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Universidad de San Carlos de Guatemala Departamento de Matemáticas

Facultad de Ingeniería Matemática básica 1 UNIVERSIDAD DE SAN CARLOS DE GUATEMALA

FACULTAD DE INGENIERÍA

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA

CLAVE-101-2-V-2-00-2015

CURSO: Matemática Básica 1

SEMESTRE: Segundo

CÓDIGO DEL CURSO: 101

TIPO DE EXAMEN: Segundo Parcial

FECHA DE EXAMEN: Septiembre de 2015

RESOLVIÓ EL EXAMEN: B’alam Luis Gregorio Lol

Alvarez

DIGITALIZÓ EL EXAMEN: B’alam Luis Gregorio Lol

Alvarez

COORDINADOR: Ing. José Alfredo González Díaz

Universidad de San Carlos Guatemala Jornada vespertina Facultad de Ingeniería Matemática Básica 1 Departamento de Matemática Segundo examen parcial Guatemala, 16 de septiembre de 2015

TEMARIO U Tema 1 (20 puntos)

Considere el polinomio: 𝑝(𝑥) = 𝑥4 − 𝑥3 − 14𝑥2 + 2𝑥 + 24. a) Construya la tabla de signos de Descartes,

b) Escriba los factores de 𝑝

𝑞 y el conjunto de las posibles raíces racionales,

c) Las raíces del polinomio.

d) Dibuje la gráfica del polinomio.

Tema 2 (25 puntos) En la siguiente figura se representa la gráfica acotada de 𝑓(𝑥) . Encontrar:

a) Dominio y rango de 𝑓(𝑥),

b) Dibuje la gráfica 𝑦 = 𝑓(𝑥 − 2) − 3,

c) Dibuje la gráfica 𝑦 = −𝑓(𝑥) + 2,

d) La función que da origen a la gráfica 𝑓(𝑥),

Tema 3 (20 puntos)

Halle el polinomio 𝑅(𝑥) de grado 5 con ceros: 1 − 2𝑖, −1 𝑦 0; donde −1 es de multiplicidad 2 y con

𝑅(1) = −8

Tema 4 (15 puntos) Encuentre la ecuación general de la recta que pasa por el punto (6, 5) y por el centro de la

circunferencia 2𝑥2 + 2𝑦2 − 12𝑥 − 4𝑦 − 30 = 0

Tema 5 (20 puntos)

Se tienen 80 metros lineales de cerca para construir tres corrales iguales. A partir de un terreno

rectangular. Encuentre: a) Una función que modele el área de los tres corrales, b) Lleve la función a

su forma estándar, c) ¿Cuáles son las dimensiones del terreno para obtener la mayor área?, d) ¿Cuál

es la mayor área posible.


SOLUCIÓN Tema 1 (20 puntos)

Considere el polinomio: 𝑝(𝑥) = 𝑥4 − 𝑥3 − 14𝑥2 + 2𝑥 + 24. a) Construya la tabla de signos de Descartes,

b) Escriba los factores de 𝑝

𝑞 y el conjunto de las posibles raíces racionales,

c) Las raíces del polinomio.

d) Dibuje la gráfica del polinomio

No. Explicación Operatoria

1 Para determinar la cantidad de ceros

positivos que puede tener el polinomio

dado, debemos contar las variaciones de

signos en el polinomio P(x).

Entre el primer y segundo término existe un

cambio de signo.

Entre el tercer y cuarto termino existe otro

cambio de signo.

Esto indica que el polinomio podrá tener 2

ó 0 ceros positivos

𝑝(𝑥) = +𝑥4 − 𝑥3 − 14𝑥2 + 2𝑥 + 24.

2 𝑐𝑎𝑚𝑏𝑖𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑠𝑖𝑔𝑛𝑜

2 Para determinar la cantidad de ceros

negativos que puede tener el polinomio

dado, debemos contar las variaciones de

signos en el polinomio P(-x).

