MATEMATICA PER LE SCIENZE ECONOMICHE - unirc.it · 2015. 10. 21. · Matematica per le Scienze...

MATEMATICA PER LE SCIENZE ECONOMICHELE DECISIONI AZIENDALI DI LUNGO PERIODO

Prof. Massimil iano FERRARA

CORSO DI LAUREA MAGISTRALE IN ECONOMIA (LM-56)

Università Mediterranea di Reggio Calabria, DiGiEc, LM-56, MATEMATICA PER LE SCIENZE ECONOMICHE

Corso di Laurea Magistrale in Economia (LM-56)Matematica per le Scienze Economiche


AGENDA Elementi di matematica finanziaria

Valutazione o analisi degli investimenti

Elementi necessari alla valutazione economica di un progetto di investimento

Criteri di valutazione degli investimenti

• Valutazione di progetti indipendenti

• Scelta tra progetti alternativi

o In presenza di vincoli sulle risorse

o Di diversa durata

Università Mediterranea di Reggio Calabria, DiGiEc, LM-56, Matematica per le Scienze Economiche 2

ELEMENTI DI MATEMATICA FINANZIARIA




ARGOMENTI• Valore temporale del capitale e costo opportunità del capitale

• Capitalizzazione, valore futuro e composizione degli interessi

• Attualizzazione e valore attuale

• Rendita annua (annuity) e rendita perpetua (perpetuity)

• Piano di ammortamento del debito

• Tasso annuo nominale (TAN), tasso annuo effettivo (TAE) e tasso annuo effettivo globale(TAEG)

• Tassi di interesse non costanti

• Tassi di interesse nominali vs tassi di interesse reali


Elementi di matematica finanziaria



VALORE TEMPORALE DEL CAPITALE1 € di oggi vale più, meno o come 1 € tra un anno?

Valore temporale del capitale (time value of money)1 € disponibile oggi può essere investito per generare nel futuro un ritorno positivo; pertanto 1 € disponibile oggi valedi più di 1 € disponibile domani (primo principio dellafinanza)

Ad esempio, se è possibile investire € 100 al 10% annuo, €100 oggi diventano € 110 tra un anno

In generale, se r è il tasso di interesse annuo e C il capitaledisponibile oggi per l’investimento, in un annol’investimento cresce di (1 + r) per ogni € investito. Informule C oggi → C * (1 + r) tra un anno


t+1t

C

C * (1+r)




COSTO OPPORTUNITÀ DEL CAPITALE Costo opportunità del capitale (opportunity cost of capital)

È definito come il miglior rendimento alternativo a cui si rinuncia quando vieneeffettuato un investimento

• È utile per capire come rendere “omogenei” e quindi confrontabili flussi di cassa conmanifestazione in momenti diversi

Esempio

Vi propongono due opportunità di investimento

• Investire € 100.000 oggi in un progetto per avere tra un anno un ritorno atteso di €110.000

• Investire in titoli di stato al tasso annuo del 3%

Investendo nel progetto avete un rendimento atteso del 10%, ma rinunciate al rendimentoofferto dall’impiego alternativo del capitale (3%), che pertanto costituisce il vostro costoopportunità del capitale





COSTO OPPORTUNITÀ DEL CAPITALE: UN’APPLICAZIONE 1/4Si consideri un progetto di acquisto per € 30.000 di una Radio con l’obiettivo di svilupparnel’attività e il prestigio e poterla rivendere dopo un anno. Si ipotizzi che

• Il pagamento della Radio sia contestuale all’acquisto

• Il progetto preveda l’assunzione di un giovane e bravo DJ

• La remunerazione del DJ e gli altri costi di gestione ammontino complessivamente per ilperiodo a € 15.000 e i suddetti costi debbano essere pagati anticipatamente

• La Radio possa essere rivenduta, dopo un anno, per € 47.000 (esiste già un acquirenteaffidabile disposto a pagare questo prezzo)

In questa situazione la semplice somma algebrica dei flussi di cassa che descrivonol’investimento produce un risultato apparentemente positivo


Fonte: “Sistemi di controllo”, Anthony et al.




COSTO OPPORTUNITÀ DEL CAPITALE: UN’APPLICAZIONE 2/4

Poiché i flussi di cassa hanno manifestazione temporale diversa, non ha nessun significatoeffettuare una semplice somma algebrica per valutare la convenienza dell’investimento.• Infatti, 1 € disponibile oggi vale più di 1 € disponibile domani

Il problema si risolve rendendo “omogenei” i due flussi, convertendoli in flussi di cassaconfrontabili, dunque come se avessero tutti manifestazione nel medesimo istante

Fonte:“Sistemi di controllo”, Anthony et al.


Incasso da cessione della Radio (A) 47.000Esborso per l’acquisto della Radio (B) 30.000Esborsi per il DJ e gli altri costi di gestione (C) 15.000Esborso totale (D = B + C) 45.000Differenza tra incassi ed esborsi (E = A – D) 2.000




COSTO OPPORTUNITÀ DEL CAPITALE: UN’APPLICAZIONE 3/4

Come è stato determinato il fattore di conversione o tasso di capitalizzazione presente nella tabella che converte € disponibili oggi in € disponibili domani?

È stato necessario verificare il rendimento di investimenti alternativi, comparabili, in termini di rischio e durata, al Progetto Radio



In € all’istante iniziale

Tasso di capitalizzazione

In € di un anno dopo

Incasso da cessione 47.000Esborso per l’acquisto della Radio 30.000 →1,05→ 31.500Esborso per il DJ e altri costi di gestione 15.000 →1,05→ 15.750Esborsi totali 45.000 47.250Risultato economico - 250




COSTO OPPORTUNITÀ DEL CAPITALE: UN’APPLICAZIONE 4/4 In particolare, si ipotizzi che il rendimento che si otterrebbe investendo sui mercati

finanziari in un progetto alternativo avente lo stesso livello di rischio del Progetto Radio, ossia il costo opportunità del capitale, sia del 5%

Se impiegassimo oggi i € 45.000 necessari al progetto (€ 30.000 + € 15.000) e li investissimo nel progetto alternativo, fra un anno disporremmo di una somma pari a

€ 45.000 * (1 + 0,05) = € 47.250


In sintesi, non conviene investire nel Progetto Radio perché l’entrata di cassa di € 47.000 generata dopo un anno dall’impiego del denaro (€ 45.000 ) risulta inferiore all’ammontare di€ 47.250, costituito dall’esborso iniziale di € 45.000 più ilcorrispondente costo opportunità di € 2.250, di cui disporremmodopo un anno investendo nel progetto alternativo





VALORE FUTURO Valore futuro (future value, VF)

Il valore futuro è il montante ad una data futura di un capitale disponibile oggi comeconseguenza della maturazione degli interessi

Esempio - 1 periodo

Investite € 1.000 al 12% annuo. Qual è il valore futuro tra un anno?

VF = € 1.000 * (1 + 0,12) = € 1.120

determinato dalla somma iniziale di € 1.000 più € 120 di interessi (12% € 1000 = € 120)





COMPOSIZIONE DEGLI INTERESSI 1/4 Composizione degli interessi (compounding)

Qual è il valore futuro di € 1.000 investiti per 2 anni al 12% annuo?

• Dopo un anno avete € 1.120 [€ 1.000 * (1 + 0,12)]

• Questa somma viene investita per un altro anno, sempre al 12%.

