MATEMATICA 5 NUMERICA - UNT
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Universidad Nacional de Tucumán FACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS Y TECNOLOGIA 5 MAGISTER EN METODOS NUMERICOS Y COMPUTACIONALES EN INGENIERIA MATEMATICA NUMERICA
Transcript of MATEMATICA 5 NUMERICA - UNT
Universidad Nacional de Tucumán
FACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS
Y TECNOLOGIA
5
MAGISTER EN
METODOS
NUMERICOS Y
COMPUTACIONALES
EN INGENIERIA
MATEMATICA
NUMERICA
OBJETIVOS
Conocer las técnicas de interpolación usandocurvas paramétricas y Spline B
Familiarizarse con los métodos numéricos deinterpolación con polinomios definidos en tramos
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Aprender a usar Matlab para resolverproblemas que involucren interpolación
Tema 5Interpolación con Trazadores
y Paramétrica
Interpolantes definidos en Tramos. Interpolaciónlineal y al adyacente más cercano. Interpolación contrazadores (spline) cuadráticos y cúbicos.Determinación de los coeficientes. Error detruncación y capacidad de filtrado. Trazadores coninterpolación Hermítica, algoritmo Pchip. Curvasparamétricas. Curvas de Bézier, características,polinomios de tercer orden con interpolaciónhermítica, empalmes. Introducción a las B-Spline,características más destacadas. Funciones deMatlab.
TEMAS
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Tema 5Interpolación con Trazadores
y Paramétrica
Se dispone de un conjunto de datos (x,y), que provienen
de experiencias y se quiere
encontrar una función que
“pase” por esos puntos.
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INTERPOLACIONProblema Básico
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Dados los datos:
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INTERPOLACIONProblema Básico
(xi,yi), i = 0,1, 2, ..., ncon x0,< x1,< x2, < ... < xn, determinar la funciónf, tal que:
f(xi) = yi , i = 0, 1, 2, ..., n
f es llamada la Función de Interpolación o FunciónInterpolante o Interpolante a secas.
En forma adicional, dependiendo del tipo deinterpolación, se pueden imponer otras restriccionescomo pendiente en determinados puntos, concavidad,etc.
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Funciones que son tramos de polinomios resultan unaalternativa de la interpolación polinomial de alto gradopara evitar la “oscilación”.
La principal ventaja la Interpolación con tramos depolinomios es que un gran número de datos puedenajustarse empleando polinomios de relativo bajo orden.
INTERPOLACION Funciones definidas en Tramos
En Interpolación con Funciones definidas en Tramos,
dados un conjunto de datos (xi,yi), se emplean
funciones diferentes para cada subintervalo [xi,xi+1]
Las abscisas xi se llaman Nodos y en ellos se pasa de una función a otra.
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0x 1x 2x 3x 4x x
y
1 2 3 4
EJEMPLO TIPICO
Interpolación Lineal que usa líneas rectas para interconectar puntos.
INTERPOLACION Funciones definidas en Tramos
NODO
iii bxa(x)f
]x,[x 1ii
En el sub-intervalo
Función Lineal
Con este recurso se elimina la oscilación excesiva, pero se sacrifica la derivabilidad de la función.
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INTERPOLACION LINEAL
Se puede usar interpolación Lagrange o Newton para determinar las ecuaciones de las rectas:
343
34
3434
232
23
2323
121
12
1212
010
01
0101
xx x para );x(x)x(x
)y(yy(x)f
xx x para );x(x)x(x
)y(yy(x)f
xx x para );x(x)x(x
)y(yy(x)f
xx x para )x(x)x(x
)y(yy(x)f
INTERPOLACION Funciones definidas en Tramos
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EJEMPLO TIPICO
Interpolación al adyacentemás próximo (Nearestneighbor interpolation) . Elmétodo más simple queconsiste en localizar elvalor de datos máscercano, y asignarlo elmismo valor.
INTERPOLACION Funciones definidas en Tramos
NODO
No hay buenas razones para escoger este método en vezde interpolación lineal (casi tan simple como éste, perocon pérdida de la contininuidad), Si embargo eninterpolación multivariada, esta opción puede serfavorable por su velocidad y simplicidad.
