Matematica per l’Ingegneria...

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Giulio Cesare Barozzi Matematica per l’Ingegneria dell’Informazione Sintesi dei primi 7 Capitoli Zanichelli Editore 2001

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Giu

lioC

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aro

zzi

Mat

emat

ica

per

lIng

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rmaz

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Cap

ito

li

Zan

ich

elli

Ed

ito

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Cro

nol

ogia

1700

1800

1900

2000

C.S

hann

onR

.W.H

amm

ing

L.S

chw

artz

P.A

.M.D

irac

S.B

anac

hL

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ini

E.S

chm

idt

H.L

.Leb

esgu

eB

.Lev

iG

.Vita

liD

.Hilb

ert

G.M

orer

aL

.Ton

elli

J.P.

Gra

mO

.Hea

visi

deU

.Din

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.A.S

chw

arz

W.J

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dan

B.R

iem

ann

C.H

erm

iteP.

A.L

aure

ntE

.Gal

ois

P.G

.Dir

ichl

etJ.

Stur

mN

.H.A

bel

G.G

reen

A.L

.Cau

chy

F.W

.Bes

sel

C.F

.Gau

ssJ.

B.J

.Fou

rier

M.A

.Par

seva

lA

.M.L

egen

dre

P.S.

deL

apla

ceL

.Eul

er

Capit

olo

1.

elementidianalis

ifunzio

nale

3

1.El

emen

tidi

anal

isif

unzi

onal

e1.

1.S

paz

ivet

tori

ali

Defi

niz

ione

1.1-

1.U

nin

siem

eK

sidi

ceun

cam

pose

ines

soso

node

finit

edu

eop

eraz

ioni

,de

nom

inat

ead

dizi

one

em

olti

plic

azio

ne,

che

asso

cian

oad

ogni

copp

iadi

elem

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xe

ydi

Kri

spet

tiva

men

teun

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som

ma

x+

ye

unel

emen

topr

odot

toxy,pe

rcu

iva

lgon

ole

prop

riet

a:

com

mut

ativ

a:x

+y

=y

+x,

xy

=yx

asso

ciat

iva:

x+

(y+

z)

=(x

+y)+

z,

x(y

z)

=(x

y)z

dist

ribu

tiva

:x(y

+z)

=xy

+xz,

qual

ich

esi

ano

gliel

emen

tix,y

,z

K.

Esi

ston

odu

eel

emen

titr

alo

rodi

stin

ti,0

e1,

che

sono

elem

enti

neut

ride

lledu

eop

eraz

ioni

:

x+

0=

x,

x1

=x

per

ogni

x

K.

Per

ogni

x

Kes

iste

unel

emen

toop

post

oy,

cioe

unel

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tota

lech

ex

+y

=0;

tale

elem

ento

verr

ain

dica

toco

lsi

mbo

lo

x.

Per

ogni

x=

0es

iste

unel

emen

tore

cipr

oco

z,ci

oeun

elem

ento

tale

che

xz

=1;

tale

elem

ento

verr

ain

dica

toco

lsi

mbo

lox

1op

pure

1/x.

Nota.

Una

stru

ttur

ain

cui

valg

ano

tutt

ele

prop

riet

ael

enca

te,

tran

neal

piu

lapr

opri

eta

com

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ade

lpr

odot

to,vi

ene

chia

mat

aco

rpo.

Dun

que

unca

mpo

eun

corp

oco

mm

utat

ivo,

cioe

unco

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incu

ien

tram

bele

oper

azio

niso

noco

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ive.

Inam

bito

fisic

osi

dail

nom

edi

cam

pove

ttor

iale

adun

app

licaz

ione

f:D

R

3,co

nD

R

3

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nsial

cam

poel

ettr

ico

oal

cam

pom

agne

tico

).

Capit

olo

1.

elementidianalis

ifunzio

nale

4

Defi

niz

ione

1.1-

2.Si

aV

unin

siem

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.Si

ano

defin

ite

lese

guen

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ioni

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una

ddiz

ione

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oeun

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rris

pond

enza

che

adog

nico

ppia

(x,y

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elem

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diV

asso

cia

unel

emen

todi

Vst

esso

,de

tto

som

ma

dix

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dica

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+y;

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plic

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nede

glie

lem

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diK

per

glie

lem

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diV

,cio

eun

aco

rris

pond

enza

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adog

nico

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(a,x

)co

na

K,x

Vas

soci

aun

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diV

dett

opr

odot

todi

ape

rx

ein

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Supp

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mo

che

leop

eraz

ioni

a)e

b)go

dano

delle

segu

enti

prop

riet

a:a.

1)x

+y

=y

+x

(com

mut

ativ

ita)

;a.

2)x

+(y

+z)

=(x

+y)+

z(a

ssoc

iati

vita

);a.

3)es

iste

unel

emen

todi

V,in

dica

to0

(zer

o),ta

lech

ex

+0

=x

per

ogni

x

(esi

sten

zade

llel

emen

tone

utro

addi

tivo

);a.

4)pe

rog

nix

Ves

iste

unel

emen

toy

Vta

lech

ex

+y

=0

(esi

sten

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llop

post

o);

b.1)

a(x

+y)

=ax

+ay

(dis

trib

utiv

ita

della

mol

tipl

icaz

ione

risp

etto

alla

ddiz

ione

tra

vett

ori)

;b.

2)(a

+b)

x=

ax

+bx (d

istr

ibut

ivita

della

mol

tipl

icaz

ione

risp

etto

alla

ddiz

ione

tra

scal

ari)

;b.

3)a(b

x)

=(a

b)x;

b.4)

1x=

x(1

ele

lem

ento

neut

rom

olti

plic

ativ

odi

K).

Inta

liip

otes

idi

rem

och

eV

,co

nle

oper

azio

nide

finit

e,e

uno

spaz

iove

ttor

iale

sulca

mpo

K.

Gli

elem

enti

diV

sidi

cono

vettor

i,gl

iel

emen

tidi

Ksi

dico

nosc

alar

i.

Capit

olo

1.

elementidianalis

ifunzio

nale

5

Use

rem

ola

bbre

viaz

ione

s.v.

per

spaz

iove

ttor

iale

.

Defi

niz

ione

1.1-

3.Si

aV

uno

s.v.

suK

,W

unso

ttoi

nsie

me

diV

;di

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och

eW

eun

sottos

pazi

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Vse

( a,b

K

x,y

W

) =ax

+by

W

.

Un

mod

ose

mpl

ice

per

cost

ruir

eun

sott

ospa

zio

diun

os.

v.V

(non

nece

ssar

iam

ente

dist

into

daV

stes

so)

siot

tien

esc

eglie

ndo

unin

siem

edi

r

1ve

ttor

i

A:=

{v1,v

2,.

..,v

r}

eco

nsid

eran

doli

nsie

me

ditu

tte

lelo

roco

mbi

nazi

onilin

eari

:

W:=

{x

V|x

=a1v

1+

a2v

2+

...+

arv

r,

aj

K,

j}.

Sive

rific

ach

eW

eeff

etti

vam

ente

uno

s.v.

;sid

ice

che

esso

ege

nera

toda

A,o

ppur

ech

eA

eun

insi

eme

dige

nera

tori

diW

,e

sisc

rive

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A.

Selo

s.v.

