Marco Cavalieri Andrea Cavalieri

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Marco Cavalieri Andrea Cavalieri

PONTIAnalisi - Progettazione - Dimensionamento

ii edizione

Dario Flaccovio Editore

Abstract tratto da Cavalieri - Ponti - Tutti i diritti riservati - © Dario Flaccovio editore

Marco Cavalieri - Andrea CavalieriPONTISeconda edizione: giugno 2016ISBN 9788857905129© 2016 by Dario Flaccovio Editore s.r.l. - tel. 0916700686

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Cavalieri, Marco <1974->

Ponti / Marco Cavalieri. – 2. ed. - Palermo : D. Flaccovio, 2016.ISBN 978-88-579-0512-91. Ponti – Costruzione.624.2 CDD-23 SBN Pal0290339

CIP - Biblioteca centrale della Regione siciliana “Alberto Bombace”

Stampa: Tipografia Priulla, Palermo, giugno 2016

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Indice

Premessa .............................................................................................................................. pag. 17

PARTE IPonti: elementi Per il calcolo e la verifica

1. Generalità ..................................................................................................................... » 211.1. Introduzione .............................................................................................................. » 211.2. Caratteristiche dei ponti a travata a parete piena ...................................................... » 23

2. Elementi costitutivi di un ponte .................................................................................... » 292.1. Introduzione .............................................................................................................. » 292.2. Soletta superiore ....................................................................................................... » 29 2.2.1. Soletta portante in cemento armato ............................................................. » 30 2.2.2. Marciapiedi .................................................................................................. » 32 2.2.3. Veletta ......................................................................................................... » 33 2.2.4. Pacchetti stradali e impermeabilizzazioni ................................................... » 332.3. Travatura in acciaio .................................................................................................. » 33 2.3.1. Struttura portante principale ........................................................................ » 33 2.3.2. Irrigidimenti longitudinali, trasversali e per carichi concentrati ................. » 34 2.3.3. Traversi ........................................................................................................ » 35 2.3.4. Diaframmi ................................................................................................... » 35 2.3.5. Controventature orizzontali ......................................................................... » 37 2.3.6. Connettori .................................................................................................... » 38 2.3.7. Controsolette ............................................................................................... » 382.4. Sottostrutture ............................................................................................................. » 38 2.4.1. Premessa ...................................................................................................... » 38 2.4.2. Pile ............................................................................................................... » 38 2.4.3. Spalle ........................................................................................................... » 39

3. Analisi dei carichi ........................................................................................................... » 413.1. Introduzione .............................................................................................................. » 413.2. Pesi propri strutturali e non strutturali (g1) e permanenti portati (g2) ....................... » 413.3. Altre azioni permanenti (g3) ...................................................................................... » 423.4. Distorsioni di progetto (ε1) ........................................................................................ » 423.5. Effetti reologici: ritiro (ε2)......................................................................................... » 43 3.5.1. Calcolo delle deformazioni secondo il D.M. 14 gennaio 2008 ................... » 43 3.5.2. Calcolo delle deformazioni secondo EC2 – aggiornamento 2005 .............. » 44


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3.5.3. Calcolo delle deformazioni secondo EC2 – prima edizione 1991 .............. » 443.6. Effetti reologici: viscosità (ε2)................................................................................... » 45 3.6.1. Calcolo dei coefficienti secondo il D.M. 14 gennaio 2008 ......................... » 45 3.6.2. Calcolo dei coefficienti secondo EC2 ......................................................... » 463.7. Variazione termica (ε3).............................................................................................. » 473.8. Cedimenti vincolari (ε4) ............................................................................................ » 483.9. Carichi mobili (q1) .................................................................................................... » 48 3.9.1. Premessa ...................................................................................................... » 48 3.9.2. Il treno di carico tipo previsto nel D.M. 14 gennaio 2008 .......................... » 49 3.9.3. Disposizione dei treni di carico ................................................................... » 513.10. Incremento dinamico di carichi mobili dovuto ad azioni dinamiche (q2) ................. » 563.11. Azione longitudinale di frenamento (q3) ................................................................... » 573.12. Azione centrifuga (q4) ............................................................................................... » 583.13. Azione del vento (q5) ................................................................................................ » 583.14. Azione sismica (q6) ................................................................................................... » 583.15. Resistenze parassite dei vincoli (q7).......................................................................... » 593.16. Azioni sui parapetti. Urto di veicoli (q8) ................................................................... » 593.17. Combinazione dei carichi ......................................................................................... » 60

4. Analisi globale statica .................................................................................................... » 634.1. Impostazione del problema ....................................................................................... » 634.2. Approccio metodologico: beam, plate o brick? ........................................................ » 644.3. Schematizzazione della struttura .............................................................................. » 66 4.3.1. Premessa ...................................................................................................... » 66 4.3.2. Impalcati a cassone ...................................................................................... » 67 4.3.3. Impalcato a graticcio ................................................................................... » 684.4. Caratteristiche inerziali delle sezioni ........................................................................ » 70 4.4.1. Effetti della viscosità del calcestruzzo ........................................................ » 70 4.4.2. Effetti della viscosità nelle strutture miste acciaio calcestruzzo ................. » 74 4.4.3. Effetti della fessurazione ............................................................................. » 77 4.4.4. Larghezza collaborante della soletta ........................................................... » 79 4.4.5. Calcolo delle caratteristiche inerziali delle sezioni nell’analisi globale ..... » 814.5. Applicazione dei carichi alla struttura ...................................................................... » 88 4.5.1. Azioni trasversali ......................................................................................... » 88 4.5.2. Ritiro e gradiente termico di temperatura ................................................... » 904.6. La modellazione degli impalcati in misto acciaio calcestruzzo ............................... » 92 4.6.1. Impalcati a graticcio .................................................................................... » 93 4.6.2. Impalcati a graticcio cassonati .................................................................... » 94

5. Analisi sismica delle sollecitazioni ................................................................................ » 955.1. Richiami teorici di dinamica delle strutture .............................................................. » 955.2. Risposta sismica di un ponte e sistemi di isolamento ............................................... » 100


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5.2.1. Duttilità della struttura ................................................................................ » 101 5.2.2. Isolatori elastici ........................................................................................... » 1055.3. Scelta dello schema di vincolo .................................................................................. » 1055.4. Modellazione strutturale ........................................................................................... » 107 5.4.1. Rigidezze di progetto .................................................................................. » 107 5.4.2. Sottostrutture ............................................................................................... » 108 5.4.3. Impalcati a cassone ...................................................................................... » 108 5.4.4. Impalcati a graticcio .................................................................................... » 1105.5. Tipi di analisi ............................................................................................................ » 1105.6. Analisi statica semplificata ....................................................................................... » 1115.7. Analisi a spettro di risposta ....................................................................................... » 1135.8. Analisi dinamica non lineare .................................................................................... » 1205.9. Analisi statica non lineare (pushover) ...................................................................... » 120 5.9.1. Introduzione ................................................................................................ » 120 5.9.2. Definizione del sistema di forze o di spostamenti ....................................... » 121 5.9.2.1. Definizione del sistema SDOF equivalente ................................... » 123 5.9.2.2. Calcolo dello spostamento massimo del sistema equivalente ........ » 125 5.9.2.3. Calcolo dello spostamento massimo del sistema reale e verifiche . » 126 5.9.3. Pushover e normativa .................................................................................. » 126 5.9.4. Consigli pratici per l’implementazione del metodo agli elementi finiti ...... » 1275.10. Verifiche delle sezioni .............................................................................................. » 131 5.10.1. Premessa ...................................................................................................... » 131 5.10.2. Metodo della gerarchia delle resistenze ...................................................... » 132 5.10.3. Valori di resistenza per verifiche a taglio .................................................... » 133 5.10.4. Fondazioni superficiali ................................................................................ » 133 5.10.5. Verifica dei pali di fondazione .................................................................... » 134 5.10.6. Verifica delle pile ........................................................................................ » 135 5.10.7. Verifica delle spalle ..................................................................................... » 137 5.10.8. Impalcato ..................................................................................................... » 137 5.10.9. Apparecchi d’appoggio ............................................................................... » 137

