1

1

Andr

ea R

esti

Matematica finanziaria avanzata: la valutazione dei gestori

• L’industria del risparmio gestito• La valutazione della performance

– Rendimenti– Misure risk-adjusted– Misure basate su modelli econometrici

• Le grandezze rilevanti– I benchmark e le commissioni– La “lordizzazione” dei rendimenti

• L’analisi degli stili

2

Andr

ea R

esti

L’industria del risparmio gestito

• In tutti i paesi avanzati aumenta il ruolo della gestione del risparmio per conto terzi – Il risparmiatore è proprietario dei titoli– L’intermediario non ha obbligo di restituzione del

capitale– L’allocazione e la gestione del portafoglio vengono

decise dall’intermediario, entro limiti concordati con il risparmiatore

• La gestione del risparmio può essere– Individuale (gestioni patrimoniali ,segregated accounts)– In monte (fondi comuni d’investimento, fondi pensione,

riserve tecniche delle assicurazioni vita)

2

3

Andr

ea R

esti

Risparmio gestito su attività finanziarie delle famiglie

1996 2001Fondi comuni e Sicav 6.23 21.43Gestioni patrimoniali individuali* 7.42 8.14Riserve tecniche ramo vita* 3.84 5.84Fondi pensione 2.92 3.1Totale 20.41 38.51* nota: al netto dell'investimento in fondi comuni

357 mldeuro

982 mldeuro

4

Andr

ea R

esti

Struttura dell’offerta:quote di mercato dei fondi

1996 2001Primi 3 gruppi 32 51.1Primi 5 gruppi 45.1 61.9Primi 10 gruppi 68.4 79.2

*SanpaoloImi, IntesaBci, Unicredito Italiano

*

3

5

Andr

ea R

esti

La gestione in monte: OICR/OCIVM (fondi e sicav)

• Il patrimonio di più risparmiatori viene versato in un fondo– Ognuno detiene un certo numero di quote,

in proporzione al capitale conferito– Il patrimonio del fondo è separato da quello

della società incaricata di gestirlo (SGR)• Una stessa SGR può gestire più fondi e/o patrimoni individuali,

anche per conto di altre società– Se la titolarità di quote dà luogo a diritti di controllo

sulla SGR si parla di SICAV• Se il fondo è aperto, sono possibili

conferimenti/ riscatti di capitale ogni giorno– il prezzo delle quote dipende dal valore degli attivi.

6

Andr

ea R

esti

Come funziona un fondo aperto

Il 20 aprile Denaro N. quoteTizio 200000 20Caio 400000 40Patrimonio 600000 60Valore quota 10000

La mattina del 21 aprileN. Prezzo Valore

Azioni alfa 5000 50 250000Btp 2500 100 250000Depositi infruttiferi 100000Totale 600000

4

7

Andr

ea R

esti

Come funziona un fondo aperto/2La sera del 21 aprile

N. Prezzo ValoreAzioni alfa 5000 60.9 304500Btp 2500 98.2 245500Depositi infruttiferi 100000Totale 650000

Ore 18N. quote 60Valore quote 10833.333

Ore 20N. quote 66Patrimonio totale 715000di cui: da investire 65000

Acquistodi 6

quote

8

Andr

ea R

esti

Come funziona un fondo aperto/3

• Il valore del fondo viene decurtato, ogni giorno delle commissioni di gestione concordate tra i risparmiatori e la SGR

• E’ questo l’unico “travaso” consentito tra i conti della SGR e quelli del fondo

• Inoltre, in Italia, il patrimonio viene decurtato della tassazione su eventuali guadagni (12,5%)– 6.250 euro nell’esempio del lucido precedente

• Eventuali perdite danno invece luogo ad un beneficio fiscale del 12,5%.– Tassazione per competenza, conveniente in periodi di

mercati al ribasso

5

9

Andr

ea R

esti

Politiche d’investimento dei fondi

• Nel proprio regolamento il fondo fissa limiti minimi e massimi alle diverse classi di attività finanziarie in cui potrà investire– Si parla di fondi azionari, obbligazionari, monetari,

bilanciati, flessibili in base al tipo di attività prevalente (ma non esclusivo)

• La politica d’investimento viene inoltre resa trasparente con l’indicazione di un benchmark o parametro oggettivo di riferimento– Es. 50% MSCI Europe, 35% Comit globale, 15% JP

Morgan EUR 3m Cash Index

10

Andr

ea R

esti

Politiche d’investimento dei fondi/2

Azionari Bilanciati Obbligazioni MonetariItalia 30.52% 11.64% 46.43% 10.01%Europa 38.10% 15.50% 28.10% 15.70%USA 47.10% 14.20% 5.10% 33.70%

6

11

Andr

ea R

esti

Misure di performance

• Di puro rendimento– sono le più comprensibili,

ma anche le più grezze.• Di rendimento aggiustato per il rischio

– Indici di Sharpe, Treynor, Modigliani e Modigliani, Sortino, Tracking Error, Information Ratio

• Basate su modelli econometrici– Alpha di Jensen, indici di market timing

12

Andr

ea R

esti

Misure di puro rendimento

• Rendimento time-weighted– Conta solo il tempo e non anche il flusso di

sottoscrizioni e riscatti• Rendimento money-weighted

– Per il risparmiatore conta anche come e quando è “entrato” o “uscito” nel fondo

• Rendimento contabile– E’ una particolare misura money-weighted

stimata attraverso i bilanci dei fondi

7

13

Andr

ea R

esti

Rendimento time-weighted(TWRR)

Allora:

[ ]′= − nn tttt 110 Lt

[ ]′= −110 nfff Lf

[ ]′= − nn vvvv 110 Lv

vettore dei tempi

flussi (positivi o negativi)

valore del patrimonioinvestito nel fondo

Siano:

111

−+

≡−− ii

ii fv

vr è il rendimento realizzato dalfondo nel sottoperiodo i-esimo…

14

Andr

ea R

esti

Rendimento time-weighted(TWRR) / 2

Che può essere annualizzato, ad esempio se i t erano espressi in anni:

( ) 1),(1),( 0

1

00 −+= −ttnnA

nttrttr

è il rendimento compostorealizzato nell’intero periodo

( ) 11),(1

)(0

1 −+≡ ∏=

− −

n

i

ttin

iirttr

8

15

Andr

ea R

esti

Rendimento time-weightede valore della quota

dove x è il numero di quotee q è il valore di una quota

iii qxv =

111 )( −−− ⋅−= iiii qxxf

11)(

1

11111

11

−=−−+

=

=−+

≡

−−−−−

−−

i

i

iiiii

ii

ii

ii

qq

qxxqxqx

fvvr

16

Andr

ea R

esti

Rendimento money-weighted(MWRR)

E’ il tasso interno di rendimento dell’investimento (internalrate of return) visto dal punto di vista del sottoscrittore.Adottando l’interesse composto, è quel tasso r* tale che:

valore che può essere trovato per via iterativa, con il calcolatore.

( ) ∑−

=

−− +++=1

0

)()(0 *)1(*1 0

t

i

tti

ttn

inn rfrvv

9

17

Andr

ea R

esti

Rendimento money-weighted(MWRR) col metodo di Dietz

[ ] [ ]

−+−++=

=−++−+=

∑∑

∑−

=

−

=

−

=

1

000

1

00

1

000

)()(*

)(*1)(*1

t

iinin

t

ii

t

iininn

ttfttvrfv

ttrfttrvv

Adottando invece l’interesse semplice:

18

Andr

ea R

esti

Rendimento money-weighted(MWRR) col metodo di Dietz/2

Da cui:

∑

∑−

=

−

=

−+−

−−= 1

000

1

00

)()(* t

iinin

t

iin

ttfttv

fvvr

Incremento endogeno del patrimonio

Saldo patrimonialemedio nel periodo

10

19

Andr

ea R

esti

Rendimento contabile

)(21

)()]([2

1)(

0

0

00

0−+

−+

−+

−+

−+−−−

=−++−+

−−−=

ffvffvv

ffvvvvffvvr n

nn

nc

dove u è l’utile netto realizzato dalla gestione del fondo tra t0 e tn

Poiché −+ −++≡ ffuvvn 0

)(21

0 uvvur

n

c

−+=

allora:

20

Andr

ea R

esti

Rendimento contabile / 2

)(21

)(

0

0−+

−+

−+−−−

=ffvffvvr nc

In pratica, si tratta di un rendimento money-weightedstimato ipotizzando che tutti i flussi si concentrino

a metà anno.

