Matematica I - Algebra I

8/11/2019 Matematica I - Algebra I

1/166

SpecializareaMATEMATICForma de nvmnt ID- semestrul I

ALGEBRA 1

2010

Proiect cofinanat din Fondul Social European prin Programul Operaional Sectorial Dezvoltarea Resurselor Umane 2007-2013Investete n oameni!

Formarea profesional a cadrelor didacticedin nvmntul preuniversitar

pentru

noi oportuniti de dezvoltare n carier

Program de conversie profesional la nivel postuniversitar

pentru cadrele didactice din nvmntul preuniversitar

Constantin NI Constantin NSTSESCU


2/166

MATEMATIC

Algebra I

Constantin NSTSESCU Constantin NI

2010


3/166

2010 Acest manual a fost elaborat n cadrul "Proiectului pentru nvmntulRural", proiect co-finanat de ctre Banca Mondial, Guvernul Romnieii comunitile locale.

Nici o parte a acestei lucrri nu poate fi reprodusfracordul scris alMinisterului Educaiei, Cercetrii, Tineretului i Sportului.

ISBN 973-0-04089-3


4/166

Introducere

i

Introducere

Acest Modul este fundamental pentru ntregul program, avnd n vedere cn acestase prezint noiunile de baz ale matematicii: numerele, mulimile, funciile. Am puteaspune, parafraznd pe marele nostru matematician i poet Dan Barbilian, corice om cu unnivel de culturacceptabil trebuie saib, mcar parial, cunotinele prezentate n acestmodul. n Modul se prezint teme importante care apar n programa colar, la nivelpremergtor ultimelor dou clase de liceu. Menionm c prezentarea este fcut la unnivel de rigoare destul de ridicat, cu reducerile obligatorii impuse de nivelul de pregtire alcursanilor.

Modulul este structurat pe trei uniti de nvare.Prima unitate de nvare este intitulat Mulimi de numere. Se construiesc i se

studiaz numerele raionale, se indic modul de construcie al numerelor reale ca fraciizecimale infinite, se studiazn detaliu proprietile numerelor reale, se definesc numerelecomplexe i se studiazacestea din punct de vedere algebric ct i geometric.

A doua unitate de nvare este intitulatMulimi. Relaii. Se prezintteoria naiv amulimilor: operaii cu mulimi i proprieti de baz. De asemenea, se definesc relaiilebinare pe o mulime i se studiaz, n principal, relaiile de echivaleni relaiile de ordine.

A treia unitate de nvare este intitulat Funcii i este o continuare fireasc aprecedentei uniti de nvare. Se prezint mai nti proprieti generale abstracte alefunciilor, cum ar fi: compunerea funciilor, injectivitate, surjectivitate, bijectivitate i,inversare. Se trece apoi la funcii numerice speciale i se studiazproprietile lor specifice,care se folosesc la rezolvarea unor anumite tipuri de ecuaii.

Exist trei lucrri de verificare, cte una la sfritul fiecrei uniti de nvare. Lafiecare lucrare de verificare se dau indicaii de redactare i de transmitere ctre tutore.Observaii de fond asupra modului de rezolvare vor aprea dup ntlnirile cu tutorii.Rezolvrile vor fi transmise ctre tutori prin potsau prin e-mail.

Evaluarea continuse face prin rezolvarea testelor de autoevaluare i discuiile de lantlnirile cu tutorii.

Evaluarea finalse face pe baza celor trei lucrri de verificare i a examenului de lafinele cursului. Evaluarea continui evaluarea finalau ponderi egale n stabilirea notei:cte 50%.


5/166

Introducere

ii

CuprinsUnitatea de nvare 1: Mulimi de numereObiectivele unitii de nvare 1 .......................................................................................... 21.1 Numere raionale ........................................................................................................... 31.1.1. Mulimea numerelor raionale .................................................................................... 3

1.1.2. Adunarea i nmulirea numerelor raionale ............................................................... 51.1.3. Proprieti de ordine ale numerelor raionale ............................................................. 81.1.4 Reprezentarea numerelor raionale sub formde fracii zecimale (periodice) ............ 91.2. Numere reale .............................................................................................................. 161.2.1 Numere reale ca fracii zecimale infinite ................................................................... 161.2.2. Aproximri zecimale ale numerelor reale. Adunarea i nmulirea numerelor reale . 181.2.3. Interpretarea geometrica numerelor reale ............................................................ 231.2.4. Inegaliti ................................................................................................................. 241.3. Puteri i radicali .......................................................................................................... 291.3.1. Puteri ....................................................................................................................... 291.3.2. Radicali .................................................................................................................... 331.3.3. Puteri cu exponent raional ...................................................................................... 411.4. Numere complexe ...................................................................................................... 461.4.1. Mulimea numerelor complexe ................................................................................. 461.4.2. Forma algebrica numerelor complexe .................................................................. 491.4.3. Reprezentarea geometrica numerelor complexe .................................................. 531.5. Comentarii si rspunsuri la testele de autoevaluare ................................................... 561.6. Lucrare de verificare pentru studeni .......................................................................... 591.7. Bibliografie .................................................................................................................. 62

Unitatea de nvare 2: Mulimi. Relaii.

Obiectivele unitii de nvare 2 ....................................................................................... 612.1. Noiunea de mulime. Operaii cu mulimi ................................................................... 622.1.1. Noiunea de mulime ............................................................................................... 622.1.2. Mulimi egale. Relaia de incluziune ........................................................................ 632.1.3. Operaii cu mulimi ................................................................................................... 642.2. Relaii binare pe o mulime ......................................................................................... 682.2. Relaii binare pe o mulime ......................................................................................... 692.2.1. Definirea relaiilor binare.......................................................................................... 692.2.2. Proprieti ale relaiilor binare .................................................................................. 702.2.3. Relaii de echivalen. Mulime factor ...................................................................... 712.2.4 Relaii de ordine ....................................................................................................... 74

2.3. Comentarii i rspunsuri la testele de autoevaluare ................................................... 772.4. Lucrare de verificare pentru studeni .......................................................................... 782.5. Bibliografie .................................................................................................................. 78

Unitatea de nvare nr. 3: FunciiObiectivele unitii de nvare 3 ........................................................................................ 803.1. Noiunea de funcie. Compunerea funciilor. Funcia de gradul I ................................ 813.1.1. Noiunea de funcie .................................................................................................. 813.1.2. Funcii numerice i reprezentarea geometrica graficului lor .................................. 853.1.3 Compunerea funciilor............................................................................................... 883.1.4. Funcii numerice monotone. Intervale de monotonie ............................................... 89

3.2 Funcii injective, surjective, bijective ............................................................................ 933.2.1 Definiii. Proprieti ................................................................................................... 93


6/166

Introducere

iii

3.2.2. Funcii inversabile. Inversa unei funcii .................................................................... 963.3. Funcia de gradul al doilea ........................................................................................ 1013.3.1. Graficul funciei de gradul al doilea. Exemple ........................................................ 1013.3.2. Maximul sau minimul funciei de gradul al doilea ................................................... 1083.3.3. Intervale de monotonie pentru funcia de gradul al doilea ..................................... 1093.3.4. Tabelul de variaie i trasarea graficului funciei de gradul al doilea ...................... 112

3.3.5. Semnul funciei de gradul al doilea ........................................................................ 1133.4. Studiul unor funcii putere ......................................................................................... 1173.4.1. Funcia putere cu exponent natural nenul.............................................................. 1173.4.2. Funcia putere cu exponent ntreg negativ ............................................................. 1193.4.3. Funcia radical ....................................................................................................... 1203.4.4. Funcia putere cu exponent raional ...................................................................... 1213.5. Funcia exponeniali funcia logaritmic. .............................................................. 1243.5.1. Funcia exponenial.............................................................................................. 1243.5.2 Logaritmi. Funcia logaritmic................................................................................. 1313.6.2 Ecuaii iraionale ..................................................................................................... 1433.6.3. Ecuaii i inecuaii exponeniale i logaritmice ....................................................... 1463.7. Comentarii i rspunsuri la testele de autoevaluare ................................................. 1523.8. Lucrare de verificare pentru studeni ........................................................................ 1563.9. Bibliografie ................................................................................................................ 159Bibliografie general ........................................................................................................ 160


7/166

Introducere

iv


8/166

Mulimi de numere

1

Unitatea de nvare 1

MULIMI DE NUMERE

Cuprins

Obiectivele unitii de nvare 1 .......................................................................................... 21.1 Numere raionale ........................................................................................................... 31.1.1. Mulimea numerelor raionale .................................................................................... 31.1.2. Adunarea i nmulirea numerelor raionale ............................................................... 51.1.3. Proprieti de ordine ale numerelor raionale ............................................................. 81.1.4 Reprezentarea numerelor raionale sub formde fracii zecimale (periodice) ............ 91.2. Numere reale .............................................................................................................. 161.2.1 Numere reale ca fracii zecimale infinite ................................................................... 16

1.2.2. Aproximri zecimale ale numerelor reale. Adunarea i nmulirea numerelor reale . 181.2.3. Interpretarea geometrica numerelor reale ............................................................ 231.2.4. Inegaliti ................................................................................................................. 241.3. Puteri i radicali .......................................................................................................... 291.3.1. Puteri ................................................................................................................. 291.3.2. Radicali ................................................................................................................. 331.3.3. Puteri cu exponent raional ...................................................................................... 411.4. Numere complexe ...................................................................................................... 461.4.1. Mulimea numerelor complexe ................................................................................. 461.4.2. Forma algebrica numerelor complexe .................................................................. 491.4.3. Reprezentarea geometrica numerelor complexe .................................................. 53

1.5. Comentarii si rspunsuri la testele de autoevaluare ................................................... 561.6. Lucrare de verificare pentru studeni .......................................................................... 591.7. Bibliografie ................................................................................................................. 62


9/166

Mulimi de numere

2

Obiectivele unitii de nvare 1

Dup ce vei parcurge aceast unitate de nvare, vei aveacunotine suficiente pentru a fi capabili s facei urmtoareleoperaii matematice: Identificarea caracteristicilor tipurilor de numere utilizate n

algebr i formei de scriere a numerelor raionale, reale saucomplexe n contexte specifice.

Determinarea echivalenei ntre diferitele forme de scriere aunui numr, compararea i ordonarea numerelor reale.

Aplicarea unor algoritmi specifici calcului cu numere reale saucomplexe pentru optimizarea unor calcule i rezolvarea de

ecuaii. Alegerea formei de reprezentare a unui numr raional, real

sau complex n funcie de context n vederea optimizriicalculelor.

Alegerea strategiilor de rezolvare n vederea optimizriicalculelor.

Determinarea unor analogii ntre proprietile operaiilor cunumere raionale, reale sau complexe scrise sub diverse formei utilizarea acestora n rezolvarea ecuaiilor


10/166

Mulimi de numere

3

1.1 Numere raionale

ncdin clasele primare se introduce noiunea de fracie ordinari sefac calcule cu acestea. Introducerea fraciilor ordinare este necesar dindiverse motive, cum ar fi:

-- exprimarea matematic a unor situaii concrete din practic; deexemplu, jumtate dintr-o pine", un sfert dintr-un kilogram decarne", trei sferturi dintr-un mr" etc.;

-- imposibilitatea rezolvrii unor ecuaii simple n mulimea numerelorntregi. De exemplu, ecuaia 2x= 1 nu are nici o soluie n numerentregi deoarece existena numrului ntreg x ar implica faptul canumrul par 2xeste egal cu numrul impar 1.

O fracie ordinar este de formam

n, unde m i n 0 sunt numere

ntregi.De asemenea, tot situaii concrete ca, de exemplu, jumtate dintr-o

pine" este tot una cu dou sferturi dintr-o pine", ne oblig sintroducem echivalena a doufracii ordinare.