6. Verifiche di resistenza struttura portante ................................................................... » 1396.1. Premessa ................................................................................................................... » 1396.2. Verifica sezioni miste secondo EC4 ......................................................................... » 140 6.2.1. Premessa ...................................................................................................... » 140 6.2.2. Verifica a pressoflessione – analisi plastica ................................................ » 140 6.2.3. Verifica a pressoflessione – analisi elastica ................................................ » 141 6.2.4. Verifica a taglio e azioni combinate taglio, flessione e azione assiale ....... » 1446.3. Verifica sezioni miste secondo D.M. 14 gennaio 2008 ............................................ » 144 6.3.1. Verifica a pressoflessione ............................................................................ » 144 6.3.2. Verifica a taglio ........................................................................................... » 144 6.3.3. Verifica effetti combinati taglio, torsione ................................................... » 145


Ponti

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6.3.4. Verifica effetti combinati taglio, flessione, azione assiale .......................... » 1466.4. Verifica dei connettori .............................................................................................. » 1476.5. Verifica giunzioni bullonate ..................................................................................... » 150

7. Resistenza all’instabilità locale ..................................................................................... » 1577.1. Premessa ................................................................................................................... » 1577.2. Richiami teorici ......................................................................................................... » 1587.3. Verifica di stabilità locale secondo D.M. 14 gennaio 2014 e EC3-1-5: UNI EN 1993-1-5(2006) ........................................................................................... » 161 7.3.1. Premessa ...................................................................................................... » 161 7.3.2. Resistenza all’instabilità per compressione dei pannelli non irrigiditi ....... » 161 7.3.3. Resistenza all’instabilità per compressione dei pannelli irrigiditi .............. » 163 7.3.4. Comportamento tipo colonna dei pannelli ................................................. » 168 7.3.5. Resistenza a taglio ....................................................................................... » 170 7.3.6. Effetti combinati: taglio, azione assiale, momento flettente ....................... » 172 7.3.7. Irrigidimenti trasversali e longitudinali ....................................................... » 1727.4. Verifica di stabilità locale secondo CNR 10011 ....................................................... » 176

8. Verifiche soletta in calcestruzzo armato ...................................................................... » 1838.1. Verifica delle lastre prefabbricate autoportanti ........................................................ » 1838.2. Verifica della soletta in calcestruzzo armato ............................................................ » 185

9. Verifica spalle e pile ....................................................................................................... » 1879.1. Premessa ................................................................................................................... » 1879.2. Azione sul paraghiaie ................................................................................................ » 188 9.2.1. Azione verticale delle ruote ......................................................................... » 188 9.2.2. Azione frenante ........................................................................................... » 189 9.2.3. Spinta statica del terreno ............................................................................. » 190 9.2.4. Spinta dinamica del terreno ......................................................................... » 1909.3. Azioni sulla spalla in elevazione .............................................................................. » 1909.4. Azioni sulla ciabatta di fondazione ........................................................................... » 1929.5. Azioni sulla palificata ............................................................................................... » 1939.6. Calcolo della portanza dei pali .................................................................................. » 199 9.6.1. Portata laterale dei pali – terreni coerenti .................................................... » 199 9.6.2. Portata laterale dei pali – terreni incoerenti ................................................ » 200 9.6.3. Portata di base dei pali – terreni coerenti .................................................... » 201 9.6.4. Portata di base dei pali – terreni incoerenti ................................................. » 2019.7. Verifiche di portanza secondo D.M. 14 gennaio 2008 ............................................. » 201

10. Interazione suolo-struttura ......................................................................................... » 20510.1. Premessa ................................................................................................................... » 20510.2. Pile caricate assialmente – curva carico/spostamento (interazione suolo terreno) ... » 205


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10.2.1. Curva di trasferimento dei carichi (Randolph e Wroth, 1978) – analisi elastica .......................................................................................... » 205 10.2.2. Curva di trasferimento dei carichi (Randolph e Wroth, 1978) – analisi non lineare ..................................................................................... » 210 10.2.3. Schemi e procedure di calcolo .................................................................... » 211 10.2.4. Applicazioni pratiche .................................................................................. » 21310.3. Pile soggette a carichi laterali – curva carico/spostamento (interazione suolo terreno) » 213 10.3.1. Analisi elastica ............................................................................................ » 213 10.3.2. Analisi plastica ............................................................................................ » 215 10.3.3. Schemi e procedure di calcolo .................................................................... » 216 10.3.4. Applicazioni pratiche .................................................................................. » 218 Bibliografia ............................................................................................................... » 219

PARTE IIStrumenti Per la Progettazione

1. Generalità ..................................................................................................................... » 2231.1. Premessa ................................................................................................................... » 2231.2. Descrizione dei fogli di calcolo ................................................................................ » 2241.3. Come scaricare i fogli di calcolo .............................................................................. » 225

2. Diagramma momento curvatura di sezioni qualsiasi in cemento armato ................ » 2272.1. Premessa ................................................................................................................... » 2272.2. Metodologia di calcolo ............................................................................................. » 2282.3. Definizione delle variabili ........................................................................................ » 2312.4. Stampa del foglio di calcolo ..................................................................................... » 2332.5. Possibili variazioni .................................................................................................... » 243

3. Analisi pushover secondo d.m. 14 gennaio 2008: calcolo della curva di capacità del sistema SDOF equivalente ................................................................... » 2473.1. Premessa ................................................................................................................... » 2473.2. Descrizione del foglio di calcolo .............................................................................. » 2473.3. Stampa del foglio di calcolo ..................................................................................... » 250

4. Verifica instabilità locale trave in acciaio secondo EN 1993-1-5 ............................... » 2574.1. Premessa ................................................................................................................... » 2574.2. Stampa del foglio di calcolo ..................................................................................... » 2584.3. Possibili variazioni ................................................................................................... » 271

5. Interazione suolo-struttura pali di fondazione ............................................................ » 2735.1. Premessa ................................................................................................................... » 2735.2. Descrizione del foglio di calcolo .............................................................................. » 273


Ponti

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5.2.1. Palo soggetto ad azione assiale ................................................................... » 273 5.2.2. Palo soggetto ad azioni laterali .................................................................... » 2755.3. Stampa del foglio di calcolo ..................................................................................... » 277

PARTE IIIeSemPi Pratici di calcolo

1. Dimensionamento e verifica di un ponte a tre campate con impalcato a graticcio ... » 2911.1. Introduzione .............................................................................................................. » 291 1.1.1. Premessa ...................................................................................................... » 291 1.1.2. Descrizione dell’opera ................................................................................. » 291 1.1.3. Materiali ...................................................................................................... » 292 1.1.4. Normativa .................................................................................................... » 2921.2. Calcolo delle caratteristiche statiche di rigidezza ..................................................... » 293 1.2.1. Discretizzazione della struttura ................................................................... » 293 1.2.2. Larghezze collaboranti della soletta ............................................................ » 293 1.2.3. Effetti della viscosità ................................................................................... » 295 1.2.4. Caratteristiche inerziali per l’analisi globale ............................................... » 2961.3. Analisi dei carichi ..................................................................................................... » 298 1.3.1. Pesi propri ................................................................................................... » 298 1.3.2. Permanenti portati ....................................................................................... » 300 1.3.3. Ritiro del calcestruzzo ................................................................................. » 301 1.3.4. Variazioni termiche differenziali ................................................................ » 302 1.3.5. Variazione termiche uniformi ..................................................................... » 303 1.3.6. Azione longitudinale di frenamento ............................................................ » 303 1.3.7. Carichi mobili .............................................................................................. » 303 1.3.8. Effetti dinamici dei carichi mobili .............................................................. » 306 1.3.9. Azione del vento .......................................................................................... » 306 1.3.10. Resistenza parassita dei vincoli ................................................................... » 3071.4. Calcolo delle sollecitazioni nell’analisi statica ......................................................... » 307 1.4.1. Premessa ...................................................................................................... » 307 1.4.2. Descrizione dei modelli per l’analisi globale .............................................. » 307 1.4.3. Applicazione dei carichi di progetto ........................................................... » 3091.5. Verifica travi portanti ................................................................................................ » 314 1.5.1. Premessa ...................................................................................................... » 314 1.5.2. Sollecitazioni di calcolo .............................................................................. » 314 1.5.3. Calcolo dell’influenza della fessurazione nell’analisi globale .................... » 316 1.5.4. Larghezza efficace della soletta .................................................................. » 316 1.5.5. Verifica delle sezioni trasversali ................................................................. » 317 1.5.5.1. Sezione di verifica SV1 (appoggio pila) ........................................ » 317 1.5.5.1.1. Premessa ...................................................................................... » 317 1.5.5.1.2. Verifica tensionale ....................................................................... » 318


