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Meccanica

ALMA MATER STUDIORUM UNIVERSITA DI BOLOGNA

1. Vettorihttp://campus.cib.unibo.it/2421/

Domenico GalliDipartimento di Fisica e Astronomia

5 maggio 2017

Traccia

1. Grandezze Fisiche2. Vettori3. Calcolo Vettoriale4. Somma e Differenza di vettori5. Moltiplicazioni di Vettori6. Definizioni

ALMA MATER STUDIORUM UNIVERSITA DI BOLOGNA D. Galli

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Meccanica – 1. VettoriGrandezze Vettori Calcolo Somma e Differenza Moltiplicazioni Definizioni

Alfabeto Greco

Minuscolo Maiuscolo Nome Minuscolo Maiuscolo Nome

α A alfa ν N nu, niβ B beta ξ Ξ xiγ Γ gamma o O omicronδ ∆ delta π Π piε, ε E epsilon ρ, % P roζ Z zeta σ, ς Σ sigmaη H eta τ T tauθ, ϑ Θ theta υ Υ upsilonι I iota ϕ, φ Φ fiκ K kappa χ X chiλ Λ lambda ψ Ψ psiµ M mu, mi ω Ω omega


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Vettori

Le grandezze a fondamento di tutta la fisica sono lo spazio e il tempo.

La descrizione della posizione nel tempo (fissata l’unità di misura)richiede un semplice numero reale (grandezza scalare).

La descrizione della posizione nello spazio richiede l’introduzione diun nuovo ente matematico: il vettore.Un vettore è una entità matematica astratta:

Utilizzata per rappresentare entità fisiche concettualmente moltodiverse tra loro.


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Vettori in Matematica

In matematica un vettore è un elemento di una particolare strutturaalgebrica, denominata Spazio Vettoriale.

Struttura algebrica: insieme S (chiamato insieme sostegno) munitodi una o più leggi di composizione (operazioni), le quali:

Possono essere, unarie, binarie, ecc.Sono caratterizzate dall’avere proprietà quali commutatività eassociatività, ecc.

Le entità matematiche sono spesso astrazioni di entità concreteutilizzate nelle scienze sperimentali (fisica, biologia, economia, ecc.):

I vettori sono astrazioni di entità concrete utilizzate soprattutto nellafisica (spostamento rettilineo di un punto, forza, ecc.).


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Grandezze Fisiche

Grandezze scalari: completamente specificate assegnando un valorenumerico e una unità di misura.

Esempi: lunghezza, tempo, superficie, volume, massa, densità,temperatura, carica elettrica, densità di carica, potenziale, lavoro, energia,flusso, intensità di corrente, resistenza, resistività, capacità, induttanza,impedenza, ecc.

Grandezze vettoriali: completamente specificate assegnando unvalore numerico (detto modulo o norma), una direzione, un verso euna unità di misura.

Esempi: spostamento rettilineo di un punto, velocità, accelerazione,quantità di moto, momento della quantità di moto, forza, momento di unaforza, campo elettrico, campo magnetico, momento di dipolo elettrico,momento di dipolo magnetico, densità di corrente, ecc.

Grandezze tensoriali: la loro specificazione è ancora più complicata.Esempi: rotazione, tensore di inerzia, tensore degli sforzi, tensoreenergia-impulso del campo elettromagnetico, tensore di curvatura, ecc.


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Segmento

È la parte di retta delimitata da due punti distinti (O e P in figura):

Ha una lunghezza (la distanza tra O e P );

Ha una direzione (una qualunque retta dello spazio parallela a quella dicui il segmento è parte);

Ha due estremi (i punti O e P ).


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Segmento Orientato

È un segmento dotato di orientazione (uno dei due possibili sensi dipercorrenza):

Ha un modulo (la distanza tra O e P );Ha una direzione (una qualunque retta dello spazio parallela a quella di cui ilsegmento è parte);Ha un verso (il senso, che può essere da O a P , oppure da P a O);Ha un punto di applicazione (il punto O in figura).

Notazioni: ~rOP =−−→OP =

−−−−→P −O.


