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1 MATRICI: definizioni (1) Def. Matrice Tabella costituita da m righe ed n colonne. Si dice di tipo m x n o (m,n) Consideriamo delle tabelle di numeri, in cui ci si imbatte spesso in molti problemi di matematica o di scienze applicate. Tale tabelle hanno un doppio ordinamento, per righe e per colonne, utilizzeremo i seguenti simboli: ij ij ij mn m m n n a a a a a a a a a a a a .. .. .. .. .. .. .. 2 1 2 22 21 1 12 11 Α m i ,.., 1 n j ,.., 1 Indice di riga Indice di colonna R a ij Def. Vettore Riga Tabella costituita da 1 righe ed n colonne. Si dice di tipo 1 x n o (1,n) Def. Vettore Colonna Tabella costituita da m righe ed 1 colonne. Si dice di tipo m x 1 o (m,1) Def. Matrice Quadrata Tabella costituita da un numero di righe uguale al numero di colonne. Se tale numero è n la matrice è detta di quadrata di ordine n.

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1

MATRICI: definizioni (1)

Def. Matrice

Tabella costituita da m righe ed n colonne. Si dice di tipo m x n o (m,n)

Consideriamo delle tabelle di numeri, in cui ci si imbatte spesso in molti problemi di matematica o di scienze applicate. Tale tabelle hanno un doppio ordinamento, per righe e per colonne, utilizzeremo i seguenti simboli:

ijijij

mnmm

n

n

aaa

aaa

aaa

aaa

..

........

..

..

21

22221

11211

Α

mi ,..,1

nj ,..,1

Indice di riga

Indice di colonna

Raij

Def. Vettore Riga

Tabella costituita da 1 righe ed n colonne. Si dice di tipo 1 x n o (1,n)

Def. Vettore Colonna

Tabella costituita da m righe ed 1 colonne. Si dice di tipo m x 1 o (m,1)

Def. Matrice Quadrata

Tabella costituita da un numero di righe uguale al numero di colonne. Se tale numero è n la matrice è detta di quadrata di ordine n.

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2

MATRICI: definizioni (2)

Def. Diagonale principale

Gli elementi di una matrice quadrata che hanno uguali il numero di riga e di colonna costituiscono la diagonale principale della matrice.

nnnn

n

n

aaa

aaa

aaa

..

........

..

..

21

22221

11211

Α

Diagonale Principale

Diagonale Secondaria

Def. Uguaglianza di Matrici

Due matrici A e B sono uguali se hanno lo stesso numero di righe e di colonne e se sono uguali gli elementi di uguale posto.

ijij ba BΑ

nj

mi

,...,1

,...,1

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3

MATRICI: definizioni (3)

Def. Matrice Trasposta

La matrice trasposta della matrice A è la matrice che si ottiene scambiando le righe con le colonne di A. Verrà indicata con At.

320

421Α

34

22

01TΑ

Def. Matrice Simmetrica

Data una matrice quadrata A la matrice è detta simmetrica quando risulta: A = AT.

TΑΑ

420

231

011

T

jiij aa ΑΑ

121

422

313

B

143

221

123T

B

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4

MATRICI: definizioni (4)

Def. Matrice Emisimmetrica

Data una matrice quadrata A la matrice è detta emisimmetrica quando risulta: A = -AT.

TΑΑ

023

201

310

T

jiij aa ΑΑ

Def. Matrici Simili

Due matrici A e B sono dette simili se hanno lo stesso numero di righe e lo stesso numero di colonne.

ijaΑ

ijbBnj

mi

,...,1

,...,1

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5

MATRICI: definizioni (5)

Def. Matrice Triangolare

Data una matrice quadrata A la matrice è detta triangolare quando sono nulli tutti gli elementi sotto la diagonale principale (matrice triangolare alta) o sopra la diagonale principale (matrice triangolare bassa).

300

220

311

Α

Def. Matrici Diagonale

Una matrice A è detta diagonale se sono nulli tutti gli elementi fuori dalla diagonale principale.

