M A N U A L E T E O R I C O - Homepage | Gruppo Sismica · 3.3.3. cerniere plastiche 46 3.3.4....

M A N U A L E T E O R I C O

Versione 1.11103101

G R U P P O S I S M I C A S . R . L .

3DMacro® - Manuale Teorico

- Pag. 1 -

______________________________________________

3DMacro è prodotto da:

Gruppo Sismica s.r.l.

Viale Andrea Doria n. 27

95125 – Catania

Telefono: (+39) 095/504749

Email: [email protected]

Web: www.grupposismica.it

3DMacro è distribuito in esclusiva da:

OmniaTest s.r.l.

Via Nina da Messina, 18

98121 Messina

Telefono: (+39) 090/346309

Email: [email protected]

Web: www.omniatest.it

Supporto tecnico:

[email protected]

3DMacro® - Manuale Teorico INDICE

- Pag. 1 -

INDICE

11 .. IINNTT RR OODD UUZZIIOONNEE 44

22 .. MM OODD EE LLLLOO 55

2.1. PARETI 6

2.1.1. COMPORTA MENTO P IANO 7

2.1.2. COMPORTA MENTO TRIDIME NSIONA LE 7

2.2. INTERAZIONE TRA ELEMENTI 8

2.2.1. INTERAZIONE TRA LE PA RETI E GLI ORIZZONTA MENTI 8

2.2.2. INTERAZIONE TRA LE PA RETI IN CORRISPONDE NZA DEGLI A NGOLI 9

2.2.3. INTERAZIONE TRA LE PA RETI E D E LE MENTI A ST A GLOBA LI 10

33 .. EE LLEE MM EE NNTT II 11 11

3.1. PANNELLI MURARI 11

3.1.1. ELEMENTO PANNELLO (COMPORTA MENTO PIANO) 11

3.1.2. ELEMENTO PANNELLO (COMPORTA MENTO TRIDIMENSIONA LE ) 19

3.1.3. ELEMENTI R IG IDI 22

3.1.4. ELEMENTI INTERFACCE 23

3.2. SETTI IN C.A . 36

3.3. ASTE 37

3.3.1. ASTA L IBE RA 43

3.3.2. INTERAZIONE CON PA NNE LL I MU RA RI 43

3.3.3. CERNIE RE PLASTICHE 46

3.3.4. MODELLO DI F LESS IONE INDIPENDENTE NEI DUE PIA NI PRINC IPA L I 47

3.3.5. MODELLO DI F LESS IONE CON INTE RAZIONE PMM 48

3.4. ORIZZONTAMENTI 52

3.4.1. IMPA LCA TI R IG IDI (FLOOR) 53

3.4.2. DIA FRA MMI R IG IDI (DIAPHRAGM) 53

3.4.3. DIA FRA MMI DE FORMA BILI (PLA TE) 54

3.5. INTERAZIONE TRA PARETI ORTOGONALI 60

3.5.1. INTERAZIONE TRA PA NNE LLI (ELE MENTI D ’A NGOLO O CORNE R) 60

3.5.1. INTERAZIONE TRA CORD OLI DI P IA NO 62

3.5.2. INTERAZIONE ME DIANTE PI LA STRI D 'ANGOLO 63

3.6. NONLINEAR LINK (NLINK) 63

3.7. VINCOLI 65


- Pag. 2 -

3.7.1. FONDA ZIONI 65

44 .. MM AA TT EERR IIAA LLII 66 66

4.1. MURATURA 66

4.1.1. COMPORTA MENTO FLE SS IONA LE 66

4.1.2. COMPORTA MENTO A TA GLIO PE R FE SSU RAZIONE DIA GONALE 73

4.1.3. COMPORTA MENTO A SCORRIME NTO 84

4.1.4. COMPORTA MENTO C ICL ICO 88

4.1.5. R INFORZO ME DIANTE MET ODOLOGIA CAM 91

4.1.6. R INFORZO ME DIANTE L'U TILIZZO DI COMPOSIT I F IBRORINFORZATI 100

4.2. CALCESTRUZZO 110

4.2.1. SETTI IN C .A . – PROCE DU RE DI TA RATU RA 110

4.3. ACCIAIO 117

4.4. DOMINI DI AMMISSIBILITÀ DELLE SOLLECITAZIONI 117

55 .. CCAA RR IICCHHII 11 11 99

5.1. CARICHI GRAVITAZIONALI 119

5.2. CALCOLO DELLE FORZE NODALI NELLE ASTE 119

5.3. DETERMINAZIONE DELLE DISTRIBUZIONI SISMICHE 122

66 .. AA NNAA LLIISS II 11 22 44

6.1. ANALISI STATICHE NON LINEARI 124

6.1.1. ANALISI STA T ICHE A CONTROLLO DI FORZE 125

6.1.2. ANALISI STA T ICHE A CONTROLLO DI SPOSTAME NTO 126

6.2. ANALISI DINAMICHE NON LINEARI 127

6.3. PROCEDURE DI ANALISI 128

6.3.1. DETE RMINAZIONE DE I PU NTI D I CONTROLLO 133

6.3.2. USC ITA DA LL ’A NA LIS I 133

6.3.3. EVENTI E TOLLE RANZE 134

6.3.4. R ID ISTRIBUZIONI 137

77 .. VVEE RR IIFFIICCHHEE 11 44 11

7.1. OSCILLATORE ELASTOPLASTICO EQUIVALENTE 141

7.2. DETERMINAZIONE DELLE MASSE DEI PUNTI DI CONTROLLO 144

7.3. SOLLECITAZIONI E SPOSTAMENTI DEGLI ELEMENTI 144

7.3.1. INTERFACCE 145


- Pag. 3 -

7.3.2. PANNE LL I 146

7.3.3. ASTE 148

7.4. ANALISI LIMITE DI PARETI MURARIE CARICATE FUORI DAL PROPRIO

PIANO 149

7.4.1. INDIVIDUA ZIONE DELLE FA SCE MURARIE 149

88 .. BB IIBB LLIIOOGGRR AA FFIIAA 11 55 33

3DMacro® - Manuale Teorico CAPITOLO 1 - INTRODUZIONE

- Pag. 4 -

1. INTRODUZIONE

L’obiettivo di questo manuale è descrivere i fondamenti teorici e le procedure di calcolo sulle quali si basa

il software 3DMacro®.

Il manuale ha lo scopo di fornire adeguate informazioni all’utente, in modo da chiarire i concetti

fondamentali delle procedure e fornire i riferimenti utili per informazioni più dettagliate. Pertanto, il

manuale non pretende di rappresentare un esaustivo approfondimento di tutti gli argomenti, ma solo una

panoramica delle teorie utilizzate.

Nel seguito vengono descritti gli elementi implementati nel codice di calcolo e i relativi legami costitutivi

impiegati, nonché il tipo di interazione tra elementi differenti. Il modello è costituito da un insieme di

elementi, il cui comportamento è regolato dai legami costitutivi ad essi assegnati, che interagiscono tra

loro secondo le modalità che saranno descritte nei capitoli successivi, e da tutte le impostazioni

riguardanti le analisi da eseguire.

Con riferimento alle procedure di calcolo e al comportamento meccanico degli elementi, si fa presente

che non tutte le opzioni di seguito descritte sono presenti nella versione commerciale del software. Tali

argomenti sono inseriti nel presente manuale perché riguardano opzioni che in un prossimo futuro

saranno rese disponibili.

3DMacro® - Manuale Teorico CAPITOLO 2 - MODELLO

- Pag. 5 -

2. MODELLO

Al modello sono assegnate le seguenti proprietà generali:

il nome, sulla base del quale vengono determinati gli indirizzi delle cartelle di lavoro su cui

verranno salvati i risultati;

la direzione della gravità, fissata mediante un versore, che di default indica la direzione

negativa dell’asse z;

l’accelerazione di gravità, che di default è fissata in 980.7 cm/s2;

il comportamento delle pareti, che può essere piano se si ipotizza che la struttura abbia

comportamento scatolare, e si trascura quindi il comportamento fuori piano della muratura,

oppure può essere tridimensionale se si ritiene determinante valutare il comportamento fuori

piano delle pareti.

Il comportamento delle pareti è determinante nella valutazione del comportamento globale dell’edificio, e

la scelta di una delle due opzioni implica un approccio diverso nello studio del comportamento

dell’edificio.

Altre opzioni generali non sono strettamente legate al modello di calcolo. Pertanto esulano dalla presente

trattazione e sono descritte nel manuale utente.

Ciascun componente del modello, sia elementi che entità come le analisi, possiede una serie di dati che lo

caratterizzano, e che l’interfaccia grafica trasmetterà al motore di calcolo al fine di eseguire tutte le analisi

numeriche previste per il modello strutturale. La comunicazione tra le due componenti del software

avviene mediante un file dati. Questo è un file di testo che viene esportato dall’interfaccia grafica e

interpretato dal motore di calcolo, e contiene tutte le informazioni necessarie affinché il solutore esegua il

calcolo.

Tutti gli elementi (pannelli murari, aste, ecc.) sono organizzati in pareti. Le pareti possono interagire tra

loro in corrispondenza delle intersezioni, o mediante orizzontamenti; pertanto l’assemblaggio di pareti che

hanno comportamento esclusivamente piano, in virtù dell’accoppiamento conferito dagli elementi di

collegamento, assume globalmente comportamento tridimensionale, e consente di modellare

adeguatamente gli edifici il cui comportamento strutturale può essere considerato scatolare.

Se si assume che il comportamento sia piano ciascuna delle pareti lavorerà solo nel proprio piano. Questa

scelta comporta un notevole risparmio computazionale (dovuto al ridotto numero di gradi di libertà), ma

anche l’impossibilità di cogliere i meccanismi di collasso fuori piano delle pareti murarie. Tuttavia questa

scelta si presta bene per tutti gli edifici per i quali l’ipotesi di comportamento scatolare risulta accettabile.

Se invece si assume che il comportamento sia tridimensionale le pareti lavoreranno anche fuori dal

proprio piano. Questa scelta comporta un maggiore onere computazionale (l’arricchimento del modello

implica un maggiore impegno in termini di gradi di libertà), ma anche la possibilità di cogliere i

meccanismi di collasso fuori piano delle pareti murarie. Questa scelta risulta pertanto necessaria quando

l’ipotesi di comportamento scatolare risulta troppo restrittiva (chiese, ecc.).

In questo capitolo verranno pertanto descritte le proprietà delle pareti, e le possibili interazioni tra di

esse, o con altri elementi, che consentono complessivamente la simulazione del comportamento non

lineare di interi edifici.


- Pag. 6 -

Gli elementi globali di collegamento possono essere:

diaframmi rigidi sia dal punto di vista membranale che da quello flessionale , o rigid floors (cfr.

3.4.1);

diaframmi rigidi solo dal punto di vista membranale, o diaphragms (cfr. 3.4.2);

diaframmi con comportamento a lastra piana, o plates (cfr. 3.4.3);

elementi asta non appartenenti a nessuna parete, o aste globali (cfr. 3.3);

elementi speciali d’angolo (cfr. 3.5.1).

Un’importante distinzione è quella tra elementi ereditati dall’interfaccia grafica, ed elementi che sono

invece creati dal motore di calcolo. Essi sono determinati in genere per cogliere l’interazione tra gli

elementi e sono definiti generati. Alla prima categoria appartengono i seguenti elementi:

pannelli murari (cfr. 3.1);

setti in c.a. (cfr. 3.2);

aste (cfr. 3.3);

orizzontamenti (cfr. 3.4);

Nonlinear Link (cfr. 3.6);

Alla seconda categoria appartengono invece i seguenti elementi:

Interfacce (cfr. 3.1.4);

elementi speciali d’angolo (cfr. 3.5.1);

vincoli esterni e fondazioni (cfr. 3.7);

vincoli interni (cfr 3.3).

2.1. PARETI

Le pareti sono contenitori di elementi che condividono il medesimo orientamento spaziale. Tale

orientamento viene determinato descrivendo le componenti dei versori del sistema locale della

parete (due versori giacenti nel piano della parete) in coordinate globali.

Le pareti rappresentano geometricamente dei piani entro cui possono essere collocati degli elementi

giacenti comunque su tale piano.

Una parete è pertanto caratterizzata dalle seguenti proprietà:

un numero progressivo, identificativo della parete;

un orientamento, rappresentato dalle componenti globali, dei versori locali x e y della parete;

le liste di elementi in esso contenuti.

A seconda che il comportamento di una parete sia tridimensionale o piano, gli elementi in essa

contenuti assumeranno automaticamente comportamento tridimensionale o piano. Le pareti possono

inoltre essere collegate tra loro mediante opportuni elementi di collegamento ricadenti nella

categoria degli elementi globali.


- Pag. 7 -

2.1.1. COMPORTAMENTO PIANO

Il comportamento piano di una parete implica che tutti gli elementi in essa contenuti assumano

comportamento piano, e siano pertanto dotati di gradi di libertà tali da consentire che la loro

cinematica si esplichi solo nel piano della parete. Questo tipo di comportamento consente di

contenere il numero di gradi di libertà della struttura rispetto ad un analogo modello in cui anche

il comportamento fuori piano viene tenuto in conto, e si presta bene per la simulazione del

comportamento di edifici a comportamento scatolare, o in cui i meccanismi di primo modo sono

comunque inibiti.