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1.5.5.1.3. Verifica all’instabilità degli elementi per pressoflessione .......... » 320 1.5.5.1.4. Verifica all’instabilità per taglio ................................................. » 324 1.5.5.1.5. Verifica all’instabilità per effetti combinati di taglio, azione assiale e momento flettente ............................................................. » 325 1.5.5.1.6. Verifica degli irrigidimenti trasversali intermedi ........................ » 327 1.5.5.1.7. Verifica degli irrigidimenti trasversali sugli appoggi ................. » 330 1.5.5.1.8. Verifica delle saldature ................................................................ » 331 1.5.5.2. Sezione di verifica SV2 (mezzeria campata centrale) .................... » 332 1.5.5.2.1. Premessa ...................................................................................... » 332 1.5.5.2.2. Verifica tensionale ....................................................................... » 333 1.5.5.2.3. Verifica all’instabilità degli elementi per pressoflessione .......... » 333 1.5.5.2.4. Verifica giunzioni bullonate ........................................................ » 334 1.5.6. Verifica connettori ....................................................................................... » 339 1.5.7. Verifica traversi ........................................................................................... » 341 1.5.7.1. Premessa ......................................................................................... » 341 1.5.7.2. Traversi intermedi .......................................................................... » 341 1.5.7.3. Diaframmi ...................................................................................... » 3431.6. Verifica soletta in calcestruzzo ................................................................................. » 344 1.6.1. Verifica lastre predalles ............................................................................... » 344 1.6.1.1. Verifica sezione all’appoggio ......................................................... » 345 1.6.1.2. Verifica sezione in campata ........................................................... » 346 1.6.2. Verifica trasversale soletta .......................................................................... » 347 1.6.2.1. Carichi permanenti ......................................................................... » 347 1.6.2.2. Carichi mobili ................................................................................. » 347 1.6.2.3. Folla sui marciapiedi ...................................................................... » 351 1.6.2.4. Sollecitazioni e verifiche ................................................................ » 3511.7. Verifica pile .............................................................................................................. » 354 1.7.1. Premessa ...................................................................................................... » 354 1.7.2. Elevazioni .................................................................................................... » 354 1.7.3. Palificata ...................................................................................................... » 359 1.7.4. Platea di fondazione .................................................................................... » 3641.8. Verifica spalle ........................................................................................................... » 364 1.8.1. Premessa ...................................................................................................... » 364 1.8.2. Verifica del paraghiaia ................................................................................ » 366 1.8.2.1. Parametri geotecnici ....................................................................... » 366 1.8.2.2. Carichi orizzontali da traffico ........................................................ » 366 1.8.2.3. Azioni sovraccarico ........................................................................ » 368 1.8.3. Verifica delle elevazioni .............................................................................. » 368 1.8.4. Verifica delle ciabatte di fondazione e della palificata ............................... » 370

2. Esempio di calcolo di un ponte a graticcio cassonato ................................................. » 3732.1. Premessa ................................................................................................................... » 373


Ponti

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2.2. Caratteristiche inerziali ............................................................................................. » 3732.3. Analisi delle sollecitazioni e verifiche ...................................................................... » 374

3. Esempio di verifica di una sezione a cassone ............................................................... » 3773.1. Premessa ................................................................................................................... » 3773.2. Calcolo delle proprietà statiche della sezione ........................................................... » 378 3.2.1. Fase zero ...................................................................................................... » 379 3.2.2. Fasi 1-3 ........................................................................................................ » 3803.3. Verifiche tensionali ................................................................................................... » 382

PARTE IVi tollS

1. Fenomeni lenti e modellazione per fasi ....................................................................... » 3871.1. Premessa ................................................................................................................... » 3871.2. Impostazione del problema ....................................................................................... » 3871.3. Modellazione della soletta ........................................................................................ » 3881.4. Ritiro (shrinkage) ...................................................................................................... » 3891.5. Viscosità (creep) ....................................................................................................... » 3901.6. Fasi costruttive .......................................................................................................... » 391

2. Automazione analisi di ponti in misto acciaio calcestruzzo – il massimo dello stato dell’arte .................................................................................. » 3932.1. Premessa ................................................................................................................... » 3932.2. Carichi mobili ........................................................................................................... » 3942.3. Effetti reologici, costruzione per fasi e sezioni miste ............................................... » 3952.4. Progettazione e verifica ............................................................................................ » 397

3. Interazione terreno-struttura ....................................................................................... » 3993.1. Premessa ................................................................................................................... » 3993.2. Calcolo della rigidezza della palificata – Analisi lineare ......................................... » 4003.3. Calcolo della rigidezza della palificata – Analisi non-lineare .................................. » 401

4. Analisi statica non-lineare (push over) ........................................................................ » 4034.1. Introduzione .............................................................................................................. » 4034.2. Modello FEM ............................................................................................................ » 4034.3. Analisi modale .......................................................................................................... » 4054.4. Diagramma momento-curvatura sezione .................................................................. » 4074.5. Analisi non-lineare statica ........................................................................................ » 409 4.5.1. Sistema di forze o di spostamenti? .............................................................. » 409 4.5.2. Fattore di partecipazione modale ................................................................ » 4134.6. Curva di capacità reale e del SDOF equivalente ...................................................... » 416


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5. Verifiche delle sezione miste con il software “impalcati” ........................................... » 4195.1. Introduzione .............................................................................................................. » 4195.2. Caratteristiche meccaniche delle sezioni per il calcolo delle sollecitazioni ............. » 4195.3. Verifica delle sezioni ................................................................................................ » 4235.4. Verifica per instabilità locale delle piattabande ........................................................ » 4245.5. Verifica giunzioni bullonate ..................................................................................... » 4255.6. Relazione di calcolo .................................................................................................. » 426

6. Calcolo delle spalle di ponti con il software “spalle” .................................................. » 4276.1. Introduzione .............................................................................................................. » 4276.2. Caratteristiche geometriche della spalla ................................................................... » 4276.3. Condizioni di carico e combinazioni ........................................................................ » 4286.4. Sollecitazioni sulla spalla .......................................................................................... » 4296.5. Azioni sulla palificata ............................................................................................... » 4306.6. Verifica portanza palificata ....................................................................................... » 4316.7. Relazione di calcolo .................................................................................................. » 431