311

022

001

Αmatrice

triangolare

alta

matrice

triangolare

bassa

300

020

001

Α Matrice

diagonale

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6

Operazioni: Matrice Somma

Def. Matrice Somma

Date due matrici simili A e B chiamiamo somma di A e B la matrice C così definita:

ijijij bac BΑC

43

21Α

32

03B

15

22CBA

Proprietà della Somma

Associativa

Commutativa

Elemento Neutro

Elemento Simmetrico

CBΑCBΑ

ABBΑ

A0Α0 :

0A)(ΑAA :)(,

Def. Matrice Zero

Matrice 0 è la matrice con tutti gli elementi uguali a 0.

Def. Matrice Opposta

La matrice -A opposta della matrice A (simmetrica rispetto alla somma) è la matrice con tutti gli elementi opposti agli elementi di A.

jiaa ijij , 0con 0

con AA ijij aa

Gruppo Abeliano

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7

Operazioni: Prodotto di una matrice per uno scalare

Def.

Data la matrice A e lo scalare k , la matrice C=kA=Ak è così definita:

ijij kackk AΑC

43

21Α 2k

86

42CAk

Proprietà del prodotto Matrice per Scalare

AΑ 1

AAΑ hkhk )(

Nota

L’insieme delle matrici di tipo m x n costituisce, con le due operazioni appena definite (di somma e prodotto per uno scalare), uno Spazio Vettoriale.

BABΑ kkk )(

AΑ )()( khhk

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8

Operazioni

Es. Una matrice può essere scritta come somma di una matrice simmetrica e di una matrice emisimmetrica

43

21Α

TAAS

2

1 T

AAE 2

1

ESA

42/1

2/11S

02/5

2/50E

42

31T

Α

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9

Operazioni: Moltiplicazione di due matrici (righe per colonne) (1)

Def. Matrici Conformabili

Si considerino due matrici A e B tali che A sia di tipo (m x n) e B sia di tipo (n x p) (cioè numero di colonne di A sia uguale al numero di righe di B). Le matrici A e B, siffatte, sono dette CONFORMABILI.

Def. Prodotto (righe per colonne)

Date due matrici A di tipo (m x n) e B di tipo (n x p) , conformabili, si chiama prodotto della matrice A per la matrice B, la matrice C ( che sarà di tipo (m x p) ) così definita:.

n

k

kjikij bac1

BΑCpj

mi

,...,1

,...,1

Es.

41

13

10

21

1021

1310

1201

)4()1(10)1(221)1()1(300211

)4()1(13)1()1(20)1()1(330)1(10

)4(112)1(021)1(1320011

40221001

43101900

42021601

42

810

06

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10

Operazioni: Moltiplicazione di due matrici (2)

Es.

5831

2213

10

87

31

654

321

Nota 1:

Il prodotto non è commutativo AB≠BA

121

370

1710

013

121

101

010

141

321

8104

193

311

010

141

321

013

121

101

Nota 2:

Matrici diverse dalla matrice 0 possono dare la matrice 0 come prodotto. Matrici siffatte

sono dette DIVISORI DELLO ZERO.

000

000

000

142

000

000

041

041

021

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11

Operazioni: Moltiplicazione di due matrici (3)

Nota 3:

Non vale la legge della Cancellazione del Prodotto: AB=AC non implica B=C

( non si può semplificare la A)

111

111

221

222

111

221

041

011

021

CBA

CB

265

132

043

BA

265

132

043

CA

Riassumendo:

1) Non vale in generale la proprietà commutativa

2) AB=0 può essere con A≠0 o B≠0

3) Se AB=AC può essere B≠C anche se è A≠0

4) Se BA=CA può essere B≠C anche se è A≠0

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12

Operazioni: Moltiplicazione di due matrici (4)

Proprietà:

Il prodotto di matrici è associativo: A (B C)=(A B) C

Proprietà:

Il prodotto di matrici è distributivo rispetto alla somma (sia a destra che a

sinistra): (A+B) C= A C + B C

D (E+F)= D E + D F

Purchè A e B siano conformabili con C; D sia conformabile con E ed F.