Alla fine del secondo anno avete pertanto

VF = € 1.120 *(1 + 0,12) = € 1.000 * (1 + 0,12) * (1 + 0,12) = € 1.254,4

• Nel secondo periodo la crescita del capitale è pari a € 1.254,4 – € 1.120 = € 134,4

così composto:

o12% sulla somma iniziale (€ 1.000) =€120,0

o12% sugli interessi del primo anno (€ 120)= €14,4

€134,4


1.000120

1.000

1.000

120

134,4

t+2t+1t




COMPOSIZIONE DEGLI INTERESSI 2/4• In altre parole, il calcolo degli interessi viene effettuato anche sugli interessi maturati

nei periodi precedenti• E perciò, in generale, se si investe ad un tasso annuo r per t anni, il valore futuro di

ogni € investito è pari a

(1 +r)*(1 + r)*….*(1 + r) = (1 +r) t

t volte





COMPOSIZIONE DEGLI INTERESSI 3/4Esempio


Interessi su € 1000 dopo t anni (€)r t= 1 t= 5 t= 10 t= 2010% 100 610.5 1,583.7 5,727.520% 200 1,488.0 5,191.7 37,337.6

2x 2.4x 3.3x 6.5x

Il calcolo degli interessi vieneeffettuato anche sugliinteressimaturati nei periodiprecedenti

€ -

€ 5.000

€ 10.000

€ 15.000

€ 20.000

€ 25.000

€ 30.000

€ 35.000

€ 40.000

€ 45.000

€ 50.000

0 t1 t5 t10 t20

r=20%

r=10%




COMPOSIZIONE DEGLI INTERESSI 4/4 Regime di capitalizzazione semplice e regime di capitalizzazione composta

a. Interesse composto – di periodo in periodo gli interessi maturano anche sugliinteressi maturati precedentemente (v. supra)

Ad esempio, in regime di capitalizzazione composta il valore futuro di € 1.000investiti al 12% annuo per 6 anni è

VF = € 1.000 * (1 + 0,12)6 = € 1.973,8

b. Interesse semplice – gli interessi vengono calcolati solamente sulla somma iniziale

Ad esempio, in regime di capitalizzazione semplice il valore futuro di € 1.000investiti al 12% annuo per 6 anni è

VF = € 1.000 * (1 + 0,12 * 6) = € 1.720





VALORE ATTUALE 1/3 Attualizzazione e valore attuale

Il valore attuale è il valore oggi di una somma di capitale disponibile nel futuro

Esempio - Attualizzazione - 1 periodo

• Quanto si deve investire oggi con un tasso annuo dell’11% per ottenere € 2.000 tra un anno?

• La risposta a questa domanda è il valore attuale di € 2.000 tra un anno all’11%

• Sappiamo dalle formule del valore futuro che VA * (1 + 0,11) = € 2.000

• Pertanto VA =€2000

(1+0,11)= €1801,8

Esempio - Attualizzazione - t periodi

• Per ottenere € 2.000 tra 5 anni? VA * (1 + 0,11)5 = € 2.000 ⇒ VA =€2000

1+0,11 5= €1186,9





VALORE ATTUALE 2/3 Attualizzazione e valore attuale

VF = VA * (1 + r)t

• Quattro variabili: VF, VA, r, t

• Date 3 qualsiasi di esse è possibile risolvere per la quarta

r = (VF/VA)1/t – 1

t = 𝑙𝑛𝑉𝐹−𝑙𝑛𝑉𝐴

ln(1+𝑟)=

ln(𝑉𝐹−𝑉𝐴)

ln(1+𝑟)

VA =𝑉𝐹

1+𝑟 𝑡





VALORE ATTUALE 3/3Esempio

• Se il vostro investimento raddoppia in 5 anni, qual è il tasso annuo?

r = (2/1)1/5 – 1 = 0,1487 = 14,87%

• Ad un tasso del 30% quanto tempo ci vuole affinché l’investimento raddoppi?

t = ln(2/1) / ln(1,3)= 2,64 anni





VALORE FUTURO E VALORE ATTUALE


Valore Attuale (VA)1.00

0.800.80

1.00

PV

Fact

or

0.20

r = 15%

0.00

0.40

r = 10%

0.20

r = 15%

0.00

0.60r = 5%

0 5 10 15

Time

8.00

Future Value (FV)10.00

r = 15%

6.00

r = 10%4.00

r = 5%

FV

Fact

or

2.00

0.00

0 5 10 15

Time




FLUSSI DI CASSA MULTIPLIFlussi di cassa multipli

Esempio

r = 9% con flussi di cassa alla fine del periodo

Qual è il VA della serie e qual è il VF dopo 7 anni?

VA =2500

1,09 1+

900

1,09 4+

3600

1,09 6= 5077,7

VF = 2.500 * (1 + 0,09)6 + 900 * (1 + 0,09)3 + 3.600 * (1 + 0,09)1 = 9.282,3 =

VA * (1 + r)t = 5.077,7 * (1 + 0,09)7 = 9.282,3


Anno 1 4 6

Flusso (€) 2.500 900 3.600




ANNUITY 1/6 Annuity (Rendita Annua)

Serie di flussi di cassa costanti percepiti ad intervalli regolari (ogni anno) per un certoperiodo di tempo

• Qual è il VA di una serie di flussi costanti C per T anni al tasso r ?

𝑉𝐴 =𝐶

1+𝑟 1+

𝐶

1+𝑟 2+

𝐶

1+𝑟 3+⋯+

𝐶

(1+𝑟)𝑇−1+

𝐶

1+𝑟 𝑇(1)

Moltiplicando per (1 + r)

1 + 𝑟 ∗ 𝑉𝐴 = 𝐶 +𝐶

1+𝑟 1+

𝐶

1+𝑟 2+⋯+

𝐶

(1+𝑟)𝑇−2+

𝐶

(1+𝑟)𝑇−1(2)

Sottraendo la (1) dalla (2) si ottiene

r ∗ 𝑉𝐴 = 𝐶 −𝐶

1+𝑟 𝑇⇒ 𝑉𝐴 =

𝐶

𝑟−

𝐶

𝑟∗

𝐶

(1+𝑟)𝑇





ANNUITY 2/6Valore futuro di una annuity

Partendo dalla formula appena calcolata

𝑉𝐴 =𝐶

𝑟−

𝐶

𝑟∗

1

(1+𝑟)𝑇

𝐹𝑉 = 𝑉𝐴 ∗ (1 + 𝑟)𝑇

=𝐶

𝑟∗ (1 + 𝑟)𝑇 −

𝐶

𝑟

=𝐶

𝑟∗ ((1 + 𝑟)𝑇 − 1)





ANNUITY 3/6Numero di pagamenti / flussi di cassa di una annuity

Partendo dalla formula appena calcolata

𝑉𝐴 =𝐶

𝑟−

𝐶

𝑟∗

1

(1+𝑟)𝑇

𝐹𝑉 = 𝑉𝐴 ∗ (1 + 𝑟)𝑇

=𝐶

𝑟∗ (1 + 𝑟)𝑇 −

𝐶

𝑟

=𝐶

𝑟∗ ((1 + 𝑟)𝑇 − 1)




ANNUITY 4/6Annuity

Valore Attuale

Numero di pagamenti

Valore Futuro

Flussi di cassa





ANNUITY 5/6Esempi

Qual è il VA di un’annuity della durata di 6 anni con pagamenti di € 4.000 al tasso r = 8%?

VA = (C/r) * [1 – 1/(1+r)T] = (4.000/0,08) * [1 – 1/(1 + 0,08)6] = € 18.491,5

Prendete a prestito € 30.000 oggi al tasso del 12% e scegliete di ripagarlo con un’annuity di 10 anni

Qual è il pagamento annuale?