17

Premessa

Quando, nel settembre 2006, mi fu proposto di scrivere questo libro, accettai l’incarico solo dopo aver trovato una risposta alla domanda: “Cosa differenzia un ponte dalle altre struttu-re?”. La domanda, nella sua banalità, cela al suo interno riflessioni non del tutto scontate. Come ama ripetere l’ingegnere, e amico, Daniele Sartori “in fin dei conti, un ponte è una trave”, ed è sottoposto a sollecitazioni di pressoflessione, taglio e torsione. I mezzi di analisi necessari allo studio dei ponti non possono, o non dovrebbero, essere diversi da quelli a disposizione di un ingegnere per la verifica di una trave di un solaio. Alla domanda, voluta-mente retorica, ho trovato le seguenti risposte, sul solco delle quali l’intera opera è stata con-cepita: a. la peculiarità dei carichi agenti; b. l’entità delle variabili in gioco (carichi, masse, sollecitazioni...); c. la rilevanza dei danni, non solo materiali, provocati nell’eventualità di un fallimento strutturale; d. l’alta percentuale dei costi delle strutture sul costo totale dell’opera. La progettazione di un ponte, pur attingendo a modelli strutturali tipici dell’analisi delle strut-ture, è condizionata, e per questo se ne differenzia, da necessità connesse inscindibilmente alle specificità sopra elencate. In primo luogo, è necessario utilizzare metodologie di calcolo di elevata affidabilità, che il progettista sia in grado di padroneggiare e che consentano con-tinue e agili verifiche; in secondo luogo, e per contrasto, è conveniente utilizzare sofisticate tecniche di calcolo, e/o avviare cicli di ottimizzazione, finalizzate alla riduzione del costo finale dell’opera. In tal senso ho evidenziato i principali aspetti che influenzano la risposta statica e dinamica della struttura di un ponte, organizzando il testo in modo da ripercorrere le principali fasi progettuali, nell’intento di fornire all’ingegnere un iter progettuale standard fa-cilmente riproducibile. Per quanto detto, il libro è rivolto principalmente ad ingeneri che per la prima volta si confrontano con tali tipologie strutturali, nella speranza che anche ingeneri di più consolidata esperienza possano trovare elementi se non illuminanti, quantomeno utili. L’opera è suddivisa in 4 parti:

PARTE 1Oltre alla descrizione generale degli elementi che costituiscono un ponte (capitoli 1 e 2), sono presentati gli elementi necessari per il calcolo delle sollecitazioni agenti, segnatamente: i ca-richi di progetto (capitolo 3); la schematizzazione statica della struttura (capitolo 4); elementi di dinamica delle strutture e schematizzazione sismica dei ponti (capitolo 5). Nei rimanenti capitoli sono presentate le principali metodologie per le verifiche della struttura, quindi: la verifica della struttura portante longitudinale (capitolo 6); la verifica all’instabilità locale, o imbozzamento, delle anime delle travi in acciaio (capitolo 7); la verifica della soletta in cal-


18

Ponti

cestruzzo (capitolo 8); la verifica delle sottostrutture (capitolo 9), la valutazione dei fenomeni di interazione suolo-struttura.

PARTE 2 In questa parte le metodologie più complesse sono implementate passo-passo accompagnan-do il lettore nello sviluppo delle analisi che sono alla base del workflow di progettazione di un ponte. Se nella parte prima si è appreso il metodo, in questa si danno gli strumenti per la progettazione. Nozioni teoriche che rischiano di rimanere tali sono analizzate nel detta-glio per diventare procedure, tecniche e metodologie pronte all’uso. Gli argomenti affrontati sono: il calcolo del diagramma momento curvatura delle sezioni in cemento armato (capitolo 2), l’analisi pushover (capitolo 3), la verifica di instabilità locale delle piastre compresse (capitolo 4), l’interazione suolo-struttura (capitolo 5).

PARTE 3 Sono presentati esempi pratici di calcolo di ponti in misto acciaio-calcestruzzo. Le procedure di calcolo, richiamate nella precedente parte, sono riportate per esteso in modo da proporre al lettore una procedura di calcolo quanto più dettagliata possibile e facilmente ripercorribile. Sono analizzati in particolare: un ponte a graticcio in misto acciaio-calcestruzzo con strutture metallica a doppio T (capitolo 1); un ponte a graticcio cassonato in misto acciaio-calcestruz-zo (capitolo 2); un ponte in misto acciaio-calcestruzzo con struttura metallica inferiore a cassone (capitolo 3).

PARTE 4Questa parte è concepita come collegamento tra studio accademico e pratica professionale. Nel “mondo reale” è imprescindibile fare affidamento a software di calcolo per automatizza-re e (quindi) velocizzare l’analisi, la verifica e la progettazione dei ponti. Fatalmente, l’iter di progettazione risulta fortemente condizionato anche dalle caratteristiche e dalle funzionalità che questi programmi forniscono. Detto altrimenti, e semplificando, la progettazione dipende anche dallo stato dell’arte dei software presenti in commercio. Ed è appunto questo l’obiet-tivo di questa parte: il punto sullo stato dell’arte dei cosiddetti tools. Oltre a velocizzare il lavoro (trattato nei capitoli da 2 a 6), l’opportunità è quella di risolvere numericamente pro-blemi che sarebbe impossibile risolvere analiticamente. Così è ad esempio per lo studio dei fenomeni lenti di ritiro e viscosità (trattato nel capitolo 1).


PARTE I

Ponti: elementi per il calcolo e la verifica


21

1. Generalità

1.1. IntroduzioneLe riflessioni che accompagnano un ingegnere, nelle fasi di progettazione, nascono sia da precisi criteri compositivi e strutturali sia da esigenze pratiche di natura tecnica e fun-zionale. Questi aspetti, sempre diversi e specifici, devono essere analizzati nell’unicità dell’occasione che rappresentano. La progettazione di un ponte presenta delle problematiche precise che condizionano, spesso in modo determinante, le scelte costruttive. Nella tecnica costruttiva è necessario valutare:

• la possibilità di prevedere pile intermedie in modo da ridurre la luce di calcolo dell’impalcato;

• la larghezza della strada servita;• i carichi di progetto della strada (o della passerella) servita;• la necessità di contenere l’altezza d’ingombro dell’impalcato;• la possibilità di trasportare in opere ingombranti elementi strutturali realizzati in of-

ficina.

La diversa combinazione dei vincoli, delle esigenze appena descritte e di altri importanti fattori come la capacità portante del terreno, le esigenze estetiche, ecc., ha condotto all’adozione, da parte degli ingegneri, di numerose soluzioni tecniche fra loro differenti, ognuna delle quali opportuna nel contesto storico-geografico in cui il ponte deve collo-carsi; anche contesti simili non comportano mai un’univoca risposta alle problematiche di progettazione.Molteplici sono le possibili classificazioni dei ponti: in funzione del materiale della struttura portante (acciaio, calcestruzzo, legno, ecc.), dell’ostacolo da superare (fiumi, altre strade, ecc.), dello schema statico o della tipologia della viabilità servita (ponti stradali, ponti ferroviari, passerelle).Per una descrizione esaustiva delle possibili classificazioni dei ponti si veda Petrangeli M.P., Progettazione e costruzione di ponti, 1996.Qui è di specifico interesse la sola caratterizzazione dei ponti secondo il loro schema statico. In base a questo dato, infatti, si distinguono in:

• ponti a travata (figura 1.1)• ponti ad arco (figura 1.2)


Parte I Ponti: elementi per il calcolo strutturale

22

• ponti strallati (figura 1.3)• ponti sospesi (figura 1.4).

Ponti a travata

Sono quelli la cui struttura principale è composta da una o più travi longitudinali appog-giate alle sottostrutture (pile e spalle) e sollecitate prevalentemente da azioni taglianti e da momenti flettenti. Le travi possono essere a parete piena o di tipo reticolare. Dal punto di vista dei materiali, ponti stradali e ponti ferroviari sono normalmente realizzati con travi prefabbricate in calcestruzzo precompresso, oppure in acciaio con soletta in calcestruzzo collaborante; raramente si adottano travi in calcestruzzo gettato in opera. Per le passerelle è frequente l’utilizzo di travate in legno lamellare, soprattutto per il risultato estetico.

Figura 1.1. Ponte a travata Figura 1.2. Ponte ad arco

Ponti ad arco

Sono caratterizzati da una struttura portante principale ad arco, oppure curvilinea, solle-citata prevalentemente da azioni di compressione. L’arco si sviluppa solitamente nella parte superiore dell’impalcato, che risulta appoggiato all’arco stesso attraverso elementi verticali, tesi, detti pendini.