Es. Date le matrici 2 x 2 A,B,C si verifichi che:

tttABBA

43

21Α

32

03B

BCACCBA

)( CBACBA

02

11C

53

26BCACCBA

126

11 ttt

ABBA

123

113)( CBACBA

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13

Operazioni: Determinante di una matrice quadrata (1)

Il determinante di una matrice quadrata è uno scalare associato alla matrice.

Daremo solo le regole per il calcolo ( e non i dettagli di definizione).

Determinante di una matrice quadrata di ordine 2.

dc

baA ad-bc)det(A

Determinante di una matrice quadrata di ordine 1 è l’elemento stesso.

Consideriamo ora una matrice quadrata di ordine n.

nnnn

n

n

aaa

aaa

aaa

..

........

..

..

21

22221

11211

Α

Def. Minore Complementare

Si chiama minore complementare dell’elemento aij della matrice A, e si indica con Mij il

determinante della matrice ottenuta cancellando la riga i-esima e la colonna j-esima

dalla matrice A.

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Operazioni: Determinante di una matrice quadrata (2)

Def. Complemento Algebrico

Si chiama complemento algebrico dell’elemento aij della matrice A, il numero:

222

111

221

A 422

11det 12

M 2-

22

21det 22

M

ij

ji MA )1( ij

222

111

221

A -4)1( 12

21

12 M A 2-)1(A 22

22

22 M

Nota pari é se 1)1( jiji

dispari é se 1)1( jiji

(-1) ji

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Operazioni: Determinante di una matrice quadrata (3)

Determinante di una matrice quadrata di ordine n>2

Il determinante di una matrice quadrata si può ottenere dalla somma dei prodotti degli

elementi di una qualunque linea (riga o colonna) per i loro complementi algebrici

(Prima regola di Laplace). In formule: fissando la riga k (1≤k ≤n) abbiamo:

222

111

221

A

knknkk AaAaAa ...)det( k22k11A

Oppure fissando la colonna k (1≤k ≤n) abbiamo:

nknkkk AaAaAa ...)det( 2k21k1A

Es. Calcoliamo i complementi algebrici della prima riga:

422

11)1( 2

11

A 422

11)1( 3

12

A 022

11)1( 4

13 A

402)4(241)det( 131312121111 AaAaAaA

Es. Se si moltiplicano i complementi algebrici di una linea per gli elementi di una

linea parallela si ottiene sempre zero (Seconda regola di Laplace)

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16

Operazioni: Determinante di una matrice quadrata (4)

222

111

221

AEs. Calcoliamo i complementi algebrici della seconda colonna:

422

11)1( 3

12

A 222

21)1( 4

22 A 311

21)1( 5

32

A

432)2(1)4(2)det( 323222221212 AaAaAaA

Es. Regola di Sarrus (solo per matrici 3 x 3)

22

11

21

222

111

221

A

+ -

2)12()11)((2-2)1(2-212 21)(2211

4424-4 42

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17

Operazioni: Determinante di una matrice quadrata (5)

1210

0302

1520

4321

AEs.

121

030

432

det)1(0

121

030

152

det(-1)1)det( 32A

Sviluppando il determinante (sempre) sulla

prima colonna abbiamo:

030

152

432

det)1(0

121

152

432

det)1(2 54

15

43det1

12

43det2

12

15det22

03

15det1

12

03det2)det( A

27)9(29)172214(236)17(1112722)3(132)det( A

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18

Proprietà Determinante (1)

Proprietà 1.

Se A ha una colonna od una riga di zeri det(A)=0

Sia A una matrice n x n :

Proprietà 2.

Scambiando due righe o due colonne il determinante cambia di segno

Proprietà 3.

Se A ha due righe o due colonne uguali det(A)=0

654

000

321

A 0)det( A

302

101

301

B 0)det( B

212

111

121

A 6)det( A

212

111

121

B 6)det( B

212

111

121

A 0)det( A

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19

Proprietà Determinante (2)

Sia A una matrice n x n :

Proprietà 4.

