MATLAB-SIMULINK - Università di Cagliaripisano/SimulinkFeb_2011.pdf · Realizzazione di un modello...

MATLAB-SIMULINK

1

Simulink

Ing. Alessandro Pisano

[email protected]

2

IntroduzioneLibrerie e blocchi elementari (1) Realizzazione di un modello Esempio: costruzione e visualizzazione di una sinusoide Scelta del solutore Modifica delle impostazioni predefinite Utilizzo di variabili dal workspaceLibrerie e blocchi elementari (2) Esportazione dati verso il Workspace e su file esterno Esempio: filtro passa basso Integratore Esecuzione automatizzata di test Analisi spettrali (FFT) Filtraggio digitale Esempio: sistema termico ad 1 e 2 gradi di libertàUtilizzo di blocchi Trasnfer functionEsempio: Simulazione di un sistema di regolazione di temperaturaCreazione di sottosistemiMaskEsempio Distribuzione di temperatura nel rotore di una turbinaRealizzazione di sistemi MIMO LTIVariabili popup e checkboxEsempio: sistema di frenatura con ABSEmbedded Matlab FunctionToolbox avanzati. SimMechanics e SimDriveline

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Indice

Alessandro Pisano - [email protected]

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Finestra di avvio (v. 7.8.0)

Cartella corrente

Avvio SIMULINK

Editor M-files


4

Programmazione dei modelli di simulazione per via grafica


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Possibilità di suddividere il modello complessivo in sottosistemi paralleli o embricati (un sottosistema può essere importato direttamente in un modello di simulazione differente)

Possibilità di definire finestre di parametrizzazione (Masks)

Esportazione nel workspace Matlab dei risultati della simulazione

Esecuzione automatizzata di test

Toolbox avanzati: SimDrivelline e SimMechanics


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Avvio SIMULINK

Librerie principali

New


7

Libreria “Commonly used blocks”


8

Libreria “Sinks”

Libreria “Sources”


9

Pagina di lavoro

Realizzazione di un modello Simulink

10

Realizzazione di un modello Simulink

1. Importare nella pagina di lavoro i blocchi elementari Simulinknecessari, trascinandoli con il mouse dalla rispettiva libreria (drag-and-drop)

3. Collegare tra loro i blocchi Simulink tracciando le opportune linee di interconnessione in modo da realizzare le funzionalità desiderate

2. Parametrizzare i blocchi Simulink nelle rispettive finestre di parametrizzazione, alle quali si accede dalla pagina di lavoro facendo doppio click con il mouse sopra il blocco stesso.

3 fasi


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Esempio introduttivo: costruzione e visualizzazione di un segnale sinusoidale

Sono sufficienti due blocchi elementari: un blocco che generi il segnale desiderato, ed un blocco che ne permetta la visualizzazione.

Il primo blocco lo troveremo nella libreria “Sources” (blocco Sine Wave),Il secondo blocco (blocco Scope), si trova nella libreria “Sinks”.

I blocchi necessari vannoimportati nella pagina di lavoroUntitled trascinando con ilmouse (drag-and-drop) l’iconadel blocco all’interno dellapagina di lavoro. Il risultato ditale procedura è mostrato inFigura.

Salvare il modello e attribuire unnome al file con estensione .mdl


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Si deve ora collegare l’uscita del generatore di funzione “Sine Wave” conl’ingresso del blocco di visualizzazione “Scope”.

Per effettuare un collegamento tra due blocchi vi è una procedura rapida. Sideve selezionare il blocco di origine (cliccandovi sopra), e si devesuccessivamente selezionare il blocco di destinazione con il tasto ctrlpremuto.

Un collegamento correttamente eseguito vieneindicato come in Figura

In alternativa, si può portare la freccia del mouse nel punto di origine del collegamento e quindi “tracciarlo” tenendo premuto il tasto sinistro del mouse, portandosi fino al punto di destinazione.


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Devono ora essere impostati i parametri di ampiezza, frequenza e sfasamentoche definiscono la particolare sinusoide che si desidera generare. A tal fine ènecessario fare doppio click sul blocco “Sine Wave”, e come risultato si apreuna finestra di dialogo all’interno della quale vanno impostati i parametri difunzionamento.

Ampiezza

Bias

Frequenza

Sfasamento

Tasto OKAlessandro Pisano - [email protected]

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Si deve ora impostare la durata (cioè l’intervallo temporale) della simulazione.

Cliccando sul tasto RUN vieneeseguita la simulazione.Dopo che è stata eseguita lasimulazione si può visualizzare ilsegnale generato cliccando sul bloccoScope.

La durata si può impostare direttamente dai menù della pagina di lavoro

Durata(valore di default 10.0)

Tasto RUN


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Ora si aumenti la frequenza della sinusoide da 1 rad/s a 2 rad/s

Si ripeta la simulazione. Si ri-aggiorni il grafico della finestra grafica Scope

cliccando sul pulsante nella barra dei menu della finestra Scope

Grafico “spigoloso”

Si deve andare a modificare il “metododi integrazione”, che definisce il passo didiscretizzazione temporale che vieneimpiegato nella simulazione delmodello.

16

Il metodo di integrazione (Solver) si imposta selezionando il menu della pagina dilavoro Simulation->Configuration Parameters


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La scelta del solutore con il quale di risolvono numericamente le equazionidifferenziali del modello è ovviamente irrilevante per il semplice esempio inesame che non coinvolge alcun legame differenziale.

Il motivo della spigolosità del grafico sta nel fatto che il metodo proposto di default(ode45 a passo variabile) ha “scelto” dei passi di discretizzazione temporalepiuttosto elevati, e sono stati quindi generati “pochi campioni” del segnale

In modelli di simulazione complessi, la scelta del solutore numerico (Runge-Kutta,Dormand-Prince, Eulero,…) e delle relative caratteristiche (passo fisso/variabile,etc) va fatta con criterio.


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Runge-Kutta e Dormand-Prince sono degli ottimi solutori “general-purpose”.

Per simulazioni “multi-domain” con la copresenza di costanti di tempo moltodifferenti tra loro sono consigliati i metodi a passo variabile dedicati ai problemiStiff (es. ode15s/stiff).

Per simulazioni con elementi discontinui (non-smooth dynamics) i metodi a passovariabile talvolta forniscono risposte non veritiere. Il solutore Eulero a passo fisso,con un passo sufficientemente piccolo, è ritenuto affidabile per sistemi non-smooth.

Si scelga il solutore ode1 (Eulero) a passo fisso, e se ne imposti il Fixed-Step size a0.001


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Una scelta ottimale per il solutore bilancia, per il problema in esame, la precisione

della soluzione e la mole di calcoli richiesta, che influenza il tempo di simulazione.

Per identificare un solutore adeguato serve esperienza. Il passo di campionamento

deve essere commisurato alla rapidità di variazione dei segnali in gioco. Quando si

sceglie un solutore a passo variabile si può pensare di introdurre un limite massimo

per il passo adattativo.

Quando il modello non contiene stati continui (non vi sono cioe blocchi “dinamici”

come Integratori, blocchi Transfer Fcn, etc.) Simulink usa il solutore “discrete”

anche se viene specificato un solutore differente,.

Considerazioni aggiuntive


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Modifica delle impostazione predefinite per i files Simulink all’apertura


21

Modificare le Solver Options come in figura


22

Modificare le Data Import/Export Options come in figura


23

Si ripeta la simulazione e si riaggiorni il grafico

La sinusoide viene però mostrata a partiredall’istante t=5.Sono stati “persi” i campioni precedenti.