L’interazione tra pareti adiacenti (ma non ortogonali) può avvenire mediante elementi d’angolo

(se si ritiene che gli ammorsamenti tra le pareti siano di buona qualità), creati in maniera

automatica dal software, e che trasferiscono le componenti delle forze della parete adiacente nel

piano della parete (cfr. 3.5.1).

Figura 1. Comportamento scatolare (Touliatos, 1996)

2.1.2. COMPORTAMENTO TRIDIMENSIONALE

Il comportamento fuori piano di una parete implica che gli elementi in essa contenuti siano dotati anche

dei gradi di libertà al di fuori del piano della parete, consentendo così che la loro cinematica si esplichi

anche ortogonalmente al piano della parete. Questo tipo di comportamento incrementa il numero di gradi

di libertà della struttura rispetto ad un analogo modello in cui il comportamento fuori piano viene inibito,

e si presta bene per la simulazione del comportamento di edifici per i quali non vale l’ipotesi di

comportamento scatolare, o in cui i meccanismi di primo modo possono manifestarsi (chiese, edifici in cui

i solai non sono bene ammorsati alle pareti, ecc…).

L’interazione tra pareti adiacenti (anche ortogonali) avviene mediante elementi d’angolo, creati in

maniera automatica dal software, e che trasferiscono le componenti delle forze della parete adiacente nel

piano della parete (cfr. 3.5.1).


- Pag. 8 -

Figura 2. Comportamento della muratura (Touliatos, 1996)

2.2. INTERAZIONE TRA ELEMENTI

Nel paragrafo precedente è stato introdotto il concetto di parete, e i suoi aspetti essenziali legati alla

descrizione del comportamento piano o fuori piano. Nel presente paragrafo verrà descritto in che modo

un insieme di pareti piane possono essere assemblate e far parte di strutture tridimensionali per la

modellazione di edifici reali. I principali tipi di interazione che verranno presi in considerazione sono:

Interazione tra le pareti e gli impalcati (cfr. 2.2.1);

Interazioni tra le pareti in corrispondenza degli angoli (cfr. 2.2.2);

Interazione tra cordoli, architravi o tiranti e i macro-elementi (cfr. 2.2.3).

Nei successi sotto-paragrafi si descrivono i criteri di modellazione adottati.

2.2.1. INTERAZIONE TRA LE PARETI E GLI ORIZZONTAMENTI

Nel modello proposto vengono considerati due diversi elementi atti a simulare la presenza di impalcati di

collegamento:

diaframmi infinitamente rigidi (cfr. 3.4.1 e 3.4.2);

diaframmi deformabili (cfr. 3.4.3).

In entrambi i casi, gli aspetti legati alla deformabilità flessionale del diaframma non vengono presi in

considerazione.

La modellazione dell’impalcato mediante un diaframma rigido in alcuni casi può risultare un’ipotesi forte

tuttavia consente una significativa riduzione dei gradi di libertà del modello. In alternativa l’utilizzo di un

diaframma deformabile nel proprio piano risulta più aderente alla realtà e consente una migliore

ripartizione dell’azione sismica sulle pareti su cui insiste.

L’interazione tra i diaframmi, siano essi rigidi o deformabili, e i pannelli delle pareti avviene mediante

interfacce opportunamente definite e appartenenti ai piani delle pareti. Tali elementi vengono creati


- Pag. 9 -

automaticamente dal software in corrispondenza dei pannelli che hanno un lato in comune con il

diaframma.

2.2.2. INTERAZIONE TRA LE PARETI IN CORRISPONDENZA DEGLI ANGOLI

L’interazione di una parete con altre pareti in corrispondenza delle zone d’angolo (cantonali) o più in

generale nei punti di intersezione tra due o più pareti risulta decisiva per poter adeguatamente cogliere il

reale comportamento della struttura e l’attivazione dei meccanismi di ribaltamento nel caso di modello

tridimensionale. Tale interazione, in genere, viene resa possibile dalla stessa tessitura muraria tramite

degli elementi sufficientemente ammorsati in ciascuna parete e disposti a filari alterni. Nei casi di

costruzioni più economiche, nelle quali tale pratica costruttiva è stata disattesa (o spesso riservata solo ai

cantonali), le pareti ortogonali si possono modellare come indipendenti tra loro.

Dal punto di vista meccanico, in corrispondenza di un punto di intersezione, è possibile distinguere tante

giaciture significative quante sono le pareti convergenti nell’intersezione. In corrispondenza di ognuna di

queste si avranno tensioni normali e tangenziali orientate in qualsiasi direzione (pareti con

comportamento tridimensionale). I possibili fenomeni di degrado in corrispondenza delle zone di

intersezione consistono nell’apertura di fessure, schiacciamenti della muratura o possibili scorrimenti.

Figura 3. Tensioni scambiate dalle pareti nelle zone di estremità

Per la modellazione degli ammorsamenti in corrispondenza di una intersezione tra due o più pareti

vengono inseriti degli elementi speciali detti elementi speciali d’angolo (cfr. 3.5). Nei modelli con

comportamento piano la presenza dei cantonali diviene inutile in caso di intersezione tra due pareti

ortogonali, poiché non esiste alcun possibile accoppiamento tra i gradi di libertà delle due pareti.

Viene inoltre modellata in automatico, in corrispondenza dell’intersezione tra pareti, l’interazione tra

cordoli appartenenti a pareti non convergenti in un punto, mediante vincoli di rigidità (cfr. 3.5.1).


- Pag. 10 -

2.2.3. INTERAZIONE TRA LE PARETI ED ELEMENTI ASTA GLOBALI

Un’ulteriore possibilità di interazione tra una parete e altri elementi ad essa non appartenenti, è

rappresentata da quella che può avvenire con elementi asta (cfr. 3.3.2).

Le aste possono assumere comportamento diverso, e pertanto interagire in maniera differente con la

parete muraria.

È possibile, ad esempio, che l’asta sia una trave aerea, che si appoggia su una parete muraria ad essa

ortogonale. In questo caso verranno tenuti in conti nel calcolo il comportamento assiale e quello

flessionale dell’asta, e potranno essere condivisi opportunamente i gradi di libertà tra l’asta e il pannello

murario con cui condivide un’estremità (attach, cfr. 3.3).

Per i soli modelli tridimensionali, risulta di grande utilità l’introduzione di incatenamenti. Il loro

inserimento comporta infatti un significativo miglioramento verso la totale inibizione dei meccanismi di

primo modo, che sono i primi a manifestarsi. In questo caso gli elementi asta assumeranno solo

comportamento assiale (non reagente a compressione), e il grado di libertà assiale della catena, in

corrispondenza del nodo di estremità del capo-chiave, verrà condiviso con un grado di libertà fuori piano

del pannello con cui condivide tale nodo.

La presenza di una catena può risultare di notevole utilità anche nel caso di comportamento piano del

modello. In questo caso essa non ha influenza nella simulazione del comportamento non lineare della

struttura, poiché la parete cui essa è vincolata, essendo perpendicolare non può condividere con la

catena alcun grado di libertà. Tuttavia è possibile effettuare le verifiche a ribaltamento delle pareti (cfr.

7.4) mediante i teoremi dell’analisi limite, verificando così la struttura anche nei confronti dei meccanismi

di primo modo.

Nel caso di parenti convergenti, con la presenza di un’asta interclusa, vengono modellati sia l’interazione

tra l’asta e le singole pareti, sia l’interazione delle pareti tra di loro (cfr. 3.5.2).

3DMacro® - Manuale Teorico CAPITOLO 3 - ELEMENTI

- Pag. 11 -

3. ELEMENTI

3.1. PANNELLI MURARI

Il modello di calcolo utilizzato dal software può essere collocato nell’ambito dei cosiddetti macro-modelli

essendo basato su una modellazione meccanica equivalente di una porzione finita di muratura concepita

con l’obiettivo di cogliere i meccanismi di collasso nel piano dei pannelli murari. Il modello è stato inoltre

arricchito al fine di poter cogliere anche i meccanismi fuori piano tipici dei fabbricati murari.

Nella sua definizione piana tale macromodello si colloca come miglior compromesso tra i metodi

semplificati tradizionali (modelli a telaio), e i metodi accurati (elementi finiti non lineari), coniugando i

vantaggi dell’uno e dell’altro. La validazione del modello è avvenuta tramite confronti con altre

metodologie, ed esistono numerosi lavori scientifici [1-4] a riguardo.

L’introduzione del comportamento fuori piano dell’elemento comporta un maggiore onere computazionale

associato sia al maggior numero di gradi di libertà che alla necessità di considerare ulteriori molle non

lineari per la descrizione del legame costitutivo. Tuttavia, lo svantaggio derivante dal maggiore costo

computazionale viene ampiamente compensato dalla possibilità di verificare l’eventuale instaurarsi dei

meccanismi di primo modo senza la necessità di individuare a priori i potenziali cinematismi e senza dover

ricorrere ai tradizionali metodi dell’analisi limite.

Nel seguito vengono descritti i diversi ambiti di comportamento del macro-elemento dal comportamento

statico non lineare delle murature nel proprio piano, fino agli sviluppi che hanno riguardato l’estensione

alla modellazione dinamica tridimensionale e la trasformazione dell’elemento base per la descrizione dei

meccanismi di primo modo. I procedimenti per la taratura degli elementi non-lineari e gli aspetti

computazionali legati alla modellazione numerica in campo statico e dinamico verranno dettagliatamente

descritti più avanti (cfr. 4 e 6).

3.1.1. ELEMENTO PANNELLO (COMPORTAMENTO PIANO)

Il modello concepito per la simulazione del comportamento delle murature quando sollecitate nel proprio

piano è rappresentato da un modello meccanico equivalente in cui una porzione di muratura viene

schematizzata mediante un quadrilatero articolato i cui vertici sono collegati da molle diagonali non lineari

e i cui lati rigidi interagiscono con i lati degli altri macro-elementi (o con altri elementi) mediante delle

interfacce discrete con limitata resistenza a trazione.


- Pag. 12 -

Figura 4. Interazione tra un pannello e gli elementi limitrofi mediante letti di molle.

Pertanto il modello si può pensare suddiviso in due elementi principali: un elemento pannello costituito

dal quadrilatero articolato e da un elemento di interfaccia costituito da un insieme discreto di molle che

determinano l’interazione non lineare con i quadrilateri eventualmente adiacenti o con i supporti esterni.

Figura 5. Pannello

Le molle diagonali dell’elemento pannello hanno il compito di simulare la deformabilità a taglio della

muratura rappresentata. Nelle molle poste in corrispondenza delle interfacce è concentrata la

deformabilità assiale e flessionale di una porzione di muratura corrispondente a due pannelli contigui.

Figura 6. Elemento di interfaccia.

Le molle non lineari, nel loro insieme, dovranno simulare i meccanismi di collasso della muratura nel

proprio piano. Il numero delle molle in ciascuna interfaccia è arbitrario, e viene scelto in base al grado di

pannello contiguo

pan

nel

lo c

onti

guo

supporto esterno

letto di molle

lato libero

k1 k2

f

u

molle trasversali

molla a scorrimento


- Pag. 13 -

dettaglio della soluzione che si intende ottenere; è importante notare che all’aumentare del numero di

molle non corrisponde un aumento del numero di gradi di libertà necessari alla descrizione della

cinematica del sistema; tuttavia aumenta l’onere computazionale associato alla non linearità delle molle

stesse. La figura sopra riporta uno schema meccanico relativo al comportamento piano dell’interfaccia, in

esso si può osservare una fila di molle flessionali (ortogonali all’interfaccia) e la molla longitudinale per la

modellazione dello scorrimento nel piano.

È importante sottolineare che non vengono formulate ipotesi a priori né sulla dislocazione degli elementi

di interfaccia, né sui lati lungo i quali un pannello può interagire con altri pannelli. Il modello prevede la

presenza di una interfaccia ogni qualvolta un pannello abbia un lato, o una porzione di esso, in comune

con un altro pannello o con un supporto esterno.

Questo modo di procedere permette di modellare agevolmente schemi strutturali dalle geometrie anche

complesse e irregolari.

Figura 7. Esempio di individuazione degli elementi di interfaccia

Un aspetto originale del modello è rappresentato dal fatto che il pannello è interagente lungo ciascuno

dei suoi lati. Tale circostanza determina numerosi vantaggi in quanto consente una modellazione

efficiente delle fasce di piano in cui l’eventuale azione di confinamento agisce in direzione orizzontale,

rende agevole la modellazione tra la muratura ed altri elementi (ad es. cordoli di piano o pilastri) ed

inoltre consente di modellare una parete di muratura attraverso una mesh di macro-elementi.

interfacce tra un elementoe un supporto esterno

interfacce tra elementi

a lati sfalsati

interfaccia tra elementi

a lati coincidenti

supporto esterno

p 1*

p 2*

p 1*; p 2* : vertici ausiliari


- Pag. 14 -

Figura 8. Muratura modellata mediante una mesh di macro-elementi

La possibilità di suddividere l’elemento murario in una mesh di più elementi più piccoli sembrerebbe

ricalcare la filosofia tipica dei modelli agli elementi finiti, tuttavia risulta utile evidenziare alcuni aspetti.

