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Teoria dell’integrazione

Matematica

con elementi di Informatica

Tiziano VargioluDipartimento di Matematica

[email protected]

Corso di Laurea Magistrale in Chimica e Tecnologie Farmaceutiche

Anno Accademico 2019/20

Teoria dell’integrazione Anno Accademico 2019/20 1 / 56

Integrale definito

Sia f : [0,T ]→ [0,+∞),T > 0 l’intensita di produzione di un impianto

se si considera ∆t > 0, alloraf · ∆t

e approssimativamente la quantita di prodotto in [t, t + ∆t]

caso speciale: f (t) ≡ f0allora la quantita totale di prodotto in [0,T ] e f0 · T

Interessa calcolare la quantita di prodotto ottenuta anche con intensita diproduzione f (t) non costante


Interessa calcolare la quantita di prodotto ottenuta anche con intensita diproduzione f (t) non costante

In casi semplici la quantita di prodotto e numericamentel’area della superficie sotto il grafico di f (t)

si puo credere che sia cosı anche in generale . . .


Suddivisione

Dato un intervallo limitato [a, b] chiameremo suddivisione di [a, b] uninsieme di punti D = {x0, ..., xn} con a = x0 < x1 < x2 < ... < xn = b.

Indicheremo con ∆ (a, b) l’insieme di tutte le possibili suddivisionidell’intervallo [a, b] .


Somme superiori ed inferiori

Dato un intervallo limitato [a, b] e data una funzione limitataf : [a, b]→ R. Indichiamo con ∆ (a, b) l’insieme delle possibili suddivisionidell intervallo [a, b].Definiamo su ∆ (a, b) due funzioni:

la somma inferiore secondo Riemann s:

s ({x0, ..., xn} , f ) = ∑n−1

i=0(xi+1 − xi ) inf

x∈[xi ,xi+1]f (x)

la somma superiore secondo Riemann S :

S ({x0, ..., xn} , f ) = ∑n−1

i=0(xi+1 − xi ) sup

x∈[xi ,xi+1]f (x)


Somme di Riemann


Somme di Riemann per funzione non continua


Limitatezza delle somme superiori ed inferiori

Dalla definizione di somme superiori ed inferiori deriva direttamente che∀D ∈ ∆ (a, b)

(b− a) infx∈[a,b]

f (x) ≤ s (D, f ) ≤ S (D, f ) ≤ (b− a) supx∈[a,b]

f (x)


Funzione Riemann integrabile

Dato un intervallo limitato [a, b] e data una funzione limitataf : [a, b]→ R, diremo che e integrabile secondo Riemann se e solo se

supD∈∆(a,b)

s (D, f ) = infD∈∆(a,b)

S (D, f ) ,

ovvero se e solo se l’integrale inferiore secondo Riemann e l’integralesuperiore secondo Riemann assumono lo stesso valore e scriveremo

supD∈∆(a,b)

s (D, f ) =∫ b

af (x) dx = inf

D∈∆(a,b)S (D, f ) .

Indichiamo la classe delle funzioni integrabili secondo Riemann su [a, b]con R(a, b).


Integrale di Riemann di funzioni continue

Se consideriamo ∆x = (xi+1 − xi ) costante, f funzione continua echiamiamo gli intervalli Ii := [xi , xi+1], allora le somme si scrivono

A−n = ∑n−1

i=0(xi+1 − xi ) inf

x∈[xi ,xi+1]f (x) = ∆x ∑n

i=1minIi

f (x) ,

A+n = ∑n−1

i=0(xi+1 − xi ) sup

x∈[xi ,xi+1]f (x) = ∆x ∑n

i=1maxIi

f (x) .

A =∫ b

af (x) dx = lim

n→+∞A−n = lim

n→+∞A+n


Somme di Riemann


Riemann integrabilita delle funzioni continue

TeoremaDato un intervallo limitato [a, b] e data una funzione f : [a, b]→ R

continua, allora questa funzione e Riemann integrabile.

