Dipartimento di Ingegneria Aerospaziale e MeccanicaDipartimento di Ingegneria Aerospaziale e Meccanica

Corso diCorso di

COSTRUZIONE DI MACCHINECOSTRUZIONE DI MACCHINECOSTRUZIONE DI MACCHINECOSTRUZIONE DI MACCHINEParte XII Parte XII –– Ruote dentateRuote dentate

11

Trasmissione del moto per attrito (ruote di frizione)Trasmissione del moto per attrito (ruote di frizione)

212211

RRRv =ω

=τ⇒⋅ω=⋅ω=

In assenza di slittamento si ha:

122211 R

RRvω

τ⇒ωω

1nmaxtnmaxt1t RFfMFfFRFM ⋅⋅=⇒⋅=⋅=

Pertanto – a parte considerazioni legate all’usura delle parti a contatto – in generale la coppia trasmissibile per attrito risulta esigua per la maggior

d ll li i iparte delle applicazioni.E’ più proficuo, pertanto, ricorrere ad altri tipi di trasmissione, ovvero a quelle positive, che sfruttano l i t it t t d fi ila spinta esercitata tra due superfici.

22

Profili coniugatiD ti i t i l’i t l l itàDati i centri, l’interasse e le velocità angolari, per la trasmissione positiva del moto occorre:•Che le normali ai profili nel punto di contatto abbiano la stessa direzione (N1-N2)1 2•Che il punto di contatto si sposti lungo tale normale con velocità uguale per i due profilig p p

222111

2211n

cosrcosrcosvcosvv

ϑ⋅ω=ϑ⋅ω⇒ϑ=ϑ=

2211 ρ⋅ω=ρ⋅ω⇒

Rapporto di trasmissione realizzato:

1

2

1

2

2

1

RR

=ρρ

=ωω

=τ

33

Esiste strisciamento tra i profili?iiii ϑϑϑϑ

( ) ( )( )

22112211s

2221112211s

eCNCNv

CPCNCPCNPNPNv

sinrsinrsinvsinvv

ω+ω+ω−ω=⇒

−ω−+ω=ω−ω=⇒

ϑ⋅⋅ω−ϑ⋅⋅ω=ϑ⋅−ϑ⋅=

( )212211s eCNCNv ω+ω+ωω=⇒

D’altra parte risulta

( ) ( ) 0tantantantanCNCN

122211

22112211

=−⋅=⋅−⋅==⋅−⋅=−

αττρωαρωρωαρωαρωωω

E quindi

( ) ( )eev ωωωω +( ) ( )2121s eev ωωωω −=+=

Ovvero non c’è strisciamento solo quando il contatto avviene in C

44

Se in C non c’è strisciamento, evi-dentemente ivi v1 = v2 ovvero:

2

112222111 R

RRvRv ω=ω⇒⋅ω=≡⋅ω=

21

RR

=ωω

=τ⇒12 Rω

Il sistema è quindi equivalente ad u-na coppia di ruote di frizione carat-t i t d li t i i hterizzate dagli stessi raggi che ven-gono detti primitivi.L’inclinazione della normale comu-ne ai due profili in C rispetto allane ai due profili in C rispetto alla tangente alle circonferenze primiti-ve individua l’angolo di spinta.

I profili coniugati più comunemente impiegati sono costituiti da archi di evolvente di circon-ferenza e sono caratterizzati dall’avere la stessa normale comune N1N2 quale che sia il punto nel quale avviene il contatto; viene così definita la retta di spinta, ed individuate le circonfe-q prenze di raggio O1N1 ed O2N2 che vengono dette “di base” dei profili.

τ==ρρ⇒α⋅=ρ=α⋅=ρ= 121222221111 RRcosRNOcosRNO

55( ) ( )τ+⋅=τ+=αρ+ρ

=+= 1zm211R

cosRRI 11

2121

G t i d ll’ l tGeometria dell’evolvente

=∩

PNAN( )

ϑ=ϑ−ϑ=ϕ⇒ϑ⋅ρ=ϑ+ϕρ⇒

evtantan

PNAN

ϕ

⎪⎨⎧ ρ

=r

⎪⎩

⎪⎨

ϑ=ϕϑ

evcos

( )

( )⎪

⎪⎨

⎧ ==

ρ

ϑϑ

ρϕ evsincos

sinrx

( )⎪⎩

== ϑϑ

ρϕ evcoscos

cosry

66

Equazione invariantiva del profilo

tss cost.r2

r2

r =⋅

+ϕ=ψ⇒ψ⋅=+ϕ⋅

Se R = raggio della primitivaz = numero di denti della ruotaz = numero di denti della ruota

zR2m

zR2p ⋅

=⋅π⋅

= ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡==τ⇒

1

2

1

2zz

RR

Per ricavare ψ possiamo osservare che sul-la primitiva risulta

pϑ

2ps =α=ϑ

z2ev

R22pev

⋅π

+α=⋅⋅

+α=ψ⇒

z2ev

r2s

⋅π

+α=⋅

+ϕ⇒

I lt ti i id h l t id l t i fi hi 0 i di hiIn alternativa, possiamo considerare che nel punto cuspidale tra i fianchi s = 0; se indichiamo con γ l’angolo corrispondente a ψ possiamo scrivere: ( ) ( )ϑγϕψ evevr2r2s −⋅=−⋅=

77

O1

1

Circonferenza di base

Circonferenza ditroncatura interna

Costa

FiancoN1

Ang. accesso Ang. recesso

A2e

1

Circonferenzeprimitive

Circonferenza di base

Circonferenza ditroncatura esterna

N 2

C

A

2e

1e

Circonferenza ditroncatura interna

CostaFianco

Ang. accessoAAng. recesso

2

O2

2

Ruote di assortimento ⇒Costa: a = ka·m = mFianco: f = kf·m = 1.25·m

( )⎧ ° '301661 α

2

88( )( )( )( )⎪

⎩

⎪⎨

⎧

°=°=°=

≥⇒>−⋅⇒⋅>⋅

−>⋅−=25272042

'301661z5.2cos1zcosr

zr2

25.1r?m25.1rr pp

ppi

ααα

ααρ

Linea di imbocco

99

Grado di ricoprimento

1AA e2e1

⎟⎟⎞

⎜⎜⎛

≠ε

>=ε

∩BCD

1pb

e2e1

⎟⎟⎠

⎜⎜⎝

≠εp

( ) ( )( ) ( )( ) ( )

αρ+ρ

=−ρ−+ρ−=+−+=

=−+−=

sinIRR

NNRRCNCNNANA

CNNACNNAAA

2222

2122

2e2

21

2e1212e21e1

22e211e1e2e1

α⋅⋅πα⋅−ρ−+ρ−

=ε⇒

α⋅−ρ−+ρ−=

cosmsinIRR

sinIRR22

2e2

21

2e1

2e21e1

pressione massima di contatto tra i denti

EP418.0p0 = con ⎟⎟⎞

⎜⎜⎛

+=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

R1

R1

R1

E1

E1

21

E1

1010

Rbp0 con ⎟

⎠⎜⎝

⎟⎠

⎜⎝ pr2pr121 RRREE2E

1111

Esempio. Supponiamo di avere una trasmissione costituita da due ruote dentate, con z1 = 19 e z2 = 37 denti; siano α = 20° ed m = 3.5 mm; caratterizzare la geometria del rotismo ed osserva-re le conseguenze di un errore di montaggio per il quale l’interasse aumenta del 2%re le conseguenze di un errore di montaggio per il quale l interasse aumenta del 2%.

rapp. di trasmissione 947.11937

zz

1

2 ===τ passo mm996.105.3mp =⋅π=⋅π=1

diam. primitivi ed interasse: ( ) mm00.982ddImm50.129zmdmm50.66zmd 212211 =+==⋅==⋅=

geometria dei denti: mm375.4m25.1fmm5.3ma =⋅===

altezza del dente: mm875.7fah =+= gioco (franco): mm875.0afg =−=

diam. troncatura esterna ed al piede dei denti:

mm75.57f2dh2ddmm50.73a2dd 1e1i11e1 =⋅−=⋅−==⋅+=

mm75.120f2dh2ddmm50.136a2dd 2e2i22e2 =⋅−=⋅−==⋅+=

grado di ricoprimento:

diam. base: ( ) ( ) mm845.60cos2dmm245.31cos2d 2211 =α⋅=ρ=α⋅=ρ

g p

( ) ( ) ( ) ( )mm747.16518.33918.30347.19

sin00.98845.6025.68245.3175.36sinIRRAA 222222

2e2

21

2e1e2e1

=−+=

=⋅−−+−=⋅−−+−= ααρρ

1212621.1

332.10747.16mm332.10cosmpb ==⇒=⋅⋅= εαπ

Cosa accade se cambia l’interasse? Nel nostro caso diventa I’ = 1.02*0.98 = 99.96 mm.I raggi base non mutano, perché su di essi sono state tracciate le evolventi dei denti, che evi-d bi i di h i bbidentemente non possono cambiare, quindi anche in questo caso abbiamo:

mm845.60mm245.31 21 =ρ=ρ

Q ll h è bi t è l’ l di i t h lQuello che è cambiato è l’angolo di spinta, che vale:

888.22I

coscos

I 2121 °=α′⇒′ρ+ρ

=α′⇒α′ρ+ρ

=′

Conseguentemente, i diametri primitivi valgono ora:

mm090.132cos2dmm831.67cos2d 2211 =α′ρ⋅=′=α′ρ⋅=′

E’ facile controllare che il rapporto di trasmissione non è cambiato (e non lo poteva, non essen-do variato il numero dei denti, ma, attenzione, d = mz non è più verificata, perché i pieni ed i vuoti sulle primitive non sono più uguali; non essendo cambiato il diametro esterno, né l’altezza dei denti, abbiamo:

mm6700.5ahbmm2050.22

ddamm0405.5ahbmm8345.22

dda 222e2

2111e1

1 =′−==′−

=′=′−==′−

=′

P t i d il d di i i t bbiPer quanto riguarda il grado di ricoprimento, abbiamo:( ) ( ) ( ) ( )

1021387.11mm33210p

mm387.11878.38918.30347.19sin96.99845.6025.68245.3175.36AA 2222e2e1

==⇒=′

=−+=′⋅−−+−=

ε

α

(il passo base ovviamente non è cambiato)

1313

102.1332.10

mm332.10pb ==⇒= ε

Quindi la trasmissione è ancora possibile, ma con margini assai ridotti.