Innanzitutto l’utilizzo di una mesh di macro-modelli rappresenta una possibilità e non una necessità, come

nel caso dei modelli agli elementi finiti. In questo caso un singolo macro-elemento è già concepito per

simulare la risposta del pannello murario che rappresenta, a prescindere dalla sua estensione; una mesh

più fitta consente una descrizione più dettagliata della cinematica, oltre alla possibilità di cogliere con

maggiore accuratezza il meccanismo di collasso.

Data una generica parete muraria, a partire dalla sua specifica geometria è possibile individuare un

numero di pannelli murari minimo che la compongono. Si può tuttavia decidere di schematizzare ognuno

di essi mediante un singolo macroelemento oppure suddividerli, tutti o solo alcuni, in più macroelementi.

Nella figura sottostante tale procedura viene illustrata attraverso un semplice esempio.

L’irregolarità geometrica e di disposizione delle aperture può costituire senz’altro un esempio in cui il

ricorso a una mesh più fitta rispetto a quella di base può essere auspicabile non tanto ai fini della

valutazione della curva di capacità della struttura, quanto invece al fine di una più corretta valutazione del

meccanismo di collasso.


- Pag. 15 -

(a)

(b)

Figura 9. Modellazione di un prototipo di parete mediante due differenti mesh: (a) discretizzazione della parete; (b)

meccanismi di collasso ottenuti

Di seguito si mostra come il macro-elemento sia in grado di simulare i meccanismi di collasso nel piano

della muratura.

Il collasso di un elemento murario caricato verticalmente e sollecitato nel proprio piano mediante azioni

orizzontali crescenti si manifesta secondo tre possibili meccanismi come rappresentato nella figura

sottostante. Il meccanismo indicato in figura a è di natura prevalentemente flessionale, in esso la rottura

è associata alla fessurazione in corrispondenza delle fibre tese e/o allo schiacciamento in corrispondenza

delle fibre compresse. Gli altri due meccanismi di collasso rappresentati nelle figure b e c, sono

meccanismi di rottura a taglio associati rispettivamente alla fessurazione diagonale e allo scorrimento.

un macromodello per ciascun pannello murario mesh di quattro macro elementi per ciascun

pannello murario

suddivisione della parete in pannelli murari

apertura "porta"

apertura

"finestra"apertura "porta"

apertura

"finestra"

apertura "porta"

apertura

"finestra"apertura "porta"

apertura

"finestra"

parete reale


- Pag. 16 -

Figura 10. Meccanismi di rottura nel piano di un pannello murario: (a) rottura per schiacciamento/ribaltamento; (b)

rottura a taglio per fessurazione diagonale; (c) rottura a taglio per scorrimento

Figura 11. Simulazione dei meccanismi di collasso nel piano di un pannello murario: (a) rottura per

schiacciamento/ribaltamento; (b) rottura a taglio per fessurazione diagonale; (c) rottura a taglio per scorrimento

Come già noto, il meccanismo di collasso flessionale nel piano può manifestarsi secondo due molteplici

modalità: da una parte la progressiva fessurazione che porta alla parzializzazione della sezione del

pannello e quindi alla rotazione intorno ad un estremo; dall’altra il possibile schiacciamento della

muratura in prossimità del bordo compresso. Il modello riproduce tale meccanismo mediante le molle di

interfaccia disposte ortogonalmente all’interfaccia stessa; per tali molle viene previsto un legame con

limitata resistenza a compressione e comportamento elasto-fragile a trazione. Lo schiacciamento della

muratura sarà quindi associato alla progressiva plasticizzazione a compressione delle molle, mentre la

fessurazione verrà associata alla rottura per trazione delle stesse. In questo modo si tiene conto

implicitamente della dipendenza dallo sforzo normale che tale meccanismo presenta.

(a) (b)

Figura 12. (a) quadro fessurativo a flessione; (b) collasso modello discreto

Il meccanismo di collasso a taglio per fessurazione diagonale rappresenta senz’altro il più importante e

diffuso meccanismo di collasso nel piano. Esso è caratterizzato da un quadro fessurativo costituito da

fessure diagonali nella porzione centrale del pannello che si determinano lungo le isostatiche di

qq qF F F

(a) (b) (c)

qq q

F

F F

(a) (b) (c)

F

(b)

F

q

F

q

(c)

q

fessurazione schiacciamento

F

fessurazione (b)

schiacciamento

della muratura (a)

F

Fmolla

molla

a

b


- Pag. 17 -

compressione a causa della limitata resistenza a trazione. Il modello è capace di simulare tale

meccanismo mediante l’attribuzione di un legame costitutivo non-lineare alle molle diagonali.

(a) (b)

Figura 13. (a) quadro fessurativo per fessurazione diagonale; (b) modello discreto

Il meccanismo di collasso per scorrimento, in realtà non riveste molta importanza nelle applicazioni e

diviene possibile solo in presenza di bassi valori di sforzi normali o a seguito di elevate parzializzazioni

delle sezioni. Consiste in mutui scorrimenti tra due pannelli lungo la direzione dei giunti di malta,

orizzontali e verticali, con la progressiva formazione di macrofratture orientate. Viene simulato attraverso

le molle longitudinali delle interfacce, alle quali, come si vedrà in seguito, verranno associate domini di

scorrimento alla Mohr-Coulomb (cfr. 4.1.2.1).

(a) (b)

Figura 14. (a) quadro fessurativo a scorrimento; (b) modello discreto

Il modello consente di cogliere anche l’instaurarsi di eventuali meccanismi combinati.

Nella rappresentazione piana il pannello possiede i tre gradi di liberta associati ai moti rigidi piani a cui

occorre aggiungere il grado di libertà che lo rende articolato. Pertanto per descrivere la cinematica di n

pannelli occorre considerare 4n parametri lagrangiani. Come parametri lagrangiani atti a descrivere la

cinematica nel piano, sono stati considerati le quattro traslazioni di ciascuno dei lati rigidi lungo la propria

direzione, ai quali è possibile associare le relative forze duali nel piano.

F

q

Fq

schiacciamentopuntone compresso

fessurazione per

trazione

F

qq

F

superficie di contatto

tra i pannelli

Attivazione di

scorrimenti plastici

F


- Pag. 18 -

Figura 15. Gradi di libertà e forze duali nel piano

Dal punto di vista geometrico un pannello è caratterizzato unicamente dai suoi quattro vertici e dallo

spessore.

Le dimensioni caratteristiche del pannello saranno pertanto date dalla base b, dall’altezza h e dallo

spessore s. In particolare le prime due grandezze vengono determinate a partire dai vertici come:

h = dist (v4, v1)

b = dist (v1, v2)

Lo spessore s risulterà determinante, insieme alle altre caratteristiche geometriche, nelle procedure di

taratura delle molle non lineari del modello meccanico equivalente al pannello murario.

L’elemento pannello, dal punto di vista meccanico, viene caratterizzato tramite l’attribuzione di tre legami

costitutivi che regolano separatamente i tre principali comportamenti della muratura:

shear material: legame costitutivo a taglio, utilizzato per la taratura delle molle diagonali (cfr.

4.1.2);

bending material: legame costituivo flessionale, utilizzato per la taratura delle molle flessionali

delle interfacce contigue all’elemento (cfr. 4.1.1);

sliding material: legame costitutivo a scorrimento, utilizzato per la taratura della molla a

scorrimento delle interfacce contigue all’elemento (cfr. 4.1.3).

Inoltre il pannello è caratterizzato da un peso specifico (w) e da una massa totale che può derivare sia

dal peso proprio che da eventuali masse aggiuntive (m). Il peso specifico viene dedotto dal materiale.

A ciascun pannello murario viene associato un sistema di riferimento relativo, solidale con esso. L’origine

di tale sistema di riferimento viene fissata in corrispondenza del primo nodo, l’asse x è il versore

corrispondente alla direzione (v2,v1), l’asse y è il versore corrispondente alla direzione (v4,v1), l’asse z è

ortogonale ai primi due dotato di verso tale da rendere la terna sinistrorsa.

Per le procedure di taratura si rimanda al par 4.1.1 e successivi.


- Pag. 19 -

3.1.2. ELEMENTO PANNELLO (COMPORTAMENTO TRIDIMENSIONALE)

Allo scopo di disporre di un unico strumento in grado di simulare la risposta globale di un edificio

mettendo in conto sia il comportamento nel piano che fuori-piano il macro-elemento, inizialmente

pensato per la simulazione del comportamento delle pareti nel proprio piano, è stato modificato con il

preciso scopo di potere cogliere anche eventuali meccanismi di primo modo. Tale modifica ha riguardato

sia l’aspetto cinematico che quello di descrizione meccanica dell’elemento. In particolare è stato

necessario aggiungere tre gradi di libertà ad ogni elemento di base e modificare le interfacce, che da uno

sviluppo monoassiale passano ad uno bidimensionale, in maniera tale da potere descrivere la risposta

fuori-piano delle pareti. Nel seguito vengono descritte le proprietà del macro-elemento spaziale e la

strategia di assemblaggio per la modellazione del comportamento tridimensionale di un edificio. Nella

modellazione tridimensionale occorre inoltre affrontare alcuni problemi specifici riguardanti le condizioni di

vincolo tra il macro-elemento spaziale e altri elementi che devono essere tali da non escludere a priori la

possibilità che l’elemento possa subire movimenti fuori-piano. In particolare verranno considerate nel

dettaglio le seguenti interazioni:

Interazione tra le pareti e gli impalcati (cfr. 2.2.1);

Interazioni tra le pareti in corrispondenza degli angoli (cfr. 3.5.1).

Il macro-elemento spaziale rappresenta la naturale evoluzione del macro-elemento piano descritto nei

paragrafi precedenti (cfr. 3.1.1) a cui è stata aggiunta una terza dimensione in direzione trasversale.

Per la modellazione del comportamento spaziale del macro-elemento, ai 6 gradi di libertà da corpo rigido

nello spazio occorre aggiungere il grado di libertà necessario a rendere l’elemento articolato nel piano

della muratura per descriverne la deformabilità a taglio. Pertanto la cinematica di ogni macro-elemento è

controllata da 7 gradi di libertà, mentre la generica interfaccia corrispondente a pannelli contigui è

descritta dai 12 gradi di libertà che consentono di descrivere i moti rigidi nello spazio dei corrispondenti

lati rigidi piani dei pannelli. Con riferimento al sistema locale definito nella figura sottostante, come

parametri lagrangiani oltre ai 4 spostamenti lungo i lati del pannello (rappresentativi del comportamento

nel piano della muratura) sono state considerate la traslazione fuori piano e le rotazioni intorno agli assi x

e y.

Figura 16. Numerazione dei vertici e definizione del sistema locale del pannello


- Pag. 20 -

Figura 17. Gradi di libertà e forze duali fuori piano

È facile osservare che la modellazione proposta permette di schematizzare agevolmente anche casi in cui

si ha flessione deviata in campo non lineare e che il criterio adottato tiene conto della dipendenza del

momento resistente dallo sforzo normale.

Inoltre tale modellazione consente di cogliere i principali meccanismi di collasso di primo modo.

Figura 18. Meccanismo di ribaltamento fuori piano in flessione retta

Facendo riferimento a una parete isolata risulta evidente che l’interposizione di un letto di molle non

lineari disposte lungo tutto lo spessore della parete si presta in modo del tutto naturale a riprodurre due

meccanismi di ribaltamento tipici: collasso a mensola e collasso per formazione di una cerniera

intermedia, corrispondenti rispettivamente a pareti libere e vincolate in testa.

uz

y

x

F z

y

x


- Pag. 21 -

Figura 19. Riproduzione dei principali cinematismi di primo modo di una parete verticale: (a) ribaltamento alla base di una

parete libera in testa; (b) ribaltamento mediante cerniera intermedia di una parete vincolata

Anche in questo caso, l’apertura delle fessure corrisponderà, nel modello discreto, alla rottura per

trazione delle molle; la progressiva riduzione di rigidezza della sezione determinerà in definitiva il

ribaltamento della parete. Tuttavia tali fenomeni fessurativi possono essere colti solo in corrispondenza

degli elementi di interfaccia. Appare quindi evidente che nello studio del comportamento fuori-piano, più

che nel piano, l’efficacia della modellazione risulta condizionata dalla mesh utilizzata per discretizzare la

parete. Questo accade poiché una maggiore discretizzazione della mesh consente di ampliare il dominio

di ammissibilità cinematica dei meccanismi di primo modo potenzialmente attivabili.

Figura 20. Suddivisione ideale della sezione trasversale degli elementi in molteplici file di molle e modellazione di un

pannello soggetto contemporaneamente ad azioni nel piano e fuori piano

q q

(a)

(b)

F F

t


- Pag. 22 -

3.1.3. ELEMENTI RIGIDI

Si tratta di elementi rigidi piani di forma poligonale qualsiasi. In generale tale elemento dispone di 6 gradi

di libertà nello spazio, corrispondenti alle tre traslazioni e tre rotazioni lungo le direzioni del sistema di

riferimento locale, solidale con l’elemento.