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Punti dello Spazio Ordinario e SegmentiOrientati

Fissato un certo punto dello spazio O, detto origine, a ogni altro puntoP dello spazio corrisponde, in maniera bi-univoca, un segmentoorientato con l’origine in O e il vertice in P :

fissato O: P1−17−−−→su

~rOP


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Segmenti Orientati Equipollenti

Due segmenti orientati si dicono equipollenti se hanno:

Lo stesso modulo;

La stessa direzione;

Lo stesso verso.


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Vettori Posizionali

Chiamiamo vettore posizionale il quid comune (cioè ciò che hanno incomune) ai segmenti orientati equipollenti (astrazione secondoVailati-Enriquez).

Oppure, definiamo vettore posizionale la classe di equivalenza deisegmenti orientati rispetto alla relazione di equipollenza (astrazionesecondo Frege-Russel).Un vettore posizionale ~r:

Ha un modulo;Ha una direzione;Ha un verso.


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Vettori Generici

Estensione del concetto di vettore posizionale.Il modulo non è necessariamente una lunghezza:

Può essere una forza, una velocità, ecc.

Notazioni: ~v = v = v = v.

Possono essere utilizzatenei testi scritti a mano

(p. es. nei compiti di esame).


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Vettori Liberi e Vettori Applicati

In fisica si distinguono 2 diversi tipi di vettore:Vettori Liberi (o vettori ordinari):

Non è definito un particolare punto si applicazione.Esempio: spostamento rettilineo di un punto.

Vettori Applicati:Insieme di un vettore libero e di un punto di applicazione.Esempio: forza.


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Vettori Polari e Vettori Assiali

In fisica si classificano i vettori in 2 categorie a seconda del lorocomportamento per riflessione speculare:

Vettori Polari:Cambiano verso i vettori perpendicolari allo specchio.I Esempio: spostamento rettilineo di un punto, forza, campo elettrico.

Vettori Assiali (o Pseudo-Vettori):Cambiano verso i vettori paralleli allo specchio.I Esempio: campo magnetico, momento di una forza, momento della quantità di

moto.

Vettori Polari Vettori AssialiALMA MATER STUDIORUM UNIVERSITA DI BOLOGNA D. Galli

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La Velocità Angolare è un VettoreAssiale


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Modulo, Direzione e Verso

Modulo (o norma): distanza tra origine e vertice. Si indica con‖~v‖ = |~v | = v.

Direzione: Una qualunque retta parallela a quella su cui giace il vettore.

Verso: senso di percorrenza.

Medesima direzione, medesimoverso, moduli diversi.

Medesimo modulo, direzionediversa.

Medesimo modulo, medesimadirezione, verso opposto.


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Calcolo Vettoriale

Le operazioni tra vettori sono la traduzione in forma algebrica dellepossibili operazioni tra segmenti orientati nello spazio, in accordo conle leggi della geometria euclidea.

P. es.: calcolo delle lunghezze dei segmenti, degli angoli compresi,delle aree, dei volumi, ecc.

Tali operazioni di natura geometrica possono essere tradotte in formaalgebrica introducendo 4 operazioni fondamentali:

somma e differenza di due vettori;

moltiplicazione scalare di un vettore (prodotto di un numero realeper un vettore);

prodotto scalare di due vettori;

prodotto vettoriale di due vettori.


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Uguaglianza di Vettori

Due vettori si dicono uguali se, e soltanto se, essi hanno:Il medesimo modulo;La medesima direzione;Il medesimo verso.

Se due vettori non sono uguali si dicono disuguali, ma non è possibiledefinire una relazione d’ordine:

Non si può trovare un criterio per affermare che un vettore è maggiore ominore di un altro.