Il motivo è che, al fine di non saturare rapidamente la memoria del programma,vige in Simulink una impostazione di default in base alla quale nei blocchi di tipoScope vengono visualizzati e mantenuti in memoria solo gli ultimi 5000 campionidel segnale.

Il grafico della sinusoide è ora correttamenterappresentato.In base alla scelta fatta per il passo fisso delsolutore, vengono ora generati, e interpolati dalgrafico, 1000 campioni per ogni secondo dievoluzione del segnale.


24

Per modificare tale impostazione per uno specificoblocco si deve cliccare sul pulsante Parameters nellafinestra del blocco Scope

La finestra “Scope Parameters” ha due sottomenu: “General” e “Data History”.

Dal sottomenu Data History si deve disselezionare la check-box “Limit data points to last ..”


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Ora ripetendo la simulazione e riaggiornando il grafico la sinusoide vienevisualizzata per intero

Per visualizzare un segnale costituito dalla somma di tre sinusoidi importiamonella pagina di lavoro due nuove istanze del blocco elementare Sine Wave, edimportiamo anche un blocco che rappresenti un nodo sommatore (blocco Sum

dalla libreria dei Commonly Used Blocks)


26

Dopo aver cancellato la linea di collegamentopreesistente tra il primo blocco Sine Wave edil blocco Scope, si realizzi la connessioneriportata in Figura.

Il blocco Sum deve esserepreliminarmente parametrizzatospecificando il numero di segnali iningresso, ed il segno con il qualeconcorrono alla sommatoria, permezzo di una stringa (es. +++ +)

Scegliamo +++L’aspetto del blocco diventa


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Ora si possono assegnare i parametri di ampiezza, frequenza, bias e sfasamento, delletre sinusoidi, rieseguire la simulazione e visualizzare il grafico prodotto dal bloccoScope .

I parametri di un modello possono essere espressi utilizzando delle variabili (es.A1,f1,b1, …) alle quali si può assegnare un valore con un file script Matlab daeseguirsi prima della esecuzione della simulazione.

Tutte le variabili definite nel workspace di Matlab sono disponibili e accessibili daparte dei blocchi Simulink.

Il modello può essere in questomodo riparametrizzato con estremafacilità.

A1=1;

f1=1;

b1=5;

phi1=0;

A2=4;

f2=pi;

b2=2;

phi2=pi/2;

A3=1;

f3=4*pi;

b3=2;

phi3=0;


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Libreria “Continuous”

Libreria “Discontinuities”

Libreria “Discrete”

29

Libreria “Lookup Tables”

Libreria “Math operations”

30

Libreria “Model Verification”

Libreria “Signal routing”


31

Il blocco To Workspace riceve in ingresso il segnale(scalare o vettoriale) che salva nel workspace. Ilblocco si interconnette agli altri come in Figura.Per tracciare un collegamento a partire da uncollegamento preesistente si deve portare il mousenel punto di diramazione, premere il tasto destro, epoi allontanarsi e tracciare il collegamento tenendoil tasto destro premuto, fino a giungere al punto didestinazione del collegamento

Vediamo come esportare in Matlab i dati prodotti eseguendo i modelliSimulink.

Serve il blocco To Workspace dalla libreria Sinks


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Il blocco To Workspace va parametrizzato specificando ilnome della variabile che verrà creata nel workspace diMatlab (scegliere y) ed il formato di salvataggio (èopportuno modificare il formato di default Structure eselezionare invece Array) .Per ottimizzare l’impiego della memoria del programma sipuò anche impostare un fattore intero di decimazione(es. con decimation = 10 i dati vengono salvati nelworkspace con uno step temporale 10 volte superiore,quindi si avranno meno elementi nel vettore y).Si mantenga il valore unitario di default.

Il vettore dei tempi viene salvato didefault sotto forma di array con ilnome tout.Bisogna però disabilitare unaimpostazione che limita a 1000 ilnumero massimo di elementi pertout. Si deve andare ne Simulation-

>Configuration Parameters, e nel

menu Data Import/Exportdisselezionare la check-box Limit

Data Points to Last


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Lanciando la simulazione vengono creati nel workspace di Matlab gli array y e

tout.

Verificarlo digitando il comando whos

Si può visualizzare in Matlab il grafico del segnale con il comando

plot(tout,y),grid


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Se si desidera che i dati siano non solo esportatinel workspace di Matlab ma anche salvati inmodo permanente su un file, si può generare unfile dati nel formato binario .mat con il blocco To

File, dalla libreria Sinks

I files con estensione mat sono detti mat-files.

Esportazione su file dei dati prodotti da modelli Simulink.

Il blocco deve essere parametrizzato specificandonella apposita finestra di configurazione:

-Il nome (comprensivo dell’estensione) del mat-fileche verrà creato (es. y_test1.mat).

-Il nome che verrà assegnato alla variabilequando il mat-file sarà successivamente

aperto in Matlab (scegliere y)E’ possibile impostare una decimazione dei dati.Se si sceglie una “Decimation” > 1 è bene generareanche un vettore dei tempi “sincrono” con lavariabile sottocampionata


35

Lanciare la simulazione, e verificare come nella cartella di lavoro sia ora presente ilfile y_test1.mat

Possono essere esportati segnali vettoriali. Per mezzo del blocco Mux (libreriaCommonly Used Blocks) si possono “aggregare” i tre segnali sinusoidali in un unicosegnale vettoriale con tre componenti.


36

La struttura interna dei mat-files prevede la memorizzazione dei dati in una strutturarettangolare

...

321

2322212

1312111

1321

Nmmmm

N

N

NN

tytytyty

tytytyty

tytytyty

ttttt

I mat-files possono essere aperti successivamente in Matlab con il comando load.

>> load y_test1

Viene generata nel workspace di Matlab una variabile matriciale avente il nomespecificato nella finestra di configurazione del blocco To File e la struttura rettangolareriportata sopra.


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Filtro passabasso

Consideriamo un filtro passa-basso RC

+Vin Vout

tVtVtVRC inoutout Equazione differenziale

Equazione differenziale esplicitata rispettoalla derivata di ordine più elevato tVtV

RCtV outinout

1

Posso realizzare uno schema di simulazione utilizzando un blocco Integrator, un bloccoSum e un blocco Gain, oltre che ovviamente un generatore di segnale per costruire latensione di ingresso ed un blocco Scope per visualizzare la tensione di uscita.


38

Modello Simulink.Grazie al blocco Mux è possibile visualizzare i segnali Vin e Vout nel medesimo bloccoScope. Inseriamo anche un blocco “To Workspace” (nome variabile vout, tipo array)

R=1e4; % 10k OhmC=1e-5; % 10 pF

Assegniamo un valore ai parametriscrivendo un semplice script

La costante di tempo del filtro vale RC=0.1 s

tVtVRC

tV outinout 1


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Finestra di parametrizzazione del Signal Generator.4 tipologie di segnali disponibili (sinusoidale, onda quadra,dente di sega, random)

Il filtro può essere implementato in forma più compattamediante un blocco Transfer Function

Si devono specificare icoefficienti dei polinomi anumeratore edenominatore della FdTutilizzando la notazioneMatlab per larappresentazione deipolinomi

1

1

sRCsV

sVsF

in

out

]1 [ 1 RCsRC

Rappresentazioni equivalenti

tVtVtVRC inoutout


40

Integratore

Nella finestra di parametrizzazione dell’integratore il parametro piu importante da settare èla condizione iniziale (Initial Condition), che di default viene impostata pari a zero

Possono essere introdotte saturazioni inferiorie/o superiori sulle uscite dell’integratore.