30.000 = (C/0,12) * [1 – 1/(1 + 0,12)10] ⇒ C = 30.000/5,65 = € 5.309,5


C = 4.000 r = 0,08 T = 6

C = 30.000 r = 0,12 T = 10




ANNUITY 6/6Esempio

Valore attuale dei rimborsi

• Miss Smart accetta di ripagare il suo prestito bancario in 24 rate mensili da € 500ciascuna.

Se il tasso di interesse applicato dalla banca è dello 0,75% su base mensile, qual è il valoreattuale della serie di pagamenti?

VA = (C/r) * [1 – 1/(1+r)T]

VA24 = (500/0,0075) * [1-1/(1,0075)24] = € 10.944,57


C = 500 r = 0,0075 T = 24




GROWING ANNUITY 1/2Growing annuity (Rendita annua a rendimento crescente)

Se in una annuity il flusso di cassa Ct (t = 1 … T) cresce ad un tasso costante g, se cioè

C1C2 = C1 * (1 + g) C3 = C2 * (1+g)

…

CT = CT-1 * (1 + g) = C1 * (1 + g)T-1

l’annuity è denominata a rendimento crescente e il suo valore attuale è





GROWING ANNUITY 2/2Esempio

Si consideri il caso di una miniera d’oro in cui abbiamo il diritto di estrarre oro per i prossimi20 anni. Si prevede di estrarre 5.000 once d’oro all’anno. Il prezzo dell’oro oggi (t = 0) è di400 €/oncia ma ne si stima un tasso di crescita del 3% all’anno. Il tasso di sconto è pari al10%

Calcolare il VA della rendita annua a rendimento crescente

𝑉𝐴 =𝐶1

𝑟 − 𝑔−

𝐶1𝑟 − 𝑔

∗(1 + 𝑔)𝑇

(1 + 𝑟)𝑇

𝑉𝐴 =2.060.000

0,10 − 0,03−

2.060.000

0,10 − 0,03∗(1 + 0,03)20

(1 + 0,10)20= €21.527.973


C1 = 400 * (1 + 0,03) * 5.000 r = 0,10 g=0,03 T = 20




PERPETUITY 1/2 Perpetuity (rendita perpetua)

Si tratta di un’annuity con flussi di cassa che continuano all’infinito

𝑉𝐴 =𝐶

(1+𝑟)1+

𝐶

(1+𝑟)2+

𝐶

(1+𝑟)3+⋯ (1)

moltiplicando per (1+ r) si ottiene

(1 + 𝑟) ∗ 𝑉𝐴 = 𝐶 +𝐶

(1+𝑟)1+

𝐶

(1+𝑟)2+⋯ (2)

sottraendo la (1) dalla (2) otteniamo

𝑟 ∗ 𝑉𝐴 = 𝐶 ⟹ 𝑉𝐴 =𝐶

𝑟





PERPETUITY 2/2Esempi

Qual è il VA di una perpetuity con pagamenti di € 4.000 nell’ipotesi di un tasso di interesse r= 8%?

VA = C/r = 4.000/0,08 = € 50.000

Quanto vale un’obbligazione irredimibile (che non scade mai) che paga una cedola del 6%nell’ipotesi di un tasso di interesse pari al 9%?

VA = C/r = 60/0,09 = € 667


C = 4000 r = 0,08

C = 6%*1000 r = 0,09




GROWING PERPETUITY 1/2Growing perpetuity (rendita perpetua a rendimento crescente)

Se in una perpetuity il flusso di cassa Ct (t = 1 … T) cresce ad un tasso costante g per sempre, se cioè

C1C2 = C1 * (1 + g) C3 = C2 * (1+g)…

CT = CT-1 * (1 + g) = C1 * (1 + g)T-1

…

la perpetuity è denominata a rendimento crescente e il suo valore attuale è

𝑉𝐴 =𝐶1

𝑟 − 𝑔





GROWING PERPETUITY 2/2Esempio

Si consideri l’obbligazione irredimibile (che non scade mai) dell’esempio precedente, supponendo ora che la cedola iniziale del 6% cresca ad un tasso annuo del 2%

Calcolare il VA della rendita perpetua a rendimento crescente nell’ipotesi di un tasso diinteresse pari al 9%

𝑉𝐴 =𝐶1

𝑟 − 𝑔

𝑉𝐴 =60

0,09 − 0,02= €857


C1 = 60 r = 0,09 g=0,02




ANNUITY vs PERPETUITYChe relazione c’è tra un’annuity e una perpetuity?

È facile verificare (sia graficamente che dalle formule) che una annuity per T periodi puòessere pensata come la differenza tra una perpetuity da oggi e una perpetuity da T

Annuity

Oggi T

VA = (C/r) – (C/r) * [1/(1+r)T]

Perpetuity

Oggi

VA = (C/r) T

VA = (C/r) * [1/(1+r)T] VF = (C/r)





PIANO DI AMMORTAMENTO DEL DEBITO 1/5 Piano di ammortamento del debito

Suddivide ciascun pagamento relativo al rimborso di un debito nelle due componenti di

• Rimborso del capitale

• Pagamento degli interessi

Se il piano di rimborso deciso dai contraenti (di cui uno è tipicamente una banca) avviene a rate costanti, allora si prospetta la fattispecie dell’annuity e di conseguenza si possonoapplicare tutte le formule ad essa riconducibili





PIANO DI AMMORTAMENTO DEL DEBITO 2/5

Esempio

Il signor Rossi prende a prestito € 1.000 rimborsabili in cinque rate annuali costanti a partiredalla fine del prossimo anno.

A quanto ammonta ciascuna rata se il tasso di interesse applicato dalla banca è pari al 10%annuo?


Piano di ammortamento del debito con rimborso a rate costanti

Annuity

VA VF C T




PIANO DI AMMORTAMENTODEL DEBITO 3/5In questo caso, l’obiettivo è quello di calcolare il flusso di cassa di un’annuity di 5 anni cheoggi vale € 1.000 nell’ipotesi di un tasso pari al 10%

𝑉𝐴 =𝐶

𝑟∗ 1 −

1

(1+𝑟)𝑇

𝐶 =𝑉𝐴∗𝑟

1−(1+𝑟)−𝑇

𝐶 =1.000∗0,1

1−(1+0,1)−5= 263,8


VA = 1000 r = 0,10 T=5




Esempio La rata di ogni periodo è scomponibile nelledue componenti capitale e interessi

La componente di interessi di ciascunperiodo si calcola come prodotto tra il tassodi interesse applicato dalla banca (10%) el’indebitamento alla fine del periodoprecedente

La componente di rimborso del capitale inciascun periodo è la differenza tral’ammontare della rata e la componente diinteressi

La componente di rimborso di capitale ècrescente e la componente di pagamentodegli interessi è decrescente a formare unarata costante per T periodi






Esempio

Viene acceso un prestito bancario di € 5.000 da restituirsi mediante 7 rate annue costanti;si calcoli l’importo della rata e la si scomponga nelle componenti di rimborso del capitalee di interessi

𝐶 =𝑉𝐴 ∗ 𝑟

1 − (1 + 𝑟)−𝑇





TASSO ANNUO NOMINALE E TASSOANNUO EFFETTIVO 1/8 Tasso Annuo Nominale (TAN) ed Effettivo (TAE)

I tassi di interesse sono solitamente indicati su base annua, ma la liquidazione degli interessi può avvenire più di una volta all’anno e quindi restituire un interesse effettivo (TAE) diversoda quello nominale (TAN)

Esempio

• Si considerino le condizioni contrattuali offerte da due istituti bancari diversi per l’apertura di un conto corrente

• La banca A offre queste condizioni : tasso attivo r del 4% con liquidazione degliinteressi annuale

• La banca B offre lo stesso tasso ma con liquidazione degli interessi semestrale