Mai precis, fraciile ordinarem

ni

p

qse numesc echivalente i notm

aceasta prinm p

n q= dac i numai dac mq = np. Mulimea fraciilor

ordinare echivalente cu o fracie ordinarm

nse va numi numr raional i

se va nota tot prinm

n.

n cele ce urmeazvom ncerca sprezentm o tratare mai riguroasa noiunii de numr raional (i implicit a mulimii numerelor raionale)precum i a modului de operare cu numere raionale.

1.1.1. Mulimea numerelor raionale

Reamintim cse noteazcu mulimea numerelor naturale, adic = {0, 1, 2, 3, ...}, iar cu mulimea numerelor ntregi, adic = {..., -3, -2,-1, 0, 1, 2, 3, ...}. Este clar ceste o submulime a mulimii . Notm cu * = \ {0}, adicmulimea numerelor ntregi nenule. Fie A = x *produsul cartezian al mulimilor i *. DeciA= {(a, b) Ia, b , b0},adicmulimea perechilor ordonate de forma (a, b) unde a, bsunt numerentregi cu b 0. Pe mulimea A definim o relaie, notat ~" i care senumete echivalen".

Dac(a, b) i (c, d) aparin mulimiiA, atunci prin definiie punem:( ) ( ), ~ ,a b c d ad bc = (1)

n acest caz spunem cperechile (a, b) i (c, d) sunt echivalente.


11/166

Mulimi de numere

4

Teorema 1

Fiind dat o pereche (a, b) din A, relaia (1) permite s definim o

submulime a mulimii A, notat cua

b i care este format din toate

perechile (c, d) dinAcare sunt echivalente cu (a, b). Deci

( ) ( ) ( ){ }, | , ~ ,a

c d A a b c d

b

= . (2)

Relaia (2) definete numrul raionala

basociat perechii (a, b) din A,

iar (a, b) se numete reprezentant al numrului raional.n acest caz numrul a (respectiv b) se numete numrtorul

(respectiv numitorul) numrului raionala

b. Numitorul este un numr ntreg

nenul. Datoritnotaiei (2), numrul raionala

bse mai numete i fracie

raionalcu numrtorul ai numitorul b 0.

Fie (a, b) i (a', b') douperechi dinA. Dac(a, b) ~ (a', b), atunci eledefinesc acelai numr raional, adicavem

'

'

a a

b b= (3)

Demonstraie. De fapt avem de artat egalitatea a dou mulimi. Fie

( , )a

x yb

. Atunci (a, b) ~ (x, y), adicay = bx. Deoarece (a, b) ~ (a', b'),

avem cba'= ab'. Daca= 0, atunci bx = 0 i cum b 0, rezultx= 0. Deasemenea, ba' = 0 i deci a' = 0. n acest caz ay = b'x = 0 i deci

'( , ) 'ax y b . Daca 0, atunci nmulind membru cu membru egalitile ay

= bxi ba' = ab', avem cab(ay)= ab(b'x), Deoarece ab 0, obinem ay =

b'x, adic'

( , )'

ax y

b . n acest mod am artat c

'

'

a a

b b . Analog se arat

c'

'

a a

b b i deci

'

'

a a

b b=

Fiea

b un numr raional i perechea (a, b) un reprezentant al su.

Dac d este cel mai mare divizor comun al valorilor absolute IaI i |bI ,

cum b0, rezultcd0. Putem scrie a = dpi b = dq, unde |p| i IqIsunt numere prime ntre ele (adic cel mai mare divizor comun alnumerelor |pI i |qI este 1).

Conform relaiei (1), avem c(a, b) ~ (p, q) (4)

Din relaia (4) rezult c dat fiind numrul raionala

b , exist un

reprezentant al su (p, q) cu |p| i |q| numere prime ntre ele, astfel ncta p

b q= .


12/166

Mulimi de numere

5

Perechea (p, q) cu IpI i |qI numere prime ntre ele se numete

reprezentant ireductibil al luia

b. Este uor de vzut c, n acest caz, din

(2) rezult

( ){ }, | *p

np nq n

q

= (5)

De exemplu, ( ){ }1

2,2 | *2

n n= sau ( ){ }2

2 ,5 | * .5

n n n =

Noiunea de numr raional ne conduce la definirea unei noi mulimi,notat i care se numete mulimea numerelor raionale.

Deci , , 0|a a b bb

=

.

1.1.2. Adunarea i nmulirea numerelor raionale

Dac ab

i cd

sunt dounumere raionale, definim

a c ad bc

b d bd

++ = (6)

a c ac

b d bd = (7)

Numrul raionalad bc

bd

+(respectiv

ac

bd) se numete suma (respectiv

produsul) numerelor raionalea

bi

c

diar operaia prin care oricror dou

numere raionale li se asociazsuma(respectivprodusul) lor se numeteadunarea(respectiv nmulirea) numerelor raionale.

Trebuie artat csuma i produsul a dounumere raionale nu depindde alegerea reprezentanilor care definesc aceste numere raionale. Sdemonstrm aceastproprietate pentru sum.

Pe baza teoremei precedente avem de artat ca dac(a, b) ~ (a1, b1)i (c, d) ~ (c1, d1), atunci (ad + bc, bd) ~ (a1d1+ b1c1, b1d1).

ntr-adevr, avem ab1 = a1b i cd1 = c1d. nmulind ambii membri aiprimei egaliti cu dd1i pe ai celei de-a doua cu bb1se obin egalitile:ab1dd1= a1bdd1i cd1bb1= c1dbb1. Adunnd membru cu membru aceste

egalit

ii, sco

nd factor comun, rezult

(ad + bc)b1d1= (a1d1+ b1c1)bd,adic(ad + bc, bd) ~ (a1d1+ b1c1, b1d1).

Cu alte cuvinte, am demonstrat dac 1

1

aa

b b= i 1

1

cc

d d= , atunci

1 1 1 1

1 1

a d b c ad bc

bd b d

++= .

Analog, dar cu calcule mai puine, se demonstreaz proprietateapentru produs.

Dac este mulimea numerelor raionale, s considermsubmulimea

'1

|nZ n =

.


13/166

Mulimi de numere

6

Observaii

De la mulimea (a numerelor ntregi) la mulimea definim funcia

,1

nn

Aceast funcie asociaz oricrui numr ntreg n un numr raional

bine determinat

1

ndin Z'. Observm cdacmn, atunci

1 1

m n i, n

plus, mulimea valorilor acestei funcii este Z'. Mai mult, operaiile deadunare i nmulire a numerelor care aparin mulimii Z' se transcriuastfel:

,1 1 1

m n m n++ =

1 1 1

m n mn = .

Aceste relaii arat c adunarea i nmulirea pe Z' se fac dupaceleai reguli ca adunarea i nmulirea numerelor ntregi. Din acestmotiv rezult c Z' are aceleai proprieti aritmetice ca mulimea a

numerelor ntregi. Acest fapt ne permite sidentificm numrul raional

1

n

cu numrul ntreg n. Practic, aceast identificare revine la a nlocui

numrul raional1

ncu numrul ntreg ni invers. Aadar, punem

1

nn= (8)

i datoritacestei identificri rezultc .

n particular, numerele raionale1

0i

1

1sunt numerele ntregi 0 i 1.

1.Cnd adunm dounumere raionale, definiia (6) poate conduce lacalcule laborioase. De exemplu, dac aplicm definiia (6) vom avea3 7 3 24 7 16 72 112 184 23

16 24 16 24 384 384 48

+ ++ = = = =

. Avnd n vedere csuma a

dou numere raionale nu depinde de alegerea reprezentanilor, n

practicse procedeazn modul urmtor: date fiind numerele raionalea

b

ic

d, se alege un multiplu comun mal numitorilor bi d(eventual cel mai

mic multiplu comun al numerelor bi d). Dacm = bui m = dv, atunci

a aub m= i c cvd m

= i dup relaia (3) avem ad bc au cv bd m+ += . Relund

exemplul de mai sus, avem3 7 3 3 7 2 23

14 24 48 48

+ + = = (am folosit faptul ca

48 este multiplu comun al numerelor 16 i 24).2. Este clar ca dacnumerele raionale au acelai numitor, atunci

a b a b

m m m

++ = .

n continuare vom enumera proprietile de baz ale operaiilor de

adunare i nmulire pe mulimea numerelor raionale, ct i proprietilede ordine ale acestei mulimi. Pentru simplificare vom nota numereleraionale cu literele q, r, s, ... .


14/166

Mulimi de numere

7

Observaii

Proprietile adunrii i nmulirii numerelor raionale

I.Adunarea pe mulimea a numerelor raionale are proprietile:

1oeste asociativ, adicoricare ar fi q, r, s avem:

(q + r) + s= q+ (r + s);2oeste comutativ, adicoricare ar fi q, r , avemq + r = r + q;

3onumrul 0 este element neutru pentru adunare, adicoricare ar fiq , avem

q + 0 = 0 +q = q;4oorice numr raional qare un opus, care este q, adic

q+ (q) = (q) + q= 0.

De fapt, dacm

qn

= , atuncin m

qn n

= =

.

II.nmulirea numerelor raionale are proprietile:

1oeste asociativ, adicoricare ar fi q, r, s , avem(gr) s= q (rs);

2oeste comutativ, adicoricare ar fi q, r , avemqr = rq;

3onumrul 1 este element neutru pentru nmulire, adicoricare ar fiq , avem

q 1=1. q = q;4oorice numr raional q, nenul, are un invers, adicexistun numr

raional notat cu q'-1, astfel nctqq-1 = q-1q= 1.

De fapt, dac , 0m

q qn

= , atunci m 0 i deci 1n

qm

= .

III.nmulirea este distributivn raport cu adunarea, adicoricare ar fiq, r, s , avem

q (r + s)= qr + qs, (q + r)s = qs + rs.

1.Ca de obicei, n loc de q + (r) vom scrie q r(diferena numerelor qi r). n acest mod se obine o nou operaie pe numit scdereanumerelor raionale. Scderea, ca operaie, are o serie de proprieti. Unadintre cele mai importante este proprietatea de distributivitate a nmulirii nraport cu scderea, adicq(r s)= qr qs, (q r)s = qs rs, oricare ar fiq, r, s .

2. n loc de 1, 0,qr r vom scrie q : r sauq

r(ctul numerelor q i r).

Numrul raional q : r (care are sens numai pentru r 0) se obine prinmprirea numrului raional qla numrul raional r 0. Altfel spus, dac

aq

b= i

cr

d= cu r 0 (adicc 0) avem : :

a c a d ad q r

b d b c bc = = = .


15/166

Mulimi de numere

8

Definiie

Observaie

Definiie

1.1.3. Proprieti de ordine ale numerelor raionale

Reamintim cteva definiii.

Numrul raional

a

b estepozitivi scriem 0

a

b> dacnumerele ntregi

ai bau acelai semn (adicab > 0). Numrul raionala

beste negativi

scriem 0a

b< dacnumerele ntregi ai bau semne contrare

(adicab un numr raional, perechea (a, b) fiind unreprezentant al su, astfel nct ab > 0. Dac (a1, b1) este un alt

reprezentant al numruluia

b , adic 1

1

aa

b b= , avem (a, b)~ (a1, b1). Deci

ab1= a1bi, nmulind ambii membri cu a1b, obinem aba1b1= (a1b)2> 0.

Cum ab> 0, rezulta1b1> 0, adic 1

1

0a

b > .

Fiea

b, b 0, un numr raional. Atunci, n mulimea numerelor ntregi

are loc una i numai una din relaiile: ab < 0, ab = 0 (adica = 0), ab> 0.Conform definiiilor precedente, rezultc: sau

a

b< 0 , sau

a

b= 0 , sau

a

b> 0.

S definim acum relaia de inegalitate, notat


16/166

Mulimi de numere

9

DefiniieFie qirnumere raionale. Spunem cqeste mai mic sau egal cu r (i

scriem q r) daci numai dacq < rsau q = r.