Vam

met

teun

insi

eme

finit

odi

gene

rato

ri,si

dice

che

esso

efin

itam

ente

gene

rato

.

Capit

olo

1.

elementidianalis

ifunzio

nale

6

Defi

niz

ione

1.1-

4.I

vett

oriv

1,v

2,.

..,v

rde

llos.

v.V

sidi

cono

linea

rmen

tein

dipe

nden

tise

dall

ugua

glia

nza

0=

c 1v

1+

c 2v

2+

...+

c rv

r

segu

ene

cess

aria

men

tec 1

=c 2

=..

.=

c r=

0.In

caso

cont

rari

oes

sisi

dico

nolin

earm

ente

dipe

nden

ti.

Anz

iche

dire

che

ivet

tori

v1,v

2,.

..,v

rso

nolin

earm

ente

indi

pend

enti

sidi

cean

che

che

lins

iem

eda

essi

cost

itui

toe

liber

o.

Defi

niz

ione

1.1-

5.U

nin

siem

e{v

1,v

2,.

..,v

n}

dige

nera

tori

delso

ttos

pazi

oW

dello

s.v.

Vsi

dice

una

base

diW

seive

ttor

ich

elo

cost

itui

scon

oso

nolin

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ente

indi

pend

enti

.In

talca

so,pe

rog

nix

Wla

rapp

rese

ntaz

ione

x=

c 1v

1+

c 2v

2+

...+

c nv

n

eun

ivoc

amen

tede

term

inat

a;gl

isc

alar

ic 1

,c2,.

..,c

nsi

dico

nole

coor

dina

tedi

xri

spet

toai

vett

oride

llaba

se.

Capit

olo

1.

elementidianalis

ifunzio

nale

7

Pro

pos

izio

ne

1.1-

1.Se

Ve

uno

s.v.

finit

amen

tege

nera

to,

allo

radu

edi

vers

eba

siso

none

cess

aria

men

teco

stit

uite

daun

ugua

lnum

ero

dive

ttor

i;ta

lenu

mer

osi

chia

ma

dim

ensi

one

diV

esi

indi

caco

lsi

mbo

lo

dim

V.

Sedi

mV

=n,og

niin

siem

elib

ero

cont

iene

alpi

un

elem

enti

.

Pro

pos

izio

ne

1.1-

2.Se

Ve

uno

s.v.

didi

men

sion

efin

ita,

allo

raog

niso

ttos

pazi

oW

edi

dim

ensi

one

finit

a;si

hadi

mW

di

mV

,dov

eva

leil

segn

odi

ugua

glia

nza

see

solo

seW

=V

.

Val

eil

teor

ema

dell

alte

rnat

iva:

Pro

pos

izio

ne

1.1-

3.Si

ano

v1,v

2,.

..,v

n,

nve

ttor

idi

uno

s.v.

Vdi

dim

ensi

one

n;

allo

raso

noeq

uiva

lent

ile

cond

izio

ni:

i)v

1,v

2,.

..,v

nge

nera

noV

;ii)

v1,v

2,.

..,v

nso

nolin

earm

ente

indi

pend

enti

.

Capit

olo

1.

elementidianalis

ifunzio

nale

8

Sian

oV

1e

V2

due

s.v.

sulca

mpo

K.

Defi

niz

ione

1.1-

6.La

tras

form

azio

nef

:V1

V2

sidi

celin

eare

se

f(a

x+

by)

=af(x

)+

bf(y

)

per

ogni

a,b

K

epe

rog

nix,y

V

1.

Sela

tras

form

azio

nelin

eare

fe

una

biie

zion

e,ci

oe

f:V

11

1 su

V2,

sidi

cech

ef

eun

isom

orfis

mo

diV

1su

V2.

Inta

leip

otes

ian

che

lafu

nzio

nein

vers

ae

unis

omor

fism

o,ci

oesi

ha

f

1:V

21

1 su

V1.

Sidi

cech

eV

1e

V2

sono

isom

orfi

sees

iste

unis

omor

fism

och

etr

asfo

rma

uno

dies

sine

llal

tro.

Pro

pos

izio

ne

1.1-

4.Lo

s.v.

Vsu

lcam

poK

hadi

men

sion

en

1se

eso

lose

esso

eis

omor

foa

Kn.

Capit

olo

1.

elementidianalis

ifunzio

nale

9

1.2.

Sp

aziv

etto

rial

ino

rmat

i

Defi

niz

ione

1.2-

1.Si

aV

uno

s.v.

real

eo

com

ples

so;si

chia

ma

norm

aun

aco

rris

pond

enza

x

x

daV

aR

tale

che

x=

0=

x

>0;

(1)

ax

=|a|

x,

a

K,x

V

;(2

)x

+y

x+

y,

x,y

V.

(3)

La

copp

ia(V

,

)si

dice

spaz

iove

ttor

iale

norm

ato,

abbr

evia

tos.

v.n.

Defi

niz

ione

1.2-

2.Si

aX

insi

eme

(non

vuot

o);

una

funz

ione

d:X

X

R

sidi

ceun

adi

stan

za(o

met

rica

)in

Xse

d(x

,y)

0,d(x

,y)

=0

x=

y;

(5)

d(x

,y)

=d(y

,x),

x,y

X

;(6

)d(x

,y)

d(x

,z)+

d(z

,y),

x,y

,z

X.

(7)

La

copp

ia(X

,d)

sidi

cesp

azio

met

rico

.

Capit

olo

1.

elementidianalis

ifunzio

nale

10

Sia

Vun

os.

v.n.

Defi

niz

ione

1.2-

3.La

palla

dice

ntro

x

Ve

ragg

ior

>0

ede

finit

ada

Br(x

):=

{ yV

x

y

0,

esis

teun

indi

cen

ta

lech

e

n,m

>n

=

xn

xm

0.

(3)

Nel

segu

ito

indi

cher

emo

sem

plic

emen

teco

nla

nota

zion

e(x

|y)

ilpr

odot

tosc

alar

etr

ax

ey.

Ilpr

odot

tosc

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ein

duce

una

norm

apo

nend

o

x

:= (x

|x).

SeV

eco

mpl

eto

risp

etto

alla

norm

aco

nsid

erat

a(d

unqu

ee

uno

spaz

iodi

Ban

ach)

esso

vien

ech

iam

ato

spaz

iodi

Hilb

ert.

D.H

ilbert

1870

-1943

Capit

olo

1.

elementidianalis

ifunzio

nale

16

Val

ela

disu

guag

lianz

adi

Cau

chy-

Schw

arz:

Pro

pos

izio

ne

1.3-

1.Per

ogni

copp

iadi

vett

orix

,y

Vsi

ha

|(x|y

)|

xy

.(6

)

Sin

tend

ech

ela

norm

ae

indo

tta

dalpr

odot

tosc

alar

e.

H.A

.Sch

warz

1843

-1921.

Capit

olo

1.

elementidianalis

ifunzio

nale

17

Defi

niz

ione

1.3-

2.Si

aV

uno

s.v.

con

prod

otto

scal

are;

ivet

tori

xe

ysi

dico

noor

togo

nali

seil

loro

prod

otto

scal

are

enu

llo:

x

y

(x|y

)=

0.

Val

eil

teor

ema

diPitag

ora:

Pro

pos

izio

ne

1.3-

2.Si

ha

(x|y

)=

0=

x+

y2

=x

2+y

2.