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RIA Consiste en emplear
polinomios de bajo orden para conectar puntos adyacentes. (Trazador o cinta de plomo)
INTERPOLACION SPLINE - TRAZADORES
Spline lineal
Spline cuadrática
Spline cúbica dcxxbxa(x)f
cxbxa(x)f
bxa(x)f
23
2
Funciones Spline típicas:
Un Trazador de orden k deberá tener k-1 derivadas continuas
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Se conectan dos puntos adyacentes con una parábola de orden 2. La función tiene derivada primera continua.
SPLINE CUADRÁTICA
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SPLINE CUADRÁTICADeterminación de los coeficientes
Sea N el número de sub-intervalos (N+1 datos).
Para cada punto interior, los dos polinomios cuadráticos vecinos tienen que pasar este punto. 2(N-1) ecuaciones:
iiii
2
iiii
i1ii1i
2
i1ii1i
y cxbxa)(xS
y cxbxa)(xS
Sólo un polinomio cuadrático pasa por los puntos extremos 2 ecuaciones.
y cxbxa)(xS
y cxbxa)(xS
nnnn
2
nnnn
0101
2
0101
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SPLINE CUADRÁTICADeterminación de los coeficientes
En cada punto interior, las derivadas de primer orden de los dos polinomios vecinos deben ser iguales. Condición impuesta a una Spline cuadrática. Resultan N-1 ecuaciones:
Considerando todas las ecuaciones, suman 3N-1. Por lo tanto falta una para poder determinar todos los coeficientes (1 grado de libertad). Esto es típico en Spline y se fija según conveniencia.
Por ejemplo, se podría adoptar la derivada igual a cero en uno de los extremos.
;bx2abx2a iii1ii1i
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SPLINE CUBICA
Se trata de la Spline más popular. La Función de interpolación es dos veces derivable en forma continua.
1ii
ii
2
i
3
ii
xxx
dxcxbxa(x)S
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SPLINE CUBICADeterminación de los coeficientes
Las ecuaciones que se consideran para N intervalos o sea N+1 nodos serían:.
1. Los valores de la función deben ser iguales en los puntos interiores (2N-2 ecuaciones)
2. La primera y la última función deben pasar por los puntos extremos (2 ecuaciones)
3. Las primeras derivadas en los puntos interiores deben ser iguales (N-1 ecuaciones)
4. Las segundas derivadas en los puntos interiores deben ser iguales (N-1 ecuaciones)
El número total de ecuaciones es 4N-2 y el número de incógnitas es 4N, por lo que las Splines Cúbicas tienen 2 grados de libertad.
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SPLINE CUBICADeterminación de los coeficientes
Las dos restricciones adicionales para encontrar los coeficientes se establecen de diferentes maneras:
1. Especificando la primera derivada en los puntos extremos x0 y xn (Trazadores Ajustados o Enclavados)
2. Forzando a que la segunda derivada sea nula en los extremos x0 y xn (Spline Natural)
3. Eliminando un nodo, haciendo que dos intervalos adyacentes tengan la misma función
4. Para funciones periódicas, haciendo cumplir que la primera y segunda derivadas en los puntos extremos x0 y xn tengan el mismo valor
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RIA Se representa cada uno de los trazadores (tramos
del interpolante) con la función:
1jj
3
jj
2
jjjjjj
xxx
)x(xd)x(xc)x(xba(x)S
SPLINE CUBICADeterminación de los coeficientes
Con lo que restan evaluar los coeficientes bj, cj y dj
nnn y)f(xa Para completar se llama:
j1jj xxh
Los coeficientes aj resultan en forma directa:
1n , ... 0,1,2, j y)f(x)(xSa jjjjj
Se usa el enfoque de la interpolación de Newton
Se define:
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De la condición enextremo de intervalo :
)(xS)(xS 1jj1jj 1
SPLINE CUBICADeterminación de los coeficientes
1-n ...., 0,1,2,j hdhchbaa3
jj
2
jjjjjj 1
La continuidad de la primera derivada lleva a:
)(x'S )(x'S
1-n ...., 1,2,j )(x'Sb
)x(x3d)x(x2cb )(x'S
1jj1j1j
jjj
2
jjjjjjj
1-n ...., 1,2,j h3dh2cbb2
jjjjj1j Con lo que:
y se define: n n-1 nb = S' (x )
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SPLINE CUBICADeterminación de los coeficientes
La continuidad de la segunda derivada lleva a:
)(x''S )(x''S
1-N ...., 1,2,j 2
)(x''Sc
)x(x6d2c )(x''S
1jj1j1j
jj
j
jjjjj
1-n ...., 1,2,j h3dcc jjj1j Con lo que:
y se define:2
)(x'S'c n
n
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Este es un sistema lineal de n-1 ecuaciones con n+1incógnitas. El calculo de bj y dj se hace en formasencilla con las ecuaciones anteriores.