(il passo base ovviamente non è cambiato)

Esempio. Siano R1 = 42.5 mm; R2 = 52.5 mm; m = 5 mm; z117 21 20° t t 39 9369 = 17; z2 = 21; α = 20° e conseguentemente ρ1 = 39.9369 mm;

ρ2 = 49.3339 mm; I = 95 mm; R1e = 47.5 mm; R2e = 57.5 mm

Procedendo nell’ordine abbiamo:Procedendo nell ordine abbiamo:

mm580632.11956058.1753669.29sinRRCNNACA

mm179784.11535856.1471564.25sinRRCNNACA

222

2e222e2e2

121

2e111e1e1

=−=α⋅−ρ−=−=

=−=α⋅−ρ−=−=

mm760657.14cos707963.15cosz

R2cospp

PPmm760416.22CACAAA

1

1b

21e2e1e2e1

=α⋅=α⋅⋅π⋅

=α⋅=

==+=⇒∩

541965.1pAA

b

e2e1 ==ε⇒

Alcuni sostengono che il grado di ricoprimento è anche dato da:

pBCD

∩

=ε

Ma ciò non è vero; verifichiamo col calcolo, osservando che l’arco BCD è sotteso dai due angoli ϕ1 e ϕ2; allora valutiamoli come segue:

1414

g ϕ1 ϕ2; g

77774.12547

cos179784.11arcsinR

cosCAarcsinR

XAarcsin e11e11 °=

α⋅=

α⋅==ϕ

767982.15sinCAR

cosCAarctanCXCOXAarctan

XOXAarctan

5.47RR

e21

e2

21

2e2

21

2e22

e1e1

°=α⋅−

α⋅=

−==ϕ

mm174216.21RDCB545722.28 121 =ϕΔ⋅=⇒°=ϕ+ϕ=ϕΔ)

E quindi:q

ε≠== 347992.1707963.15174216.21

pDCB)

Che dimostra l’errore; esso dipende dal fatto che i punti B e D non corrispondono a condizioni di contatto, quindi la loro p , qdistanza d’arco non ha nulla a che vedere con il grado di ricoprimento.

1515

( ) ( )1121

21 1zm211R

cosRRI τ+⋅=τ+=

αρ+ρ

=+=

1

2

1

2

zz

RR

2cos

==τ

α

Numero minimo di denti

( )12

2

122

2e2 2cosCNR2CNRR α+π⋅⋅−+= ( )

11

a22e2

1212e2

sinRCN

mkRR

α=

⋅+=

ii zm21R ⋅=

( )+ kzk4 ( )

( ) ατ⋅++τ+τ=

=α+⋅

++−=⇒

22

2a22a22

22min1

sin21k2

sinkzk4zzz

( ) ατ⋅+⋅= 2a2 sin21k2

Per l’accoppiamento con dentiera di assortimento (R2 = ∞; τ = ∞) si ha

1616α= 2min1 sin

2z

Nella costruzione la dentieradeve presentare le altezza dicosta e fianco invertite per cuideve risultare per la costruzione

α=

α⋅

= 22min1 sin5.2

sin25.12z

14z'2522z'2031z'3016

min1

min1

min1

=→°=α=→°=α=→°=α

Se si accetta un lieve sottotaglio in e-secuzione ma si vuole escludere la interferenza in esercizio, deve essere ,in ogni caso:

17z'2025z'3016

min1

min1

=→°=α=→°=α

Se si ricorre ad altri metodi esecutivi allora z1 i dipende11z'25 min1

min1

=→°=αSe si ricorre ad altri metodi esecutivi, allora z1min dipende, come abbiamo visto, da τ:

24z23z21z18z'301610421====→°=α

=τ=τ=τ=τ

171711z11z10z9z'2517z16z15z13z'2024z23z21z18z3016

min1min1min1min1

min1min1min1min1

min1min1min1min1

====→°=α====→°=α====→=α

Correzione delle dentature

P hé i d bb d id id i d l d i d ti? E i t di i ti iPerché si dovrebbe desiderare una riduzione del numero dei denti? Esistono diversi motivi:a) a parità di modulo la riduzione corrisponde ad una riduzione dei raggi delle primitive, e

quindi delle dimensioni complessive del riduttore;b) a parità di dimensioni delle primitive la riduzione corrisponde ad un aumento del modulob) a parità di dimensioni delle primitive, la riduzione corrisponde ad un aumento del modulo

e quindi della robustezza dei denti;c) in ogni caso, il tempo macchina necessario per la costruzione delle ruote ovviamente

diminuisce col numero dei denti;

1818

diminuisce col numero dei denti;d) L’unico svantaggio è che all’aumentare del modulo si riduce l’arco d’azione ed il grado di

ricoprimento

Correzione delle dentature

Se vogliamo ridurre il numero di denti del pignone al di sotto del minimo che abbiamo giàSe vogliamo ridurre il numero di denti del pignone al di sotto del minimo – che abbiamo già calcolato – dobbiamo variare la geometria adottata.Il modo più semplice è quello di spostare la dentiera generatrice di una quantità ‘xm’ in maniera tale da ottenere denti dell’altezza abituale ma disposti diversamente rispetto alla primitiva Setale da ottenere denti dell altezza abituale, ma disposti diversamente rispetto alla primitiva. Se avanziamo la primitiva di taglio di ‘xm’ verso la punta della dentiera per il pignone e di ‘-xm’ per la ruota, le primitive non cambiano e quindi abbiamo la “correzione senza variazione di interasse” ⎧ ⎧ =+= xmaaxmaa

1919

interasse .

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎪⎩

⎪⎨

⎧

+=+=−=

+=−=+=

rrrc

rrc

rrc

pppc

ppc

ppc

fahxmffxmaa

fahxmffxmaa

Tuttavia in corrispondenza delle primitive i denti non hanno più lo stesso spessore; infatti, misuran-do lo spessore attraverso la dentiera, a causa dello spostamento abbiamo:

α⋅⋅⋅+= tanmx2ps1 (pignone)

α⋅⋅⋅−= tanmx22ps

2

2

1 (p g )

(ruota)

i i d d h lIn ogni caso, si vede da quanto sopra che la som-ma degli spessori sulle primitive è ancora uguale al passo.

Come cambia il numero dei denti? Riferendoci evidentemente al caso della dentiera abbiamo:

( ) ( ) ( )x1zzzx1zx1k2z i1)c(i1

)c(i2i1

da)c(i1 −⋅=⋅=−=−

⋅= ττ( ) ( ) ( )x1zzzx1zx1

sinz min1min1min2min12min1 ττ

αNaturalmente, con tale correzione per pignone A2e si allontana da N1 ma A1e si avvicina ad N2 e quindi alle condizioni di interferenza; conseguentemente, tenuto conto del segno di x per la q g g pruota, per la somma dei numeri di denti ed il rapporto di trasmissione devono valere le seguenti diseguaglianze:

( ) ( ) ( ) ( )( ) x1z21c

i2ccc +

2020

( ) ( ) ( ) ( )( ) x1

x1zzz2zzx1zz c

min1

min2maxmin1

cmin2

cmin1min1

cmin2 −

+≤≤⋅≥+⇒+≥ τ

Ad esempio, è molto usata la correzione con x = 0.5; da ciò discende:

⎧

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⋅=⋅=

⋅=

⋅=⋅=

⋅=

m25.2hm75.1f

m5.0a

m25.2hm75.0f

m5.1a

rc

rc

rc

pc

pc

pc( ) ( ) ( ) ( ) 0.3

5.05.1z2zzz5.1zz5.0z maxmin1

cmin2

cmin1min1

cmin2min1

cmin1 =≤⋅≥+⇒⋅≥⋅≥ τ

Ma qual è la correzione minima da apportare se vogliamo passare da zmin a z(c)min denti per il

pignone,? La posizione limite di taglio è definita dal punto N1, ove la linea di testa della dentiera incontra la retta di azionedentiera incontra la retta di azione.

( )xkmxmmkCH adad −=−=

e la condizione limite vale

αα 2p1lim sinRsinCNCH ⋅=⋅=

e la condizione limite vale

tt d t t

( ) sinRxkmCHCH 2pdalim α≤−⇒≤

ottenendo pertanto

msinR

kx2

pda

α−≥⇒

2121

C

NN

z = 25

O

C

N

O

z = 21

interferenzaC

N

z = 17

2222O

Esempio. Supponiamo di avere una coppia con z1 = 21 e z2 = 43 denti e con m = 4 mm, con α = 20°. Esaminando le ruote, abbiamo nell’ordine:

mm81356580cosRmm4670939cosR

0476.2mm128Imm862zmRmm42

2214

2zmR

2211

22

11

=⋅==⋅=

===⋅

==⋅

=⋅

=

αραρ

τ

mm90aRRmm46aRRmm9afhmm5m25.1fmm4ma

mm813565.80cosRmm46709.39cosR

2e21e1

2211

=+==+==+==⋅===

αραρ

mm81fRRmm37fRR 2i21i1 =−==−=

Supponiamo ora di voler ridurre il numero dei denti del pignone a z1c = 15; anzitutto, in questo caso il numero dei denti della ruota deve essere portato a z2c = z1c·τ = 30 ≈ 31 perchéquesto caso il numero dei denti della ruota deve essere portato a z2c z1c τ 30 31 perché siano primi tra loro (con ciò è τeff = 2.067); quale deve essere la correzione da impiegare?Se 22 denti è il minimo teoricamente ottenibile con una dentiera, risulta:

( ) 318202215111 ⇒( ) 3182.022151zz1xx1zz min1c1min1c1 =−=−=⇒−⋅=

Ed anche l’interasse viene a ridursi corrispondentemente:

( ) ( ) ( )zm i1⋅( ) ( ) ( ) mm00.923182.0112zmx1II min1

minc =−⋅+=−⋅= τ

Si noti che Imin non è il nostro interasse di partenza, poiché già in quel caso avevamo assunto z = 21 e non pari a z = 22

2323

z1 = 21 e non pari a z1min = 22.

In ogni caso, mantenendo il modulo m = 4 mm, possiamo rapidamente calcolare R1c = 30 mm ed R2c = 62 mm, trovando conferma del nuovo interasse.

P i i di l l di i i d i d i d ll dPossiamo quindi valutare le nuove dimensioni dei denti e delle ruote, ottenendo:a) pignone:

a1c = a+xm = 5.273 mm f1c = f-xm = 3.727 mmR R + 35 273 R R f 26 273R1ec = R1c+a1c = 35.273 mm R1ic = R1c-f1c = 26.273 mm

b) ruota:a2c = a-xm = 2.727 mm f2c = f+xm = 6.273 mmR = R +a = 64 727 mm R = R f = 55 727 mmR2ec = R2c+a1c = 64.727 mm R2ic = R2c-f2c = 55.727 mm

2424

Esempio. Riprendiamo l’esempio precedente e ricordiamo che lo schema di partenza era il se-guente:

214

0476.2mm128Imm862zmR43z

mm422214

2zmR21zmm4m

2rr

1pp

===⋅

==

=⋅

=⋅

===

τ

90RR46RRmm9afhmm5m25.1fmm4ma

mm813565.80cosRmm46709.39cosR2

rrpp

=+==⋅===

=⋅==⋅= αραρ

mm81fRRmm37fRR

mm90aRRmm46aRR

rrippi

rreppe

=−==−=

=+==+=

Questo rotismo è del tutto corretto; supponiamo però di voler realizzare zp = 15, mantenendo leQuesto rotismo è del tutto corretto; supponiamo però di voler realizzare zp 15, mantenendo le dimensioni del gruppo costanti, per quanto possibile; in tal caso dovremmo avere

mm6.515

422zR2

m p =⋅

=⋅

=15zp

Tale valore non è normalizzato; scegliamo quindi m = 5.5 mm (che non è tra quelli preferibili), col che abbiamo, supponendo di non eseguire alcuna correzione:

mm10880.80cosRmm76232.38cosR

0667.2mm50.126Imm25.85R3171.30zz

mm25.41R15zmm5.5m

rrpp

rpr

pp

=⋅==⋅=

===≈=⋅=

===

αραρ

ττ

2525mm375.78Rmm75.90Rmm375.34Rmm75.46R

mm375.12afhmm875.6m25.1fmm5.5ma

rirepipe

rrpp

=====+==⋅===

ρρ

Domandiamoci ora se sia possibile realizzare tale nuovo rotismo senza ricorrere alla correzione e limitandoci a prendere in esame il pignone, che si trova in condizioni più vicine a quelle limi-p p g , p qte; le coordinate del punto Np, valutate rispetto al centro del pignone, valgono:

mm42467.36cosymm25749.13sinx pp =⋅==⋅= αραρ ρρ

mentre il punto di intersezione tra la circonferenza di troncatura esterna della ruota e la retta di a-zione è dato da:

⎧⎪⎫)( 222

⎩⎨⎧

==

⇒⎪⎭

⎪⎬⎫

+⋅−==−+

mm63872.36ymm66938.12x

RtanxyR)Iy(x

p

2re

22

α

Questo punto è posto più in alto di Np e quindi è certamente ammissibile, se pensiamo di realiz-zare le ruote con una fresa di forma; se però, com’è oggi abituale, impieghiamo una dentiera, il filo inferiore del tagliente ha una coordinata y = Rp-1.25⋅m = 34.375 mm e conseguentemente ta-

li l di i d di (R ) 18 8889 i è l di di Ngli la retta di spinta ad una coordinata x = (Rp-y)⋅ctanα = 18.8889 mm, cioè al disotto di Np: con-seguentemente in questo caso – ovvero abitualmente – dobbiamo operare la correzione.Evidentemente lo spostamento minimo xm da impiegare è quello che porta il filo della dentiera a

N i di è i d 36 42467 34 375 2 04967 d i 0 37267 hpassare per Np e quindi è pari ad xm = 36.42467-34.375 = 2.04967 mm, da cui x = 0.37267, che corrisponde alla diseguaglianza precedente:

20sin25.41sinR 22p °⋅⋅ α

2626

37267.05.5

20sin25.4125.1m

kx pad =−=−≥

D’altra parte, la correzione da apportare per avere zp = 15 varrebbe x = 1-15/21 = 0.28571; cosa vuole dire? Ciò significa semplicemente che il numero di denti da realizzare con la correzione non può essere assegnato a piacere; infatti, con zp = 15 avremmo:

( ) ( ) mm303575x251mfmm071437x1mamm57141.1mx28571.0xmm5.5m

=−⋅==+⋅==⋅==

( ) ( )( ) ( )

mm946.35fRRmm321.48aRRmm66463.8x25.1mfmm92857.3x1ma

mm30357.5x25.1mfmm07143.7x1ma

pppipppe

rr

pp

=−==+==+⋅==−⋅=

===+=

mm804.76fRRmm179.89aRR rrrirrre =−==+=

Ripetendo gli stessi calcoli precedenti, poiché le circonferenze base, quelle primitive e l’angolo di i t bi ti bbispinta non sono cambiati, abbiamo:

- Coordinate di Np: mm42467.36cosymm25749.13sinx pp =⋅==⋅= αραρ ρρ

- Intersezione retta di spinta/circ. troncatura esterna della ruota:

mm82058.37ymm42224.9x ==

- Intersezione filo dentiera/retta di spinta:

mm946.35Rymm57262.14x ip ===

2727

In definitiva, non si è raggiunto il risultato desiderato; a questo punto le possibilità sono:

a) – si impiega la correzione minima necessaria (x = 0.372667) che conduce a zp = 21(1-x) = 13.174 denti, ovvero 13 denti, regolando poi di conseguenza gli altri parametri;b) – se per qualche motivo desideriamo sia zp = 15, dobbiamo alterare modulo e primitive.

2828

Un’altra possibilità è quella di allontanare la dentiera di quantità x ed x’ (tra loro indipendenti) dai centri di entrambe le ruote; distinguendo col pedice “0” le grandezze relative alla fase di taglio s pponiamo di oler reali are delle r ote caratteri ate da n meri di denti pari a etaglio, supponiamo di voler realizzare delle ruote caratterizzate da numeri di denti pari a zp e zrrispettivamente e di impiegare una dentiera di passo πm0; evidentemente dovremmo realizzare ruote costituite da primitive

2zmR

2zm

R r00r

p00p ==

2929

Tuttavia, se scegliessimo dei numeri di denti inferiori a quello minimo, si verificherebbe q ,l’interferenza; per evitarla, possiamo allontanare la dentiera dai centri delle primitive di quantità x ed x’ rispettivamente, ottenendo su tali circonferenze di taglio spessori pari ordinatamente a:

0mπ ⋅

000

0r

000

0p

tanmx22ms

tanmx22ms

απ

απ

⋅⋅′⋅+⋅

=

⋅⋅⋅+=

Poiché (per il momento) x ed x’ sono stati scelti in modo arbitrario, la somma degli spessori sulle primitive (primitive “di taglio”) non è più pari al passo, sicchè non sarebbe garantita l’assenza di

t i i i hi t l ti d bbi t i t i d ll i iti di

2

compenetrazioni o giochi; per tale motivo dobbiamo spostare i centri delle primitive di una quantità Δ in modo da portare ad essere tangenti due altre circonferenze (primitive “di lavoro”), sulle quali la somma degli spessori sia pari al nuovo passo (ed al nuovo modulo).Attenzione! Tali quantità (passo e modulo) sono ora cambiati perché sono cambiate a parità diAttenzione! Tali quantità (passo e modulo) sono ora cambiati, perché sono cambiate – a parità di numero di denti – le circonferenze sulle quali le misuriamo.In ciò consiste la “correzione con variazione di interasse” che si differenzia da quella studiata precedentemente proprio per questo motivo; è evidente che il problema principale è quello di

3030

precedentemente proprio per questo motivo; è evidente che il problema principale è quello di valutare l’ampiezza di tale variazione e la nuova geometria dei denti.

Ovviamente, le circonferenze base non cambiano, perché su di esse sono stati generati i denti, ma, poiché mutano le primitive di lavoro, cambia l’angolo di spinta, che diventa α:

( )αα

αα

αα

ααρααρ

coscosRRRRI

coscosRR

coscosRR

cosRcosRcosRcosR

00r0prp

00rr

00pp

r00rrp00pp

+=+=⇒==

⇒====

αα

ααπ

ααπππ

coscosmm

coscos

zR2

coscos

zR2

zR2

zR2

p 00

0

r

0r0

p

0p

r

r

p

p =⇒====

S ll i iti di l l d li i d i l t t i dSulle primitive di lavoro la somma degli spessori deve essere pari al passo; pertanto, scrivendo per ciascuna ruota l’equazione invariantiva dell’evolvente e ponendo pari a γ e γ’ i corrispondenti angoli cuspidali abbiamo:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) αγγπαγαγπ evzzevzevzevevR2sevevR2smss rprprrpprp +−′⋅+⋅=⇒−′⋅=−⋅=⋅=+

Si deve osservare che gli angoli cuspidali non vengono alterati dalla correzione e quindi, riferen-doci alle primitive di taglio possiamo scrivere ad esempio con riferimento al pignone:doci alle primitive di taglio, possiamo scrivere ad esempio, con riferimento al pignone:

( ) ( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅++=⇒−⋅=−⋅=⋅⋅⋅+

⋅= 0

p000p00p00

00p tanx

4z2evevevevmzevevR2tanmx2

2ms απαγαγαγαπ

e quindi in definitiva dopo alcuni passaggi otteniamo:e quindi in definitiva dopo alcuni passaggi otteniamo:

0rp

0 tanzzxx2evev ααα

+′+

+=

3131

rp

che costituisce la relazione fondamentale che occorreva.

In definitiva abbiamo:

00 tanzzxx2evev ααα

+′+

+=rp zz +

αα

=αα

=αα

=coscosmm

coscosRR

coscosRR 0

00

0rr0

0pp

e quindi il nuovo interasse valeq

( ) ( )αα

+=αα

+=+=coscosmzz

21

coscosRRRRI 0

0rp0

0r0prp

In effetti, i parametri che caratterizzano le nuove dentature sono zp, zr, x, x’ e α; se supponiamo assegnati zp e zr, la prima pequazione ci consente di valutare il nuovo angolo di spinta una volta dati x ed x’. Esistono diversi metodi per fare ciò, ma

i li i à i di l lqui per semplicità ricordiamo le sole Nor-me DIN che per α0 = 20° suggeriscono:

17z14x

17z14

x rp −=′

−=

17z14x

17z14

x rp −=′

−=

3232

Qual è la distanza tra la primitiva di lavoro e quel-la di taglio? Esaminiamo ad esempio il pignone:g p p g

( ) 000p

0p

0pp m1coscos

2mz

mm2z

RRy ηαα

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=−=−=

e per la ruota, similmente,

000r m1cos

2mzy ηα ′=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −=′

cos2 α ⎠⎝

Pertanto in condizioni di lavoro la distanza tra le primitive di taglio è data da:primitive di taglio è data da:

( ) 00 mmyy ξηη =′+=′+

E i i l i d i d i i hé ( d il i ) i i i diEsaminiamo ora la geometria dei denti; poiché (ad es. per il pignone) ci siamo spostati di xm0rispetto alla linea dei dati, l’altezza del fianco, misurata dalla primitiva di taglio, risulta pari ad (1.25m0-xm0) e quindi le coste presentano altezze, rispetto alle primitive di lavoro, pari a:

( ) ( )( ) ( ) 00r

00p

mx25.1ymx25.1

mx25.1ymx25.1

η

η′+′−=′+′−=Δ

+−=+−=Δ

3333

( ) ( )( ) ( ) 00r

00p

mx25.1ymx25.1

mx25.1ymx25.1

η

η′+′−=′+′−=Δ

+−=+−=Δ

( ) ( ) 00r y η

Se, come sempre, desideriamo un gioco pari a 0.25m0 tra la testa di un dente e la base di quello corrispondente dell’altra ruota, le altezze dei fianchi, misurate dalle primitive di lavoro, devono

lvalere:( ) ( ) ( ) ( )

0c

r0r0c

p0p mkmx0.1amkmx0.1a =+−==′+′−= ηη

Tuttavia atteso lo spostamento della linea dei dati e la distanza tra le primitive di taglio e di la-Tuttavia, atteso lo spostamento della linea dei dati e la distanza tra le primitive di taglio e di lavoro, con denti di altezza abituale si avrebbe:

( ) ( ) ( ) 0r000p mx0.1amx0.1mx25.1m25.2a ηηη ′−′+=′−+=+−−=′

Pertanto dobbiamo ridurre l’altezza dei fianchi (ovvero i denti devono essere più piccoli) di:

( ) ( ) ( ) ( )[ ] r000ppp mxxmx0.1mx0.1aa δηηηηδ =′−−′−=−+−′+′−=′−=

Poiché i denti, quindi, presentano altezze inferiori all’abituale, viene a ridursi anche l’arco di a-zione e quindi il grado di ricoprimento, come si può verificare dalla già nota relazione:

απαρρ

εcosm

sinIRR 22

2e2

21

2e1

⋅⋅⋅−−+−

=

3434

Esempio. Supponiamo che dobbiamo realizzare un riduttore caratterizzato da un rapporto τ ≅1.4, che per motivi di ingombro debba essere I ≅ 45 mm e che infine per garantire la necessaria1.4, che per motivi di ingombro debba essere I ≅ 45 mm e che infine per garantire la necessaria robustezza dei denti debba risultare m0 ≅ 4 mm.