(10)

Defi

niz

ione

1.3-

3.Si

aV

uno

s.v.

con

prod

otto

scal

are.

Una

fam

iglia

dive

ttor

ino

nnu

lli{x

1,x

2,.

..,x

n}

sidi

ceor

togo

nale

seiv

etto

rich

ela

com

pong

ono

sono

adu

ea

due

orto

gona

li:

(h=

k)

=

(xh|x

k)

=0.

(11)

Piu

inpa

rtic

olar

e,ta

lefa

mig

liasi

dice

orto

norm

ale

se

(xh|x

k)

= h

k=

{ 1,se

h=

k,

0,al

trim

enti

.(1

1)

Pro

pos

izio

ne

1.3-

3.O

gnifa

mig

liaor

togo

nale

dive

ttor

ie

liber

a,ci

oefo

rmat

ada

vett

ori

linea

rmen

tein

dipe

nden

ti.

Capit

olo

1.

elementidianalis

ifunzio

nale

18

Pro

pos

izio

ne

1.3-

4.Se

{x1,x

2,.

..,x

n}

eun

afa

mig

liaor

togo

nale

(ris

pett

ivam

ente

orto

-no

rmal

e),es

sage

nera

unso

ttos

pazi

odi

Vdi

dim

ensi

one

n:

Vn

:={

x1,x

2,.

..,x

n}

,di

mV

n=

n.

Sidi

rach

e(x

1,x

2,.

..,x

n)

eun

aba

seor

togo

nale

(ris

p.or

tono

rmal

e)di

Vn.

Sex

= n k=

1c k

xk

eun

vett

ore

diV

nsi

avra

x2

=n k=1|

c k|2x

k2

,(1

2)

eri

spet

tiva

men

te

x2

=n k=1|

c k|2 .

(12

)

Capit

olo

1.

elementidianalis

ifunzio

nale

19

1.4.

Pro

iezi

on

iort

og

on

ali

Defi

niz

ione

1.4-

1.Si

aV

uno

s.v.

con

prod

otto

scal

are,

Sun

sott

oins

iem

e(n

onne

ces-

sari

amen

teun

sott

ospa

zio)

diV

;chi

amer

emo

com

plem

ento

orto

gona

ledi

Sli

nsie

me

S

dei

vett

oridi

Vor

togo

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adog

niel

emen

todi

S:

S

:={ x

V (x

|y)

=0,y

S

} .Si

dim

ostr

ach

eS

eun

sott

ospa

zio

diV

.

Pro

pos

izio

ne

1.4-

1.Si

aV

s.v.

con

prod

otto

scal

are,

{x1,x

2,.

..,x

n}

unin

siem

edi

vett

ori

linea

rmen

tein

dipe

nden

ti,V

nil

sott

ospa

zio

daes

sige

nera

to:

Vn

:={

x1,x

2,.

..,x

n}

.Per

ogni

x

Ves

iste

uny

Vn

(ed

uno

solo

)ta

lech

e

x=

y+

z,

con

z

V n

,(1

)

cioe

z:=

x

ye

orto

gona

lea

tutt

iive

ttor

idi

Vn.

Dir

emo

che

ye

lapr

oiez

ione

orto

gona

ledi

xsu

Vn;pe

rta

leve

ttor

esi

ha

y

Vn

( x

y

x

y

) .(2

)

Se{x

1,x

2,.

..,x

n}

eun

afa

mig

liaor

togo

nale

(dun

que

una

base

orto

gona

ledi

Vn),

allo

ray

eda

toda y=

n k=1(x|x

k)

xk2

xk.

(3)

Capit

olo

1.

elementidianalis

ifunzio

nale

20

Pro

pos

izio

ne

1.4-

2.Se

{x1,x

2,.

..,x

n}

eun

insi

eme

dive

ttor

ilin

earm

ente

indi

pend

enti

,al

lora

lam

atri

ce

G:=

[(x

j|x

i)],

i,j

=1,

2,..

.,n,

( cioela

mat

rice

aven

teco

me

term

ine

diin

dici

(i,j

)il

prod

otto

scal

are

(xj|x

i)) ed

efini

tapo

siti

va,du

nque

ein

vert

ibile

.

Pro

pos

izio

ne

1.4-

3.Si

a{x

1,x

2,.

..,x

n}

unin

siem

edi

vett

ori

linea

rmen

tein

dipe

nden

tine

llos.

v.V

con

prod

otto

scal

are

(|

);e

poss

ibile

cost

ruir

eun

afa

mig

liaor

tono

rmal

e

{e1,e

2,.

..,e

n}

inm

odo

tale

che,

per

ogni

indi

cek

com

pres

otr

a1

en,i

lvet

tore

ek

sia

com

bina

zion

elin

eare

deive

ttor

i{x

1,x

2,.

..,x

k}.

Ilpr

oced

imen

todi

Gra

m-S

chm

idtre

aliz

zaqu

anto

sopr

ade

scri

tto:

1.e

1:=

x1/

x1

2.pe

rk

=2,

3,..

.,n,ri

pete

re:

2.1

zk

=x

k

k1

h=

1(x

k|e

h)e

h

2.2

ek

:=z

k/

zk

Appendic

e1-A

.campifin

iti

21

Ap

pen

dic

e1-

A.

Cam

pifi

nit

i

Dat

ii

num

eri

inte

rix

ey

edun

inte

rom

>1

dett

om

odul

o,di

rem

och

ex

ey

sono

cong

rui

mod

ulo

m,e

scri

vere

mo

x

y(m

odm

),se

x

ye

mul

tipl

odi

m:

x

y(m

odm

)

q

Z,

x

y=

qm.

La

cong

ruen

zam

odul

om

eun

are

lazi

one

deq

uiva

lenz

a;le

clas

sidi

equi

vale

nzas

ono

pre-

cisa

men

tem

,eso

noid

enti

ficab

ilico

nir

esti

0,1,

2,..

.,m

1

che

siot

teng

ono

divi

dend

ope

rm

unqu

alsi

vogl

iain

tero

.La

clas

sedi

equi

vale

nza

dix

siin

dica

[x].

Lo

spaz

ioqu

ozie

nte

(cio

eli

nsie

me

delle

clas

sid

equi

vale

nza)

vien

ein

dica

toin

lett

erat

ura

colsi

mbo

loZ

/mZ

,ch

ene

lse

guit

ove

rra

abbr

evia

toin

Zm

.Le

oper

azio

nisu

Zpo

sson

oes

sere

tras

port

ate

suZ

mpo

nend

o

[x]+

[y]:

=[x

+y],

[x]

[y]:

=[x

y].

Appendic

e1-A

.campifin

iti

22

Mos

tria

mo

leta

belle

diad

dizi

one

em

olti

plic

azio

nein

Z3

eZ

4:

m=

3+

01

2

00

12

11

20

22

01

0

12

00

00

10

12

20

21

m=

4+

01

23

00

12

31

12

30

22

30

13

30

12

0

12

3

00

00

01

01

23

20

20

23

03

21

Per

ogni

mod

ulo

m,la

pplic

azio

nen

[n]e

unom

omor

fism

o(=

tras

form

azio

nech

eco

n-se

rva

last

rutt

ura)

dell

anel

loZ

sull

anel

loZ

m.