INTERROGANTE: ¿el sistema anterior define unasolución única, cuando se introduzcan las condicionesadicionales?
1n ...., 1,2,j )a(ah
3)a(a
h
3
ch)ch2(hch
1jj
1j
j1j
j
1jjjj1j1j1j
Trabajando con las tres ecuaciones remarcadas, sepuede eliminar como incógnitas a bj y dj resulta unsistema de ecuaciones lineales en cj.
SPLINE CUBICADeterminación de los coeficientes
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Se puede demostrar que sistema lineal M c = p
SPLINE CUBICACeficientes para Spline Enclavada
M
h h
h h h h
h h h h
h h h
h h h
h h h h
h h
n n n
n n n n
n n
2 0 0 0 0 0
2 0 0 0 0
0 2 0 0 0
0 0 2 0 0 0
0 0 0 0 2 0
0 0 0 0 2
0 0 0 0 0 2
0 0
0 0 1 1
1 1 2 2
2 2 3
3 2 2
2 2 1 1
1 1
( )
( )
( )
( )
( )
En este caso se asume el valor de las derivadas enlos extremos: )(xf')(x'S ; )(xf')(x'S nn1n000
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SPLINE CUBICACeficientes para Spline Enclavada
p
ha a f x
ha a
ha a
ha a
ha a
f xh
a a
n
n n
n
n n
n
n
n n
33
3 3
3 3
33
0
1 0 0
1
2 1
0
1 0
1
1
2
1 2
1
1
( ) ' ( )
( ) ( )
( ) ( )
' ( ) ( )
n
n
c
c
c
c
c
1
1
0
n+1 ecuaciones con n+1 (cj) incógnitas
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Se puede demostrar que sistema lineal M c = p
SPLINE CUBICACeficientes para Spline Natural
En este caso se asume nulas las derivadas en lossegundas extremos: 0)(x'S ; 0)(x''S n1n00
M
h h h
h h h h
h h h
h h h
h h h h
h h h
n n n
n n n n
n n n
2 0 0 0 0
2 0 0 0
0 2 0 0 0
0 0 0 2 0
0 0 0 2
0 0 0 0 2
0 1 1
1 1 2 2
2 2 3
4 3 3
3 3 2 2
2 2 1
( )
( )
( )
( )
( )
( )
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SPLINE CUBICACeficientes para Spline Natural
1
2
2
1
n
n
c
c
c
c
c
n-1 ecuaciones con n-1 (cj) incógnitas.
p
ha a
ha a
ha a
ha a
n
n n
n
n n
3 3
3 3
1
2 1
0
1 0
1
1
2
1 2
( ) ( )
( ) ( )
Las condiciones de esta Spline hacen que c0 = 0 ycn = 0 por lo que el sistema se reduce.
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SPLINE CUBICADeterminación de los coeficientes
1. La matriz del sistema M es estrictamentedominante, y por lo tanto no singular lo queasegura la compatibilidad del sistema.
2. Por la misma razón el sistema resulta biencondicionado, con la correspondiente ventajanumérica.
3. La matriz M es tridiagonal, lo que hablita parael uso del Método de Thomas, de graneficiencia.
4. Se reduce enormemente el orden del sistemalineal a resolver (n+1 o n-1) teniendo en cuentaque las incógnitas son 4n.
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SPLINE CUBICASuavizado de la interpolante
Esto significa que una Splines cúbica genera unafunción más “suave”, con menores cambios en laspendientes.