Entre el segundo y tercer término existe un

cambio de signo.

Entre el cuarto y quinto término existe otro

cambio de signo.

Esto indica que el polinomio podrá tener 2

ó 0 ceros negativos

𝑝(−𝑥) = (−𝑥)4 − (−𝑥)3 − 14(−𝑥)2 + 2(−𝑥)

+ 24.

𝑝(−𝑥) = +𝑥4 + 𝑥3 − 14𝑥2 − 2𝑥 + 24.

2 𝑐𝑎𝑚𝑏𝑖𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑠𝑖𝑔𝑛𝑜

3 Antes de construir la tabla de signos

debemos reconocer que el polinomio

tendrá cuando mucho cuatro ceros, esto es

debido a que el grado del polinomio es

cuatro.

Se construye la tabla de signos de

Descartes haciendo las combinaciones

posibles entre cantidad de ceros positivos

y ceros negativos.

Ceros

Positivos Negativos Complejos Total

2 0 2 4

2 2 0 4

0 2 2 4

0 0 4 4


Cada fila indica una posibilidad de cómo

pueden estar compuestos los ceros del

polinomio.

En cada fila la cantidad de ceros

complejos siempre serán la cantidad que

haga falta para sumar 4 ceros.

Se observa que en cada caso la cantidad

de ceros complejos siempre será par

porque los ceros complejos siempre se

dan en pares conjugados.

4 b) Primero se deben identificar los

términos p y q.

p: es el coeficiente constante del polinomio,

en este caso 24

q: es el coeficiente principal del polinomio

en este caso es 1

𝑝

𝑞=24

1

5 Para listar las posibles raíces racionales

del polinomio, se deben encontrar los

múltiplos de p y de q

𝑀𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑝: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24

𝑀𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑞: 1

6 Se hacen las posibles combinaciones

positivas y negativas del cociente p/q, en

este caso se simplifica este paso debido a

que el denominador solo tiene 1 múltiplo.

𝑃𝑜𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒𝑠 𝑐𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑟𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙𝑒𝑠 𝑝

𝑞= ±1,±2,±3,±4, ±6,±8,±12,±24

7 c) Para encontrar las raíces de polinomio

se debe hacer una división sintética por

cada posible cero racional y aquel con el

que se llegue a un residuo igual a cero será

una raíz del polinomio.

Se iniciará con el posible cero o raíz

racional -3

𝐷𝑖𝑣𝑖𝑠𝑖ó𝑛 𝑆𝑖𝑛𝑡𝑒𝑡𝑖𝑐𝑎 𝑝𝑜𝑟 − 3

1 −1

−3

−14

12 2

6 24

−24| − 3

1 − 4 − 2 8 0

𝑃𝑜𝑙𝑖𝑛𝑜𝑚𝑖𝑜 𝑟𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒

𝑝′(𝑥) = 𝑥3 − 4𝑥2 − 2𝑥 + 8

8 En el paso anterior se observa que la

división sintética por -3 produce un residuo

igual a cero entonces 𝑥 = −3 es una raíz

del polinomio.

Después se convierte la raíz en un factor y

se escribe el nuevo polinomio factorizado

cuyos coeficientes son el resultado de la

anterior división sintética.

𝑥 = −3

(𝑥 + 3) = 0 → 𝑛𝑢𝑒𝑣𝑜 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟

𝑃𝑜𝑙𝑖𝑛𝑜𝑚𝑖𝑜 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑧𝑎𝑑𝑜

𝑝(𝑥) = (𝑥 + 3)(𝑥3 − 4𝑥2 − 2𝑥 + 8)


9 Se continúan usando los posibles ceros

racionales en conjunto con la división

sintética para encontrar las demás raíces,

ahora se usará el posible cero o raíz 𝑥 = 4.

Se debe tomar en cuenta que los

coeficientes a usar en la división sintética

ahora deben ser los que se obtuvieron de

la anterior división sintética con el fin de ir

factorizando cada vez más el polinomio.