Se l’integratore riceve in ingresso un segnalevettoriale, genera in uscita un vettore di paridimensione che contiene l’integrale delle diversecomponenti del vettore di ingresso

Può essere anche applicato un reset sull’uscitadel’integratore. Il reset riporta l’uscitadell’integratore al valore della condizione iniziale


41

Integratore con ingresso vettoriale

Condizioni iniziali diverse per le uscite


42

Integratore con saturazione superiore

43

% VERIFICA CHE IL MODELLO SIA APERTO, E IN CASO CONTRARIO LO APRE

if isempty(find_system('Name','filtropassabasso'))

open_system('filtropassabasso')

end

R=1e4; % 10k Ohm

C=1e-5; % 10 pF

sim('filtropassabasso');

y1=vout;

figure(1)

plot(tout,vout)

R=1e4; % 10k Ohm

C=2e-5; % 20 pF

sim('filtropassabasso');

y2=vout;

figure(2)

plot(tout,vout)

figure(3)

plot(tout,y1,tout,y2)

Esecuzione automatica di test

Il seguente codice lancia in sequenza due simulazioni con valori diversi dei parametri R eC, memorizza la Vout nelle due prove nei vettori y1 ed y2, e traccia dei grafici delle variesoluzioni in tre finestre grafiche distinte

IMP. Utilizzo della funzione sim(‘model’)


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Risposte in frequenza e analisi spettrali

Impariamo ora a visualizzare la risposta in frequenza di filtri lineari, e a visualizzare lospettro di frequenza di un segnale campionato.

Con i valori consigliati per R e C, la pulsazione di taglio è pari a 1/RC = 10 rad/sec ft=1.6 Hz

1

1

sRCsV

sVsF

in

out1.0RC

Per il filtro considerato

omega_t=1/(R*C);

disp(['La frequenza di taglio è: ', num2str(omega_t/(2*pi)),‘ rad/sec']);

R=input('Inserire il valore di R [Ohm] (valore consigliato: R=1e4): \n');

C=input('Inserire il valore di C [Farad] (valore consigliato C=1e-5): \n');

Le seguenti istruzioni richiedono all’utente l’inserimento da tastiera dei parametri R e C

45

Posso definire in Matlab un oggetto di tipo “Transfer Function”

e visualizzarne quindi la suarisposta in frequenza (piùprecisamente: i diagrammisemilogaritmici del modulo indB e della fase della Funzionedi Risposta Armonica F(jw) infunzione della pulsazione w)con il comando Bode

bode(F),grid;

Cambiamo il valore dellacostante di tempo RC, eritracciamo i diagrammi

46

Ora riferiamoci allo schema modificato

Il generatore di segnali è sostituito da un blocco Fcn (libreria User-Defined Functions) che ricevein ingresso il segnale prodotto dal blocco Clock (libreria Sources) , cioè il tempo corrente.Il blocco To Workspace scrive la variabile out, di tipo array.

Il blocco Fcn puo implementare una qualunque funzione statica, e si parametrizzacompilando, nella apposita finestra di configurazione del blocco, una casella di testo inlinguaggio Matlab, con la variabile standard “u” che denota la variabile in ingresso al blocco

Il codice A1*sin(omega1*u)+A2*sin(omega2*u) definisce un segnale somma di duesinusoidi con ampiezza e pulsazione parametrizzate dai coefficienti A1, omega1, A2, omega2.

Il blocco Fcn consente di implementare facilmente segnali con una espressione analiticaanche complessa, che potrebbero richiedere un elevato numero di blocchi elementari.


47

A1=1;

omega1=1.6*(2*pi); %rad/s (pari alla pulsazione di taglio)

A2=0;

omega2=0;

Assegniamo un valore alle costanti.

Vogliamo visualizzare l’ingresso e l’uscita del filtro, ed i relativi spettri di potenza

figure(1)

plot(tout,out(:,1),'k',tout,out(:,2),'k--'),grid,

title('Segnale di ingresso V_{in} e segnale di uscita V_{out}'),

xlabel('Tempo [s]'),

legend('V_{in}','V_{out}')

axis([0 10 -2 2])

ZOOM

48

function spettro(t,x,n)

% calcolo del vettore delle frequenze

f=0:1/t(length(t)):1/t(2);

f=f';

% calcolo della Fast Fourier Transform

Y=fft(x);

% calcolo dello densità spettrale di potenza normalizzato

% che permette di ottenere un'ampiezza unitaria dello spettro

% per una sinusoide di ampiezza unitaria

P=2*abs(Y)/length(Y);

% creazione grafico nella finestra n-esima

figure(n),

plot(f(1:ceil(length(f)/2)),P(1:ceil(length(P)/2)))

xlabel('Frequenza [Hz]')

ylabel('X(j2 \pi f)')

title('Spettro di potenza normalizzato')

Si salvi nella cartella di lavoro il seguente codice nel file spettro.m

La funzione spettro riceve come argomenti, nell’ordine: il vettore dei tempi, il vettore del

segnale, ed il numero della finestra nella quale tracciare il diagramma


49

Ora si può utilizzare la funzione spettro() per produrre i grafici desiderati

>>spettro(tout,out(:,1),1), axis([0 3 0 1.1])

>>spettro(tout,out(:,2),2), axis([0 3 0 1.1])

Vin Vout


50

Per ottenere uno spettro maggiormente fedele a quello, ideale, a larghezza nulla, si deveaumentare il tempo di simulazione.

Tsim=100

Tsim=10

Vin Vout

Vin Vout

51

function [freq data]=spettro2(t,x)

% calcolo del vettore delle frequenze

f=0:1/t(length(t)):1/t(2);

f=f';

% calcolo della Fast Fourier Transform

Y=fft(x);

% calcolo dello densità spettrale di potenza normalizzato

% che permette di ottenere un'ampiezza unitaria dello spettro

% per una sinusoide di ampiezza unitaria

P=2*abs(Y)/length(Y);

freq=f(1:ceil(length(f)/2));

data=P(1:ceil(length(P)/2));

Si salvi nella cartella di lavoro il seguente codice nel file spettro2.m

Rispetto alla funzione spettro, la funzione spettro2 non produce il grafico, ma restituisce

all’esterno i due vettori che consentono di produrre il grafico successivamente (ad esempio,all’interno di una struttura subpplot)


52

[F,X]=spettro2(tout,out(:,1));

figure(4),

subplot(2,1,1),

plot(tout,out(:,1)),title('Segnale di ingresso'), xlabel(‘Tempo[s]')

grid,axis([0 10 -1.5 1.5])

subplot(2,1,2)

plot(F,X),grid




axis([0 5 0 1.1])


figure(5),

subplot(2,1,1),

plot(tout,out(:,2)),title('Segnale di uscita'), xlabel(‘Tempo[s]')

grid,axis([0 10 -1.5 1.5])

subplot(2,1,2)

plot(F,X),grid




axis([0 5 0 1.1])

Analizziamo il seguente codice


53

L’output del precedente codice è il seguente

Concludiamo questo esempio puntualizzando come il modello possa essere resocompletamente parametrizzabile e gestibile da script avendo cura di specificare le grandezzecome la durata della simulazione, le condizioni iniziali degli integratori, il passo didiscretizzazione, etc, per mezzo di costanti simboliche.