Ponti Strallati

Sono caratterizzati da cavi rettilinei collegati a un pilone detto antenna e all’impalcato. A causa dell’inclinazione delle funi, l’impalcato è soggetto a forze orizzontali di com-pressione o trazione ed è, per questo, costituito da una travata in grado di sopportare tali azioni.

Ponti SoSPeSi

La struttura principale dei ponti sospesi è caratterizzata da funi di ridotta rigidezza fles-sionale, in grado di assumere una conformazione curvilinea stabile che, attraverso gli elementi di sospensione, sorregge l’impalcato.


Generalità cap 1

23

Figura 1.3. Ponte strallato Figura 1.4. Ponte sospeso

L’eterogeneità delle possibili soluzioni costruttive si riflette, come ovvia conseguenza, nelle procedure di calcolo da adottare nell’analisi strutturale. Così, per esempio, la mo-dellazione di un ponte strallato è molto diversa dalla modellazione di un ponte a travata o ad arco. È evidente l’impossibilità di proporre un testo che sia esaustivo in un campo così vasto, complesso e in continua evoluzione.Fatta questa doverosa premessa, può essere osservato che il vincolo che maggiormente condiziona la progettazione di un ponte è la luce massima coperta. Per un giovane inge-gnere strutturista, ma anche per la maggior parte degli ingegneri di consolidata esperien-za, la possibilità di ricevere un incarico per la progettazione di un ponte di grande luce (tale da doversi prevedere una struttura ad arco, strallata o, peggio, sospesa) è ridotta. Infatti, la maggior parte degli incarichi che vengono affidati si riferiscono a ponti di luci modeste (inferiore ai 60 m) come cavalcaferrovie, cavalcavia, sottopassi e così via. Per questi ultimi, il campo delle possibili scelte tipologiche si restringe enormemente per-mettendo quindi, almeno nelle intenzioni degli autori, di dare risposte a problematiche che di frequente, si presentano nello svolgimento di quest’attività professionale.Per ponti di luce ordinaria (fino a 100 m), la tipologia più competitiva dal punto di vi-sta economico è senz’altro quella a travata, con travi a parete piena. Le travi possono essere realizzate sia in calcestruzzo precompresso (solitamente per luci modeste), sia in acciaio. Nel caso di struttura metallica, inoltre, le travi principali sono spesso collegate alla soletta in calcestruzzo dell’impalcato attraverso sistemi di collegamento a taglio, in modo da formare una struttura portante mista acciaio-calcestruzzo. Nel prosieguo si farà costantemente riferimento alle problematiche e alle esigenze relative ai ponti in acciaio a parete piena. Si fa notare che, comunque, la maggior parte degli argomenti trattati posso-no ritenersi validi per ponti con travata in calcestruzzo prefabbricato. Inoltre, argomenti quali l’analisi dei carichi, la verifica delle sottostrutture, l’analisi sismica, la verifica del-le strutture metalliche, possono ritenersi generali per un più ampio campo di interesse.

1.2. Caratteristiche dei ponti a travata a parete pienaI ponti a travata a parete piena possono essere così classificati:



24

• ponti a graticcio (figura 1.5)• ponti a cassone• ponti a graticcio cassonati.

imPalcati a graticcio

Sono costituiti da un numero variabile di travi longitudinali, fra loro affiancate e colle-gate puntualmente da elementi irrigidenti trasversali detti traversi.

Figura 1.5. Sezione d’impalcato a graticcio

Le travi principali, poste a interasse i, e i traversi posti a interasse j, formano una struttu-ra portante a graticcio a maglie rettangolari i × j.Per luci modeste (fino a 30 m) si utilizzano travi prefabbricate in cemento armato pre-compresso; per luci maggiori, sono economicamente vantaggiose le travi saldate a dop-pio T in acciaio. L’incidenza della mano d’opera e la crescente offerta di prodotti pre-fabbricati hanno fatto perdere convenienza alle travi in cemento armato gettato in opera.Dal punto di vista del comportamento strutturale, gli impalcati a graticcio si differenziano da quelli a cassone per la ridotta rigidezza torsionale delle travi che li compongono. In-fatti, gli impalcati a graticcio non contrasta-no le sollecitazioni torcenti per merito del-la rigidezza torsionale dei singoli elementi e/o della sezione composta (travi-soletta) nel suo insieme. Quando sono sottoposti a un’azione verticale agente con eccentrici-tà e rispetto al baricentro dell’impalcato, il momento torcente risultante è equilibra-to attraverso un’asimmetrica distribuzione delle azioni verticali sulle singole travi. Si consideri il semplice esempio rappresentato in figura 1.6.Il carico F, attraverso la soletta, si trasferisce sulle singole travi in maniera differente e nel rispetto dell’equilibrio globale della struttura. La quota parte del carico F trasferito sulla trave i-esima può essere definita come:

ci = Ri/F

Figura 1.6. Comportamento strutturale degli impalcati


Generalità cap 1

25

Il valore dei coefficienti ci è funzione di diverse variabili fra le quali:

• la rigidezza flessionale dei traversi• la rigidezza torsionale delle travi longitudinali• la rigidezza flessotorsionale della soletta• la rigidezza torsionale dei traversi (anche se in minima parte).

Se F è applicato in corrispondenza di una delle travi del graticcio, possono distinguersi tre casi limite:

1) in caso di assenza di traversi, il carico F è trasmesso interamente sulla trave cari-cata, quindi ci = 1 (figura 1.7);

2) in caso sia presente un traverso di infini-ta rigidezza, in corrispondenza della se-zione caricata, le travi longitudinali sono soggette a una rototraslazione rigida (fi-gura 1.8). Il carico F si ripartisce in modo non uniforme sulle travi longitudinali e le travi di riva risultano le più caricate;

3) se, nel caso precedente, si assegna infini-ta rigidezza torsionale alle travi longitu-dinali, e si dispongono vincoli alla rota-zione in corrispondenza degli appoggi, la deformata che può assumere la travata è del tipo rappresentato in figura 1.9. Il carico F è uniformemente distribuito su tutte le travi, quindi:

ci = 1/NdoveN = numero delle travi del graticcio (fi-gura 1.9).

Negli esempi limite sopra descritti, la forza F agisce in corrispondenza di una sezione dove è posizionato un traverso; ipotesi non necessariamente vera per tutti i carichi. Non si presenterà una trattazione teorica esau-stiva sulla valutazione analitica di come i carichi verticali si ripartiscono sulle tra-vi principali (valutazione dei coefficienti ci) al variare delle principali caratteristiche dell’impalcato (si rimanda per questo alla letteratura specifica). Gli esempi sinora de-scritti hanno come fine quello di dimostrare come la rigidezza dei traversi, quindi il loro numero, e la rigidezza torsionale delle travi longitudinali contribuiscano alla ripartizione di un carico F sulle travi di un impalcato a graticcio.

Figura 1.7. Rigidezza nulla dei traversi

Figura 1.8. Traverso di rigidezza infinita

Figura 1.9. Traverso di infinita rigidezza e travi longitudinali di infinita rigidezza torsionale



26

Lo sviluppo dei codici di calcolo agli elementi finiti e la rapidità con la quale molti di essi permettono la modellazione di strutture anche complesse hanno fatto sì che, nella maggior parte dei casi, per l’analisi del comportamento strutturale dei graticci, si utiliz-zino codici di calcolo automatico, a discapito delle procedure analitiche.Ciò detto, è parere di chi scrive che sia opportuno effettuare il predimensionamento della struttura attraverso procedure di tipo analitico, semplificate, e per questo più controlla-bili. Quando si effettuano raffinate analisi agli elementi finiti, il predimensionamento svolge la doppia funzione di individuazione approssimata delle principali dimensioni strutturali e di conferma della validità dell’analisi finale, la cui grande precisione di calcolo può comportare un difficoltoso controllo dei parametri di input.Per questo tipo di verifiche è prezioso il metodo di Courbon per la sua grande semplicità. Il metodo si basa sulle seguenti ipotesi:

• la rigidezza torsionale delle travi longitudinali è trascurabile;• sono presenti infiniti traversi infinitamente rigidi.