Si S(x) es una Spline Cúbica que interpola unafunción f(x) que es diferenciable dos veces en elintervalo [a,b],
Entonces:
b
a
2(2)
b
a
2(2)dx(x)fdx(x)S
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INTERPOLACIÓN HERMÍTICA
En Interpolación Hermítica, en los nodos coinciden losvalores de la función de interpolación con los de lafunción real y además coinciden sus respectivasderivadas primeras.
Con esta interpolación se constrruye interpolantessegmentado en tramos (como las Spline), pero en estecaso, solo la primera derivada es continua y su valor enlos nodos son fijados .
f(x)
FUNCION
REAL
H(x)
INTERPOLANTE
HERMÍTICO
S(x)
SPLINE
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Una de las variantesmás usadas consiste enemplear interpolantesde tercer orden. Semantiene así un balanceentre simplicidad yflexibilidad
INTERPOLACIÓN HERMÍTICA
)(xf'dx
)(xdH
dx
)(xdH
)f(x)(xH)(xH
ii1iii
ii1iii
1ii
ii
2
i
3
ii
xxx
dxcxbxa(x)H
Esta Función deinterpolación es deri-vable una vez enforma continua.
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INTERPOLACIÓN HERMÍTICADeterminación de los coeficientes
1. Los valores de la función deben ser iguales en los puntos interiores (2N-2 ecuaciones)
2. La primera y la última función deben pasar por los puntos extremos (2 ecuaciones)
3. Las primeras derivadas en los puntos interiores deben ser iguales (N-1 ecuaciones)
4. Las primeras derivadas en los puntos interiores deben ser iguales un dado valor (N-1 ecuaciones)
El número total de ecuaciones es 4N-2 y el número de incógnitas es 4N, por lo que loa interpolantes Hermíticoscúbicos tienen 2 grados de libertad.
Las ecuaciones que se consideran para N intervalos o sea N+1 nodos serían:.
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INTERPOLACIÓN HERMÍTICA CÚBICAAlgoritmo PCHIP (Shape-Preserving Cubic Spline)
1. En un punto que es un máximo o mínimo se asume pendiente cero, (en ese punto hay un extremo).
2. La pendiente en un punto se evalúa como la media armónica de las dos rectas secantes adyacentes.
Las pendientes en un punto xj a la que se denomina mj se fijan con los siguientes criterios:
0m j
j1jj δ
1
δ
1
2
1
m
1
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INTERPOLACIÓN HERMÍTICA Y SPLINE
Comparación
La elección del tipo de interpolante a empleardependerá del problema que se trate.
Si la suavidad de la función es lo que importa, Splineda un mejor resultado. Pero si se pretende un ajusteque siga algún patrón de monotonía, la InterpolaciónHemítica brinda mejores resultados.
En cualquier caso, la gráfica de la función deinterpolación en conjunto con los datos brindará la“percepción visual” que indicará la mejor elección
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INTERPOLACIÓN HERMÍTICA Y
SPLINEComparación
INTERPOLACIÓN HERMÍTICA
SPLINE CÚBICA
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INTERPOLACIÓN HERMÍTICA Y SPLINE
Comparación
El error de truncación con Spline cúbica es:
)x-max(x h
b][a,x ; (x)fmaxM ; M24
hS(x)f(x)maxΕ
-1ii
(4)4
Τ
Mientras que el error con interpolación Hermítica atramos es:
)x-max(x h
b][a,x ; (x)fmaxM ; M384
hH(x)f(x)maxΕ
-1ii
(4)4
Τ
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INTERPOLACIÓN - Comparación Programa interpgui.m de Cleve Moler (2013)
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CURVAS PARAMÉTRICAS
Datos los datos: (xi,yi), i = 0,1, 2, ..., n
Con los enfoques anteriores se buscaba determinar una función f, tal que:
f(xi) = yi , i = 0, 1, 2, ..., n
Este enfoque es útilsi la relación entre xe y tiene una formacomo la de la figura
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CURVAS PARAMÉTRICAS
Una forma alternativa, sería expresar la relación entre x e y en forma paramétrica:
n ..., 2, 1, 0, i )Y(ty
)X(tx
ii
ii
En este caso el parámetro es t. Por lo general seelige a t comprendido entre 0 y 1, de modo quet = 0 corresponde a (x0,y0) y t = 1 al último(xn,yn).
