Matematochetta lugo 20150617_06_def_parte-2

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Dalla Matematochetta gioco dell’aggiungere e del togliere in preparazione all’addizione e alla sottrazione alla Matematòca gioco verso il numero sconosciuto Parte Seconda Giancarlo Navarra Università di Modena e Reggio Emilia Matematica in progress - Lugo (RA) - 17 giugno 2015

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Dalla Matematochetta gioco dell’aggiungere e del togliere

in preparazione all’addizione e alla sottrazione

alla Matematòca gioco verso il numero sconosciuto

Parte Seconda

Giancarlo Navarra

Università di Modena e Reggio Emilia

Matematica in progress - Lugo (RA) - 17 giugno 2015

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La Matematòca

Matematica in progress - Lugo (RA) - 17 giugno 2015, 2

La Matematòca

Verso il numero sconosciuto Argomentare

Pluralità di rappresentazioni

Tradurre

Il numero sconosciuto

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Matematica in progress - Lugo (RA) - 17 giugno 2015, 3

Togli 1

al punteggio

del dado

Moltiplica

per 4

il punteggio

del dado

Raddoppia

il punteggio

del dado

e togli 2

Aumenta

di 2

il punteggio

del dado

Fai due volte

il punteggio del dado

Sottrai 0

al punteggio del dado

Le tessere ‘aritmetiche’

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Matematica in progress - Lugo (RA) - 17 giugno 2015, 4

Start

Il campo di gioco con le tessere aritmetiche

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Matematica in progress - Lugo (RA) - 17 giugno 2015, 5

d-1

d×4

d×2-2 d+2

d×2 d-0

Le tessere aritmetiche

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Matematica in progress - Lugo (RA) - 17 giugno 2015, 6

d-1 d×2-2 d+2

Togli 1

al punteggio

del dado

Raddoppia

il punteggio

del dado

e togli 2

Aumenta

di 2

il punteggio

del dado

Dal linguaggio naturale al linguaggio algebrico

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Matematica in progress - Lugo (RA) - 17 giugno 2015, 7

Start

Il campo di gioco con le tessere aritmetiche e algebriche

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Matematica in progress - Lugo (RA) - 17 giugno 2015, 8

(d-0)x4 dx2+3 dx0+5

Sottrai 0

al punteggio

del dado

e moltiplica

per 4

Raddoppia

il punteggio

del dado

e aggiungi 3

Moltiplica

per 0

il punteggio

del dado e aggiungi 5

Dal linguaggio algebrico al linguaggio naturale

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Matematica in progress - Lugo (RA) - 17 giugno 2015, 9

Raddoppia

il punteggio del dado

Moltiplica per 2

il punteggio del dado

Fai due volte

il punteggio del dado

d×2

=

=

Doppio del

Punteggio

del dado Definizioni procedurali

Definizioni relazionali

Parafrasi

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Dalla Matematoca alla Matematochetta

Matematica in progress - Lugo (RA) - 17 giugno 2015, 10

Nella Matematochetta si mantiene

l’obiettivo di costruire le competenze

chiave della Matematoca:

• produrre/interpretare parafrasi, cioè

rappresentazioni dello stesso oggetto

matematico o dello stesso processo

facenti riferimento a codici linguistici

differenti;

• favorire la traduzione fra linguaggi

differenti;

• incontrare l’embrione dell’incognita.

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Dalla Matematoca alla Matematochetta

Matematica in progress - Lugo (RA) - 17 giugno 2015, 11

Moltiplica per 3

la differenza

fra 6 e il

punteggio

del dado

(6-d)×3

Altri codici

linguistici

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La Matematochetta

Matematica in progress - Lugo (RA) - 17 giugno 2015, 12

Questioni di carattere matematico

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Aspetti matematici che determinano il numero delle tessere

Matematica in progress - Lugo (RA) - 17 giugno 2015, 13

Vediamo come sono congegnate le

tessere dal punto di vista matematico per

capire:

• quante sono quelle con la fatina,

• quante sono quelle con la streghetta,

• quali calcoli possiamo proporre agli

alunni di scuola dell’infanzia (questo

vincolo si può modificare),

• come deve essere fatto il dado.