Appendic

e1-A

.campifin

iti

23

Gli

anel

lico

mm

utat

ivii

ncu

itut

tigl

iele

men

tidi

vers

ida

zero

,cio

edi

vers

idal

neut

road

diti

vo,

sono

dota

tidi

reci

proc

oso

noca

mpi

.

Teo

rem

a.Z

me

unca

mpo

see

solo

sem

epr

imo.

Ica

mpi

finit

ive

ngon

ode

ttica

mpi

diG

aloi

s.Se

ilca

mpo

cont

iene

nel

emen

ti,

esso

vien

ein

dica

toco

lsi

mbo

loG

F(n

).D

unqu

epe

rog

nipr

imo

p,

esis

teun

cam

pode

lti

poG

F(p

),e

prec

isam

ente

Zp. E

.G

alo

is

1811

-1832

La

card

inal

ita

diun

cam

pofin

ito

ela

pote

nza

diun

prim

o,p

nco

np

prim

oe

n

1.U

nca

mpo

aven

teun

ata

leca

rdin

alita

vien

ein

dica

toco

lsi

mbo

loG

F(p

n).

Per

mos

trar

eco

me

sipo

ssa

cost

ruir

eun

cam

podi

card

inal

ita

pn

ees

senz

iale

laco

nosc

enza

delca

mpo

GF(p

)=

Zp.

Infa

tti

GF(p

n)

vien

eco

stru

ito

com

eil

cam

poch

eha

com

eel

emen

tii

polin

omidi

grad

o

n

1co

nco

effici

enti

prel

evat

iin

GF(p

).A

des

empi

o,su

ppon

iam

odi

vole

rco

stru

ire

unca

mpo

con

24=

16el

emen

ti.

Gli

elem

enti

dita

leca

mpo

sara

nno

polin

omid

iter

zogr

ado

con

coeffi

cien

tipr

elev

atii

nG

F(2

),du

nque

polin

omi

delti

poa3x

3+

a2x

2+

a1x

+a0,do

veico

effici

enti

ak

valg

ono

0op

pure

1.C

iasc

unpo

linom

ioe

iden

tific

ato

dalla

quat

erna

(a3,a

2,a

1,a

0)

Z4 2,

eta

lequ

ater

napu

oan

che

esse

rein

terp

reta

taco

me

lasc

ritt

ura

inba

sedu

ede

inat

ural

ida

zero

aqu

indi

ci.

La

tabe

llase

guen

tem

ostr

aise

dici

polin

omich

esi

poss

ono

otte

nere

proc

eden

done

lm

odo

indi

cato

.

Appendic

e1-A

.campifin

iti

24

coeff

.in

dice

polin

omio

coeff

.in

dice

polin

omio

0000

0p0(x

)=

010

008

p8(x

)=

x3

0001

1p1(x

)=

110

019

p9(x

)=

x3

+1

0010

2p2(x

)=

x10

1010

p10(x

)=

x3

+x

0011

3p3(x

)=

x+

110

1111

p11(x

)=

x3

+x

+1

0100

4p4(x

)=

x2

1100

12p12(x

)=

x3

+x

2

0101

5p5(x

)=

x2

+1

1101

13p13(x

)=

x3

+x

2+

101

106

p5(x

)=

x2

+x

1110

14p14(x

)=

x3

+x

2+

x01

117

p5(x

)=

x2

+x

+1

1111

15p15(x

)=

x3

+x

2+

x+

1

Nel

lins

iem

ein

dica

tola

ddiz

ione

non

pone

alcu

npr

oble

ma:

siso

mm

ano

due

polin

omie

sieff

ettu

ala

ridu

zion

em

odul

o2

deico

effici

enti

delpo

linom

ioso

mm

a.A

des

empi

o

p5(x

)+

p3(x

)=

(x2

+1)

+(x

+1)

=x

2+

x=

p6(x

).

Per

defin

ire

una

mol

tipl

icaz

ione

,oc

corr

esc

eglie

reun

polin

omio

digr

ado

4,a

coeffi

cien

tiin

GF(2

),ch

esi

air

ridu

cibi

le,ci

eno

nsi

afa

ttor

izza

bile

nelpr

odot

todi

due

polin

omidi

grad

opo

siti

vo.

Un

tale

polin

omio

,nel

caso

indi

cato

,eh(x

)=

x4+

x+

1.La

nozi

one

dipo

linom

ioir

ridu

cibi

legi

oca,

nell

anel

lode

ipol

inom

i,un

ruol

osi

mile

aqu

ello

della

nozi

one

dinu

mer

opr

imo

nell

anel

lode

gliin

teri

.

Appendic

e1-A

.campifin

iti

25

Per

defin

ire

ilpr

odot

todi

due

polin

omidi

GF(2

4),

sies

egue

illo

ropr

odot

tone

lse

nso

usua

le(s

empr

em

odul

o2)

esi

pren

deil

quoz

ient

ede

lladi

visi

one

dita

lepr

odot

tope

ril

polin

omio

h(x

).A

des

empi

o,si

vogl

iaes

egui

reil

prod

otto

p9(x

)p

11(x

)=

(x3

+1)

(x3

+x

+1)

.

Ilpr

odot

tode

idu

epo

linom

iin

dica

ti(m

odul

o2)

vale

x6

+x

4+

x+

1.M

ala

divi

sion

edi

tale

polin

omio

per

h(x

)fo

rnis

ce

x6

+x

4+

x+

1=

(x2

+1)

h(x

)+

x3

+x

2,

dove

x3

+x

2e

ilpo

linom

iore

sto

(digr

ado

n,e

bsi

aun

vett

ore

diR

m.

Con

side

riam

oil

sist

ema

dim

equa

zion

ilin

eari

inn

inco

gnit

e

Ax

=b,

(1)

con

x

Rn.

Supp

onia

mo

che

leco

lonn

edi

A,c

hein

dich

erem

oco

nis

imbo

lia

j,j

=1,

2,..

.,n,

sian

olin

earm

ente

indi

pend

enti

equ

indi

ilra

ngo

diA

sia

n,c

ioe

ugua

leal

num

ero

delle

colo

nne.

Sees

iste

una

solu

zion

ex

=(x

1,x

2,.

..,x

n)

delsi

stem

a(1

),ci

osi

gnifi

cach

e

x1a

1+

x2a

2+

...+

xn

an

=b,

dunq

ueb

appa

rtie

neal

sott

ospa

zio

Vn

:={

a1,a

2,.

..,a

n}

gene

rato

dalle

colo

nne

diA

.Se

be

unar

bitr

ario

vett

ore

diR

mno

nv

eal

cuna

ragi

one

perc

hees

soap

part

enga

allo

spaz

ioV

n,e

dunq

ue,i

nge

nera

le,i

lsis

tem

aco

nsid

erat

oe

priv

odi

solu

zion

i.In

altr

iter

min

i,no

nes

iste

alcu

nx

Rn

per

cuiire

sidu

i

b i

n j=1aij

xj,

i=

1,2,

...,

m

sian

otu

ttinu

lli.

Appendic

e1-B

.il

problema

lin

eare

deimin

imiquadrati

27

Pos

siam

oal

lora

cerc

are

dim

inim

izza

rela

som

ma

deiq

uadr

atid

eire

sidu

i,ci

oela

funz

ione

dix

m i=1(b i

n j=1aij

xj

) 2 = b

(x1a

1+

x2a

2+

...+

xn

an

2 2.C

ioeq

uiva

leal

lari

cerc

ade

llel

emen

todi

Vn

aven

tedi

stan

zam

inim

ada

b:

eil

prob

lem

adi

cuici

siam

ooc

cupa

tine

llaP

ropo

sizi

one

1.4-

1,sa

lvo

unca

mbi

amen

todi

nota

zion

i.La

mat

rice

diG

ram

G(

Pro

p.1.