Secondo queste ipotesi, per un qualunque carico con-centrato F applicato sul graticcio, la deformata è del tipo rappresentato in figura 1.8; il carico trasmesso alla trave i-esima è pari a (figura 1.10):

doveMt = F · eN = numero di travi.

Anche se molto semplificato, il metodo di Courbon trova conforto nei dati sperimentali, soprattutto nei graticci formati da un ristretto numero di travi.

Ponti a caSSone

I ponti a cassone sono costituiti da pareti piane, collegate in modo da formare una sezio-ne scatolare chiusa. Questa caratteristica conferisce al cassone, diversamente dai ponti a graticcio, grande rigidezza torsionale. Solitamente, le pareti inferiori e laterali verticali sono realizzate in acciaio, mentre la chiusura superiore è garantita dalla soletta in calcestruzzo che fa anche da piattaforma stradale (figura 1.11).

Figura 1.10. Carico trasmesso alla trave i-esima

RFN

x Mxi

i t

jj

= +Σ 2


Generalità cap 1

27

Fra i vantaggi di questa tipologia d’impalca-ti può citarsi di sicuro:

• effetto estetico gradevole;• possibilità di sfruttare l’interno del cas-

sone per il passaggio di impianti;• utilizzo di pile più snelle rispetto agli im-

palcati a graticcio (figura 1.12).

Ponti a graticcio caSSonati

I ponti a graticcio cassonato hanno impalca-ti a graticcio; le travi longitudinali, in corri-spondenza delle piattabande inferiori, sono collegate attraverso una controventatura orizzontale, formando, così, sezioni di tipo scatolare in cui il controvento stesso fun-ge da piastra inferiore, le anime delle travi fungono da piastre verticali, infine la soletta funge da piastra di chiusura. Come mostrato in figura 1.13, il numero di sezioni scatolari che si possono realizzare varia e dipende dal numero di travi longitudinali; nell’esempio sono state collegate a cassone due coppie di travi a formare due cassoni torsiorigidi.

Figura 1.13. Sezioni scatolari

Figura 1.11. Ponte a cassone in acciaio e soletta in calcestruzzo

Figura 1.12. Raffigurazione delle pile da utilizzare nei ponti a cassone


29

2. Elementi costitutivi di un ponte

2.1. IntroduzioneMolteplici sono gli elementi che concorrono alla funzionalità di un ponte; oltre al so-stegno dei carichi di progetto, infatti, devono essere garantiti gli standard previsti per la viabilità servita: sicurezza, illuminazione, smaltimento acque. Nei paragrafi che seguono si riporta la descrizione dei principali elementi che caratterizzano le tipologie strutturali descritte nel capitolo 1, e quelle relative ai ponti a travata.Per quanto riguarda la struttura portante dell’impalcato, si farà riferimento al solo caso di ponte a travata metallica a parete piena; per il libero professionista interesse minore ricopre lo studio dei dettagli costruttivi delle strutture in calcestruzzo prefabbricato, es-sendo quest’ultimo spesso demandato al prefabbricatore.

2.2. Soletta superioreNel caso più generale, i ponti a travata sono composti da una struttura portante inferiore e da una serie di elementi strutturali superiori che costituiscono il supporto dell’intero piano viario. Tale supporto è solitamente realizzato attraverso soletta in cemento armato o, nei casi di ponti di grande luce, da una struttura portante in acciaio (piastra ortotropa). Quest’ultima soluzione è di scarso interesse nella progettazione di ponti a travata di luce ordinaria; saranno trattati, quindi, i soli impalcati composti da soletta superiore in cemento armato del tipo rappresentato in figura 2.1.

Figura 2.1. Sezione tipo di un impalcato stradale


Analisi dei carichi cap 3

43

La rigidezza J2 della travata nella fase di abbassamento, comprensiva di soletta collabo-rante, è maggiore della rigidezza J1 nella fase di sollevamento. Quindi, la sezione in ap-poggio rimane soggetta, per effetto delle deformazioni imposte, a un momento flettente positivo. In definitiva, l’effetto è quello di alleviare il momento negativo nelle sezioni in appoggio della pila, solitamente le più sollecitate. Come ovvia conseguenza si produce un aumento del momento positivo in campata.

3.5. Effetti reologici: ritiro (ε2)

Gli effetti del ritiro devono essere considerati tenendo conto che in una struttura iso-statica in misto acciaio calcestruzzo, il ritiro crea uno stato tensionale auto equilibrato nella sezione, di trazione sul calcestruzzo e compressione sull’acciaio (effetto isostati-co). Nelle strutture iperstatiche, questi effetti devono essere sommati agli effetti delle sollecitazioni dovute alle deformazioni impedite (effetti iperstatici). Metodologie per la valutazione dell’effetto del ritiro sulle strutture sono presentate nel paragrafo 4.5.2; nel seguito si riportano i valori di deformazione εc provocate dal ritiro sul calcestruzzo libero di deformarsi, previsti nelle vigenti norme nazionali ed europee.

3.5.1. Calcolo delle deformazioni secondo il D.M. 14 gennaio 2008Il D.M. 14 gennaio 2008 esprime la deformazione totale da ritiro come somma delle sue componenti dovute al ritiro per essiccamento e al ritiro autogeno (punto 11.2.10.6 della normativa):

εcs = εcd + εca

doveεcs = deformazione totale per ritiroεcd = deformazione per ritiro da essiccamentoεca = deformazione per ritiro autogeno.

A tempo infinito i due termini assumono i valori:

εcd,∞ = kh · εc0

εcd,∞ = – 2,5 · (fck – 10) · 10–6 con fck in MPa

kh e εc0 possono essere ottenuti dalle tabelle 3.1 e 3.2 in funzione dei seguenti parametri:

- la dimensione fittizia in mm h0 = 2Ac/u - l’area della sezione del conglomerato Ac

- il perimetro a contatto con l’atmosfera u - la resistenza a compressione fck.

I valori così ottenuti sono ritenuti validi qualora non si utilizzino additivi speciali. Per valori intermedi si interpola linearmente.



44

Tabella 3.1. Deformazioni εc0

fck

Deformazione da ritiro per essicamento (‰)

Umidità relativa (%)

20 40 60 80 90 100

20 – 0,62 – 0,58 – 0,49 – 0,30 – 0,17 0,00

40 – 0,48 – 0,46 – 0,38 – 0,24 – 0,13 0,00

60 – 0,38 – 0,36 – 0,30 – 0,19 – 0,10 0,00

80 – 0,30 – 0,28 – 0,24 – 0,15 – 0,07 0,00

Tabella 3.2. Valori di kh

h0 (mm) kh

100 1

200 0,85

300 0,75

≥ 500 0,7

3.5.2. Calcolo delle deformazioni secondo EC2 – aggiornamento 2005La deformazione per ritiro secondo EC2 (novembre 2005) è calcolata in modo identico alle norme tecniche.

3.5.3. Calcolo delle deformazioni secondo EC2 – prima edizione 1991La versione precedente dell’EC2 (1991) considerava il ritiro attraverso la seguente equazio-ne (può essere utile nel caso sia necessario verificare ponti calcolati con questo riferimento):

εcs(t – ts) = εcs0 · βs(t – ts)dovet = età del calcestruzzo in giornits = età del calcestruzzo, in giorni, al momento della contrazioneεcs0 = εs(fcm) · βRH

βs(t – ts) = [(t – ts)/(0,035 · h02 + t – ts)]0,5

h0 = 2 · Ac/u (dimensione fittizia in millimetri)εs(fcm) = [160 + βsc · (90 – fcm)] · 10–6

βRH = – 1,55 · βsRH per strutture esposte all’ariaβRH = 0,25 per strutture immerseβsRH = 1 – (RH/100)3

RH = umidità relativa

βsc =

4 per calcestruzzoa lento indurimento – S5per callcestruzzo indurimentomedioorapido – N, R

8per callcestruzzoa rapido indurimentoealta resistenza – RRS

⎧

⎨⎪

⎩⎪⎪



45

potendo porre:fcm = fck + 8 MPa (con fck in MPa)

In alternativa si possono assumere i valori riportati in tabella 3.3.