• Si ipotizzi di depositare € 100 in due c/c aperti presso le due banche





TASSO ANNUO NOMINALE E TASSOANNUO EFFETTIVO 2/8 Nel primo caso dopo un anno sarà possibile liquidare il conto ritirando € 104

Nel secondo caso, invece, sarà possibile ritirare già dopo sei mesi la frazione degliinteressi relativa al primo semestre – e cioè € 2 (la metà degli interessi pari al 4%) –mentre a fine anno saranno liquidati sul conto anche gli interessi relativi al secondosemestre (altri € 2) più il capitale iniziale

Calcoliamo i rendimenti effettivi TAE A e TAE B offerti dalle due banche


104 102

2

t=1t=0 t=1/2 t=1t=0

100 100Banca A Banca B




TASSO ANNUO NOMINALE E TASSOANNUO EFFETTIVO 3/8 Esse devono soddisfare le seguenti relazioni

100 =104

1+𝑇𝐴𝐸𝐴da cui TAEA=4%

100 =2

(1+𝑇𝐴𝐸𝐵)1/2 +

102

1+𝑇𝐴𝐸𝐵da cui TAEB=4,04%

La seconda banca offre dunque condizioni migliori. Infatti, il tasso di rendimento annualedel 4% con interessi composti ogni 6 mesi corrisponde ad un rendimento implicito del4,04%

Allo stesso risultato potremmo arrivare ipotizzando, nel caso del conto aperto presso labanca B, di non incassare gli interessi pagati dopo 6 mesi, ma di lasciarli sul conto, eritirare il montante alla scadenza successiva





TASSO ANNUO NOMINALE E TASSOANNUO EFFETTIVO 4/8In tal caso, gli interessi maturati dopo 6 mesi (€ 2) genereranno a loro volta interessi, pari a € 0,04, ovvero il 4% di € 2 diviso 2 (visto che rimangono sul conto solo per altri 6 mesi)

Seguendo questa strategia, il rendimento effettivo TAE B sarà pari a 100 =104,04

1+𝑇𝐴𝐸𝐵da cui

TAEB=4,04%





TASSO ANNUO NOMINALE E TASSOANNUO EFFETTIVO 5/8 La lezione è che non si possono confrontare direttamente tassi di interesse con diversi

regimi di capitalizzazione, anche se relativi alla stessa scadenza

Inoltre, da quest’ultimo esempio si vede chiaramente che il metodo dell’attualizzazionedei flussi di cassa ipotizza implicitamente il reinvestimento dei flussi di cassa intermedialle stesse condizioni contrattuali di remunerazione … altrimenti non avrebbe alcunvalore percepire un flusso finanziario prima della scadenza. E’ necessario quindiindividuare un TAE che renda confrontabili i diversi regimi di capitalizzazione

In generale, componendo m volte all’anno con un TAN pari a r, si haTAE = (1 + r/m)m – 1

TAN = r = m * [ (1 + TAE)1/m - 1 ]





TASSO ANNUO NOMINALE E TASSOANNUO EFFETTIVO 6/8

Esempio

Se il TAN = 10%, si ottiene con

• Composizione semestrale TAE = (1 + 0,1/2)2 – 1 = 10,25%

• Composizione mensile TAE = (1 + 0,1/12)12 - 1= 10,47%

• Composizione settimanale TAE = (1 + 0,1/52)52 - 1= 10,51%

Esempio

Se ad un prestito è associato un TAN del 16%, qual è il tasso annuo effettivo con rimborsi subase semestrale?

TAE = (1 + r/m)m – 1 = (1 + 0,16/2) 2 – 1 = 0,1664 o 16,64%




TASSO ANNUO NOMINALE E TASSOANNUO EFFETTIVO 7/8

Esempio

Qual è il valore futuro di € 25 investiti allafine di ognuno dei prossimi tre anni se il tassodi interesse di riferimento è pari al 9%composto annualmente?

Un’annuity di 25 € su tre anni al 9% puòessere illustrata in questo modo





TASSO ANNUO NOMINALE E TASSOANNUO EFFETTIVO 8/8Il valore futuro dell’annuity si calcola come segue

𝐹𝑉 = 25.00(1+0,09)3−1

0,09= 81.9525

Come cambia il risultato se il tasso annuale (9%) viene composto mensilmente?


Il totale di € 82,26 dato dalle re somme è maggiore del

valore di € 81,95 prima calcolato per l’annuity con

composizione annuale perchè la composizione degli

interessi all’interno dei periodi aumenta il tasso

effettivo dell’investimento




TASSO ANNUO NOMINALE E TASSO ANNUO EFFETTIVO GLOBALE 1/3 La necessità di definire un ‘rendimento equivalente’ per confrontare diversi finanziamenti

con diverso regime di capitalizzazione degli interessi ha spinto la Commissione Europea arendere obbligatoria la pubblicazione del tasso annuo effettivo globale (TAEG), in contrapposizione al TAN, ogni qual volta venga proposto un finanziamento

Il TAN corrisponde al tasso di interesse semplice, mentre il TAEG è un tasso effettivo che tiene conto non solo

• della composizione degli interessi, ma anche

• delle spese accessorie (come ad esempio diritti e spese di apertura pratica) chegravano sul consumatore





TASSO ANNUO NOMINALE E TASSO ANNUO EFFETTIVO GLOBALE 2/3

Esempio

Si calcoli il TAEG di un finanziamento per l’acquisto di un motorino pari a € 2.500 su 5 anni,rimborsabili con rate trimestrali costanti. Il TAN è pari al 5% e le spese accessorie per avviare lapratica sono pari a € 20

• Se non ci fossero spese accessorie, il finanziamento (in base alle formule precedenti) comporterebbe un TAE pari a

𝑇𝐴𝐸 = 1 +𝑇𝐴𝑁

4

4

− 1 = 5,0945%

• La rata trimestrale R comprenderà una quota-parte relativa al pagamento degli interessi e una quota-parte relativa alla restituzione del finanziamento : essa dovrà soddisfare la relazione

2500 =

𝑡=1/4𝑠𝑡𝑒𝑝1∕4

5𝑅

(1 + 𝑇𝐴𝐸)𝑡


Valore finanziamento erogato

Somma dei flussi di pagamento trimestrali attualizzati al TAE

da cui R = € 142,051

Fonte: “Finanziare le risorse dell’impresa”, Giudici




TASSO ANNUO NOMINALE E TASSO ANNUO EFFETTIVO GLOBALE 3/3Per calcolare il TAEG è sufficiente individuare il tasso che soddisfa la seguente relazione

2500 − 20 =

𝑡=1/4𝑠𝑡𝑒𝑝1∕4

5𝑅

(1 + 𝑇𝐴𝐸𝐺)𝑡

In pratica, il finanziamento al netto delle spese accessorie deve essere uguale al valoreattuale delle rate future corrisposte ad ogni trimestre per i prossimi 5 anni, attualizzato alcosto effettivo globale del capitale

Facendo i conti si ottiene un TAEG = 5,429%

Si noti che è TAEG (> TAE) > TAN per il doppio effetto della composizione anticipata degliinteressi e delle spese accessorie al finanziamento


Fonte: “Finanziare le risorse dell’impresa”, Giudici




TASSI DI INTERESSE NON COSTANTI Tassi di interesse non costanti

Il tasso di interesse può variare lungo la durata dell’investimento

Esempio

Se si investono € 100 e si ottiene l’11% durante il primo anno, il 9% durante il secondo annoe il 13% durante il terzo anno, quale sarà il valore futuro dopo 3 anni ?