Vettori uguali. Vettori disuguali. Vettori disuguali. Vettori disuguali.ALMA MATER STUDIORUM UNIVERSITA DI BOLOGNA D. Galli

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Vettore Opposto

Dato un vettore ~v, si definisce vettore opposto, −~v, un vettoreavente la stessa direzione, lo stesso modulo ma verso opposto.Si noti che il simbolo “−”, in questo contesto:

Non ha nulla a che vedere con il concetto di “negativo” (i vettori nonpossono essere classificati in “negativi” e “positivi” come gli scalari);Non ha nulla a che vedere con il segno del modulo del vettore, il quale èsempre positivo (‖−~v‖ = ‖~v‖ = v > 0).

Il simbolo “−”, in questo contesto, denota l’operazione(unaria) di cambiamento del verso del vettore a cuiesso è applicato.


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Vettore Nullo

Si chiama vettore nullo e si indica con ~0 un vettore che ha modulonullo:∥∥∥~0∥∥∥ = 0

Direzione e verso del vettore nullo sono indeterminati (vettoredegenere);Il vettore nullo è diverso dal numero zero:I Il vettore nullo è un vettore, il numero zero è un numero...


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Somma di Vettori:Regola del Triangolo

Prototipo: spostamento rettilineo di un punto (vettore posizionaleche si “concretizza” in un segmento orientato).

Consideriamo due spostamenti successivi dello stesso punto: primada A a B, poi da B a C .

Il risultato dei due spostamenti (somma dei due vettori) è lospostamento da A a C (regola del triangolo):

~rAC = ~rAB + ~rBC

ovvero, indicando:

~a = ~rAB, ~b = ~rBC

risulta:

~a+~b = ~rAC


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Somma di Vettori:Regola del Parallelogramma

La somma ~a+~b = ~rAC è la diagonale del parallelogramma ABCD,avente per lati i segmenti orientati ~rAB e ~rAD .

Come è evidente dalla geometria della figura, la regola delparallelogramma è equivalente alla regola del triangolo.


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Somma di Vettori: Casi Particolari

Il triangolo ABC, utilizzato per calcolare la somma, degenera (si“appiattisce”) se:

I vettori ~a e ~b sono paralleli (~a 11 ~b );I vettori ~a e ~b sono anti-paralleli (~a 1$ ~b ).

Vettori quasi paralleli. Vettori paralleli.Vettori quasianti-paralleli. Vettori anti-paralleli.


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Proprietà Commutativa della Somma diVettori

Interpretando la somma di due vettori come la composizione di duespostamenti rettilinei di un punto, dai risultati della geometriaeuclidea segue la proprietà commutativa:

~a+~b = ~b+ ~a


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Proprietà Associativa della Somma diVettori

Interpretando la somma di due vettori come la composizione di duespostamenti rettilinei di un punto, dai risultati della geometriaeuclidea segue la proprietà associativa:Ä~a+~b

ä+ ~c = ~a+

Ä~b+ ~c

ä


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Riassunto delle Proprietà della Sommadi Vettori

Proprietà associativa:Ä~a+~b

ä+ ~c = ~a+

Ä~b+ ~c

ä∀~a,~b,~c ∈ V

Esistenza dell’elemento neutro (vettore nullo):

~a+~0 = ~a ∀~a ∈ V

Esistenza dell’elemento inverso (vettore opposto):

~a+ (−~a) = ~0 ∀~a ∈ V

Proprietà commutativa:

~a+~b = ~b+ ~a ∀~a,~b ∈ V


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Rotazioni

Una traslazione è rappresentata da un vettore.

Una rotazione è essa pure rappresentata da un vettore? (vedremoche la risposta è NO).Tuttavia, a prima vista potremmo pensare di rappresentare unarotazione mediante:

Una direzione (asse di rotazione);Un numero (angolo di rotazione);Un verso (a seconda che la rotazione avvenga in senso orario o antiorario,come in figura).


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Rotazioni (II)

Verifichiamo se le rotazioni godono della proprietà commutativa:Il risultato è diverso se si scambia l’ordine delle rotazioni.Non vale laproprietàcommutativa.Le rotazioninon sonorappresentateda vettori(sonorappresentateda tensori).

90

asse z90

asse y

90

asse y90

asse z


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Differenza di Vettori

È l’operazione inversa della somma.