Tabella 3.3. Deformazioni finali εcs per ritiro (calcolo semplificato)

h0 < 150 mm h0 = 600 mm Umidità relativa dell’atmosfera

0,33 0,28 80%

0,60 0,50 50%

3.6. Effetti reologici: viscosità (ε2)Nelle strutture isostatiche in misto acciaio-calcestruzzo, gli scorrimenti viscosi provo-cano una migrazione degli sforzi dalla soletta alla struttura metallica, con conseguente aumento delle tensioni nell’acciaio e diminuzione delle tensioni nel conglomerato. L’ef-fetto si accompagna a deformazioni dell’impalcato che, se impedite (strutture iperstati-che), generano sollecitazioni sulla struttura. Gli effetti della viscosità sono trattati più in dettaglio nei paragrafi 4.4.1 e 4.4.2. Qui si riportano i valori del coefficiente di viscosità φ(ts, t0) previsti nelle vigenti normative nazionali ed europee.

3.6.1. Calcolo dei coefficienti secondo il D.M. 14 gennaio 2008Il D.M. 14 gennaio 2008 ammette, per conglomerati sottoposti a una tensione di com-pressione σc ≤ 0,45 · fckj al tempo t0 = j, i valori del coefficiente finale di viscosità φ(t∞, t0) riportati nelle tabelle 3.4 e 3.5.

Tabella 3.4. Valori di φ(t∞, t0). Atmosfera con umidità relativa di circa 75%

t0 (gg) h0 ≤ 75 mm h0 = 150 mm h0 = 300 mm h0 ≥ 600 mm

3 3,5 3,2 3 2,8

7 2,9 2,7 2,5 2,3

15 2,6 2,4 2,2 2,1

30 2,3 2,1 1,9 1,8

> 60 2 1,8 1,7 1,6

Tabella 3.5. Valori di φ(t∞, t0). Atmosfera con umidità relativa di circa 55%

t0 (gg) h0 ≤ 75 mm h0 = 150 mm h0 = 300 mm h0 ≥ 600 mm

3 4,5 4,0 3,6 3,3

7 3,7 3,3 3,0 2,8

15 3,3 3,0 2,7 2,5

30 2,9 2,6 2,3 2,2

> 60 2,5 2,3 2,1 1,9



46

Si ha che:

h0 = 2Ac/u (dimensione fittizia)

Per la valutazione del coefficiente di viscosità per tempi intermedi diversi da t = ∞ il decreto rimanda all’EC2.

3.6.2. Calcolo dei coefficienti secondo EC2Il coefficiente di viscosità φ(t, t0) è dato, secondo l’appendice B dell’EC2, dalla seguente equazione:

φ(t, t0) = φ0 · βc(t – t0)

dovet = età del calcestruzzo in giorni al momento consideratot0 = età del calcestruzzo in giorni al momento del caricoβc(t – t0) = [(t – t0)/(βH + t – t0)]0,3

φ0 = φRH · β(fcm) · β(t0)

essendo:

per fcm ≤ 35 MPa

per fcm > 35 MPa

βH = 1,5[1 + (0,012 · RH)18] · h0 + 250 ≤ 1500 per fcm ≤ 35 MPa

βH = 1,5[1 + (0,012 · RH)18] · h0 + 250α3 ≤ 1500α3 per fcm > 35 MPa

e doveRH = umidità ambientale relativaAc = area della sezione in conglomeratou = perimetro a contatto con l’atmosfera.

RH

RH

h= +

−

⋅1

1 1000 10 0

3,φ

α αRH

RHh

= +−

⋅⋅

⋅1

1 1000 10 0

3 1 2,φ

β ffcm

cm

( ) = 16 8,

β tt000 20

10 1

( ) =+, ,

hA

uc

0

2=

⋅



47

La resistenza media a compressione del calcestruzzo può essere posta pari a:

fcm = fck + 8 MPa (fck in MPa)

L’effetto del tipo di calcestruzzo sul coefficiente di viscosità può essere considerato assumendo un’età t0 modificata e pari a1:

dove

3.7. Variazione termica (ε3)Per il D.M. 14 gennaio 2008 può assumersi, in mancanza di dati specifici:

Tmax = 45 °CTmin = – 15 °CT0 = 15 °C.

Essendo Tmax la temperatura estiva massima, Tmin la temperatura invernale minima, T0 la temperatura iniziale (al momento della posa). La variazione uniforme di temperatura annua è quindi pari a:

ΔT = ± 30 °C

La variazione deve considerarsi cautelativa poiché, a causa dello sfasamento termico, la temperatura nella struttura non raggiunge necessariamente i minimi raggiunti dall’aria. Anche relativamente alle variazioni differenziali, il D.M. non dà indicazioni specifi-che per ponti. In tal senso il D.M. 4 maggio 1990, e relativa Circolare esplicativa del 25/02/1991 n. 233, prevedevano di considerare:

• una variazione termica uniforme;• un gradiente termico tra l’estradosso e l’intradosso degli impalcati che, in mancanza

di analisi specifiche, potrà essere assunto pari a 10 °C con andamento lineare tra detti estremi, oppure con discontinuità fra la soletta e la sottostante parte di impalcato (soletta all’estradosso più calda).

Dove le variazioni uniformi termiche erano assunte (D.M. 16 gennaio 1996 – strutture esposte):

1 Nel caso di maturazione del calcestruzzo alle temperature non ordinarie (intervallo 0-80 °C), l’età t0 del calcestruz-zo deve essere ulteriormente corretta come riportato nell’appendice B dell’EC.

t tt

0

0

1 2

9

21 0 5= ⋅

+ ( )+

≥,

,

α

α =

–1per calcestruzzoa lento indurimento – S0 per calccestruzzo indurimentomedioorapido – N, R

1per calccestruzzoa rapido indurimentoealta resistenza – RSS



72

J(t, t0) = 1/Ec + φ(t, t0)/Ec (7)

dove φ(t, t0) = coefficiente adimensionale di viscosità del calcestruzzo che rappresenta la com-ponente viscosa della deformazione.

Nel rispetto delle condizioni al contorno deve essere φ(t0, t0) = 0, cosicché:

εc(t0) = J(t0, t0) · σc(t0) = σc(t0)/Ec

e quindi:

J(t0, t0) = 1/Ec

Il coefficiente adimensionale è espresso nella forma:

φ(t, t0) = φ∞(t0) · (1 – e–t) (8)

in cui φ∞(t0) rappresenta il coefficiente di viscosità finale, e dipende dal tempo t0 di ap-plicazione del carico.Sostituendo la (7) nella (6), si ottiene:

(9)

Ammettendo il principio della sovrapposizione degli effetti, nei casi in cui il carico as-siale sia variabile nel tempo, la formulazione analitica della deformata al tempo t è data dalla relazione:

(10)

scritta anche come:

(11)

Per meglio comprendere il significato fisico della (11), si consideri lo stato tensionale monoassiale, variabile in modo discontinuo, rappresentato in figura 4.16b:

• al tempo t0 è applicato lo stato tensionale costante σ0, la deformazione ε(t) è descritta dalla (6);

• al tempo t1 = t0 + Δt1 il diagramma di deformazione risentirà dell’effetto dell’incre-mento dello stato tensionale Δσ1.