FV = 100 * (1 + 0,11) * (1 + 0,09) * (1 + 0,13) = € 136,72

Qual è il VA di € 100 tra 4 anni se i tassi di interesse sono l 8% (year 1), il 12% (year 2), il6% (year 3) e il 13% (year 4)?

𝑉𝐴 =100

1 + 0,08 ∗ 1 + 0,12 ∗ 1 + 0,06 ∗ (1 + 0,13)= €69,02





TASSI DI INTERESSE NOMINALI VS TASSIDI INTERESSE REALI 1/4 Tasso di interesse reale vs nominale (Real vs nominal interest rates)

• Tasso di interesse nominale = tasso riferito a grandezze monetarie

Investendo € 100 per un anno al 10% ⇒€ 110

• Cosa succede se l’inflazione annuale è pari al 7%?

Abbiamo bisogno di € 107 alla fine dell’anno per mantenere inalterato il potere

d’acquisto dell’investimento iniziale

• Qual è il nostro “real return”, ovvero il tasso di interesse reale?

(1+10%)/(1+7%) = 1,028 ⇒ The real return is 2,8%





TASSI DI INTERESSE NOMINALI VS TASSIDI INTERESSE REALI 2/4

Siano

• r il tasso di interesse nominale

• p il tasso di inflazione =(p1-p0)/p0

• ρ il tasso di interesse reale

Il legame tra r e ρ è dato dalla relazione di Fisher (1965)

(1+r) = (1+ ρ) * (1+p)

• Per dimostrare questa relazione si supponga di voler investire al tasso r una certa sommaC che al periodo t = 0 permette di acquistare una quantità reale di beni pari a C/p0

• Al periodo t = 1 (cioè a distanza di un anno) sarà di conseguenza possibile capitalizzare ilmontante e acquistare una quantità di beni pari a C*(1+r)/p1





TASSI DI INTERESSE NOMINALI VS TASSIDI INTERESSE REALI 3/4• Quindi il tasso di interesse reale ρ sarà

ρ=

𝐶 ∗ (1 + 𝑟)𝑝1

−𝐶𝑝0

𝐶𝑝0

• Quest’uguaglianza, rielaborata, genera la relazione di Fisher ■

• Se 𝑝 e ρ sono molto piccoli, allora vale l’approssimazione

r ≅ ρ + 𝑝

È possibile utilizzare questa equazione per convertire tassi di interesse nominali in reali eviceversa





TASSI DI INTERESSE NOMINALI VS TASSIDI INTERESSE REALI 4/4

Esempio

Si consideri una perpetuity che stacca il primo pagamento di € 100 (nominali) al periodo 4

Si supponga che i flussi di cassa cres.cano in termini reali del 2% (ρ) per periodo e che il tassodi inflazione (p) sia pari al 5%

Qual è il VA della perpetuity con un tasso di sconto del 10%?

Soluzione

Il tasso di crescita nominale si calcola a partire dalla relazione di Fisher


Il valore della perpetuity è “portato indietro” di 3 periodi




SINTESIDEI PRINCIPALI CONCETTI DIMATEMATICA FINANZIARIA 1/2 Il valore futuro (VF) è il valore raggiunto da una certa quantità di capitale dopo un certo

periodo di tempo come conseguenza della maturazione degli interessi

• Il processo di calcolo del valore futuro è chiamato capitalizzazione

Il valore attuale (VA) esprime il valore presente di un investimento, mediantel’attualizzazione dei flussi di cassa futuri

Il legame tra VF e VA è dato dalla relazione

VF = VA * (1 + r) t

Annuities e perpetuities costituiscono particolari configurazioni di flussi di cassa

• Una annuity per T periodi può essere pensata come la differenza tra unaperpetuity da oggi e una perpetuity da T





SINTESIDEI PRINCIPALI CONCETTI DIMATEMATICA FINANZIARIA 2/2Annuity

Perpetuity

I tassi di interesse sono solitamente indicati su base annua (TAN), ma la composizionedegli interessi può avvenire m volte all’anno

Relazione di Fisher - (1+r) = (1+ ρ) * (1+p)



VALUTAZIONE O ANALISI DEGLI INVESTIMENTI




VALUTAZIONE O ANALISI DEGLIINVESTIMENTI Valutazione o analisi degli investimenti

• Corpus/insieme delle tecniche e degli strumenti che le persone e le imprese impieganoper decidere se effettuare meno un investimento che ha effetti di lungo periodo

• Esempi: lancio di un nuovo prodotto/linea di prodotti, acquisto di un nuovo macchinario

o Nuovo tipo di calcestruzzo

o Nuova linea di radiatori

o Nuovo escavatore

La necessità di investire sul ciclo produttivo può essere dettata da vari fattori

• Sostituzione impianti per deterioramento fisico

• Sostituzione impianti per obsolescenza tecnica

• Adeguamento a nuove leggi

• Adeguamento a nuove esigenze del mercato

• Miglioramento delle performance del ciclo produttivo





DEFINIZIONE DI INVESTIMENTO 1/2 Investimento

Un investimento I è un progetto che, a fronte di un assorbimento certo di risorse oggi, creaopportunità di generazione di reddito nel futuro

‘Mettiamo sulla bilancia’ un esborso di cassa oggi e una serie di introiti di cassa futuri

Il problema della valutazione degli investimenti è quello di operare un confronto tra i duepiatti della bilancia per capire quale pesa di più





DEFINIZIONE DI INVESTIMENTO 2/2Dalla definizione risulta che un investimento è caratterizzato dalla presenza di flussi di cassache hanno una diversa manifestazione temporale.

Di conseguenza, per valutare la convenienza economica di un investimento (al fine didecidere se effettuarlo o meno) occorre saper confrontare entrate di cassa e uscite di cassache si manifestano nel tempo in momenti diversi





Valore attuale come strumento Il problema si risolve rendendo “omogenei” i flussi di cassa, convertendoli in flussi di

cassa confrontabili, dunque come se avessero tutti manifestazione nel medesimo istante

Come abbiamo visto, lo ‘strumento’ per rendere confrontabili flussi di cassa conmanifestazione temporale diversa è quello del valore attuale



ELEMENTI NECESSARI ALLA VALUTAZIONE ECONOMICA DI

UN PROGETTO DI INVESTIMENTO




GLI ELEMENTI DI UN PROGETTO DIINVESTIMENTO

Gli elementi necessari alla valutazione economica di un investimento sono

• Il rendimento richiesto da chi investe (persona fisica o impresa)

• La durata dell’investimento

• L’ammontare dei flussi di cassa generati dall’investimento

• L’ammontare dell’investimento

• Il valore finale o di recupero dell’investimento





RENDIMENTO RICHIESTO DALPROGETTO 1/9 Il rendimento richiesto dal progetto è il costo opportunità del capitale, ossia il miglior

rendimento alternativo a cui si rinuncia quando viene effettuato un investimento

Nell’ipotesi di assenza di rischio, si ha un solo costo opportunità che rappresenta il rendimento dei titoli di Stato a breve termine

Pochi flussi di cassa sono però esenti da rischio e quindi occorre considerare questofattore nella valutazione dei progetti

In presenza di rischio esistono sul mercato tanti costi opportunità quante sono le classi dirischio e, al crescere del rischio di un investimento, cresce il costo opportunità

• Per indurre gli individui e le imprese ad investire su progetti più rischiosi è infatti necessario che questi prospettino rendimenti adeguati, dunque maggiori di quelliassociati ad investimenti meno rischiosi


r = rf + premio per il rischio




RENDIMENTO RICHIESTO DALPROGETTO 2/9 I flussi di cassa relativi a progetti più rischiosi vanno dunque attualizzati ad un tasso di

sconto più alto di quello di progetti meno rischiosi e questo costo opportunità dovrebberiflettere la specifica classe di rischio del progetto

Al riguardo, si confrontino i rendimenti medi annui, nel periodo 1900-2003, di trecategorie di titoli quotati alla Borsa di New York


(a)Considerando che tutti i redditi da dividendi o da interessi siano stati reinvestiti nel portafoglio corrispondente.(b)Rendimento nominale dei titoli in oggetto meno rendimento nominale dei titoli di Stato a breve termine (Buoni del Tesoro).Fonte : Dimson E., Marsh P.R. e M. Staunton, Triumph of the Optimists : 101 Years of Investment Returns, PrincetonUniversity Press, Princeton, 2002 e successivi aggiornamenti, in Brealey, Myers et al., 2007.