Il determinante è una funzione lineare di ciascuna riga o colonna :

Esemplificando sulla prima colonna:

nnnn

n

n

nnnn

n

n

nnnnn

n

n

aab

aab

aab

aaa

aaa

aaa

aaba

aaba

aaba

..

........

..

..

det

..

........

..

..

det

..

........

..

..

det

21

22221

11211

21

22221

11211

211

2222121

1121111

additività

212

111

121

A 6)det( A

213

110

122

2112

1111

1211

C

211

111

121

B 1)det( B

5)det( C

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20

Proprietà Determinante (3)

Sia A una matrice n x n :

Proprietà 4.

Il determinante è una funzione lineare di ciascuna riga o colonna :

Esemplificando sulla prima colonna:

nnnn

n

n

nnnn

n

n

aaa

aaa

aaa

k

aaka

aaka

aaka

..

........

..

..

det

..

........

..

..

det

21

22221

11211

21

22221

11211

omogeneità

6)det( A

212

111

121

A

214

112

122

2122

11)1(2

1212

B 12)det( B

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21

Proprietà Determinante. (4)

Proprietà 5.

Se ad una riga (colonna) si aggiunge una qualunque combinazione lineare delle

altre righe (colonne) il determinante non cambia

212

111

121

A

211

112

121

BAlla prima colonna è stata aggiunta la

combinazione lineare data da:

(1)*(seconda colonna)+(-2)(terza colonna)

2

1

1

)2(

1

1

2

)1(

2

1

1

2

1

1

6)det( B

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22

Proprietà Determinante. (5)

Proprietà 6.

Se e solo se le righe (colonne) di A sono vettori linearmente dipendenti (**) allora

det(A)=0

(**) Due vettori V1 e V2 sono linearmente dipendenti se esistono due scalari α1 e α2 non

entrambi nulli tali che: α1 V1 + α2 V2 = 0 .

n vettori V1 …….. Vn sono linearmente dipendenti se esistono n scalari α1 …. αn non

tutti nulli tali che: α1 V1 +…+ αn Vn = 0 .

915

111

321

A

La terza riga è così ottenuta:

(2)*(prima riga)+(3)*(seconda riga)

11133212915

0)det( A

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23

Proprietà Determinante. (6)

Proprietà 7.

Se A è una matrice triangolare o diagonale allora

Proprietà 8

nnaaa ....)det( 2211A

)det()det( AAnkk

900

110

321

A

915

011

001

B

900

010

001

C

9)det()det()det( CBA

212

111

121

A

424

222

242

2k

B 486 2)det( 3 B

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24

Proprietà Determinante. (7)

Proprietà 9 (teorema di Binet). )det()det()det( BABA

121

370

1710

013

121

101

010

141

321

4

010

141

321

det

6

013

121

101

det

24

121

370

1710

det

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25

Proprietà Determinante (8)

Es. Utilizzo precedenti proprietà per il calcolo del determinante

214

131

212

detSottraggo alla prima riga il doppio

della seconda, sostituisco alla prima

riga il risultato

30)6(524

11det)1)(5(

214

131

050

det

613

212

313

detSommo alla prima colonna il triplo

della seconda, sostituisco alla prima

colonna il risultato

45)9(561

31det)1)(5(

610

215

310

det

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26

Proprietà Determinante (9)

Ricapitolando : Determinante e operazioni algebriche:

BABA detdetdet

AA detdet nkk

BABA detdetdet

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27

Minori e Rango di una matrice.

Def. Rango o Caratteristica

Si chiama rango (o caratteristica) di una matrice il massimo ordine dei minori non nulli.

Es.

Def. Minore

Si chiama minore di ordine p di una matrice A il determinante di una qualsiasi

sottomatrice quadrata di ordine p estratta da A. Nota L’estrazione avviene sopprimendo un determinato numero di righe ed un determinato numero di colonne dalla matrice

originaria.