L’elemento body può essere utilizzato sia per modellare elementi non deformabili a taglio appartenenti ad

una parete, sia per modellare elementi di collegamento tra diverse pareti, che possono rappresentare ad

esempio impalcati rigidi o diaframmi rigidi. Questo genere di elementi verrà trattato in un paragrafo

dedicato (cfr. 3.4). Gli elementi rigidi appartenenti ad una parete possono essere utilizzati efficacemente

per modellare porzioni della parete a geometria non regolare, quali archi, timpani, ecc..

Figura 21. Cinematica piana di un elemento rigido

La geometria dell’elemento è caratterizzato dalle coordinate dei vertici e dallo spessore (sp). Il

programma calcola automaticamente le coordinate del baricentro (G).

L’elemento body meccanicamente viene caratterizzato tramite l’attribuzione di due materiali:

bending material: legame costituivo flessionale (cfr. 4.1.1).

sliding material: legame costitutivo a scorrimento (cfr. 4.1.3).

Il sistema di riferimento locale ha origine nel baricentro dell’elemento, mentre le direzioni degli assi di

riferimento vengono fissate in maniera tale che il primo si sviluppa lungo la direzione individuata dai primi

due vertici dell’elemento e il secondo è ortogonale al primo e giacente nel piano dell’elemento; il terzo

infine è dato dal prodotto vettoriale dei primi due.

Per ogni elemento rigido non appartenente ad una parete è possibile bloccare uno o più gradi di libertà.

Nel caso più generale, di elemento rigido dotato di sei gradi di libertà, vengono definiti due vettori (di

dimensione tre) che indicano i gradi di libertà bloccati: in particolare il vettore tran si riferisce ai gradi di

libertà traslazionali, il vettore rot si riferisce ai gradi di libertà rotazionali. I codici di vincolo sono i

seguenti :

0 : grado di libertà libero

-1 : grado di libertà vincolato con vincolo perfetto

k>0 : grado di libertà vincolato elasticamente con rigidezza k

G

X

Y

Sistema assoluto

PuGX , FX

uGY , FY

G ,

m


- Pag. 23 -

Nel caso in cui uno o più gradi di libertà dell’elemento non sono considerati nel modello, essi risulteranno

vincolati. Ad esempio, nel caso di un elemento di una parete, e comportamento del modello di tipo piano

della parete, i vettori di vincolo vengono impostati automaticamente dal programma in maniera da

bloccare i gradi di libertà relativi ad una cinematica fuori piano. Si avrà infatti:

0 1

0 1

1 0

tran rot

;

3.1.4. ELEMENTI INTERFACCE

Gli elementi interfaccia servono a schematizzare i possibili collegamenti tra i diversi elementi che

compongono il modello. Nella fase di input non possono essere né visualizzati, né modificati dall’utente,

essendo infatti elementi generati dal motore di calcolo; tuttavia la comprensione del funzionamento di

questo elemento risulta decisiva per l’interpretazione dei risultati, e per lo sfruttamento del software al

massimo delle sue potenzialità.

L’elemento interfaccia deve simulare il comportamento degli elementi che afferiscono a ciascuna di essa e

l’interazione reciproca tra gli stessi concentrando le caratteristiche di deformabilità e resistenza flessionali

e a scorrimento degli elementi.

Le interfacce, dal punto di vista del loro comportamento, possono essere bi- o tri-dimensionali, a seconda

che si stia considerando il comportamento delle pareti nel proprio piano, o anche fuori dal proprio piano.

In questi due casi il modello meccanico a loro attribuito sarà semplice (comportamento piano), o

necessiterà di un arricchimento di gradi di libertà (comportamento tridimensionale).

È stato necessario definire diverse tipologie di interfacce. Il principio meccanico e il funzionamento è

analogo per tutte le tipologie, la differenza consiste principalmente nel numero e nella scelta dei gradi di

libertà necessari a seconda della tipologia di elementi che l’interfaccia deve collegare. Dal punto di vista

dell’interazione tra gli elementi si possono pertanto distinguere le seguenti tipologie di interfacce:

interfacce tra due elementi di una parete;

interfacce tra un elemento di una parete e un elemento di collegamento tra le pareti

(orizzontamenti o elementi d’angolo);

interfaccia tra un elemento e un supporto esterno;

interfaccia tra un elemento e un cordolo.

Ogni interfaccia si riferisce ad un piano ben preciso e deve concentrare in sé le caratteristiche di

resistenza e deformabilità degli elementi o del collegamento come sarà meglio descritto nei successivi

paragrafi.

Per ogni interfaccia è conveniente individuare due punti estremi (o nodi), che verranno indicati con i e j.

Nel caso di un’interfaccia che connette due elementi, a ognuno dei nodi corrispondono in realtà due nodi

distinti del modello, ciascuno appartenente a uno dei due elementi collegati dall’interfaccia. Tali nodi, pur

avendo nella configurazione iniziale le medesime coordinate, sono fisicamente distinti e subiranno

spostamenti differenti. I quattro nodi (due per ogni elemento connesso), che corrispondono ai due

estremi i e j dell’interfaccia, vengono denominati vertici dell’interfaccia. Ognuna delle due linee che


- Pag. 24 -

congiungono i vertici che appartengono ad uno stesso elemento (o al vincolo) rappresenta

convenzionalmente un lato dell’interfaccia.

Figura 22. Interfaccia tra due elementi.

Nelle figure di seguito riportate, solo per comodità di rappresentazione, le interfacce sono state

rappresentate con uno spessore finito in quanto nella formulazione matematica è considerata priva di

spessore.

A ciascuna interfaccia viene associato un sistema di riferimento locale che ha origine nell’estremo i, asse

diretto verso l’estremo j, asse ruotato di 90° in senso antiorario rispetto a e giacente nel piano

dell’interfaccia, e l'asseortogonale ai primi due e diretto in modo da costituire una terna sinistrorsa.

Il comportamento meccanico dell’interfaccia è governato dalla presenza di molle non lineari.

3.1.4.1. INTERFACCE BIDIMENSIONALI

Nel seguito viene riportata una descrizione della cinematica e del comportamento meccanico delle

interfacce nel piano.

Le molle flessionali sono disposte ad interasse costante ed in modo simmetrico rispetto all’asse di

mezzeria dell’interfaccia; le molle di estremità risultano arretrate rispetto alle estremità dell’interfaccia di

metà interasse.

Interfaccia

spessore

nullo

stessa posizione nella

configurazione indeformatavertice a

vertice c

vertice d

nodo i

nodo j

Elemento 1stessa posizione nella

configurazione indeformata

Elemento 2

vertice b

vertice a


- Pag. 25 -

Figura 23. Interfaccia tra due pannelli: (a) sistema di riferimento locale e individuazione dei nodi e dei pannelli; (b) molle

longitudinali e molla trasversale.

Il comportamento della molla a scorrimento è legato alle molle flessionali: essa viene considerata attiva

solo se nell’interfaccia sono presenti molle ortogonali in compressione, mentre il limite corrente di

resistenza dipende dal numero di molle ortogonali attive ovvero dall’estensione della zona di contatto tra i

due elementi e dallo sforzo di compressione corrente.

La cinematica nel piano dell’interfaccia è descritta in modo completo da sei gradi di libertà associati ai

gradi di libertà dei lati dei pannelli interconnessi. In particolare vengono considerati gli spostamenti dei

quattro vertici dell’interfaccia nella direzione ortogonale al primo asse dell’interfaccia stessa, e gli

scorrimenti delle facce, superiore e inferiore. È evidente tuttavia che, se l’interfaccia risulta collegata ad

un vincolo fisso tre gradi di libertà saranno sufficienti per definirne la cinematica.

Tutti i parametri lagrangiani si considerano positivi se concordi con gli assi del sistema di riferimento

locale dell’interfaccia, come riportato nella figura seguente nella quale viene riportata un’interfaccia

pannello-pannello.

Figura 24. Gradi di libertà nel piano dell’interfaccia inserita tra due elementi

I gradi di libertà delle interfacce non impegnano gradi di libertà indipendenti per il modello poiché

condividono i gradi di libertà degli elementi che connettono.

Interfaccia

vertice a vertice c

vertice d

nodo jnodo i

nodo jnodo i

nodo j

/2

. . .

molla longitudinale

molle ortogonali

kn

kn/2+1

kn-1

kn/2

vertice a

nodoi

kh

kn-2 . . . k1k2k3

ui,sup uj,sup

ui,inf uj,inf

usc,sup

usc,sup

nodo i nodo j


- Pag. 26 -

Figura 25. Afferenza tra i gradi di libertà di un’interfaccia e quelli degli elementi che connette

3.1.4.2. INTERFACCE TRIDIMENSIONALI

L’interfaccia tridimensionale è rappresentata da un modello meccanico equivalente costituito da due piani

rigidi (inizialmente paralleli) coincidenti con le facce a contatto dei due pannelli. Tali superfici vengono

discretizzate sia nella direzione longitudinale che nella direzione trasversale e pertanto, a differenza del

caso piano, l’interfaccia risulta meccanicamente rappresentata da più file di molle non lineari ortogonali,

in analogia ai modelli a fibre utilizzati nel più generale contesto delle modellazioni agli elementi finiti non

lineari. In particolare indicando con n e nf il numero di campi in cui viene suddivisa la sezione trasversale

dell’interfaccia, rispettivamente in senso longitudinale e in senso trasversale, si avranno nf file di molle,

ciascuna composta da n molle.

Figura 26. Modello discreto tridimensionale con diverse file parallele di molle

Ogni molla è rappresentativa di una fibra di muratura, avente area della sezione trasversale pari a quella

del rettangolo unitario della griglia individuata dalla suddivisione in campi.

Le molle appartenenti alle diverse file presentano le medesime caratteristiche meccaniche, e ogni fila

risulta semplicemente traslata rispetto alle altre ortogonalmente al piano contenente gli elementi. Il

gradi di libertà del

pannello inferiore

gradi di libertà del

pannello superiore

nodi coincidenti

{spessore

nullo

Interfaccia in configurazione

deformata

Interfaccia in configurazione

iniziale

t


- Pag. 27 -

numero di file di molle, e il numero di molle contenute in ciascuna fila devono essere scelti in modo da

ottenere un dettaglio nella risposta sufficientemente accurato. È chiaro che per poter coglier il

comportamento flessionale fuori-piano è necessario prevedere almeno due file di molle.

Figura 27. Esempio di disposizione delle file di molle per modellare il comportamento fuori piano

Le file vengono disposte ad un interasse costante (t) che viene determinato secondo il procedimento di

taratura, esposto più avanti e basato su un’equivalenza flessionale tra la parete muraria e lo schema

discreto equivalente. Seguendo tale procedimento le file di estremità risulteranno rientrate rispetto

all’effettivo spessore della muratura.

Ciascuna interfaccia è inoltre dotata di due molle destinate al controllo dei meccanismi di scorrimento

fuori piano. Esse sono contenute nel piano dell’interfaccia e dirette trasversalmente rispetto allo spessore

alla muratura. Tali molle controllano i meccanismi di scorrimento di scorrimento fuori-piano e sono state

poste ad una distanza determinata, come si vedrà meglio nella descrizione delle procedure di taratura

(cfr. 4), stabilendo un’equivalenza torsionale col modello continuo, e valutando il dominio di resistenza di

ciascuna molla considerando un meccanismo di tipo attritivo con una superficie di influenza di ciascuna di

esse pari a metà dell’area dell’interfaccia.

spessoremuratura

pia

no

in

terf

acci

a

t t t t

pia

no

in

terf

acci

a

t t t

fila

1

fila

2

fila

3

fila

4

fila

5

fila

2

fila

1

fila

3

fila

4

spessoremuratura


- Pag. 28 -

Figura 28. Posizionamento delle molle a scorrimento e relative aree di influenza.

È evidente che l’inserimento di due molle a scorrimento fuori-piano consente anche la simulazione della

deformazione torsionale attorno all’asse ortogonale all’interfaccia.

(a) (b)

Figura 29. Modelli meccanici equivalenti e parametri lagrangiani delle interfacce tridimensionali; (a)comportamento

flessionale; (b) comportamento a scorrimento

In figura sono rappresentati degli schemi meccanici relativi al comportamento tridimensionale delle

interfacce, separando per comodità il comportamento flessionale da quello a scorrimento. Nella stessa

figura sono riportati i gradi di libertà considerati nella rappresentazione numerica, che risultano

direttamente dipendenti dai gradi di libertà dei pannelli che l’interfaccia connette.

3.1.4.3. INTERFACCE DI TIPO STANDARD (CONNESSIONE TRA DUE

ELEMENTI DI UNA STESSA PARETE)

Si tratta di un elemento a sei gradi di libertà atto a modellare il collegamento tra due pannelli murari

contigui o tra un pannello e un supporto esterno.

I gradi di libertà vengono scelti come riportato sotto; in particolare il caso a rappresenta un’interfaccia tra

due elementi contigui, il caso b rappresenta un’interfaccia tra un elemento e un supporto esterno. Se il

supporto esterno risulta vincolato uno o più gradi di libertà afferenti ad esso risulteranno bloccati o

cedevoli elasticamente.