Ma prima di tutto facciamo delle scelte.

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Aspetti matematici che determinano il numero delle tessere

Matematica in progress - Lugo (RA) - 17 giugno 2015, 14

• La somma fra il numero delle perle della

principessa e quello delle perle che porta

la fatina è minore di 10;

• quindi il minuendo nelle tessere con la

streghetta è minore di 10;

• introduciamo lo zero, quindi il punteggio

massimo del dado è 5: si sostituisce la

faccia del 6 con una vuota.

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Aspetti matematici che determinano il numero delle tessere

Matematica in progress - Lugo (RA) - 17 giugno 2015, 15

Le tessere con la fatina

Lanciando il dado le uscite possibili sono:

0 1 2 3 4 5

(rappresentano il secondo addendo)

Poiché si è deciso che la somma in ogni

tessera deve essere minore di 10

Il primo addendo

(il numero di perle della principessa)

deve essere compreso fra 0 e 4.

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Aspetti matematici che determinano il numero delle tessere

Matematica in progress - Lugo (RA) - 17 giugno 2015, 16

La somma deve essere minore di 10

0+0 0+1 0+2 0+3 0+4 0+5 sì

1+0 1+1 1+2 1+3 1+4 1+5 sì

2+0 2+1 2+2 2+3 2+4 2+5 sì

3+0 3+1 3+2 3+3 3+4 3+5 sì

4+0 4+1 4+2 4+3 4+4 4+5 sì

5+0 5+1 5+2 5+3 5+4 5+5 no

Quindi…

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Le tessere con la fatina

Matematica in progress - Lugo (RA) - 17 giugno 2015, 17

… possiamo realizzare solo cinque tessere

con la fatina

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Aspetti matematici che determinano il numero delle tessere

Matematica in progress - Lugo (RA) - 17 giugno 2015, 18

Le tessere con la streghetta

Lanciando il dado le uscite possibili sono:

0 1 2 3 4 5

(rappresentano il sottraendo)

Poiché si è deciso che il minuendo in ogni

tessera deve essere minore di 10

Il minuendo

(il numero di perle della principessa)

deve essere compreso fra 5 e 9.

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Aspetti matematici che determinano il numero delle tessere

Matematica in progress - Lugo (RA) - 17 giugno 2015, 19

Il minuendo deve essere minore di 10

0-0 0-1 0-2 0-3 0-4 0-5 no

1-0 1-1 1-2 1-3 1-4 1-5 no

2-0 2-1 2-2 2-3 2-4 2-5 no

3-0 3-1 3-2 3-3 3-4 3-5 no

4-0 4-1 4-2 4-3 4-4 4-5 no

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Aspetti matematici che determinano il numero delle tessere

Matematica in progress - Lugo (RA) - 17 giugno 2015, 20

5-0 5-1 5-2 5-3 5-4 5-5 sì

6-0 6-1 6-2 6-3 6-4 6-5 sì

7-0 7-1 7-2 7-3 7-4 7-5 sì

8-0 8-1 8-2 8-3 8-4 8-5 sì

9-0 9-1 9-2 9-3 9-4 9-5 sì

Il minuendo è compreso fra 5 e 9

Il minuendo deve essere minore di 10

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Le tessere con la streghetta

Matematica in progress - Lugo (RA) - 17 giugno 2015, 21

… possiamo realizzare solo cinque tessere

con la streghetta

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Matematica in progress - Lugo (RA) - 17 giugno 2015, 22

Si può arricchire il gioco con una nuova

generazione di schede nelle quali sia

sconosciuto non il numero delle perle che

regala la fatina o porta via la streghetta,

ma quello delle perle della principessa.