11

21

Andr

ea R

esti

Esempio

( ) ( ) ( ) ( )[ ] %2,781%501%101%101%201),( 0 =−+⋅+⋅−⋅+=nA ttr

(a) Rendimento time-weighted

0 1 2 3 4t_i 31/12/1998 31/03/1999 30/06/1999 30/09/1999 31/12/1999v_i 1000 2400 1260 1386 2400f_i 1000 -1000 0 214

v_i+f_i 2000 1400 1260 1600r_i 20.0% -10.0% 10.0% 50.0%

22

Andr

ea R

esti

Timing dei flussi:

-1500

-1000

-500

0

500

1000

1500

1 2 3 4-50%

-25%

0%

25%

50%

flussi t-1rendimenti

12

23

Andr

ea R

esti

Altre misure di rendimento:(b) MWRR composto

A B C D E1 v_0 f_i v_n flussi totali2 31/12/1998 1000 1000 20003 31/03/1999 -1000 -10004 30/06/1999 0 05 30/09/1999 214 2146 31/12/1999 2400 -2400

88%ottenuta con "TIR.X(E2:E6;A2:A6;50%)"

24

Andr

ea R

esti

Altre misure di rendimento:

%0,915,1303

1186

412144

31000200021410002400

)()(* 1

000

1

00

==⋅+⋅−

−−=

=−+−

−−=

∑

∑−

=

−

=t

iinin

t

iin

ttfttv

fvvr

%1,1072142

1100021410002400

)(21

)(

0

0 =+

−−=

−+−−−

=−+

−+

ffvffvvr nc

(c) Dietz:

(d) Contabile:

13

25

Andr

ea R

esti

Confronti basati sul solo rendimento

• Richiedono orizzonti temporali lunghi• Adeguati solo tra fondi

con profili di rischio omogenei• Adeguati rispetto al rendimento del

benchmark del fondo nello stesso periodo• Adeguati solo tra fondi con stili di gestione

omogenei – Small caps, value vs. growth, ecc.

26

Andr

ea R

esti

Esercizio0 1 2 3 4

t_i 31/12/1998 31/03/1999 30/06/1999 30/09/1999 31/12/1999v_i 1000 1800 1200 1400 1300f_i 500 -1000 600 400

TWRR: 0,3%; MWRR composto: -17,3%; MWRR Dietz: -17,4%;MWRR contabile: -16%.

-1200-1000-800-600-400-200

0200400600800

1 2 3 4-50%

-25%

0%

25%

50%

flussi t-1rendimenti

14

27

Andr

ea R

esti

TWRR e valore della quota

0 1 2 3 4t_i 31/12/1998 31/03/1999 30/06/1999 30/09/1999 31/12/1999v_i 1000 1800 1200 1400 1300

n 10 15 6.67 10 12.86q_i 100 120 180 140 101.1f_i 500 -1000 600 400n 15 6.67 10 12.86

28

Andr

ea R

esti

Misure di RAPrisk-adjusted performance

• Indice di Sharpe e M-quadro • Indice di Treynor• Tracking Error e Information Ratio• Indice di Sortino

15

29

Andr

ea R

esti

Indice di SharpePremio per unità di rischio totale, o reward to variability

p

p

p

fp

p

fp zrrrS

σσσµ

=−

=−

=

Inclinazione dellacapital market linepassante per P

µp

rf

σp

P

30

Andr

ea R

esti

Indice di Sharpe: esempioFondo A Fondo B Mib30P Intbk1m

gennaio 10.58% 7.81% 7.20% 5%febbraio 2.19% 3.95% -3.31% 5.10%marzo 12.51% 7.53% 8.27% 5%aprile 17.33% 42.29% 19.61% 5.20%maggio 13.98% 18.08% 12.91% 5.20%giugno 18.58% 44.28% 19.56% 5.20%luglio 1.44% -3.74% -1.05% 5.10%agosto 9.66% 5.93% 7.84% 5.10%settembre -2.42% 6.15% -9.97% 5.30%ottobre 14.06% 17.39% 11.79% 5.30%novembre 2.39% -0.28% 2.27% 5.40%dicembre 8.28% 3.73% 6.91% 5.50%MEDIA 9.05% 12.76% 6.84% 5.20%Sigma 6.23% 14.30% 8.12% 0.14% 0%

16

31

Andr

ea R

esti

Indice di Sharpe: esempio/2

• Per il fondo A: S=(9.05-5.20)/6.23=61.75%• Per il fondo B: S=(12.8-5.20)/14.3=52.86%• Per il Mib30P: S=(6.84-5.20)/8.12=20.13%• Attenzione: l’indice di Sharpe consente solo

confronti relativi tra fondi diversi, o tra i fondi e un benchmark

• Geometricamente, “vince” il fondo con l’inclinazione maggiore…

32

Andr

ea R

esti

Indice di Sharpe: esempio/3

0%

2%

4%

6%

8%

10%

12%

14%

0% 5% 10% 15% 20%

0%

2%

4%

6%

8%

10%

12%

14%

0% 5% 10% 15% 20%

µ

σ

AB

Mib30rf

17

33

Andr

ea R

esti

Indice di Modigliani e ModiglianiE’ una riscrittura dello Sharpe. Risponde alla domanda: “Quanto avrebbe reso il fondo se fosse stato “diluito” con liquidità fino ad avere lo stesso σ del benchmark?”

Es. il fondo B ha σΒ=14,3, il benchmark ha σΜ=8,12.Un portafoglio investito al 56.8% nel fondo B e al 43,2% inliquidità avrebbe:

(1) σ = 56.8%·σΒ + 43.2%·σf= 56.8%·14.3 = 8.12(2) µ = 56.8%·µΒ + 43.2%·µf= 56.8%·12.8+43.2·5.2 = 9.5%

Quindi 9,5% è il valore dell’indice di Modigliani e Modigliani.Il fondo batte il benchmark, infatti quest’ultimo ha reso solo il 6.84%

34

Andr

ea R

esti

Indice di Modigliani e Modigliani/2Nota: il peso assegnato al fondo B (56.8%) è stato ottenuto comeσΒ / σΜ (solo così, infatti, la (1) è soddisfatta).

Ma allora la 2 può scriversi come:

cioè come una trasformazione lineare dell’indice di Sharpe.

fmffpp

m

fp

mp

p

m

rSrrr

rrM

+=+−=

=

−+=

σσσ

σσ

σσ

)(

12

18

35

Andr

ea R

esti

Indice di Modigliani e Modigliani/3Verifichiamo infatti che M2

B = 8.12%· 52.86%+5.2% =9.5% e analogamente calcoliamo M2

A = 8.12%· 61.75%+5.2% =10.2%

0%

2%

4%

6%

8%

10%

12%

14%

0% 5% 10% 15% 20%

0%

2%

4%

6%

8%

10%

12%

14%

0% 5% 10% 15% 20%

µ

σ

AB

Mib30rf

36

Andr

ea R

esti

Indice di TreynorPremio per unità di rischio sistematico, o reward to volatility

p

p

p

fp

p

fp zrrrT

βββµ

=−

=−

=

Inclinazione dellasecurity market linepassante per P

µp

rf

βp

P

19

37

Andr

ea R

esti

Indice di Treynor/2

• Se gli investitori diversificano il rischio è l’indicatore più corretto:– Il mercato paga solo i rischi non diversificabili.

• In un mercato in equilibrio, tutti i titoli, quindi anche tutti i fondi, avrebbero un indice di Treynor identico

• Richiede la stima del beta dei fondi con una regressione

38

Andr

ea R

esti

Indice di Treynor: stima dei beta

-20%

-10%

0%

10%

20%

30%

40%

50%

genn

aio

febbra

iomarz

oap

rile

maggio

giugn

olug

lio

agos

to

sette

mbre

ottob

re

nove

mbre

dicem

bre

rp - rf (A)rp - rf (B)rm - rf (Mib30)

20

39

Andr

ea R

esti

Indice di Treynor: stima dei beta/2Mese rp - rf (A) rp - rf (B) rm - rf (Mib30)

gennaio 5.58% 2.81% 2.20%febbraio -2.91% -1.15% -8.41%marzo 7.51% 2.53% 3.27%aprile 12.13% 37.09% 14.41%maggio 8.78% 12.88% 7.71%giugno 13.38% 39.08% 14.36%luglio -3.66% -8.84% -6.15%agosto 4.56% 0.83% 2.74%settembre -7.72% 0.85% -15.27%ottobre 8.76% 12.09% 6.49%novembre -3.01% -5.68% -3.13%dicembre 2.78% -1.77% 1.41%BETA 0.748342285 1.404987456

ottenuta con:=PENDENZA(rangeY;rangeX)

40

Andr

ea R

esti

Indice di Treynor: esempio

• Per il fondo A: T=(9.05-5.20)/0.75=5.14%• Per il fondo B: S=(12.8-5.20)/1.4=5.38%• Per il Mib30P: S=(6.84-5.20)/1=1.64%• Attenzione: anche l’indice di Treynor

consente solo confronti relativi tra fondi diversi, o tra i fondi e un benchmark

• Geometricamente, “vince” il fondo con l’inclinazione maggiore della SML…

21

41

Andr

ea R

esti

Indice di Treynor

0%

2%

4%

6%

8%

10%

12%

14%

0% 50% 100% 150%

µ

β

AB

Mib30

42

Andr

ea R

esti

Legame tra Treynor e SharpePer qualunque titolo compreso in un fondo, dovrebbe valere

zi= βi zm + ui

Dunque anche per il fondo valezp= βp zm + up con βp=Σwiβi ; up = Σwiui

eσ2

p= β2p σ2

m + σ2(up).