4-2)

eda

tada

ATA

(dov

eA

Tin

dica

latr

aspo

sta

diA

):in

fatt

igl

iel

emen

tidi

tale

mat

rice

prod

otto

sono

aia

j=

aja

i.Il

vett

ore

deite

rmin

ino

ti,

aven

doco

me

com

pone

ntib

aj

=a

T jb

(pro

dott

odi

una

mat

rice

1

nco

nun

am

atri

cen

1),

sisc

rive

ATb.

Ilsi

stem

a(4

)de

lpa

ragr

afo

1.4

sisc

rive

dunq

ue

ATA

x=

ATb,

(2)

(sis

tem

ade

lleeq

uazi

onino

rmal

i),la

cuiso

luzi

one

eda

tafo

rmal

men

teda

x=

( AT A) 1 A

Tb.

(3)

La

mat

rice

n

m

A+

:=( AT A

) 1 AT,

che

rapp

rese

nta

latr

asfo

rmaz

ione

linea

rech

ead

ogni

vett

ore

b

Rm

asso

cia

las

oluz

ione

nelse

nso

deim

inim

iqu

adra

ti

delsi

stem

ain

izia

le,si

chia

ma

inve

rsa

gene

raliz

zata

(ops

eudo

-in

vers

a)de

llam

atri

ceA

.Se

Ae

quad

rata

ein

vert

ibile

,al

lora

A+

=A

1.

Capit

olo

2.

elementiditeoria

dell

integrazio

ne

28

2.El

emen

tidi

teor

iade

llint

egra

zion

e2.

1.R

ich

iam

isu

llin

teg

rale

diR

iem

ann

Con

side

riam

ofu

nzio

nia

valo

rire

ali

non

nega

tivi

,de

finit

esu

unin

terv

allo

com

patt

o[a

,b],

f:

[a,b

]

R+

=[0

,+

);og

nifu

nzio

nea

valo

rire

ali

sipu

osc

rive

reco

me

diffe

renz

atr

adu

efu

nzio

nia

valo

rino

nne

gati

vi.

Dir

ech

ef

ein

tegr

abile

nelse

nso

diR

iem

ann

(abb

revi

ato:

R-int

egra

bile

)si

gnifi

cach

ee

poss

ibile

insc

rive

ree

circ

oscr

iver

eil

trap

ezio

ide

(oso

ttog

rafic

o)di

f:

trap

(f)

:={ (x,

y)

R2

( x

[a,b

]) ( 0

y

f(x

))}m

edia

nte

plur

i-re

ttan

goli,

unio

nedi

unnu

mer

ofin

ito

dire

ttan

goli

con

ila

tipa

ralle

liag

lias

sico

ordi

nati

,in

mod

och

ela

diffe

renz

atr

ale

aree

dei

plur

i-re

ttan

goli

insc

ritt

ie

circ

oscr

itti

sipo

ssa

rend

ere

picc

ola

adar

bitr

io.

G.F

.B.R

iem

ann

1826

-1866

Capit

olo

2.

elementiditeoria

dell

integrazio

ne

29

Piu

prec

isam

ente

:ad

ogni

scom

posi

zion

ede

llin

terv

allo

base

[a,b

]in

unnu

mer

ofin

ito

dipa

rti

med

iant

eipu

nti

x0

=a,

x1,

x2,

...,

xn

=b,

dove

x0

[f

]

L[f 1

f2](

s)=

L[f 1

](s)

L[f

2](

s)R

e(s)

>m

ax{

[f1],

[f

2]}

L[f ](

s)=

sF(s

)

f(0

)R

e(s)

>m

ax{

[f],

[f

]}

L[H

f](

s)=

L[ t 0f(

)d

](

s)=

L[f(t

)](s

)s

Re(

s)>

max

{0,

[f]}

Capit

olo

5.

la

trasf

ormata

dilaplace

106

5.3.

Le

fun

zio

nib

eta

eg

amm

ad

iEu

lero

L.Eule

r

1709

-1783

La

funz

ione

gam

ma

diE

uler

oe

defin

ita,

per

ogni

num

ero

com

ples

soz

con

part

ere

ale

>0,

med

iant

ela

form

ula:

(z

):=

0e

ttz

1dt,

x=

Re(

z)

>0.

(1 )

Le

due

prop

riet

apr

inci

pali

della

funz

ione

gam

ma

sono

(n

+1)

=n!,

(2)

(z

+1)

=z

(z

),R

e(z)

>0.

(3)

Pos

siam

out

ilizz

are

la(3

),sc

ritt

ane

llafo

rma

(z

)=

(z

+1)

z,

(3 )

per

prol

unga

rela

ne

lse

mip

iano

x[f

]si

ha

1 2iv.

p. +

i

ies

tF

(s)d

s=

1 2[f

(t

)+

f(t

+)]

.(6

)

Pro

pos

izio

ne

5.4-

2.Si

as

F(s

)un

afu

nzio

nean

alit

ica

nels

emip

iano

=

=R

e(s)

>

0

eta

lech

esi

abbi

a

|F(s

)|=

O(1

/sk),

s

(7

)

con

k>

1.A

llora

,pe

rog

ni

>

0,la

form

ula

f(t

):=

1 2i

+i

ies

tF

(s)d

s(8

)

defin

isce

unse

gnal

eco

ntin

uosu

R,in

dipe

nden

teda

,av

ente

Fco

me

tras

form

ata.

Capit

olo

5.

la

trasf

ormata

dilaplace

109

5.5.

Eq

uaz

ion

idif

fere

nzi

alio

rdin

arie

Un

prob

lem

adi

valo

riin

izia

lipe

run

equ

azio

nedi

ffere

nzia

lelin

eare

aco

effici

enti

cost

anti

,vie

nri

cond

otto

,m

edia

nte

laL

-tra

sfor

mat

a,in

unpr

oble

ma

alge

bric

o,ne

lse

nso

che

latr

asfo

rmat

ade

llaso

luzi

one,

sia

Y(s

),e

data

sott

ofo

rma

difu

nzio

nera

zion

ale

frat

tapr

opri

a

Y(s

)=

A(s

)P

(s),

dove

Pe

ilpo

linom

ioca

ratt

eris

tico

dell

equa

zion

edi

ffere

nzia

lee

Adi

pend

eda

lleco

ndiz

ioni

iniz

iali.

Dec

ompo

sta

Yin

frat

tise

mpl

ici:

Y(s

)=

A(s

)B

(s)

=r k=1

nk j=1

a(k

)

j

(s

s k)j

.(3

)

laso

luzi

one

eda

tada

y(t

)=

r k=1n

k j=1a(k

)

j

(j

1)!t

j

1+

eskt.

(4)

Capit

olo

6.

la

trasf

ormata

difourie

r11

0

6.La

trasf

orm

ata

diFo

urie

r6.