Este clar ca q rdaci numai dacexistun numr raional s0astfel nct r = q + s.

Relaia " are urmtoarele proprieti:

1 dacq , atunci qq(reflexivitatea);2 dacq, r astfel nct q ri r q, atunci q= r(antisimetria);

3 dac q, r, s astfel nct q r i r s, atunci q s(tranzitivitatea).

Aceast relaie se numete relaia de ordine pe mulimea numerelorraionale.

Observm c proprietatea 3 (tranzitivitatea) este valabil i pentrurelaia 0) se reprezint

sub forma unei fracii zecimale finite sau infinite (adic, cu o infinitate de

zecimale). Astfel n loc de1

4 se scrie 0,25; n loc de5

8 se scrie 0,625; n

loc de1

3 se scrie 0,333 Deoarece avem de-a face att cu fracii

zecimale finite, ct i cu fracii zecimale infinite, pentru uniformizare, se potaduga la dreapta fraciei zecimale o infinitate de zerouri.

De exemplu:1 5

0,25000...; 0,625000...4 8

= =

Astfel putem spune ctoate fraciile zecimale sunt infinite.Numerele ntregi se reprezint, evident, ca fracii zecimale cu o

infinitate de zerouri dupvirgul.De exemplu: 5 = 5, 000 ; 13 = 13, 000 .


17/166

Mulimi de numere

10

Definiie

Aadar, orice numr raional nenegativm

n poate fi reprezentat sub

forma unei fracii zecimale infinite:m

n= a0, a1a2a3 .

Numrul a0estepartea ntreaga lui mn , iar numrul 0, a1a2a3

estepartea fracionara sa. Numerele a1, a2,a3, sunt cuprinse ntre 0 i9, adic0 ai9, pentru i= 1, 2, 3, .

Observm acum c i numerele raionale negative au o astfel dereprezentare. Vom nota partea ntreaga unui numr negativ cu semnul

minus deasupra. Astfel numrul5 1

32 2

= + se poate scrie sub forma

3 , 5000 .

Analog, 0,321 = 1,679000;

2 125 25,666... 26 26,333...3 3

= = + = .

n acest mod, orice numr raional (negativ, pozitiv sau zero) sereprezintsub forma unei fracii infinite:

m

n= a0, a1a2a3 (1)

unde a0 este partea ntreag a luim

n, iar 0, a1a2a3 este partea

fracionar(zecimal) a sa (a0este un numr ntreg, iar a1, a2, a3, suntnumere cuprinse ntre 0 i 9).

Partea fracionar 0, a1a2a3 din reprezentarea (1) a oricrui numrraional este un numr pozitiv mai mic dect 1. Reprezentarea numerelorraionale negative sub form de fracie zecimal infinit, cu parteantreag numr negativ (iar partea fracionar un numr pozitiv) o vomface cu scopul de a uniformiza n continuarea acestui capitol studiulnumerelor reale (pozitive i negative).

S vedem acum care sunt fraciile zecimale prin care se reprezintnumerele raionale. Mai nti sdefinim fracia zecimalperiodic.

O fracie zecimalinfinita0, a1a2a3 se numeteperiodic, dacexistnumerele naturale kipastfel nct an+p= an, pentru orice n k.

O fracie zecimalperiodicse noteaz, pe scurt, prina0, a1a2ak1(akak+1 ak+p1).

Mulimea cifrelor scrise (n aceast ordine) n parantez se numeteperioada fraciei zecimale. Dac k = 1, adic perioada ncepe imediatdupvirgul, avem de-a face cu o fracie zecimalperiodicsimpl; n cazcontrar avem de-a face cu o fracie zecimalperiodicmixt.

n exemplele numerice de mai nainte fraciile zecimale sunt periodice.Astfel, pentru 0,333 avem k= 1,p= 1 i an+1

= an= 3 pentru orice n1. Scriem 0,333 = 0,(3), aceasta fiind o fracie zecimal periodicsimpl. Fraciile zecimale finite, care dup cum am observat pot ficonsiderate ca fracii zecimale infinite (prin adugare de zerouri) suntperiodice. De exemplu, pentru 0,25000 avem k= 3,p= 1 i an+1= an=


18/166

Mulimi de numere

11

Exemplu

0, pentru orice n3; iar pentru 0,625000 avem k= 4,p= 1, an+1= an=0, pentru orice n4. Deci 0,25000 = 0,25(0), iar 0,625000 = 0,625(0).Aadar acestea sunt fracii zecimale periodice mixte. n sfrit, fracia15 ,723434 este periodici se scrie, pe scurt, 15 ,72(34).

Am observat creprezentarea unui numr raional sub formde fracie

zecimalse obine cu ajutorul algoritmului de mprire.

Sconsiderm, numerele5

33i

19

55Avem:

Exemplul 1 Exemplul 2

5 33 19 55

50 0,15 190 0,3450330170

01650005

01650250

0220003000027500025

Fiecare numr de dupvirgulse obine printr-o mprire parial:

5 33 170 33 0 190 55 250 55 300 55

33 1 165 5 165 3 220 4 275 517 005 005 030 025

Exemplul 1 Exemplul 2

Fiecare demprit parial se deduce din restul precedent prinadugarea unui zero la dreapta sa, adic mrindu-l de zece ori. Oriresturile pariale sunt toate mai mici dect mpritorul. Dupun numr finitde operaii pariale se regsete deci, ori dempritul iniial (exemplul 1),ori un rest deja ntlnit (exemplul 2). De la acest pas putem s nu maicontinum mprirea, deoarece n ctul mpririi lui 5 la 33, respectiv n

ctul mpririi lui 19 la 55, cifrele se vor repeta. Deaceea, ( ) ( )

5 190, 15 ; 0,3 45

33 55= =

n general, avem:

Orice numr raional se reprezint sub form de fracie zecimalperiodic, care nu are perioada (9).

Demonstraie. Dacaeste un numr raional oarecare, atunci a= a0+a', unde a0 este un numr ntreg (partea ntreag a lui a), iar a' este un

numr raional nenegativ mai mic dect 1. Daca' se reprezintsub formde fracie zecimal periodic, care nu are perioada (9), atunci a sereprezintsub formde fracie zecimalperiodiccare nu are perioada (9),

Teorema 2


19/166

Mulimi de numere

12

n care partea ntreag este a0, iar partea fracionar l reprezint pe a'.Aadar, pentru demonstraia teoremei este suficient sconsiderm numai

numere raionalem

n, astfel nct 0 < 1. Fie deci

m

n (m0, n> 0) un

astfel de numr raional. Prin algoritmul de mprire a lui m la n suntposibile resturile: 0, 1, 2, , n 1.

Deoarece resturile iau cel mult nvalori, rezultcdupcel mult npaiai algoritmului, se repetunul din ele. Deci va rezulta o fracie zecimalperiodic.

Se aratcnu este posibil ca fracia zecimalperiodicasociatunuinumr raional s aib perioada (9). S presupunem, prin absurd, cfracia ar avea perioada (9). Atunci, prin algoritmul de mprire, ajungemla un moment dat la un rest rastfel nct nmulindu-l cu 10, i mprindu-lla n, sse obinun ct egal cu 9 i restul s fie, de asemenea, r. Decidupteorema mpririi cu rest, avem: 10r= n 9 + r, cu r< n.

De aici se obine 9r= 9n, de unde r= nceea ce este n contradicie cu

ipoteza r


20/166

Mulimi de numere

13

2) Fie 0,41(23) o fracie zecimal periodic mixt. Dac exist un

numr raionalm

n, astfel nct fracia dat s se obindin acesta prin

algoritmul de mprire, atunci:4 123 este ctul ntreg al mpririi lui 10000m la n, iar 41 este ctul

ntreg al mpririi lui 100mla n.Mai mult, din motive de periodicitate, cele dou resturi obinute sunt

egale. Deci:10000m= n 4 123 + r100m= n 41 + r

i prin scdere se obine: 9 900m= n (4 123 41).Numrul raional cutat este:

4082 4123 41.

9900 9900

m

n

= =

Verificare.Este suficient s aplicm algoritmul de mprire pentru a

vedea cnumrul raional4082

9900se reprezintsub forma fraciei zecimale

0, 41(23).

n general avem:Orice fracie zecimal periodic, care are perioada diferit de (9),

reprezintun anumit numr raional, din care se obine prin algoritmul demprire.

Fiea0, a1a2 ak1(akak+1ak+p1) (1)

o fracie zecimalperiodic, care nu are perioad(9). Trebuie sartm

cexistun numr raional, astfel nct fracia dat (1) s se obin dinacesta prin algoritmul de mprire. Nu vom da o demonstraie a acesteiteoreme. Observm ns c cele dou exemple de mai nainte nesugereazreguli de gsire, n general, a numrului raional cutat. Astfel:

1oDack= 1, adicfracia este periodicsimpl, avem:

( ) 1 20 1 2 0ori

..., ...

99...9p

p

p

a a aa a a a a= +

(n partea din dreapta a egalitii de mai sus a1a2apreprezintnumrulnatural avnd cifrele a1, a2, , ap).

2oDack> 1, adicfracia este periodicmixt, avem:a0, a1a2 ak1(akak+1ak+p 1)=

( )

1 2 1 1 1 1 2 10

1 oriori

... ... ...

99...900..0k k k k p k

kp

a a a a a a a a aa + +

= +

Formule 1oi 2odau reguli dupcare se gsete numrul raional carese reprezintsub forma unei fracii zecimale periodice date.

Teorema 3


21/166

Mulimi de numere

14

1)3 1 5

0,(3) ; 0,(45)9 3 11

= = =

2)543 45 408 34

0,45(3)900 900 75

= = =

3)2745 45 2718 151

0,027(45)

99000 99000 5500

= = =

Am definit fraciile zecimale periodice fra face presupunerea causau nu perioada (9). Dacconsiderm o fracie zecimalcu perioada (9),aplicnd n mod formal regulile 1oi 2ode mai sus, se obine un numrraional. Fie, de exemplu, fracia zecimalperiodic0, (9). Dupregula 1o,acestei fracii zecimale i corespunde numrul raional:

90,(9) 1

9= = .

Pe de alt parte, numrului 1 i corespunde prin algoritmul mpririifracia zecimal1, 000 = 1, (0).

Se considerm un alt exemplu i anume fracia zecimalperiodic0,4(9) cu perioada (9). Dupregula 2oacestei fracii i corespunde numrulraional

49 4 45 10,4(9)

90 90 2

= = = .

Pe de alt parte numrului raional1

2 i corespunde prin algoritmul

mpririi fracia zecimal0, 5000 = 0,5(0).Din cele douexemple rezultcteorema precedent(n ultima sa parte)

nu mai este adevratpentru fraciile zecimale infinite cu perioada (9). Mai

precis, daceste dato fracie zecimalinfinitcu perioada (9), acesteia i

corespunde dup regula 1o sau regula 2o un numr raionalm

n. ns

acestui numr raionalm

n, prin algoritmul mpririi, nu-i mai corespunde

fracia zecimaldat, ci o fracie care se obine din aceasta prin mrireacu o unitate a numrului din faa primei perioade i nlturarea cifrelorurmtoare. Se poate vedea uor c aceast regul se refer la toatefraciile zecimale periodice cu perioada (9).