Per cui, applicando la sovrapposizione degli effetti:

εc(t) = J(t, t0) · σ0 + J(t, t1) · Δσ1

Analogamente, al tempo t2 = t0 + Δt1 + Δt2, per effetto dell’incremento tensionale Δσ2:

εσ σ

cc

c

c

c

tt

Et t t

E( ) = ( )+

( ) ( )0 0 0,

ε τ σ τc ct

t

t J t d( ) = ( ) ⋅ ( )∫ ,0

ε σ σ ττ

τ

σc c c

t

tc

c

t t J t tJ t t

E( ) = ( ) ⋅ ( ) − ( ) ⋅∂ ( )∂

=( )

−∫,,

0

σσ ττ

τct

t J t( ) ⋅

∂ ( )∂∫

,

0


Analisi globale statica cap 4

73

εc(t) = J(t, t0) · σ0 + J(t, t1) · Δσ1 + J(t, t2) · Δσ2 (12)

Ricordando la (7), la (12) può essere scritta come:

(13)

dove σ(t) = σ0 + Δσ1 + Δσ2.Attraverso tale scomposizione, discretizzando in un opportuno numero di sottointervalli Δt una storia di carico σ(t), è possibile calcolare algebricamente la curva deformazione-tempo del provino.Un’analisi di questo tipo, step by step, risulta, nella maggior parte dei casi, troppo onero-sa; per questo motivo, sono normalmente adottati metodi semplificati che ne velocizzano notevolmente l’elaborazione.Un primo metodo consiste nell’ipotizzare φ(t, t0) = φ(t, t1) = φ(t, t2) = φ(t, τ), la (13) di-venta quindi:

ponendo

diventa

(14)

L’effetto della viscosità è valutato attraverso l’assunzione di un valore del modulo ela-stico efficace del calcestruzzo. Come risulta evidente dalle curve φ(t, τ) rappresentate in figura 4.16b (caso tensioni crescenti) al tempo t valgono le seguenti disequazioni (si consideri anche la (8)):

φ(t, t0) > φ(t, t1) > φ(t, t2)

Quindi, l’ipotesi semplificativa φ(t, t0) = φ(t, t1) = φ(t, t2) = φ(t, τ) porta a una sovrastima dell’effetto viscoso sulle deformazioni. Al contrario, nel caso di stato tensionale decre-scente (incrementi Δσ negativi), il metodo sottostima l’effetto viscoso. Va osservato che i coefficienti di viscosità φ(t, τ) tendono asintoticamente a un valore φ∞ per tempi t ten-denti a infinito. Se gli incrementi di carico Δσ tendono ad azzerarsi con il tempo (σ (t = ∞) ≠ ∞), il metodo porta alla soluzione esatta sia nel caso di incrementi negativi, sia nel caso di incrementi positivi essendo valida la posizione:

φ(∞, t0) = φ(∞, t1) = φ(∞, t2) = φ∞

Un approccio alternativo consiste nel considerare la funzione di viscosità J(t, t0) variabile

εσ

σ σcc c c

tt

Et tE

t tE

t t( ) = ( )

+( )

⋅ +( )

⋅ +( ), , ,0

01

12D

EEc

⋅Dσ 2

φ φ φ

εσ

σσ

cc c c

tt

Et tE

tt

Et t( ) = ( )

+( )

⋅ ( ) = ( )⋅ + ( )

,,0

01 φ

E t tE

t tc effc

, ,,0

01( ) =

+ ( )φ

εσ

cc eff

tt

E t t( ) = ( )

( ), , 0



74

linearmente da un valore J(t, t0) per σ = σ(t0) a un valore J(t, t) per σ = σ(t). Integrando per parti la (11) si ottiene:

che, ricordando la (7), può essere scritta come:

(15)

La (15) si semplifica notevolmente nei casi in cui il carico iniziale sia nullo: σ(t0) = 0 (ritiro). Si può scrivere infatti:

avendo posto:

(16)

Ancora una volta il fenomeno viscoso è valutato assumendo per il calcestruzzo un mo-dulo elastico efficace.Si rimanda a International Center for Mechanical Science2 per una trattazione più esau-stiva del tema.

4.4.2. Effetti della viscosità nelle strutture miste acciaio calcestruzzoNella valutazione dell’effetto della viscosità del calcestruzzo di strutture miste, si de-vono considerare gli effetti isostatici (o primari) e gli effetti iperstatici (o secon-dari).Si consideri lo schema stati-co presentato in figura 4.17. I diagrammi di sollecitazione sono indipendenti dal valore di rigidezza EJ delle travate (purché EJ sia costante); il momento nell’appoggio è sempre pari a M = qL2/8. In questo caso l’effetto vi-scoso provoca una migra-zione delle tensioni, dal calcestruzzo all’acciaio, e una riduzione globale delle rigidezze.

2 Monografie CISM, Strutture Composte, a cura di L. Dezi e N. Gattesco, 2006.

ε σ σc c ct t J t t J t t t J t t( ) = ( ) ⋅ ( ) + ( )⎡⎣ ⎤⎦ + ( ) ⋅12

120 0 0, , ,(( ) − ( )⎡⎣ ⎤⎦J t t,

ε σ σc cc

ct tt t

Et J t t( ) = ( ) ⋅

+ ⋅ ( )⎡⎣ ⎤⎦ + ( ) ⋅ (1 0 5 1

20

0 0

, ,, )) − ( )⎡⎣ ⎤⎦J t t,

εσ

cc eff

tt

E t t( ) = ( )

( ), , 0

EE

t tc effc

, , ,=

+ ⋅ ( )1 0 5 0

Figura 4.17. Schema statico della struttura in acciaio


Analisi globale statica cap 4

75

La diminuzione delle rigidezze provoca a sua volta un aumento delle deformazioni (effetti pri-mari); non provoca, però, cam-biamenti nei diagrammi di solle-citazione (effetti secondari).Gli effetti isostatici possono es-sere considerati assumendo per

il calcestruzzo un valore ridotto del modulo elastico e quindi un opportuno coefficiente di omogeneizzazione acciaio-calcestruzzo n (rapporto tra il modulo elastico dell’acciaio e il modulo elastico del calcestruzzo) nel calcolo delle proprietà meccaniche della sezio-ne mista (si veda il paragrafo 4.4.5).Per l’interpretazione degli effetti iperstatici della viscosità, si consideri il caso di cedi-mento vincolare dell’appoggio intermedio presentato in figura 4.18. Al tempo t = 0 il cedimento provoca uno stato di sollecitazione dipendente dalla rigidezza EJ della trave. Per effetto della viscosità, col passare del tempo, le tensioni migrano dal calcestruzzo alla struttura in acciaio (effetto primario). La migrazione è accompagnata da una ridu-zione della rigidezza EJ con conseguente diminuzione delle sollecitazioni agenti (effetto secondario). Gli esempi descritti e le considerazioni riportate nel paragrafo precedente, mostrano come le diverse azioni che sollecitano la struttura siano sensibili all’effetto viscoso in modo differente.Il D.M. 14 gennaio 2008 consente di tenere conto della viscosità del calcestruzzo attra-verso il coefficiente di omogeneizzazione n. Inoltre, per azioni a lungo termine, e salvo più precise valutazioni, consente di calcolare il modulo elastico del calcestruzzo a lungo termine pari al 50% del suo valore istantaneo Ecm.L’EC4-2 consente di valutare gli effetti isostatici e iperstatici attraverso l’utilizzazione di opportuni moduli di omogeneizzazione nL dipendenti dal tipo di carico (suffisso L):

nL = n0 · (1 + ψL · φt)

doven0 = Ea/EcmEa = modulo elastico dell’acciaioEcm = modulo di elasticità secante del calcestruzzo come definito nell’EC2φt = φt(t, t0)ψL = moltiplicatore della deformazione viscosa il cui valore, dipendente dal tipo di

azione, è dato in tabella 4.1.

Tabella 4.1. Fattori ψL

Carichi permanenti comprendenti la presollecitazione mediante tiranti dopo che la connessione a taglio è diventata efficace 1,1

Effetti isostatici e iperstatici dovuti al ritiro ed effetti iperstatici dipendenti dal tempo 0,55

Presollecitazioni mediante deformazioni imposte (per esempio sollevamento mediante martinetti in cor-rispondenza degli appoggi) 1,5

Figura 4.18. Cedimento vincolare dell’appoggio nella parte intermedia


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Marco Cavalieri Andrea Cavalieri

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