Come saranno le nuove tessere?

Nuovi orizzonti

p-5 p+2

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Le tessere con l’incognita a sinistra

Matematica in progress - Lugo (RA) - 17 giugno 2015, 23

Le tessere con la fatina sono sempre cinque

Non ci sono tessere con la streghetta

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La Matematochetta

Matematica in progress - Lugo (RA) - 17 giugno 2015, 24

Considerazioni generali

di carattere linguistico

Page 25: Matematochetta lugo 20150617_06_def_parte-2

I materiali del gioco

Matematica in progress - Lugo (RA) - 17 giugno 2015, 25

STA

RT

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L’organizzazione del gioco

Matematica in progress - Lugo (RA) - 17 giugno 2015, 26

STA

RT

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L’argomentazione: episodio 1

Matematica in progress - Lugo (RA) - 17 giugno 2015, 27

La principessa ha sei

perle magiche… per

vedere quante perle

porta via la streghetta

lancio il dado… è

venuto due… allora

porta via due perle…

sei meno due fa

quattro… faccio quattro passi…

Page 28: Matematochetta lugo 20150617_06_def_parte-2

L’argomentazione: episodio 2

Matematica in progress - Lugo (RA) - 17 giugno 2015, 28

Adesso cerco un disegno come

quello della tessera… Prendo

questo perché ci sono sei gnomi e

stacco questi due qui… e così

rimangono quattro gnomi…

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L’argomentazione: episodio 3

Matematica in progress - Lugo (RA) - 17 giugno 2015, 29

Metto insieme sei bambini, che è

come il numero delle perle della

principessa… poi faccio come la

streghetta e porto via due bambini e

ne restano quattro come le perle…

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I disegni

Matematica in progress - Lugo (RA) - 17 giugno 2015, 30

Rappresentare

Il mio disegno

vuol dire che… Non capisco il

suo disegno…

Argomentare

Page 31: Matematochetta lugo 20150617_06_def_parte-2

Parafrasare

Matematica in progress - Lugo (RA) - 17 giugno 2015, 31

Nel castello ci sono

tre perle e la fatina

ne porta cinque…

Analogia strutturale

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Parafrasare

Matematica in progress - Lugo (RA) - 17 giugno 2015, 32

Nel castello ci sono

quattro perle e la

fatina ne porta tre…

Parafrasare il contenuto di una tessera

porta ad esplorare le relazioni fra gli

elementi del problema (sviluppo del

pensiero relazionale) e a scoprire

l’analogia strutturale con altre

rappresentazioni (sviluppo del pensiero

analogico).

Viene favorita in questo modo l’evoluzione

del balbettio logico-linguistico.

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Parafrasare

Matematica in progress - Lugo (RA) - 17 giugno 2015, 33

Nel castello ci sono

quattro perle e la

fatina ne porta tre…

Il controllo di rappresentazioni diverse della

stessa situazione e la traduzione fra

rappresentazioni facenti riferimento a

linguaggi diversi (naturale, iconico,

gestuale, grafico, ecc), costantemente

supportati dall’argomentazione,

favoriscono l’interiorizzazione dei concetti.

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Parafrasare

Matematica in progress - Lugo (RA) - 17 giugno 2015, 34

Nel castello ci sono

quattro perle e la

fatina ne porta tre…

La ricchezza e la coerenza del linguaggio

usato dipendono non solo dalle

competenze espressive dell’alunno, ma dal

fatto che l’argomentazione sia un valore

condiviso all’interno di un contratto

didattico basato più sui processi verbali

che sui prodotti verbali.

due esempi

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Contratto didattico: episodio 1

Matematica in progress - Lugo (RA) - 17 giugno 2015, 35

Tiziano lancia il dado e fa

otto passi senza parlare.

Tiziano si è limitato al prodotto del suo

pensiero, opaco rispetto alle ragioni

che lo hanno determinato.