1.In

tro

du

zio

ne

alla

tras

form

ata

diF

ou

rier

Defi

niz

ione

6.1-

1.Si

af

L

1(R

);ch

iam

erem

otras

form

ata

diFo

urie

r(i

nbr

eve:

F-

tras

form

ata)

dif

lafu

nzio

ne

f(

):=

e

ix

f(x

)dx.

Defi

nizi

one

alte

rnat

iva

(in

term

inidi

freq

uenz

ail

luog

ode

llapu

lsaz

ione

):

Defi

niz

ione

6.1-

1.

Sia

x

L1(R

);ch

iam

erem

otras

form

ata

diFo

urie

rdi

xla

funz

ione

X(f

):=

e

i2

ftx(t

)dt.

(1 )

Pro

pos

izio

ne

6.1-

1.Se

f

L1(R

),al

lora

fe

cont

inua

ein

finit

esim

aal

linfi

nito

:

lim|

|

f(

)=

0.

Pro

pos

izio

ne

6.1-

2.Se

f

L1(R

)e

real

ee

pari

,al

lora

fe

real

ee

pari

,se

f

L1(R

)e

real

ee

disp

ari,

allo

raf

epu

ram

ente

imm

agin

aria

edi

spar

i.

Capit

olo

6.

la

trasf

ormata

difourie

r11

1

Form

ula

din

vers

ione

:

Pro

pos

izio

ne

6.1-

3.Si

af

una

funz

ione

som

mab

ilesu

R,

rego

lare

atr

atti

(cio

eC

(1)

atr

atti

),no

rmal

izza

tain

mod

oda

aver

si

f(x

)=

f(x

+)+

f(x

)

2,

x.

Siha

f(x

)=

1 2v.

p. +

f(

)ei

xd

:=

=1 2

lim

+

( +

f(t

)e

itdt) ei

x

d.

Cor

olla

rio.

Sia

fun

afu

nzio

neso

mm

abile

suR

,di

clas

seC

(1)

atr

atti

,co

ntr

asfo

rmat

adi

Four

ier

f;al

lora

,po

sto

f(

)=

[f(

+)+

f(

)]

/2,si

ha

F[f

]()

=2

f(

),

(4)

apa

tto

diin

tend

ere

lint

egra

lech

ede

finis

cela

tras

form

ata

diFo

urie

rco

me

valo

repr

inci

pale

.

Capit

olo

6.

la

trasf

ormata

difourie

r11

2

Tab

ella

6.2-

1.A

lcune

trasf

ormate

diFourie

r

f(x

)f(

)

1a2

+x

2

ae

a|

|a

>0

ea|x|

2aa2

+

2a

>0

sign

(x)e

a|x|

2i

a2

+

2a

>0

[

a,a

](x)

2si

n(a)

a

>0

sin(

ax)

x

[

a,a

]()

a>

0

eax2

ae

2/(4

a)

a>

0

(a

|x|)+

4si

n2(a

/2

)

2a

>0

Capit

olo

6.

la

trasf

ormata

difourie

r11

3

6.2.

Alc

un

ep

rop

riet

ad

ella

tras

form

ata

diF

ou

rier

Pro

pos

izio

ne

6.2-

1.Si

af

una

funz

ione

som

mab

ilesu

Rco

ntr

asfo

rmat

af;

allo

ra,

per

ogni

c=

0la

funz

ione

f(c

x)

haco

me

tras

form

ata

(1/|

c|)f(

/c).

Pro

pos

izio

ne

6.2-

2.Si

af

una

funz

ione

som

mab

ileco

ntr

asfo

rmat

af;al

lora

,pe

rog

nix

0

real

e,la

funz

ione

f(x

x

0)

haco

me

tras

form

ata

eix

0f(

).

Pro

pos

izio

ne

6.2-

3.Si

af

una

funz

ione

som

mab

ileco

ntr

asfo

rmat

af;al

lora

,pe

rog

ni

0

real

e,la

funz

ione

ei

0x

f(x

)ha

com

etr

asfo

rmat

af(

0).

Pro

pos

izio

ne

6.2-

4.Se

fe

una

funz

ione

cont

inua

eso

mm

abile

suR

,con

deri

vata

cont

inua

atr

atti

eso

mm

abile

,al

lora

fha

com

etr

asfo

rmat

ai

f(

):

F[f

(x)]

()

=i

f(

).(1

)

Cor

olla

rio

1.Se

f,f

,..

.,f

(n

1)so

nofu

nzio

nico

ntin

uee

som

mab

ilisu

R,e

f(n

)e

cont

inua

atr

atti

eso

mm

abile

,al

lora

ques

tul

tim

afu

nzio

neha

com

etr

asfo

rmat

a(i

)n

f(

):

F[f

(n)(x

)](

)=

(i)n

f(

).(1

)

Cor

olla

rio

2.N

elle

stes

seip

otes

ide

lC

orol

lari

opr

eced

ente

siha

f(

)=

o( 1 n

) ,||

.

Inpa

rtic

olar

e,pe

rn

2si

hach

ef

eso

mm

abile

suR

.

Capit

olo

6.

la

trasf

ormata

difourie

r11

4

Pro

pos

izio

ne

6.2-

5.Se

f(x

)e

xf(x

)so

nofu

nzio

niso

mm

abili

suR

,al

lora

f (

)

ela

tras

form

ata

di(

ix)f

(x):

f (

)

=F

[(

ix)f

(x)]

().

(2)

Info

rma

equi

vale

nte:

xf(x

)ha

com

etr

asfo

rmat

aif

().

Cor

olla

rio.

Sela

funz

ione

xn

f(x

)e

som

mab

ilesu

R,al

lora

f(n

)(

)=

F[(

ix)n

f(x

)](

).(2

)

Sepe

rog

nina

tura

len

lafu

nzio

nex

nf(x

)e

som

mab

ilesu

R,

allo

rala

sua

tras

form

ata

diFo

urie

re

dicl

asse

C(

).

Pro

pos

izio

ne

6.2-

6.Se

f 1e

f 2so

nofu

nzio

niso

mm

abili

suR

,la

loro

conv

oluz

ione

(f1

f 2)(

x)

:=

f 1(

)f2(x

)

d

haco

me

tras

form

ata

f 1(

)f2(

).

Defi

niz

ione

6.2-

1.La

funz

ione

f:R

C

appa

rtie

neal

losp

azio

Sse

,pe

rog

nico

ppia

dinu

mer

ina

tura

lip

eq

esis

teun

aco

stan

teC

p,q

(dip

ende

nte

daf

oltr

ech

eda

pe

q)ta

lech

e

|xpf

(q)(x

)|

Cp,q

,x

R

.(6

)

Pro

pos

izio

ne

6.2-

7.La

tras

form

azio

nedi

Four

ier

f

fe

una

biie

zion

ede

llosp

azio

Ssu

sest

esso

.

Capit

olo

6.

la

trasf

ormata

difourie

r11

5

6.3.

Tras

form

ata

diF

ou

rier

del

lefu

nzi

on

idiq

uad

rato

som

mab

ile

Lem

ma.