De aceea, ori de cte ori ntlnim n calcule o fracie zecimal cu

perioada (9) convenim so nlocuim cu fracia zecimalcu perioada (0)(finit) obinutdupregula enunatmai nainte. De exemplu:0, 4(9) = 0,5(0); 0,1(9) = 0,2(0).

n concluzie numerele raionale (i numai ele) se reprezintsub formde fraciei zecimale infinite periodice. Dar exist fracii zecimale care nusunt periodice? Rspunsul la aceast ntrebare este afirmativ. Deexemplu, fracia:

0,101001000100001000001(dup primul 1 este 0, dup al doilea sunt doi de 0 etc.) este o fracie

zecimalinfinitneperiodic.ntr-adevr, se presupunem c aceast fracie este periodic, i fie p

numrul cifrelor din perioad. Perioada trebuie sconini o unitate. Deaceea, ntre orice douuniti consecutive (de dupvirgul) nu pot fi mai

Exemple

Observaie


22/166

Mulimi de numere

15

mult de p 1 zerouri; contradicie. Contradicia obinut arat c fraciaeste neperiodic.

n continuare se vor indica probleme concrete care conduc la fraciizecimale infinite neperiodice.

Test de autoevaluare 1

1) Fie a i bnumere reale astfel nct a+b i a-b s fie numereraionale. S se arate c numerele a, b i ab sunt numereraionale.

2) Pentru fraciile zecimale periodice urmtoare, s se gseascnumrul raional pe care-l reprezint i s se verifice apoi prinalgoritmul de mprire cse obine fracia zecimaliniial:a) 1,33(4); b) -0,(14); c) 2,073(83); d) -2,001(7).

3) Sse arate cnumrul 0,343443444... (dupprimul 3 urmeaz

un 4, dupal doilea 3 urmeazdoi de 4 .a.m.d.) nu este raional.

Rspunsurile la acest teste se gsesc la pagina 56 a acestei

unit i de nv are.

Rspunsurilese vor da nspaiul liberdin chenar, ncontinuareaenunurilor.


23/166

Mulimi de numere

16

1.2. Numere reale

1.2.1 Numere reale ca fracii zecimale infinite

Se impune necesitatea lrgirii mulimii a numerelor raionale,

introducndu-se astfel mulimea a numerelor reale.Iatdouprobleme concrete care conduc la aceasta.1)Nu existnici un numr raional al crui ptrat sfie 2.ntr-adevr, spresupunem, prin absurd, cexistun numr raional

m

n, astfel nct

2

2m

n

=

. Putem presupune cfraciam

neste ireductibil,

adicmi nsunt numere ntregi prime ntre ele. Din2

2m

n

=

rezultm2=

2n2. Cum 2n2este numr par, atunci m2este par i deci meste par. Fie m

= 2k, kun numr ntreg. nlocuind pe m= 2kn relaia precedent, rezult4k2= 2n2, de unde 2k2= n2, adicneste par. Deci mi nsunt numere

ntregi pare, ceea ce contrazice ireductibiltatea fracieim

n. Prin urmare,

presupunerea noastrc2

2m

n

=

este fals. Acest fapt aratcecuaia

cu coeficieni ntregix2 2 = 0 nu are ca soluii, numere raionale.

2) Fie acum un triunghi dreptunghicisoscelABC(fig. 1.).

Alegnd cateta AB ca unitate demsur (adicde lungime 1), vom arta

c nu exist un numr raionalm

n care

s reprezinte lungimea lui BC, adica na parte din ABsse cuprindde mori n BC. ntr-adevr, dac lungimea lui

BC s-ar exprima prin numrul raionalm

n, atunci conform teoremei lui

Pitagora rezult

2

2

m

n

= . Dar am artat la 1) co astfel de relaie nu poateavea loc.

DacBC= a, rezultcaeste o rdcina ecuaieix2 2 = 0. Notma= 2 , care reprezintlungimea ipotenuzei. Am vzut c 2 nu este unnumr raional, deci el va fi un numr de o natur nou. Un astfel denumr, care nu este raional l numim iraional. n acelai mod numerele

2, 5 .a. care sunt rdcini ale ecuaiilor:x2 3 = 0,x2 5 = 0 .a. suntnumere iraionale. Exist i numere iraionale care nu sunt rdcini aleunor ecuaii, de exemplu numrul care este egal cu raportul dintrelungimea unui cerc i diametrul su. Mulimea numerelor raionale

mpreun cu mulimea numerelor iraionale formeaz mulimea anumerelor reale.

A B

C

Fig. 1.


24/166

Mulimi de numere

17

Este cunoscut un algoritm de construcie a fraciei zecimale sub carese reprezint 2 :

2 = 1, 41421356 .

Deoarece 2 este numr iraional rezult c fracia zecimal care lreprezinteste o fracie zecimal infinitneperiodic. {i numrul are o

reprezentare ca fracie zecimalinfinitneperiodic.Acceptm cfiecare fracie zecimalneperiodicinfinitreprezintunnumr real, mai precis un numr iraional.

n acest mod orice numr real ase reprezintprintr-o fracie zecimalinfinit(periodicsau neperiodic) a0, a1a2a3 .

Funcia:aa0, a1a2a3

de la mulimea numerelor reale la mulimea fraciilor zecimale infinite,care nu au perioada (9), asociaz fiecrui numr real o fracie zecimal,care nu are perioada (9), bine determinat, i fiecare astfel de fraciezecimalreprezintun numr real bine determinat.

Teoria riguroas a numerelor reale ca fracii zecimale infinitedepete programa acestei uniti de nvare. Introducerea fraciilorzecimale infinite ne permite sptrundem mai mult n natura acestor noinumere (iraionale).

Pentru simplitate, pe baza funciei precedente, vom identifica ncontinuare numrul real cu fracia zecimalprin care se reprezint, adic:

a= a0, a1a2a3 .n particular, numerele raionale se identific cu fraciile zecimale

periodice (de perioaddiferitde (9)) prin care se reprezint.

Ordonarea numerelor realeVom defini ordinea pe mulimea numerelor reale, folosindreprezentarea lor zecimal, astfel nct aceasta s coincid pentrunumerele raionale cu cea deja introduspentru aceste numere la pct 1.1.

Fie a = a0, a1a2a3 i b = b0, b1b2b3 dou numere reale, undefraciile a0, a1a2a3 i b0, b1b2b3 nu au perioada (9).

Spunem ccele dou numere sunt egaledacoricare ar fii= 0, 1, 2 avem ai= bi.

Spunem cnumrul reala = a0, a1a2a3 este mai mic dect numrulrealb= b0, b1b2b3i scriem:

a< bdacexistun numr naturalk 0,astfel nctak< bki ai= bi pentru oricei < k.

n acest caz se mai spune cb este mai mare dect ai se scrie b> a.

1) 3,9014 < 4,1735, deoarece a0= 3 < 4 = b0.2) 3,45170 < 3,45181, deoarece a0 = b0 = 3, a1 = b1 = 4,

a2= b2=5, a3= b3= 1, a4< b4(7 < 8).

3) 20 ,432 < 1,730, deoarece a0= 20 < 1 = b0.

4) 3,173>3,165, deoarece a0= b0= 3, a1= b1= 1 i a2> b2(7 > 6).5) 4,232 >4,193, deoarece a0= b0= 4, a1> b1(2 > 1).

Observaie

Exemple

Definiie


25/166

Mulimi de numere

18

Daca< 0 se spune c numrul real a este negativ iar dac a > 0atunci a se numete pozitiv. Este clar cun numr real a= a0, a1a2a3este negativ daci numai dacpartea sa ntreaga0este numr negativ.

De exemplu, 1,372 > 0,000 = 0, deoarece a0= 1 < 0.Pentru numerele raionale, definiia inegalitilor dat mai sus este

tocmai cea pe care am definit-o anterior. Astfel:

0,5000 < 0,51000 daci numai dac1 51

2 100< ;

0,(3) < 0,3(34) daci numai dac1 331

3 990< .

1.2.2. Aproximri zecimale ale numerelor reale. Adunarea i nmulirea

numerelor reale

Aproximri zecimale

n practic, aproape niciodat nu se cunosc valorile exacte alemrimilor. Orice instrument sau aparat nu arat cu exactitate absolutmrimile. Orice termometru indictemperatura cu o oarecare eroare, niciun ampermetru nu poate indica intensitatea exact a curentului etc. Oanumit eroare se face chiar la citirea rezultatelor msurtorilor peaparate. De aceea n loc s operm cu valorile exacte ale mrimilor,suntem obligai s operm cu valorile lor aproximative. n general, omrime se reprezint printr-o fracie zecimal infinit, dar un aparat nupoate indica, practic, dect un numr finit dintre zecimale, adico valoareaproximativa mrimii.

Fie a un numr real oarecare reprezentat sub form de fraciezecimal infinit. Aproximrile (valorile aproximative) zecimale prin lipsale numrului a se definesc ca fiind numerele care se obin prinnlturarea succesiv a tuturor cifrelor sale care stau dup virgul,ncepnd cu prima cifr, apoi cu cea de-a doua, dupaceea cu cea de-atreia .a.m.d.

De exemplu, pentru numrul a = 2,173256, aproximrile zecimaleprin lipsvor fi:

2; 2,1; 2,17, 2,173, 2,1732; 2,17325; .Dacla ultimul numr de dupvirgulal fiecrei aproximri zecimale

prin lipsa numrului ase adaug1, atunci se obin aproximrile(valorileaproximative) zecimale prin adaos ale numrului a. De exemplu, pentrunumrul 2, 173256, astfel de aproximri zecimale vor fi:

3; 2,2; 2,18; 2,174; 2,1733; 2,17326; .Avnd n vedere relaia de ordine pe mulimea numerelor reale,

introdus la punctul 1.2.1., primele cinci aproximri zecimale ale lui a sepot ilustra n urmtorul tabel:

2 a< 32,1 a< 2,2

2,17 a< 2,182,173 a< 2,174

2,1732 a< 2,1733

Observaie


26/166

Mulimi de numere

19

Cum numrul a= 2,173256 este cuprins ntre:1) 2 i 3, iar 3 2= 1;2) 2,1 i 2,2, iar 2,2 2,1 = 0,1;3) 2,17 i 2,18, iar 2,18 2,17 = 0,01 .a.m.d.

aceste aproximri zecimale sunt, respectiv, cu o eroare mai micdect1; 0,1 = 101; 0,01 = 102.a.m.d.

n general, pentru numrul a= a0, a1a2a3an aproximrile zecimalecu o eroare mai micdect 10n, sunt:

i)prin lips: a'n= a0, a1a2a3an,ii)prin adaos: ''na = a0, a1a2a3an+ 10

n.

1.Dacnumrul aeste reprezentat de o fracie periodiccu perioada(0), atunci ncepnd cu un anumit rang, aproximrile zecimale prin lipsale sale sunt egale cu numrul nsui. De exemplu, pentru numrul 1,52 == 1,52000, avem:

1; 1,5; 1,52; 1,520; 1,5200; .

De aceea, pentru a cuprinde toate cazurile, n tabelul cu aproximaiilezecimale ale unui numr real, inegalitatea din stnga o scriem .2.Scrierea valorilor aproximative a'ni

''na o vom face sub form de

fracie zecimalfinit, fra mai aduga la dreapta o infinitate de zerouri.Este clar cnumrul aeste mai mare sau egal cu orice aproximare

zecimalprin lipsa sa i mai mic dect orice aproximare zecimalprinadaos a sa.

Aadar, unui numr real ai se asociazaproximrile sale zecimale:prin lips: a'0, a'1, a'2, a'3,prin adaos: '' '' '' ''0 1 2 3, , ,a a a a ,

astfel ncta'0a b, a= b, a< b.

Se spune cnumrul real aeste mai mic sau egal cu numrul real b,i scriem a

b,daca< bsau a= b.

