La prova si compone di 16 pagine, di cui 2 bianche.

Državni izpitni center

© RIC 2008

*M08240111I*

Martedì, 26 agosto 2008 / 120 minuti

MATURITÀ GENERALE

SESSIONE AUTUNNALE

INDICAZIONI PER I CANDIDATI

Leggete con attenzione le seguenti indicazioni.Non aprite la prova d'esame e non iniziate a svolgerla prima del via dell'insegnante preposto.

Incollate o scrivete il vostro numero di codice negli spazi appositi su questa pagina in alto a destra e sulle due schede divalutazione. Scrivete il vostro numero di codice anche sui fogli della minuta.

La prova d'esame si compone di 12 quesiti, risolvendo correttamente i quali potete conseguire fino a un massimo di 80punti. Il punteggio conseguibile in ciascun quesito viene di volta in volta espressamente indicato. Per risolvere i quesitipotete fare uso dell'elenco di formule che trovate a pagina 2.

Scrivete le vostre risposte negli spazi appositamente previsti all'interno della prova utilizzando la penna stilografica o lapenna a sfera. Disegnate a matita i grafici delle funzioni. In caso di errore, tracciate un segno sulla risposta scorretta escrivete accanto ad essa quella corretta. Alle risposte e alle correzioni scritte in modo illeggibile verrà assegnato ilpunteggio di zero (0). Utilizzate i fogli della minuta solo per l'impostazione delle soluzioni, in quanto essi non verrannosottoposti a valutazione.

Le risposte devono riportare tutto il procedimento attraverso il quale si giunge alla soluzione, con i calcoli intermedi e levostre deduzioni. Nel caso in cui un quesito sia stato risolto in più modi, deve essere indicata con chiarezza la soluzione davalutare.

Abbiate fiducia in voi stessi e nelle vostre capacità. Vi auguriamo buon lavoro.

Al candidato sono consentiti l'uso della penna stilografica o della penna a sfera, della matita, della gomma, di unacalcolatrice tascabile priva di interfaccia grafica e possibilità di calcolo con simboli,

nonché del compasso, di due squadrette e di un righello.Al candidato vengono consegnati due fogli per la minuta e due schede di valutazione.

C o d i c e d e l c a n d i d a t o :

MATEMATICAProva d'esame 1

Livello di base

2 M082-401-1-1I

Formule

• ( )( )2 1 2 1 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 1 2....n n n n n n n na b a b a a b a b a b ab b+ + − − − −+ = + − + − + − +

• Teoremi di Euclide e dell’altezza di un triangolo rettangolo: 21a ca= , 2

1b cb= , 2

1 1ch a b=

• Raggi delle circonferenze circoscritta ed inscritta ad un triangolo: 4abcRA

= , Ar p= , 2a b cp + +=

• Formule di bisezione:

1 cossen 2 2x x−= ± ; 1 coscos 2 2

xx += ± ; x xx

sentan 2 1 cos= +

• Funzioni trigonometriche relative al triplo di un angolo: 3sen 3 3 sen 4 senx x x= − , 3cos 3 4 cos 3 cosx x x= −

• Teoremi di addizione: ( )

( )

( )

x y x y x y

x y x y x y

x yx yx y

sen sen cos cos sen

cos cos cos sen sen

tan tantan1 tan tan

+ = +

+ = −

++ =−

• Formule di prostaferesi o di fattorizzazione:

sen sen 2 sen cos2 2x y x yx y + −+ = , sen sen 2 cos sen2 2

x y x yx y + −− =

cos cos 2 cos cos2 2x y x yx y + −+ = , cos cos 2 sen sen2 2

x y x yx y + −− = −

( )x yx y x y

sentan tan cos cos

±± = ,

( )y xx y x y

sencot cot sen sen

±± =

• Formule di Werner o della scomposizione del prodotto:

( ) ( )[ ]1sen sen cos cos2x y x y x y= − + − − ;

( ) ( )[ ]1cos cos cos cos2x y x y x y= + + − ;

( ) ( )[ ]1sen cos sen sen2x y x y x y= + + −

• Distanza del punto ( )0 0 0,T x y dalla retta 0ax by c+ − = :

( ) 0 00 2 2,

ax by cd T p

a b

+ −=

+

• Area del triangolo di vertici ( )1 1,A x y , ( )2 2,B x y , ( )3 3,C x y :

( )( ) ( )( )2 1 3 1 3 1 2 112A x x y y x x y y= − − − − −

• Ellisse: 2 2 2 , ; ee a b a baε= − = >

• Iperbole: 2 2 2, ee a b aε= + = ; a è il semiasse reale.

