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1. Massimi e minimi di funzioni di due o pi variabili

1.1 Finitezza degli estremi di una funzione continua in un insieme chiuso e limitato Lemma. Se f(x,y) una funzione continua sopra un insieme I chiuso e limitato contenuto nel piano, allora lestremo inferiore e superiore di f sono finiti. Dimostrazione. Linsieme limitato e quindi contenuto in un rettangolo R = ((x,y)/ axb, cyd). Dimostriamo ad esempio che la funzione limitata superiormente. Sia allora S = sup f = estremo superiore dellinsieme (f(x,y)) dei valori assunti su I da f e supponiamo per assurdo che S = +. Allora (si veda ..) esiste una successione ( )

nz di elementi di Im f che tende a S. E sufficiente in

effetti scegliere 1 1 1 2 2 2 3 3 3( , ) 1 , ( , ) 2 , ( , ) 3 , ..... z f x y z f x y z f x y= > = > = > , sapendo che ci si pu fare per la definizione di estremo superiore infinito (si veda ). Consideriamo ora la successione di punti del piano 1 1 2 2 3 3(( , ) , ( , ) , ( , ) , ..... )x y x y x y : si tratta di infiniti punti contenuti in I e quindi nel rettangolo R. Se dividiamo il rettangolo in quattro parti uguali (bisecando i lati), uno (almeno) dei sottorettangoli contiene infiniti di tali punti. Questo ragionamento si pu ripetere per costruire una successione (Rn) di rettangoli incapsulati, i cui lati sia orizzontali sia verticali formano una successione di intervalli incapsulati. Gli intervalli orizzontali determinano lunico punto

0a e quelli verticali lunico punto

0b . Si ottiene quindi il punto

0 0( , )P a b= . E facile vedere che, per ogni intero n > 0, si pu scegliere un punto ( , )n nx y tale che

0 0

1| ( , ) ( , ) |n nx y a b

n! < . Di qui si conclude facilmente che 0 0lim( , ) ( , )n n

nx y a b

!"= . Siccome la

funzione continua, si ottiene anche 0 0lim ( , ) lim ( ) ( , )n n nn n

f x y f z f a b!" !"

= = e questo in

contraddizione con il fatto che la successione ( )nz diverge. Ci prova che S un numero reale

finito. In modo del tutto analogo si vede che lestremo inferiore 'S anchesso un numero reale finito.

1.2 Esistenza di massimo e minimo Se f(x,y) una funzione continua sopra un insieme I chiuso e limitato contenuto nel piano, allora essa raggiunge il suo massimo e il suo minimo, cio esistono P e Q nel dominio tali che

- ( ) ( , )f P f x y! per ogni punto (x,y) nel dominio - ( ) ( , )f Q f x y! per ogni punto (x,y) nel dominio

Dimostrazione. Proviamo ad esempio che esiste il massimo (per il minimo si procede in modo analogo). Sia S lestremo superiore della funzione (finito per il lemma precedente). Se S non raggiunto dalla funzione, la nuova funzione ( , )S f x y! sempre positiva e quindi ben definita la

funzione

!

G(x,y) =1

S " f (x,y) che continua sul dominio I e quindi limitata per il lemma

precedente. Ma questo assurdo, in quanto, dato n intero > 0 qualsiasi, esistono valori di x e y tali

che 1( , )S f x yn

! < . Di qui si deduce che G(x,y) > n e cio che G(x,y) non limitata. Ne segue che

lestremo superiore un valore assunto dalla funzione.

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1.3 Come si determinano massimi e minimi di funzioni di due o pi variabili Sia f(x,y) una funzione di due variabili definita in un cerchio aperto Cr di raggio r e centro il punto P = (a,b), dotata di derivate parziali continue fino al secondo ordine e tale che ( ) ( ) 0x yf P f P= = . Grazie alla formula di Taylor si pu scrivere in Cr:

2 2 2 21( , ) ( ) ( ( )( ) ( )( ) 2 ( )( )( )) ( , )(( ) ( ) )2

xx yy xyf x y f P f P x a f P y b f P x a y b x y x a y b!" = " + " + " " + " + "

dove ( , )x y! tende a 0 quando (x,y) tende ad (a,b). Posto x-a = X, y-b = Y, il segno della differenza f(x,y)-f(P) determinato dal segno della forma quadratica

2 2( ) ( ) 2 ( )xx yy xyf P X f P Y f P XY+ + e dal segno dell'infinitesimo. Vogliamo far vedere che l'infinitesimo di ordine maggiore di due 2 2( )X Y! + non influenza in realt il segno della differenza f(x,y)! f(P), che completamente determinato da quello della forma quadratica, purch questa non abbia autovalori nulli. Supponiamo ad esempio che la forma quadratica sia definita positiva, il che corrisponde a due autovalori entrambi positivi della matrice simmetrica

xx xy

xy yy

f f

f f

! "# $% &

(dove tutte le derivate sono calcolate in P). Questo significa che sono positivi i due numeri e xx yy xx yyf f f f+ . Consideriamo ora la forma quadratica che tiene anche conto del resto infinitesimo di ordine maggiore di due, cio 2 2( ) ( ) 2xx yy xyq f X f Y f XY! != + + + + , dove il coefficiente! dipende dalle variabili X e Y. Ricordiamo per che se si sceglie a piacere 0! > , esiste 0! > tale che, nel cerchio di centro P e raggio ! , si ha: | |! "< . Il segno degli autovalori dipende dai due numeri ( ) ( ) e ( )( )xx yy xx yyf f f f! ! ! !+ + + + + . Quindi

1( ) ( ) > 2 0 se ( )

4xx yy xx yy xx yyf f f f f f! ! " "+ + + + # > < + .

Analogamente si vede che anche il segno del prodotto degli autovalori non cambia se si aggiunge l'infinitesimo. In conclusione l'aggiunta dell'infinitesimo non cambia i segni dei due autovalori se sono entrambi positivi. Ma facile vedere che lo stesso avviene se sono entrambi negativi o di segni opposti, e quindi la decisione se si tratti di massimo o minimo o punto di sella pu essere presa guardando alla segnatura della forma quadratica associata alla matrice hessiana. Nel caso in cui uno degli autovalori sia nullo, la forma quadratica associata alla matrice hessiana non permette di arrivare a una conclusione, come si vede nei seguenti esempi: 1. 2 4( , )f x y x y= + ha un minimo nell'origine, 2. 2 4( , )f x y x y= ! ! ha un massimo nell'origine,

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3. 2 4( , )f x y x y= ! non ha nell'origine n un minimo n un massimo. Qualora si tratti funzione di tre o pi variabili, si possono ripetere tutti i ragionamenti precedenti sulla forma quadratica associata alla matrice hessiana.