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Contratto didattico: episodio 2

Matematica in progress - Lugo (RA) - 17 giugno 2015, 36

Anna lancia il dado e dice “La

principessa ha cinque perle

magiche, la fatina le regala tre perle

e in tutto sono otto” poi fa otto passi.

Anna ha verbalizzato il suo processo

mentale, la cui trasparenza può aiutare

compagni meno competenti, e quindi

favorisce una costruzione sociale della

conoscenza.

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Quarta fase

Matematica in progress - Lugo (RA) - 17 giugno 2015, 37

Situazioni problematiche

nell’ambiente della Matematochetta Argomentare

Pluralità di rappresentazioni

Tradurre

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La Matematochetta: Situazioni problematiche

Le situazioni problematiche che seguono

sono di tre tipi:

A. Riflessione su una tessera

B. Confronto fra due tessere

C. Analisi di un episodio

In linea di massima le situazioni sono esposte

in ordine crescente di difficoltà.

Matematica in progress - Lugo (RA) - 17 giugno 2015, 38

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Matematica in progress - Lugo (RA) - 17 giugno 2015, 39

Quale punteggio del dado vorresti ottenere per

fare più passi?

Argomenta la risposta.

La discussione che segue è tratta da una

Trascrizione relativa ad una prima primaria.

A1 – Riflessione su una tessera (Tavarado, Trieste)

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Matematica in progress - Lugo (RA) - 17 giugno 2015, 40

A1 – Riflessione su una tessera (Tavarado, Trieste)

I: Vuoi descrivere la tessera, Aleksandar?

Aleksandar: La principessa aveva cinque

perline e la fatina le porta zero.

I: Non sappiamo che cosa porta la fatina

perché non c’è ancora il punteggio del

dado. Pensa: hai la pedina su questa

tessera… stai per lanciare e dici: “Mi

piacerebbe tanto che uscisse il numero…”

Ajnishan: Io vorrei che uscisse il 3.

I: Tu vorresti che uscisse il 3. Perché?

Ajnishan: Perché così diventano un pochino

di più perline.

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Matematica in progress - Lugo (RA) - 17 giugno 2015, 41

A1 – Riflessione su una tessera (Tavarado, Trieste)

Julia: Io vorrei che uscisse il numero 6.

I: Il numero 6… ma ce l’abbiamo il 6?

Riccardo: No, il nostro dado è speciale.

Milos: Ha fino a 5!

Mathilde: Io vorrei che uscisse il 5, così puoi

fare 10 passi.

Sofia: Io vorrei come Mathilde.

I: C’è qualcuno che ha un’altra idea?

Saif: Io vorrei il 3, così facevo 8 passi.

I: Ed è meglio fare 8 passi o 10 passi?

Vari: 10!

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Matematica in progress - Lugo (RA) - 17 giugno 2015, 42

Quale punteggio del dado vorresti ottenere per

fare più passi?

Argomenta la risposta.

A1 – Riflessione su una tessera (Tavarado, Trieste)

I: Chissà, forse Saif preferisce farne 8. Saif, tu

cosa dici?

Saif: Tutte e due preferisco.

I: No, “preferisco” vuol dire “mi piace di

più”. Giocando, che cosa ti piace di più?

Saif: (dopo lungo silenzio e alcuni

scuotimenti del capo) 10.

I: 10 perché?

Saif: Perché potrò andare in avanti e fare 10

passi. E vinciamo.

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Matematica in progress - Lugo (RA) - 17 giugno 2015, 43

Quale punteggio del dado vorresti ottenere per

fare più passi?

Argomenta la risposta.

La discussione che segue è tratta da una

Trascrizione relativa ad una prima primaria.

A2 – Riflessione su una tessera (Tavarado, Trieste)

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Matematica in progress - Lugo (RA) - 17 giugno 2015, 44

A2 – Riflessione su una tessera (Tavarado, Trieste)

Alicya: Io vorrei che esce il zero.