RENDIMENTO RICHIESTO DALPROGETTO 3/9La figura sottostante estende geograficamente l’analisi e mostra il premio per il rischio per ititoli azionari (ossia il rendimento differenziale rispetto ai titoli di Stato a breve termine) in16 Paesi durante il periodo 1900-2003


Fonte : Dimson E., Marsh P.R. e M. Staunton, Triumph of the Optimists : 101 Years of Investment Returns, PrincetonUniversity Press, Princeton, 2002 e successivi aggiornamenti, in Brealey, Myers et al., 2007.




RENDIMENTO RICHIESTO DALPROGETTO 4/9

Punto di attenzione

Anche ipotizzando di poter stimare il premio per il rischio futuro con la sua media storica(ossia ipotizzando che gli investitori di oggi si attendano di ricevere lo stesso premiomostrato dalle medie del grafico precedente), va rilevato come le stime del premio per ilrischio siano molto sensibili alla metodologia adottata e al periodo di osservazione

Accade allora che, se dallo studio di Dimson, Marsh e Staunton l’Italia sembra essere statoil Paese più fortunato per l’investimento azionario, l’analisi ad esempio di Siciliano(“Cento anni di borsa in Italia”, Il Mulino, Bologna, 2001) che considera i rendimenti alnetto dell’imposizione fiscale e dei costi di transazione, trova un premio per il rischio nelperiodo 1906-1998 solo pari al 3,9%





RENDIMENTO E RISCHIO 5/9Come era prevedibile, gli scarti quadratici medi e le varianze annue dei tre portafoglistatunitensi considerati nel periodo 1900-2003 sono stati :

In altri termini, nel secolo passato negli Stati Uniti le azioni sono state il titolo più volatile,ossia il più rischioso, e il Buoni del Tesoro il titolo meno volatile; i titoli di stato a lungotermine si sono collocati in una classe di rischio intermedia





RENDIMENTO E RISCHIO 6/9 In generale, la varianza e lo scarto quadratico medio sono le misure statistiche usuali delle variabilità e perciò del rischio

La varianza del rendimento di un portafoglio di titoli è il valore atteso del quadrato degli scarti dal rendimento atteso

Lo scarto quadratico medio è la radice quadrata della varianza





CALCOLO DELLA VARIANZA: UN ESEMPIO 7/9 Investendo 100 € si può partecipare al gioco seguente che consta nel lanciare di seguito

due monete : ogni volta che viene testa (T) si riceve la cifra giocata più il 20% e ogni voltache viene croce (C) si riceve la cifra giocata meno il 10%

Chiaramente, ci sono 4 risultati egualmente probabili (la distribuzione deirendimenti)

Il rendimento atteso di questo gioco è la media ponderata con le probabilità dei risultatipossibili• Rendimento atteso = 0,25*40% + 0,5*10% + ,25*20% = +10%





CALCOLO DELLA VARIANZA: UN ESEMPIO 8/9La varianza e lo scarto quadratico medio si calcolano come segue:

Varianza = valore atteso degli scarti al quadrato = 450

Scarto quadratico medio = radice quadrata della varianza = 21





CALCOLO DELLA VARIANZA: UN ESEMPIO 9/9 Perciò : la varianza dei rendimenti percentuali è 450, lo scarto quadratico medio 21.

Poiché questo numero è espresso nella stessa unità di misura del tasso di rendimento, sipuò dire che la variabilità del gioco sia del 21%

Il rischio di un’attività può essere totalmente espresso, così come si è fatto per il giocodelle monete, segnando tutti i risultati possibili e la probabilità di ciascuno di questi• Per un’attività finanziaria questo procedimento si rivela di fatto impossibile ed è per

questo che sintetizziamo con la varianza la distribuzione dei risultati possibili

Può essere interessante confrontare il gioco del lancio delle monete con il mercatoazionario statunitense tra il 1900 e il 2003• Il mercato azionario genera un rendimento medio annuo dell’11,7% con uno scarto

quadratico medio del 20,1%

• Il gioco offre invece il 10 % e il 21% rispettivamente, ossia un rendimento di pocoinferiore e variabilità confrontabile

• Si potrebbe concludere che l’inventore del gioco abbia voluto creare unarappresentazione del mercato azionario !





DURATA DELL’INVESTIMENTO 1/2 La durata dell’investimento o vita economica del progetto di investimento è il numero di

anni nel corso dei quali si prevede che l’investimento generi flussi di cassa

La fine del periodo temporale che identifica la vita economica del progetto è denominataorizzonte temporale dell’investimento (il termine suggerisce che oltre questo limite iflussi non siano più visibili)

È difficile prevedere con precisione la vita economica di un investimento; è tuttaviaimportante stimare nel modo più accurato possibile questo elemento in quanto esso haconseguenze significative sulla valutazione del progetto

Quando si deve valutare la vita economica di un impianto su cui investire e si pensa allasua vita utile, spesso emerge come la vita economica sia più breve della vita fisica e ciòaccade perché l’obsolescenza tecnica (ossia la perdita di convenienza ad utilizzarel’impianto a seguito del progresso tecnologico nel frattempo intervenuto) avviene primadel deterioramento fisico





DURATA DELL’INVESTIMENTO 2/2 Se, ad esempio, la vita fisica di un bene fosse di dieci anni ma se ne prevedesse

l’obsolescenza tecnica in cinque, allora la vita utile, e dunque la vita economica, del benein parola sarebbe di cinque anni

In considerazione delle incertezze connesse allo svolgimento delle attività diun’organizzazione, la maggior parte dei manager applica criteri di prudenza nellostimare la vita economica dei progetti





FLUSSI DI CASSA GENERATI DALPROGETTO 1/3 La valutazione di un progetto deve prevedere la stima dei flussi di cassa generati dal

progetto medesimo, o flussi di cassa differenziali (rispetto alla situazione di status quo)• E ciò perché i benefici economici di un investimento sono costituiti proprio dalle

entrate incrementali di cassa , ossia dai maggiori incassi rispetto ad una situazioneche non preveda l’investimento

In altre parole, i flussi di cassa differenziali

• Sono quei flussi che si rilevano esclusivamente in seguito all’accettazionedel progetto

• Vengono rilevati seguendo una logica di tipo “if–then”

o “Se l’investimento viene effettuato, come cambieranno in ogni anno i flussi di cassadell’impresa lungo tutta la vita utile del progetto?”

• Sono i flussi che determinano il valore del progetto stesso





FLUSSI DI CASSA GENERATI DALPROGETTO 2/3 L’attenzione è posta sui flussi di cassa, non sulle manifestazioni economiche

• I valori tipici della contabilità per competenza (costi e ricavi) non sono direttamenteutilizzati nell’analisi degli investimenti, se non come base per calcolare, attraversoopportune rettifiche, i flussi di cassa

Si consideri, ad esempio, il progetto di sostituzione di un macchinario esistente con unonuovo: quali sono le entrate connesse a questo progetto?