Con tali valori abbiamo evidentemente:

125.13zz375.9mR2

zmm25.26RRmm75.181

IR pr0

0pp0p0r0p =⋅==

⋅=⇒=⋅==

+= ττ

τ

Rendendo interi i numeri dei denti, abbiamo quindi:

44.1mm44Imm0.262mz

Rmm0.182mz

R13z9z 0p0r

0p0prp ==⇒=

⋅==

⋅=⇒== τ

Tali valori sono troppo esigui: i numeri dei denti sono inferiori ai minimi ed infatti, valutando i raggi dei cerchi base per un angolo di spinta α = 20°, abbiamo ρp = 16.914 mm e ρr = 24.432 mm; con un’altezza dei denti pari ad h = 2 25 m = 9 0 mm un semplice calcolo mostra che lemm; con un altezza dei denti pari ad h = 2.25⋅m0 = 9.0 mm, un semplice calcolo mostra che le circonferenze di troncatura esterna incontrano la retta di spinta all’esterno del segmento Np0Nr0.

Assumiamo quindi di dover correggere le dentature; impiegando i dati consigliati dalle DIN leAssumiamo quindi di dover correggere le dentature; impiegando i dati consigliati dalle DIN, le ampiezze di correzione risultano essere:

05882301314z14x294120914z14x rp =

−=

−=′=

−=

−=

3535

058823.01717

x29412.01717

x ======

e quindi, risolvendo l’equazione fondamentale della correzione, ricaviamo il nuovo angolo di spinta:p

( ) ( ) 05945.2420tan139

058824.029412.0220evtanzzxx2evev 0

rp0 =⇒°

++

+°=+

′++= αααα

Da tale valore possiamo quindi ricavare il nuovo modulo e gli altri valori che interessano; in par-ticolare abbiamo:

cos 0α mm28029.45Imm75654.26Rmm52376.18Rmm11639.4coscosmm corrrcpc

00 =====

αα

Ora dobbiamo ricavare la nuova geometria dei denti (ovvero i raggi delle circonferenze di tronca-i hé l l i bi ) ll’ di bbitura, poiché le evolventi non sono cambiate); nell’ordine abbiamo:

Distanze tra le primitive di lavoro e quelle di taglio:

320073.0m18913.0mym130939.0m1coscos

2mz

y 000000p =′+==′=′==⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −= ηηξηη

αα

Alt d ll t d i d tiAltezza delle coste dei denti:

( ) ( ) 0cfr00r0

cfp00p mkm3803.1mx25.1mkm0868.1mx25.1 ==′+′−=Δ==+−=Δ ηη

3636

Altezza dei fianchi dei denti (per evitare interferenza con la circonferenza di fondo dell’altra ruota:

( ) ( ) ( ) ( )0

car00r0

cap00p mkm8368.0mx0.1amkm13031.1mx0.1a ==+−===′+′−= ηη

Altezza complessiva dei denti (uguali per le due ruote):Altezza complessiva dei denti (uguali per le due ruote):

( ) ( ) mm86853.8mkkmkkhh 0car

cfr0

cap

cfp

cr

cp =+=+==

Raggi significativi e grado di ricoprimento:Raggi significativi e grado di ricoprimento:2515.1mm235.21Rmm104.30Rmm176.14Rmm045.23R corr

cir

cer

cip

cep ===== ε

R (i f )Ruote non corrette (interferenza) Ruote corrette

3737

Carichi sui denti

1t111 RFcosRSSM ⋅=α⋅⋅=ρ⋅=

Mα⋅=α⋅==⇒ sinSFcosS

RMF R

1

tt

τ⋅=⋅=ρ⋅= 1222 MRFSM τρ 12t22 MRFSM(rendimento unitario)

hρ ⎟⎞

⎜⎛

(caso reale)

11

2122

Mhf1M

hfMhSfSM

ηττ

ρρρρ

⎟⎟⎞

⎜⎜⎛

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=⋅⋅−⋅=

p12

1 Mf1M ητρ

τ ⋅⋅=⎟⎟⎠

⎜⎜⎝

−⋅=

Se consideriamo tutto il segmento diimbocco otteniamo mediamenteimbocco, otteniamo mediamente

+⎟⎞

⎜⎛

η⋅τ⋅=22

12

ee11f

MM

3838α+

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

π−=η 22

21

21 cosmee

z1

z1f1

Esempio. Il rotismo con ruota oziosa, rappresen-p pptato in figura, trasmette una potenza P = 15 kW e la velocità entrante è di n1 = 2500 giri/min; altri dati significativi sono: τ = 3.5, α = 20°, m = 3.5 mm, z1 = 17 e z2 = 21. Calcolare i parametri si-gnificativi ed i carichi trasmessi.

3323221

zzz==τ⋅τ=τ

22082mm0.210zmdmm5.73zmdmm5.59zmd

529.3zz605.59175.3zz

332211

13eff13

=⋅==⋅==⋅===τ⇒→=⋅=⋅τ=

1213221 zzz−−

mm25.208RR2RI 321 =+⋅+=⇒

2211321

111

min/giri807.2023nsec/rad933.211sec/m789.7RvvvmN296.57Msec/rad799.261min/giri2500n

=⇒=ω⇒=⋅ω====⇒=ω⇒=

13113131132232112

33

2211321

ddMzzMMmN223.202MMmN777.70MMmin/giri332.708nsec/rad176.74

g

⋅=⋅=ωω⋅==ωω⋅==ωω⋅=⇒=⇒=ω⇒

[ ]

FFN976.700tanvPtanFF

.d.d.cmN223.2022dFMFFN916.1925vPdM2F

3r2r11t1r

33t33t2t11

11t

===α⋅=α⋅=

=⋅=⇒====⋅=

3939N517.2049FFcosFS 2

1r21t1t =+=α=

Scelta dell’angolo di spinta

A parità di coppia trasmessa, la spinta, e quindi sia le sollecitazioni sui denti sia quelle sui supporti aumen-tano al crescere di α:

α⋅⋅

=α

=cosdM2

cosFS

p

tt

Analogamente al crescere di α aumenta l’interasse:Analogamente, al crescere di α aumenta l interasse:

αρ+ρ

=+=cos

RRI 2121

Tuttavia, com’è facile verificare, a parità di rapporto di trasmissione diminuisce il numero dei denti.Per tale motivo nei Paesi che accettano l’ISO si èPer tale motivo nei Paesi che accettano l’ISO si è scelto α = 20°, negli USA 20° o 25° e nel solo UK si insiste ad impiegare 16°30’

In realtà il dimensionamento delle dentature viene riferito ad una Ft maggiorata:

FF ⋅ξ⋅ξ=′

4040

tei FF ⋅ξ⋅ξ=

Calcolo a rottura (Lewis)

(b rappresenta la lunghezza del dente)

sbcosP

6sbacosP

sbsinP

2fn ⋅γ

=τ⋅

⋅γ=σ

⋅γ

−=σ

( ) ( )

=⎥⎤

⎢⎡ −=⇒

+≈⋅++=

γγσ

σστσσσ

sincosa6P

3 maxfn2

fneq

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −

⋅⋅=

⎥⎦⎢⎣⋅⇒

γγα

γγσ

sincossa6

cossbF

sincosssb

t

eq

⎦⎣α scossb

ψ⋅=σ⇒

1mb

Fteq

γ−γ

α=ψ

sincossa6

cosms

4141

s

sπr2z2

evL ⋅+ϕ=

⋅+α=ϕ

t ϑϑϑ

LaLAa

aaaA

tantanev

ϕ−ϑ=ϕ−ϕ+ϑ=γϑ−ϑ=ϑ=ϕ

( )( ) α=ρ=ϑ+⇒

+=

R

cosRcosmR

mRR

pAp

pe

α+

=α+

=ϑ⇒ cosz2

zcosmR

Rcos

p

pA

Fb

mbmbF

tei

ammeqtei

ξ⋅ξ=⇒

σ⋅ψ⋅⋅=σ⋅ψ⋅⋅=⋅ξ⋅ξ

)d/b(zM2d

mb

p3 eitp

amm

=βσ⋅β⋅ψ

ξ⋅ξ⋅⋅⋅=⇒

σ⋅ψ⇒

4242

ammσβψ

4343

Metodo AGMA di proporzionamento a rottura

TR

LeammIBs

V

matf KK

KKKKK

KKJmb

F⋅

⋅σ′=σ≤⋅⋅⋅

⋅⋅=σ

b = larghezza del dente;J = coefficiente di Lewis modificato;J coefficiente di Lewis modificato;KV = coefficiente dinamico;Ka = fattore di sovraccaricoKm = fattore di precisione di montaggio (distrib. del carico);m o e d p ec s o e d o gg o (d s b. de c co);Ks = fattore di grandezza (rispetto alle prove, abit. = 1-1.25);KB = fattore corona (abitualmente = 1);KI = fattore ruota oziosa (abitualmente = 1; pari ad 1.42 per ruote oziose);I ( ; p p );σ’n = tensione limite di fatica pubblicata da AGMA;KL = fattore di durata;KR = fattore di affidabilità;KT = fattore di temperatura (= 1.0 per T < 160 °F e = 620/(460+T) per T>160 °F);

4444

Applicazione Qv Molazze 3-5 Trasmissioni per Fonderie 5-6 Gru 5-7Presse 5-7 Convogliatori per miniere 5-7 Piccole foratrici 7-9 Lavatrici 8-10 Presse per stampa 9 11Presse per stampa 9-11Trasmissioni automobilistiche 10-11 Comandi antenne radar 10-12 Trasmissioni per prop. Navali 10-12 Trasmissioni per prop. Aereon. 10-13 Giroscopi 12-14

12 14 17 21 26 35 55 135 Z2 P R P R P R P R P R P R P R P R

p

Vel. Per.(m/sec) Qv

0 4 00 6 8

12 = = 14 = = = = 17 = = = = = = 21 = = = = = = 0.24 0.24 26 = = = = = = 0.24 0.25 0.25 0.25 35 0 24 0 26 0 25 0 26 0 26 0 26

0-4.00 6-84.00-10.00 8-10

10.00-20.00 10-12 > 20.00 12-14

35 = = = = = = 0.24 0.26 0.25 0.26 0.26 0.26 55 = = = = = = 0.24 0.28 0.25 0.28 0.26 0.28 0.28 0.28

135 = = = = = = 0.24 0.29 0.25 0.29 0.26 0.29 0.28 0.29 0.29 0.29

12 14 17 21 26 35 55 135

Z2 P R P R P R P R P R P R P R P R

α=20°- Carico in punta

Z2 P R P R P R P R P R P R P R P R

12 = = 14 = = = = 17 = = = = = = 21 = = = = = = 0.33 0.33 26 = = = = = = 0.33 0.35 0.35 0.35

α=20°- Carico su di una sola coppia di denti

4545

35 = = = = = = 0.34 0.37 0.36 0.38 0.39 0.39 55 = = = = = = 0.34 0.40 0.37 0.41 0.40 0.42 0.43 0.43 135 = = = = = = 0.35 0.43 0.38 0.44 0.41 0.45 0.45 0.48 0.49 0.49

50

( )⎪⎪⎧ −

=

⋅+=⇒=

32V

VV

Q12B

v2005050K5Q

( )

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎨

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛+

=

−+=⇒>B

V

V

v200AAK

B15650A4

B

5Q

⎪⎩ ⎠⎝ ⋅+ v200A

Utilizzatrice Largh.dente

(mm) Km

<50 1.6

50.00-150.00 1.7

Motrice Uniforme Sovracc. moderati Sovracc. elevati Uniforme (turbina, m.elettrico) 1.00 1.25 >1.75

Sovracc. moderati ( i l i ili d i ) 1.25 1.50 >2.00

150.00-250.00 1.8 > 500.00 2.0

(m.c.i. pluricilindrico)Sovraccarichi medi (m.c.i. monocilindrico) 1.50 1.75 >2.25

4646Ka

eσ′

Affidabilità % KR

90 0 8590 0.8599 1.00

99.9 1.25 99.99 1.50

4747

Esempio. Dimensionare a flessione i denti del rotismo di cui all’esempio precedente, nell’ipotesi di assenza di sovraccarichi ed ipotizzando una qualità QV = 6, di una temperatura di esercizio di 90°C e col requisito della durata di 5 anni su di un sol turno di lavoro90 C e col requisito della durata di 5 anni su di un sol turno di lavoro.