- Pag. 29 -

Figura 30. Cinematica degli elementi di interfaccia

L’interfaccia contiene l’informazione dei due elementi che collega, e pertanto potrà accedere a tutti i dati

necessari per la calibrazione delle sue molle.

L’interfaccia è costituita da un letto discreto di molle flessionali e da una molla a scorrimento. Sia le molle

flessionali che a scorrimento sono di natura non lineare.

. . . kn/2kn-1 kn/2+1kn

. . . kn kn-1 kn/2+1 kn/2

Molle trasversali

Molle longitudinali

Pannello 1

Pannello 2

nodo i nodo j

Figura 31. Convenzioni sugli elementi di interfaccia

Come sarà descritto meglio nel seguito, le caratteristiche meccaniche di tali molle dipendono dalle

caratteristiche di entrambi i pannelli.

ji

u2

u3

u1

u6u4

u5

u1

u4

iu5

u6 u3

j

u2

(a)

(b)


- Pag. 30 -

Figura 32. Schema meccanico dell’interfaccia di tipo standard

Dal punto di vista geometrico l’interfaccia è caratterizzata dalla sua lunghezza, dalla direzione e dallo

spessore (nel senso della profondità). Tutte queste caratteristiche vengono determinate sulla base degli

elementi che afferiscono all’interfaccia.

In particolare, la lunghezza e la direzione dell’interfaccia sono quelle comuni dei due lati degli elementi a

contatto. Lo spessore sarà il minimo tra i due elementi nel caso di interfaccia inserita tra due elementi, e

pari allo spessore dell’unico elemento nel caso di interfaccia vincolata esternamente.

3.1.4.4. INTERFACCE SLIDINTERACTION (INTERAZIONE CON GLI

ORIZZONTAMENTI)

Oltre alle tipologie di interfaccia appena descritte, possono essere gestite delle interfacce più complesse,

le quali hanno gradi di libertà aggiuntivi per tenere conto dell’interazione tra essa ed eventuali cordoli

(cfr. 3.3.2) o orizzontamenti (cfr. 3.4). Si consideri in particolare l’interfaccia di tipo SlidInteraction.

Questa tipologia di interfaccia, rispetto a quella standard, possiede un ulteriore grado di libertà a

scorrimento che serve a collegare l’interfaccia con un altro elemento che interagisce a scorrimento con gli

elementi collegati dall’interfaccia.

Il comportamento flessionale risulta inalterato rispetto alle interfacce standard, mentre la molla a

scorrimento viene sdoppiata mantenendo separati i contributi di ciascun elemento. Ciascuna delle due

molle a scorrimento collega un grado di libertà esterno u5-u6 con il grado di libertà interno u7.

nodo i

nodo jk1 k2 kn

u5

u4u6

u1

u3

u2

i ju7


- Pag. 31 -

Figura 33. Schema meccanico dell’elemento di interfaccia: comportamento flessionale

Tale interfaccia serve a potere considerare l’interazione a scorrimento tra l’interfaccia e un diaframma,

rigido o deformabile, di collegamento posto in un piano differente da quello della parete.

Nel caso di interfaccia tridimensionale, rispetto alle interfacce standard, verranno introdotti dei nodi

aggiuntivi a scorrimento nel piano (come per le interfacce piane) e fuori-piano.

Tali nodi servono a modellare lo scorrimento degli elementi inseriti nella muratura quali diaframmi, travi

etc. Ogni molla a scorrimento verrà sdoppiata in due molle distinte, ciascuna delle quali simula il

comportamento a scorrimento di un solo pannello. In definitiva l’interfaccia sarà costituita da due molle a

scorrimento nel piano e quattro fuori-piano come mostrato nelle figure sottostanti.

Figura 34. Molle a scorrimento; (a) nel piano, (b) fuori piano

Figura 35. Schema tridimensionale dell’interfaccia SlidInteraction con indicati i gradi di libertà

Sia nel caso in cui l’orizzontamento sia rigido che nel caso in cui sia deformabile, in aggiunta a quanto

previsto nel caso di interfaccia piana, occorre simulare il meccanismo di scorrimento fuori piano tra il

diaframma e i pannelli. Dal punto di vista della modellazione ciò viene reso possibile dall’introduzione di

nodo i

kn

k1 k2 nodo j

ks1

ks2

nodo i nodo j

ks,2

ks,1

ks,2

ks,1

u3

wj1

nodo i

wj1

usc,sup

wjm

nodo j

usc,inf

wj2

wi2

wim


- Pag. 32 -

un’interfaccia SlidInteraction come schematizzato nelle figure successive, relativamente a diaframmi rigidi

(cfr. 3.4.2) e deformabili (cfr. 3.4.3).

Figura 36. Interazione a scorrimento fuori piano tra un diaframma e due pannelli di una parete; (a) diaframma rigido, (b)

diaframma elastico

3.1.4.5. INTERFACCE FLESSINTERACTION (INTERAZIONE CON ASTE)

La seconda tipologia di interazione che può essere gestita dalla singola interfaccia è quella di tipo

FlessInteraction.

Tale interfaccia serve a potere tenere conto di una possibile interazione sia flessionale che a scorrimento.

In particolare essa consente di fare interagire due macro-elementi con un elemento asta deformabile sia

assialmente che flessionalmente.

L’asta è posta tra le due serie di molle relative a ciascuno dei due pannelli. Ciascuna coppia di molle, a

causa dell’interposizione dell’asta non potrà essere pertanto condensata in un’unica molla.

Tale interfaccia, oltre ai gradi di libertà delle interfacce standard, hanno tutti i gradi di libertà interni ed

esterni che servono a imporre la congruenza con l’asta interagente. Nella figura seguente vengono

mostrati i versi positivi dei gradi di libertà separando quelli esterni da quelli interni.

um = f (u312)

diaframma

3

u2 u1

um


- Pag. 33 -

Figura 37. Gradi di libertà interni di una interfaccia FlessInteraction

Il vettore (U) dei gradi di libertà è :

nnjjiifless

mjiass

vvvvvU

uuuU

,,.......,,,,,,,,

,,

2211

Lo schema meccanico di tale interfaccia può efficacemente essere visto separando il contributo flessionale

dell’interfaccia, il contributo a scorrimento dell’interfaccia e il contributo assiale e flessionale dell’asta.

Figura 38. Schema meccanico di una interfaccia FlessInteraction

Anche la matrice di rigidezza si trova sommando il contributo dell’asta e il contributo delle molle

dell’interfaccia.

Non appena si dispone della matrice globale, i gradi di libertà interni possono essere condensati, in modo

da limitare i gradi di libertà di questa interfaccia ad un numero indipendente dal passo interno con cui

vengono disposte le molle.

Nel caso di interfaccia tridimensionale, l’interazione flessionale risulta leggermente più complessa,

mantenendo tuttavia il medesimo modello di comportamento.

u5

u4u6

u1

u3

u2

jivj

ujui

vij

um

pnp2p1

n

vnv2

21

v1

ji

nodo j

nodo iks1

ks2nodo j

nodo ik1

k1

(1)

(2)(2)

k2

k2

(1)

(2)

kn

kn

(1)

nodo i nodo j


- Pag. 34 -

L’introduzione dei nodi intermedi distribuiti lungo tutta l’interfaccia, consentirà un’interazione flessionale

tra l’asta e la muratura lungo tutto il pannello murario e non limitatamente a punti isolati.

(a) (b)

Figura 39. Schema statico dell’interfaccia FlessInteraction; (a)comportamento nel piano; (b)comportamento fuori piano.

Il campo di spostamenti nella direzione dell’asse dei nodi intermedi è costituito da n traslazioni

indipendenti, associati ai nodi della fila centrale, e da un unico parametro di rotazione attorno a . Gli

spostamenti dei nodi delle file eccentriche non sono indipendenti ma conseguenti a un moto rigido, nel

piano , che lega tra loro tutti i nodi appartenenti a una stessa fila trasversale.

Figura 40. Gradi di libertà flessionali esterni di un’interfaccia FlessInteraction

I gradi di libertà associati ai nodi interni non costituiranno gradi di libertà globali del modello poiché

possono essere condensati. Occorre tuttavia considerare un ulteriore grado di libertà che descrive la

rotazione del moto rigido trasversale che vincola il campo degli spostamenti nel piano

È inoltre possibile considerare interfacce in cui coesistano le interazioni di tipo SlidInteraction con quella

di tipo FlessInteraction; tale tipologia di interfacce può essere applicata sia ad interfacce a

comportamento piano, che a quelle a comportamento tridimensionale.

(2)

kn

(1)

kn-1

(2)

kn-1

(1)

k2

(2)

k2

(1)

k1

(2)

k1

nodo i

(1)

kn

nodo j

t

(2)

kn

(1)

kn-1

(2)

kn-1

(1)

k2

(2)

k2

(1)

k1

(2)

k1

nodo i

(1)

kn

nodo j

t

j

ui,inf

uj,inf

uj,sup

uj,sup

inf

sup

m

nodo i v1 vn-1 vn


- Pag. 35 -

3.1.4.1. INTERFACCE FLESSINTERACTION E SLIDINTERACTION

(INTERAZIONE TRA PANNELLI MURARI E ASTE E

ORIZZONTAMENTI)

Nel caso di contemporanea presenza di un elemento asta e di un orizzontamento, entrambi interagenti

con la muratura, l’interfaccia sarà contemporaneamente di tipo FlessInteraction e e SlidInteraction per

modellare l’interazione a flessione tra la muratura e l’asta e, al contempo, l’interazione a scorrimento tra

la muratura, diaframma e i gradi di libertà assiali dell’asta; la figura che segue mostra schematicamente il

caso di un’asta interagente con la muratura e un diaframma.

Figura 41. Interazione flessionale di una parete con un diaframma: inserimento di cordoli

Come per tutti gli altri tipi di interazione, anche questa è prevista sia per interfacce a comportamento

piano sia per quelle con comportamento tridimensionale.

3.1.4.2. INTERFACCE VINCOLATE

Nel caso di un’interfaccia che connette un elemento con un supporto esterno, i vertici dell’interfaccia sono

i due vertici dell’elemento a contatto con l’interfaccia stessa.

Il supporto esterno può essere schematizzato mediante un singolo nodo dotato, nel piano, di tre gradi di

libertà (nel caso di comportamento piano), due traslazioni e una rotazione, che possono essere vincolati

in modo assoluto o elasticamente in modo potere prevedere, sia pur in modo approssimato,

un’interazione terreno-struttura (cfr. 3.7).

uj,vj,j

nodo i ui,vi,i

nodo k uk,vk,k

cinematica frame

cinematica pannelli

interfaccia

flessInteraction

diaframma

3

u2 u1

nodo j


- Pag. 36 -

Figura 42. Interfaccia tra un elemento e un vincolo.

In corrispondenza di interfacce che collegano un pannello ad un supporto esterno, nel caso in cui

vengano previsti vincoli elastici, i gradi di libertà locali dell’interfaccia relativi al lato a contatto con il

vincolo sono associati ai gradi di libertà del supporto elastico e a quelli del lato rigido del pannello

contiguo.

Figura 43. Afferenza tra i gradi di libertà locali e globali in presenza di un supporto esterno.

In alternativa l'interazione tra i pannelli murari e il suolo può essere modellata mediante l'introduzione di

aste elastoplastiche. In questo caso verrà introdotta una interfaccia di tipo FlessInteraction (cfr. 3.7.1).

Dal punto di vista cinematico i gradi di liberà corrispondenti al terreno verranno vincolati in modo

assoluto. I due strati di molle dell'interfaccia verranno tarati in modo distinto: le molle dello strato

superiore (quello a contatto col resto della struttura) verranno tarate coerentemente alle caratteristiche

della muratura, mentre le molle dello strato inferiore (quelle che devono simulare il contatto col terreno di

fondazione) verranno tarate in funzione delle caratteristiche del terreno.

3.2. SETTI IN C.A.

I setti in calcestruzzo armato vengono modellati attraverso elementi analoghi a quelli utilizzati per i

pannelli murari, almeno dal punto di vista dello schema meccanico. L’elemento è costituito da un

quadrilatero articolato, con due molle diagonali poste al suo interno. Tali molle regolano il meccanismo di

Interfaccia

spessore

nullo

vertice a

vertice c

vertice d

nodo i

nodo j

Elemento 1

vertice b

vertice a

gradi di libertà

dell'elemento collegto

gradi di libertà indipendenti

relativi al supporto elastico

k y

xk

kr


- Pag. 37 -

rottura a taglio per fessurazione diagonale, mentre l’interazione con altri elementi (siano essi altri setti in

c.a., cordoli, diaframmi, pannelli murari) avviene mediante interfacce analoghe a quelle già descritte.

Rispetto ai pannelli murari, le procedure di taratura variano sensibilmente, per tener conto del diverso

comportamento meccanico che tali elementi strutturali presentano (cfr. 4.2.1).

Risulta particolarmente utile, ai fini dell’impiego di analisi non lineari, il fatto che tali elementi assumano

comportamento non lineare, così da rendere possibile senza limitazioni l’impiego di tali elementi per

analisi non lineari.