• In primo luogo, il macchinario esistente deve essere utilizzabile altrimenti nonavremmo un’alternativa né, conseguentemente, un problema analitico darisolvere

• Il confronto avviene quindi tra (1) continuare ad usare il macchinario esistente(status quo) e (2) investire nell’acquisto del macchinario proposto





Flussi di cassa generati dal progetto 3/3 I costi (e le relative uscite di cassa) connessi all’impiego del macchinario esistente

sono molteplici : manodopera, materiali diretti, energia, manutenzione, ecc.

Se il nuovo macchinario venisse proposto come mezzo per ridurre i costi, allora inconseguenza del suo impiego (“logica if–then” o rapporto di causa-effetto) tutti o alcunidi questi costi dovrebbero ridursi

• I mancati esborsi relativi a questi costi rappresentano l’entrata di cassa differenzialegenerata dal nuovo macchinario

• In altri termini, in questo caso gli incassi differenziali sono costituiti da una riduzionedelle uscite di cassa

Se il macchinario proposto non costituisse una semplice sostituzione ma accrescesse lacapacità produttiva, allora nel processo di valutazione occorrerebbe tenere inconsiderazione anche i flussi di cassa differenziali derivanti dall’accresciuto volume divendita previsto





FLUSSI DI CASSA DELLO STATUS QUONel calcolare i flussi di cassa differenziali può essere sbagliato ipotizzare uno status quo“stazionario” e non invece “in deterioramento”

Per esempio, se un’impresa decidesse di non investire in una nuova tecnologia,probabilmente indebolirebbe la propria posizione di mercato rispetto a quella deiconcorrenti che la adottassero

• Il mantenimento delle condizioni iniziali produrrebbe un progressivo peggioramentodei risultati economici e dei flussi di cassa e pertanto un’ipotesi di perpetuazione nel tempo dello status quo sarebbe sbagliata





COSTI COMUNI, EFFETTI COLLATERALI,COSTI AFFONDATI 1/2 Nel processo di determinazione dei flussi di cassa generati (direttamente o

indirettamente) dall’investimento secondo un rapporto di causa-effetto, occorre sapercorrettamente considerare

• I costi comuni

• Gli effetti collaterali

• I costi affondati (o pregressi)

I costi comuni sono quei costi che l impresa sosterrebbe anche qualora non attuassel’investimento

• Esempio: costi relativi al personale (insaturo) già presente in azienda che vienededicato alla gestione del nuovo impianto cui l investimento si riferisce

• Tali voci NON vanno incluse tra i flussi di cassa incrementali





COSTI COMUNI, EFFETTI COLLATERALI,COSTI AFFONDATI 2/2 Gli effetti collaterali si riferiscono agli effetti, generati dall’investimento, che si producono

su altri comparti dell’impresa

• Esempio : il lancio di una nuova linea di piastrelle contrae le vendite delle linee giàin produzione e sul mercato

• Tali effetti vanno considerati nel calcolo dei flussi di cassa differenziali

I costi affondati o pregressi (sunk costs) sono costi che l’impresa ha sostenuto inpassato in relazione alla valutazione del progetto di investimento e che non sonopiù recuperabili

• Esempio : costo di uno studio di mercato per la valutazione della domanda di unnuovo prodotto

• I sunk costs NON devono essere considerati costi incrementali ai fini dellavalutazione di un investimento in quanto l’esborso si è già verificato e in una logica“if-then” sono comunque irrecuperabili

• Ai fini della decisione circa l’investimento, devono essere considerate solamente leconseguenze future associate alle diverse alternative realizzabili oggi





PUNTO DI ATTENZIONE Le imprese che devono valutare se investire in una nuova tecnologia spesso erroneamente

imputano i costi di avviamento e di formazione connessi all’uso della nuova tecnologiainteramente al primo progetto anche se essa fosse in futuro strumentale ad altri progetti

Una tale imputazione penalizza la valutazione economica del progetto iniziale epotrebbe addirittura portare a posticipare investimenti necessari per mantenere laposizione competitiva dell’impresa





AMMONTARE DELL’INVESTIMENTO (1) L’investimento è l’ammontare di risorse che un’impresa sottopone a rischio se accetta un

progetto a lungo termine

I valori rilevanti per determinare l’ammontare dell’investimento sono gli esborsidifferenziali (cioè le uscite di cassa che avranno luogo se il progetto sarà realizzato, mache non avverranno se il progetto non sarà realizzato)• Esempio : il costo del nuovo impianto, i costi di trasporto e istallazione del nuovo

impianto, i costi sostenuti per addestrare i dipendenti all’uso della nuova tecnologia

Se l’acquisto di una nuova immobilizzazione comporta la vendita di un immobilizzoesistente, gli incassi netti derivanti dalla vendita del bene che si aliena riducono l’importodell’investimento• I ricavi netti dalla cessione dell immobilizzazione esistente sono pari al suo prezzo di

vendita meno i costi sostenuti per venderla, smontarla e rimuoverla, rettificati dagli eventuali effetti fiscali connessi ai ricavi da cessione





AMMONTARE DELL’INVESTIMENTO 2/2 Molti progetti comportano un unico impegno di risorse in un dato momento,

convenzionalmente denominato momento zero o momento iniziale

Per alcuni progetti gli esborsi finanziari richiesti sono ripartiti su un ampio periodotemporale

• Esempio : la costruzione di una nuova sede produttiva potrebbe richiedere uscite di cassa perdiversi anni oppure la realizzazione di una prima unità il primo anno e di una seconda unitàl’anno successivo

Per calcolare il VA del progetto tutti gli esborsi del progetto devono essere ricondotti adun momento zero comune attualizzando le singole uscite di cassa

Se l’importo e la collocazione temporale degli esborsi presentano un grado di rischiosignificativamente più basso di quello delle entrate di cassa, allora altrettanto differentisaranno i tassi di attualizzazione applicati rispettivamente agli esborsi e agli incassi


Elementi necessari alla valutazione economica di un progetto di investimentoElementi necessari alla valutazione economica di un progetto di investimento



VALORE FINALE O DI RECUPERODELL’INVESTIMENTO Al termine della sua vita economica, un investimento potrebbe avere ancora un valore e

come tale essere oggetto di alienazione da parte dell’impresa

Di conseguenza, questo valore finale o di recupero o di realizzo dell’investimento(salvage o resale o terminal value) costituisce, in quel momento, una potenzialeentrata di cassa

Nel processo di valutazione economica dell’investimento, il valore finale deve perciòessere considerato e, in particolare, deve essere attualizzato e sommato al VA delle altreentrate di cassa differenziali

• In tal modo, si ipotizza implicitamente che l’incertezza associata al recupero delvalore finale sia la stessa di quella associata agli altri flussi di cassa incrementaligenerati dal progetto di investimento




VALUTAZIONE DI UN PROGETTODI INVESTIMENTO

A questo punto abbiamo in mano tutti gli elementi per valutare un progetto di investimento.Ma come si procede concretamente per effettuare la valutazione ?