529.3zz60z21z17z 13321 ==τ⇒===Riepiloghiamo i dati ed i risultati acquisiti:

mm25.208Imm0.210dmm5.73dmm5.59dmm5.3m 321 =====

mN77770Mmin/giri8072023nsec/m7897vvvmN296.57Mmin/giri2500nkW15P

22321

11

==⇒====⇒==

N517.2049SN976.700FN916.1925F20mN223.202Mmin/giri332.708n

mN777.70Mmin/giri807.2023nsec/m789.7vvv

rt

33

22321

==⇒=°=α==⇒

⇒

Scegliamo una larghezza di primo tentativo; poiché è usualmente 8m≤b≤16m, assumiamo:

mm425.312m12b =⋅=⋅=

Con tali valori abbiamo, nell’ordine:)2ruota(42.1)3e1(0.1K0.1K0.1K0.1K6.1K IsBam ======

( ) ( ) 658.0v200A

AK744.59B15650A826.04Q12B

B

V

32V =⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛⋅+

=⇒=−+==−

=

4848

Il fattore geometrico J viene trovato per interpolazione sulle tabelle; si noti che per la ruota ozio-sa troviamo 2 valori (per i due accoppiamenti) ed evidentemente assumiamo il valore inferiore:

40.0J33.034.033.0

J33.0J gop =→⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

==

Possiamo calcolare ora le tensioni affaticanti al piede dei denti:

Pignone: MP538961116.11916.1925KKKKKF mat ⋅⋅Pignone: MPa538.96111658.033.05.342

KKKKJmb IBs

V

matf =⋅⋅

⋅⋅=⋅⋅

⋅⋅=σ

Ruota oziosa: MPa085.13742.1116580

6.113305342

916.1925f =⋅⋅

⋅=σ

658.033.05.342 ⋅⋅

Ruota: MPa644.79111658.0

6.1140.05.342

916.1925f =⋅⋅

⋅⋅⋅

=σ

Passiamo al calcolo delle tensioni ammissibili; per il limite di fatica, supponendo si tratti di ruote in acciaio di buona qualità, assumendo HB = 250 kp/mm2, dalla curva otteniamo:

( ) MP336288HB*1260HB1746235108886 23′ − ( ) MPa336.288HB*126.0HB174623510888.6 23e =−+⋅=σ′ −

Inoltre risultano: 0.1KK RT ==

4949

Dobbiamo quindi calcolare KL, per la quale dobbiamo valutare il numero di cicli per ciascuna ruota:

cicli1068.1512808602500N 9p ⋅=⋅⋅⋅⋅⋅=

cicli1072.251280860807.20232N 9o ⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅=

cicli1076.451280860332.708N 8r ⋅=⋅⋅⋅⋅⋅=

Possiamo quindi calcolare KL:

( ) 929.0N3558.1K 0178.0pLp =⋅= −

( ) 921.0N3558.1K 0178.0oLo =⋅= −( )oLo

( ) 950.0N3558.1K 0178.0rLr =⋅= −

e quindi valutare la tensione ammissibile ed il coefficiente di sicurezza per ciascuna ruota:

Pignone:

Ruota oziosa:

( ) 775.2538.96864.267nMPa864.267

11929.0336.288

KKK

oTR

Lepamm ==⇒=

⋅⋅=

⋅⋅σ′=σ

( ) 937.1085137557.265nMPa557.265

11921.0336.288

KKK

oL

epamm ==⇒=⋅=⋅σ′=σ

Ruota:

( )085.13711KK o

TRepamm ⋅⋅

( ) 439.3644.79919.273nMPa919.273

11950.0336.288

KKK

oTR

Lepamm ==⇒=

⋅⋅=

⋅⋅σ′=σ

5050

Calcolo ad usura (resistenza al “pitting”)

RE

bP418.0p0 = con

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

pr2pr121 R1

R1

R1

E1

E1

21

E1

poniamoτ

ατζζζ

+⋅⋅

=+⋅

=⋅=1

sinRRRRR

RR 1

c2c1

c2c1c τ++ 1RR c2c1

( )ατ

τζ

ξξατζ

τα

ξξ2sinb

F1dE7.0

sinR1E

cosbF

418.0p t

p

ei

1

tei

220 ⋅

+⋅≈

⋅⋅⋅+

⋅⋅⋅=⇒

p1

α⋅ζξ⋅ξ

=χ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

⋅=

2sinK1

EE

121K

E7.0pK

0p

ei

r

p0p

20

0pζ⎠⎝ pr

( )3 t 1M2d τ+χ⋅⋅

=⇒( )

t

3p

dF1b

d

ττ+

χ=⇒

β⋅τ=⇒

5151

pdτ

Teoria di Stribeck

Ep2418.0RE

bP418.0p

bR2Pp r0r ⋅==⇒

⋅⋅=Pressione di rotolamento:

RbbR2

0p2

20

r K2E41802

pp ⋅=⋅⋅

=⇒ (già nota)E418.02 ⋅⋅

Secondo Stribeck2DH68p ⋅

=HD = durezza Brinnell (kp/mm2);W = durata in milioni di cicli = 60·n·h·10-6;Seco do St bec

31r WEp

⋅ h = durata in ore per singolo contatto;n = numero di giri al minuto

DH874p =⇒ 610 W87.4p =⇒

Quindi, se usiamo materiali diversi per le due ruote, per avere la stessa durata in ore Q p poccorre che sia:

6161

pDD HW

HHHH⇒⎟

⎞⎜⎛

⎟⎞

⎜⎛

5252

61Dr61

r

pDrDp

r61

D

p61

D HW

HHWW

τ⋅==⇒⎟⎠

⎜⎝

=⎟⎠

⎜⎝

Metodo AGMA di proporzionamento ad usura

Si considera il contatto nel punto di tangenza delle primitive, per il quale è:

( )⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

⎟⎟⎞

⎜⎜⎛ −

+−

⋅⋅

⋅=

p2p122

21

t0 R

1R1

E1

E12sinb

F2564.0p

ννα( ) ⎟⎠

⎜⎝ 21 EE

Ponendo: ( )2sinJ15640C τα=′=o e do:

12J

E1

E1

564.0C

2

22

1

21

p +τ=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ν−+

ν−=

Si utilizza la tensione di contatto modificata

fsv

matpH KK

KKK

JdbFC ⋅

⋅′⋅⋅

=σ

5353

e quindi imponendo sia

RT

HLffs

v

matpH KK

CCKKK

KKJdb

FC⋅⋅

σ′≤⋅⋅

′⋅⋅=σ

b = larghezza del dente;d = diametro primitivo;d diametro primitivo;J’ = coefficiente geometrico;KV = coefficiente dinamico;Ka = fattore di sovraccaricoa o e d sov cc coKm = fattore di precisione di montaggio (distrib. del carico);Ks = fattore di grandezza (rispetto alle prove, abit. = 1-1.25);Kf = fattore di finitura superficiale (abitualmente = 1);f p ( );KI = fattore ruota oziosa (abitualmente = 1; pari ad 1.42 per ruote oziose);σ’n = tensione limite di fatica pubblicata da AGMA;CL = fattore di durata;CH = fattore di durezza;KT = fattore di temperatura (= 1.0 per T < 160 °F e = 620/(460+T) per T>160 °F);KR = fattore di affidabilità;

5454

⎪⎪⎨

⎧⋅⋅−−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅+=

⎞⎛=′

2p

2

ap*

p cosmkm2

dconcosJ απρρα dp, ρp = pignone

⎪⎪⎩

⎨

⋅=⎠⎝

⋅⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛+ p

*gp*

g*p

sinI2

d11ραρ

ρρm

′fσ′

( )( )

⎪

⎪⎨

⎧

−⋅→≤≤→<

=

−τ+=

00829.0HBHB00898.07.1HBHB2.102.1HBHB

A

1A1C

gpgp

gp

H

⎪⎩ →> 00698.07.1HBHB gp

Per indurimento superficiale >48HRC

( )R0520

gH HB450B1C −+=qR052.0e00075.0B −⋅=

Rq = rugosità superficiale rms in μ

5555

Esempio. Verificare al pitting i denti del rotismo di cui all’esempio precedente, nell’ipotesi di assenza di sovraccarichi ed ipotizzando una qualità QV = 6, di una temperatura di esercizio di 90°C e col requisito della durata di 5 anni su di un sol turno di lavoro90 C e col requisito della durata di 5 anni su di un sol turno di lavoro.

mm42b529.3zz60z21z17z 13321 ===τ⇒===Riepiloghiamo i dati ed i risultati acquisiti:

mm25.208Imm0.210dmm5.73dmm5.59dmm5.3m 321 =====

mN77770Mmin/giri8072023nsec/m7897vvvmN296.57Mmin/giri2500nkW15P

22321

11

==⇒====⇒==

N517.2049SN976.700FN916.1925F20mN223.202Mmin/giri332.708n

mN777.70Mmin/giri807.2023nsec/m789.7vvv

rt

33

22321

==⇒=°=α==⇒

⇒

RT

HLfammfs

v

matpH KK

CCKKK

KKJdb

FC⋅⋅

σ′=σ⋅⋅

′⋅⋅=σ

Abbiamo già calcolato alcuni dei coefficienti che ci servono:

0.1K0.1K0.1K658.0K0.1K6.1K RTsVam ======

2122

21

p MPa371.19011

1564.0C =

⎟⎟⎞

⎜⎜⎛ ν−

+ν−

=Considerando le ruote tutte in acciaio possiamo calcolare anzitutto Cp:

565621 EE ⎟⎟

⎠⎜⎜⎝

+

Valutiamo quindi il coefficiente geometrico J’ per ciascuna coppia:a) Coppia pignone/ruota oziosa:a) Coppia pignone/ruota oziosa:

mm668.720cos5.320cos2

5.595.32

5.59cosmkm2d 22

2p

2

a1*

p =°⋅⋅−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ °−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +=⋅⋅−−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅+= παπρρ

