MATEMATICA PER L’ECONOMIA

CORSO SERALEI° MODULO

Prof.ssa Angela Ghiraldini

ARGOMENTI del MODULO

EQUAZIONI di I° e II° GRADO DISEQUAZIONI di I° e II° GRADO MATRICI e DETERMINANTI SISTEMI di EQUAZIONI LINEARI FUNZIONI REALI ad UNA VARIABILE REALE RICERCA OPERATIVA concetti generali programmazione lineare metodo grafico metodo del simplesso

A. Ghiraldini

SISTEMI di EQUAZIONI LINEARI GENERALITA’

Data un’equazione lineare (di I° grado) a1x1 + a2x2 + … + aixi + … + anxn = b

essa si dice omogenea se b = 0

Un insieme di m equazioni lineari nelle medesime n incognite si dice sistema lineare di ordine mxn e si scrive nella forma

a11x1 + a12x2 + … + a1ixi + … + a1nxn = b1

… + … + … + … + … + … = .. ai1x1 + ai2x2 + … + aiixi + … + ainxn = bi

… + … + … + … + … + … = .. am1x1+ am2x2 + … + amixi + …+ amnxn = bm

Dove aij è il coefficiente dell’incognita xj nella i-esima equazione

A. Ghiraldini

SISTEMI di EQUAZIONI LINEARI GENERALITA

Un sistema lineare può essere scritto anche nella forma matriciale AX = N

Dove A è la matrice m x n dei coefficienti delle incognite X è la matrice n x 1 delle incognite N è la matrice 1 x m dei termini noti

Una soluzione di un sistema lineare è una n-upla ordinata (s1, s2, … , si , … , sn) che, sostitutita alla n-pla X, verifica tutte le

equazioni del sistema

Un sistema lineare si dice omogeneo se la matrice N è nulla

Due sistemi lineari si dicono equivalenti se i rispettivi insiemi di soluzioni coincidono

A. Ghiraldini

SISTEMI di EQUAZIONI LINEARI GENERALITA’

Circa la risolvibilità di un sistema lineare possono verificarsi i seguenti casi

SISTEMISISTEMILINEARILINEARI

POSSIBILI IMPOSSIBILI

determinati indeterminati

POSSIBILE: quando ammette soluzione/iDETERMINATO: quando ammette una sola soluzioneINDETERMINATO: quando ammette infinite soluzioniIMPOSSIBILE: quando non ammette soluzioni A. Ghiraldini

SISTEMI di EQUAZIONI LINEARI RISOLUZIONE dei SISTEMI LINEARI

QUADRATI

Dato un sistema lineare quadrato in n equazioni e n incognite :

si chiama matrice incompleta (o dei coefficienti) la matrice A contenente i coefficienti aij relativi alle incognite x1, x2, … , xi, … , xn , cioè la

A = (aij) per i = j = 1,2,…,n

si chiama matrice completa la matrice B ottenuta aggiungendo ad A la colonna N dei termini noti, cioè la

B =

A. Ghiraldini

a11 … a1i ... a1n b1

… … … … … …

ai1 … aii … ain bi

… … … … … …

an1 … ani … ann bn

SISTEMI di EQUAZIONI LINEARI RISOLUZIONE dei SISTEMI LINEARI QUADRATI

TEOREMA di CRAMERCondizione necessaria e sufficiente affinchè un sistema lineare

quadrato abbia una ed una sola soluzione è che il determinante della matrice incompleta A sia non nullo.

Se detA ≠ 0, l’ unica soluzione è data dalle FORMULE di CRAMER :

x1 = Δ1/Δ , … , xi = Δi/Δ , … , xn = Δn/Δ

dove Δ = detA , e la quantità Δi , è il determinante della matrice ottenuta dalla matrice A, sostituendo la i-esima colonna con la

colonna dei termini noti

A. Ghiraldini

SISTEMI di EQUAZIONI LINEARI RISOLUZIONE dei SISTEMI LINEARI QUADRATI

Oss.1 essendo un teorema di esistenza ed unicità, se detA = 0 allora il sistema è : indeterminato o incompatibile

Oss.2 se il sistema è omogeneo, con detA ≠ 0 , l’unica soluzione è, banalmente, la x1 = x2 = … = xi = … = xn = 0

A. Ghiraldini

SISTEMI di EQUAZIONI LINEARI

esempio 3x + y – 2z = -2 x - 2y + 5z = -1 con D = = -42 2x + 3y – z = 11

Dx= = 42 Dy= =-210 Dz= =-84

x = Dx/D y = Dy/D z = Dz/D

x=42/(-42)=-1 y=(-210)/(-42)=5 z=(-84)/(-42)=2

3 1 -2

1 -2 5

2 3 -1

-2 1 -2

-1 -2 5

11 3 -1

3 -2 -2

1 -1 5

2 11 -1

3 1 -2

1 -2 -1

2 3 11

SISTEMI di EQUAZIONI LINEARI RISOLUZIONE dei SISTEMI LINEARI QUALSIASI

Se il sistema lineare che bisogna risolvere risulta essere non quadrato (m≠n), oppure non di Cramer (m=n e

detA=0), si ricorre al seguente Teorema che fornisce una condizione di esistenza o non esistenza delle soluzioni