𝐷𝑖𝑣𝑖𝑠𝑖ó𝑛 𝑆𝑖𝑛𝑡𝑒𝑡𝑖𝑐𝑎 𝑝𝑜𝑟 4

1 −4

4 −2

0 8

−8| 4

1 0 − 2 0

𝑃𝑜𝑙𝑖𝑛𝑜𝑚𝑖𝑜 𝑟𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒

𝑝′′(𝑥) = 𝑥2 − 2

10 En el paso anterior la división sintética por

4 produce un residuo igual a cero entonces

𝑥 = 4 es una raíz del polinomio.

Ahora se convierte la raíz en un factor y se

escribe el nuevo polinomio factorizado

cuyos coeficientes son el resultado de la

anterior división sintética

𝑥 = 4

(𝑥 − 4) = 0 → 𝑛𝑢𝑒𝑣𝑜 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟

𝑃𝑜𝑙𝑖𝑛𝑜𝑚𝑖𝑜 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑧𝑎𝑑𝑜

𝑝(𝑥) = (𝑥 + 3)(𝑥 − 4)(𝑥2 − 2)

11 Se ha logrado expresar el polinomio de

una forma completamente factorizada,

ahora es fácil encontrar las raíces del

polinomio igualando el polinomio a cero.

Se obtienen las raíces mostradas.

Se tienen 2 raíces positivas, 2 raíces

negativas y 0 raíces complejas, lo que

coincide con la fila 2 de la tabla de signos

de Descartes

𝑝(𝑥) = (𝑥 + 3)(𝑥 − 4)(𝑥2 − 2) = 0

𝑥 = 4

𝑥 = −3

𝑥 = √2

𝑥 = −√2

12 d) Para hacer la gráfica del polinomio se

utiliza la información que proporcionan los

ceros o raíces y la paridad de los mismos.

Todos los ceros que se obtuvieron son de

paridad 1, es decir que el grado de todos

los factores en el polinomio factorizado es

1, esto indica que la gráfica cruza el eje x

en 𝑥 = 4,−3, √2, −√2

Luego se construyen intervalos desde

−∞ ℎ𝑎𝑠𝑡𝑎 + ∞, con divisiones en los ceros,

se elige un valor al azar dentro de estos

intervalos y se valuara en el polinomio, si el

valor del polinomio en ese punto de prueba

es positivo indicará que la gráfica en ese

intervalo estará encima del eje x, si de lo

Intervalo Numero

de Prueba P(x) Grafica

(−∞,−3) -4 +112 Arriba del

eje x

( −3,−√2) -2.99 -0.485 Abajo del

eje x

(−√2,√2 ) 0 +24 Arriba del

eje x

(√2, 4) 2 -20 Abajo del

eje x

(4,∞) 5 +184 Arriba del

eje x


Tema 2 (25 puntos) En la siguiente figura se representa la gráfica acotada de 𝑓(𝑥) . Encontrar:

a) Dominio y rango de 𝑓(𝑥),

b) Dibuje la gráfica 𝑦 = 𝑓(𝑥 − 2) − 3,

c) Dibuje la gráfica 𝑦 = −𝑓(𝑥) + 2,

d) La función que da origen a la gráfica 𝑓(𝑥),

No

.

Explicación Operatoria

1 a) Para encontrar el dominio de la gráfica se observan los valores de x para los cuales está

definida la gráfica , es decir se debe responder la pregunta: ¿Para qué valores de x existe

la gráfica?, con ayuda de la siguiente gráfica podemos observar que la gráfica existe solo

para valores entre 𝑥 = −3 y 𝑥 = 8, se comprueba con las rectas verticales punteadas, se

observa que para 𝑥 = −3.75 no hay gráfica definida.