Dati due vettori, ~a e ~b si chiama differenza fra ~a e ~b e si indica con~a−~b quel vettore che sommato a ~b dà come risultato ~a.

Si effettua mediante la regola del triangolo:

~a = ~rOA

~b = ~rOB

~a−~b = ~rBA

~b− ~a = ~rAB

Oppure sommandoil vettore opposto:

~a−~b = ~a+Ä−~bä


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Disuguaglianza Triangolare

Il modulo della somma (o della differenza) di duevettori è in generale diverso dalla somma (o dalladifferenza) dei moduli.

Per la disuguaglianza triangolare si ha:∣∣∣‖~a‖ − ‖~b‖∣∣∣ ≤ ‖~a+~b‖ ≤ ‖~a‖+ ‖~b‖∣∣∣‖~a‖ − ‖~b‖∣∣∣ ≤ ‖~a−~b‖ ≤ ‖~a‖+ ‖~b‖


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Moltiplicazioni tra Vettori e Scalari

Si possono definire 3 diverse moltiplicazioni che coinvolgono i vettori:

Moltiplicazione scalare di un vettore:

α ∈ R~a ∈ V

~c = α~a ∈ V

Prodotto scalare di due vettori:

~a ∈ V~b ∈ V

c = ~a ·~b ∈ R

Prodotto vettoriale di due vettori:

~a ∈ V~b ∈ V

~c = ~a ∧~b ∈ V

R = insieme dei numeri reali

V = spazio vettorialeALMA MATER STUDIORUM UNIVERSITA DI BOLOGNA D. Galli

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Moltiplicazione Scalare di un Vettore

Si può definire la moltiplicazione scalare di un vettore ~a per unnumero naturale n come una somma vettoriale ripetuta:

~b = n~a = ~a+ ~a+ · · ·+ ~a︸︷︷︸n volte

In analogia alla definizione di moltiplicazione di due numeri naturali.


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Moltiplicazione Scalare di un Vettore (II)

Generalizzando, si definisce moltiplicazione scalare di un vettore ~aper un numero reale α e si indica con il simbolo α~a il vettore che haper modulo il prodotto |α| ‖~a‖, per direzione la stessa direzione di ~a,e, per verso, lo stesso verso di ~a se α ≥ 0, il verso opposto se α < 0:

~c = α~a ⇔ ‖~c‖ = |α| ‖~a‖,~c 11 ~a, se α ≥ 0

~c 1$ ~a, se α < 0

α ∈ R~a ∈ V

~c = α~a ∈ V,

R = insieme dei numeri reali

V = spazio vettoriale


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Proprietà della Moltiplicazione Scalare diun Vettore


α~a = ~aα ∀α ∈ R, ∀~a ∈ VProprietà omogenea (o associativa rispetto a un fattore scalare):

αÄβ~aä

=Äαβä~a ∀α, β ∈ R, ∀~a ∈ V

Proprietà distributiva rispetto alla somma algebrica di scalari:Äα± β

ä~a = α~a± β~a ∀α, β ∈ R, ∀~a ∈ V

Proprietà distributiva rispetto alla somma algebrica di vettori:

αÄ~a±~b

ä= α~a± α~b ∀α ∈ R, ∀~a,~b ∈ V

Esistenza dello scalare neutro:

1~a = ~a ∀~a ∈ VEsistenza dello scalare assorbente:

0~a = ~0 ∀~a ∈ VEsistenza dello scalare invertente:

(−1)~a = −~a ∀~a ∈ V


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Prodotto Scalare di Due Vettori

Associa a due vettori uno scalare:P. es., associa alla forza (vettore) e allo spostamento (vettore) il lavoro(scalare).

Si definisce prodotto scalare di due vettori ~a e ~b, e si indica colsimbolo ~a ·~b il prodotto dei moduli dei due vettori per il cosenodell’angolo compreso tra i due vettori, posti con l’origine coincidente:

~a ·~b = ‖~a‖ ‖~b‖ cos θ~a ∈ V~b ∈ V

~a ·~b ∈ R

Si osservino i casi in cui il prodotto scalare è nullo:

~a ·~b = 0 ⇒

~a = ~0 oppure

~b = ~0 oppure

~a ⊥ ~b


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Prodotto Scalare di Due Vettori (II)

Interpretazione geometrica del prodotto scalare.