Per

ogni

copp

iaf 1

,f2

difu

nzio

nide

llosp

azio

Ssi

ha

f 1(x

)f2(x

)dx

=1 2

f 1

() f

2(

)d,

(1)

cioe

(f1|f

2)

=2

(f1|f

2)

(1 )

dove

ipr

odot

tisc

alar

is

inte

ndon

oin

L2(R

).In

part

icol

are,

per

ogni

funz

ione

fS

siha

f2 2

=2

f2 2

.(2

)

Pro

pos

izio

ne

6.3-

1.Per

ogni

funz

ione

f

L2(R

)la

funz

ione

g n(

):=

n ne

ix

f(x

)dx

=F

[[

n,n

](x)f

(x)]

()

appa

rtie

nea

L2(R

)pe

rog

nina

tura

len;

lasu

cces

sion

en

g nco

nver

gein

L2(R

)ad

una

funz

ione

gch

evi

ene

chia

mat

atr

asfo

rmat

adi

Four

ierdi

f:

g(

):=

limn

g n

()

=F

[f](

),

dove

illim

ite

indi

cato

sin

tend

ene

lse

nso

della

norm

adi

L2(R

).Per

tale

funz

ione

siha

lugu

aglia

nza

g2 2

=2

f2 2

.(2

)

Sepo

if

appa

rtie

nean

che

aL

1(R

),g

coin

cide

con

latr

asfo

rmat

adi

Four

ier

dif

nelse

nso

ordi

nari

o:g(

)=

f(

).

Capit

olo

6.

la

trasf

ormata

difourie

r11

6

6.4.

Ilte

ore

ma

diS

han

no

n

C.Shannon

1916-2

001

Sia

x(t

)un

segn

ale

lacu

iF

-tra

sfor

mat

ae

nulla

fuor

ide

llin

terv

allo

[a,a

]:

|f|>

a=

X(f

)=

0,

esi

adi

quad

rato

som

mab

ilesu

llost

esso

inte

rval

lo.

Allo

ra

x(t

)=

nZx( n 2a

) sinc(

2at

n).

Ric

ordi

amo

che

lafu

nzio

nesi

nce

defin

ita

pone

ndo

sinc

(t)

:=si

n(t)

/(t)

.

Capit

olo

6.

la

trasf

ormata

difourie

r11

7

Tab

ella

6.3-

1.Proprie

ta

della

trasf

ormata

diFourie

r

(con

isi

mbo

lide

llaD

efini

zion

e6.

1-1)

Defi

nizi

one:

F[f

(x)]

()

=f(

):=

e

ix

f(x

)dx

Form

ula

din

vers

ione

:f(x

)=

1 2

ei

x

f(

)d.

F[c

1f 1

(x)+

c 2f 2

(x)]

()

=c 1F

[f1(x

)](

)+

c 2F

[f2(x

)](

)

F[f

(cx)]

()

=1 |c|

F[f

(x)]

( c)c

=0

F[f

(x

x0)]

()

=e

ix0F

[f(x

)](

)

F[e

i0xf(x

)](

)=

F[f

(x)]

(

0)

F[f

(x)]

()

=i

F[f

(x)]

()

d dF

[f(x

)](

)=

F[

ixf(x

)](

)

F[(

f 1f

2)(

x)]

()

=F

[f1(x

)](

)F

[f2(x

)](

)

(f1|f

2)

=2

(f1|f

2)

=

f2

=2

f2

Capit

olo

6.

la

trasf

ormata

difourie

r11

8

Tab

ella

6.3-

1.

Proprie

ta

della

trasf

ormata

diFourie

r

(con

isi

mbo

lide

llaD

efini

zion

e6.

1-1

)

Defi

nizi

one:

F[x

(t)]

(f)

=X

(f)

=

ei2

f

tx(t

)dt

Form

ula

din

vers

ione

:x(t

)=

ei

2

ftX

(f)d

f

F[c

1x

1(t

)+

c 2x

2(t

)](f

)=

c 1X

1(f

)+

c 2X

2(f

)

F[x

(ct)

](f)

=1 |c|

X( f c)

,c

=0

F[x

(t

t 0)]

(f)

=e

it0f

X(f

)

F[e

i2

f0tx(t

)](

)=

X(f

f 0

)

F[x

(t)

](f)

=i2

f

X(f

)

X (

f)

=F

[i2

tx(t

)](f

)

F[(

x1x

2)(

t)](

f)

=X

1(f

)X

2(f

)

(X1|X

2)

=(x

1|x

2)

=

X2

=x

2

Capit

olo

7.

dis

trib

uzio

ni

119

7.D

istri

buzi

oni

7.1.

Ilco

nce

tto

did

istr

ibu

zio

ne

Defi

niz

ione

7.1-

1.La

funz

ione

v:

R

Cap

part

iene

allo

spaz

ioD

(R)

sees

sae

dicl

asse

C(

)(R

)e

ilsu

osu

ppor

to:

supp

v:=

{x

R|v

(x)=

0}e

com

patt

o,du

nque

cont

enut

oin

unin

terv

allo

limit

ato

della

rett

are

ale.

Defi

niz

ione

7.1-

2.D

irem

och

ela

succ

essi

one

v k(x

)di

funz

ioni

dello

spaz

ioD

(R)

conv

erge

alla

funz

ione

nulla

se:

i)es

iste

unin

terv

allo

[a,b

]che

cont

iene

isup

port

idit

utte

lefu

nzio

niv k

:k

,sup

pv k

[a

,b];

ii)

per

ogni

natu

rale

pla

succ

essi

one

delle

deri

vate

k

v(p

)k

(x)

conv

erge

unifo

rmem

ente

alla

funz

ione

nulla

:lim

k

v

(p)

k

=0.

Dir

emo

poic

hev k

(x)

tend

ea

vD

(R)

sev k

v

tend

eal

lafu

nzio

nenu

llane

lsen

soap

pena

spec

ifica

to.

Capit

olo

7.

dis

trib

uzio

ni

120

Defi

niz

ione

7.1-

3.Si

chia

ma

dist

ribu

zion

esu

Rog

nifu

nzio

nale

T:D

(R)

Clin

eare

eco

ntin

uo,ne

lse

nso

che

( v kv

(inD

(R))

=

( T(vk)

T(v

)) .P

ropos

izio

ne

7.1-

1.La

corr

ispo

nden

zach

ead

f

L1 lo

c(R

)as

soci

ala

dist

ribu

zion

ev

Rf(x)v

(x)d

xe

inie

ttiv

a.

Defi

niz

ione

7.1-

4.D

ata

lasu

cces

sion

edi

dist

ribu

zion

i(f

k),

dire

mo

che

f kco

nver

gea

fD

(R

)se

lim kf

k,v=

f,v,

vD

(R).

(3)

Pro

pos

izio

ne

7.1-

2.Si

af k

(x)

una

succ

essi

one

difu

nzio

niso

mm

abili

suR

tali

che

1)f k

(x)

0,k

,x;

2) Rf k

(x)d

x=

1,k

3)

>0,

limk

f

k(x

)dx

=1.

Allo

raf k

(x)

(x)

inD

(R

)pe

rk

.

Capit

olo

7.

dis

trib

uzio

ni

121

Tab

ella

7.1-

1.A

lcune

famig

lie

difunzio

niche

tendono

alla

delt

adiD

irac

f(x

)

f(

x)

[

1/2,1

/2](x)

[1/2

,1/2](x)

[0

,1](x)

[0,1

/](x)

1 1

1+

x2

11

+

2x

2

1

ex2

e

2x2

(1

|x|)+

(1

|x|)+

1 2e

|x|

2e

|x|

Capit

olo

7.

dis

trib

uzio

ni

122

7.2.