Relaia are urmtoarele proprieti:1oa a, oricare ar fi a(reflexivitatea).2odacabi ba, atunci a= b(antisimetria).3odacabi bc, atunci ac(tranzitivitatea).Aceast relaie se numete relaia de ordine pe mulimea numerelor

reale.Observm c proprietatea 3o (tranzitivitatea) este valabil i pentru

relaia 0, atunci ac< bc,3odaca< bi c< 0, atunci ac> bc,

Fi . 3

M(1)

O 1 2

M(1,6)M(1,7)

M(a)

Definiie


32/166

Mulimi de numere

25

De aici rezultuor c:4odaca< bi c< d, atunci a+c< b+ d i a d< b c,5odaca, b, c, dsunt numere reale pozitive astfel nct a< b i c< d,

atunci ac< bd.

n aceleai condiii, avem ia

d

= = 0 i b> 0, atunci a+ b> 0. Deci |a+ b|= |a|+ |b|.ii) Daca< 0 i b< 0, atunci a+ b< 0. n acest caz |a|= a, |b|= b,

|a+ b|= (a+ b) i deci |a+ b|= |a|+ |b|.iii) Daca> 0 i b< 0, atunci |a|= ai |b|= b. n aceastsituaie avem,sau a+ b0 sau a+ b< 0. Daca+ b0, atunci |a+ b|= a+ ba= |a|

Observaie


34/166

Mulimi de numere

27

|a|+ |b|;iar daca+ b< 0, atunci |a+ b|= ab= a+ |b||b||a|+ |b|.iv) Analog, se demonstreazcazul a< 0 i b> 0.n practicsunt foarte utile urmtoarele proprieti:5. |a|= |b|daci numai daca= !b.6. Dacc> 0, atunci |a|cdaci numai dac cac.(n aceste relaii se poate nlocui semnul

cu semnul


35/166

Mulimi de numere

28

1o0 {a} n, atunci:m

m nn

aa

a=

ntr-adevr, avem: amn an = a(mn)+n = am, de unde rezult cm

m nn

aa

a =

De exemplu:10 5

10 8 2 5 3 2

8 4

3 43 3 9; 4 4 16

3 4

= = = = = =

6.Compararea puterilor1odacai bsunt numere reale pozitive astfel nct a< bi nnumr

natural nenul, atuncian< bn.

Aceast proprietate este o consecin imediat a unei proprietii ainegalitilor ntre numere reale.

Care dintre numerele 230sau 320este mai mare?

Avem 230= 2310= (23)10= 810; 320= 3210= (32)10= 910.Deoarece 8 < 9, atunci 810< 910, adic230< 320.2 oFie aun numr real pozitiv i m, nnumere naturale nenule, astfel

nct m> n.i) Dac0 < a< 1, atunci am< an;ii) Daca> 1, atunci am> an.

ntr-adevr, avem m= n+ k, cu knumr natural nenul. Deci am= an+k= an ak.Dac0 < a< 1, atunci 0 < ak< 1. Prin urmare, am= an ak< an.Daca> 1, atunci ak> 1. Prin urmare, am = an ak> an.

De exemplu,60 30

60 301 1 ; 5 55 5

< >

.

Exemplu


38/166

Mulimi de numere

31

Puteri cu exponent ntreg

Am demonstrat cpentru m> nam: an= amn(a0).

Vom cuta slrgim noiunea de putere astfel nct a

m

: a

n

= a

mn

(a0) saibloc i pentru cazul cnd mn.1) Exponentul 0. Daca0, prin definiie vom pune a0= 1.Dacm= n, atunci am: an= 1 i amn= a0= 1. Rezultcformula am:

an= = amnare loc i pentru cazul m= n.

Expresia 00nu are nici un sens.

2) Exponentul negativ. Dacneste numr natural nenul i aun numr

real nenul, prin definiie vom pune1

.nn

aa

=

De exemplu, 3 13

1 1 12 0,125 ; 3 0,(3).2 8 3

= = = = =

Dacm, nsunt numere naturale astfel nct m< n, atunci

( )

( )1m m m

n m m nn m n m n mm n m

a a aa a

a a a aa

+ = = = = =

.

Rezultcformula am: an= amnare loc i pentru cazul m< n.3) Exponent ntreg.n urma definirii puterilor cu exponent 0 i negativ

puterea an cu a numr real i n numr ntreg este bine precizatexceptnd cazul a = 0. Vom arta c proprietile puterilor cu exponentnatural se pstreazi pentru exponent ntreg:

1o

(a b)n

= an

bn

; 3o

am

an

= am+n

; 5o

am

: an

= amn

;

2on n

n

a a

b b

=

4o(am)n= amn.

Sverificm 1o. Pentru exponent n> 0 am demonstrat egalitatea 1o.Dac n= 0, atunci (a b)0= 1 i a0 b0= 1 1 = 1. Deci:

(a b)n= an an, are loc i pentru n= 0.

Presupunem n< 0. Atunci (ab)n=( )

1n

ab

. Cum n> 0, atunci

( )

1 1 1 1 n nn n n n n a ba b a bab = = = . Deci egalitatea (ab)

n

= a

n

b

n

are loc ipentru n< 0.

n acelai fel se verificegalitatea 2o.Sverificm egalitatea

am an= am+n(a 0). (1)Deoarece pentru m> 0 i n> 0 egalitatea (1) este adevrat, rmne

de artat pentru urmtoarele trei cazuri:

Cazul m> 0 i n< 0. Atunci1

.m

m n mm n

aa a a

a a = = Dar cum n> 0,

am vzut c ( )m

m n m nn

aa aa

+ = = i deci aman = am+n.

Observaie


39/166

Mulimi de numere

32

Cazul m< 0 i n< 0. Avem1 1 1

.m nm n m n

a aa a a a

= =

Cum

m> 0 i n> 0, atunci am an= a(m+n).

Deci am an=( )

1.m n

m na

a+

+ =

Cazul cnd unul dintre m sau n este zero.Presupunem cn= 0.Atunci am an=am a0= am 1 = ami am+n= am+0= am.Deci i n acest caz avem am an= am+n.Din egalitatea 3orezulti egalitatea am:an= amn(a0).Sverificm egalitatea

(am)n= amn(a0) (2)Deoarece pentru m> 0 i n> 0 egalitatea (2) este adevrat, rmne

de artat n urmtoarele cazuri:

Cazul m< 0 i n> 0. Avem ( ) ( )1 1

.n

nmm m m

aa a

= =

Cum m> 0, atunci (am)n = amn. Deoarece mn < 0 atunci amn =

mna

1i deci (am)n= amn.

Cazul m> 0 in< 0. Avem (am)n=( )

1 1 mnn mnm

aaa

= = Deci (am)n=

amn.

Cazul m< 0 i n< 0. Avem (am)n=( )

1nma

i din primul caz obinem

c (am)n= amn . Cum mn> 0, atunci 1 11mnmn

mn

aaa

= = i deci (am)n=

amn.Cazul cnd unul dintre m sau n este zero.Dacm= 0, atunci am= 1 i

deci (am)n= 1n= 1. Dar cum amn= a0= 1, rezult(am)n= amn.Dacn= 0, atunci (am)n= (am)0= 1 i amn= a0= 1. Deci i n acest caz

avem (am)n= amn.

1. 6 8 6 8 83 3 3 3 9; + = = =

2.(42)2= 44=4

1 14 256

= ;

3. ( ) ( )32

3 32 2 61 1 3 3 729.3

= = =

Exemple


40/166

Mulimi de numere

33

1.3.2. Radicali

Fie n 2 un numr natural, iar a un numr real. S considermecuaia

xn a= 0. (1)

n continuare ne punem problema existenei i a numrului rdcinilor(soluiilor) reale ale acestei ecuaii. O rdcinreal a ecuaiei (1) este unnumr real , astfel nct n a= 0.

Radicalul unui numr pozitiv

Fie ca mai sus n 2 un numr natural, a> 0 unnumr real pozitiviecuaiaxn a= 0. Atunci avem

Dacn 2 este un numr natural i a> 0 un numr real pozitiv atunci

ecuaiaxn a= 0. (2)

are o rdcinrealpozitivi numai una.

Demonstraia riguroas a faptului c exist o rdcin pozitiv aecuaiei (2) depete programa acestei uniti de nvare. Ea necesitnoiunea de continuitate i se va face la Analizmatematic. Vom indicatotui mai jos pe un exemplu cum poate fi gsito valoare aproximativardcinii pozitive a unei astfel de ecuaii.

S demonstrm acum unicitatea. ntr-adevr, s presupunem prinabsurd, c ecuaia (2) ar avea mai multe rdcini pozitive diferite. Fie

atuncix1ix2,x1x2douastfel de rdcini, adic1 2n nx x a= = . (3)

Cum x1 x2, atunci unul dintre aceste numere este mai mic dectcellalt. Fie, de exemplu, x1< x2. Atunci din proprietile puterilor rezult

1nx < 2

nx , ceea ce contrazice relaia (3). Aceastcontradicie aratcexist

o singurrdcinpozitiva ecuaiei (2).Cu alte cuvinte, teorema precedentspune cpentru orice numr real

pozitiv a> 0 i orice numr natural n2,existun unic numr real pozitivcu proprietatea cputerea a n-a a sa sfie a.

Atunci putem da urmtoarea definiie:

Dac a > 0 este un numr real pozitiv i n 2 un numr natural, senumete radical de ordinndin a, numrul pozitiv a crui putere an-aeste a.

Conform teoremei precedente existun astfel de numr i este unic.

Notaie.Vom nota radicalul de ordin ndin aprin n a . Pentru 2 a , de

obicei, se omite 2 i se scrie, simplu, a .

Aadar, n a este un numr care verificrelaiile:

( )0,n

n na a a> = (a> 0).

Teorema 1

Definiie


41/166

Mulimi de numere

34

1. 3 549 3; 125 5; 16 2; 32 3.= = = = 2. S artm, acum, cum poate fi gsit o valoare aproximativ a

numrului 3 2 .

Deoarece 1 = 13 < 2 < 23 = 8, rezult c 1 < 3 2 < 2 i deci 1,respectiv 2 sunt valorile aproximative prin lips, respectiv prin adaos, ale

lui 3 2 , cu o eroare mai micdect 1. Ca sgsim valorile aproximative cuo eroare mai mic dect 0,1 ale lui 3 2 , procedm n modul urmtor.Scriem irul de numere

1,0; 1,1; 1,2; 1,3; 1,4; 1,5; 1,6; 1,7; 1,8; 1,9; 2,0.Cutm n acest ir dounumere consecutive, astfel nct cubul primului

dintre ele sfie mai mic dect 2, iar cubul celui de-al doilea sfie mai maredect 2.

Pentru aceasta srdicm la cub numrul din mijloc.Obinem 1,53 = 3,375, care este mai mare dect 2. Deoarece toate

numerele de la dreapta lui 1,5 prin ridicare la cub dau numere mai mari

dect 2, perechea de numere cutatva fi printre numerele1,1; 1,2; 1,3; 1,4.Ridicm la cub 1,2 i obinem 1,728 care este mai mic dect 2, i deci

cubul lui 1,1 va fi i mai mic. Calculm atunci cubul lui 1,3 i obinem (1,3)3= 2,197 care este mai mare dect 2. Deci 1,2 < 2 < 1,3. Aadar 1,2respectiv 1,3 vor fi valorile aproximative prin lips, respectiv prin adaos alelui 3 2 , cu o eroare mai micdect 0,1.

Dacvrem sgsim valorile aproximative cu o eroare mai micdect

0,01 ale lui 3 2 , procedm ca mai nainte pentru irul de numere urmtor:1,21; 1,22; 1,23; 1,24;; 1,29.

Deoarece (1,25)3 = 1,953125 este mai mic dect 2, o s lum nconsiderare numai numerele:

1,26; 1,27; 1,28; 1,29.

Cum (1,26)3 = 2,00376 este mai mare dect 2, avem 1,25 < 3 2 0) poate s aib i alte rdcini(care evident trebuie sfie negative). De exemplu, ecuaiax2 4 = 0 arerdcinile x1= 2 < 0 ix2= 2 > 0. n acest sens avem n general:

1oDacn= 2k+ 1, atunci ecuaiax2k+1 a= 0 (a> 0) nu are rdcininegative.