I: Tu vorresti che uscisse lo zero.

Alicya: Io… Sì, che così la streghetta non

prende nessuna perlina.

Riccardo: Così puoi fare più passi avanti.

Alessio: È la migliore questa idea.

Vari: Anche per me.

I: Quindi in molti siete d’accordo con Alicya.

Qualcuno preferisce un altro numero?

Era: Vorrei che uscisse 4… viene anche 10.

I: Spiegaci bene.

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Matematica in progress - Lugo (RA) - 17 giugno 2015, 45

A2 – Riflessione su una tessera (Tavarado, Trieste)

Era: C’è la principessa che ha 6 perle…

I: E poi? Tu vuoi che esca il 4…

Era: … così arriva sul 10.

I: Facci vedere come arriva sul 10. Vai a

disegnare là, sulla LIM.

Era: (arrivata alla LIM) Ah… ma c’è la

strega… non posso mettere di più!

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Matematica in progress - Lugo (RA) - 17 giugno 2015, 46

A2 – Riflessione su una tessera (Tavarado, Trieste)

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Matematica in progress - Lugo (RA) - 17 giugno 2015, 47

A2 – Riflessione su una tessera (Tavarado, Trieste)

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Matematica in progress - Lugo (RA) - 17 giugno 2015, 48

A2 – Riflessione su una tessera (Tavarado, Trieste)

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Matematica in progress - Lugo (RA) - 17 giugno 2015, 49

Sebastiano ha lanciato il dado e ha ottenuto un 3.

Su quale tessera preferiresti essere per fare più

passi?

Argomenta le risposte.

La discussione che segue è tratta da una

Trascrizione relativa ad una prima primaria.

B1 – Confronto fra due tessere (Navarra, Castel S. Pietro 2012)

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Matematica in progress - Lugo (RA) - 17 giugno 2015, 50

B1 – Confronto fra due tessere (Navarra, Castel S. Pietro 2012)

Saif: Eh… Fatina.

I: Fai un discorso completo, Saif?

Saif: Voglio la fatina perché puoi fare più

passi e poi puoi vincere e…

Sofia: È giusto, anche perché, se va dalla

streghetta, non si può fare 9 passi avanti.

I: Quindi sei d’accordo con Saif… Ripetimi

questa cosa della streghetta…

Sofia: La streghetta ne toglie 3 a va a 6 ed è

più 9 che 6.

I: Chi vuol rispondere a Sofia o a Saif?

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Matematica in progress - Lugo (RA) - 17 giugno 2015, 51

B1 – Confronto fra due tessere (Navarra, Castel S. Pietro 2012)

Elettra: Per me non va bene perché c’è la

streghetta e… non… eh… (scuotendo la

testa).

Mathilde: Quello che stava dicendo Elettra

era il contrario di quello che ha detto Saif,

perché Saif ha detto: “Io vorrei la fatina… la

carta della fatina, perché così… va avanti

(sottolineando la parola con un gesto della

mano) e se prendi la streghetta te ne porta

via delle perline, allora la principessa ne ha

meno”.

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Matematica in progress - Lugo (RA) - 17 giugno 2015, 52

B1 – Confronto fra due tessere (Navarra, Castel S. Pietro 2012)

I: Avete capito quello che ha detto

Mathilde? Intanto ci fa notare che

l’intervento di Elettra era diverso da quello

di Saif. Ma tu, Mathilde, con chi sei

d’accordo?

Mathilde: Con Saif e Sofia.

Maya: Anch’io sceglierei quella della fatina

perché puoi fare più passi avanti e invece in

quello (indicando la tessera della

streghetta) non puoi fare tanti passi avanti.

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Matematica in progress - Lugo (RA) - 17 giugno 2015, 53

B1 – Confronto fra due tessere (Navarra, Castel S. Pietro 2012)

Alicya: Invece io preferisco la streghetta,

perché ti toglie 3 ma rimangono 6 che è di

più di quello che porta la fatina, allora

preferisco la streghetta.