Se il fondo è ben diversificato, σ2(up) → 0 e σp= βpσme si ha che:

mm

p

p

p TzzS

σβσσ===

Ma in generale non è così: il Capm non vale sempre,e i gestori di fondi non diversificano completamente

22

43

Andr

ea R

esti

Information RatioE’ una generalizzazione dell’indice di Sharpe dove al postodel tasso risk-free compare il benchmark

)()(

fp

fp

p

p

rrrrEz

S−

−==

σσ

TEbp

bp TEErrrrE

IRσσ

)()()(

=−

−=

Da:

a:

La differenza tra rendimento del fondo e rendimento delbenchmark è detta tracking error.

44

Andr

ea R

esti

Tracking errors e Information RatioFondo A Fondo B

gennaio 3.38% 2.81%febbraio 5.50% -1.15%marzo 4.24% 2.53%aprile -2.28% 37.09%maggio 1.07% 12.88%giugno -0.98% 39.08%luglio 2.49% -8.84%agosto 1.82% 0.83%settembre 7.55% 0.85%ottobre 2.27% 12.09%novembre 0.12% -5.68%dicembre 1.37% -1.77%MEDIA 2.21% 7.56%Sigma 2.51% 14.30%

IRA = 2.21 / 2.51 = 88%

IRB = 7.56 / 14.30 = 53%

Il secondo fondo guadagnadi più ma a prezzo di scostamenti molto piùforti dal benchmark.

Il benchmark ha per definizione IR nullo.

L’IR è difficile da interpretarese il TE medio è negativo.

23

45

Andr

ea R

esti

Indice di Sortino• I risparmiatori non temono “tutto” il rischio, ma

solo il cosiddetto downside risk• Lo scarto quadratico medio andrebbe allora

sostituito da un indice basato sui soli scostamenti per difetto rispetto a un certo rendimento minimo obiettivo (indice di downside risk, d)

• Analogamente, l’extrarendimento dovrebbe essere calcolato con riferimento a tale rendimento minimo r*

p

p

drr

So*−

=

46

Andr

ea R

esti

Misure di performancebasate su modelli econometrici

• Alpha di Jensen– legame con l’indice di Treynor– appraisal ratio di Treynor e Black

• Modelli con market timing– Il concetto di market timing– La misura di Treynor e Mazuy– La misura di Henriksson e Merton– La misura di Grinblatt e Titman

24

47

Andr

ea R

esti

Alpha di JensenSecondo il Capm per i titoli, dunque anche per i fondi:

rp - rf = βp (rm – rf) + uizp= βp zm + ui

Con ui indipendente da zm e a media nulla. Ma un gestore professionale potrebbe scegliere i titoli da inserire in portafoglioin modo tale che

zp= α + βp zm + ui

con α statisticamente diverso da zero.Questa misura di performance si presta ad essere stimata con una regressione lineare e prende il nome di alpha di Jensen

48

Andr

ea R

esti

Alpha di JensenMese rp - rf (A) rp - rf (B) rm - rf (Mib30)

gennaio 5.58% 2.81% 2.20%febbraio -2.91% -1.15% -8.41%marzo 7.51% 2.53% 3.27%aprile 12.13% 37.09% 14.41%maggio 8.78% 12.88% 7.71%giugno 13.38% 39.08% 14.36%luglio -3.66% -8.84% -6.15%agosto 4.56% 0.83% 2.74%settembre -7.72% 0.85% -15.27%ottobre 8.76% 12.09% 6.49%novembre -3.01% -5.68% -3.13%dicembre 2.78% -1.77% 1.41%BETA 0.748342285 1.404987456ALPHA 0.026241701 0.052616747

ottenuta con:= INTERCETTA(rangeY;rangeX)

25

49

Andr

ea R

esti

Alpha di Jensen• E’ necessario verificare che l’intercetta

della regressione sia significativamente diversa da zero.

• Possiamo farlo col test:che si distribuisce comeuna t di Student con n-2 gradi di libertà.

• Nota: imponendo β = 1potremmo costruire untest simile per l’information ratio

( ) ( )

2

ˆ

1

2

1

2

1

2

∑

∑∑

=

==

−−

⋅

=

n

ii

n

ii

n

ii

xxnn

xuT α

α

50

Andr

ea R

esti

Alpha di Jensen

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

2,5% 2,5%

-2.03 +2.03+2 ca.-2 ca.

ΤαB = 1.8

ΤαA = 5.4

26

51

Andr

ea R

esti

Alpha di Jensen e indice di Treynor

0%

2%

4%

6%

8%

10%

12%

14%

0% 50% 100% 150%

r

βP

C

Mib30

β

rp - rf = αp + βp (rm – rf)

αp = rp - rf - βp (rm – rf)

A

B

D

M

AB = AC – βPMD = AC - BC

l’indice di Treynor del fondo batte l’indice di

Treynor del benchmarksolo se il fondo ha

alpha positivo

52

Andr

ea R

esti

Alpha di Jensen e indice di Treynor

bp

p

b

fb

p

p

p

fbpp

p

fpp

Trr

rrrrT

+=−

+=

=−+

=−

=

βα

ββα

ββα

β

ˆˆ

ˆ)(

ˆˆ

ˆ)(ˆ

ˆ

)

Cioè: “l’indice di Treynor del fondo batte l’indice di del benchmark solo se il fondo ha alpha positivo”

0=pu

27

53

Andr

ea R

esti

Indice di Treynor e Black(appraisal ratio)

2

ˆˆ

1

2

−

==

∑=

n

uTB

n

ii

up

ασα

E’ il quoziente tra l’extra-rendimento che il gestore riesce a ottenereprendendo rischio idiosincratico (scegliendo i titoli) ed il rischioidiosincratico stesso (variazioni non spiegate dal benchmark).

Il quadrato di TB può essere visto come la differenza tra il quadratodello Sharpe di un portafoglio che comprende p e b e il quadratodello Sharpe di un portafoglio che comprende solo b.

54

Andr

ea R

esti

Jensen, Treynor, Treynor-Black

• Treynor e Treynor-Black sono diversi da zero solo se alpha è diverso da zero

• Si preferisce quindi testare alpha– I test di significatività statistica di T e TB

esistono solo per grandi campioni, e sono più complessi

– Alpha è espresso in punti di rendimento, ed ha quindi una più facile interpretazione economica

• “aggiungere alpha al portafoglio”

28

55

Andr

ea R

esti

Il concetto di market timing

( )

∑∑

∑∑+=

==

≡

iii

iii

iii

iiip

zwzw

zwEzwEzE

),cov(

)(

Nullo nei portafogli passivi

Ricostruibile solo se conoscola composizione di portafoglio giornaliera

56

Andr

ea R

esti

Market timing e beta

),cov(0)(

)()(

bpbppbpp

pbppp

zzzE

uzEzE

ββαβα

βα

++=++=

=++=

Se vale il Capm allora

dove alpha può, in generale, non essere nullo.Ma allora:

pbppp uzz ++= βα

selectivity o stock-picking compenso per il rischio

sistematico

markettiming

29

57

Andr

ea R

esti

Market timing e beta/2

),cov()( bpbppp zzzE ββα ++=

Il β non è costante maviene alzato o ridotto in

funzione dei rendimenti di mercato

Henrikssone Merton

Treynor eMazuy

58

Andr

ea R

esti

Treynor e Mazuy

+=+⋅+=

bppbp

pbbppp

zzuzzz

10)()(

ββββα

bpp σβα 1+

Da cui:

market timing efficacese βp1 > 0

che è un modello suscettibile di stima empirica

La performance totale del gestore è data da:

ibpbppp uzzz +++= 210 ββα

Market timingSelectivity

30

59

Andr

ea R

esti

Treynor-Mazuy versus Jensen

pbpbppp uzzz +++= 210 ββα

In presenza di market timing positivo e rendimenti positivi, Jensen può sottostimare l’alpha

pbppp uzz ++= βα

zp

zb

60

Andr

ea R

esti

Stima empirica di Treynor-MazuyMese rp - rf (A) rp - rf (B) rm - rf (Mib30) (rm - rf )^2

gennaio 5.58% 2.81% 2.20% 0.05%febbraio -2.91% -1.15% -8.41% 0.71%marzo 7.51% 2.53% 3.27% 0.11%aprile 12.13% 37.09% 14.41% 2.08%maggio 8.78% 12.88% 7.71% 0.59%giugno 13.38% 39.08% 14.36% 2.06%luglio -3.66% -8.84% -6.15% 0.38%agosto 4.56% 0.83% 2.74% 0.08%settembre -7.72% 0.85% -15.27% 2.33%ottobre 8.76% 12.09% 6.49% 0.42%novembre -3.01% -5.68% -3.13% 0.10%dicembre 2.78% -1.77% 1.41% 0.02%