~a ·~b = ‖~a‖Ä‖~b‖ cos θ

ä~a ·~b =

Ä‖~a‖ cos θ

ä‖~b‖


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Proprietà del Prodotto Scalare di DueVettori


~a ·~b = ~b ·~a ∀~a,~b ∈ V

Proprietà omogenea (o associativa rispetto a un fattore scalare):Äα~aä·~b = ~a ·

Äα~bä

= αÄ~a ·~bä

∀α ∈ R, ∀~a,~b ∈ V

Proprietà distributiva rispetto alla somma algebrica di vettori:Ä~a±~b

ä·~c = ~a ·~c±~b ·~c ∀~a,~b,~c ∈ V


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Quadrato e Modulo di un Vettore

Si chiama quadrato di un vettore il prodotto scalare di un vettore perse stesso:

~a2 = ~a ·~a = ‖~a‖ ‖~a‖ cos 0 = ‖~a‖2

Il modulo (o norma) di un vettore si può perciò scrivere:

‖~a‖ =√~a2 =

√~a ·~a

Da questa espressione è implicito che il modulo sia sempre un numeroreale positivo:

‖~a‖ ∈ R+


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Versori

Si chiamano versori e si indicano con l’accento circonflesso, v (inparole: “vu cappello”), i vettori di modulo unitario:

‖v‖ = 1

Un versore definisce una direzione orientata.

Per ogni vettore ~v non nullo esiste un versore v che ha la stessadirezione orientata (versore associato al vettore ~v ):

v = vers (~v )

b


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Versori (II)

Il versore v associato al vettore ~v si può scrivere:

v = vers (~v ) =

scalare︷︸︸︷1

‖~v‖

vettore︷︸︸︷~v

Ogni vettore si può scrivere come moltiplicazione scalare del suomodulo per il suo versore associato:

~v = v v = ‖~v‖ vers (~v )

Reciproco dello scalare ‖~v‖Moltiplicazione scalare


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Componente di un Vettore Rispetto auna Direzione Orientata

Dato un vettore ~v e una qualsiasi direzione orientata u, si definiscecomponente (o proiezione) di ~v su u e si indica con vu il prodotto delmodulo di ~v per il coseno dell’angolo θ che il vettore forma con ladirezione orientata u:

vu = ‖~v‖ cos θ

Utilizzando il prodotto scalare, si può anche scrivere:

vu = ~v · u


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Vettore Componente di un VettoreRispetto a una Direzione Orientata

Dato un vettore ~v e una qualsiasi direzione orientata u, si definiscevettore componente di ~v su u e si indica con ~vu il vettore che ha permodulo il valore assoluto della corrispondente componente vu e perverso: lo stesso verso di u se vu ≥ 0; il verso contrario se vu < 0:

‖~vu‖ = |vu| = ‖~v‖ |cos θ|

In termini vettoriali risulta:

~vu = (~v · u) u

Moltiplicazione scalare

Prodotto scalare


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Nota Bene

Al fine di evitare errori è bene prestare attenzione a non confondere:Il vettore ~v:

Non è uno scalare, dunque non si può considerare né “positivo” né“negativo”;

Il modulo del vettore v:È uno scalare sempre positivo;

Una componente di un vettore, p. es. vx:È uno scalare che può essere positivo o negativo.

Nell’esempio in figura risulta, essendo ı il versore parallelo all’asse x:

~v = −3 ı

v = ‖~v‖ = 3

vx = ‖~v‖ cos θ = ‖~v‖ cosπ = −‖~v‖ = −3


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Nota Bene (II)

Un’attenzione ancora maggiore deve essere posta nella somma divettori paralleli o antiparalleli.