Continua ⇒ Riemann Integrabile


Linearita e monotonia dell’integrale

Linearita. Dato un intervallo limitato [a, b] e date due funzionif , g : [a, b]→ R Riemann integrabili, allora per ogni α, β ∈ R∫ b

a(αf (x) + βg(x)) dx = α

∫ b

af (x) dx + β

∫ b

ag (x) dx

Monotonia. Inoltre se ∀x ∈ [a, b] accade che f (x) ≤ g (x) allora∫ b

af (x) dx ≤

∫ b

ag (x) dx


Additivita rispetto all’intervallo di integrazione

Dato un intervallo limitato [a, b] e data una funzione f : [a, b]→ R

Riemann integrabile allora per ogni c ∈ (a, b) vale l’equazione∫ b

af (x) dx =

∫ c

af (x) dx +

∫ b

cf (x) dx

A volte torna utile attribuire un significato al simbolo∫ bc f (x) dx con

c > b, per poter utilizzare in ogni caso l’equazione appena dimostrata.E quindi utile definire ∫ b

cf (x) dx = −

∫ c

bf (x) dx .


Limitazioni dell’integrale


Riemann integrabile, allora

infx∈[a,b]

f (x) ≤ 1

(b− a)

∫ b

af (x) dx ≤ sup

x∈[a,b]f (x)

ovvero

(b− a) infx∈[a,b]

f (x) ≤∫ b

af (x) dx ≤ (b− a) sup

x∈[a,b]f (x)


Teorema della media integrale


continua esiste c ∈ (a, b) tale che∫ b

af (x) dx = f (c) (b− a)

Dimostrazione. Se la funzione e continua in un intervallo [a, b] allora lafunzione assume ogni valore compreso tra infx∈[a,b] f (x) e supx∈[a,b] f (x)e dunque esistera certamente c tale che

f (c) =1

(b− a)

∫ b

af (x) dx


Teorema fondamentale del calcolo integrale


continua, indichiamo con A la funzione integrale (area)

A (x) :=∫ x

af (z) dz

allora A e continua in [a, b] ed inoltre per ogni x ∈ (a, b)

d

dx[A (x)] = A′ (x) = f (x)


Formula di Leibnitz


Riemann integrabile, allora se esiste F differenziabile su [a, b], tale cheper ogni x ∈ (a, b) accade che F ′ (x) = f (x), allora∫ b

af (x) dx = F (b) − F (a) .

Dimostrazione. A(x) e F (x) hanno entrambe come derivata f (x), alloraesse differiscono per una costante. Esiste c ∈ R tale che

A(x) = F (x) + c per ogni x

Sia x = a, A(a) =∫ aa f (x) dx = 0 e dunque 0 = F (a) + c da cui

c = −F (a)Sia ora x = b∫ b

af (x) dx := A(b) = F (b) + c = F (b)− F (a)


Funzione primitiva

Dato un intervallo limitato [a, b] e data una funzione f : [a, b]→ R, allorase esiste F differenziabile su [a, b], tale che per ogni x ∈ (a, b)

F ′ (x) = f (x)

allora F (x) si chiama funzione primitiva di f (x)


Funzione primitiva

Se F (x) e primitiva di f (x) allora anche

F (x) + c e primitiva di f (x)

Se F1(x),F2(x) sono primitive della stessa f (x) allora differiscono per unacostante

F2(x) = F1(x) + c , c ∈ R, c 6= 0


Introduzione

Ad una funzione data f posso associare la sua derivata

derivata−−−−→

f : (a, b) → R f ′ : (a, b) → R

x 7→ f (x) x 7→ f ′ (x)

Esempio.f (x) = 3x2 + 4x + 1 f ′ (x) = 6x + 4

Possiamo “tornare indietro”? Ovvero una funzione data puo essere vistacome la derivata di un’altra funzione?


Integrale indefinito, definizione

Ad una funzione data f posso associare una sua primitiva

derivata−−−−→

F : (a, b) → R f : (a, b) → R

x 7→ F (x) x 7→ f (x)

integrale←−−−−−

F ′ (x) = f (x) ∀x ∈ (a, b)

Esempio.f (x) = 3x2 + 4x + 1 F (x) = x3 + 2x2 + x + ccon c costante additiva arbitraria.