CoefficientiErrore

standard Stat tIntercetta 0.025782 0.006713 3.84047rm - rf (Mib30) 0.747698 0.059687 12.52688(rm - rf )^2 0.063205 0.597718 0.105743

Performance: 82%=-2.3%+10.4*8.12%

CoefficientiErrore

standard Stat tIntercetta -0.02301 0.008453 -2.72219rm - rf (Mib30) 1.298923 0.075151 17.28422(rm - rf )^2 10.40769 0.75257 13.82954

Performance: 3,1%=2.6%+6.32%*8.12%

Fondo B

Fondo A

31

61

Andr

ea R

esti

-20%

-10%

0%

10%

20%

30%

40%

50%

-20% -10% 0% 10% 20%z Comit30

z fo

ndo

B

Treynor-Mazuy versus Jensen

ibpbppp uzzz +++= 210 ββα

rb

ibppp uzz ++= βα

62

Andr

ea R

esti

Henriksson e Merton

−+=

+⋅+=

b

bppbp

pbbppp

zzz

uzzz),0max()(

)(

10 βββ

βα

Da cui:

=1 se mkt peggio di risk-free, 0 altrimenti

che è un modello suscettibile di stima empirica

pbpbppp uzzz +−++= ),0max(10 ββα

Cioè:

<−>

00

)(10

0

bpp

bpbp z

zz

βββ

βmarket timing efficacese βp1 > 0

32

63

Andr

ea R

esti

Henriksson e Merton

−+ b

b

bpp z

zz ,),0max(cov1βα

La performance totale del gestore è data da:

Market timingSelectivity

Nota:questa covè semprenon-negativa

pbpbppp uzzz +−++= ),0max(10 ββα

Il gestore capace di market-timing è come se fosse lungo di βp1 put per vendere

ad uno strike pari a zero l’extra rendimento di mercato: X – S = - zb

64

Andr

ea R

esti

H-M: rappresentazione grafica

pbppp uzz ++= βα

zppbpbppp uzzz +−++= ),0max(10 ββα

33

65

Andr

ea R

esti

Stima empirica di H-MMese rp - rf (A) rp - rf (B) rm - rf (Mib30) Max[0,-(rm - rf )]

gennaio 5.58% 2.81% 2.20% 0.00%febbraio -2.91% -1.15% -8.41% 8.41%marzo 7.51% 2.53% 3.27% 0.00%aprile 12.13% 37.09% 14.41% 0.00%maggio 8.78% 12.88% 7.71% 0.00%giugno 13.38% 39.08% 14.36% 0.00%luglio -3.66% -8.84% -6.15% 6.15%agosto 4.56% 0.83% 2.74% 0.00%settembre -7.72% 0.85% -15.27% 15.27%ottobre 8.76% 12.09% 6.49% 0.00%novembre -3.01% -5.68% -3.13% 3.13%dicembre 2.78% -1.77% 1.41% 0.00%

CoefficientiErrore

standard Stat tIntercetta -0.07417 0.012758 -5.81332rm - rf (Mib30) 3.104258 0.163806 18.95078Max[0,-(rm - rf )] 3.603845 0.297326 12.12087

CoefficientiErrore

standard Stat tIntercetta 0.025094 0.008934 2.808761rm - rf (Mib30) 0.76372 0.114712 6.657697Max[0,-(rm - rf )] 0.032614 0.208215 0.156638

Fondo B

Fondo A

Performance: 4,4% = -7.4%+3.6*3.3%

Performance: 2,6% = 2.5% + 3.3%*3.3%

66

Andr

ea R

esti

Market timing, un approccio diversola PPW di Grinblatt e Titmann

Consideriamo un investitore con ricchezza iniziale unitaria, chealloca il γ% della sua ricchezza in un benchmark rischioso (es. ilMib30) e il (1-γ)% in investimenti risk-free. All’istante successivo, la sua ricchezza sarà:

0][)]*1([ =′=

=++′ bWbf zUE

ddW

dWdUEzrUE

γγγ

Data una U(.) concava in γ, la condizione del primo ordine è:

bffb zrrrW γγγ ++=−++= 1)1(1

)]*1([)]([max bf zrUEWUE γ++=

Un investitore razionale decide γ∗ in modo tale che sia

34

67

Andr

ea R

esti

PPW di Grinblatt e Titmann/2

01=′∑

tbtWt zU

T

Possiamo usarla per stimare il γ∗che massimizza l’utilità attesa

Data una serie di rendimenti passati, la controparte emprica dellacondizione del primo ordine è:

E[U(γ)]

γ

γ∗

68

Andr

ea R

esti

PPW di Grinblatt e Titmann/3

01>′∑

tptWt zU

T

Ora immaginiamo che, anziché del benchmark b, l’investitorepossa disporre di un certo fondo p. Se il fondo p è meglio delbenchmark, è naturale allocargli una quota di ricchezza γ > γ*.In altri termini, in corrispondenza di γ* l’utilità marginale attesasarà ancora crescente:

E[U(γ)]

γ

γ∗

benchmark b

fondo p

È una misuradi performance!

35

69

Andr

ea R

esti

PPW di Grinblatt e Titmann/4

∑∑

∑

′′=′′=

=

tWtWt

tWtWtt

tptt

UUUT

UT

zPPW

11con κ

κ

Ovviamente, ogni funzione di utilità U(.) darà luogo ad una misura di performance diversa. Per questo, quella di G&T non èuna misura, ma piuttosto una classe di misure:

Nota: i pesi sono stati normalizzati (la loro somma è uguale a 1)perché in questo modo PPW può essere visto come un extra-rendimento unitario rispetto al benchmark.

70

Andr

ea R

esti

PPW di Grinblatt e Titmann/5

0

10

=

=

∀>

∑

∑

btt

t

tt

t

zκ

κ

κ

Indipendentemente dalla funzione di utilità sottostante, tutte le misure PPW hanno in comune tre cose:

perché sono normalizzati

perché utilità marginali

per costruzione

PPW significa positive period weighting, cioè ponderazionepositiva dei periodi. Le PPW sono misure di performance coerenti

con il market timing perché basate sull’ottimizzazione intertemporale

36

71

Andr

ea R

esti

Esempio di misura PPW

θ

θ

−+=

−

1)(

1WCWU

0

5000

10000

15000

20000

25000

30000

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

C = 25000, θ = 6

C = 175000, θ = 5

U(W)

W

Pongo:

θ =coefficiente

di avversionerelativa

al rischio

(funzione CRRA)

72

Andr

ea R

esti

Esempio di misura PPW/2

( ) ϑθ γ −− ++==′ bfw zrWU 1Ottengo:

e impongo:

0)*1(11 ∑∑ =++=′ −

tbtbtf

tbtWt zzr

TzU

Tθγ

Per un dato θ, ad esempio θ = 6,uso la condizione precedente per trovare γ*.

37

73

Andr

ea R

esti

Esempio di misura PPW/3Mese z_b r_f Condizione

gennaio 2.20% 5.0% (1 + 5.0% + gamma* 2.2%)^(-6) x 2.2%febbraio -8.41% 5.1% (1 + 5.1% + gamma* -8.4%)^(-6) x -8.4%marzo 3.27% 5.0% (1 + 5.0% + gamma* 3.3%)^(-6) x 3.3%aprile 14.41% 5.2% (1 + 5.2% + gamma* 14.4%)^(-6) x 14.4%maggio 7.71% 5.2% (1 + 5.2% + gamma* 7.7%)^(-6) x 7.7%giugno 14.36% 5.2% (1 + 5.2% + gamma* 14.4%)^(-6) x 14.4%luglio -6.15% 5.1% (1 + 5.1% + gamma* -6.2%)^(-6) x -6.2%agosto 2.74% 5.1% (1 + 5.1% + gamma* 2.7%)^(-6) x 2.7%settembre -15.27% 5.3% (1 + 5.3% + gamma* -15.3%)^(-6) x -15.3%ottobre 6.49% 5.3% (1 + 5.3% + gamma* 6.5%)^(-6) x 6.5%novembre -3.13% 5.4% (1 + 5.4% + gamma* -3.1%)^(-6) x -3.1%dicembre 1.41% 5.5% (1 + 5.5% + gamma* 1.4%)^(-6) x 1.4%TOTALE = ZERO