• Parabola: 2 2y px= , fuoco , 02p

F⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠

• Integrali: x x Ca ax a2 2

d 1 arctan= ++∫ ,

2 2d arc senx x Ca

a x= +

−∫

M082-401-1-1I 3

01. Scrivete i primi dieci termini della successione aritmetica il cui primo termine è 2 e la cui ragione è 3 . Determinate in percentuale quanti di essi sono divisibili per 4 e quanti di essi sono numeri primi.

(6 punti)

I primi dieci termini della successione aritmetica sono:

2, , , , , , , , ,

Percentuale dei numeri divisibili per 4 :

Percentuale dei numeri primi:

4 M082-401-1-1I

02. Tracciate le rette 3 3 0x y− − = e 2 5 0x y+ + = e calcolate la loro intersezione.

(7 punti)

x

y

1

1

M082-401-1-1I 5

03. Risolvete l'equazione 2 4 5 0x x− + = e riportate le risoluzioni nel piano complesso.

(6 punti)

1

i

Re

Im

6 M082-401-1-1I

04. Scrivete l'equazione della retta tangente e l'equazione della retta perpendicolare al grafico della funzione ( ) 3 3f x x x= − nel punto ( )02,A y− .

(7 punti)

M082-401-1-1I 7

05. È data la funzione razionale ( )1 2

3xf x

x−=+

. Determinatene il campo di esistenza, lo zero, le

equazioni dell'asintoto verticale e di quello orizzontale e l'intersezione del grafico della funzione con l'asse delle ordinate. Tracciate il grafico della funzione.

(7 punti)

8 M082-401-1-1I

06. Scegliamo a caso tre regali tra cinque libri, tre giocattoli e due sacchetti di caramelle. Calcolate la probabilità dell'evento, che i tre regali siano un libro, un giocattolo e un sacchetto di caramelle.

(6 punti)

M082-401-1-1I 9

07. Disegnate in ciascun sistema coordinato gli insiemi dei punti che soddisfano alle condizioni di volta in volta specificate:

(8 punti) a) 4x y+ =

1

1

x

y

b) 2 4x y+ =

1

1

x

y

c) 2 2 4x y+ =

1

1

x

y

d) 2 2 4x y− =

1

1

x

y

10 M082-401-1-1I

08. Risolvete l'equazione ( )x x2sen cos 1π− + = .

(8 punti)

M082-401-1-1I 11

09. La base di un prisma retto è un rombo le cui diagonali misurano 18 cme = e 24 cmf = . La diagonale di una faccia laterale misura 39 cm . Calcolate l'area della superficie totale del prisma.

(6 punti)

12 M082-401-1-1I

10. I punti ( )0, 0A , ( )7, 0B , ( )3, 3C e ( )0, 3D sono i vertici di un trapezio. Tracciate il trapezio nel sistema coordinato dato. Calcolate la lunghezza del lato b BC= , il prodotto scalare AB AC⋅ e l'ampiezza dell'angolo ABCβ = . Calcolate con esattezza la lunghezza del lato e il prodotto scalare, ed esprimete l'ampiezza dell'angolo β al primo di grado.

(7 punti)

x

y

1

1

M082-401-1-1I 13

11. Il grafico della funzione logaritmica ( ) logaf x x= è disegnato nel sistema coordinato dato. Scrivete la base del logaritmo. Nello stesso sistema coordinato tracciate anche il grafico delle funzioni ( ) ( )log 2ag x x= + e ( ) log 1ah x x= − . Indicate i grafici in modo adeguato.

(6 punti)

x

y

1

1

0

( )y f x=

2 3 4 5

14 M082-401-1-1I

12. Calcolate il numero reale positivo a tale che l'area della figura delimitata dal grafico della funzione ( ) senf x a x= e l'asse x nell'intervallo 0, π⎡ ⎤

⎢ ⎥3⎣ ⎦ sia uguale a 2 .

(6 punti)

M082-401-1-1I 15

Pagina bianca

16 M082-401-1-1I

Pagina bianca