Integrale indefinito, notazione

Definiamo ∫f (x) dx = F (x)

se e solo seF ′ (x) = f (x)

Osserviamo che

la primitiva di una funzione e unica a meno di costanti additive

partendo dalle regole di derivazione si possono costruire delle regole diintegrazione


Linearita dell’integrale

Siano f , g : (a, b)→ R funzioni integrabili e α ∈ R, allora∫f (x) + g (x) dx =

∫f (x) dx +

∫g (x) dx

∫α · f (x) dx = α ·

∫f (x) dx


Integrali immediati

Esempi di integrali immediati∫dx∫xdx∫x2dx∫xndx∫(x4 + 3x3 − x + 1) dx∫exdx∫1/x dx definita in (0,+∞)∫1/x dx definita in (−∞, 0)


Integrali per sostituzione

Dalla formula di derivazione delle funzioni composte

d

dx[f (g (x))] = f ′ (g (x)) · g ′ (x)

quindi ∫f ′ (g (x)) · g ′ (x) dx = f (g (x)) + c


Formula di integrazione per sostituzione

Vogliamo calcolare l’integrale indefinito di un prodotto∫f (g (x)) · g ′ (x) dx

e ci siamo accorti che:

la seconda funzione e proprio la derivata dell’argomento della primafunzione;

sappiamo calcolare l’integrale indefinito della funzione∫f (t) dt = F (t) (ovvero abbiamo posto t = g (x));

allora ∫f (g (x)) · g ′ (x) dx = F (g (x)) + c


Integrali per sostituzione, esercizi

Esercizi∫ (x2 + 3x + 1

)4(2x + 3) dx∫

ex3x2dx∫

x√x2 + 4dx∫x

(x2+1)2 dx


Integrali per parti

Dalla formula di derivazione del prodotto di funzioni otteniamo

d

dx[f (x) · g (x)] = f ′ (x) · g (x) + f (x) · g ′ (x)

quindi ∫f ′ (x) · g (x) dx = f (x) · g (x)−

∫f (x) · g ′ (x) dx + c


Formula di integrazione per parti

Vogliamo calcolare l’integrale indefinito di un prodotto∫f (x) · g (x) dx

e ci siamo accorti che:

sappiamo calcolare l’integrale del primo fattore∫f (x) dx = F (x)

l’integrale∫F (x) · g ′ (x) dx e piu agevole da calcolare rispetto a

quello iniziale

allora ∫f (x) · g (x) dx = F (x) · g (x)︸︷︷︸

fatto

−∫

F (x) · g ′ (x) dx︸︷︷︸e piu facile di quello iniziale


Integrali per parti, esercizi

Esercizi∫ln (x) dx∫ex(x2 − 1

)dx


Integrali di funzioni trigonometriche

∫sin x dx = − cos x + c∫cos x dx = sin x + c∫tan x dx = − ln | cos x |+ c∫cot x dx = ln | sin x |+ c∫arcsin x dx = x arcsin x +

√1− x2 + c∫

arctan x dx = x arctan x − 12 ln(1 + x2) + c


Integrale definito e aree

Come possiamo utilizzare questi risultati per calcolare esplicitamente areelegate a grafici di funzioni continue?

Ricordiamo la formula di Leibniz.

Sia f : [a, b]→ R una funzione continua, e sia F una sua primitiva, allora∫ b

af (s) ds = F (b)− F (a)


Esercizio

Calcolare l’area compresa tra le funzioni f (x) = x2 e g (x) = x .I due grafici si intersecano nei punti in cui f (x) = g(x).Risolvendo x2 = x , le soluzioni sono x = 0 e x = 1.Siccome in [0, 1] si ha f (x) ≤ g(x), l’area viene ad essere

A =∫ 1

0g(x) dx −

∫ 1

0f (x) dx

Calcoliamo: ∫ 1

0f (x) dx =

∫ 1

0x2 dx =

[1

3x3

]1

0

=1

3∫ 1

0g(x) dx =

∫ 1

0x dx =

[1

2x2

]1

0

=1

2

Infine

A =∫ 1

0f (x) dx −

∫ 1

0g(x) dx =

1

2− 1

3=

1

6


Integrazione di funzioni razionali

Sappiamo che una funzione razionale e un rapporto di polinomi

f (x) =N(x)

D(x)=

c0 + c1x + · · ·+ cmxm

d0 + d1x + ... + dnxn.

