8/12/2019 Massimo punteggio possibile a 2048 (popolare gioco creato da Gabriele Cirulli)

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Figura 1. Configurazione finale nel 90% delle partite perfette.

- Se invece capita di ottenere un 4 al posto del 2 della Figura 1, si può procedere combinando (a cascata) letile da 4 per formarne una da 8, quelle da 8 per ottenerne un’altra da 16 e così via, fino alle due da 65536…in modo da formare la tile da 131072 , la massima possibile in questo gioco.

Quale sarà punteggio finale se apparirà un 2 e la partita perfetta terminerà con una tile massima da2^16=65536?Come molto spesso accade in matematica, la risposta è… “ dipende ”! Dipende, perché non sappiamo quanti “quattro” sono apparsi sulla board… possiamo solo calcolare unvalore massimo, uno minimo e uno atteso. Sapendo che le tile combinate fra loro a questo punto del giocosono state circa 131068/2.2=59576.364, e che il massimo punteggio possibile ( nell’ipotesi che sianocomparsi solo “2” sulla scacchiera, senza mai un “4” – tranne quello che pone fine alla partita) è4+16+48+128+320+768+1792+4096+9216+20480+45056+98304+212992+458752+983040=1835012, sipuò facilmente stimare il valore atteso (considerando una media di un “4” sulla board ogni nove “2”

random):

Valore atteso (massimo punteggio ottenibile, con partita perfetta, nel 90% dei casi)=1835012-(59576.364/10)*4 ≈1811181.45 [1811180, 1811184].

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Questo è lo score più probabile nel 90% delle partite perfette giocabili, con probabilità decrescenti manmano che ci si allontana da tale risultato. In ogni caso, tutti i punteggi saranno compresi fra 1835012-131068/4*4= 1703944 (probabilità infinitesima, pari a 0.1^32766*0.9=9*10^(-32767) delle partite perfettegiocabili) e il massimo di 1835012 punti.

Se invece, al momento propizio, appare un “4” e possiamo chiudere la catena, culminante nell’unione delledue tile da 2^16, potremo procedere nel gioco. Immaginando che questo raro evento possa ripetersi per 15volte consecutive (una volta ogni milione di miliardi di partite perfette accadrà!), ci troveremo nellacondizione seguente:

Figura 2. Miglior configurazione finale possibile nel gioco 2048 originale.

In questo caso, dopo 131052 mosse e 131053 tile effettive combinate (l’ultima, che sia un “2” o un “4” , èassolutamente ininfluente), il gioco si concluderà e il nostro punteggio più plausibile sarà prossimo a3932160-((((262136-60)/2.2)/10)+15)*4 ≈3884449.82 [3884448, 3884452] (e comunque non inferiore a

3670024 ); tuttavia, con probabilità 0.1^15*0.9^(131053-15) ≈1.0714*10^(-6009)%, si otterrà il massimopossibile teorico di questo gioco: 3932100 punti!

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Infatti, ∑ =16*(2^17)+1835012-4-4*15=3932100 (essendo impossibile ottenere iquattro punti derivanti dalla combinazione di due tile base [2]+[2] [4] dopo che la tile massima da 131072è stata formata e tale situazione si deve ripetere 15 volte in tutto prima di giungere alla configurazioneillustrata in Figura 2).

Immaginando di effettuare (in media) una mossa al secondo, giocando in modo perfetto ed avendo unafortuna indicibile (una probabilità su 1.0714*10^6011), dovremmo insistere per 131051 secondi prima diraggiungere il massimo punteggio teorico e per 131052 prima di terminare la partita… oltre un giorno emezzo: 36 ore, 24 minuti e 12 secondi.

In generale, considerando un griglia nxn arbitraria (n≥2), il massimo punteggio realizzabile è così definito :

( ) ( )

A gioco perfetto, per (n≥2), le chance di ottenere tale valore massimo sono appena

( ) ( ) ( ) ( )

n max score teorico probabilità di ottenerlo1 0 12 180 9.8477*10^(-5)3 16352 1.1468*10^(-54)4 3932100 1.0714*10^(-6011)5 3221225376 1.4736*10^(-3070755)

6 962 7267429 infinitesma

7 1 8 86391 56891712 infinitesma

8 46485795 65748 7 698 infinitesmaFigura 3. Massimo score teoricamente ottenibile e relative probabilità per griglie di dimensione variabile.

Curiosità : il più basso punteggio realizzabile, sforzandosi di totalizzare il minimo di punti possibile edessendo aiutati dalla (s)fortuna, è sempre zero (per qualsiasi valore di {}).