I: Ah, che bel ragionamento… Calcoliamo

insieme ad Alicya: quanti passi facciamo

dalla tessera con la fatina se aggiungiamo il

punteggio del dado?

Saif: Fai 5, se fai 2 più 3.

Alicya: Invece 9 meno 3 è uguale a 6.

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Matematica in progress - Lugo (RA) - 17 giugno 2015, 54

B1 – Confronto fra due tessere (Navarra, Castel S. Pietro 2012)

Si scrive sulla LIM:

2+3=5 9-3=6 Alessia: Io sono d’accordo con Alicya.

Nina: Sono d’accordo con Alicya perché 6

passi sono più di 5.

I: Questo mi sembra importante (scrive)

6>5 Sebastian: Sì, è di più il 5… cioè è meno di 6.

Maya: Non mi ero accorta che con la

streghetta si fanno più passi e allora adesso

sono d’accordo con Alicya.

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Matematica in progress - Lugo (RA) - 17 giugno 2015, 55

Sebastiano ha lanciato il dado e ha

ottenuto un 3.

Su quale tessera preferireste essere per

fare più passi?

Argomentate le risposte.

B2 - Matematochetta: Situazione problematica 2m

Page 56: Matematochetta lugo 20150617_06_def_parte-2

C1 - Matematochetta: Situazione problematica 1

Matematica in progress - Lugo (RA) - 17 giugno 2015, 56

Cristina è partita

dalla tessera dove

ora c’è Michele e

ha fatto cinque

passi.

Nessuno ha fatto in

tempo a vedere il

punteggio del dado.

Si può ricostruire il punteggio del dado?

Page 57: Matematochetta lugo 20150617_06_def_parte-2

Quarta fase

Matematica in progress - Lugo (RA) - 17 giugno 2015, 57

Situazioni problematiche

nell’ambiente della Matematoca Argomentare

Pluralità di rappresentazioni

Tradurre

Page 58: Matematochetta lugo 20150617_06_def_parte-2

Matematica in progress - Lugo (RA) - 17 giugno 2015, 58

Dopo il lancio del dado, su quale tessera

preferireste che fosse il vostro segnalino

per fare il numero maggiore?

Su quale preferireste non essere?

Argomentate le risposte.

d-1

d

d+d

La Matematoca: situazione problematica 1

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La Matematoca: situazione problematica 2

Matematica in progress - Lugo (RA) - 17 giugno 2015, 59

Immaginate di lanciare il dado senza

mostrare il punteggio.

I vostri compagni vi vedono fare 5 passi.

Come si può rappresentare in linguaggio

matematico questa situazione in modo

che Brioshi capisca quello che è

successo?

Argomentate la risposta.

Aggiungi 2 al

punteggio del

dado e poi togli 1

d+2 -1=5

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Matematica in progress - Lugo (RA) - 17 giugno 2015, 60

La Matematoca: situazione problematica 3A

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Matematica in progress - Lugo (RA) - 17 giugno 2015, 61

La Matematoca: situazione problematica 3B

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Conclusioni

Matematica in progress - Lugo (RA) - 17 giugno 2015, 62

La ricchezza della Matematochetta e della

Matematòca si manifesta a tre livelli:

• nella loro preparazione;

• nel corso del gioco;

• nei loro sviluppi successivi (situazioni

problematiche stimolanti per formulare

congetture).

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Matematica in progress - Lugo (RA) - 17 giugno 2015, 63

I giochi in sé sono in fondo, di tutta

l’attività, la parte meno significativa.

Sono i momenti di coagulo e di verifica

delle esperienze sviluppate in

precedenza, ma sono soprattutto il

volano per espansioni costruite attorno a

situazioni problematiche che favoriscano,

attraverso la riflessione collettiva, un

approccio significativo a competenze

matematiche destinate a fondamentali

sviluppi negli anni successivi.

Conclusioni