2110

0712

1301Minori di ordine 1

,....2,7,3,1

Minori di ordine 2

Minori di ordine 3

112

01

3

71

30

.........2

10

12

0

211

071

130

0

210

072

131

Es. Nell’esempio precedente, la matrice può avere al massimo rango 3. Due

sottomatrici di ordine 3 hanno determinante nullo analizziamo le altre due:

0

210

012

101

0

110

712

301

Tutti i minori di ordine tre sono nulli allora il

rango è minore od uguale a due. Poiché

esiste (almeno) un minore di ordine due

diverso da zero il rango è 2

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28

Matrice Identità (1)

Def. Matrice Identità

Si chiama matrice identità o matrice identica rispetto al prodotto di matrice una matrice In tale che:

Consideriamo l’insieme di tutte le matrici quadrate di ordine n.

AAIIA nn

Nota

Tale matrice deve essere di ordine n e costituisce l’elemento neutro rispetto alla moltiplicazione di matrici.

Essa è unica per l’insieme delle matrici quadrate di ordine n: è la matrice diagonale con tutti gli elementi della diagonale uguale a 1 (gli altri sono zero!). In simboli:

,....,ni,jijn 1

1..00

........

0..10

0..01

I

Simbolo di KROENECKER:

se 0

se 1

ji

jiij

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29

Matrice Identità (2)

AAIIA nn

Simbolo di KROENECKER:

se 0

se 1

ji

jiij

1n ij i, j ,....,n ITeo È matrice identità di ordine n

Note

Dim Sia = nB A I Allora:

1

b = n

ij ik kj ij

k

a a

B = A

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30

Matrice Inversa (1)

Per una matrice quadrata di ordine 2, determinare l’inversa significa, in generale, risolvere il seguente sistema di equazioni lineari:

AIA 2

dc

baA

2221

1211

xx

xx2I

Posto:

Abbiamo:

ddxcx

cdxcx

bbxax

abxax

2212

2111

2212

2111

2 AIA

1

0

0

1

22

21

12

11

x

x

x

x

10

012I

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31

Matrice Inversa (2)

Def. Matrice Inversa

Si chiama matrice inversa della matrice A la matrice A-1 che moltiplicata a destra o a sinistra per A da come risultato la matrice identità I :

nIAAA A11

Teorema

Condizione necessaria e sufficiente affinché esista la matrice A-1 inversa della matrice A è che det(A)≠0.

Def. Matrice Singolare

Una matrice A si dice SINGOLARE se det(A)=0.

Teorema

La matrice A-1 inversa della matrice non singolare A si trova facendo:

La trasposta della matrice dei complementi algebrici di A divisa per il determinante di A.

In pratica Partendo da A, matrice non singolare:

Si ottiene la matrice dei complementi algebrici

Si traspone tale matrice (ottenendo la matrice aggiunta di A)

Si divide per il determinante di A

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32

Matrice Inversa (3)

Es.

43

21 A 2)det( A

12

34*

AMatrice complementi algebrici

13

24* T

A Trasposizione

(matrice aggiunta)

divido per det(A)

2/12/3

12

)det(

*1

A

A A

t

Verifica:

210

01

2/12/3

12

43

21IA A

1

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33

Matrice Inversa (4)

Es.

201

120

101

A 221

11det2)det(

A

212

010

214* A

Matrice complementi algebrici

Trasposizione

divido per det(A)

Verifica:

Sviluppo il determinante sulla seconda colonna

202

111

204* t

A

101

2/12/12/1

102

)det(

*1

A

A A

t

3

1

100

010

001

101

2/12/12/1

102

201

120

101

IA A

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34

Conclusioni

Considerato l’insieme di tutte le matrici quadrate di ordine n, il sottoinsieme della matrici NON SINGOLARI indicato con GL(n) costituisce un gruppo rispetto alla moltiplicazione. Tale gruppo è non commutativo (non abeliano): sono soddisfatte le seguenti proprietà:

1) Interna:

2) Associativa:

3) Elemento neutro:

4) Elemento simmetrico:

)(, ),( nGLnGL BΑBΑ

( CB)(AC)BΑ

:)( AAIIΑI nnn nGL

nIΑΑΑΑΑΑ 111 :,

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35

Proprietà: Riassunto

Es. Trasposizione ed Operazioni Algebriche

ΑΑ

TT

222222 BABΑBBAABΑBΑ

simmetrica matrice TAΑS

icaemisimmetr matrice TAΑE 2

ESA

simmetrica matrice1 TAΑS

2222BΑBΑBBΑΑBΑBΑ

TTTBΑBΑ

TTkk ΑΑ

TTTΑBBΑ

Es. Inversione ed Operazioni Algebriche

Es. Non commutatività e Simmetria

ΑΑ 11 TT 11

ΑΑ 111 ΑBBΑ

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36

Sistemi Lineari e Matrici (1)

Sistema Lineare di m equazioni in n incognite in forma normale:

mnmnmm

nn

nn

bxaxaxa

bxaxaxa

bxaxaxa

....

.......................

....

....

)1(

2211

22222121

11212111

Forma matriciale:

mnmm

n

n

aaa

aaa

aaa

...

.........

...

...

21

22221

11211

A

nx

x

x

...

2

1

x

Matrice dei

coefficienti

Vettore

incognite

mb

b

b

...

2

1

b

Vettore

termini

noti

b Ax )1(In generale non si può dare l’algoritmo di soluzione ma solo indicare se ci sono o meno

soluzione al sistema (teorema di Rouché-Capelli) ; tuttavia se il numero delle equazioni è

uguale al numero delle incognite allora la matrice A dei coefficienti è quadrata e possiamo

argomentare quanto segue:

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37

Sistemi Lineari e Matrici (2)

bAx Se la matrice A non è singolare allora esiste inversa A-1 . Possiamo allora scrivere:

bAAxA

11

Abbiamo dunque che il vettore soluzione è unico e si ottiene moltiplicando la matrice

inversa di A per il vettore dei termini noti b.

bAx1

Es.

02

123

32

32

31

21

xx

xx

xx

120

203

012

A

3

2

1

x

x

x

x

0

1

3

b

11/311/411/6

11/411/211/3

11/211/111/41 A

11)det( A

2

1

1

bAx 1

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38

Matrici e Trasformazioni nel Piano (R2)

Le matrici possono essere utilizzate per rappresentare trasformazioni (funzioni particolari)

da R2 ad R2:

Simmetria rispetto asse y

10

01xS

Ad esempio

)','(),( che tale: 22 yxyxRRf

Simmetria rispetto asse x

dycx

byax

y

x

dc

ba

y

x

'

'

In particolare alcune funzione possono essere “rappresentate” da matrici: per far ciò

utilizziamo gli elementi di R2 come vettori:

dycxy

byaxx

'

'

10

01yS

Simmetria rispetto Bisettrice I-III

01

10xyS

Simmetria rispetto all’Origine

10

01OS

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39

Matrici e Trasformazioni nel Piano (R2)

Rotazione

cossin

sincos)R(

01

10

2

R

Dilatazione

0

0βα,D

OSR

10

01)(

2/32/1

2/12/3

6

R

2/12/3

2/32/1

3

R

2IR

10

01)0(

2/22/2

2/22/2

4

R

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40

Matrici e Trasformazioni nel Piano (R2)

Es. Rotazione di un vettore in coordinate polari

1sin

cos

V

)sin(

)cos(

sin

cos

cossin

sincos

)VR(

Es. Rotazione Inversa

)(R)R(

1

cossin

sincos

)cos()sin(

)sin()cos(

10

01

cossin

sincos

cossin

sincos

Es. Rotazioni Composte

cossin

sincos

cossin

sincos)R()R(

)R(

coscossinsinsincoscossin

cossinsincossinsincoscos

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41

Matrici e Trasformazioni nel Piano (R2)

Es. Potenze di Matrici )R()R( kk

36

2

RR

24

2

RR )(

2

2

RR

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42

Matrici: applicazioni 1/

Es. SUCCESSIONE ECOLOGICA: UN CASO SEMPLICE

Supponiamo di osservare un’area di 100 ettari di paludi, e che essa inizialmente sia completamente sommersa.