El dominio se expresa como un intervalo cerrado porque -3 y 8 si se incluyen en el dominio.

contrario es negativo indicara que la gráfica

esta debajo del eje x en ese intervalo

13 La grafica del polinomio es:


𝐷𝑜𝑚𝑖𝑛𝑖𝑜 = [ −3, 8]

2 Para encontrar el rango de la gráfica se observan los valores de y para los cuales está

definida la gráfica , es decir se debe responder la pregunta: ¿Para qué valores de y existe

la gráfica?, con ayuda de la siguiente gráfica se observa que la gráfica existe solo para

valores entre 𝑦 = 0 y 𝑦 = 3, así lo comprueban las rectas horizontales punteadas, se observa

que para 𝑦 = −1 e 𝑦 = 4 no hay gráfica definida.

El rango se expresa como un intervalo cerrado porque 0 y 3 si se incluyen en el rango.


𝑅𝑎𝑛𝑔𝑜 = [0,3]

3 b) Se deben aplicar 2 transformaciones a la gráfica: un desplazamiento horizontal de 2

unidades a la derecha y un desplazamiento vertical de 3 unidades hacia abajo. Se inicia

escogiendo puntos claves de la gráfica original para después aplicar la transformación a

esos puntos, tales puntos en la gráfica original podrían ser:

(−3,3), (0,0), (3,3), (6,0), (8,1)

Estos puntos se eligen de manera arbitraria de modo que puedan ser fácilmente identificados

en la gráfica.

Al aplicar el desplazamiento horizontal debemos sumarle 2 unidades a la coordenada x de

cada punto clave:

𝑐𝑜𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛𝑎𝑑𝑎 𝑥 + 2

(−1,3), (2,0), (5,3), (8,0), (10,1)


4 Ahora para terminar se debe aplicar el desplazamiento vertical hacia abajo restando tres

unidades a cada coordenada y de los puntos clave:

𝑐𝑜𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛𝑎𝑑𝑎 𝑥 + 2; 𝑐𝑜𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛𝑎𝑑𝑎 𝑦 − 3

(−1,0), (2, −3), (5,0), (8, −3), (10, −2)

Entonces la gráfica de 𝑓(𝑥 − 2) − 3 es:


5 c) Se deben aplicar otras dos transformaciones a la gráfica original: un desplazamiento

vertical hacia arriba de 2 unidades y una reflexión en el eje y.

Una forma de hacer la reflexión en el eje y, es multiplicar por -1 la coordenada y de los puntos

clave que de nuevo serán:

(−3,3), (0,0), (3,3), (6,0), (8,1)

𝑐𝑜𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛𝑎𝑑𝑎 𝑦 ∗ (−1)

(−3,−3), (0,0), (3, −3), (6,0), (8, −1)

La gráfica reflejada es:


6 Par aplicar el desplazamiento vertical de 2 unidades hacia arriba, se suman 2 unidades a la

coordenada y de los puntos clave:

𝑐𝑜𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛𝑎𝑑𝑎 𝑦 ∗ (−1) + 𝑐𝑜𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛𝑎𝑑𝑎 𝑦 + 2

(−3,−1), (0,2), (3, −1), (6,2), (8, −1)

La gráfica de − 𝑓(𝑥) + 2 es:


7 d) Para definir la función que da origen

a la gráfica primero hay que notar que

una sola función no puede generar esa

gráfica, entonces esta es una función

definida por partes: de [-3, 0] es una

recta, de [0, 6] es una

semicircunferencia y de [6,8] es otra

recta.

Se define la función en el dominio de

[-3,0]

Para definir una recta solo se deben

conocer 2 puntos en ella.

Luego se calcula la pendiente.

Finalmente se utiliza la forma punto-

pendiente para definir la recta.

Se restringe el dominio al que muestra

la gráfica para este primer segmento

de recta.

