: il calore è una forma degradata di energia, che non può mai essere completamente trasformata in lavoro. Il secondo principio della termodinamica statui-sce che non è possibile realizzare una trasformazione, per la quale si abbia alla fine un quanti-tativo di energia maggiore della somma di quello iniziale e del lavoro speso.

4.5 Forze conservative, energia potenziale

Si dice che una forza è conservativa, quando il lavoro che essa compie dipende solo dalla po-

5 Nel caso vi siano più forze applicate F

r è la loro risultante. Il momento M

r di tali forze non ha effetto sul pun-

to materiale, perché questo è privo di dimensioni. È chiaro che un corpo privo di dimensioni, ma dotato di massa è una pura astrazione. 6 Il calore è una misura dell’energia cinetica degli atomi e delle molecole che costituiscono la materia di cui è fatto un corpo. Esso fluisce dal corpo più caldo a quello più freddo: il passaggio opposto richiede che si compia del lavoro. L’equivalenza tra calore e lavoro è statuita dal primo principio della termodinamica nella forma: L - C - E = 0 , in cui C è il calore ed E l’energia interna del corpo.

13

sizione iniziale e da quella finale, ma non dal percorso seguito. Tale lavoro è esprimibile co-me differenza tra il valore iniziale ed il valore finale di una funzione U(x,y,z), la quale è detta ENERGIA POTENZIALE o semplicemente POTENZIALE:

)()( QUOUdULQ

OOQ -=-= ò (4.13).

Per converso la forza è legata al potenziale dalla relazione di gradiente:

kjirrrr

zU

yU

xUUgradF

¶¶

-¶¶

-¶¶

-=-= )( (4.14). Dalla (4.13) consegue evidentemente che il lavoro di una forza conservativa lungo un percor-so chiuso (Fig. 12 a) è nullo.

(a) (b)

Fig. 11 - (a) Percorso chiuso; (b) molla elastica a riposo e tirata da un peso G = mg o da una forza manuale.

ENERGIA ELASTICA Se applichiamo delle forze ad un corpo elastico, queste causano spostamenti, che sono legati linearmente alle prime. Rimuovendo le forze, il corpo torna allo stato iniziale indeformato. Il lavoro compiuto dalle forze si trasforma in energia elastica, che è completamente restituita rimuovendo le forze. Il modello di corpo elastico è, quindi, un modello ideale, in quanto si assume che non vi siano attriti interni.

Il caso più semplice di corpo elastico è quello della molla lineare elastica, già introdot-ta in 2. (Fig. 2) e nuovamente rappresentata in Fig. 12 b. L’allungamento x della molla e la forza applicata sono legati dalla relazione (2.5), che qui si ripete omettendo i segni di vettore: xkF = (4.15). La forza F è di tipo conservativo: infatti il lavoro compiuto dalla forza dipende solo dall’al-lungamento di questa. È facile constatare che l’energia potenziale elastica è data da

221 kx=P (4.16).

Derivando la (4.16) rispetto ad x, si riottiene la (4.15). Si noti: P è uguale all’area sottesa dalla retta che lega forza e spostamento, cioè all’area del triangolo OCD in Fig. 12; nella (4.16) non vi è segno negativo a secondo membro, per cui, per usare P nel calcolo del lavoro con la (4.13), in questa non va posto segno negativo.

Sperimentalmente si sia misurato l’allungamento m1050.1cm50.1 2-×==x , applican-do alla molla un peso di 39.2 N. Dall’Eq. (4.15) si ricava la costante della molla:

14

.mN10610.21050.12.39 13

2-

- ×=×

=k

Fig. 12 - Legame forza-spostamento per una molla lineare.

POTENZIALE GRAVITAZIONALE È immediato vedere che la forza peso dell’Eq. (2.4) può essere ottenuta dal potenziale zGU g -= (4.17), in cui z è la quota del corpo. Volendo calcolare il lavoro necessario a portare un corpo di peso G dalla quota z0 alla quota z1, si applica l’Eq. (4.13) col potenziale (4.17): ( )0110 )()( zzGzUzUL -=-= (4.18), che dipende solo dalla differenza delle 2 quote.

PRINCIPIO DI CONSERVAZIONE DELL’ENERGIA Per un punto materiale isolato, cioè che non interagisce con altri punti o corpi e soggetto a forze conservative l’energia totale si conserva durante il moto, cioè =-UEk costante (4.19). Istante per istante energia cinetica ed energia potenziale variano, ma la loro somma resta co-stante.

Il principio di conservazione dell’energia ha una portata generale: esso è valido non solo per il punto materiale, ma per qualsiasi sistema meccanico conservativo. Nel caso che il sistema non sia conservativo ed in particolare ci sia attrito, se il sistema è isolato, la (4.19) diventa: =+- CUEk costante (4.20), in cui C indica l’energia, cinetica e potenziale, che si trasforma in calore.

BIBLIOGRAFIA Alonso M. e Finn E.J. Elementi di Fisica per l’Università. Inter European Editions

Amsterdam. Finzi B. Meccanica Razionale. Zanichelli, Bologna. Turchetti G. Dinamica Classica dei Sistemi Fisici. Zanichelli, Bologna.