0803020coscosJ °′ α

mm076.15668.720sin5.66sinImm5.662

5.735.592

ddI *p

*g

21 =−°⋅=−⋅=⇒=+

=+

= ραρ

0803.0

076.151

668.715.59d11

J

1*g

*p

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +⋅

=

⋅⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛+

=

ρρ

b) Coppia ruota oziosa/ruota:

mm343.1020cos5.320cos5.735.35.73cosmkmd 222p

2

a2*

p =°⋅⋅−⎟⎞

⎜⎛ °−⎟

⎞⎜⎛ +=⋅⋅−−⎟

⎞⎜⎛ ⋅+= παπρρ

mm138.38343.1020sin75.141sinImm75.1412

2105.732

ddI

mm343.1020cos5.320cos2

5.32

cosmkm2

*p

*g

32

pap

=−°⋅=−⋅=⇒=+

=+

=

⎟⎠

⎜⎝

⎟⎠

⎜⎝

+⎟⎠

⎜⎝

+

ραρ

παπρρ

104.0

138.381

343.1015.73

20cos

d11

cosJ

2*g

*p

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +⋅

°=

⋅⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛+

=′

ρρ

α

5757

gp ⎠⎝

Ammettendo che le ruote siano di buona fattura e che le loro dimensioni non comportino parti-colari difficoltà, possiamo porre Kf = 1.0Dunque possiamo valutare le tensioni da fatica superficiale come segue:Dunque possiamo valutare le tensioni da fatica superficiale come segue:

Coppia pignone/ruota oziosa:

MPa652.9190.10.1658.0

6.10.10803.05.5942

916.192537.190KKK

KKJdb

FC fsv

matpH =⋅

⋅⋅⋅

=⋅⋅

′⋅⋅=σ

Coppia r ota o iosa/r ota:Coppia ruota oziosa/ruota:

MPa075.7270.10.1658.0

6.10.1104.05.7342

916.192537.190KKK

KKJdb

FC fsv

matpH =⋅

⋅⋅⋅

=⋅⋅

′⋅⋅=σ

v

Passiamo ora alla valutazione delle tensioni ammissibili

RT

HLfamm KK

CC⋅⋅

σ′=σ

Per quanto riguarda la tensione limite considerando come in precedenza che le ruote siano ese

( ) MPa784812HB36427000108886 3 =+⋅=σ′ −

Per quanto riguarda la tensione limite, considerando come in precedenza che le ruote siano ese-guite in acciaio di durezza HP = 250 kp/mm2, abbiamo

5858

( ) MPa784.812HB3642700010888.6e =+⋅=σ

Ricordando le durate richieste alle varie ruote:

cicli1076.4Ncicli1072.2Ncicli1068.1N 9r

9o

9p ⋅=⋅=⋅=

otteniamo:( ) ( ) ( ) 9150N44881C8790N44881C8890N44881C 023.0

L023.0

L023.0

L =⋅==⋅==⋅= −−−( ) ( ) ( ) 915.0N4488.1C879.0N4488.1C889.0N4488.1C pLrpLopLp

e quindi valutare la tensione ammissibile ed il coefficiente di sicurezza per ciascuna ruota:

Pignone: ( ) 786.0652.919565.722nMPa565.722

0.10.10.1889.0784.812

KKCC

oTR

HLepamm ==⇒=

⋅⋅

⋅=⋅⋅

⋅σ′=σ

Ruota oziosa:

R t

( ) 777.0652.919437.714nMPa437.714

0.10.10.1879.0784.812

KKCC

oTR

HLepamm ==⇒=

⋅⋅

⋅=⋅⋅

⋅σ′=σ

( ) 0231697.743MP6977430.1915.0784812CC HL ⋅⋅′Ruota: ( ) 023.1075.727

nMPa697.7430.10.1

784.812KK o

TR

HLepamm ==⇒=

⋅⋅=

⋅⋅σ′=σ

Pertanto la coppia pignone/ruota oziosa è decisamente insufficiente per assicurare la resistenza al pitting per la durata prevista, ma neppure l’altra coppia dà sufficiente affidamento; conse-guentemente le ruote vanno ridisegnate.

5959

Ruote cilindriche a denti elicoidali

6060

b

eeatan

cosbb

210

eff

+=γ

γ=

batan0γ

6161

I i ili d i d ti li id liIn una coppia cilindrica a denti elicoidali le eliche sulle due ruote hanno senso di avvolgimento opposto, ovvero:

ruota motrice destrorsa e ruota mossa- ruota motrice destrorsa e ruota mossa sinistrorsa;- ruota motrice sinistrorsa e ruota mossa destrorsadestrorsa.

Questo può lasciare perplessi, ma occor-re considerare dove sia posizionata lare considerare dove sia posizionata la zona di contatto; tenuto conto della reale ubicazione, quando i denti si toccano, l’area di contatto si estende per tutta la plunghezza dei denti.

Invece, il verso di rotazione determina le coppie di fianchi dei denti che vengono a contatto.

62

γ=γ=ti

cospcospp fn

γ⋅=γ⋅= ctanpsinpp na

γ⋅α=α costantan n

Numero di denti equivalente

⎞⎛22

⋅⋅⋅

γ=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛γ

==

nnn

2

22

n

zr2r2r2cos

rr1

cosr

bar

( )

( ) ( )τ+γ

=τ+⋅=+=

γ=

γ⋅=

γ⋅π==

1n

121

3nn

n

nn

1zcosm

211zm

21rrI

coscosmcospmz

αγ⋅⋅

=α⋅

⋅⋅=

α⋅⋅

=

γ

2D

2f

nD2

f

Dmin1 sin

cosk2sinm

mk2sinma2z

cos22

( )15.1m

bm

tanbpb

aaa >

π⋅=

π⋅γ⋅

==ε

6363

Azioni tra i dentiAzioni tra i denti

α⋅=α⋅= sinSFcosSF nrnn

γ⋅=γ⋅= sinFFcosFF nant

α⋅γ=

γ=⇒=

coscosFS

cosFF

rMF tt

nt

t

α⋅=γα⋅

=α⋅=γ⋅=

αγγ

tanFcostanFsinSFtanFF

coscoscosr

tnt

nrta

np

6464

Le eliche ed il senso di rotazione determinano il verso delle forze che si scambiano le ruote;- Riquadro di sinistra: ruota motrice sinistrorsa;q ;- Riquadro di destra: ruota motrice destrorsa;In ciascun riquadro:- Prima colonna: ruota motrice con velocità angolare antioraria;g- Seconda colonna: ruota motrice con velocità angolare oraria.

65

Metodi AGMA di proporzionamento per ruote cilindriche a denti elicoidali

IBsV

matf KKK

KKK

JmbF

⋅⋅⋅

⋅⋅=σTens. max calcolo a rottura

fsv

matpH KK

KKK

JdbF

C ⋅⋅

′⋅⋅=σTens. max calcolo ad usura

Tali espressioni sono proprio quelle già impiegate per le ruote a denti diritti, ma in realtà J e J’ assumono in questo caso valori diversi.Per il calcolo a rottura occorre riferirsi ai manuali specializzati od alle tabelle AGMA;

cosα

Per il calcolo a rottura, occorre riferirsi ai manuali specializzati od alle tabelle AGMA;Per il calcolo ad usura, si può valutare J’ come:

Np*g

*p

md11

cosJ

⋅⋅⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛±

=′

ρρ

α

gp ⎠⎝ ρρ

ove mN è il cosiddetto rapporto di ripartizione del carico.

6666

mN è definito come min

N Lbm =

Nella quale Lmin rappresenta la lunghezza minima della linea di contatto e richiede una valu-tazione alquanto elaborata; definiamo nr ed na come le parti frazionarie rispettivamente di ε e di ε ; allora si ha:di εa; allora si ha:

( ) ( )b

araminra

11bcos

pnnbLn1n

γ⋅⋅−⋅ε

=⇒−≤

( ) ( )b

araminra cos

pn1n1bLn1n

γ⋅−⋅−−⋅ε

=⇒−>

è l’ l d ll’ li i l ili d b d è d i f i dγb è l’angolo dell’elica misurato sul cilindro base, ed è dato, a conti fatti, da

αα

γ=γcos

coscoscos nb αcos

Anche ρ*p e ρ*g devono essere rielaborati, e valgono, a conti fatti:

( ) ( )⎪

⎪⎪⎨

⎧

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−±+=

2p

2gp*

p cos2

d2

m2dIm2dαρ

6767⎪⎪⎩ −⋅= p

*g sinI ραρ

Esempio. Con i dati dell’esempio precedente, valutare il coefficiente di sicurezza al pitting per la coppia pignone/ruota oziosa, supponendo ora si tratti di ruote a denti elicoidali, con γ =25°.

mm50.66Imm5.73dmm5.59dmm5.3mmm42b21z17z

21

21

=======

mN777.70Mmin/giri807.2023nsec/m789.7vvmN296.57Mmin/giri2500nkW15P

2221

11

==⇒===⇒==

N976.700FN916.1925F20 rt =⇒=°=α

Inoltre, sempre dall’esercizio precedente sappiamo che le durate e le tensioni ammissibili per le due ruote valgono:

cicli1068.1N 9p ⋅= ( ) MPa565.722pamm =σ

( )

le due ruote valgono:

Pignone:

( ) MPa437.714pamm =σRuota oziosa: cicli1072.2N 9o ⋅=

Infine, sappiamo anche:

C 190 37 MP 1/2 K K K 1 0 K 1 6 K 0 658Cp = 190.37 MPa1/2 Ka = Ks = Kf = 1.0 Km = 1.6 Kv = 0.658

6868

Ciò premesso, la lunghezza del segmento di imbocco vale:

2222

mm932.15sinIcos2

dm2

dcos2dm

2dAA

22

22

21

21

e2e1 =α⋅−⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ α−⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ ++⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ α−⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ +=

e quindi il grado di ricoprimento vale:

542.1932.15AAAA e2e1e2e1 ====εcos5.3cosmpb α⋅π⋅α⋅π⋅

ε

mentre il grado di ricoprimento assiale ed il passo assiale sono dati da:

γ⋅==ε==π⋅

γ⋅==ε ctanp582.23bp781.1

mtanb

pb

faaa

a

Abbiamo ancora bisogno dell’angolo di pressione normale e dell’angolo dell’elica base:

( ) 662.23coscosacos256.18costanatan nbn °=⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ αγ=γ°=γ⋅α=α ( )

cosb⎠⎝ α

Pertanto, 781.0ned542.0n ar ==

6969

Poiché na > 1-nr possiamo calcolare la lunghezza minima di contatto come

( ) ( ) ( ) ( )

42b

mm126.68662.23cos

582.23542.01781.0142542.1cos

pn1n1bL

b

aramin =

°⋅−⋅−−⋅

=γ

⋅−⋅−−⋅ε=

6165.0126.68

42L

bmmin

N ===⇒

Restano quindi da calcolare i raggi di curvatura dei denti, dati da:

( ) ( )⎪⎪⎧

⎟⎟⎞

⎜⎜⎛

⎟⎟⎞

⎜⎜⎛ −−++

mm17510cosdm2dIm2d 2

p2

gp* αρ

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

=−⋅=

=⎟⎟⎠

⎜⎜⎝

−⎟⎟⎠

⎜⎜⎝

=

mm569.12sinI

mm175.10cos22

p*g

pgpp

ραρ

αρ

e quindi in definitiva J’ vale:

144.06165.05.59

569.121

175.101

20cos

md11

cosJ

Np**

=⋅⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +

°=

⋅⋅⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛±

=′

ρρ

α

7070

gp⎠⎝⎟

⎠⎜⎝ ρρ

Conseguentemente, la tensione massima di contatto vale:

MPa752.6860.10.1658.0

6.10.1144.05.5942

916.192537.190KKK

KKJdb

FC fs

v

matpH =⋅

⋅⋅⋅

=⋅⋅

′⋅⋅=σ

Pertanto, i nuovi coefficiente di sicurezza valgono:

040.1752.686437.714n052.1

752.686565.722n sOsP ====

li ffi i i i i ffi i i li f i lliTali coefficienti sono sicuramente ancora insufficienti, ma, se li confrontiamo con quelli otte-nuti per il caso dei denti diritti (nsP = 0.786 nsO = 0.777) il vantaggio dell’impiego dei denti elicoidali è evidente.