Aceast afirmaie rezult uor observnd c oricare ar fi < 0 avem2k+1< 0 i deci 2k+1a(a> 0).

2oDacn= 2katunci ecuaiax2k a= 0(a> 0) are o singurrdcin

negativi anume 2ka .

ntr-adevr, avem ( 2ka )2k= ( )2

2k

ka a= i deci 2ka este o rdcin

a ecuaieix2k

a= 0. Un raionament analog celui folosit la demonstrareaunicitii n teorema precedent, ne arat c 2ka este unica rdcinnegativ.

Exemple


42/166

Mulimi de numere

35

Prin definiie, avem 0n = 0 (n2, numr natural).

Evident, 0n = 0 este unica rdcina ecuaieixn= 0.

Avnd n vedere definiia radicalului, mai precis c radicalul unuinumr pozitiv (sau nul) este pozitiv (sau nul) este folositor de remarcat

urmtoarea formulimportant:

2

, dac 0,

0, dac 0,

, dac 0.

x x

x x

x x

>

= =

= = =

0

Radicalul (de ordin impar) al unui numr negativ

Fie n2 un numr natural, a< 0 un numr real negativ i ecuaia xn a= 0. Atunci avem:

Fie n 2 un numr natural, a< 0 un numr real negativ i ecuaiaxn a= 0 (1)

Atunci:1oDacn= 2k(k1), ecuaia (1) nu are rdcini reale.2oDacn= 2k+ 1 (k1), ecuaia (1) are o rdcinrealnegativi

numai una.

Demonstraie.Afirmaia 1orezultuor observnd coricare ar fi Ravem 2k= (2)k0 i deci 2ka(a< 0), adic2k a0.

Sdemonstrm acum 2o. Fie pentru aceasta y = x. Cum y2k+1 = (x)2k+1= x2k+1, ecuaia devine y2k+1 a= 0 sau ncy2k+1 (a) = 0.

Cum a< 0 rezulta> 0 i dupteorema 1, rezultcecuaia n yare

o rdcin realpozitiv unic. Aceasta este tocmai n a (a> 0). Dar,atunci este clar cecuaia nxare o rdcinnegativunici anume

x= n a (a> 0).Avnd n vedere afirmaia 2o a teoremei precedente putem da

urmtoarea definiie:

Daca< 0 este un numr real negativ i n3 un numr naturalimpar,se numete radical de ordin ndina, numrul negativ a crui puterea n-aeste a.

Un astfel de numr existi este unic. l notm prin n a . Aadar n a (a

< 0, n3, impar) este un numr care verificrelaiile: n a < 0, ( n a )n= a.

Exemple

Observaie

Definiie

Teorema 2


43/166

Mulimi de numere

36

Din consideraiile anterioare rezultcdaca< 0, n= 2k+ 1, atuncin a = n a .

1. Ecuaiilex4+ 81 = 0 ix100+ 125 = 0 nu au rdcini reale.2. Ecuaiile x5 + 32 = 0 i x3 + 125 = 0 au cte o rdcin real

negativi anume5

32 2 = , respectiv3

125 5. =

Proprietile radicalilor

n cele ce urmeaz vom vedea c radicalii au o serie de proprietiasemntoare puterilor.

Amintim, la nceput, cdacxiysunt numere reale, iar nun numrnatural nenul, atuncixnyn= (xy)n.

De asemenea, dacx, y 0 sunt numere reale, iar n este un numrnatural nenul, atunci dinxn=ynrezultx= y.

n cele ce urmeazm, n, kvor fi numere naturale nenule, iar atuncicnd ele indicordinul unui radical, vor fi mai mari sau egale dect 2.

1.Oricare ar fi numerele reale a, b0, atunci:n n nab a b= (1)

ntr-adevr, fie nx ab= i n ny a b= Atunci x 0, y 0 i

( ) ,n

n nx ab ab= = ( ) ( ) ( )n n n

n n n n ny a b a a ab= = = de unde x = y, ceea

ce trebuia demonstrat.Cerina a0 i b0 este esenialnumai pentru npar.Dacneste impar, formula (1) este valabilpentru orice numere reale

ai b(inclusiv negative).

3 3 3

25 49 25 49 5 7 35;

125 8 125 8 5 2 10.

= = =

= = =

Remarcm c formula (1) rmne adevrat pentru orice numr finitde numere a1, a2, , ak0 (k2), adic

1 2 1 2... ... .n n n nk ka a a a a a= (2)

2.Oricare ar fi numerele reale a0, b> 0, atunci

.

n

n

n

a a

b b= (3)

ntr-adevr, fie , .n

nn

a ax y

b b= = Atuncix0 i y0 i

n

n na a

xb b

= =

i( )

( ).

nn n

nn

nn n

aa ay

bb b

= = =

Deci xn = yn, de unde x = y ceea ce trebuia

demonstrat.Cerina a0 i b> 0 este esenialnumai pentru nnumr par.

Dacneste impar formula (3) este valabilpentru orice numr real ai orice numr real b0.

Exemple

Exemple


44/166

Mulimi de numere

37

3

33

36 36 64 64 4; .

49 7 27 349 27

6= = = =

3. Oricare ar fi numrul real a0, atuncimn mn a a= (4)

ntr-adevr,

( )ori

... .mmn n n n n mn n n nn

m

a a a a a a= = =

3 36 3 2 24 4 4 16;= = = 4 412 4 3 32 2 2 8= = = 4.Oricare ar fi numrul real a0, atunci:

( ) n mmn aa = . (5)ntr-adevr,

( ) nori ori

... ... .m

mnn n n n

m m

a a a a a a a a= = =

Dacneste impar, formula (5) este valabili pentru a< 0.( ) ( )

3 363 12 24 4 64 3 3 27; 16 2 2 4;= = = = =

( ) ( )5 53 332 2 32. = =

5.Oricare ar fi numrul a0, atunci:

.m mkn nka a= (6)

ntr-adevr, fie x = mknka i y = mm a . Atunci x 0, y 0 i

( ) ( )

( )i .n n

nk mnkn mk m n m mnk n

x a a a y a a= = = = = Decixn= yn, de undex= y, ceea ce trebuia demonstrat.

25 53 10 2124 5 5 ; .a a= =

6.Oricare ar fi numrul real a0, atunci:n m nma a=

ntr-adevr, fie in m nmx a y a= = . Atunci x 0 i y 0. Dup

proprietile 4 i 5 avem ( )n

n nnmnm my a a a= = = . Cum xn = m a , dup

definiia radicalului de ordin nrezultcy= n m a .Deci y=x, ceea ce trebuia demonstrat.3 3 5 154 122 2; 17 7= = .

Exemple

Exemple

Exemple

Exemple

Exemple


45/166

Mulimi de numere

38

Operaii cu radicali

1. Scoaterea unui factor de sub semnul radical i introducerea unuifactor sub semnul radical.

Uneori numrul de sub semnul radical se descompune n factori, caz

n care radicalul este uor de calculat. n aceste cazuri, expresiaradicalului devine mai simpl (se simplific), dac scoatem aceti factoride sub semnul radical. n efectuarea unei astfel de operaii, ne bazm peproprietile 1 i 3 ale radicalilor.

12 3 4 4 3 2 3;= = = 4 44 4 4 44 41250 625 2 5 2 5 2 5 2;= = = =

12 34 42 2.a a=

Uneori este folositor s introducem factori sub semnul radical. Pentruefectuarea unui astfel de operaii ne bazm pe aceleai proprieti

menionate mai sus.3 33 63 2 8 9 9 316 2 16 2 2 2 2 2 2 2 2= = = = = =

2. nmulirea radicalilor. Proprietatea 1 a radicalilor ne d legea denmulire a radicalilor de acelai ordin:

1 2 1 2... ... .n n n nk ka a a a a a = (1)

Ca snmulim radicali de ordine diferite, este necesar s-i aducem laacelai ordin i, apoi, s-i nmulim dup formula (1). Fie, astfel, n a im b . Folosind proprietatea 5 a radicalilor avem:

; .m nnm nmn ma a b b= =

Atunci .nmm n m nnm nmn ma b a a b = = 6 6 6 6 63 2 3 2 3 4 73 63 9 3 9 3 9 3 3 3 3 3= = = = =

Observm c se poate lua ca ordin comun al radicalilor n a i m b ,tocmai cel mai mic multiplu comun al numerelor ni m; astfel, putem lua

ca ordin comun pentru radicalii 4 62 i 32 pe 12, care este cel mai micmultiplu comun al numerelor 4 i 6 i, avem

12 12 123 10 134 1262 32 2 2 2 2 2. = = = 3. mprirea radicalilor. Proprietatea 2 a radicalilor ne d legea de

mprire a radicalilor de acelai ordin..

n

nn

a a

bb=

(2)

Ca smprim radicali de ordine diferite, i aducem mai nti la acelaiordin i apoi i mprim dupformula (2).

6 2 4366

36 3

4 4 22

22 2= = = .

4.Raionalizarea numitorilor. nelegem prin raionalizarea numitorilor,operaia de eliminare (prin transformri) a radicalilor de la numitorul uneifracii. Vom clarifica aceasta prin cteva cazuri speciale, pe care le vomprezenta mai jos.

Exemple

Exemplu

Exemplu

Exemplu


46/166

Mulimi de numere

39

S precizm mai nti noiunea de expresie conjugat. Astfel, oexpresie, care conine radicali se numete conjugata unei alte expresiicare conine radicali, dac produsul acestor expresii se poate scrie frradicali. Atunci cele douexpresii se numesc conjugate.

n cazurile urmtoare, raionalizarea numitorului se realizeaz prinamplificarea fraciei cu conjugata numitorului. De aceea vom pune n

evidenpentru fiecare caz n parte, conjugatele numitorului.1o Numitorul este un radical. n acest caz radicalul de la numitor se

eliminprintr-o amplificare.

( )

3 2 3

2 3 3 3 3

2 2 3 2 3 2 5 2 3 5 18; .

3 63 12 2 33

= = = =

2oNumitorul este de forma; a b (a, b> 0).

Observm c ( ) ( )a b a b a b+ = Expresiile a b+ i

a b sunt conjugate. Pentru a raionaliza numitorul amplificm fraciacu conjugata numitorului.

( )( )( )

2

3 23 2 2 6 25 2 6

3 23 2 3 2 3 2

3 += = =

+ + .

3o Numitorul este de forma: a b c (a, b, c > 0). n acest caz,radicalii de la numitor se elimin succesiv, reducnd problema la cazulprecedent.

( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

( )( )

( ) ( )

( )( )( ) ( )

( )

2 2

4 1 3 2 4 1 3 24

1 3 2 1 3 2 1 3 2 1 3 2

4 1 3 2 4 1 3 2 2 1 3 2

2 2 3 1 34 2 3 2

2 1 3 2 1 3 2 1 3 3 3 2 6

1 31 3 1 3

2 3 6.

+ + + +

= = = + + + + +

+ + + + + += = = =

+ ++

+ + + + = = =

+

= +

4oNumitorul este de forma 3 3a b sau 3 32 23a ab b + Avem:

( )( )3 32 23 3 3a b a ab b a b+ + = + i

( )( )3 32 23 3 3a b a ab b a b + + = acestea fiind perechi de expresii conjugate.

Exemple

Exemplu

Exemplu


47/166

Mulimi de numere

40

Exemplu ( )( )( )

3 32 23 33

3 3 3 32 23 3 3

3 3 32 2 3 3 3

3 5 3 5 33

5 3 5 3 5 3 5 3

3 5 3 5 3 3 45 75.

5 3 2

+ += =

+ +

+ + + += =

Cazul 4ose poate da mai general, astfel:

5oNumitorul este de forma n na b sau 1 2 1...n n nn n na a b b + + + .