Per essa sussiste la scomposizione

f (x) = Q(x) +R(x)

D(x)

dove Q(x) e R(x) sono polinomi, il quoziente e il resto rispettivamentedella divisione fra N(x) e D(x) e dove il grado di R(x) e minore di quello,n, del divisore D(x).La funzione razionale f (x) = N(x)/D(x) e definita e continua su tutti ireali in cui

D(x) 6= 0.


f (x) = Q(x) +R(x)

D(x), (1)

Nel caso in cui m < n si ha che

Q(x) = 0 e R(x) = N(x).

Essa e detta propria se m < n, mentre e detta impropria se m ≥ n.In particolare, nella formula 1, il rapporto R(x)/D(x) e una funzionerazionale propria.Se la funzione razionale 1 e definita sull’intervallo [a, b], cioe se[a, b] ⊂ {x ∈ R : D(x) 6= 0},allora essa e ivi integrabile∫

f (x) dx =∫

Q(x) dx +∫

R(x)

D(x)dx .


Scomposizione in frazioni prime

E possibile esprimere una primitiva di qualunque funzione razionale intermini di funzioni elementari, utilizzando eventualmente una funzionetrigonometrica inversa.L’idea e esprimere la frazione in somme di frazioni aventi comedenominatori (potenze di) polinomi primi:

R(x)

D(x)= ∑

i ,βi≤αi

Ri (x)

Di (x)βi

doveD(x) = ∏

i

Di (x)αi

Esempi.D(x) = x3 − 1 = (x − 1)(x2 + x + 1)

x2 + 1

x3 − 1=

A

x − 1+

B(x)

x2 + x + 1


Denominatore con fattori semplici

Nel caso che

f (x) =R(x)

D(x)

sia una funzione razionale propria il cui denominatore ammetta la seguentefattorizzazione

f (x) = (x − α1)(x − α2) . . . (x − αn)

con α1, α2, . . . , αn reali distinti, la funzione razionale ammette unascomposizione come somma

β1

x − α1+

β2

x − α2+ · · ·+ βn

x − αn

per opportuni ed unici βi reali, i = 1, . . . , ne chiaro qui che f (x) ha il dominio R \ {α1, α2, . . . , αn}.


Caso 1Sull’intervallo I = (b,+∞) vale∫

a

x − bdx = a ln(x − b) + c ,

mentre sull’intervallo I = (−∞, b) vale∫a

x − bdx = a ln(b− x) + c .

La verifica e immediata in entrambe le situazioni, derivando i secondimembri.


Se f (x) ammette la scomposizione

f (x) = (x − α1)(x − α2) . . . (x − αn)

e se f (x) e definita sull’intervallo [a, b], allora essa e ivi integrabile e vale∫f (x) dx = β1

∫1

x − α1+ β2

∫1

x − α2+ · · ·+ βn

∫1

x − αndx

ossia (si ponga attenzione ai valori assoluti)∫f (x) dx = β1 ln |x − α1|+ β2 ln |x − α2|+ ... + βn ln |x − αn|+ c .


Esempio. Sia data la funzione razionale (propria)

f (x) =2x − 3

x2 − x − 2

L’equazionex2 − x − 2 = 0

ha le radici reali distinte α1 = −1 e α2 = 2, per cui il denominatore sifattorizza in

x2 − x − 2 = (x + α1)(x − α2) = (x + 1)(x − 2).