0 t1
Mapeo de f :t → (x,y)t
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CURVAS PARAMÉTRICAS
Las curvas paramétricas pueden describir apropiadamente relaciones como la de la figura.
Un ejemplo sencillo es la parametrización de
una recta: 10
10
t)y(1tyy
t)x(1txx
La utilidad de este enfoque surge cuando se trabajaen el diseño gráfico que involucran curvas y(extendiendo la idea a 3D) a superficies. Así seaplica en el estudio de trayectorias, diseño deobjetos, etc.
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CURVAS DE BEZIER
Propuesta del Ingeniero francés Pierre Bézier de laRenault en los años 60. Es simple de implementar ysus características la hacen particularmente útilpara el diseño de objetos.
Bezier sugirió quese usen 4 datospara realizar unainterpolación cúbicaHermítica.
p1p4
t
Referencia Pendiente
p2
Referencia Pendiente
Puntos de Referencia
p3
0c
0p
1c
0t 1t 12
t
Parámetro t
12
t
0t
1t
1pLos vectores de control son tangentesa la curva en los extremos
MA
GIS
TE
R E
N M
ET
OD
OS
N
UM
ER
IC
OS
Y
CO
MP
UTA
CIO
NA
LE
S E
N IN
GE
NIE
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CURVAS DE BEZIER
Y(t)y
X(t)xSea la curvaparamétrica
0t
0
dt
dY(t)dt
dX(t)
c
1
1
tdt
dY(t)dt
dX(t)
c
MA
GIS
TE
R E
N M
ET
OD
OS
N
UM
ER
IC
OS
Y
CO
MP
UTA
CIO
NA
LE
S E
N IN
GE
NIE
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CURVAS DE BEZIER
Características Importantes:1. Se puede generar una curva continua.2. Se pueden lograr curvas con primera derivada
continua si se desea.3. La curva puede confinarse en una poligonal
convexa.
MA
GIS
TE
R E
N M
ET
OD
OS
N
UM
ER
IC
OS
Y
CO
MP
UTA
CIO
NA
LE
S E
N IN
GE
NIE
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CURVAS DE BEZIER
La función Polynomial Bezier (Polinomio deBerstein de orden n) está constituida pormonomios de la forma siguiente:
ini
in t).(1.ti)!(ni!
n!(t)B
En particular el de tercer grado, empleado paracuatro puntos, resulta:
MA
GIS
TE
R E
N M
ET
OD
OS
N
UM
ER
IC
OS
Y
CO
MP
UTA
CIO
NA
LE
S E
N IN
GE
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FUNCIÓN DE BEZIER
DE 3ER ORDEN
MA
GIS
TE
R E
N M
ET
OD
OS
N
UM
ER
IC
OS
Y
CO
MP
UTA
CIO
NA
LE
S E
N IN
GE
NIE
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CURVAS DE BEZIER
Las curvas paramétricas son:
(t).BxX(t)x in
n
0i
i
(t).ByY(t)y in
n
0i
i
3
33
2
223
1
123
0
023
3
33
2
22
1
12
0
03
y
xt
y
x3t3t
y
x3t6t3t
y
x13t3tt
y
x
y
xt
y
xtt13
y
xtt13
y
xt1
y
x
MA
GIS
TE
R E
N M
ET
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UM
ER
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OS
Y
CO
MP
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LE
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CURVAS DE BEZIERReordenando:
0
0
1
1
0
0
2
2
2
1
1
0
03
3
3
2
2
1
1
0
0
y
xt
y
x3
y
x3
ty
x3
y
x6
y
x3t
y
x
y
x3
y
x3
y
x
y
x
dctbtaty
xP(t)
23
3
2
1
0
23
P
P
P
P
0001
0033
0363
1331
d
c
b
a
d
c
b
a
1tttP(t)
Los cuatro puntos definen la curva comprendidaentre los dos puntos centrales.