Definiamo la variabile Tsim


54


if isempty(find_system('Name','filtropassabasso2'))

open_system('filtropassabasso2')

end

A1=1;

omega1=1.6*(2*pi);

A2=0;

omega2=0;

Tsim=20;

sim('filtropassabasso2');


figure(6),

subplot(4,1,1),

plot(tout,out(:,1)),title('Segnale di ingresso'), xlabel('Tempo[s]')

grid,axis([0 10 -1.5 1.5])

subplot(4,1,2)

plot(F,X),grid




axis([0 5 0 1.1])


subplot(4,1,3),

plot(tout,out(:,2)),title('Segnale di uscita'), xlabel('Tempo[s]')

grid,axis([0 10 -1.5 1.5])

subplot(4,1,4)

plot(F,X),grid




axis([0 5 0 1.1])

Analizziamo il seguente codice

55

A1=1;

omega1=3*(2*pi);

A2=0;

omega2=0;

Tsim=20;



figure(7),

subplot(4,1,1),


grid,axis([0 10 -1.5 1.5])

subplot(4,1,2)

plot(F,X),grid




axis([0 5 0 1.1])


subplot(4,1,3),


grid,axis([0 10 -1.5 1.5])

subplot(4,1,4)

plot(F,X),grid




axis([0 5 0 1.1])

Analizziamo il seguente codice (cont.)


56



57


if isempty(find_system('Name','filtropassabasso2'))

open_system('filtropassabasso2')

end

R=1e4; % 10k Ohm

C=1e-5; % 10 pF

A1=1;

omega1=1.6*(2*pi);

A2=2;

omega2=10*(2*pi);

Tsim=20;



figure(8),

subplot(4,1,1),


grid,axis([0 10 -4 4])

subplot(4,1,2)

plot(F,X),grid




axis([0 15 0 2.1])


subplot(4,1,3),


grid,axis([0 10 -4 4])

subplot(4,1,4)

plot(F,X),grid




axis([0 15 0 2.1])

2 armoniche distinte

58



59

Filtraggio digitale

Molto importante nei sistemi di acquisizione dati

m

j

jkj

n

j

jkF

jkF ybyay

01

kkF

kF ybyay 011 1n 0mEs.

Un filtro digitale del primo ordine rappresenta una implementazione discreta del filtro passa-basso studiato nell’esempio precedente

/

1sT

ea

/

0 1 sTeb

= costante di tempo del filtro

Ts = passo di campionamento della sequenza di input

60

Schema SIMULINK

Blocco UNIT DELAY(libreria discrete)

A1=1;

omega1=2*(2*pi);

Tc=0.01;

tau=0.1;

a1=exp(-Tc/tau)

b0=1-exp(-Tc/tau)

Per ruotare di 90° un blocco lo si deveselezionare e si devono premeresuccessivamente i tasti CTRL + R


61

A1=1;

omega1=2*(2*pi);

Tc=0.01;

tau=0.1;

a1=exp(-Tc/tau)

b0=1-exp(-Tc/tau)

62

clear all

close all

clc

Tc=0.01;

tau=0.1;

a1=exp(-Tc/tau);a2=0;

b0=1-exp(-Tc/tau);b1=0;

ordine=2;

t=0:0.01:20;

y=sin(t);

rum=0.1*rand(1,length(t));

y_rum=y+rum;

figure(1)

plot(t,y);

grid,title('segnale senza rumore')

figure(2)

plot(t,rum);

grid,title('rumore')

figure(3)

plot(t,y_rum);

grid,title('segnale rumoroso')

yf=zeros(1,length(t));

for i=(ordine+1):length(t)

yf(i)=a1*yf(i-1)+a2*yf(i-2)+b0*y_rum(i)+b1*y_rum(i-1)+;

end

figure(4)

plot(t,yf);

grid,title('segnale FILTRATO ')

Implementazione del filtraggio digitale in Matlab


63

Ora simuliamo un sistema termico

Consideriamo un sistema termico rappresentato da un volume V circondato da unaparete e contenente un fluido

Sia Te(t) [K] la temperatura esterna alla parete, Tf(t) [K] la temperatura del fluido interno al volume, e q(t) [J/s] una sorgente di calore interna al volume. Sia Cf [J/K] la capacita termica del fluido, e sia Kie (J/K s) il coefficiente di scambio termico tra interno ed esterno.

tT f tTe tq

tTtTKtqtTC feieff


64

Per tradurre una equazione differenziale in termini di una combinazione tra blocchi Simulinksi deve esplicitare l’equazione differenziale rispetto alle derivate di ordine piu elevato.

tTKtTKtqC

tTC

KtT

C

Ktq

CtT fieeie

f

i

f

iee

f

ie

f

f 11

Con un blocco integratore (Integrator) e con dei blocchi “Constant” e “Gain” si può realizzareil seguente modello di simulazione che ipotizza dei valori costanti per q e Te

Si noti come all’ingresso dell’integratore, punto cui corrisponde il segnale dTf/dt, venga

“costruita” elemento per elemento la formula tTtTKtqC

tT feie

f

f 1


65

Per eseguire la simulazione bisogna assegnare un valore ai parametri Cf [J/K] e Kie [J/Ks],

alla condizione iniziale Tf(0), ed al valore costante dei segnali Te e q.

La condizione iniziale dell’integratore si specifica nella relativa finestra di dialogo

Tf_zero=298.16; %[K], pari a 25°C

q=2000; % J/s q=2kW

Te=323.16; %[K], pari a 50°C;

Cf=2e3; % J/K per 1 kg di sostanza

Kie=1e2; % J / K s , per 1 m^2 di superficie di scambio

Script di parametrizzazione


66

Si desidera visualizzare Tf sia in gradi Kelvin che in gradi centigradi in 2 finestre Scope separate.La conversione da °K a °C può essere realizzata con il blocco Fcn (libreria User Defined Functions

Si desidera anche modificare il profilo di q(t)

100t

q

q(t)

Si può utilizzare il blocco Step, libreria Sources.

Il blocco Fcn consente di realizzare una funzione statica tra un parametro di ingresso (scalare o vettoriale) e un parametro di uscita scalare.Si deve scrivere l’espressione della funzione, denotando con u (parola riservata) la variabile in ingresso al blocco


67

Si realizzi lo schema seguente

Grafico della temperatura Tf in gradi centigradi


68

Realizziamo lo stesso modello in maniera più compatta, utilizzando il blocco “Transfer Function” (libreria Continuous).

sTKsQsTKsTsC eiefieff sTKsQsTKsC eiefief

tTKtqKsC

sT eie

ief

f

1

Notazione impropria, ma chiara

ief KsC

1

q(t)

+

tTK eie

+

Schema Simulink compattoSchema a blocchi

tTKtTKtqtTtTKtqtTC iieeieieieff

sTKsQKsC

sT eie

ief

f

1

Trasformiamo secondo Laplace l’equazione differenziale

tT f

69

Parametrizzazione del blocco Transfer Function

Si devono specificare i coefficienti dei polinomi anumeratore e denominatore della FdT utilizzando lanotazione Matlab per la rappresentazione dei polinomi(un vettore che contiene i coefficienti dl polinomio inordine decrescente rispetto alle potenze di s)

ief KsC

sF

1

Il blocco deve rappresentare la Funz. di Trasf.