Nell’esempio in figura risulta:

ax = −abx = b

~c = ~a+~b

cx = ax + bx < 0

c = a− b > 0


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Modulo della Somma e della Differenzadi Vettori

Utilizzando le proprietà delle operazioni tra vettori, otteniamo:∥∥∥~a+~b∥∥∥ =

…Ä~a+~b

ä2=√Ä

~a+~bä·Ä~a+~b

ä=

=»~a ·~a+ ~a ·~b+~b ·~a+~b ·~b =

»~a2 +~b2 + 2~a ·~b∥∥∥~a+~b

∥∥∥ =√a2 + b2 + 2 a b cos θ

∥∥∥~a−~b∥∥∥ =

…Ä~a−~b

ä2=√Ä

~a−~bä·Ä~a−~b

ä=

=»~a ·~a− ~a ·~b−~b ·~a+~b ·~b =

»~a2 +~b2 − 2~a ·~b∥∥∥~a−~b∥∥∥ =

√a2 + b2 − 2 a b cos θ


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Prodotto Vettoriale di Due Vettori

Si definisce prodotto vettoriale tra due vettori ~a e ~b, e si indica ~a ∧~b, ilvettore che ha:

Modulo pari all’area del parallelogramma formato dai vettori ~a e ~b;

Direzione perpendicolare a entrambi i vettori ;Verso determinato dalla “regola della mano destra”:

Pollice: primo vettore;Indice: secondo vettore;Medio: prodotto vettoriale.


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Prodotto Vettoriale di Due Vettori (II)

L’area del parallelogramma (modulo del prodotto vettoriale) formatodai vettori ~a e ~b, si può scrivere come:∥∥∥~a ∧~b∥∥∥ = ‖~a‖

Ä‖~b‖ |sin θ|

ä= ‖~a‖ ‖~b‖ |sin θ|

per cui il prodotto vettoriale si scrive:

~a ∧~b = ‖~a‖ ‖~b‖ |sin θ| n

dove n è il versore con direzione perpendicolare ai 2 vettori e verso datodalla regola della mano destra.


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Prodotto Vettoriale di Due Vettori (III)

Si noti bene che il prodotto vettoriale è un vettore:

~a ∈ V~b ∈ V

~a ∧~b ∈ V

Si osservino i casi in cui il prodotto vettoriale è nullo:

~a ∧~b = ~0 ⇒

~a = ~0 oppure

~b = ~0 oppure

~a ‖ ~b


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Proprietà del Prodotto Vettoriale di DueVettori

Proprietà di annullamento:

~a ∧ ~a = ~0 ∀~a ∈ VProprietà anti-commutativa:

~a ∧~b = −~b ∧ ~a ∀~a,~b ∈ VProprietà omogenea (o associativa rispetto a un fattore scalare):Äα~aä∧~b = ~a ∧

Äα~bä

= αÄ~a ∧~b

ä∀α ∈ R, ∀~a,~b ∈ V

Proprietà distributiva rispetto alla somma algebrica di vettori:Ä~a±~b

ä∧ ~c = ~a ∧ ~c±~b ∧ ~c ∀~a,~b,~c ∈ V

Sviluppo del doppio prodotto vettoriale a destra e a sinistra:Ä~a ∧~b

ä∧ ~c =

Ä~a ·~cä~b−Ä~b ·~cä~a ∀~a,~b,~c ∈ V

~a ∧Ä~b ∧ ~c

ä=Ä~a ·~cä~b−Ä~a ·~bä~c ∀~a,~b,~c ∈ V


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Doppio Prodotto Misto di Tre Vettori

È dato da: ~a ∧~b ·~c def=Ä~a ∧~b

ä·~c ;

È uguale, a meno del segno, al volume del parallelepipedo avente perlati ~a, ~b e ~c;

Tale parallelepipedo ha per base B e altezza h:B = ‖~a ∧~b‖

h = ~c · n = ~c · versÄ~a ∧~b

ädunque volume V :

V = ‖~a ∧~b‖ versÄ~a ∧~b

ä︸︷︷︸

~a∧~b

·~c

V =∣∣∣~a ∧~b ·~c∣∣∣


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Proprietà del Doppio Prodotto Misto diTre Vettori