7171

Ruote coniche

V

Tt

1

1O1

C

T

t

1

2

cos p

cos c

V

O

2 O1O2

CRpb

S O2

p

c

Rcb

O2

7272

O1

Rp COpccccc

ccpp

sinz2zpR

RR

γ==

π⋅⋅==

ω=τ

⇒⋅ω=⋅ω

O O2

cos p

cos c

Rcp

c

O Oc

ppppp sinzzp2R γ==

⋅π⋅==

ω=τ

( )p

cp

sinsin

se

γ−δγ

γ+γ=δ

S

O1

O

2

C

p

c

Rpb

Rcb

( )

p

pp

p

p

c

cotan90pere

coscotansinsin

sinsinsin

γ=τ⇒°=δ

δ−γ⋅δ=γ

γδ=

γγ

=τ

S O2

Sui coni complementari si ha invece:

ppccbccb

ppb

coscosRR

RR*RR

RR

γτ=

γ==τ⇒==

ccppbccb

ppb coscosRRcoscos γγγγ

E quindi, se δ = 90°, p22 cotan* γ=τ=τ

Sui coni complementari, per la costanza del passo, anche il numero di denti risulta diverso:Sui coni complementari, per la costanza del passo, anche il numero di denti risulta diverso:

c

ccb

p

ppb cos

zzcos

zz

γ=

γ=

( ) ( )2( ) ( )( ) p2*

2*2**

a2minp cossin21

sin21k2z γ

ατ⋅+

ατ⋅++τ+τ⋅=⇒ oppure, nel caso, p2minp cos

sin25.12z γα

⋅=⇒

7373

Esempio. Supponiamo di avere una coppia di ruote coniche inserite in un rinvio a 90°, caratte-rizzate da m = 5 mm (misurato sulla base maggiore), zp = 21 e zc = 25 denti, con α = 20°.( gg ), p c ,I raggi primitivi sulla base maggiore valgono:

19048.1zz

RRmm5.62

2zmRmm5.52

2zm

Rp

c

p

ccc

pp ===⇒=

⋅==

⋅= τ

pp

e quindi gli angoli di semiapertura dei coni sono dati da:( ) 96983.499003017.401atan pcp °=−°=°== γγτγ

Sui coni complementari poi abbiamo:Sui coni complementari poi abbiamo:

31091R42564R

cotan4173.1RRmm17.97

cosRRmm56.68

cosR

R p2

pb

cb*

c

ccb

p

ppb ===⇒==== γτ

γγ

mm310.91cosRmm425.64cosR cbcbpbpb =⋅==⋅= αραρ

Per quanto riguarda il numero dei denti, infine, abbiamo

⇒ ddc41731zmm8738zzmm4327z

z cb*cp τ

( ) ( )( )⎪

⎪⎨

⎧≈=

⋅+⋅+++

=

==⇒====

1019.10cossin21

sin212

z

.d.d.c4173.1z

mm87.38cos

zmm43.27cos

z

p2*

2*2**

pb

cb

c

ccb

p

ppb

γατ

ατττ

τγγ

( )⎪⎪⎩

⎨≈=

⋅+=

1636.16sin

cos5.2sin21z

2p

pmin

αγ

ατ

Si può anche facilmente mostrare, ricorrendo alle ruote complementari, che una coppia conica

7474

ha un grado di ricoprimento maggiore di quello di una coppia cilindrica di pari numero di denti; ad esempio, nel nostro caso abbiamo ε = 1.67058 contro ε = 1.5903 della coppia cilindrica.

cosz

zr2r2

mr2

zcos

rr p

pbpbp

bp

bp γ=

⋅

⋅=

⋅=

γ=

zr2m

cosr2mcos

mm

ppp

⋅=

γ⋅γ

γ

γ===τ

sinsin

rr

zz ggg

( )δ

=γ⇒

γ−δ=γ⋅τ⇒γ+γ=δ

γ

sintan

sinsin

sinrz

ppgp

ppp

δ+τ=γ⇒

costan p

Se pctan2

γ=τ⇒π

=δ p2γ

7575

F

FF

acrc

Reazioni della coronasul pignone

Azioni del pignonesulla corona

S

S Ftc

Fnc

SF

F F

tp

ap

Fnp

76

Frpap

76

Azioni tra i denti

( l di i t )(ϕ = angolo di spinta)

Azioni del pignone

S F

FF

tc

acrc

Reazioni della coronasul pignone

p gsulla corona

F

SFtp

Fnp

Fnc

Considerando la ruota cilindrica equivalente si ha

F Frp

ap

np

γγϕϕ cosFFsinFFsinFFcosFF nrnant ⋅=⋅=⋅=⋅=

FFM

γ⋅ϕ=γ⋅=γ⋅ϕ=γ⋅=

ϕ=ϕϕ

=ϕ

=⇒=

sintanFsinFFcostanFcosFF

tanFsincos

FFcos

FFr

MF

tnatnr

tt

nt

p

tt

7777

tnatnr

Coppia vite-ruota

•p = passo della ruota•L = passo della vite•n = numero di principi della vite•n = numero di principi della vite•Δ = distanza tra i principi della vite•nr = num. giri ruota•n = num. giri vitenv num. giri vite

R2Lp ⋅π⋅=⇒=Δ

Condizione di ingranamento

znp =⇒=Δ

Rapporto di trasmissione:

nz

Lzp

nnzpnLn

r

vrv =

⋅==τ⇒⋅⋅=⋅

τ < 6 < 10 < 15 < 30

7878

τ 6 10 15 30n 4 3 2 1

λ = angolo di inclinazione dell’elica:

dLtan =λ

vd⋅π

deve essere uguale a quello della

7979inclinazione dei denti sulla ruota

⎧ λλϕ sinFfcoscosFFF

⎪⎩

⎪⎨

⎧

ϕ==λ⋅+λϕ==λ⋅−λϕ==

nnrvrr

nnntvar

nnnavtr

sinFFFcosFfsincosFFFsinFfcoscosFFF

⎩ ϕnnrvrr

λ+λϕλ−λϕ

=cosfsincossinfcoscos

FF ntr

λ+λϕ cosfsincosF ntv

=λ−λϕ

ϕ==

sinfcoscossinFFF

n

ntrrvrr

λ+λϕϕ

=cosfsincos

sinFn

ntv

( )

λλ

=⋅

λ⋅=

⋅⋅

==η

ifvFtanvF

vFvF

NN

vtv

vtr

vtv

rtr

i

u

λ⋅−ϕ

=λλ⋅+λϕλ⋅−λϕ

=

tanfcos

tancosfsincossinfcoscos

n

n

n

8080λ⋅+ϕ

ϕ=

ctanfcos n

n

Rotismi epicicloidali

SACSAP

SACSAP z2zz

zzzR2RR

RRR⋅+=⇒⎨

⎧ +=⋅+=⇒⎨

⎧ +=SAC

SPCSAC

SPC

z2zzzzz

R2RRRRR

+⇒⎩⎨ +=

+⇒⎩⎨ +=

8181

Rotismo ordinario

Supponiamo che l’ingresso sia dal solare:Esprimiamo il rapporto con

tiSupponiamo che l ingresso sia dal solare:

uCPiA 0 ω=ω=ωω=ω

RRRvRv ⋅ω=ω⇒⋅ω==⋅ω=

un numero negativo per evidenziare che le ruote girano nel medesimo verso.

( ) ( )ACAACCCAAC

CSSAACSSCCCCSSS

SAASSSSAAA

vvRRRRRRRRRRRvRv

RRRvRv

=⇒⋅ω=⋅ω⇒⋅ω=ω⇒⋅⋅ω=⋅ω=ω⇒⋅ω==⋅ω=

⋅ω=ω⇒⋅ω==⋅ω=

Considerando che le ruote presentano necessariamente lo stesso modulo, abbiamo:

AAACu zzR−=−=−=

ω=

ω=τ

SACCAi z2zzR ⋅+ωω

=

8282

Esempio. Supponiamo di avere il seguente rotismo epicicloidale: zA = zS = 20; m = 3 mm; ni = 1440 giri/min; P = 10 kW, nst = 3 - che useremo per tutti gli esempi - ed analizziamone per iniziare il comportamento a portatreno bloccato.

A it tt i hmm60RRRmm30zm

21RR SAPASA =+=⇒===

Anzitutto si ha: 60

mR2zmm90RRR

2C

CSPC =⋅

=⇒=+=

Supponiamo che l’ingresso sia dal solare:

RSAAAAA vvsec/m524.4Rvsec/rad796.150n602

===⋅ω=⇒=π

=ω

⎪⎧

−=−=ω

−31

796150265.50C

min/giri480nsec/rad265.50Rvmin/giri1440nsec/rad796.150Rv

CCCC

SSSS

=⇒==ω=⇒==ω

⎪⎪

⎪⎪⎪

⎨ −=−=−

ω

=ωω

−=τ

120z31

9030

RR

3796.150

A

R

C

A

i

u

⎪⎪

⎩−=−=

⋅+−

31

6020

z2zz

SA

A

N831736MFmN31566PMM A ==⇒=ω==

[ ].d.d.cPkW10MPmN944.198RFnMFF0M

N831.736Rn

FmN315.66PMM

iCCu

CCstCACS

AstAAiAi

==ω⋅=⇒=⋅=⇒=⇒=

==⇒=ω==

8383

Rotismo epicloidale Se ci portiamo nello spazio delle velocità relative al portatreno, il ro-tismo diventa ordinario e ne possiamo facilmente valutare il rapporto di i idi trasmissione:

( )⎪⎨

⎧ τ−τ⋅ω+τω=ω⇒

ω−ω=

ω=τ⇒⎨

⎧ ω−ω=ω 00P0CAPCPCPAPA ovvero

1

( )⎪⎩

⎨τω−ω=ω−ω

⇒ω−ω

=ω

=τ⇒⎩⎨ ω−ω=ω

0PCPAPAPA

0PCPC

ovvero

ASAPC zzzωFormula del Willis

C

A

C

S

S

A

PA

PC0 z

zzz

z−=−=

ω=τ

Caso A) Funzionamento a solare bloccatoCaso A) – Funzionamento a solare bloccatoCaso A.1) – Ingresso dal portatreno

( )0PCA 10 −τ⋅ω−=ω⇒=ω ( )

( )C

CA0

P

C

0PCA

zzz1

10+

=−τ−=ωω

=τ⇒

τωω⇒ω

C

CA

C

P

C

PPC

PPPCCCPPP

zzz

RR2

RR2

R2v2RvRv+

=⋅

=τ⇒⋅

ω=ω⇒

⋅ω⋅=⋅=⋅ω=⋅ω=

8484S

PP

S

P

S

PCS R

RRv

Rvv

ω==−

=ω

Per quanto riguarda i carichi, abbiamo:

MMMMPRFMM

CCstP

CPC

PCCCPPPPstPi

RFnR2

RMM

MMMMPRFnMM

⋅⋅=⋅

=⇒

τ=⇒⋅ω=⋅ω=⇒⋅⋅==

PCP

CPPstCCst F

21F

R2RRFnRFn =⇒⋅

⋅⋅=⋅⋅⇒

Pertanto, per l’equilibrio di ciascun satellite, sul solare si scarica la forza PCPA F1FFF =−=Pertanto, per l equilibrio di ciascun satellite, sul solare si scarica la forza PCPA F2