TEOREMA di Rouchè-CapelliCondizione necessaria e sufficiente affinchè un sistema AX

= N ammetta delle soluzioni è che la matrice incompleta A e la matrice completa B abbiano la stessa caratteristica (rango), cioè k(A) = k(B)

A. Ghiraldini

SISTEMI di EQUAZIONI LINEARI RISOLUZIONE dei SISTEMI LINEARI

QUALSIASI

Oss.1 essendo un teorema di esistenza/non esistenza , non fornisce un metodo per individuare le soluzioni

Oss.2 se applicato ad un sistema che verifichi il Teorema di Cramer, oppure ad un sistema omogeneo,

risulta banalmente verificato

A. Ghiraldini

SISTEMI di EQUAZIONI LINEARI RISOLUZIONE dei SISTEMI LINEARI QUALSIASI

Se un sistema lineare, non quadrato o non di Cramer, verifica il Teorema di Rouchè-Capelli, cioè se k(A) = k(AN) = r , si possono verificare due situazioni:

r = n => esiste una unica soluzione r < n => esistono infinite soluzioni dipendenti da n-r

parmetri

r = nIn questo caso il sistema da risolvere è non quadrato, non omogeneo ed

i ranghi della matrice incompleta e della completa coincidono e sono pari a n, quindi è possibile estrarre almeno un minore di ordine < n

Si itera questo procedimento fino a quando il sistema ridotto ha dimensione tale da poter essere risolto utilizzando le formule di Cramer o il metodo di sostituzione

Il sistema ridotto relativo al minore individuato è equivalente al sistema di partenza quindi la unica soluzione ottenuta per esso è valida anche per il sistema iniziale

A. Ghiraldini

SISTEMI di EQUAZIONI LINEARI esempio Rouchè-Capelli per r = n

x + 8y = 10

-2x + 3y = -1 con detB = = 0 5x + 2y = 12

1 8 Consideriamo ora la sottomatrice quadrata M = -2 3 1 8Poiché detM = -2 3 = 3 + 16 = 19 ≠ 0 ed essendo M sottomatrice sia di A che di

B, possiamo dedurre che entrambe la matrici hanno caratteristica 2, cioè r = k(A) = k(B) = 2

Quindi, per il Teorema di Rouchè-Capelli, il sistema ammette soluzione essa inoltre è unica essendo r = n, cioè pari al numero delle incognite

Il sistema da risolvere è ora quello ridotto, quadrato di ordine 2 x + 8y = 10 mediante le formule di Cramer x = 2 -2x + 3y = -1 si ottiene la soluzione unica y = 1

1 8 10

-2 3 -1

5 2 12

SISTEMI di EQUAZIONI LINEARI RISOLUZIONE dei SISTEMI LINEARI

QUALSIASI

r < nIn questo caso il sistema da risolvere è non quadrato, non omogeneo

ed i ranghi della matrice incompleta e della completa coincidono, ma sono minori di n, quindi è possibile estrarre almeno un minore di ordine r < n

Il sistema ridotto relativo al minore individuato è di ordine r , nelle r equazioni rimanenti si passano a secondo membro le n-r incognite rimanenti e vengono ad esse assegnati dei valori arbitrari

Il sistema ridotto di ordine r individuato è equivalente al sistema di partenza

Essendo quadrato lo si può risolvere ricorrendo alle formule di Cramer o al metodo di sostituzione e la unica soluzione che si ottiene è valida anche per il sistema iniziale

Ma tale soluzione dipende dagli n-r parametri, quindi in realtà il sistema iniziale ha ∞n-r soluzioni

A. Ghiraldini

SISTEMI di EQUAZIONI LINEARI esempio Rouchè-Capelli per r < n x + 7y – z = 15 A= x + 2y – 3z = -5 con

1 7 1 7Consideriamo ora la sottomatrice quadrata M = 1 2 con 1 2 = -5 ≠ 0 M è sottomatrice sia di A che di B, si dedurre che entrambe la matrici hanno

caratteristica 2, cioè r = k(A) = k(B) = 2

Quindi, per il Teorema di Rouchè-Capelli, il sistema ammette soluzione non unica infatti r < n, quindi esistono ∞1 = ∞n-r = ∞3-2 soluzioni

Il sistema da risolvere è ora quello a 2 incognite e 1 parametro x + 7y = 15 +z mediante le formule di Cramer si ottiene x + 2y = -5 + 3z la soluzione unica x=Dx/D y=Dy/D

Dx= 15+z 7 = -13 Dy = 1 15+z quindi x= (19/5)z - 13 -5+3z 2 1 -5+3z y= 4 - (2/5)z

1 7 -1

1

2 -3