Invarianza per scambio tra prodotto scalare e prodotto vettoriale:

~a ∧~b ·~c = ~a ·~b ∧ ~c ∀~a,~b,~c ∈ VInvarianza per permutazione ciclica dei tre fattori:

~a ∧~b ·~c = ~b ∧ ~c ·~a = ~c ∧ ~a ·~b ∀~a,~b,~c ∈ V

La seconda segue dal fatto che nei 3 casi il volume del parallelepipedo è ilmedesimo.La prima si ottiene utilizzando la seconda e la proprietà commutativa delprodotto scalare:(~a ∧~b

)·~c =

(~b ∧ ~c

)·~a = ~a ·

(~b ∧ ~c

)


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Dal Calcolo Vettoriale ai Teoremi suiTriangoli Generici

Teorema di Carnot o teroema dei coseni:~b = ~c− ~a ⇒ ~b 2 = (~c− ~a)2 = (~c− ~a) · (~c− ~a) = ~c 2 + ~a2 − 2~a ·~c

b2 = c2 + a2 − 2 a c cosβ

Teorema di Eulero o teroema dei seni:~a+~b = ~c ⇒

Ä~a+~b

ä∧~b = ~c ∧~b ⇒ ~a ∧~b+~b ∧~b︸︷︷︸

~0

= ~c ∧~b

~a ∧~b = ~c ∧~b ⇒ a b sin γ = c b sinα

a

sinα=

c

sin γ

Teorema delle proiezioni:~a+~b = ~c ⇒

Ä~a+~b

ä·~c = ~c ·~c

~a ·~c+~b ·~c = ~c ·~c ⇒ a c cosβ + b c cosα = c2

a cosβ + b cosα = cALMA MATER STUDIORUM UNIVERSITA DI BOLOGNA D. Galli

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Definizione di Spazio Vettoriale

Matematicamente si definisce Spazio Vettoriale una StrutturaAlgebrica, basata su un Insieme Sostegno V (i cui elementi sono dettivettori) dotata di 2 Operatori Binari (somma tra vettori e moltiplicazionescalare di un vettore) che soddisfano i seguenti 8 assiomi:Ä~a+~b

ä+ ~c = ~a+

Ä~b+ ~c

ä∀~a,~b,~c ∈ V

~a+~b = ~b+ ~a ∀~a,~b ∈ V∃~0 ∈ V ; ~a+~0 = ~a ∀~a ∈ V∀~a ∈ V ∃ (−~a) ∈ V ; ~a+ (−~a) = ~0

αÄ~a±~b

ä= α~a± α~b ∀α ∈ R, ∀~a,~b ∈ VÄ

α± βä~a = α~a± β~a ∀α, β ∈ R, ∀~a ∈ V

αÄβ~aä

=Äαβä~a ∀α, β ∈ R, ∀~a ∈ V

∃1 ∈ R; 1~a = ~a ∀~a ∈ VALMA MATER STUDIORUM UNIVERSITA DI BOLOGNA D. Galli

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Definizione di Spazio Euclideo

Matematicamente si definisce Spazio Euclideo uno Spazio Vettoriale incui è definita una legge di composizione, detta prodotto interno oprodotto scalare:Ä~a,~bä

[∈ V × V ] 7→ ~a ·~b ∈ R

che soddisfa i seguenti 4 assiomi:

~a ·~b = ~b ·~a ∀~a,~b ∈ VÄα~aä·~b = ~a ·

Äα~bä

= αÄ~a ·~bä

∀α ∈ R, ∀~a,~b ∈ VÄ~a±~b

ä·~c = ~a ·~c±~b ·~c ∀~a,~b,~c ∈ V

~a ·~a ≥ 0, ~a ·~a = 0 ⇔ ~a = ~0 ∀~a ∈ V


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Domenico GalliDipartimento di Fisica e Astronomia

[email protected]://www.unibo.it/sitoweb/domenico.galli

https://wiki-lhcb.bo.infn.it/bin/view/GalliDidattica


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Meccanica – 1. Vettori

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