𝑃𝑢𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑜𝑐𝑖𝑑𝑜𝑠:

(0,0)𝑦 (−3,3)

𝐶𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑜 𝑑𝑒 𝑃𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒:

𝑚 =𝑦1 − 𝑦0𝑥1 − 𝑥0

𝑚 =0 − 3

0 − (−3)= −1

𝑈𝑠𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑙𝑎 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 − 𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒:

𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1)

𝐶𝑜𝑛 𝑒𝑙 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 (0,0)

𝑦 − 0 = −1(𝑥 − 0)

𝐿𝑎 𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎 𝑒𝑠 𝑦 = −𝑥

𝐶𝑜𝑛 𝑒𝑙 𝑑𝑜𝑚𝑖𝑛𝑖𝑜: [−3,0]

8 Para definir el semicírculo en el dominio

de [0,6], se debe obtener la ecuación

del semicírculo y para ello primero se

debe encontrar la ecuación del círculo

principal y se despeja y para obtener la

parte positiva de este.

Para definir el círculo se usa la forma

estándar de los círculos, conociendo su

centro y su radio.

Con ayuda de la gráfica se encuentra

el centro del círculo.

Luego se mide la distancia del centro

desde el círculo hasta cualquier punto y

se obtiene el radio.

Se usan los datos en la forma estándar

de los círculos.

Se despeja y para obtener la parte

positiva del círculo, es decir el

semicírculo superior.

𝑈𝑏𝑖𝑐𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑒𝑙 𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑐𝑖𝑟𝑐𝑢𝑙𝑜 (ℎ, 𝑘):

(ℎ, 𝑘) = (3,0)

𝐷𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑒𝑙 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑐𝑖𝑟𝑐𝑢𝑙𝑜:

𝑟 = 3

𝐹𝑜𝑟𝑚𝑎 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑛𝑑𝑎𝑟 𝑑𝑒𝑙 𝑐𝑖𝑟𝑐𝑢𝑙𝑜:

(𝑥 − ℎ)2 + (𝑦 − 𝑘)2 = 𝑟2

𝑆𝑢𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑖𝑚𝑜𝑠 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠:

(𝑥 − 3)2 + (𝑦 − 0)2 = 32

(𝑥 − 3)2 + 𝑦2 = 9

𝐷𝑒𝑠𝑝𝑒𝑗𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑦:

𝑦2 = 9 − (𝑥 − 3)2

𝑦 = ±√9 − (𝑥 − 3)2

𝑁𝑜𝑠 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑒𝑠𝑎 𝑠𝑜𝑙𝑜 𝑙𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑒 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑎:

𝑦 = √9 − (𝑥 − 3)2

9 Se define el segundo segmento de

recta en el dominio de [6,8]


(6,0)𝑦 (8,1)


Se usan 2 puntos conocidos en la

recta para calcular la pendiente.

Finalmente se pude utilizar la forma

punto-pendiente para definir la recta y

se restringe el dominio al que muestra

la gráfica para este segundo segmento

de recta.


𝑚 =𝑦1 − 𝑦0𝑥1 − 𝑥0

𝑚 =1 − 0

8 − (6)= 1/2


𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1)


𝑦 − 0 =1

2(𝑥 − 6)

𝐿𝑎 𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎 𝑒𝑠 𝑦 =1

2𝑥 − 3

𝐶𝑜𝑛 𝑒𝑙 𝑑𝑜𝑚𝑖𝑛𝑖𝑜: [6,8]

10 Los tres segmentos quedan definidos

en una sola función. 𝑓(𝑥) =

{

−𝑥, −3 ≤ 𝑥 < 0

√9 − (𝑥 − 3)2, 0 ≤ 𝑥 < 61

2𝑥 − 3, 6 ≤ 𝑥 ≤ 8

Tema 3 (20 puntos)

Halle el polinomio 𝑅(𝑥) de grado 5 con ceros: 1 − 2𝑖, −1 𝑦 0; donde −1 es de multiplicidad 2 y con

𝑅(1) = −8


1 a) Para hallar el polinomio se usara la

forma factorizada de polinomios donde

𝑐1, 𝑐2, … , 𝑐𝑛 son los ceros o raices del

polinomio y 𝑎0 es el coeficiente

principal del polinomio.