Il modello meccanico utilizzato consente inoltre di valutare in maniera efficace l’interazione con altri

elementi, in particolare con aste in c.a., in modo da ammettere un’efficace valutazione dell’effetto di

confinamento di telai.

3.3. ASTE

I cordoli e gli architravi vengono modellati attraverso elementi finiti non lineari di tipo beam a plasticità

concentrata; la presenza di eventuali tiranti viene invece modellata mediante elementi reagenti solo allo

sforzo assiale di trazione e non reagenti a compressione di tipo truss. L’influenza di tali elementi ha un

ruolo significativo, soprattutto nella valutazione della vulnerabilità degli edifici esistenti, tuttavia il suo

effetto risulta decisivo solo nel caso in cui il comportamento della struttura non possa essere considerato

scatolare.

Le aste possono essere distinte secondo due criteri: sulla base dei gradi di libertà che possono essere

attribuiti all’asta, e in base al tipo di interazione con altri elementi.

Dal punto di vista del comportamento un elemento asta può essere:

- 1D: Elemento asta che esplica solo il comportamento assiale (tiranti o catene);

- 2D: Elemento asta che esplica il comportamento assiale e quello flessionale nel solo piano 1-2 locale

dell’elemento (cordolo, architrave);

- 3D: Elemento asta che esplica il comportamento assiale e quello flessionale in entrambi i piani principali

(pilastri).

Dal punto di vista dell’interazione con gli altri elementi, un’asta può essere:

- MasonryInteraction, se l’asta interagisce sia flessionalmente che assialmente, con gli elementi contigui

quali pannelli murari o diaframmi. Tali elementi sono adatti a simulare cordoli di interpiano o architravi.

- FreeInteract, se si considera un’asta libera, interagente con il resto della struttura solo tramite i nodi di

estremità. Tali elementi sono adatti a modellare elementi di telai accoppiati alla muratura ma esterni ad

essa o tiranti.

- Asta con attach se l’asta è libera, e l’interazione con il resto della struttura avviene solo tramite i nodi di

estremità in maniera tale da forzare la condivisione di gradi di libertà tra l’asta e un altro elemento cui il


- Pag. 38 -

nodo viene considerato attaccato. Tali elementi sono adatti a modellare travi libere ammorsate a pareti

ad essa ortogonali.

Sono possibili ulteriori distinzioni nel comportamento delle aste, a seconda del comportamento non

lineare che ad esse viene attribuito. Tuttavia dettagli su questa classificazione verranno forniti in un

paragrafo dedicato (cfr.3.3.3).

Un elemento asta viene individuato dai due vertici di estremità denominati i e j, che ne determinano la

configurazione geometrica. Ad esso viene associato un sistema di riferimento locale con origine in i, asse

1 diretto da i a j, asse 2 ruotato in senso antiorario di un angolo retto rispetto a 1 e appartenente a un

piano principale della sezione, asse 3 ottenuto dal prodotto vettoriale dei primi due.

Il comportamento meccanico delle aste viene caratterizzato a partire dalle caratteristiche dei materiali

componenti le sezioni. Il software genera automaticamente il dominio di ammissibilità delle sollecitazioni

per una certa sezione. Tale calcolo può essere effettuato considerando:

cerniere assiali, considerando il legame sforzo normale-allungamento specifico (N-);

cerniere flessionali, considerando il diagramma momento-curvatura (M-);

cerniere che tengano conto dell’interazione tra sollecitazioni flettenti e assiale, considerando un

vero e proprio dominio di interazione NMM.

Tali differenti comportamenti meccanici vengono determinati (ed eventualmente bilinearizzati) in

automatico dal programma a partire dalla geometria della sezione, dai parametri meccanici dei materiali e

dall’armatura disposta (nel caso di sezioni in c.a.). Per ulteriori dettagli sulle modalità di calcolo dei domini

di ammissibilità delle sollecitazioni si rimanda al par. 4.4.

Figura 44. Schema comportamento flessionale e assiale dell’asta

Dal punto di vista flessionale, per cogliere le progressive plasticizzazioni delle aste e per consentire, nel

caso di aste interagenti, l’interazione con la muratura, viene prevista la possibilità di suddividere l’asta in

2

nodo i nodo j

3

p1 pn_div1

l2l1 ln_div

L

....

....

2

nodo i nodo j

3

1

L

L/2 L/2


- Pag. 39 -

un numero arbitrario di sottoelementi mediante l’introduzione di nodi intermedi. Anche le proprietà non

lineari dell’asta (cerniere plastiche) saranno determinate coerentemente con la suddivisione in segmenti

dell’asta.

Si indichi con ndiv il numero di sotto-elementi individuati da ndiv+1 nodi. Con pi si indichi l’i-esimo nodo

interno, con li l’i-esimo sotto-elemento tra i nodi interni pi e pi+1.

Dal punto di vista assiale l’asta si comporta come un elemento non suddiviso in segmenti, caratterizzato

quindi dai soli gradi di libertà assiali esterni. Solo nel caso di interazione con la muratura vi è la necessità

di introdurre un grado di libertà assiale intermedio, dividendo così l’asta in due sotto-elementi.

L’aspetto più importante legato all’introduzione degli elementi asta non è tanto il comportamento proprio

degli elementi quanto, invece, la modellazione dell’interazione tra questi e gli elementi murari.

In accordo con la classificazione fatta in precedenza, si hanno aste libere e aste interagenti. Le aste

libere, interagiscono con la muratura solo in corrispondenza dei nodi di estremità. Possono simulare

elementi in calcestruzzo esterni alla muratura connessi con essa solo in modo puntuale oppure elementi

quali tiranti o catene, che vengono ancorati in corrispondenza degli angoli di un edificio o in

corrispondenza delle zone della parete in muratura interessate dalla presenza dei capi-chiave.

( a) (b)

Figura 45. Esempi di aste non completamente inglobati nella muratura ma interagenti con essa: (a) inserimento di tiranti;

(b) telai in c.a. collaboranti con la struttura muraria

Come si evince dalla figura, le aste possono appartenere al piano della parete (in questo caso dal punto

di vista della modellazione saranno classificati come aste della parete) oppure essere elementi esterni di

collegamento tra le pareti.

Il collegamento tra aste e pannelli avviene attraverso le molle non lineari degli elementi di interfaccia. Per

le aste orientate nel piano della muratura il grado di ammorsamento dell’elemento dipende dalla

lunghezza di contatto dell’asta con l’elemento murario con cui interagisce (condizioni geometriche) e dalle

proprietà dei materiali degli elementi in contatto (condizioni meccaniche).

Un elemento asta può essere vincolato ai pannelli murari in corrispondenza dei vertici sia in modo

assoluto che elasticamente. Si noti che i vincoli interni vengono considerati effettivi solo nei confronti

delle traslazioni relative, mentre non sono efficaci rispetto alle rotazioni relative.

Per vincolare un’asta ad un pannello è necessario che il vertice dell’asta giaccia su uno dei lati del

pannello o coincida con uno dei suoi vertici (attach).

Tiranti

inserimento di tiranti inserimento di un telaio in c.a.

frame libero

frame

interagente

frame libero

Ancoraggio

frame nel piano della

muratura

frame orto

gonale

alla m

uratura


- Pag. 40 -

Oltre alla possibilità di vincolare un estremo di un’asta in maniera assoluta, esiste anche quella di

interporre delle molle non lineari tra l’asta e il pannello nella direzione del grado di libertà da vincolare.

Tale configurazione può risultare molto utile per simulare fenomeni di sfilamento o di distacco dell’asta in

corrispondenza del punto di contatto, e può consentire la modellazione, ad esempio, di architravi; tali

elementi, infatti, sono spesso dotati di esigue lunghezze di ancoraggio per cui il contributo dell’asta viene

limitato fortemente dal collasso del vincolo.

Figura 46. Esempio di modellazione degli elementi architrave

Si consideri adesso il caso di un elemento strutturale inserito tra due pannelli murari e interagente con

essi. In questo caso si possono apprezzare l’interazione a flessione tra asta e muratura, e l’interazione tra

il comportamento a scorrimento della muratura e quello assiale dell’asta.

Figura 47. Interazioni possibili tra un’asta inserita nella muratura e i pannelli

L’asta deve essere suddivisa in sotto-elementi, e tale suddivisione deve necessariamente essere coerente

con la distribuzione delle molle di interfaccia.

u1

u1

u2

u2

u1

u2

u3

kv

ko

u4

interazione

e1- cordolo

interazione

e2- cordolo

e2

e1


- Pag. 41 -

Figura 48. Modellazione di un’asta inserita all’interno della muratura

Meccanicamente l’asta viene caratterizzata tramite l’assegnazione della sezione che contiene le seguenti

informazioni:

- comportamento meccanico: comportamento della sezione dell’asta, che può essere elastico, non

lineare a flessione, o non lineare che tiene conto dell’interazione tra le sollecitazioni (cerniera PMM);

- comportamento geometrico: comportamento dell’asta, che può essere monoassiale,

bidimensionale o tridimensionale;

- EA : rigidezza elastica assiale

- EI: rigidezza flessionale elastica nei due assi principali della sezione

- Dominio PMM: nel caso di comportamento che tiene conto dell’interazione tra

sollecitazione assiale e momenti flettenti nelle due direzioni, vengono calcolati i coefficienti necessari per

calcolare il dominio di interazione della sezione; tale dominio può eventualmente essere eventualmente

semplificato fino ad annullare tale interazione.

- w : peso e massa per unità di lunghezza.

Di seguito vengono riportati versi positivi dei gradi di libertà e i vettori che li contengono nei casi di aste

1D, 2D, 3D.

Saranno indicati con Ufless e Uass rispettivamente i vettori relativi ai gradi di libertà flessionali e locali.

La cinematica flessionale degli elementi è caratterizzata da gradi di libertà esterni (4 nel caso piano e 8

nel caso tridimensionale) rappresentati dagli spostamenti e rotazioni dei vertici dell’asta, e da gradi di

libertà interni rappresentati dagli spostamenti e rotazioni dei vertici dei sottoelementi.

pannello superiore

pannello inferiore


- Pag. 42 -

Figura 49. Cinematica a flessione delle aste

Il comportamento assiale è invece governato unicamente dai due spostamenti assiali dei vertici delle aste

e da uno spostamento interno (um) che serve per garantire l’interazione a scorrimento con i pannelli

murari eventualmente contigui.

Figura 50. Cinematica assiale delle aste

Nel caso delle aste con interazione PMM, descritte nel seguito, la cinematica assiale viene arricchita

aggiungendo gli spostamenti assiali di tutti i sottoelementi allo scopo di consentire l’accoppiamento del

comportamento flessionale.

Figura 51. Cinematica assiale nel caso di interazione MMN

Tra i gradi di libertà flessionali, i primi 4 (vi,i, vj,j) nel caso di asta piana e i primi 8 (vi, wi, i,i, vj, wj,

j,j) nel caso di asta tridimensionale, corrispondono ai gradi di libertà degli estremi mentre i restanti

gradi di libertà sono interni. Dal punto di vista assiale l’unico grado di libertà interno è um (che va inserito

solo se l’asta interagisce con la muratura).

nodo j

vj

j

nodo i

v1

1 2

v2 vn

n

p1 p2 pn

pnp2p1

vnv2v1 vj

nodo j

i

vi

vi

i

i 1 2 n j

1 2 n j

u1ui u2 un uj

2D

3D

3

21

ui

nodo i

uj

nodo jum

nodo j

uj

nodo i

ui

u1 um.... un-1....


- Pag. 43 -

Indicando con Unodi il vettore dei gradi di libertà esterni dell’asta e con U1-2 e U1-3 i vettori dei gradi di

libertà interni rispettivamente nel piano 1-2 e 1-3 il vettore U complessivo dei gradi di libertà risulta:

][ 3121 ffnodi UUUU

con:

, , , , , , ,nodi i i j j i i j jU v v w w

1 2

int 1 1 2 2

1 3

int 1 1 2 2

, , , ,......, ,

, , , ,......., ,

n n

n n

U v v v

U w w w

dove n rappresenta il numero di suddivisioni dell’asta.

I nodi interni, non essendo in generale necessari per agganciare altri elementi ed essendo associati a

forze esterne nulle vengono condensati. Essi servono quando l’asta risulta interagente con la muratura in

un’interfaccia di tipo FlessInteraction o nelle aste libere per apprezzare l’eventuale apertura di cerniere

plastiche anche in campata. In questo caso la procedura di calcolo prevede che la matrice di rigidezza

completa dell’asta sia aggiunta a quella dell’interfaccia, effettuando in un secondo momento la

condensazione statica di quest’ultima.

3.3.1. ASTA LIBERA

La matrice flessionale dell’asta viene ottenuta per semplice assemblaggio delle matrici dei segmenti che la

compongono.

3.3.2. INTERAZIONE CON PANNELLI MURARI

L’interazione tra gli elementi asta e i pannelli murari viene resa possibile mediante opportune interfacce,

già descritte in precedenza, che sono dotate di gradi di libertà interni atti a garantire la congruenza con

l’asta lungo tutta la sua lunghezza.