] [ iefief KCKsC

tutTKtTC fieff

tTKtqtu eie ] [ ief KC

]1[ tu tT f

Si può “aggirare” la trasformazione secondo Laplace ragionando sui coefficienti della equazione differenziali

70

][ 01 bb tu tT

tubtubtTatTatTa 01012

012 aaa

FdT del secondo ordine

71

tubtubtyatyatya 01012


72

Far variare nel tempo la temperatura esterna ed osservare le corrispondenti fluttuazionidella temperatura interna

Nell’ipotesi che q(t) possa assumere solo due valori (il valore nullo q=0, ed un valorecostante q=Q* ) realizzare un sistema di controllo ON-OFF per regolare ad un valoredesiderato la temperatura del fluido interno al volume

Confrontare i risultati ottenuti impiegando come controllore un rele’ con e senza isteresi

Obbiettivi aggiuntivi


73

Schema SIMULINK FILE: termico1dof_feedback.mdl

Tf_zero=298;.16 %[K], pari a 25°C

q=2000; % J/s

Te=323;.16 %[K], pari a 50°C;

Cf=2e3; % J/K

Kie=1e2; % J / K s

74

Sistema a ciclo aperto


75

Ampiezzaisteresi = 4°C

Ampiezzaisteresi = 2°C

76

Complichiamo il modello

Trattiamo in maniera distinta gli accumuli termici nel volume e nella parte di contorno. Definiamo quindi un modello più complesso che mi fornisca anche l’evoluzione temporale della temperatura della parete Tp(t).

Cf [J/K] è la capacita termica del gas interno al volumeCp [J/K] è la capacita termica del materiale che costituisce la pareteKip [J/K s] è il coefficiente di scambio termico tra l’interno del volume e la parete. Kpe [J/K s] è il coefficiente di scambio termico tra la parete e l’esterno.

tT f tTe tq

tTptemperatura della parete

tTtTKtqtTC fpipff

tTtTKtTtTKtTC fpippepepp

77

Esplicitiamo il sistema di equazioni rispetto alle derivate di ordine più elevato

tTtTC

Ktq

CtT fp

f

ip

f

f 1

Importiamo nella pagina di lavoro un ulteriore blocco integratore la cui uscita sarà la temperatura Tp della parete.

Utilizziamo anche un visualizzatore a Display (libreria Sinks)Lo schema può essere realizzato come segue

tTtTC

KtTtT

C

KtT fp

p

ip

pe

p

pe

p

78

Script di configurazione dei parametri

Tf_zero=25+273.15; %[K], pari a 25°C

Tp_zero=10+273.15; %[K], pari a 10°C

Cf=2e3; % J/K

Cp=10e3; % J/K

Kip=1e2; % J/K s

Kpe=1e2; % J/K s

q=2000; % J/s

Te=20+273.15 %[K], pari a 20°C;

Risultati della simulazione

79

Si desidera acquisire il segnale q(t) da un file esterno.

File “dati_problema.dat”

Il segnale q(t) sia disponibile nella forma di un file dati di tipo ASCII

La prima riga riporta i tempi e la seconda riporta il valore del segnale

Bisogna creare un mat-file (lo chiamiamo dati_mat.mat) che contenga tali informazioni.

%clear all

load dati_problema.dat

M=dati_problema;

tempi=M(1,:); %non utilizzato

segnale=M(2,:); %non utilizzato

save dati_mat M %si puo’ fare direttamente >> save dati_mat dati_problema

Tf_zero=298.16; %[K], pari a 25°C

Tp_zero=10+273.16; %[K], pari a 10°C

Cf=2e3; % J/K

Cp=10e3; % J/K

Kip=1e2; % J/K s

Kpe=1e2; % J/K s

q=2000; % J/s

Te=20+273.16; %[K], pari a 20°C;

80

Per importare il segnale si può utilizzare il blocco Simulink “From File”, dalla libreria Sources

Schema Simulink

In accordo con i dati acquisiti, la durata della simulazione deve essere posta pari a 2.


81

Creazione di sottosistemi

Si vuole rendere più compatta la rappresentazione del modello attraverso la definizione di un macroblocco come in figura

tT f

tTe

tq

tTp

tTp

Simulink consente di definire dei macroblocchi (sottosistemi) che rappresentano una particolare interconnessione tra altri blocchi, alla quale si accede esplorando il contenuto del sottosistema.


82

Creazione di sottosistemi

Si dispongano i blocchi del modello come in figura, in modo che sia possibile tracciare un rettangolo nel quale entrano i segnali di input del sottosistema e dal quale escono i segnali di output.

83

Con il mouse si deve “tracciare” nella pagina di lavoro un rettangolo come quello nella slide precedente. Poi, dal menu Edit della pagina di lavoro Simulink, si deve selezionare il comando Create Subsystem

Ridisponendo i blocchi dello schema si puo realizzare la seguente configurazione

Cliccando sul blocco Subsystem si accede al suo contenuto.Si notino i blocchi “In1”,

“In2” , “Out1” ed “Out2”


84

Rinominando i blocchi “In1”, “In2”,

“Out1” ed “Out2” si può fare inmodo che nelle porte di input edi Output del Subsystemcompaia il nome della grandezzaassociata

La parametrizzazione del modello è attualmente effettuata per mezzo del file di scriptprecedentemente illustrato, che assegna una valore alle costanti simboliche usate nel modelloSimulink definendo opportune variabili omologhe nel workspace di Matlab. Tale m-file discript deve sempre accompagnare il file Simulink (che ha estensione .mdl) e deve esserelanciato prima di quest’ultimo

Può essere conveniente disporre di una maschera di parametrizzazione interna al modello Simulink.

In questo modo tutte le informazioni associate al modello sono contenute in un unico file (il file .mdl) e la riparametrizzazione del modello avviene in maniera più semplice, senza dovere ogni volta rilanciare il file script con estensione .m


85

Creazione di MASK

Bisogna portarsi con il mouse sul Subsystem“Camera di Combustione”, premere il tasto destro del mouse, e selezionare MaskSubsystem dal menu che compare


86

Dopo avere selezionato Mask Subsystem si deve nuovamente portarsi con il mouse sul Subsystem “Camera di Combustione”, premere il tasto destro del mouse, e selezionare stavolta Edit Mask dal menu che compare.

Finestra di configurazione della mask

Andare nel sottomenù:Parameters


87

Nel sottomenù Parameters completare le voci “Dialog Parameters” come in Figura, creando una riga per ognuno dei 6 parametri da settare .

Pulsante “Add”

Per ciascun parametro , oltre al nome della relativa variabile (Cf, Cp, …) si può riportare una frase descrittiva che comparirà nella maschera di configurazione, che riportiamo nella slide seguente.

Aggiunge una riga.


88

Maschera di parametrizzazione del Subsystem

Viene visualizzata facendo doppio click sul blocco Simulink del Sottosistema

E’ possibile inserire manualmente il valore dei parametri nelle opportune caselle di testo. I valori inseriti vengono memorizzati al salvataggio del file, e riproposti alla sua riapertura.