Dovendo valere l’identita

2x − 3

x2 − x − 2=

2x − 3

(x + 1)(x − 2)=

β1

x + 1+

β2

x − 2

per ogni x 6= −1, 2, occorre che

2x − 3 = β1(x − 2) + β2(x + 1) = (β1 + β2)x − 2β1 + β2.


Cio vale per ogni x 6= −1, 2, se e solo se{β1 + β2 = 2,

2β1 − β2 = 3,

cioe se e solo se

β1 =5

3, β2 =

1

3

Otteniamo quindi la scomposizione

f (x) =2x − 3

x2 − x − 2=

5/3

x + 1+

1/3

x − 2

e infine, passando all’integrale indefinito,∫f (x) dx =

∫2x − 3

x2 − x − 2dx =

∫5/3

x + 1dx +

∫1/3

x − 2dx

=5

3ln |x + 1|+ 1

3ln |x − 2|+ c .


Se vogliamo utilizzare il risultato ottenuto per calcolare, in particolare,l’integrale definito di f (x) su [−0.5, 1.5], abbiamo∫ 1.5

−0.5f (x) dx =

5

3ln |x + 1|1.5

−0.5 +1

3ln |x − 2|1.5

−0.5

=5

3(ln |2.5| − ln |0.5|) + 1

3(ln | − 0.5| − ln | − 2.5|)

=5

3(ln(2.5)− ln(0.5)) +

1

3(ln(0.5)− ln(2.5))

=4

3(ln(2.5)− ln(0.5)) =

4

3ln

(2.5

0.5

)=

4

3ln 5.


Intervalli d’integrazione disposti in modi diversi dai precedenti sono [3, 5] e[−3,−2] :per l’integrale definito di f (x) su [−3,−2] abbiamo

∫ −2

−3f (x) dx =

5

3ln |x + 1|−2

−3 +1

3ln |x − 2|−2

−3

=5

3(ln | − 1| − ln | − 2|) + 1

3(ln | − 4| − ln | − 5|)

=5

3(ln 1− ln 2) +

1

3(ln 4− ln 5)

= − 1

3

(5 ln 2 + ln

5

4

)< 0.

Ha senso chiedere il calcolo dell’integrale definito di f (x) sull’intervallo[1, 4], ne su [−3, 0]? Come si fa?


Caso 2Sull’intervallo (b,+∞) o su (−∞, b) e se n ≥ 2 vale∫

a

(x − b)ndx =

a

1− n· 1

(x − b)n−1+ c

Come per il caso 1, la verifica e immediata, derivando il secondo membro.


Denominatore con fattori multipli di primo grado

Se ad esempio dobbiamo integrare

f (x) =x2 + 1

(x − 1)2(x − 2)

cerchiamo una scomposizione del tipo

f (x) =a

x − 2+

b

x − 1+

c

(x − 1)2

Soluzione:

x2 + 1

(x − 1)2(x − 2)=−4

x − 2+

5

x − 1+

7

(x − 1)2

che si puo integrare.


Denominatore polinomio di secondo grado irriducibile

Caso 3Su qualunque intervallo [a, b] vale∫

a

(x − b)2 + a2dx = arctan

1

a(x − b) + c

Come per il caso 1, la verifica e immediata, derivando il secondo membro.Questo risultato si applica a tutti i denominatori che siano polinomi disecondo grado irriducibili (numeratore costante)!


Denominatore polinomio di secondo grado irriducibile - II

Caso 4Su qualunque intervallo [a, b] vale∫

2(x − b)

(x − b)2 + a2dx = ln((x − b)2 + a2) + c

Come per i casi precedenti, la verifica e immediata, derivando il secondomembro.Questo risultato si applica a tutti i denominatori che siano polinomi disecondo grado irriducibili, con numeratore polinomio di primo grado!