- Pag. 44 -

Figura 52. Scomposizione del sistema in Interfaccia FlessInteraction e asta

La cinematica completa del sistema è descritta dai gradi di libertà propri dell’interfaccia e da quelli

dell’asta con essa interagente (contenuti in Kf estesa).

Si consideri dapprima il caso di asta 2D interagente. In questo caso l’interazione avviene tra un’interfaccia

e un’asta, ed entrambi gli elementi agiscono unicamente nel piano che li contiene. Nella figura che segue

si riportano per comodità i versi positivi dei gradi di libertà del sistema.

Figura 53. Cinematica del sistema interfaccia-asta

Indicando con UI = [uI1, uI2, uI3, uI4] il vettore dei gradi di libertà esterni dell’interfaccia e ricordando il

significato di Unodi , U1-2 e U1-3 relativi all’asta, il vettore ordinato dei gradi di libertà risulta:

][ 3121 ffnodiI UUUUU

Se l’interazione riguarda un’asta 2D, la matrice completa appena calcolata può essere condensata in

favore dei soli gradi di libertà nodali dell’interfaccia e dell’asta. Se invece si tratta di un’asta 3D, questa

costituirà la base per un successivo assemblaggio che riguarderà tutti i contributi delle interfacce afferenti

alla stessa asta, come mostrato di seguito.

Si consideri pertanto il caso di interazione tra un’asta 3D connessa con molteplici interfacce. È importante

evidenzia che solo se l’asta è 3D l’interazione può coinvolgere molteplici interfacce appartenenti a piani

nodo i

nodo i(2)

kn

kn

(1)

ks2

ks1

nodo j

nodo i nodo j

(2)

k2

k2

(1)

(2)

k1

k1

(1)

nodo j

u5

uI4u6

uI1

uI3

uI2

jivj

ujui

vij

um

n

unu2

21

u1

ji


- Pag. 45 -

differenti. Sia nI il numero di interfacce coinvolte. Sia inoltre i l’angolo (compreso tra 0° e 180°) tra

l’asse 2 dell’asta e il piano dell’i-esima interfaccia.

Figura 54. Interazione tra interfaccia e asta 3D

La matrice di rigidezza locale dell’asta è funzione dell’angolo i.

Figura 55. Piano dell’interfaccia in relazione agli assi principali della sezione dell’asta

Con riferimento alla figura si ha:

int int

int int

arccos(2 ) 2 0

2 arccos(2 ) 2 0

i asta asta

i asta asta

y se y

y se y

dove:

2asta = secondo asse del sistema di riferimento dell’asta

yint = versore dell’asse y dell’interfaccia

2

3

1

2

3

piano

interfaccia


- Pag. 46 -

3.3.3. CERNIERE PLASTICHE

Negli elementi intelaiati soggetti a flessione il danneggiamento ossia le deformazioni plastiche si

concentrano in porzioni limitate corrispondenti ai valori massimi del momento flettente. La lunghezza

interessata dal fenomeno è in genere paragonabile con le dimensioni della sezione trasversale [11].

La modellazione per cerniere plastiche si basa sull’ipotesi di concentrare le proprietà plastiche di una

parte dell’asta in un’unica sezione nella quale, in corrispondenza del raggiungimento delle condizioni di

snervamento, viene introdotta una sconnessione a momento (appunto una cerniera). Le sezioni in cui

vengono previste le cerniere plastiche, definite automaticamente dal software, vengono dette sezioni

critiche.

Un sistema siffatto può essere visto come l’assemblaggio di elementi elastici connessi tra loro da cerniere

con comportamento non lineare.

Figura 56. modello con cerniere plastiche

Il legame da attribuire alle cerniere plastiche in genere viene determinato a partire dalle proprietà dei

materiali costituenti la sezione, considerando semplicemente il comportamento della sezione soggetta a

flessione (per elementi trave) o a presso-flessione (per elementi pilastro), considerando opportuni legami

costitutivi non lineari dei materiali costituenti.

A ciascun segmento viene associata una sezione critica posta in mezzeria del segmento stesso, la cui

attivazione viene valutata sullo stato sollecitante medio del segmento.

Figura 57. Schema meccanico di un’asta suddivisa in segmenti: attivazione di una cerniera plastica

Tale approccio consente di avere una distribuzione uniforme delle sezioni critiche senza dover ipotizzare a

priori delle posizioni per le sezioni critiche. Tale circostanza risulta decisiva nella modellazione delle aste

poiché non richiede di valutare a priori i punti di massimo nel diagramma del momento dell’asta.

elemento elastico

cerniera elastica

nodo jnodo i

cerniera plastica

Mmedio


- Pag. 47 -

3.3.4. MODELLO DI FLESSIONE INDIPENDENTE NEI DUE PIANI PRINCIPALI

Una delle possibili opzioni nella gestione del comportamento meccanico delle aste è quella di considerare

le due flessioni indipendenti nei due piani principali della sezione. Tale obiettivo viene raggiunto

introducendo due set indipendenti di cerniere plastiche ciascuno dei quali modella la plasticità in uno dei

due piani principali.

Lo snervamento di una cerniera avviene per il raggiungimento del momento plastico nel piano

corrispondente (calcolato come massimo del diagramma momento-curvatura) e non influenza il

comportamento dell’omologa cerniera posta nel piano ortogonale. Inoltre viene trascurata l'interazione

con lo sforzo normale.

Figura 58. Schematizzazione del comportamento flessionale indipendente

Ogni cerniera viene gestita mediante una legge costitutiva monodimensionale, e viene assunto un

comportamento rigido perfettamente plastico ossia senza incrudimento.

Il modello di plasticità appena descritto, sia pur approssimato, può essere adatto per modellare il

comportamento di elementi trave scarsamente soggetti a sforzo normale e per i quali può essere

ipotizzata una scarsa sensibilità a fenomeni di flessione deviata.

21

3D

vjvj

nodo i

jiv1 , 1 v1 , 1 .... v1 , 1

nodo j

31

wjwj

nodo i

jiw1 , 1 ....w2 , 2 wn , n

M 2y(M2,M 3,N)

M 3y(M2,M 3,N)

nodo j


- Pag. 48 -

3.3.5. MODELLO DI FLESSIONE CON INTERAZIONE PMM

Di seguito viene descritto un modello di plasticità che tiene conto della contemporanea presenza di

flessione deviata e sforzo normale. Risulta particolarmente adatto per la modellazione di elementi pilastro

interagenti o meno con la muratura.

Si consideri un'asta con comportamento 3D suddiviso, per ciascuno dei segmenti in cui risulta suddivisa

viene determinato uno stato tensionale tridimensionale medio (S) rappresentativo dello stato tensionale

di tutto il segmento.

1 2; ;S M M N

Figura 59. Asta con comportamento 3D - PMM

Il dominio tridimensionale viene costruito a partire dalle curve di interazione piane M-N con riferimento

alle direzioni principali ed entrambi i versi del momento: positivo e negativo (cfr. 4.4).

Figura 60. Vista tridimensionale e piana del dominio di interazione - PMM

Lo ‘scheletro’ del dominio di interazione è costituito dai domini MN nelle due direzioni principali, per

ciascuno dei due versi (piani principali), quindi in corrispondenza delle quattro direzioni in cui si ha

presso-flessione retta. L'interazione MN in ciascuno dei quattro piani principali è di tipo polinomiale con

grado n. I coefficienti di ciascun polinomio vengono determinati in modo da imporre il passaggio per n

punti del dominio reale:

2

0 1 2

2

0 1 2

2

0 1 2

2

0 1 2

....

....

....

....

n

x n

n

x n

n

y n

n

y n

M a a N a N a N

M b b N b N b N

M c c N c N c N

M d d N d N d N

nodo i nodo j

[ M1; M2; N ]


- Pag. 49 -

Nel piano Mx, My (N costante), la curva di interazione viene assume legge di tipo ellittico per ciascuno dei

quattro quadranti; vengono cioè individuate quattro coppie di semi-assi di ellissi, e a partire da questi

vengono determinati quattro rami indipendenti di ellisse, che nel complesso consentono il passaggio per

le curve ‘scheletro’, e formano una curva di tipo continuo, evitando quindi la presenza di discontinuità nel

dominio di interazione.

Figura 61. Interazione del piano Mx-My

22

2 21

4 4

yx

k k

MM

dove con Ak e Bk vengono indicati i semi-assi dell’ellisse di riferimento:

2

0, 1, 2, , ,

0

2

0, 1, 2, , ,

0

...

...

nn i

k k k k n k i k

i

nn i

k k k k n k i k

i

N N N N

B N N N N

I parametri e si identificano con i coefficienti a, b, c, o d a seconda del quadrante in cui ricade lo

stato tensionale corrente.

Per il generico ellisse di riferimento (indicato dal pedice k), la sua equazione diviene:

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2

2 2

, , , ,

0 0 0 0

4k x k y k k

n n n ni i i i

i k x i k y i k i k

i i i i

B M M A B

N M N M N N

yu-

y

x

yu+

xu- xu+


- Pag. 50 -

Eseguendo i quadrati:

2 2

, , , , , , , ,

0 0 0 0 0 0 0 0

n n n n n n n ni j i j i j p q

i k j k x i k j k y i k j k p k q k

i j i j i j p q

N M N M N

Se n è il grado dei polinomi con cui vengono approssimati i domini 2D M-N il dominio tridimensionale

risulta di grado 4n in N:

Il comportamento elasto-plastico risulta governato dai seguenti vettori:

; ;

; ;

; ;

t

t

x y a

t

x y

e pl

u v w u

S M M N

- u vettore degli spostamenti nodali

- vettore delle deformazioni generalizzate

- S vettore degli sforzi generalizzati

Le relazioni di equilibrio e di congruenza sono esprimibili secondo le espressioni:

0 0

0 0

0 0

x

e y e

EI

S D EI

EA

2

2

2

2

0 0

0 0

0 0

x

C u ux

x

- D matrice di rigidezza locale

- C matrice di congruenza

La funzione di plasticizzazione può essere determianta a partire dall’equazione dell’ellisse come:


- Pag. 51 -

2 2 2 2 2 2

2

, ,

0 0

2

, ,

0 0

2 2

, , , ,

0 0 0 0

4 0

:

k x k y k k

n ni j

k i k j k

i j

n ni j

k i k j k

i j

n n n ni j p q

k k i k j k p k q k

i j p q

B M M A B

con

A N

B N

A B N

a cui viene associata la seguente legge di flusso di tipo associato:

t

YX

plNMM

;;

Imponendo la stazionarietà della funzione di snervamento, si ottiene il legame elasto-plastico:

( )el pl plS S S D D

con:

jijjiijipl

t

tpl DDDDDD

D

),(

1

Considerando uno stato tensionale uniforme si passa al legame generalizzato forze spostamenti

moltiplicando per la lunghezza della zona critica (lc) che viene supposta pari alla lunghezza del segmento

stesso:

Y

X

pDD

N

M

M

)(2

1

Dove X ,Y e rappresentano le rotazioni relative e l'allungamento assiale delle sezioni di estremità del

segmento.

3.3.5.1. DISCRETIZZAZIONE DEL PROBLEMA E COSTRUZIONE DI K

Ciascun segmento viene caratterizzato da caratterizzato da 10 gdl (8 flessionali e 2 assiali) come riportato

nel seguito:

1 1 2 2 1 1 2 2 i jU v v w w u u


- Pag. 52 -

Figura 62. Cinematica di ciascun segmento

Dal punto di vista meccanico, ciascun segmento può essere considerato come composto da due bracci

elastici connessi da una molla tridimensionale il cui legame elastoplastico è espresso dalla relazioni

ottenute prima.

Figura 63. Schema meccanico del segmento

La matrice di rigidezza del segmento viene ottenuta per assemblaggio dei contributi elastici dei segmenti

e dalla matrice totale della cerniera intermedia. Il sistema possiede nello spazio di 18 gradi di libertà: 10

gradi di libertà esterni (gradi di libertà associati ai vertici esterni dei bracci deformabili) e 8 gradi di libertà

interni (associati alla molla rotazionale intermedia). È quindi possibile costruire la matrice completa e

successivamente condensarla per escludere i gradi di libertà interni dal calcolo della matrice del frame.

In una seconda fase vengono assemblati i contributi di tutti i segmenti per ottenere la matrice

dell'elemento.

3.4. ORIZZONTAMENTI

Sono considerati orizzontamenti tutti gli elementi piani di collegamento tra le pareti. Vengono distinti sulla

base del loro comportamento meccanico, che determina il maggiore o minore grado di accoppiamento tra

le pareti. In particolare vengono distinti:

impalcati rigidi (floor), 3.4.1;

diaframmi rigidi (diaphragm), 3.4.2;

diaframmi deformabili (plate) 3.4.3;

Nei successivi sottoparagrafi vengono distinti i singoli elementi, il tipo comportamento meccanico, e il tipo

di interazione tra gli orizzontamenti e gli elementi delle pareti che vi afferiscono.

nodo i nodo j

v1 , 1 v2 , 2

w1 , 1 w2 , 2

ui uj

piano 1-3

piano 1-2

assiale


- Pag. 53 -

3.4.1. IMPALCATI RIGIDI (FLOOR)

Sono degli elementi rigidi a sei gradi di libertà che hanno il compito di simulare impalcati rigidi. Ciascun

grado di libertà può essere vincolato esternamente in modo assoluto o elastico.