%clear all


M=dati_problema;



save dati_mat M

q=2000; % J/s

Te=20+273.16; %[K], pari a 20°C;

Script semplificato

Per accedere al contenuto del blocco “mascherato” premere il tasto destro del mouse e poi selezionare “Look Under Mask”

FILE:

termico_2dof_matfile_mask01.mdl

89

Si inserisca una ulteriore mask che consenta l’impostazione manuale di q e Te

FILE:

termico_2dof_matfile_mask02.mdl

%clear all


M=dati_problema;



save dati_mat M

Script


90

Esercizio

92

X0=0.1;Y0=0.1;

A=1;B=1;C=5;D=1;

93

Sistemi termici spazialmente distribuiti

Variabile di interesse: la temperatura

Barra metallica filiforme di lunghezza L = 50 cm

x


0x Lx

txT ,

Ipotesi : barra uniforme, termicamente isolata, in assenza di sorgenti di calore

txTk

x

txTk

t

txTCp ,

,, 2

2

2

Equazione del calore monodimensionale

94

pC

k

è il coefficiente di diffusione [m2/s]

pC è la capacita termica a pressione costante per unita di massa [J/kg K]

è la conduttività termica [J/s m K ; W / mK ]k

è la densità [kg /m3 ]

txTk

x

txTk

t

txTCp ,

,, 2

2

2

2

2 ,,

x

txT

t

txT

Valori per il ferro puro (rif. Schaum Trasmissione del calore, Tabella B-1 pag. 306)

J/kgK 435pc C) 100 (a W/mK 63 kkg/m 7856

C) 100 (a /m 108.1 25 s

PDE

95

Analisi in regime stazionario

0

2

2

x

xT

x

0x Lx

h h h h h 5/Lh

4 “NODI SOLUZIONE”

1xx 2xx 3xx 4xx

La soluzione è calcolabile in forma chiusa, ma scegliamo di risolvere l’equazionenumericamente perché questo modo di ragionare di consentirà di risolvere agevolmenteanche i problemi distribuiti in regime transitorio , che vedremo in seguito.

xTtxT ,

Siano noti e mantenuti costanti i valori di temperatura agli estremi 00 TT LTTL

xL

TTTxT L

0

0Soluzione in forma chiusa

96

2

012

2

2 2

1

h

TTTxT

xxx

Definiamo il vettore che contiene le temperature incognite nei nodi soluzione.

TTTTT 4,321 .,,T

2

123

2

2 2

2

h

TTTxT

xxx

2

234

2

2 2

3

h

TTTxT

xxx

2

34

2

2 2

4

h

TTTxT

x

L

xx

Approssimiamo l’equazione in un intorno dei nodi soluzione, e mettiamo a sistema

02 012 TTT

02 123 TTT

02 234 TTT

02 34 TTTL

97

Isoliamo alla sinistra dell’uguale le temperature incognite, ordinandole

0212 TTT

02 321 TTT

02 432 TTT

LTTT 43 2

bAT

2100

1210

0121

0012

A

bAT1

4

3

2

1

T

T

T

T

Sistema di equazioni lineari

LT

T

0

0

0

b

98

T0=10; %temperatura nel punto x=0TL=50; %temperatura nel punto x=LL=0.5; %Lunghezza della sbarraN=4; %numero di nodi di discretizzazioneh=L/(N+1);

A=[-2 1 0 0;1 -2 1 0; 0 1 -2 1; 0 0 1 -2];

b=[-T0;0;0;-TL];

disp('il vettore incognito è:')T=inv(A)*b

disp('Vettore completo:')T_tot=[T0 T' TL]'

x=0:h:L;T_teorica=T0+(TL-T0)/L*x

plot(x,T_tot,'*',x,T_teorica,'r'),gridxlabel('Ascissa lungo la sbarra [m]')ylabel('Temperatura [°C]')

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.510

15

20

25

30

35

40

45

50

Ascissa lungo la sbarra [m]

Tem

pera

tura

[°C

]

99

Modificare il codice per includere un numeroarbitrario N di nodi soluzione.

100

T0=10; %temperatura nel punto x=0TL=50; %temperatura nel punto x=LL=0.5; %Lunghezza della sbarraN=10; %numero di nodi di discretizzazioneh=L/(N+1);

A=zeros(N,N);for i=1:N,

A(i,i)=-2;endfor j=1:N-1,

A(j,j+1)=1;A(j+1,j)=1;

end

b=zeros(N,1);b(1)=-T0;b(N)=-TL;

disp('il vettore incognito è:')T=inv(A)*b%ISTRUZIONE ALTERNATIVAT=A\b;

disp('Vettore completo:')T_tot=[T0 T' TL]'

x=0:h:L;T_teorica=T0+(TL-T0)/L*x

plot(x,T_tot,'*',x,T_teorica,'r'),gridxlabel('Ascissa lungo la sbarra [m]')ylabel('Temperatura [°C]')

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.510

15

20

25

30

35

40

45

50

Ascissa lungo la sbarra [m]

Tem

pera

tura

[°C

]

101

La soluzione in regime permanente è ancora calcolabile in forma chiusa

E’ noto e prefissato il valore di temperatura T0 all’estremo sinistro, mentre latemperatura all’estremo destro non è imposta.

Ora studiamo un problema differente

Poiché la sbarra è termicamente isolata si avrà che il flusso termico nei bordodestro è pari a zero

0

Lx

xTx

0TxT Soluzione in forma chiusa

2

43

34

2

2

4

4

h

TT

h

h

TT

h

xTx

xTx

xTx

xxLx

xx

0

102

0212 TTT

02 321 TTT

02 432 TTT

043 TT

Modificare il codice Matlab

bAT

1100

1210

0121

0012

A

0

0

0

0T

b

103

021 TT

02 321 TTT

02 432 TTT

043 TT

Ora analizziamo il caso in cui anche la temperatura all’estremo sinistro non èimposta.

Il sistema lineare non puo essere risolto numericamente percheammette infinite soluzioni

.costxTSoluzione in forma chiusa

Seguendo il medesimo ragionamento adottato in precedenza si ottiene il sistema:

bAT

1100

1210

0121

0011

A

0

0

0

0

b

104

Cosa succede se le due temperature agli estremi, ancorche’ impostedall’esterno, siano variabili nel tempo ?.

L’analisi in regime stazionario perde di significato !

2

2 ,,

x

txT

t

txT

L’equazione del calore deve ora essere considerata nella sua interezza.

Il ragionamento svolto in precedenza va opportunamente modificato.

x

0x Lx

h h h h h 5/Lh

1xx 2xx 3xx 4xx

La discretizzazione del dominio è sempre valida.

105

TtTtTtTtTt 4321 ,,,T

tT0 tTL

Definiamo il vettore che contiene le temperature incognite nei nodi soluzione, che adifferenza dal caso stazionario non sono più delle costanti, ma sono delle funzioni del tempo.

Condizioni al contorno NOTE

2

2 ,,

x

txT

t

txT

tTtT 0,0

tTtLT L,Questa tipologia di condizioni al contorno sono dette di “DIRICHLET”.

txTtT ii , 4,3,2,1i5

Lihixi

106

ixx

i

x

txT

t

txT

2

2 ,,

2

012

2

2 2,

1

h

tTtTtTtxT

xxx

2

123

2

2 2,

2

h

tTtTtTtxT

xxx

2

234

2

2 2,

3

h

tTtTtTtxT

xxx

2

34

2

2 2,

4

h

tTtTtTtxT

x

L

xx

ixx

ix

txTtT

2

2 , 4,3,2,1i

Le derivate seconde vengono approssimate mediante differenze finite, in maniera analoga aquanto fatto in precedenza ma coinvolgendo funzioni del tempo anzichè costanti

107

ixx

ix

txTtT

2

2 , 4,3,2,1i

tTtTtTh

tT 01221 2

tTtTtTh

tT 12322 2

tTtTtTh

tT 23423 2

tTtTtTh

tT L 3424 2

Sostituendo le approssimazioni alle differenze finite si ottiene un sistema di equazionidifferenziali ordinarie (ODE), di ordine pari al numero di nodi soluzioni (4 nel caso in esame).