Es importante saber que el número

máximo de ceros del polinomio es igual

al grado del polinomio, en este caso

debemos encontrar 5 ceros o raíces

𝑅(𝑥) = 𝑎0(𝑥 − 𝑐1)(𝑥 − 𝑐2)… (𝑥 − 𝑐𝑛)

2 Se analiza el primer cero igual a 1 − 2𝑖.

Los ceros complejos siempre deben

existir en pares conjugados por lo tanto

1 + 2𝑖 también es un cero del

polinomio.

𝐶𝑒𝑟𝑜 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑙𝑒𝑗𝑜:

𝑥 = 1 − 2𝑖

(𝑥 − (1 − 2𝑖)) = 0

𝑃𝑜𝑟 𝑙𝑜 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜 𝑒𝑙 𝑐𝑜𝑛𝑗𝑢𝑔𝑎𝑑𝑜 𝑡𝑎𝑚𝑏𝑖𝑒 𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝑐𝑒𝑟𝑜

𝑥 = 1 + 2𝑖


Se escriben como factores (𝑥 − 𝑐)

Se obtiene un polinomio con 2 ceros,

por lo tanto ahora se tiene un polinomio

de grado 2

(𝑥 − (1 + 2𝑖)) = 0

𝐸𝑚𝑝𝑒𝑧𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑎 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑟 𝑒𝑙 𝑝𝑜𝑙𝑖𝑛𝑜𝑚𝑖𝑜

𝑅′(𝑥) = 𝑎0(𝑥 − (1 − 2𝑖))(𝑥 − (1 + 2𝑖))

𝑅′(𝑥) = 𝑎0(𝑥2 − 𝑥(1 + 2𝑖) − 𝑥(1 − 2𝑖)

+ (1 − 2𝑖)(1 + 2𝑖)

𝑅′(𝑥) = 𝑎0𝑥2 − 𝑥 − 2𝑥𝑖 − 𝑥 + 2𝑥𝑖 + 1 − (2𝑖)2

𝑅′(𝑥) = 𝑎0(𝑥2 − 2𝑥 + 5)

3 Se agrega el cero de multiplicidad 2

𝑥 = −1.

Lo cual origina un polinomio de grado

4.

Para terminar de construir el polinomio

de grado 5 se agrega el factor 𝑥 = 0

𝑥 = −1

(𝑥 + 1) = 0

𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 2

(𝑥 + 1)2

𝑅′′(𝑥) = 𝑎0(𝑥 + 1)2(𝑥2 − 2𝑥 + 5)

𝑅(𝑥) = 𝑎0𝑥(𝑥 + 1)2(𝑥2 − 2𝑥 + 5)

4 El valor del coeficiente principal se

encuentra evaluando la condición

𝑅(1) = −8

El polinomio buscado es

𝑅(1) = 𝑎0(1)(1 + 1)2(12 − 2(1) + 5) = −8

𝑎0 ∗ 1 ∗ 4 ∗ 4 = −8

𝑎0 =−1

2

𝑅(𝑥) =−1

2𝑥(𝑥 + 1)2(𝑥2 − 2𝑥 + 5)

Tema 4 (15 puntos) Encuentre la ecuación general de la recta que pasa por el punto (6, 5) y por el centro de la

circunferencia 2𝑥2 + 2𝑦2 − 12𝑥 − 4𝑦 − 30 = 0


1 Para poder definir una recta se

necesitan 2 puntos en ella, el ejercicio

proporciona uno de ellos explícitamente,

el otro se debe encontrar determinando el

centro de la circunferencia dada.

Para encontrar el cetro de la

circunferencia se debe expresarla en su

forma estándar completando los

cuadrados para x e y.

El término independiente se cambia al

lado derecho de la ecuación.