La condizione è verificata da γ = 39.24%

01=′∑

tbtWt zU

T

74

Andr

ea R

esti

Esempio di misura PPW/4La condizione è verificata da γ = 39.24%, infatti:

Condizione Calcolo(1 + 5.0% + 39.24% x 2.2%)^(-6) x 2.2% 1.56%

(1 + 5.1% + 39.24% x -8.4%)^(-6) x -8.4% -7.56%(1 + 5.0% + 39.24% x 3.3%)^(-6) x 3.3% 2.27%

(1 + 5.2% + 39.24% x 14.4%)^(-6) x 14.4% 7.77%(1 + 5.2% + 39.24% x 7.7%)^(-6) x 7.7% 4.80%

(1 + 5.2% + 39.24% x 14.4%)^(-6) x 14.4% 7.75%(1 + 5.1% + 39.24% x -6.2%)^(-6) x -6.2% -5.25%(1 + 5.1% + 39.24% x 2.7%)^(-6) x 2.7% 1.91%

(1 + 5.3% + 39.24% x -15.3%)^(-6) x -15.3% -15.92%(1 + 5.3% + 39.24% x 6.5%)^(-6) x 6.5% 4.12%

(1 + 5.4% + 39.24% x -3.1%)^(-6) x -3.1% -2.45%(1 + 5.5% + 39.24% x 1.4%)^(-6) x 1.4% 0.99%

= ZERO 0.00%

38

75

Andr

ea R

esti

Esempio di misura PPW/5

La condizione è verificata da γ = 39.24%

Pesi scalati(1 + 5.0% + 39.24% x 2.2%)^(-6) = 71.04% 8.15%

(1 + 5.1% + 39.24% x -8.4%)^(-6) = 89.85% 10.31%(1 + 5.0% + 39.24% x 3.3%)^(-6) = 69.38% 7.96%

(1 + 5.2% + 39.24% x 14.4%)^(-6) = 53.89% 6.18%(1 + 5.2% + 39.24% x 7.7%)^(-6) = 62.23% 7.14%

(1 + 5.2% + 39.24% x 14.4%)^(-6) = 53.95% 6.19%(1 + 5.1% + 39.24% x -6.2%)^(-6) = 85.29% 9.78%(1 + 5.1% + 39.24% x 2.7%)^(-6) = 69.80% 8.01%

(1 + 5.3% + 39.24% x -15.3%)^(-6) = 104.25% 11.96%(1 + 5.3% + 39.24% x 6.5%)^(-6) = 63.56% 7.29%

(1 + 5.4% + 39.24% x -3.1%)^(-6) = 78.25% 8.98%(1 + 5.5% + 39.24% x 1.4%)^(-6) = 70.28% 8.06%

TOTALE = 871.77%

Pesi

∑ ′′=t

WtWtt UUκ

76

Andr

ea R

esti

Esempio di misura PPW/6k Mese zp(A) k x zp(A) rp - rf (B) k x zp(B)8.15% gennaio 5.58% 0.45% 2.81% 0.23%10.31% febbraio -2.91% -0.30% -1.15% -0.12%7.96% marzo 7.51% 0.60% 2.53% 0.20%6.18% aprile 12.13% 0.75% 37.09% 2.29%7.14% maggio 8.78% 0.63% 12.88% 0.92%6.19% giugno 13.38% 0.83% 39.08% 2.42%9.78% luglio -3.66% -0.36% -8.84% -0.86%8.01% agosto 4.56% 0.37% 0.83% 0.07%11.96% settembre -7.72% -0.92% 0.85% 0.10%7.29% ottobre 8.76% 0.64% 12.09% 0.88%8.98% novembre -3.01% -0.27% -5.68% -0.51%8.06% dicembre 2.78% 0.22% -1.77% -0.14%TOTALE 2.63% 5.47%

39

77

Andr

ea R

esti

PPW e alpha di Jensenbp zz βα +=L’α di Jensen, intercetta della regressione

viene calcolato come

( )

( ) ∑∑

∑

∑∑∑

=

−−

=

−−=

=

−−=

=−=−≡

tptt

tptbbt

b

b

tptbptbt

b

bpt

tpt

bt

ptbt

b

b

t

pt

bb

pbpbp

zzzzzT

zzzzzzT

T

zz

T

zzz

Tz

zzzz

κσ

σ

σ

σσ

βα

2

2

2

2

2,

11

1

78

Andr

ea R

esti

PPW e alpha di Jensen/2

conduce ad una misura PPW corretta?

( )

−−= bbt

b

bt zzz

T 211σ

κ

NO, perché può risultare negativo, in particolare per valori elevatidi zb pesi negativi quando il rendimento di mercato è più elevatoe conseguente penalizzazione per i gestori che fanno un buon timing.

In effetti, i “pesi” derivati per l’alpha di Jensen derivano da utilità marginali lineari nel rendimento di mercato, dunque da una funzione di utilità quadratica criticatissima perché presupponeutilità marginali decrescenti oltre un certo livello di “sazietà”.

40

79

Andr

ea R

esti

Quadro riassuntivoFondo A Fondo B Mib30P

Sharpe 61.7% 52.9% 20.1%M quadro 10.2% 9.5% 6.8%Treynor 5.1% 5.4% 1.6%IR 88.2% 52.9% 0.0%Jensen 2.6% 5.3% 0.0%Treynor-Mazuy 3.1% 82.0% 0.0%Heriksson-Merton 2.6% 4.4% 0.0%PPW con CRRA 2.6% 5.5% 0.0%

Gestore B meno diversificato, più tempestivo, meno regolare.Misure concettualmente diverse conducono a giudizi simili.

80

Andr

ea R

esti

Determinanti della performance• Una volta misurata la performance di un gestore,

possiamo spiegarla?– Es. fondi grandi hanno economie di scala? Fondi

giovani rendono di più? – Possiamo stimare il modello:

su una “cross-section” di gestori. Ma: gli errori ui sono spesso eteroschedastici o correlati tra loro: i test di significatività basati su normali stime OLS possono non essere affidabili. Dobbiamo quindi usare stime opportunamente corrette.

∑ ++= pipip a εδδπ 0

41

81

Andr

ea R

esti

Determinanti della performance/2• In alternativa, possiamo stimare il modello

facendo variare il periodo su cui è stimato (es. le 50 settimane del 1990, poi del 1991, del 1992, ecc.).

Otterremo ogni volta stime dei delta diverse, e potremo usare questo insieme di valori per stimare empiricamente la varianza e covarianza degli stimatori e costruire test statistici.

∑ ++= pipTiTp a εδδπ ,,0

Fondi

Anni

82

Andr

ea R

esti

Persistenza

ptTpTp επδδπ ++= −1,10,

• Tra le variabili indipendenti con cui spiegare l’indice di performance ci può essere l’indice di performance dello stesso gestore in un periodo precedente:

Per es. Grinblatt e Titman spezzano un periodo di 10 anni in due da 5 e stimano una relazione tra gli alpha dei due quinquenni.Attenzione però: πT-1 non è una variabile osservata con certezza, bensì una stima. I test t della regressione OLS tendono quindi a sottostimare la varianza e risultano distorti verso l’alto: in pratica, la persistenza può sembrare statisticamente significativa anche se non c’è.

42

83

Andr

ea R

esti

Persistenza/2

• Per poter stimare una relazione di lungo periodo tra alpha successivi è necessario disporre di un campione di fondi quotati per molti anni consecutivi. A quel punto può verificarsi un survivorship bias (distorsione da sopravvivenza) perché i fondi peggiori escono dal campione.

• Le indagini empiriche sulla persistenza riscontrano in genere una relazione positiva, ma statisticamente debole, tra alpha di periodi successivi.

• Ciò ha importanti conseguenze pratiche per gli investitori.

84

Andr

ea R

esti

Scelta del benchmark

• Abbiamo ipotizzato che il Mib30 fosse un benchmark corretto, ma– E’ un indice lordo e senza costi di transazione– Non è necessariamente efficiente (critica di Roll)– Cambi di benchmark possono alterare i risultati– Un fondo azionario può avere quantità rilevanti di obbligazioni

• Se il Capm non vale, allora i rendimenti di un’attività vanno spiegati con un modello multifattoriale– Azionario, tassi a lungo termine, cambio, ecc– Sottoportafogli a investimento nullo (es, small cap)– I modelli qui presentati si complicano, ma restano validi.

43

85

Andr

ea R

esti

Gli “ingredienti” per misurare la performance

• Rendimenti dei fondi:– A corso secco o “performance”?

• Attenzione ai fondi “a distribuzione”, ormai piuttosto rari

– Al netto o al lordo delle tasse?– Al netto o al lordo delle commissioni?