108

tTh

tTtTh

tT 022121 2

tTtTtTh

tT 32122 2

tTtTtTh

tT 43223 2

tTh

tTtTh

tT L24324 2

Risulta conveniente separare alla destra dell’uguale le quantità incognite dalle quantità noteT0(t) e TL(t)

TN tTtTt 10 , u

ttt BuATT


2100

1210

0121

0012

2h

A

1 0

0 0

0 0

0 1

2h

B

109

Devono essere note le temperature nei nodi soluzione all’istante iniziale t=0, cioè il vettorecostante

Ora sia il coefficiente di diffusione che lo step h di discretizzazione spaziale influenzanoesplicitamente la soluzione. L’analisi in regime stazionario prevedeva la scomparsa di talicoefficienti dalle relazioni risolutive

TTTTT 0,0,0,00 4321T

Va rimarcato che trascorso un transitorio sufficientemente lungo i profili di temperatura nondipendono più dalle condizioni iniziali, e tendono ad una soluzione di “regime dinamico” lecui caratteristiche sono indipendenti dalle condizioni iniziali

110

clear allclc

L=0.5;N=20;

rho=7856;Cp=435;k=63;alfa=k/(rho*Cp);

h=L/(N+1);



A(j,j+1)=1;A(j+1,j)=1;

end

B=zeros(N,2);B(1,1)=1;B(N,2)=1;

Ac=(alfa/h^2)*A;Bc=(alfa/h^2)*B;

Tcamp=0.1;Tfinale=100;

x=linspace(h,L-h,N);t=0:Tcamp:Tfinale;numsample=length(t);

Tinit=10*ones(1,N);

T_soluz=zeros(numsample,N);T_dot=zeros(numsample,1);

T_soluz(1,:)=Tinit;

T0=30+5*sin(0.1*t)';TL=30*ones(numsample,1);

for i=1:numsample-1Tdot=Ac*T_soluz(i,:)'+Bc*[T0(i);TL(i)];T_soluz(i+1,:)=T_soluz(i,:)+Tcamp*Tdot';

end

x_ext=linspace(0,L,N+2);T_soluz_ext=[T0 T_soluz TL];

[X,Y] = meshgrid(x_ext,t);

h=mesh(X,Y,T_soluz_ext);title('Distribuzione temperatura lungo la sbarra.');xlabel('Coordinata spaziale x [m] ','FontName','times','FontSize',14);ylabel('Tempo [s]','FontName','times','FontSize',14);zlabel('T(x,t)','FontName','times','FontSize',14);set(gca,'FontSize',14,'FontName','Times');

Eulero esplicito

Cond. al contorno

Grafica

111

Profilo spaziotemporale della soluzione

112

clear allclc

L=0.5;N=5;

rho=7856;Cp=435;k=63;

alfa=k/(rho*Cp);

h=L/(N+1);



A(j,j+1)=1;A(j+1,j)=1;

end

B=zeros(N,2);B(1,1)=1;B(N,2)=1;




Tinit=30*ones(1,N);


T_soluz(1,:)=Tinit;



end

x_ext=linspace(0,L,N+2);T_soluz_ext=[T0 T_soluz TL];



114

2

2 ,,

x

txT

t

txT

tTtT 0,0

0,

tL

x

TQuesta tipologia di condizione al contorno viene detta di “NEUMANN”.

Ora applichiamo una condizione al contorno che non “fissi” il valore della temperaturanell’estremo destro, ma imponga l’isolamento termico dell’estremo destro x=L inanalogia con quanto fatto nella analisi a regime.

Si ricava il modello discretizzato

h

tTtTtL

x

T NL

,

115

TtTt 0 , 0u

ttt BuATT


1100

1210

0121

0012

2h

A

1 0

0 0

0 0

0 1

2h

B

tTt 0u

ttt BuATT


1100

1210

0121

0012

2h

A

0

0

0

1

2h

B

116

clear allclc

L=0.5;N=20;

rho=7856;Cp=435;k=63;alfa=k/(rho*Cp);

h=L/(N+1);

A=zeros(N,N);

for i=1:N,A(i,i)=-2;

endfor j=1:N-1,

A(j,j+1)=1;A(j+1,j)=1;

endA(N,N)=-1;

B=zeros(N,2);B(1,1)=1;B(N,2)=1;




Tinit=10*ones(1,N);


T_soluz(1,:)=Tinit;



end

x_ext=linspace(0,L,N+2);T_soluz_ext=[T0 T_soluz T_soluz(:,end)];



117

k=63

118

k=630

119

Sistema LTI (Linear Time Invariant)MIMO (multi-input-multi-output)

tT tT

tAT

tBu tu

ttt BuATT

Uso di Matrix Gain Integratore saturato


120

Un processo termico 2D a parametri distribuiti

Cilindro cavo.

Parti grigie in acciaio.

Parte bianca: volume con vapore ad alta temperatura.

Parte nera: piccolo volume interno

Es. Sezione di una turbina a vapore

statore

rotorerCoordinata radiale

maxr


121

Es. Sezione di una turbina a vapore


122

Ipotesi: simmetria angolare della distribuzione di temperatura

trT ,

Si desidera calcolare la distribuzione di temperatura nel rotore (in uno dei suoi raggi)

maxmin rrr

Mediante misure acquisite in una turbina in esercizio, si suppone nota la temperatura nella “parte bianca” (regione del vapore in alta temperatura)

Problema complesso (anche nella formulazione semplificata sotto esame) perche il modello matematico è una equazione alle derivate parziali (sistema a parametri distribuiti, sistema infinito-dimensionale)

In una modellazione più dettagliata, si potrebbe essere interessati a valutare la distribuzione di temperatura nella superficie delle pale di rotore, onde valutare gli stress termici sui materiali.


123

Eq. di diffusione (Equazione del calore) monodimensionale in coord. cilindriche , con unica variabile spaziale la coordinata cilindrica radiale r

pC

kK

è il coefficiente di diffusione [m2/s]

pC è la capacita termica a pressione costante per unita di massa [J/kg K]

è la conduttività termica [J/K s m]k

è la densità [g /m3 ]

124

minrr

maxrr

hirri min

1..., ,2 ,1 ,0 Ni

1

minmax

N

rrh

trTtT ii ,

r =0


125

Approssimazione delle derivate spaziali mediante differenze finite

h

tTtTtT

r

iii

1

2

11

2

2 2

h

tTtTtTtT

r

iiii

Sistema di ODE

tTtTr

htT

r

h

h

K

tTh

tThrh

tThrh

K

h

tTtTtT

h

tTtT

rKtT

ii

i

i

i

ii

i

i

i

iiiii

i

i

112

12212

2

111

21

11211

21

Ni ..., ,2 ,1


126

Sistema di ODE

tTtT

r

htT

r

h

h

KtT 01

1

2

1

21 21

tTtT

r

htT

r

h

h

KtT 12

2

3

2

22 21

tTtT

r

htT

r

h

h

KtT NN

N

N

N

N 11221

…

TN tTtTt 10 , u

TNN tTTTtTtTt ,...,,, 2,321 T

tT0 tTN 1 Boundary conditions ttt BuATT


127

N

N

r

h

r

h

r

h

r

h

r

h

r

h

r

h

h

K

210000

1000

0100

00210

000121

000012

1

3

22

11

2

A

ttt BuATT

Nr

h

h

K

10

00

00

01

2

B

TNN TTTTT 0,...,,0,00 12,321 T Condizioni iniziali


128

Modello Simulink

Due diverse modalità di specificare i due segnali di input.