FFF

e pertanto il momento vincolare che il solare deve esplicare vale:

AAA RRR

C

Au

P

Ai

APstAAstAV R

RMR2

RM2

RFnRFnMM =⋅

=⋅=⋅⋅==

Esempio A.1). Con i dati a disposizione, risulta 316020zz CA0 −=−=−=τ

( ) 33.1796.150061.201min/giri1920nsec/rad061.20110

P

CC0PCA ==

ωω

=τ⇒=⇒=−τω−=ω⇒=ω

/096182/0489 N415368FN31566MM

min/giri2880nsec/rad592.301RR

sec/m096.18v2vsec/m048.9Rv

SS

PPS

PCPPP

=⇒=ω=ω

=⋅==⋅ω=

mN579.16MMN208.184FN208.184FmN736.49MMN415.368FmN315.66MM

AVA

CCu

PPi

==⇒==⇒===⇒==

8585

Caso A.2) – Ingresso dalla corona. In questo caso il rapporto di trasmissione vale

11

CA

C

0C

P

0CP zz

z1

11

1+

=−τ

−=ωω

=τ⇒−τ

ω−=ω

e quindi tutte le relazioni precedenti si invertono ottenendo:e quindi tutte le relazioni precedenti si invertono, ottenendo:

S

CC

S

PCS

CA

C

P

C

P

CCP R2

RR

vvzz

zR2

RR2

R⋅

ω=−

=ω⇒+

=⋅

=τ⇒⋅

ω=ω⇒

PCP

CCstPPstPPstP

CP

CPPPCCCCstCi

F21F

RR2RFnRFnRFn

RR2MM

MMMMPRFnMM

=⇒⋅

⋅⋅=⋅⋅⇒⋅⋅=⋅

=⇒

τ=⇒⋅ω=⋅ω=⇒⋅⋅==

CC 2RR

Esempio A.2). In questo caso risulta (essendo τ0 = -1/3)750min/giri1080nsec/rad0971133 P =

ω=τ⇒=⇒=ω=ω

min/giri720nsec/rad398.75602

90

75.0min/giri1080nsec/rad097.1134

SCS

CPCP

=⇒=ω⋅

=ω⇒

=ω

=τ⇒=⇒=ω=ω

sec/m786.62vvsec/m572.13Rv CPCCC ==⇒=⋅ω=⇒

N222.491FmN420.88MMN611.245FmN315.66MM

PPu

CCi

=⇒===⇒==

8686mN105.22MMN611.245F AVA

PPu

==⇒=

Caso B) – Funzionamento a corona bloccataCaso B.1) – Ingresso dal portatreno

CA0Au

0

0PAC

zz1

10

+−τωωτ−τ

ω=ω⇒=ω

A

CA

0

0

P

A

i

u

z=

τ=

ω=

ω=τ

CAPP

PPPAAAPPP

zzR2R2R2v2RvRv

+⋅⋅⋅ω⋅=⋅=⋅ω=⋅ω=

S

PP

S

P

S

APS

A

CA

A

P

A

PPA

RR

Rv

Rvv

zzz

RR2

RR2

ω==−

=ω

+==τ⇒ω=ω⇒

SSS RRR

PAA

PPstAAstAAstA

PA

PAAAPPPPstPi

F21F

R2RRFnRFnRFn

R2RMM

MMMMPRFnMM

=⇒⋅

⋅⋅=⋅⋅⇒⋅⋅=⋅

=⇒

τ=⇒⋅ω=⋅ω=⇒⋅⋅==

PP 2R2R2 ⋅⋅

Esempio B.1). In questo caso risulta (essendo τ0 = -1/3)

( ) 4410 PAP00PAC =ωω=τ⇒ω⋅=τ−τω=ω⇒=ω

min/giri2880nsec/rad592.301RRsec/m096.18R2vsec/m048.9Rv

SSPPS

PPAPPP

=⇒=ω=ω=⋅ω⋅==⋅ω=

mN579.16MMN417.368MFRFnMM PAP

PPPstPi =τ=⇒==⇒⋅⋅==

8787mN736.49RFnMMN209.184FFN209.1842FFRn

CCstCVACPA

PAPst

PPPstPi

=⋅⋅==⇒==⇒==⇒⋅

Caso B.2) – Ingresso dal solareAnche qui le varie relazioni si invertono, avendo nell’ordine:

( )A0Pu

00APC

z10

=τ

=ω

=ω

=τ

−ττω=ω⇒=ω

CA

A

P

A

P

AAP

AAAPPPAAA

zzz

R2R

R2R

2/R2vRvRv

+=

⋅=τ⇒

⋅ω=ω⇒

⋅ω==⋅ω=⋅ω=

( ) CA0Ai zz1 +=

−τ=

ω=

ω=τ

S

PP

S

P

S

PAS

CAPP

RR

Rv

Rvv

ω==−

=ω

MMMMPRFMM ⇒⇒

PAA

PAAstPPstPPst

A

PAP

APAAPPAAstAi

F21F

RR2RFnRFnRFn

RR2MM

MMMMPRFnMM

=⇒⋅

⋅⋅=⋅⋅⇒⋅⋅=⋅

=⇒

τ=⇒⋅ω=⋅ω=⇒⋅⋅==

Esempio B.2). In questo caso risulta (essendo τ0 = -3)

( ) 25.025.010 APP00PPC =ωω=τ⇒ω⋅=−ττω=ω⇒=ω

min/giri720nsec/rad398.75RRsec/m262.2R5.0vsec/m524.4Rv

SSPPS

AAPAAA

=⇒=ω=ω=⋅ω⋅==⋅ω=

M

mN945.198RFnMMN833.736FFN667.1473F2F

mN260.265MMN833.736Rn

MFRFnMM

CCstCVACAP

APAst

AAAAstAi

=⋅⋅==⇒==⇒=⋅=⇒

=τ=⇒=⋅

=⇒⋅⋅==

8888

Come abbiamo visto, con un rotismo epicicloidale si può realizzare un’intera gamma di rapporti di trasmissione, in corrispondenza di 1+<|τ0 |<∞; ad esempio, e con riferimento ai casi esaminati:

( )0zzz1 SAC0 →≈→τ +

+→ 21.A

( )∞→>>∞→τ SAC0 zzz

∞→1.A

+

−

−

→→→

5.02.B21.B

5.02.A

−

+

+

→→→

12.B11.B02.A

→ 5.02.B → 12.B

Per contenere le dimensioni del gruppo e per estendere il campo dei rapporti si possonoPer contenere le dimensioni del gruppo e per estendere il campo dei rapporti si possono realizzare dei rotismi a due corone di satelliti:

8989

A titolo di esempio, esaminiamo il caso A.1 (solare bloccato, ingresso dal portatreno)

C

AS

C

SB

SA

A

PA

PC0 z

zKzz

zz

−=−=ω

ω=τ

SBPSBSAAC RRRRRR +=++=

( ) PSASPestSAP

PP

SPPP v2RvvRR

RvRv ⋅=⋅ω+=⇒ω==ω⇒⋅ω= ( )

( ) ( ) CCCSPSA

SBP

SA

SBPSBSPestSB

PSASPestSASA

PSA

SPPP

RvK1vzz1v

RR1vRvv

RR

⋅ω==+=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=⋅ω+=⇒

( )C

SP

P

C

RK1R +⋅

=ωω

=τ⇒

PCCCPPPPstPi MMMMPRFnMM τ=⇒⋅ω=⋅ω=⇒⋅⋅==

( )

( ) SBPCC

PPstCCst

CCstSP

CP

C

PPC

FF1FRRFnRFn

RFnK1R

RMMM

==⇒⋅⋅=⋅⋅⇒

⋅⋅=+

=ωω

=⇒

( )

AS

SP

SPSBPSA

SBPS

CSP

PPstCCst

FK1

KFK1

11FFFF

K1K1R

=+

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

−=−=⇒

++

9090( )SP

ASP

S

ASPstAAstAV K1R

RKMK1RKFnRFnMM

+⋅

=+

⋅⋅=⋅⋅==⇒

Esempio. Per questo esempio modifichiamo leggermente i dati precedenti, ponendo RA = 30 mm ed m = 3 mm, da cui zA = 20 ed ancora Pi = 10 kW con ni = 1440 giri/min. Esamiano il caso d ll’i d l l bl d i i i l i idell’ingresso dal portatreno a solare bloccato ed esaminiamo varie soluzioni.

zSA =20 - zSB = 30 zSA =30 - zSB = 30 zSA =30 - zSB = 20 K 1 500 1 000 0 667KS 1.500 1.000 0.667RSA mm 30.00 45.00 45.00RSB mm 45.00 45.00 30.00RC mm 105.00 120.00 105.00R mm 60 00 75 00 75 00RP mm 60.00 75.00 75.00zC 70 80 70τ0 -0.429 -0.250 -0.190ωP rad/sec 150.796 150.796 150.796nP giri/min 1440 00 1440 00 1440 00nP giri/min 1440.00 1440.00 1440.00vP m/sec 9.048 11.310 11.310ωS rad/sec 301.593 251.327 251.327nS giri/min 2880.00 2400.00 2400.00vC m/sec 22.619 22.619 18.850vC /sec .6 9 .6 9 8.850ωC rad/sec 215.423 188.496 179.520nC giri/min 2057.143 1800.000 1714.286τ 1.429 1.250 1.190MP mN 66.315 66.315 66.315FP N 368.414 294.731 294.731FC N 147.366 147.366 176.839MC mN 46.420 53.052 55.704FA N 221.049 147.366 117.893

9191

MV mN 19.894 13.263 10.610

Rotismi epicloidali compensatori

Sono caratterizzati dall’avere tutti gli elementi mobili, prevalentemente con ingresso dal g , p gportatreno (movente) ed uscite da entrambi gli altri elementi (cedenti); l’applicazione più diffusa è quella del differenziale.

⎪⎧ ω

ρ++

ω=ω B 1

( )

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

ω+

+ω+ρ

=ω

ω⋅ρ++ω⋅ρ−=ω

ωρ

+ρ

=ω

⇒ω−ωω−ω

=ρ−=τ

BA

PAB

PA

PR

PAO

11

1

1

⎪⎩ ρ+ρ+ 11

( )( ) ( )PBAPAB11 ω−ω

ρρ+

=ω−ωρ+=ω−ω⇒

⎩⎨⎧

ω=ω+ω=+

PPBBAA

PBA

MMMMMM

⎪⎪

⎪⎪⎨

⎧

=ω−ω

=

ρ+ρ

=ω−ωω−ω

=⇒ 1MMM

1MMM

BP

PAB

PAPA

⎪⎪⎩ ρ+

=ω−ω

=1

MMM PAB

PB

Se poi, come avviene di solito, è ρ = 1, abbiamo:

⎪⎪⎨

⎧

ω⋅+ω−=ωω+ω=ω

PAB

PBA

22

( ) ( )22 ωωωωωω⇒MMM P==⇒

9292⎪⎪⎩

⎨

ω+ω=ω BA

PAB

21

21

( ) ( )PBAPAB 22 ω−ω=ω−ω=ω−ω⇒2

MM BA ==⇒