• Benchmark di mercato:– Caratteristiche dei benchmark– Benchmark disponibili

86

Andr

ea R

esti

La “lordizzazione” dei rendimenti• In Italia, i guadagni sui fondi comuni sono già al netto

di un imposta del 12,5%, a titolo definitivo– Eventuali perdite danno invece luogo ad un beneficio fiscale

di analogo importo (12,5%)• La tassazione (o il credito) vengono calcolati

e imputati alla quota giornalmente*– L’imposta viene versata il 16 febbraio dell’anno successivo:

se potesse restare in capo al fondo produrrebbe ulteriori “guadagni sul guadagno”

• I rendimenti di un fondo non sono gli stessi al netto o al lordo della tassazione– Necessario “lordizzare” i rendimenti prima di confrontarli

con un benchmark

*Esiste una parte di patrimonio esente (già tassata) o tassata al 27%, che ignoreremo

44

87

Andr

ea R

esti

Lordizzazione: definizioniNi quota netta al giorno iXi numero di quote al giorno

i (escluse le nuove sottoscrizioni che arrivano a sera e vengono valorizzate a Ni)

Ti imposte maturate il giorno i

Fi+1 = Ni (Xi+1 – Xi) flusso di nuova raccolta netta arrivata la sera del giorno ie disponibile la mattina del giorno i+1

Mark tomarket

valore: Ni

Xi quote

Con

trat

tazi

oni

si paga: Ti

arriva Fi+1

17.00

8.00

20.00

88

Andr

ea R

esti

Definizioni/2

Li quota lorda al giorno iTLi tasse liquidate all’erario

(>0 solo al 16 febbraio) STi somma delle tasse già

accantonate e non ancora liquidate all’erario:

o anche:STi = STi-1+ Ti - TLi

T1

T2

T3TL…

STT…

∑∑≤≤

−=ij

jij

ji TLTST

45

89

Andr

ea R

esti

Formula generale

11

1

11

1−−

−

−− +++

===+iii

iiii

ii

ii

i

ii STNx

TSTNxLxLx

LLg

rendimentolordo oggi

quotalorda ieri

patrimoniolordo

stamattina

quotalorda oggi

patrimoniolordo

stasera*

* Prima dell’arrivo del nuovo flusso Fi+1

Patrimonio netto più tutte le tasse fino a ieri

Patrimonio netto più tutte le tasse fino a ieri

più tasse di oggi

90

Andr

ea R

esti

Formula generale/2

11

11−−

−

+++

=+iii

iiiii STNx

TSTNxg

Attenzione: la liquidazionedelle imposte al 16

febbraio non riduce i rendimenti lordi.

Infatti, se TLi>0, non viene inserito a numeratore

con segno meno nel calcolo del gi del 16/2.

A partire dal 17/2 quel TLientra, con segno meno, nel

STi-1 presente sia a numeratore che a

denominatore.

46

91

Andr

ea R

esti

Formula analitica

• La formula generale può essere applicata dal gestore del fondo, che ogni giorno conosce le tasse da versare

• Per i clienti e in generale per chi analizza la performance, conviene applicare la formula analitica, basata su alcune semplificazioni ma assai più potente.

92

Andr

ea R

esti

Formula analitica/2

)(1 1−−

−= iiii NNxT

ττ

aliquota plusvalenza totale (tasse incluse)

[ ]iiiii TNNxT +−= − )( 1τ

Da cui:

Tasse:

47

93

Andr

ea R

esti

Formula analitica/3

k* = ultima data di liquidazione

non odierna

Somma delle tasse:

∑∑∑∑∑≤<≤≤≤≤

=−=−=ijk

jkj

jij

jij

jij

ji TTTTLTST

∑∑≤<

−≤<

− −−

==+ijk

jjjijk

jii NNxTTST*

1*

1 )(1 τ

τ

Se k = i, ST = tasse dell’ultimo anno

k = ultima data di liquidazione

94

Andr

ea R

esti

Formula analitica/4Numeratore della formula generale, NFG:

−+−−

=

=

−+−+−−

=

=−−

+−−

=++

−−≤<

−

−−≤<

−

≤<−−

∑

∑

∑

)()(1

1

)(1

1

)(11

1

11*

1

11*

1

*11

iiiijk

jjj

iiiiijk

jjjiiii

ijkjjjiiiiii

NNxNNx

NxNxNNxNxNx

NNxNxTSTNx

τττ

τττττ

ττ

ττ

48

95

Andr

ea R

esti

Formula analitica/5Denominatore della formula generale, DFG:

−+−−

=

=

−+−−

=

=−−

+−−

=+

−−−≤<

−

−≤<−−−

−≤<−−−−

∑

∑

∑

)()(1

1

)(1

1

)(11

1

111*

1

1*111

1*1111

iiiijk

jjj

ijkjjjiiii

ijkjjjiiiii

NNxNNx

NNxNxNx

NNxNxSTNx

τττ

τττ

ττ

ττ

96

Andr

ea R

esti

Formula analitica/6

espressione che richiede soltanto la conoscenza della quotanetta e del numero delle quote, informazioni rese pubblichedai gestori.

)()(

)()(1

111*

1

11*

1

−−−≤<

−

−−≤<

−

−+−

−+−=+

∑∑

iiiijk

jjj

iiiijk

jjj

i NNxNNx

NNxNNxg

ττ

ττ

Formula generale, NFG/DFG:

49

97

Andr

ea R

esti

Formula analitica: osservazioni

Indichiamo con: ∑−≤<

−−≡Σ1*

1)(ijk

jjj NNx

Σ=−

Σ−

=

−

−

τττ

τ

1

1

)1(1

i

i

ST

STe inoltre:

Allora:

)()(111

1

−−

−

−+Σ−+Σ

=+iii

iiii NNx

NNxgττ

ττ

98

Andr

ea R

esti

Formula analitica: osservazioni/2

1

11

111

11111

1

1111

)1(

11

)(

)()(

)()(

−

−−

−−−

−−−−−

−

−−−−

Σ+−=

+==−+Σ

+

=−+Σ

+

−=−+Σ+−−+Σ==−+Σ+−+Σ

iiiii

ii

iii

iii

iiiii

ii

iiiiiiiiiiii

iii

iiiiiii

Nxggn

nNNgg

Nxg

NNNgx

gN

NxNxNNgxgNxNxNNx

NNgxgNNx

ττ

ττ

ττττττ

ττττττ

50

99

Andr

ea R

esti

Dai rendimenti netti ai lordi:

+−=

−+−=

Σ+−=

−

−

−

−

− 1

1

1

1

1

1)1()1()1()1(ii

ii

ii

iii

iiiii Nx

STgNx

STggNx

ggn τττττ

• Il rendimento netto non è quello lordo decurtato del 12,5%:c’è di mezzo il secondo termine (effetto fiscale indiretto).

• Il rendimento netto dipende – tramite l’effetto fiscale indiretto –dal numero di quote x, quindi non è una misura time-weighted.

• Se il saldo fiscale ST è grande rispetto alle dimensioni del patrimonio netto del fondo, n può essere molto diverso da g.

100

Andr

ea R

esti

Dai rendimenti netti ai lordi: es.1

Quota lorda g_i x_1 T_i ST_i

g_i* (1-12,5%)

ST_i-1 / (x_i*N_i-1) n_i N_i

100.00 100.0110.00 10.0% 10 12.5 12.5 8.75% 0.0% 8.75% 108.8121.00 10.0% 20 27.5 40.0 8.75% 0.6% 8.80% 118.3133.10 10.0% 30 45.4 85.4 8.75% 1.1% 8.85% 128.8146.41 10.0% 40 66.6 151.9 8.75% 1.7% 8.90% 140.2219.62 50.0% 50 457.5 609.5 43.75% 2.2% 44.70% 202.9241.58 10.0% 80 219.6 829.1 8.75% 3.8% 9.08% 221.4229.50 -5.0% 1 -1.5 827.6 -4.38% 374.5% -20.76% 175.4

Calcolo quota nettaDati Tasse

51

101

Andr

ea R

esti

Dai rendimenti netti ai lordi: es.2

Quota lorda g_i x_1 T_i ST_i

g_i* (1-12,5%)

ST_i-1 / (x_i*N_i-1) n_i N_i

100.00 100.0115.00 15.0% 1000 1875.0 1875.0 13.13% 0.0% 13.13% 113.1132.25 15.0% 2000 4312.5 6187.5 13.13% 0.8% 13.23% 128.1152.09 15.0% 3000 7439.1 13626.6 13.13% 1.6% 13.34% 145.2174.90 15.0% 4000 11406.6 25033.1 13.13% 2.3% 13.43% 164.7201.14 15.0% 100 327.9 25361.1 13.13% 152.0% 33.08% 219.2

Calcolo quota nettaDati Tasse

102

Andr

ea R

esti

Le commissioni

• Distinguiamo commissioni– Di entrata o caricamento

• Percentuali, fisse, a scaglioni– Di uscita

• di solito, “a tunnel”: decrescono con la durata dell’investimento

– Di gestione• Calcolate quotidianamente sul patrimonio investito

– Di incentivo (performance fees)