Denominatore ”qualsiasi”

Se ad esempio dobbiamo integrare

x2 + 1

x3 − 1=

A

x − 1+

B(x)

x2 + x + 1

la soluzione ex2 + 1

x3 − 1=

13

x − 1+

23x +

13

x2 + x + 1

Il primo addendo si integra facilmente:∫ 13

x − 1=

1

3ln |x − 1|+ c

Il secondo prima si scrive come

23x +

13

x2 + x + 1=

23x +

13

(x + 12 )

2 + 34

. . . e poi si scrive come somma di Caso 3 e Caso 4!Teoria dell’integrazione Anno Accademico 2019/20 49 / 56

Scomposizione

Cerchiamo a e b tali che

23x +

13

(x + 12 )

2 + 34

= a

√34

(x + 12 )

2 + 34

+ b2(x + 1

2 )

(x + 12 )

2 + 34

Risulta b = 13 , a = 0, quindi

23x +

13

(x + 12 )

2 + 34

=1

3

2(x + 12 )

(x + 12 )

2 + 34

e quindi

∫ 23x +

13

(x + 12 )

2 + 34

=1

3ln

((x +

1

2

)2

+3

4

)+ c =

1

3ln(x2 + x + 1) + c


Integrali generalizzati

Sia data una funzione f : [a,+∞)→ R Riemann integrabile in ogniintervallo limitato [a, b] contenuto in [a,+∞) . La funzione si diceintegrabile in senso generalizzato se e solo se esiste finito

limb→+∞

∫ b

af (x) dx

e in tal caso si scrive∫ +∞

af (x) dx = lim

b→+∞

∫ b

af (x) dx

Analogamente ∫ b

−∞f (x) dx = lim

a→−∞

∫ b

af (x) dx



∫ +∞

1e−xdx = lim

b→+∞

∫ b

ae−x dx = lim

b→+∞[−e−x ]x=b

x=1

= limb→+∞

(−e−b + e−1) = e−1 = 1/e



∫ +∞

1

1

xαdx

Se α = 1 non e integrabile in [1,+∞)Se α 6= 1

∫ +∞

1

1

xαdx = lim

b→+∞

∫ b

1

1

xαdx = lim

b→+∞

[1

1− αx1−α

]x=b

x=1

Se α < 1 allora

limb→+∞

1

1− α

(b1−α − 1

)= +∞

Se α > 1 allora

limb→+∞

1

1− α

(1

bα−1− 1

)=

1

α− 1



Sia data una funzione f : [a, b)→ R Riemann integrabile in ogni intervallolimitato [a, c ] contenuto in [a, b) . La funzione si dice integrabile in sensogeneralizzato se e solo se esiste finito

limc→b−

∫ c

af (x) dx

e in tal caso si scrive∫ b

af (x) dx = lim

c→b−

∫ c

af (x) dx

Analogamente, se f : (a, b]→ R e Riemann integrabile in ogni intervallo

limitato [c , b] contenuto in (a, b], f e integrabile in senso generalizzato see solo se esiste finito∫ b

af (x) dx := lim

c→a+

∫ b

cf (x) dx



∫ 1

0

1

xαdx

Se α = 1: ∫ 1

0

1

xdx = lim

c→0+[ln x ]1c = 0− (−∞) = +∞

Se α 6= 1∫ 1

0

1

xαdx = lim

c→0+

∫ 1

c

1

xαdx = lim

c→0+

[1

1− αx1−α

]x=1

x=c

Se α < 1 allora∫ 1

0

1

xαdx = lim

c→0+

1

1− α

(1− c1−α

)=

1

1− α

Se α > 1 allora ∫ 1

0

1

xαdx = lim

c→0+

1

1− α

(1− c1−α

)= +∞


Integrale di Gauss

Non tutte le funzioni ammettono una primitiva espressa tramite funzionielementari.Un famoso esempio e dato dalla cosiddetta funzione gaussiana:

f (t) = e−12 t

2

la cui primitiva, detta funzione di errore,

erf(x) :=∫ x

0e−

12 t

2dt

peraltro utilissima in probabilita, statistica e in tutte le loro applicazioni,non si puo esprimere tramite funzioni elementari.Sussiste pero il risultato notevole (dimostrabile con strumenti nonelementari): ∫ +∞

−∞e−

12 x

2dx =

√2π


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