2𝑥2 + 2𝑦2 − 12𝑥 − 4𝑦 − 30 = 0

2𝑥2 + 2𝑦2 − 12𝑥 − 4𝑦 = 30

𝐹𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑧𝑎𝑚𝑜𝑠:

2𝑥2 − 12𝑥 + 2𝑦2 − 4𝑦 = 30

2(𝑥2 − 6𝑥) + 2(𝑦2 − 2𝑦) = 30


Luego se factoriza el lado izquierdo de

manera que los coeficientes de 𝑥2 𝑒 𝑦2

sean 1.

Luego se suman dentro de cada

paréntesis los términos (𝑘1

2)2

𝑦 (𝑘2

2)2

donde 𝑘1 𝑦 𝑘2 son los coeficientes de

𝑥1 𝑒 𝑦1 respectivamente.

Es importante no olvidar sumar esos

términos del otro lado de la ecuación.

Ademas hay que notar que dichos

términos están siendo multiplicados por el

numero afuera del paréntesis, también

hay que agregarlos del otro lado de

ecuación.

𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑙𝑒𝑡𝑎𝑟 𝑒𝑙 𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑜:

𝑘1 = −6 𝑦 𝑘2 = −2

2(𝑥2 − 6𝑥 + (𝑘12)2

) + 2(𝑦2 − 2𝑦 + (𝑘22)2

) = 30

2(𝑥2 − 6𝑥 + (−6

2)2

) + 2(𝑦2 − 2𝑦 + (−2

2)2

) = 30

2(𝑥2 − 6𝑥 + 9) + 2(𝑦2 − 2𝑦 + 1 ) = 30

𝐷𝑒𝑏𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑎𝑔𝑟𝑒𝑔𝑎𝑟 𝑒𝑠𝑜𝑠 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜𝑠 𝑑𝑒𝑙 𝑙𝑎𝑑𝑜 𝑑𝑒𝑟𝑒𝑐ℎ𝑜

2(𝑥2 − 6𝑥 + 9) + 2(𝑦2 − 2𝑦 + 1 )

= 30 + 2(9) + 2(1)

2(𝑥 − 3)2 + 2(𝑦 − 1)2 = 50

𝑆𝑖𝑚𝑝𝑙𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑚𝑜𝑠:

(𝑥 − 3)2 + (𝑦 − 1)2 = 25

𝑂𝑏𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑢𝑛𝑎 𝑐𝑖𝑟𝑐𝑢𝑛𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑐𝑜𝑛:

(ℎ, 𝑘) = (3,1) → 𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜

𝑟𝑎𝑑𝑖𝑜 = 5

2 Ahora que ya se conocen 2 puntos en la

recta, será definida con la forma punto-

pendiente


(6,5)𝑦 (3,1)


𝑚 =𝑦1 − 𝑦0𝑥1 − 𝑥0

𝑚 =5 − 1

6 − 3= 4/3


𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1)


𝑦 − 5 =4

3(𝑥 − 6)

𝑦 =4

3𝑥 − 3

𝐿𝑎 𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎 𝑒𝑠 𝑦 ==4

3𝑥 − 3

3 Ambas ecuaciones se grafican para verificar los resultados


Tema 5 (20 puntos)

Se tienen 80 metros lineales de cerca para construir tres corrales iguales. A partir de un terreno

rectangular. Encuentre: a) Una función que modele el área de los tres corrales, b) Lleve la función a

su forma estándar, c) ¿Cuáles son las dimensiones del terreno para obtener la mayor área?, d) ¿Cuál

es la mayor área posible.


1 a) Se inicia planteando el problema y

expresando cada cantidad desconocida

como una variable.

Se necesitan 3 corrales rectangulares

iguales de dimensiones desconocidas (x e

y)

2 Se plantea una función para el área de los

3 rectángulos en términos de sus

dimensiones

𝐴 = 𝑏𝑎𝑠𝑒 ∗ 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎

𝐴(𝑥, 𝑦) = 3𝑥𝑦

3 La función planteada depende de 2

variables, se debe expresarla como una

función de una sola variable.