Avem ( )( )1 2 1...n n nn n nn na b a a b b a b + + + = acestea fiind deci expresii conjugate.6oNumitorul este de forma:n na b sau 1 2 2 1...n n n nn n n na a b ab b + + , unde n= 2k+ 1, este

impar. Avem:

( )( )1 2 2 1...n n n nn n n nn na b a a b ab b a b + + = + (n = 2k + 1)

acestea fiind deci conjugate.

S se demonstreze c: 33

a b cabc

+ + , unde a, b, c sunt numere

reale pozitive oarecare (media aritmetica trei numere pozitive este maimare sau egalcu media geometrica lor).

Soluie.Se verificuor care loc identitatea:

( )( )3 3 3 2 2 23x y z xyz x y z x y z xy yz xz+ + = + + + + + + + undex, y, z

sunt numere reale oarecare.

Deoarece ( ) ( ) ( )2 2 22 2 2 1

2x y z xy yz xz x y y z z x + + = + +

rezultidentitatea

( ) ( ) ( ) ( )2 2 23 3 3 13 .

2x y z xyz x y z x y y z z x + + = + + + +

n aceastultimidentitate punem: 3 3 3, ,x a y b z c= = = i obinem:

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2

3 3 3 3 3 3 3 3 3 313 .2

a b c abc a b c a b b c c a + + = + + + + Deoarece a, b, csunt numere pozitive, iar ptratul oricrui numr real estenenegativ, rezultc 33 0a b c abc + + , adic

3

3

a b cabc

+ + .

Inegalitatea datdevine egalitatea daci numai daca= b= c.

Daca, b, csunt numere reale pozitive oarecare, atunci:3 3

1 1 1abc

a b c

+ +

(media geometrica trei numere reale pozitive este mai mare sau egalcu media armonica lor). Folosind faptul cmedia aritmetica numerelor

Aplicaie

Observaie


48/166

Mulimi de numere

41

Observaie

1 1 1, i

a b c este mai mare sau egal cu media lor geometric, rezult

inegalitatea cerut.

1.3.3. Puteri cu exponent raional

n acest paragraf vom prezenta o extindere a noiunii de putere, carecuprinde n particular, att noiunea de putere cu exponent ntreg, ct i ceade radical.

Puteri cu exponent raional pozitiv

Fie a 0 un numr real nenegativ im

n un numr raional pozitiv,

atunci definimm

mnna a= (1)

(citim ala puteream

n).

Observm c n aceast definiie intervin numerele naturale m i ncare definesc numrul raional dat.

Cum numrul raionalm

n > 0 este egal, de exemplu, cu numrul

raionalkm

kn, pentru k numr natural nenul, se pune n mod firesc

problema de a arta c aceastdefiniie este corect, adicnu depindede alegerea reprezentanilor.

Cu alte cuvinte, trebuie artat cdac'

'

m m

n n= , atunci

'

'

m m

n na a= .

ntr-adevr, avem'

'

m m

n n= daci numai dacmn'= m'n.

Atunci folosind proprietatea 5 a radicalilor, avem:'

' ' '' ' '' .m m

m m m m m mn n m m n nn na a a a a a= = = = = Obinem astfel noiunea de putere cu exponent raional pozitiv.

25335 4 2 64 4 4 349 9 9 9 9 9 9 3; 8 = 8 = 2 4.= = = = =

Din noiunea de putere cu exponent raional pozitiv particularizat la

numerele naturale n, respectiv la numerele raionale pozitive1n

, se obine

noiunea de putere cu exponent natural, respectiv noiunea de radical pentrunumerele pozitive.

Cerina a 0, din definiie, este esenial deoarece n caz contrar,

formula (1) ar putea snu aibsens. De exemplu, ( )1

42 dupformula (1)ar trebui sfie radical de ordinul 4 din 2, care nu are sens.

Definiie

Exemple


49/166

Mulimi de numere

42

Proprieti ale puterilor cu exponent raional pozitiv

n cele ce urmeaz presupunem cm

n i

p

q sunt numere raionale

pozitive. Atunci:

1o , ( 0)p m pmq n qna a a a

+

= ; 3o , ( 0, 0)

mmnn

m

n

a a a bb

b

=

;

2o ( ) , ( , 0);m mmn nna b a b a b = 4o

pm pm qn qna a

=

, (a0);

5oDac , atunci

mm pnn q

p

q

m p aa

n qa

> = , (a> 0).

Aceste proprieti se demonstreaz uor folosind proprietile

radicalilor. Sdemonstrm prima proprietate. Avem:

.p mq np m pm

q nq nq nqm p mq np mq npnq nq n qna a a a a a a a a=

++ = = = = =

Lsm ca exerciiu, verificarea celorlalte proprieti.

Proprietatea 1o este adevrat i pentru un numr finit de factori,

adic:1 2 1 1 2

1 2 1 2

...

...k k

k k

m m m m m m

n n n n n na a a a+ + +

= .1 4 1 4 5 6 56 71

15 5 5 5 6 7 67 425 5 5 5 5; , (a 0).a a a a+ +

= = = = =

Pentru a0, am convenit spunem a

0

= 1. Expresiei 0

0

nu i se dnici unsens.

Puteri cu exponent raional negativ

Aa cum am definit puterea cu exponent ntreg negativ definim iputerea cu exponent raional negativ.

Fie a > 0, un numr real pozitiv im

nun numr raional pozitiv. Atunci

prin definiie,1m

nm

n

a

a

= .

2 5

3 62 53 62 15 53 6

1 1 1 1 1 1 18 ; 27

4 9 38 3 38 27

= = = = = = = .

Acum tim ce nseamn puterea cu exponent raional oarecare aoricrui numr real pozitiv. Puterile cu exponent raional oarecare auurmtoarele proprieti de baz:

1o , ( 0)p m pmq n qna a a a

+

= ; 3o , ( 0, 0)

mmnn

m

n

a aa b

bb

=

;

Observaie

Exemple

Exemple


50/166

Mulimi de numere

43

2o ( ) , ( , 0);m mmn nna b a b a b = 4o

pm pm qn qna a

=

, (a0);

5o

mm pnn q

p

q

aa

a

= , (a> 0).

Am demonstrat mai nainte aceste proprieti pentru cazul exponenilorraionali pozitivi. Ele se pot demonstra i pentru exponeni raionalioarecare.

Sdemonstrm, de exemplu, proprietatea 1o. Fie pentru aceastam

ni

p

qnumere raionale. Cazul n care ambele numere sunt pozitive a fost dat

la punctul precedent. Rmn atunci de considerat urmtoarele cazuri:1) ambii exponeni sunt negativi;

2) unul dintre exponeni este negativ, iar cellalt pozitiv;3) cel puin unul dintre exponeni este zero.Sle analizm pe rnd:

1) Dacm

n, 0

p

q< . Dupdefiniie i aplicnd proprietatea analoaga

puterilor cu exponent raional pozitiv, avem:

1 1 1 1.

p m pmq n qn

m p m p m pn q n q n q

a a a

a a a a

+

+ +

= = = =

2) n cazul al doilea fie, de exemplu,

0 i 0; deci 0.m p pn q q

> < >

Spresupunem mai nti cm p

n q> .

Atunci, dup definiie i proprietatea 5o a puterilor cu exponent pozitiv,avem:

1.

mm pp m pm m nn qq n qn n

p p

q q

aa a a a a

a a

+

= = = =

Dac m pn q

< , atunci 1 1 1 .pm m

qn np m p

q m q

a a aaa a

= =

Darp m m

q n n

> =

i dupsituaia precedent, avem:

1 1 1.

m p

n qp m p m pmq n q n qn

a

a a a a

+

+

= = =

n sfrit, dac:

0adic 0, atunci 1

mp m pm n

q n qn p

q

m p m p aa a a an q n q

a

+

= + = = = = = .


51/166

Mulimi de numere

44

3oDacunul sau ambii exponeni sunt zero proprietatea este evident(avem n vedere ca0= 1).

Lsm ca exerciiu demonstrarea celorlalte proprieti.

Dac n cazul puterilor cu exponent raional pozitiv am putut vorbi

despre proprietatea 5o

, doar pentru

m p

n q> , n acest paragraf (dupce amdefinit puterile cu exponent raional negativ) ea se poate demonstra i

pentrum p

n q (cnd a> 0); de exemplu,

( )

33 4 1 114

44 5 20 5204 1 55 5

16 1 116 16 2 2 .

216 2

= = = = = =

Observaie


52/166

Mulimi de numere

45

Test de autoevaluare 3

1) Sse simplifice expresiile:

( )( )

( )

1 11

1 2 2 21

2 1 1 23 2 2

2 2

2) 1 ,

) 2 .

x y z yza x y zx y z

x y x yb x x xy y

x y

+ +

+ + + +

++ +

2) Sse raionalizeze numitorii fraciilor:3 3

3 3

5 3 1) ; )

5 3 2 2 3 6a b

+

+ .

3) Sse demonstreze cpentru 1 x 2, avem

2 1 2 1 2x x x x+ + = .

Rspunsurile la acest teste se gsesc la pagina 57 a acestei unitide nvare.

Rspunsurilese vor da nspaiul liberdin chenar, ncontinuareaenunurilor.


53/166

Mulimi de numere

46

1.4. Numere complexe

Prin introducerea numerelor reale se pot exprima rezultatele oricror

m

sur

tori, dar problema soluiilor ecua

iilor de orice tip, cu coeficien

ireali, nu este rezolvat. Ecuaii simple cax2+ 1 = 0,x2+x+ 1 = 0 nu au

soluii n mulimea R a numerelor reale. De aceea, se pune n modnecesar problema extinderii n continuare a noiunii de numr. Aceastextindere conduce la noiunea de numr complex. Vom arta n acestcapitol c mulimea numerelor complexe este suficient de larg, nctorice ecuaie de gradul al doilea cu coeficieni reali s aib soluii naceastmulime.

Numerele complexe nu reprezint rezultatul unor msurtori i deaceea teoria numerelor complexe are un caracter mai abstract, mai formaldect teoria numerelor reale. Remarcm c, n pofida acestui grad de

abstractizare a noiunilor, teoria numerelor complexe, prin implicaiile sale,are multiple aplicaii practice (de exemplu: n mecanic, electrotehnic,fizicatomic.a.).

1.4.1. Mulimea numerelor complexe

Definirea numerelor complexe

Prezentm acum construcia mulimii numerelor complexe, plecnd dela mulimea Ra numerelor reale.

Fie produsul cartezian R x R = {(a, b) | a, b R}, adic mulimeaperechilor ordonate de numere reale.

Precizm c dou perechi (a, b) i (a', b') sunt egale dac i numaidaca= a'i b= b'. Astfel, egalitatea (a, b) = (a', b') este echivalentcu douegaliti de numere reale: a= a'i b= b'.

Definim pe mulimea R x R dou operaii algebrice: adunarea inmulirea.

Dacz= (a, b) i z'= (a', b') aparin mulimii Rx R, atunci definim:z+ z'= (a+ a', b+ b') (1)

Elementul (a+ a', b+ b') se numete sumadintre zi z', iar operaiaprin care oricror elemente zi z'din mulimea Rx Rli se asociazsumalor se numete adunare.

De asemenea, definim:zz'= (aa' bb', ab' + a'b). (2)

Elementul (aa' bb', ab' + a'b) se numete produsul dintre zi z', iaroperaia prin care oricror elemente z i z' din mulimea R x R li seasociazprodusul lor se numete nmulire.

(2, 1) + (3, 1) = (2 3, 1 + 1) = (1, 0),(2, 1)(3, 1) = (2(3) (1)1, 21+ (1)(3)) = (6 + 1, 2 + 3) = (5, 5).

Exemple


54/166

Mulimi de numere

47

Fiecare element al mulimii R x R pe care sunt definite cele douoperaii precedente (1) i (2), se numete numr complex.

Se noteazcu Cmulimea numerelor complexe.Fie submulimea lui C:

R'={(a, 0)

|a

R

}.