52

103

Andr

ea R

esti

Commissioni di entrata (2001)Importo (euro) 5000 25000 100000 250000Azionari 3.53% 3.20% 2.18% 1.56%Flessibili 3.23% 3.00% 2.10% 1.66%Bilanciati 2.93% 2.45% 1.56% 1.12%Obbligazionari 2.15% 1.82% 1.20% 0.81%

0.00%

1.00%

2.00%

3.00%

4.00%

5,000 25,000 100,000 250,000

AzionariFlessibiliBilanciatiObbligazionari

104

Andr

ea R

esti

Commissioni di uscita (2001)

0.00%0.50%1.00%1.50%2.00%2.50%3.00%

1 2 3 4

AzionariFlessibiliBilanciatiObbligazionariLiquidità

Durata (anni) 1 2 3 4Azionari 2.43% 1.72% 1.24% 1.00%Flessibili 1.85% 1.35% 1.35% 1.00%Bilanciati 2.41% 1.90% 1.40% 1.67%Obbligazionari 2.32% 1.74% 1.23% 1.14%Liquidità 1.50% 1.00% 0.95% 0.00%

53

105

Andr

ea R

esti

Commissioni di gestione (2001)

Azionari 1.78% Bilanciati 1.55% Obbligazionari 1.13%Italia 1.67% Azionari 1.91% Euro b.t. 0.81%Euro 1.57% Bilanciati 1.52% Euro ml.t. 1.06%Europa 1.79% Obbligazionari 1.45% Europa 1.09%America 1.74% Dollaro 1.10%Pacifico 1.76% Liquidità 0.62% Yen 1.30%Emergenti 1.92% Emergenti 1.43%Internazionali 1.78% Flessibili 1.70% Internazionali 1.14%

106

Andr

ea R

esti

Commissioni di incentivo• Derivano dal confronto del rendimento ottenuto dal

fondo con un benchmark di riferimento– Può essere lo stesso indicato sul prospetto informativo (per il

60% ca. dei fondi) oppure no (12,5%)• Per esempio può essere l’indice dei prezzi al consumo, o il

rendimento medio dei fondi di quella categoria

• Sono più comuni per i fondi azionari, bilanciati e flessibili (79%, 73% e 89% dei fondi)

• Sono in genere proporzionali all’extrarendimento, ma qualche volta sono “a scalino” (la commissione di gestione aumenta di un ammontare fisso se il benchmark viene battuto)

• Nel triennio 99-01 sono state pari rispettivamente al 0,14%, 0,22%, 0,03% del patrimonio gestito

54

Andr

ea R

esti

Le commissioni di performancesono un’opzione call

Guadagnodelmanager

Rendimento del fondoLivello del

benchmark

Strategia nonrischiosa che clona il benchmarknel 100% dei casi

All’inizio dell’anno il gestore può scegliere tra…

Andr

ea R

esti

Le commissioni di performancesono un’opzione call/2

Guadagnodelmanager

Rendimento del fondoLivello del

benchmark

Strategia rischiosache batte il benchmark, di moltonel 50% dei casi,e non lo battenel restante 50%

p=50%

p=50%

55

Andr

ea R

esti

Le commissioni di performancesono un’opzione call/3

Guadagnodelmanager

Rendimento del fondoLivello del

benchmark

Non rischiosa

Rischiosa

110

Andr

ea R

esti

Caratteristiche di un benchmark

• Replicabilità da parte del gestore – ad esempio, titoli liquidi e negoziabili

• Trasparenza e oggettività dei criteri di costruzione e del meccanismo di calcolo

• Stabilità nel breve periodo– Per “stabilizzare” l’allocation implicita– Per limitare i costi di transizione nella replica

• Misurabilità (osservabilità)

56

111

Andr

ea R

esti

Diversi tipi di benchmark

• Di prezzo (corso secco) o di performance (total return)• Per tipologia di emittente (es. Stato e privati, investment

e speculative grade, large cap o mid cap)• Per tipologia di strumento (azioni vs. bond)• Per duration (indici obbligazionari)• Con pesi stabiliti come:

– Equally weighted: media delle variazioni percentuali dei prezzi– Price weighted: somma dei prezzi di mercato– Value weighted: pesato per la capitalizzazione

di borsa o per il flottante• In valuta locale o convertiti (rischio di cambio)

112

Andr

ea R

esti

Benchmark disponibili

• Può essere utile osservare il benchmark che i fondi devono indicare (esclusi i flessibili) nel prospetto informativo

• Tale indice deve ricalcare l’asset allocation strategica del fondo, ed è di solito un paniere di più indici– Es. 50% MSCI Europe, 35% Comit globale,

15% JP Morgan EUR 3m Cash Index

57

113

Andr

ea R

esti

La Style Analysis di W. Sharpe

• E’ basata sul c.d. Asset Class Factor Model• Permette di

– Classificare i fondi in modo più perspicace delle classificazioni istituzionali (es. Assogestioni) e usando meno dati

– Valutare la performance rispetto ad un benchmark più accurato di un generico portafoglio di mercato

– Pianificare in modo più efficace l’assetallocation di un portafoglio investito in fondi.

114

Andr

ea R

esti

Dal modello multifattoriale…

piipiip rurr εββα +=++= ∑∑ ~~~In un modello multifattoriale:

i (o gli extra-)rendimenti del fondo p vengono spiegati da una combinazione di più fattori, ad esempio l’indice azionario, quelloobbligazionario, il tasso di cambio, il tasso di sconto, ecc., piùuna componente individuale ε che può avere media non nulla(se include l’alpha del gestore).

58

115

Andr

ea R

esti

Dal modello multifattorialeall’Asset Class Factor Model

piipiip rurr εββα +=++= ∑∑ ~~~Nell’ACFM di Sharpe:

i (o gli extra-)rendimenti del fondo p vengono spiegati da una componente individuale ε - che può avere media non nulla – e dauna combinazione di più fattori che rappresentano rendimenti didiverse asset class, ad es. azioni (large, small, value, growth),obbligazioni (con duration diverse), ecc., tali che siano:- mutualmente esclusive- esaustive (tutte le attività disponibili per il gestore)- con rendimenti sufficientemente differenziati (multicollinearità)

116

Andr

ea R

esti

Dal modello multifattorialeall’Asset Class Factor Model/2

Nell’ACFM di Sharpe si richiede inoltre che i β del modello:• assommino a 1 per poter essere interpretati come quote di

portafoglio investite nelle diverse asset class:• p. es. se il rendimento di un fondo è spiegato al 30% dal JP

Morgan obbligazioni Usa e per il 70% dallo S&P500, è naturale pensare che il gestore abbia allocato così le sue disponibilità;

• Siano coerenti con i limiti all’investimento imposti al gestore:• p. es. se la legge gli vieta vendite allo scoperto e

indebitamenti, è necessario imporre che tutti i b siano non negativi

• è quindi necessario usare un algoritmo di programmazione quadratica e non una generica stima OLS

59

117

Andr

ea R

esti

Esempio di stima: Sharpe, 1992

Nessun vincolo

Somma beta = 1

…e beta non negativi

T-bills 14.7 42.7 0.0Bond medio termine -69.5 -68.6 0.0Bond lungo termine -2.5 -2.4 0.0Corporate bonds 16.6 15.3 0.0Obbligazioni ipotecarie 5.2 4.6 0.0Azioni "value" 109.5 110.4 69.8Azioni "growth" -7.9 -8.0 0.0Azioni medie -41.8 -43.6 0.0Azioni small cap 45.7 47.2 30.0Bond esteri -1.9 -1.4 0.0Azioni europee 6.2 5.8 0.2Azioni giapponesi -1.5 -1.8 0.0Totale pesi 72.7 100.0 100.0R quadro 95.2 95.2 92.2

Trustees' Commingled Fund - U.S. Portfolio (1985 – 1989)

118

Andr

ea R

esti

Esempio di stima: Sharpe, 1992Trustees' Commingled Fund - U.S. Portfolio (1985 – 1989)

60

119

Andr

ea R

esti

Le componenti del modello

piip rr εβ += ∑ ~~

Il tracking error (a media non necessariamente nulla) o “selection” è il valore creato dalla gestione attiva

attraverso stock-picking e/o timing rispetto all’allocation media

Lo “stile” è un benchmark medio ponderato che identifica le caratteristiche di base del fondo. E’ il

fondo passivo in assoluto più simile al fondo

Misu

ra de

lla

perfo

rman

ce

Clas

sifica

zione

1

2

120

Andr

ea R

esti

Classificazione con Sharpe• E’ una classificazione “esterna”…

– Non richiede informazioni “private” sulla composizione del portafoglio del fondo