Le fasi della valutazione economica di un investimento sono

1. Determinazione dei flussi di cassa incrementali attesi dall’investimento

2. Calcolo degli incrementi nelle imposte associati all’attuazione del progetto

3. Calcolo dei flussi di cassa attesi “after tax”

4. Individuazione del tasso di attualizzazione appropriato

5. Attualizzazione dei flussi di cassa futuri mediante il tasso individuato





VALUTAZIONE DEI FLUSSI DI CASSA: UN ESEMPIO 1/6 Il direttore finanziario dell’impresa Concimi & Giardini (C&G) sta valutando una proposta

per la commercializzazione del guano come fertilizzante da giardino

Il progetto richiede un investimento iniziale di 10 M€ per lo stabilimento e gli impianti.L’investimento verrebbe ammortizzato in 6 anni a quote costanti. Gli impianti potrebberoessere smontati e venduti con un ricavo netto valutato attorno a 1 M€ nell’anno 7. Questacifra corrisponde al loro valore di realizzo

Le previsioni sull’impatto economico e patrimoniale del progetto “Guano” sono indicatenella tabella seguente e possono essere considerate il punto di partenza per la stima deiflussi di cassa ad esso associati

Tutti i dati sono stati ricavati in base ai costi e ai prezzi di vendita correnti nell’anno 0





VALUTAZIONE DEI FLUSSI DI CASSA: UN ESEMPIO 2/6Progetto “Guano” : Previsioni iniziali (dati in ‘000 €)


(a)Valore di realizzo. La differenza tra il valore di realizzo e il valore contabile (€ 0) costituisce una plusvalenza tassabile.

(b)Costi di impianto negli anni 0 e 1 e costi generali ed amministrativi negli anni dall’1 al 6.

(c)Ipotizzando che nel complesso la C&G sia in utile, la perdita del progetto “Guano” negli anni 1 e 2 consente di diminuire il carico fiscaletotale. A livello di progetto “Guano”, il risparmio fiscale costituisce cioè una componente positiva di reddito. Fonte : Brealey, Myers et al., 2007.




VALUTAZIONE DEI FLUSSI DI CASSA: UN ESEMPIO 3/6Progetto “Guano” : Previsioni corrette per l’inflazione attesa del 10% annuo(a)(dati in ‘000€)


(a)Si ipotizza che prezzi e costi crescano allo stesso tasso lungo la vita utile dell’investimento.

(b)I risparmi fiscali originati dall’ammortamento non aumentano con l’inflazione giacchè lalegge fiscale permette di ammortizzare solo il costo storico dell’impianto.

Fonte : Brealey, Myers et al., 2007.




VALUTAZIONE DEI FLUSSI DI CASSA: UN ESEMPIO 4/6Flusso di cassa a disposizione dell’impresa (FCFF)


- Flusso di Cassa Operativo

Investimenti (Flusso di Cassa per Investimenti)

(Cash from Operations)

(Cash for Investing)+ Disinvestimenti (Flusso di Cassa per Investimenti) (Cash from Investing)+

-Nuovi finanziamenti (Flusso di Cassa Finanziario)

Dividendi (Flusso di Cassa Finanziario)

(Cash from Financing)

(Cash for Financing)

= Flusso di Cassa a disposizione dell’impresa

(FCCF – Free Cash Flow for the Firm)

Utile netto

+ Ammortamenti + Costo TFR

- ΔCCN

= Flusso di Cassa Operativo (OCF)

I flussi di cassa vengono determinati rettificando

l’utile di esercizio




VALUTAZIONE DEI FLUSSI DI CASSA: UN ESEMPIO 5/6Progetto “Guano” : Analisi dei flussi di cassa (dati in ‘000 €)






VALUTAZIONE DEI FLUSSI DI CASSA: UN ESEMPIO 6/6 L’analisi dei flussi di cassa del progetto “Guano” non ha preso in considerazione il

problema del suo finanziamento

Implicitamente si è considerato come se il progetto fosse tutto finanziato tramite mezzipropri. Con questo approccio al problema, siamo in grado di separare l’analisi delladecisione di investimento da quella del finanziamento

Una volta determinata la convenienza economica del progetto, si potrà analizzareseparatamente il problema del finanziamento



CRITERI DI VALUTAZIONE DEGLI INVESTIMENTI




CRITERI DI VALUTAZIONE DIPROGETTI INDIPENDENTITra i vari criteri, o tecniche, di valutazione di un progetto di investimento, quello consideratocome il principale riferimento è il

1. Criterio del valore attuale netto (VAN o NPV) e approccio DCF

A tale metodologia si affiancano diversi criteri alternativi, tra i quali i più diffusi sono

2. Il criterio del tasso interno di rendimento (TIR o IRR)

3. Il profitto economico (EVA)

4. Il criterio del periodo di recupero (PB)

I primi tre criteri restituiscono una misura della redditività del progetto d’investimento, il quarto invece offre una misura della liquidità dell’investimento





1. IL CRITERIO DEL VALORE ATTUALENETTO (VAN) 1/3 Nella valutazione di un progetto di investimento, il VAN indica la variazione di

ricchezza che l’impresa ottiene dalla scelta di effettuare l’investimento

In particolare, il VAN di un progetto corrisponde al valore attuale dei flussi di cassagenerati dall’investimento al netto dell’esborso (iniziale) per realizzare il progetto

In altri termini, la metodologia del valore attuale netto si sostanzia nel calcolo dellacreazione/distruzione netta di ricchezza generata dall’investimento mediantel’attualizzazione al tempo t0 di tutti i flussi di cassa in ingresso ed in uscita ad un tasso disconto adeguato. Tale tasso deve riflettere sia il valore temporale del denaro sia il rischiodel progetto

• Perché il tasso di sconto adeguato è il costo opportunità del capitale?

• Perché il costo opportunità del capitale corrisponde al rendimento del migliorimpiego alternativo appartenente alla medesima classe di rischio del progetto inparola





1. IL CRITERIO DEL VALORE ATTUALE NETTO (VAN) 2/3Formula del valore attuale netto (VAN) (Net Present Value, NPV)

• C0 , flusso di cassa corrispondente al costo dell’investimento

• Ct : {C1 … CT}, flussi di cassa futuri generati dall’investimento relativi al tempo t : {1 … T}

• r, costo opportunità del capitale

• T, orizzonte temporale dell’investimento


Rendimento di progetti alternativi appartenenti allamedesima classe di rischio cui si rinuncia investendonel progetto – Premio per sopportare un flusso di cassaposticipato nel tempo




1. IL CRITERIO DEL VALORE ATTUALE NETTO (VAN) 3/3 Criterio di decisione

• Accettare il progetto se VAN > 0

L’analisi del progetto di investimento ha rilevato che i benefici futuri, valorizzati oggi, sono superiori ai costi dell’investimento e, quindi, che all’effettuazione del progetto èassociata una variazione di ricchezza positiva, ossia una creazione di valore

• Rifiutare il progetto se VAN < 0

L’investimento ha un costo superiore ai benefici e quindi va rigettato perchédistrugge valore





VAN : ESEMPIO 1Riprendiamo il progetto “Guano” dell’esempio precedente e valutiamone la convenienzaeconomica con il metodo del VAN nel caso in cui il costo opportunità del capitale sia pari al20%

Progetto “Guano” : Analisi dei flussi di cassa (dati in ‘000 €)

L’investimento crea ricchezza netta per 3,8 M€ e pertanto andrebbe intrapreso






VAN: ESEMPIO 2 1/2 I ricercatori dell’impresa FFF - Fredrick Feed and Farm ritengono di poter produrre un

nuovo fertilizzante ecologico con un risparmio significativo di costi rispetto alla lineaattualmente in produzione

Il prodotto richiederà un nuovo impianto , che può essere costruito immediatamente adun costo di 250 milioni di $, e secondo le stime genererà un flusso di cassa netto di 35milioni di $ l’anno a partire dalla fine del primo anno e per sempre


Fonte : Berk et al., 2009

MATEMATICA PER LE SCIENZE ECONOMICHE - unirc.it · 2015. 10. 21. · Matematica per le Scienze...

Documents

Transcript of MATEMATICA PER LE SCIENZE ECONOMICHE - unirc.it · 2015. 10. 21. · Matematica per le Scienze...