Ogni 10 anni, il 5% delle aree sommerse diventano sature, il 12% di quelle sature diventano asciutte, e tutti gli

ettari asciutti rimangono tali. Dopo 10 anni, quale porzione di terreno è sommerso, quale saturo, e quale asciutto?

E dopo 20 anni?

Soluzione: costruiamo innanzitutto il vettore che rappresenta la composizione frazionale dei 100 ettari di palude:

Usiamo come nomi delle classi: sommerso, saturo ma non sommerso, e asciutto. Se

• u = proporzione di palude sommersa o sott’acqua,

• s = proporzione di palude che non è sommersa ma è satura di umidità, e

• d = proporzione di palude asciutta,

la composizione del vettore v che rappresenta le paludi costiere sarà:

Se al tempo t, il 65% dei terreni sono sommersi, il 30% saturi, e il 5% asciutti, allora potremmo scrivere :

Dopo 10 anni, la proporzione di palude sommersa rimanente, u(10), è l’ammontare con cui siamo partiti, u(0) = 1

(100% dell’area sommersa) meno il 5% = 0.05 che diventa saturo, cioè

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43

Matrici: applicazioni 2/

Perciò, dopo 10 anni, 0.95, o 95% dei terreni sono sommersi. Siccome l’area totale

è di 100 ettari, dopo 10 anni 95 ettari sono sommersi.

Dopo 10 anni la proporzione di palude satura rimanente, s(10), è l’ammontare

iniziale, s(0) = 0 meno il 12% = 0.12 che diventa asciutto più il 5% della parte

sommersa che diventa satura, cioè

Quindi dopo 10 anni 0.05 o il 5% dei terreni è saturo

cioè 5 ettari.

Dopo 10 anni, la proporzione di suolo asciutto, d(10), è

l’ammontare iniziale, d(0) = 0 più il 12% di palude

satura che diventa asciutta. Ricordiamo che un’area

che diventa asciutta lo rimane, non c’è trasferimento di

suolo asciutto verso un altro tipo. Matematicamente

Scriviamo:

Di conseguenza, dopo 10 anni, non ci sono ancora

ettari asciutti nei nostri 100 ettari di terreno.

Quindi, dopo 10 anni, il vettore che rappresenta la

composizione dei 100 ettari di palude è:

Cosa succede dopo 20 anni? Conosciamo la composizione dopo 10 anni e sappiamo come l’area cambierà nei

prossimi 10 anni, quindi possiamo calcolare v(20):

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44

Matrici: applicazioni 3/

Quindi dopo 20 anni, il vettore che rappresenta la composizione dei 100 ettari di palude è

Scriviamo le equazioni sviluppate in una forma più generale, in funzione del tempo t misurato decine di anni:

Od anche, in

forma normale:

Formiamo ora una matrice con tre righe e tre colonne:

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45

Matrici: applicazioni 4/

Schematizziamo:

Diagramma di Flusso

Per esempio, l’elemento nella seconda riga, prima colonna, indica che il

5% della classe della prima colonna, u(t), si sposterà nella classe della

seconda riga, s(t + 1), al prossimo intervallo di tempo.

Matrice di trasferimento (descrive come il paesaggio passi da uno stato a un altro, le matrici di trasferimento

possono essere facilmente rappresentate come diagrammi di flusso,).

Notiamo che ogni colonna ha per somma 1 (colonna 1 il totale delle percentuali di u che si spostano, colonna 2

il totale delle percentuali di s che si spostano e colonna 3 il totale delle percentuali di d che si spostano.

Scriviamo infine la relazione sotto forma di equazione matriciale:

)()1( tt vTv

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46

Matrici: applicazioni 5/

Es. SUCCESSIONE ECOLOGICA: UN CASO PIU’ COMPLESSO

Supponiamo di voler modellizzare il cambiamento nel tempo della composizione di un’area di

paludi costiere. Dividiamo di nuovo le paludi in aree sommerse, sature e asciutte. Dopo numerosi

decenni di raccolta dei dati, sappiamo che, ogni 10 anni,

• 5% delle parti sommerse diventano sature,

• 1% delle parti sommerse diventano asciutte,

• 12% delle parti sature diventano asciutte,

• 2% delle parti sature diventano di nuovo sommerse

• 6% delle parti asciutte diventano di nuovo sature, e

• 1% delle parti asciutte diventano di nuovo sommerse.