MA
GIS
TE
R E
N M
ET
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OS
N
UM
ER
IC
OS
Y
CO
MP
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CIO
NA
LE
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N IN
GE
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CURVAS DE BEZIEREmpalmes de curvas
Distintos tramos (splines) de curvas, definidas porcuaternas de puntos P, Q, R, etc. que se debenempalmar en forma continua con derivada primeracontinua.
P3Q0
Q1
P2
Q3
Q2
R1
R0
P = {P0 P1 P2 P3}
Q = {Q0 Q1 Q2 Q3}
R = {R0 R1 R2 R3}. . .
Para asegurar continuidadde la primera derivadahay que tomar:
P3=Q0 P2-P3=Q0-Q1
Q3=R0 Q2-Q3=R0-R1
MA
GIS
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R E
N M
ET
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UM
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CURVAS DE BEZIEREmpalmes de curvas
P3Q0
Q1
P2
Q3
Q2
R1
R0
P = {P0 P1 P2 P3}
Q = {Q0 Q1 Q2 Q3}
R = {R0 R1 R2 R3}
Para usar un solo parámetro t para describir toda la curva,se hace variar t entre 0 y 1 para el primer intervalo, entre1 y 2 para el segundo y así sucesivamente.
La función queda representada
entonces:
3t2 si 2)R(t
2t1 si 1)Q(t
1t0 si P(t)
y
x
MA
GIS
TE
R E
N M
ET
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N
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CO
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SPLINE-BLas Spline-B, es una forma más general detrazador y representa también una forma másamplia de abordar el trazado de curvasparamétricas.
Se asume que está dado un vector de nodosT={t0,t1, t2,t3, … }
B(0,i) indica la Spline-B de grado cero en elintervalo [ti , ti+1).
El gráfico deB(0,i) estárepresentadopor:
MA
GIS
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R E
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SPLINE-B
El conjunto Spline-B B(0,i) constituye una basepara todas la Spline-B en T={t0,t1, t2,t3, … }
Se puede obtener las Spline-B de mayor ordenk B(k,i) usando la fórmula de recurrencia:
Esta definición recursiva y el soporte compactohace que las Spline-B sean fáciles de computar
1)i1,B(ktt
xt1)i1,B(k
tt
txi)B(k,
1i1ki
1ki
i11
i
Las Spline-B de grado n forma una base detodas las Spline.
MA
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SPLINE-B
Las Spline-B degrado 0, 1, 2 y3 se muestranen la figura.
El nombre deSpline-B estáasociado a“Basis spline”
Se peude escribir uninterpolante de grado kde la función f(x) como:
i
i)B(k, i)C(k,f(x)
MA
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SPLINE-B
Los coeficientes C(k,i) se evalúan con:
iji
ji
ij1
i
tt
xt1)iC(j,
tt
txi)C(j,i)1,C(j
La función Spline será una combinación linealde la forma:
i
i k)iB(k, AS(t)
Los coeficientes Ai se determinan haciendocumplir las condiciones de interpolación:
ni0 )f(ty)S(t iii
MA
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SPLINE-BCaracterísticas Importantes
Para Spline-B de alto orden, los coeficientes deintrpolación no son únicos. Pueden ser elegidospara dar a la función alguna característicaespecial.
La diferenciación e integración es muy fácil derealizar.
Una Spline-B de grado k tiene k-1 derivadascontinuas. (Capacidad de filtrado)
Son muy usadas en el procesamiento deimagenes
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FUNCIONES DE MATLAB
interp1 Realiza la interpolación de 1 variable
Sintaxisyi = interp1(x,y,xi)yi = interp1(x,y,xi,'method')
pchipRealiza la interpolación usando interpolación Hermítica
Sintaxisyi = pchip(x,y,xi)
splineRealiza la interpolación usando spline cúbicas
Sintaxisyi = spline(x,y,xi)
interp1q Simil interp1, para interpolacion lineal, pero más eficiente para datos no equiespaciados.