Funcia de la R la R'definitprin a (a, 0) asociazoricrui numrreal aun numr complex bine determinat (a, 0) din R'. Observm cdaca b , atunci (a, 0) (b, 0) i mulimea valorilor acestei funcii este R'.

Mai mult, operaiile de adunare i nmulire a numerelor complexe careaparin mulimii R'se transcriu astfel:

(a, 0) + (a', 0) = (a+ a', 0);(a, 0)(a', 0) = (aa', 0).

Aceste relaii arat c adunarea i nmulirea pe R' se fac dupaceleai reguli ca adunarea i nmulirea numerelor reale . Din acest motivrezultcR'are aceleai proprieti aritmetice ca mulimea Ra numerelor

reale. Acest fapt ne permite s identificm numrul complex (a, 0) cunumrul real a. Practic, aceast identificare revine la a nlocui numrulcomplex (a, 0) cu numrul real ai invers.

Aadar, punem (a, 0) = a. n particular, numerele complexe (0, 0) i (1,0) sunt numerele reale 0 i 1.

Proprietile adunrii numerelor complexe

1Adunarea este comutativ, adicoricare ar fi zi z'din C, avemz+ z'= z'+ z.

ntr-adevr, dacz=(a, b) i z'=(a', b'), atunci avem z+ z'= (a, b)+(a',b') = (a+ a', b+ b'). Analog, avem z'+ z= (a'+ a, b'+ b).

Cum nsadunarea numerelor reale este comutativ, avem a+ a'= a'+ ai b+ b'= b'+ b. Deci (a+ a', b+ b') = (a'+ a, b'+ b), adicz+ z'= z'+ z.

2Adunarea este asociativ,adicoricare ar fi z, z'i z''din C, avem(z+ z') + z'' = z + (z' + z'').

ntr-adevr, dacz= (a, b), z'= (a', b') i z''= (a'', b'') atunci avem (z+z') + z'' = [(a, b) + (a', b')]+ (a'', b'') = (a+ a', b+ b') + (a'', b'') = ((a+ a') +a'', (b+ b') + b''). Analog, avem z + (z' + z'') = (a+ (a'+ a''), b+ (b'+ b'')).Cum nsadunarea numerelor reale este asociativ, avem (a+ a') + a''=a+ (a'+ a'') i (b+ b') + b''= b+ (b'+ b''). Deci (z+ z') + z'' = z + (z' + z'').

3 Element neutru. Numrul complex 0 = (0, 0) este element neutrupentru adunare, adicoricare ar fi zdin C avem:z+ 0 = 0 + z= z.

ntr-adevr, dacz= (a, b), atunci cum 0 este element neutru pentruadu-narea numerelor reale, avem z+ 0 = (a, b) + (0, 0) = (a+ 0, b+ 0) =(a, b) = z. Dar, dupproprietatea 1, avem de asemenea 0 + z= z.

4Orice numr complex are un opus, adicoricare ar fi zdin C, existun numr complex notat cu zastfel nct

z+ (z) = (z) + z= 0.ntr-adevr, dacz= (a, b) atunci z= (a, b), deoarece z+ (z) = (a,

b) + (a, b) = (a + (a), b + (b)) = (0, 0) = 0. Conform proprietii 1

avem, de asemenea, (z) + z= 0.

1) Dacz1= (2, 3), atunci z1= (2, 3).

Definiie

Exemple


55/166

Mulimi de numere

48

2) Dacz2= (1, 1), atunci z2= (1, 1).

Daczi z'sunt numere complexe, suma z+ (z') se noteaz, simplu,prin z z'i se numete diferena dintre zi z'. Operaia prin care oricrorelemente zi z'din mulimea Rx Rse asociazdiferena lor se numete

scdere.Dacz= (a, b) i z'= (a', b'), atunci avem formula:z z'= (a a', b b') (3)

Dacz= (2, 5) i z'= (3, 1), atunci z z' = z+ (z') = (2, 5) + [(3,1)]= (2, 5) + (3, 1) = (5, 6).

Proprietile nmulirii numerelor complexe

1nmulirea este comutativ,adicoricare ar fi zi z'din C, avemzz'= z'z.

ntr-adevr, dacz= (a, b) i z'= (a', b'), atunci zz'= (a, b)(a', b') =(aa' bb', ab' + a'b). Analog, avem z'z = (a'a b'b, a'b + ab'). Cum

adunarea i nmulirea numerelor reale sunt comutative, avem aa' bb'=a'a b'bi ab' +a'b= a'b + ab'. Deci zz'= z'z.

2nmulirea este asociativ,adicoricare ar fi z, z'i z''din C, avem(zz')z'' = z(z'z'').

ntr-adevr, dacz= (a, b), z'= (a', b') i z''= (a'', b'') atunci (zz')z'' =[(aa' bb', ab' + a'b)](a'', b'') = ((aa' bb')a'' (ab'+ a'b)b'', (aa' bb')b''+a''(ab' + + a'b))=(aa'a'' bb'a''ab'b''a'bb'', aa'b''bb'b'' + a''ab' + a''a'b).Analog, avem z(z'z'')= (aa'a'' ab'b'' ba'b'' ba''b', aa'b'' + aa''b' + a'a''b b'b''b). Avnd n vedere comutativitatea adunrii i nmulirii numerelorreale, rezultcexpresiile lui (zz')z'' i z(z'z'') sunt aceleai. Deci (zz')z'' =

z(z'z'').3 Element neutru. Numrul complex 1 = (1, 0) este element neutru

pentru nmulire, adicoricare ar fi zdin C avem:z 1 = 1 z = z.

ntr-adevr, dacz= (a, b), atunci cum 1 este element neutru pentrunmulirea numerelor reale, avem z 1 = (a, b) (1, 0) = (a, b) = z.Dupproprietatea 1avem, de asemenea, 1 z= z.

4Orice numr complex diferit de 0 are un invers, adicoricare ar fi z0, existun numr complex notat cu z1 astfel nct

zz1= z1z= 1.Fie z= (a, b) diferit de (0, 0), adiccel puin una din componentele a

sau b este nenul, altfel spus, a2 + b2 0. Dac (x, y) este un numrcomplex astfel nct (a, b)(x, y) = (1, 0), atunci (ax by, bx + ay) = (1, 0).

De aici rezult1

0

ax by

bx ay

=

+ =. Rezolvnd sistemul, se obine:

x=2 2 2 2

,a b

ya b a b

=

+ +. Conform proprietii 1avem, de asemenea,

(x, y)(a, b) = (1, 0). Deci

z1=2 2 2 2

,a b

a b a b

+ +

.

Observaie

Exemplu


56/166

Mulimi de numere

49

n loc de z1(z0), se folosete uneori notaia1

z. Dacz'= (a', b') este

un alt numr complex, atunci z'z1 se noteaz nc prinz'

zi se numete

ctul mpririi lui z'la z(z0). Ctulz'

z

este definit de formula:

z'

z= 2 2 2 2

' ' ' ',

aa bb ab a b

a b a b

+

+ +

. (4)

1) Dacz= (2, 1), atunci z1=1

z=

2 1 2 1, , .

4 1 4 1 5 5

= + +

2) Dacz= (2, 1) i z'= (1, 1), atunci

1 ' 2 1 ( 1)( 1) 2 ( 1) 1 ( 1) 2 1 2 1 3 1' , , ,4 1 4 1 5 5 5 5

zz z

z + + + = = = = + +

.

5nmulirea este distributivfade adunare, adicoricare ar fi z, z'i z''

dinC

, au loc relaiile: z(z' + z'') = zz' + zz'' i (z+ z')z'' = zz'' + z'z''.ntr-adevr, dacz= (a, b), z'= (a', b') i z''= (a'', b'') atunci z(z' + z'') == (a, b) [(a', b') + (a'', b'')]= (a, b)(a'+ a'', b' + b'') = (a(a' + a'') b(b'+ b''),a(b' + b'') + (a'+ a'')b) = (aa' + aa'' bb' bb'', ab' + ab'' + a'b + a''b).

Pe de altparte, avem zz' + zz'' =(a, b)(a', b') + (a, b)(a'', b'') = (aa' bb', ab' + a'b) + (aa'' bb'', ab''+ a''b) = (aa' bb' + aa'' bb'', ab' + a'b + ab''+ a''b).

Avnd n vedere comutativitatea adunrii numerelor reale, rezult cexpresiile lui z(z' + z'')i zz' + zz''sunt aceleai. Deci z(z' + z'') = zz' + zz''.

Analog se demonstreaz cea de-a doua relaie, pe care o lsm caexerciiu.

Numrul complex (0, 1) are proprietatea (0, 1) (0, 1) = = (1, 0) = 1.Rezultdeci c(0, 1) este o rdcina ecuaieix2+ 1 = 0. Aadar, aceastecuaie are soluii n mulimea numerelor complexe, ceea ce nu era posibil nmulimea numerelor reale.

1.4.2. Forma algebrica numerelor complexe

Notaia z = (a, b), introdus pentru numerele complexe, nu este preacomo-dn calculele cu numere complexe. De aceea, de obicei, se foloseteo altscriere a numerelor complexe. Convenim snotm numrul complex(0, 1) prin i. Atunci, dup regulile de adunare i nmulire a numerelorcomplexe, avem:

(a, b) = (a, 0) + (0, b) = (a, 0) + (b, 0)(0, 1).Deoarece (a, 0) i (b, 0) se identificcu a, respectiv b, iar (0, 1) s-a notat

cu i, atunci aceastscriere se reprezintsub forma (a, b) = a+ bi.Aceastexpresie se numete forma algebrica numrului complex (a, b).

(2, 1) = 2 + (1)i = 2 i; (1, 0) = 1 + 0 i = 1; (0, 5) = 0 + (5)i = 5i.

Observaie

Exemple

Observaie

Exemple


57/166


58/166

Mulimi de numere

51

( ) ( )i ( ) ( )i ( i)( i) .zz' aa' bb' ab' a'b aa' bb' ab' a'b a b a' b' z z' = + + = + = =

Formulele (3) i (4), aplicate numerelor complexe scrise sub formalgebric, dau relaiile:

( i) ( i) ( ) ( )ia b a' b' a a' b b' + + = + (3')

2 2 2 2i iia' b' aa' bb' ab' a'ba b a b a b

+ + = ++ + +

(4')

Pentru relaia (3') se poate da o regul analoag celei date pentruadunare. Observm, de asemenea, c(4') rezultdacamplificm fracia

i

i

a' b'

a b

+

+prin conjugatul numitorului, care este a bi.

n particular, aa se poate proceda i pentru aflarea inversului unuinumr complex. ntr-adevr, daca'+ b' i= 1 i a+ bi 0, atunci:

2 2 2 2 2 2

1 i ii

i ( i)( i)

a b a b a b

a b a b a b a b a b a b

= = =

+ + + + +

7 i (7 i)(3 i) 21 7i 3i 1 20 10i2 i

3 i (3 i)(3 i) 9 1 10

= = = =

+ + +;

2 3i (2 3i)(2 i) 4 2i 6i 3 7 4i 7 4i

2 i (2 i)(2 i) 4 1 5 5 5

+ + + + += = = = +

+ + +;

1 1 i 1 i 1 1i

1 i (1 i)(1 i) 1 1 2 2

= = =

+ + +.

Modulul unui numr complex

Modululunui numr complex z= a+ bi se definete ca fiind numrul

real 2 2a b+ i se noteazprin |z |= |a+ bi|.Modulul unui numr complex z= a+ bi este ntotdeauna pozitiv, el fiind

egal cu zero daci numai daca= b= 0.

1 + 3i = 1 9 10; 1 i 1 1 2; 2i 0 2i 0 4 2;+ = = + = = + = +

Matematica I - Algebra I

Documents

Transcript of Matematica I - Algebra I