𝑃𝑒𝑟𝑖𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 = 𝑥 + 𝑥 + 𝑥 + 𝑥 + 𝑥 + 𝑥 + 𝑦 + 𝑦 + 𝑦 + 𝑦

𝑃(𝑥, 𝑦) = 6𝑥 + 4𝑦

𝐸𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠:

3(2𝑥 + 2𝑦) = 80

Y Y Y

X X X

X X X

Y


Si para construir estos tres corrales se

deben usar 80m de cerca, sabiendo que la

cerca solo se coloca en el borde del

rectángulo y en cada división, el perímetro

de los 3 rectángulos debe ser igual a 80

6𝑥 + 4𝑦 = 80

𝑃𝑜𝑟 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑛𝑖𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑒𝑠𝑝𝑒𝑗𝑎𝑟𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑦:

𝑦 =80 − 6𝑥

4

4 Ahora se puede obtener una función del

área que dependa solo de una variable, si

se sustituye la y obtenida en el análisis del

perímetro en la función de área.

𝐴(𝑥, 𝑦) = 3𝑥𝑦

𝑦 =80 − 6𝑥

4

𝐸𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠:

𝐴(𝑥) = 3𝑥 (80 − 6𝑥

4)

𝐴(𝑥) =240𝑥 − 18𝑥2

4

𝐴(𝑥) = 60𝑥 −9

2𝑥2

5 b) Para llevar esta función a la forma

estándar de una función cuadrática se

completa el cuadrado.

Primero se factoriza para que el coeficiente

de 𝑥2 sea igual a 1.

Luego se suma dentro del paréntesis el

termino: (𝑘

2)2

donde k es el coeficiente de

𝑥1.

Para no alterar la función se resta ese

mismo número en la función porque ambos

están del mismo lado de la función.

Hay que notar que el término que (𝑘

2)2

está

siendo multiplicado por el numero fuera del

paréntesis, por eso también se multiplica

por ese número cuando se resta.

𝐴(𝑥) = 60𝑥 −9

2𝑥2

𝐹𝑜𝑟𝑚𝑢𝑙𝑎 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑛𝑑𝑎𝑟:

𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥 − ℎ)2 + 𝑘

𝐴(𝑥) = −9

2(𝑥2 −

40

3𝑥)

𝐶𝑜𝑚𝑝𝑙𝑒𝑡𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑒𝑙 𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑜:

𝐴(𝑥) = −9

2(𝑥2 −

40

3𝑥 + (

𝑘

2)2

) − (−9

2(𝑘

2)2

)

𝐷𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑘 =−40

3

𝐴(𝑥) = −9

2(𝑥2 −

40

3𝑥 + (

−4032)

2

)

− (−9

2(−4032)

2

)

𝐴(𝑥) = −9

2(𝑥2 −

40

3𝑥 +

400

9) + 200

𝐴(𝑥) = −9

2(𝑥 −

20

3)2

+ 200

6 c) el vértice indica el valor de x para el cual

se obtiene el área máxima, con la ecuación

de y que se obtuvo en el análisis del

𝑉𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑒 (ℎ, 𝑘) = (40

6, 200)


perímetro se obtiene las dimensiones de y

para el área máxima. 𝑥 𝑜𝑝𝑡𝑖𝑚𝑎:

40

6=20

3

𝑦 =80 − 6 (

203 )

4

𝑦 𝑜𝑝𝑡𝑖𝑚𝑎 = 10

7 d) La coordenada y del vértice de la

parábola indica el área máxima de la suma

de los 3 terrenos y la dimensión de x para

los que se obtiene ese área máxima total.

𝑉𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑒 (ℎ, 𝑘) = (20

3, 200)

𝐴𝑟𝑒𝑎 𝑚𝑎𝑥𝑖𝑚𝑎 𝑝𝑜𝑟 𝑐𝑜𝑟𝑟𝑎𝑙: 200

3

Matematica en línea | USAC - Universidad de San Carlos de … · 2020. 4. 10. · Universidad de...

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