Linee spesse che rappresentano segnali multidimensionali

Contenuto del Subsystem “Modello termico Rotore”

FILES

TurbinaVapore01.mdl

T_centrorotore.mat

T_vapor.mat

Esportazione dati verso il Workspace


129

Parametrizzazione del modello

Utilizziamo una mask


130

Costruzione della maschera di parametrizzazione


131

Calcolo delle Matrici A e B


132

Matrici A e B (per n = 6)

n=40;

r_min=0.05;

r_max=0.392;

rho=7900;

C=0.45;

k=73;

T_in=80;

h=(r_max-r_min)/n;

K=k/(rho*C*1e3)/h^2;

A=zeros(n,n);B=zeros(n,2);

for i=1:n,

A(i,i)=-(2+h/(r_min+i*h));

end

for j=1:n-1,

A(j,j+1)=1+h/(r_min+j*h);

A(j+1,j)=1;

end

B(1,1)=1;B(n,2)=1+h/r_max;

A=K*A; B=K*B;

Codice copiabileed seguibile

133

Documentation - descrizione della MASK


134

Profili temporali degli elementi del vettore T Uscita del blocco Scope “T”

Analisi dei risultati

Impostiamo preliminarmente due valori costanti per le temperature al contorno

CtTtTtT

N

300

30,0u

135

Profilo di temperatura al nodo 40


136

Con dei profili differenti per le boundary conditions, l’evoluzione del profilo di temperatura èdifferente.

Ora processiamo in Matlab i risultati della simulazione, creando dei grafici 3D.

r_min=0.05;

r_max=0.392;

n=40;

[X,Y] = meshgrid(linspace(r_min,r_max,n),tout);

h=mesh(X,Y,Trot)

title('Distribuzione temperatura rotore.')

xlabel('Coordinata radiale r [m]

','FontName','times','FontSize',14)

ylabel('Tempo [s]','FontName','times','FontSize',14)

zlabel('T(r,t)','FontName','times','FontSize',14)

set(gca,'FontSize',14,'FontName','Times')


137

Invertiamo la direzione dell’asse dei tempi

138

Completiamo questo esempio mostrando l’impiego, nella Mask, di variabili di configurazionetipo “popup” o “checkbox” e un loro possibile impiego.

Si apportino le seguenti modifiche alla lista dei Parameters

139

Si apportino le seguenti modifiche alle istruzioni di Initialization

140

Si apportino le seguenti modifiche allo schema Simulink

Ora si esegua il modello con diverse scelte per le variabili pop up e checkbox, e si analizzino irisultati.

FILES:

TurbinaVapore02.mdl

T_centrorotore.mat

T_vapor.mat


141

Anti-lock bracking system (ABS)

Simulazione di un sistema di frenatura con ABS Modello quarto di veicolo

psrf FRTI = velocità ruota

I = inerzia ruota= forza da interazione

pneumatico/stradapsF

= coppia frenantefTpsFvm

4

smg

Fps 4

rRv

s/

1

s = scorrimento

Rr = raggio ruota

smg

RTI rf 4

smg

vm

44

Caratteristica -s nota in forma tabellare

Sistema dinamico NON LINEARE, del secondo ordine


142

Modello SIMULINK smg

RTI rf 4

smg

vm

44

clear all

g = 9.81;

v0 = 40; % velocita iniziale (m/s)

Rr = 0.6; % raggio

m = 200; % massa

J = 5; % inerzia

% Curva mu-slip

slip = 0:.05:1.0;

mu = [0 .4 .8 .97 1.0 .98 .96 .94 .92 .9 .88 .855 .83 .81 .79 .77 .75 .73 .72 .71 .7];

Blocco Fcn per il calcolo dello scorrimento

Lookup Table

Stop a veicolo fermo

143

Lookup Table (libreria Lookup Tables)

La caratteristica viene disegnata sullamaschera del blocco

Blocco Stop Simulation(libreria Sinks )

Interrompe la simulazione quando il veicolo si ferma

Integratori saturati


144

Dettaglio sulla parte che interrompe la simulazione


145

Soluzione semplificata per interrompere la simulazione quando

il veicolo si ferma

Integratori saturati


146

Ora modelliamo l’ABS

La dinamica del sistema di frenatura idraulico è approssimata da un filtro del primo ordine(dinamica cassetti distributori) e da un integratore saturato (pressurizzazione).Il controllo è un relè (controllo bang-bang). L’apposito blocco Relay si trova nella libreriaDiscontinuities

Kf = 3; %guadagno

PBmax = 1500; % saturazione

TB = 0.01; %costante di tempo


147

Modello complessivo

E’ stato aggiunto un blocco “Manual Switch” (libreria Signal Routing) per poter simulare unafrenatura non controllata (Tf=-1000).Eseguiamo una simulazione, e visualizziamo i risultati nei blocchi Scope

FILES:

ABS_OpenClosedLoop.mdl

ABS_OpenClosedLoop_DATI.m


148

Frenatura non controllata (ABS disattivato)

Il pneumatico si blocca dopo 1.5 secondi circa, mentre la marcia del veicolocontinua per altri 4 secondi.

Lo scorrimento diventa unitario quando il pneumatico si blocca

149

Frenatura con ABS attivato

Il pneumatico ora si blocca solo nell’ultima parte della frenata.

Il bloccaggio del pneumatico avviene quando ormai la velocita di marciadel veicolo è prossima a zero, la marcia del veicolo si arresta infatti dopopochi decimi di secondo.

Lo scorrimento viene regolato attorno al set point desiderato 0.2.diventando unitario solo a frenata ormai conclusa.

Nella prossima slide si confrontano due diversi test del sistema ABS conuna diversa velocita di marcia iniziale V0.


150

Con ABS

v0 = 40 m/s 145 km/h

Con ABS

v0 = 70 m/s 250 km/h

151

Embedded Matlab Function block

Consideriamo nuovamente il sistematermico del secondo ordine

tTtTC

Ktq

CtT fp

f

ip

f

f 1

tTtTC

KtTtT

C

KtT fp

p

ip

pe

p

pe

p

tT f tTe tq

tTptemperatura della parete


152

FILE: termico_2dof_matfile_mask01_EMF.mdl

Realizziamo il modello SIMULINK in maniera differente, generando i segnali q e Te con deiblocchi Signal Builder (libreria Sources) …..


153

….. e realizzando le equazioni per mezzo di un blocco Embeddbed MATLAB Function (EMF)

Integratore“vettoriale”

(bidimensionale)

y = usciteu = ingressip = parametri

154

Il blocco Camera di Combustione conserva la medesima maschera dellaimplementazione precedente


155

Codice del blocco EMF

function ydot = fcn(y,u,p)

Cf=p(1);

Cp=p(2);

Kip=p(3);

Kpe=p(4);

q=u(1);

Te=u(2);

Tf=y(1);

Tp=y(2);

Tfdot=q/Cf+(Kip/Cf)*(Tp-Tf);

Tpdot=(Kpe/Cp)*(Te-Tp)-(Kip/Cp)*(Tp-Tf);

ydot=[Tfdot Tpdot];Variabili globali non concesseall’interno di blocchi EMF.

I parametri della mask non sonodirettamente accessibili da partedella EMF

Codice analogo a quellodi un Function file


156

Parametrizzazione dei Signal Builder

Target


157

Zoom on T

Spostiamo verso sinistraquesta linea(dopppio click su di essa)


158

Spostiamo verso destraquesta linea con modalitàanaloghe

Spostiamo verso l’alto questalinea con modalita analoghe


159

Profilo completo q(t) Profilo più complicato per q(t)

Proflo piu complicato per T(t)


160

Non serve piu un file script in abbinamento

Risultati della simulazione


161

SimMechanics

Modellazione di sistemi meccanici multi-body

Toolbox avanzati


162

Modello VMRL 3D


163

Vista differente


164

Variare il controllo sul FUEL (Subsystem Control)

Osservare la velocità dell’albero motore in RPM, e correlarne le variazioni ai corrispondenti incrementi e decrementi del fuel rate


165

Toolbox avanzati

SimDriveline

Componenti e modelliarea automotive

Animazione 3D


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