• …ricalcolabile tempestivamente…– Attraverso il cosiddetto modello “rolling” che

vedremo tra poco• …e resistente rispetto a discontinuità

statistiche o societarie– Spostamento del fondo in altra categoria– Ridefinizione delle categorie istituzionali

61

121

Andr

ea R

esti

Classificazione “rolling”Trustees' Commingled Fund - U.S. Portfolio

1981-85… …1985-89

Si nota che il gestore si focalizza maggiormente su pochi mercati (domestici) e accresce l’enfasi sulle small-cap

122

Andr

ea R

esti

Un secondo esempio:Il fondo “Magellan” di Fidelity (1985 – 1989)

62

123

Andr

ea R

esti

Esempio 2: classificazione “rolling”

1981-85… …1985-89

Abbandona i bond e le small stock (effetto crescita), amplia l’esposizione a quelle medie e al segmento “growth”

Il fondo “Magellan” di Fidelity (1985 – 1989)

124

Andr

ea R

esti

Misura della performance con Sharpe

∑−= tiitptp rr ,,,~ˆ~ βε

Rendimentodel fondoal tempo t

Tracking erroral tempo t

Rendimento del benchmarkdi stile al tempo t misurato con betastimati al tempo t-1

Attivo PassivoValore dellagestione attiva

-=

63

125

Andr

ea R

esti

Performance con Sharpe

∑≤

≡Εti

tpt ,ε

Trustees' Commingled Fund - U.S. Portfolio

Media -0.06%Dev. Std. 1.69%Test t -0.25

ε i mensili:

nIR

nTET

TE

==/σε

126

Andr

ea R

esti

Performance con Sharpe/2

∑≤

≡Εti

tpt ,ε

Il fondo “Magellan” di Fidelity (1985 – 1989)

Media 0.57%Dev. Std. 1.05%Test t 3.76

ε i mensili:Media 0.57%Dev. Std. 1.05%Test t 3.76

ε i mensili:

64

127

Andr

ea R

esti

Performance senza Sharpe

∑≤

≡Εti

tpt ,ε

“Magellan” (1985 – 1989) vs. S&P500

Media 0.18%Dev. Std. 1.48%Test t 0.84

ε i mensili:Media 0.18%Dev. Std. 1.48%Test t 0.84

ε i mensili:

Mid-small e growth hanno sottoperformato rispetto al mercato totale:perché incolparne il gestore? Il cliente conosceva lo stile del fondo…

128

Andr

ea R

esti

Pianificazione dell’AssetAllocation in fondi con Sharpe

• Un modello di ottimizzazione fornisce un asset allocation sui mercati finali

• Per realizzarlo in pratica, il risparmiatore che non può replicare l’indice deve utilizzare fondi comuni d’investimento

• Fidarsi della denominazione dei fondi sarebbe pericoloso…

65

129

Andr

ea R

esti

L’asset allocation obiettivosui mercati finali

σ

µ

[ ]jn

x=x

Liquidità 5%Bond a medio termine 25%Bond a lungo termine 0%Bond internazionali 0%Azioni "growth" 25%Azioni "small cap" 20%Azioni estere 25%

130

Andr

ea R

esti

Gli f fondi disponibili e la loro matrice B

Alfa LiquiditàGamma Obbligazionario M.T.Theta GrowthEpsilon Small CapRho Internazionale

[ ]jinf

,β=×

B Esposizionedell’i-esimo fondoal j-esimo mercato

Liquidità

Bond a medio termine

Bond a lungo termine

Bond interna-zionali

Azioni growth

Azioni small cap

Azioni estere

Alfa Liquidità 80% 20% 0% 0% 0% 0% 0%Gamma Obbligazionario M.T. 40% 52% 8% 0% 0% 0% 0%Theta Growth 20% 0% 4% 4% 60% 8% 4%Epsilon Small Cap 20% 0% 0% 5% 10% 65% 0%Rho Internazionale 24% 8% 8% 0% 20% 0% 40%

66

131

Andr

ea R

esti

L’asset allocation negli f fondi

[ ]if

w=w Quota dell’i-esimo fondo in portafoglioScelgo:

e avrò esposizioni agli n fattori di mercato date dal vettore:

wBffn

′×

Esposizioni alprimo fattore dimercato degli f fondi

Pesi degli

f fondi

Esposizione del portafoglio al

primo fattore dimercato

132

Andr

ea R

esti

L’asset allocation negli f fondi /2

Il rendimento del portafoglio sarà dato da

wεwBr1111

~~×××××

′′′ +fnffnn

Rendimentidegli n fattoridi mercato(stocastico)

Tracking error medio ponderatoPer portafogli ben diversificatila varianza tende a zero. Se i gestori non battono il mercatoin modo persistente, anche ilvalore atteso tende a zero.

67

133

Andr

ea R

esti

Asset allocation “naive”: xw ≅

Liquidità 5%Bond a medio termine 25%Bond a lungo termine 0%Bond internazionali 0%Azioni "growth" 25%Azioni "small cap" 20%Azioni estere 25%

Alfa LiquiditàGamma Obbligazionario M.T.Theta GrowthEpsilon Small CapRho Internazionale

5%25%25%20%25%

134

Andr

ea R

esti

Asset allocation “naive”:esposizione ai diversi mercati

=′wB

29%16%5%2%

22%15%11%

5%25%0%0%

25%20%25%

≠

Sovrappesadrammaticamente il cash, investe in mercati in cui non avrebbe voluto investire

68

135

Andr

ea R

esti

Asset allocation corretta

( ) xBwxwB 1−′=⇒=′

La soluzione è immediata se B è quadrata e invertibile.Diversamente, per il teorema di Rouché-Capelli- non esistono soluzioni se r(B’|x)>r(B’), cioè se l’esposizione

ai mercati cercata non è ottenibile come combinazione lineare delle esposizioni ai mercati dei singoli fondi;

- esiste una soluzione se r(B’|x) = r(B’) = f- esistono infinite soluzioni se r(B’|x) = r(B’) < f, cioè se

l’esposizione ai mercati cercata è ottenibile come combinazione lineare delle esposizioni ai mercati dei singoli fondi e se alcuni fondi possono essere visti come portafogli di altri fondi.

136

Andr

ea R

esti

Asset allocation corretta

-52.9%59.0%16.6%28.7%60.8%

=

w

Attenzione: questa soluzione è algebricamente corretta, ma potrebbenon essere economicamente fattibile:cosa significa “andare corto” sullaliquidità?Nella pratica si cerca di rendereaccettabile la differenza tra l’esposizione effettiva e quella cercata,non di azzerarla.

69

137

Andr

ea R

esti

L’asset allocationcorretta in pratica

• Il vincolo viene alleggerito:

– La somma degli errori in valore assoluto rispetto all’assetallocation obiettivo non può superare una certa soglia

– E’ possibile ponderare gli errori in base alla “gravità”• Vengono aggiunti ulteriori vincoli

– Esposizioni non negative– Rispetto ammontari minimi per i singoli fondi

• Viene scelta una funzione obiettivo– Massimizzazione del TE totale atteso (persistenza???)– Minimizzazione dei costi di gestione

e≤−′′⇒=′ xwBixwB

138

Andr

ea R

esti

• La performance complessiva può esseremisurata come se si trattasse di un unico, grande fondo

• E’ inoltre possibile – e opportuno – scomporrela performance in singole componentiautonomamente identificabili:– asset allocation strategica,

asset allocation tattica, selectivity– Ciò consente di imputare ad ogni centro di

responsabilità (comitato di gestione, gestore, analisti) il valore creato o distrutto

Misura delle performancedi un portafoglio di fondi

70

139

Andr

ea R

esti

• Si tratta di considerare, alternativamente, i rendimenti ottenuti:– Dati i pesi effettivi e i rendimenti effettivi dei

singoli comparti– Dati i rendimenti effettivi, ma immaginando di

avere mantenuto dei pesi standard– Dati i pesi effettivi, ma immaginando di avere

ottenuto dei rendimenti standard– Dati i pesi standard ed i rendimenti standard

Performance attribution

140

Andr

ea R

esti

Le quattro alternative:

∑=

⋅==n

i

stdi

stdi

std rwR1

standard Rendimento

∑=

⋅==n

i

acti

acti

act rwR1

effettivo Rendimento

∑=

⋅==n

i

stdi

acti

taa rwR1

effettivi pesi a standard Rendimento

∑=

⋅==n

i

acti

stdi

ss rwR1

standard pesi a effettivo Rendimento

71

141

Andr

ea R

esti

w std w a

r std

r a

1 2

43

1 - Rend. standard2 - Gestione attiva3 - Selezione titoli4 - Altro

Un’interpretazione geometrica

( )∑=

⋅−=n

i

stdi

stdi

acti rww

1port AAT

( )∑=

−⋅=n

i

stdi

acti

stdi rrw

1portST