Op

eraz

ion

isu

lled

istr

ibu

zio

ni

Com

bina

zion

elin

eare

:

c1f 1

+c 2

f 2,v:

=c 1f

1,v+

c 2f

2,v,

vD

(R).

(1)

Com

posi

zion

eco

nun

afu

nzio

neaffi

ne:

f(a

x+

b),v

(x)

:=1 |a| f(

x),

v( (x

b)/a

) .(2

)

Der

ivat

adi

una

dist

ribu

zion

e:

f (

x),

v(x

):=

f

(x),

v (

x)

.(5

)

Sef(x

)e

cont

inua

suR

tran

nein

unpu

nto

x0

incu

ipre

sent

aun

adi

scon

tinu

ita

dipr

ima

spec

ieco

nsa

lto

s:=

f(x

+ 0)

f(x

0),

ese

per

x=

x0

lafu

nzio

nef

ede

riva

bile

con

deri

vata

(in

sens

oor

dina

rio)

Df(x

)co

ntin

ua,al

lora

inD

(R

)si

ha

f (

x)

=D

f(x

)+

s(

x

x0).

Pro

pos

izio

ne

7.2-

1.Se

per

ladi

stri

buzi

one

fsi

haf=

0,al

lora

fe

cost

ante

.

Capit

olo

7.

dis

trib

uzio

ni

123

7.3.

Dis

trib

uzi

on

item

per

ate

Defi

niz

ione

7.3-

1.D

irem

och

ela

succ

essi

one

v k(x

)di

funz

ioni

dello

spaz

ioS(

R)

conv

erge

alla

funz

ione

nulla

se,

per

ogni

copp

iadi

num

eri

natu

rali

pe

q,la

succ

essi

one

difu

nzio

nik

xpD

qv k

(x)

tend

eun

iform

emen

tea

0su

R:

lim kx

pD

qv k

(x)

=

lim k

( sup

x

R

|xpD

qv k

(x)|

) =0.

Dir

emo

poich

ev k

(x)

tend

ea

vS(

R)

sev k

v

tend

eal

lafu

nzio

nenu

llane

lse

nso

appe

nasp

ecifi

cato

.

Defi

niz

ione

7.3-

2.C

hiam

erem

odi

stri

buzi

one

tem

pera

tasu

Rog

nifu

nzio

nale

f:S

(R)

C

linea

ree

cont

inuo

,ne

lse

nso

che

( v kv

(inS(

R))

=

( f,vk

f,v) .

(1)

Pro

pos

izio

ne

7.3-

1.La

corr

ispo

nden

zav

ve

linea

ree

cont

inua

dallo

spaz

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R)

inse

:( v k

0)=

( v k0) ,

dove

laco

nver

genz

as

inte

nde

nelse

nso

della

Defi

nizi

one

7.3-

1.

Pro

pos

izio

ne

7.3-

2.Per

ogni

copp

iadi

funz

ioni

f,g

L

1(R

)si

ha Rf

()g

()d

=

Rf(

)g(

)d.

(4)

Capit

olo

7.

dis

trib

uzio

ni

124

Defi

niz

ione

7.3-

3.Per

ogni

fS

(R)

sipo

ne

f,v

:=

f,v

,(5

)

per

ogni

vS(

R).

L.Sch

wart

z

1915

-2002

Tab

ella

7.3-

1.A

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rin

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)(S

imbo

lico

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tico

nla

Defi

nizi

one

6.1-

1)

Var

iabi

lein

dipe

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lseg

nale

:x,v

aria

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indi

pend

ente

della

tras

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zion

e);

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f(

):=

e

ix

f(x

)dx

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adin

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itar

io(=

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ione

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side

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indi

cato

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),la

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zion

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indi

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plic

emen

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x.

[La

tabe

llapr

oseg

uene

llapa

gina

segu

ente

]

Capit

olo

7.

dis

trib

uzio

ni

125

f(x

)f(

)

(x)

1

12

()

ei

x2

(

)

R

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)(i

)k

k

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xk

2ik

(k)(

)k

N

1 x i

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()

=

i

sign

()

sign

(x)

2 i=

2

i

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)

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(

)

i

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x i

[(

1)

(

+

1)]=

i[

(+

1)

(

1)]

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[

(

1)+

(

+1)

]

sin

x

i[

(

)

(

+)]

=i

[(

+)

(

)]

R

cos

x

[(

)+

(

+)]

R

Capit

olo

7.

dis

trib

uzio

ni

126

Tab

ella

7.3-

1.

Alcune

trasf

ormate

diFourie

rin

S(R

)(S

imbo

lico

eren

tico

nla

Defi

nizi

one

6.1-

1)

Var

iabi

lein

dipe

nden

tede

lse

gnal

e:t,

vari

abile

indi

pend

ente

della

tras

form

ata:

f(f

requ

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:X

(f)

=

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)dt.

Ilgr

adin

oun

itar

io(=

funz

ione

diH

eavi

side

)e

indi

cato

u(t

),la

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ribu

zion

ev.

p.(1

/t)e

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cata

sem

plic

emen

te1/

t;lu

nita

imm

agin

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vien

ein

dica

taj.

[La

tabe

llapr

oseg

uene

llapa

gina

segu

ente

]

Capit

olo

7.

dis

trib

uzio

ni

127

x(t

)X

(f)

(t)

1

1(

f)

(t

t 0)

ej2

t 0f

ej2

f0t

(f

f 0)

R

(k)(t

)(j

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k

N

(2

t)k

jk(

k)(f

)k

N

1 t j

sign

(f)

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jsi

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)

sign

(t)

1j

f=

j

f

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)(

f)

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f=

(f)

2

j

2f

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2f 0

t)1 2j

[(f

f 0

)

(f

+f 0

)]=

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[(f

+f 0

)

(f

f 0)]

R

cos(

2f 0

t)1 2

[(

)+

(

+)]

R

Capit

olo

7.

dis

trib

uzio

ni

128

7.4.

Dis

trib

uzi

on

iper

iod

ich

e

Sia

t

x(t

)un

afu

nzio

neso

mm

abile

suR

;se

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/|t|

)co

n

>1

per|t|

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siam

ode

finir

ela

ripe

tizi

one

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dix

dipe

riod

oT

:

xT(t

):=

k=

x(t

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)

Ico

effici

enti

diFo

urie

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della

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ione

xT

sisc

rivo

no

c n=

1 T

T/2

T

/2

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aven

dopo

sto

f 0:=

1/T

(fre

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zafo

ndam

enta

le).

Sitr

ova

c n=

1 T

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T/2+

kT

T

/2

kT

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)e

in2

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Capit

olo

7.

dis

trib

uzio

ni

129

Sein

dich

iam

oco

nX

(f)

latr

asfo

rmat

adi

Four

ier

dix,ab

biam

oal

lora

c n=

f 0X

(nf 0

).(2

)

Lo

svilu

ppo

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nefu

nzio

nepe

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ica

xT

sisc

rive

dunq

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(3

)de

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ragr

afo

3.5)

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)=

k=

x(t

kT

)=

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2

nf0t=

f 0

n=

X(n

f 0)e

i2

nf0t.

(3)

Abb

iam

oot

tenu

tola

form

ula

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mm

azio

nedi

Poi

sson

.Per

t=

0(s

cam

bian

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con

k)

siha

:

k=

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T)

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n=

X(n

f 0).

(4)