Questo è sintetizzato nel seguente diagramma di flusso:

Trovate la matrice che descrive i cambiamenti nella composizione di queste paludi costiere ogni 10 anni.

Soluzione: prima di tutto notate che avendo tre classi avremo bisogno di costruire una matrice di trasferimento

3 × 3 (tre righe e tre colonne):

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47

Matrici: applicazioni 6/

Ricordiamo che aij è la proporzione della classe j che diventa o si sposta alla classe i. Indichiamo le aree

sommerse (u) come classe 1, le sature (s) come classe 2, e quelle asciutte (d) come classe 3. Usiamo questa

informazione per trovare i valori di aij:

• 5% delle parti sommerse ( j = 1) diventano sature (i = 2), cioè a21 = 0.05.

• 1% delle parti sommerse ( j = 1) diventano asciutte (i = 3), cioè a31 = 0.01.

• 12% delle parti sature ( j = 2) diventano asciutte (i = 3), cioè a32 = 0.12.

• 2% delle parti sature ( j = 2) diventano di nuovo sommerse (i = 1), cioè a12 = 0.02.

• 6% delle parti asciutte ( j = 3) diventano di nuovo sature (i = 2), cioè a23 = 0.06.

• 1% delle parti asciutte ( j = 3) diventano di nuovo sommerse (i = 1), cioè a13 = 0.01.

)(

)(

)(

)1(

)1(

)1(

333231

232221

131211

td

ts

tu

aaa

aaa

aaa

td

ts

tu

Così la nostra matrice diventa

Notiamo che abbiamo ancora bisogno di inserire i valori per a11, a22, e a33. Ricordando però che la somma di ogni

colonna deve dare 1 possiamo determinare i valori degli elementi lungo la diagonale . Per cui :

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48

Matrici: applicazioni 7/

Di conseguenza la matrice che descrive i cambiamenti nella composizione di

queste paludi costiere ogni 10 anni è

quindi

In forma di equazione matriciale :

)()1( tt vTv

93.012.001.0

06.086.005.0

01.002.094.0

T

Notiamo :

)0()0()1()2( 2vTvTTvTv )0()( vTv kk

Evoluzione temporale degli stati

Volendo tornare indietro nel tempo ?

)0()0()1()0()1( 11vvTTvTvTv )1()0( 1

vTv

)0()0()1()2( 2111vTvTTvTv )()0( kk

vTv

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49

Matrici: applicazioni 8/

93.012.001.0

06.086.005.0

01.002.094.0

T

7441.0)det( T

0851.11513.00035.0

0751.01747.10617.0

0099.00234.00652.11T

Notiamo che per le stesse ragione espresse precedentemente la somma per colonne da sempre 1

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50

Matrici di trasferimento: sintesi 1/

11 12 13

21 22 23

31 32 33

T T T

T T T

T T T

T

Vettore di stato S al tempo t

(unità arbitrarie) :

1

2

3

( )

( ) ( )

( )

s t

t s t

s t

S

Vettore di stato S al tempo t+1

(unità arbitrarie) :

1

2

3

( 1)

( 1) ( 1)

( 1)

s t

t s t

s t

S

La metrice di trasferimento “attua” un “mixing” lineare degli stati iniziali per determinare il valore degli stati finali:

ijT È la percentuale dello stato Sj che “si trasferisce” nello stato Si

: ( ) ( 1)ij j iT S t S t

In un’equazione: ( 1) ( )t t S T S

In più se: det( ) 0 T1 ( 1) ( )t t T S S Dagli stati finali posso

risalire agli stati iniziali.

Inoltre la somma delle percentuali deve essere normalizzata , per cui:

11 21 31 1T T T 12 22 32 1T T T 13 23 33 1T T T

Oppure:

3

1

1 1,2,3ij

i

T j