Figura 64. Interazione tra due pannelli di una parete e un elemento rigido

In figura è rappresentato un elemento di tipo floor, con l’indicazione dei gradi di libertà dell’elemento, che

sono riferiti al baricentro dell’elemento. Con riferimento ad una generica situazione in cui l’elemento rigido

risulta inserito tra due pannelli murari, la connessione con la muratura viene garantita tramite due

distinte interfacce, ciascuna delle quali ha una faccia coincidente con il piano rigido dell’impalcato e l’altra

afferente a uno dei due pannelli. Per queste interfacce, infatti, i gradi di libertà che sono interessati dagli

spostamenti nodali dell’impalcato saranno funzione dei suoi spostamenti secondo le dipendenze riportate

in figura.

Il sistema di riferimento locale dell’elemento ha origine nel baricentro geometrico dell’elemento, e assi

coincidenti con quelli del sistema di riferimento globale.

3.4.2. DIAFRAMMI RIGIDI (DIAPHRAGM)

Sono degli elementi rigidi che dispongono dei soli gradi di libertà nel proprio pano. Hanno il compito di

simulare un vincolo di indeformabilità nel piano. Ciascun grado di libertà può essere vincolato

esternamente in modo assoluto o elastico.

interfaccia superiore

interfaccia inferiore

wi=wi (u312)

wj=wj (u312)

uscorr=uscorr (u1u23)

elemento rigido

u2, 2

u3, 3

u1, 1

cinematica corpo rigido cinematica pannelli

wj

wi

uscorr


- Pag. 54 -

Figura 65. Interazione tra due pannelli di una parete e un diaframma

L’elemento è dotato di tre soli gradi di libertà, che sono quelli di corpo rigido nel piano. In figura è

rappresentato un elemento di tipo diaphragm, con l’indicazione dei gradi di libertà dell’elemento, che

sono riferiti al baricentro dell’elemento. Con riferimento ad una generica situazione in cui l’elemento rigido

risulta inserito tra due pannelli murari, la connessione con la muratura viene garantita tramite

un’interfaccia di tipo SlidInteraction (cfr. 3.1.4.4). Il grado di libertà a scorrimento aggiunto all’interfaccia

risulterà associato ai gradi di libertà del diaframma.

Il sistema di riferimento locale dell’elemento ha origine nel baricentro geometrico dell’elemento, il primo

asse diretto secondo la direzione individuata dai primi due nodi dell’elemento, secondo asse ortogonale al

primo e giacente nel piano dell’elemento, e terzo asse ottenuto come prodotto vettoriale dei primi due.

3.4.3. DIAFRAMMI DEFORMABILI (PLATE)

Nel caso in cui sia necessario rimuovere l’ipotesi di indeformabilità dell’impalcato, è possibile considerare

diaframmi deformabili, o plate. In questo caso la presenza dell’impalcato viene simulata mediante

diaframmi di forma poligonale qualsiasi, deformabili elasticamente nel piano. Questi sono costituiti da una

mesh di n elementi finiti triangolari a sei nodi, dove n rappresenta il numero di lati dell’elemento.

Ciascuno di questi elementi triangolari, che hanno in comune il nodo corrispondente al baricentro

geometrico dell’elemento, oltre a due suoi nodi consecutivi, è dotato di dodici gradi di libertà (due

traslazioni nel piano per ogni nodo), come mostrato in figura.

Questi dodici gradi di libertà vengono parzialmente condensati, poiché solo alcuni di questi vengono

mantenuti come gradi di libertà dell’elemento. I gradi di libertà non condensati sono infatti:

quelli dei vertici;

quello relativo al punto medio del lato perimetrale dell’impalcato (che potrebbe interagire con un

elemento di una parente a scorrimento).

eb

ea

interfaccia tipo SlidInteraction

tra gli elementi della parete

u2

3

u1

d1 : diaframma rigido

d1


- Pag. 55 -

I gradi di libertà condensati sono invece quelli relativi ai punti medi dei lati interni. I primi sono

indicati in blu in figura, mentre quelli condensati sono indicati colore rosso. I gradi di libertà di

ciascun elemento triangolare vengono in questo modo ridotti a 8.

Complessivamente ciascun diaframma possiede pertanto 4n+2 gradi di libertà.

Figura 66. Diaframma deformabile: gradi di libertà dell’elemento

Diversamente dagli altri elementi utilizzati per la modellazione degli orizzontamenti, l’elemento plate è

dotato di un numero di gradi di libertà considerevole, ed è pertanto consigliabile limitare il suo impiego

solo ai casi strettamente necessari per non appesantire oltremodo il calcolo. Con riferimento ad una

generica situazione in cui un lato del diaframma deformabile risulta inserito tra due pannelli murari, la

connessione con la muratura viene garantita tramite un’interfaccia di tipo SlidInteraction. Il grado di

libertà a scorrimento aggiunto all’interfaccia risulterà associato ai gradi di libertà del diaframma

deformabile; in questo caso tuttavia il grado di libertà a scorrimento dell’interfaccia aggiuntivo non è

legato da un vincolo di rigidità al baricentro dell’elemento ma sarà associato al corrispondente grado di

libertà dell’elemento triangolare piano appartenente al diaframma.

Il sistema di riferimento locale dell’elemento ha origine nel baricentro geometrico dell’elemento, primo

asse diretto secondo la direzione individuata dai primi due nodi dell’elemento, secondo asse ortogonale al

primo e giacente nel piano dell’elemento, e terzo asse ottenuto come prodotto vettoriale dei primi due.

G

v i

v j


- Pag. 56 -

Figura 67. Interazione tra due pannelli di una parete e un diaframma deformabile

3.4.3.1. L’ELEMENTO FINITO LASTRA ORTOTROPA

L’elemento utilizzato per la simulazione del comportamento di solai deformabili è la lastra ortotropa

trasversalmente isotropa. Tale elemento garantisce la possibilità di simulare il comportamento di

orizzontamenti in cui è necessario distinguere il comportamento tra due direzioni principali; tale

condizione si verifica nella quasi totalità degli orizzontamenti, essendo questi in genere orditi secondo una

direzione particolare. Il software infatti considera, nel caso di solai deformabili, la direzione di orditura

come una delle due direzioni principali di ortotropia della lastra. L’ipotesi di comportamento

trasversalmente isotropo (isotropia nel piano ortogonale al piano dell’elemento), del tutto accettabile per i

casi degli orizzontamenti più comuni, consente di poter considerare solo i gradi di libertà dell’elemento nel

proprio piano, e quindi il comportamento a lastra.

In presenza di uno stato tensionale biassiale, il comportamento meccanico di una lamina ortotropa è

definito univocamente dalle quattro costanti EL, ET, GLT, νLT, (si ricordi che νTL non è un parametro

indipendente), dove L e T rappresentano le direzioni principali della lamina.

eb

ea

interfaccia tipo SlidInteraction

tra gli elementi della parete

vG

uG

G


- Pag. 57 -

Figura 68. Schema di lamina ortotropa caricata

I legami tra tali costanti elastiche ed i termini della matrice di elasticità si ottiene considerando la lamina

soggetta ad uno stato monoassiale di tensione diretto secondo le direzioni principali e ad uno stato di

taglio puro. Per una tensione monoassiale lungo la direzione longitudinale si ha:

11 12

12 22

L L T

T L T

E E

E E

Tenendo conto della definizione di modulo di Young e di coefficiente di Poisson, dalle precedenti

equazioni si ottiene:

2

11 22 12

22

12

22

LL

L

LLT

L

E E EE

E

E

E

Considerando invece una tensione monoassiale in direzione trasversale, con analogo procedimento si

ottiene:

2

11 22 12

11

12

11

TT

T

LTL

L

E E EE

E

E

E

Considerando infine una sollecitazione di taglio puro, si ha:

33LT LTE

da cui si ottiene immediatamente:


- Pag. 58 -

33LT

LT

LT

G E

Dalle relazioni precedenti si ha quindi:

11

22

12

33

1

1

1 1

L

LT TL

T

LT TL

LT T TL L

LT TL LT TL

LT

EE

EE

E EE

G E

Si ricordi che i due coefficienti di Poisson principali sono in pratica legati ai moduli di Young dalla

relazione:

LT L

TL T

E

E

cosicché delle cinque costanti elastiche , , , ,L T LT LT TLE E G presenti a secondo membro delle

precedenti relazioni solo quattro sono indipendenti.

Si possono infine ottenere le componenti della matrice di elasticità inversa S e della matrice di elasticità E

in funzione delle costanti elastiche. Si ha allora:

10 0

1 1

10 ; 0

1 1

0 0 10 0

L LT T LT

LT TL LT TL L L

LT T T LT

LT TL LT TL L T

LT

LT

E E

E E

E EE S

E E

G

G

Le matrici di elasticità e elasticità inversa individuate permettono di scrivere le relazioni tensioni-

deformazioni (e viceversa) nel riferimento principale L-T della lamina. Se si considera un riferimento

cartesiano arbitrario le relazioni tra tensioni e deformazioni divengono più complesse: le matrici di

elasticità sono ora matrici piene, cioè con elementi tutti diversi da zero.

Le matrici di elasticità e di elasticità inversa in un generico riferimento cartesiano formante col riferimento

principale un angolo generico θ, si possono ottenere considerando le equazioni di trasformazione dello

stato di tensione e di deformazione nell’intorno del punto, note dalla Scienza delle Costruzioni.


- Pag. 59 -

Figura 69. Lamina ortotropa con riferimento cartesiano generico

Nota la matrice di rotazione Q, che è data da

2 2

2 2

2 2

cos sin 2sin cos

sin cos 2sin cos

sin cos sin cos cos sin

Q

è infine possibile scrivere le corrispondenti relazioni valide in un generico riferimento cartesiano.

Per la matrice di elasticità si ha:

1

2 2

x L L L x

y T T T y

xy LT LT LT xy

Q QE QE QEQ

dove E è la matrice che si ottiene dalla matrice E (riferita agli assi naturali del materiale) semplicemente

sostituendo il termine GLT con 2 GLT.


- Pag. 60 -

Dividendo per due i termini della terza colonna della matrice Q ed indicando con Q la matrice così

ottenuta, la relazione tra tensioni e deformazioni per un generico sistema di riferimento, si scrive in forma

compatta come:

2

x x

y y

xy xy

E

con

1

E QEQ

essendo in pratica:

4 4 2 2

11 11 22 12 33

2 2 4 4

12 11 22 33 12

4 4 2 2

22 11 22 12 33

3 3

13 11 12 33 22 12 33

3

23 11 12 33

cos sin 2 2 sin cos

4 sin cos sin cos

sin cos 2 2 sin cos

2 sin cos 2 sin cos

2 sin cos

E E E E E

E E E E E

E E E E E

E E E E E E E

E E E E

3

22 12 33

2 2 4 4

33 11 22 12 33 33

2 sin cos

2 2 sin cos sin cos

E E E

E E E E E E

3.5. INTERAZIONE TRA PARETI ORTOGONALI

Sono previste diverse modalità di interazione tra due o più pareti concorrenti in una intersezione

(cantonale). Una prima interazione, limitata alla quota degli impalcati, viene garantita dalla presenza dei

diaframmi e dei cordoli di piano. A questa si aggiunge l'interazione tra i pannelli murari, diffusa lungo

tutta la lunghezza dell'edificio; tale interazione è resa possibile dalla presenza di pilastri d'angolo o

mediante l'introdurre degli elementi speciali d'angolo, entrambi connessi agli elementi delle pareti

mediante interfacce piane.

3.5.1. INTERAZIONE TRA PANNELLI (ELEMENTI D’ANGOLO O CORNER)

Si tratta di elementi prismatici rigidi con n spigoli che possono essere orientati in maniera arbitraria nello

spazio tridimensionale, e possono essere connessi ad un numero qualsiasi di altri elementi mediante

interfacce.


- Pag. 61 -

Figura 70. Meccanica e cinematica di un elemento corner

La geometria del corner viene individuata a partire dalla zona di intersezione tra le pareti in modo da

riprodurre i reali disassamenti tra i piani medi delle pareti concorrenti nell'intersezione. Dal punto di vista

del modello di calcolo, ciascun corner è individuati da due nodi master (nodi i e j della figura precedente)

che ne rappresentano gli estremi (e che sono direttamente afferenti ad eventuali orizzontamenti), e una o

più coppie di punti che individuano gli spigoli del corner (v1 v2 v3 in figura). Tutti i pannelli, qualunque sia

la parete di appartenenza, aventi un lato in comune con l’elemento d’angolo si riterranno interagenti con

esso.

Ad ogni elemento d’angolo viene assegnato un sistema di riferimento locale definito in modo analogo a

quanto fatto per le interfacce: asse 1 coincidente con la direzione individuata dai suoi nodi master, assi 2

e 3 ortogonali all’elemento e tali da formare una terna sinistrorsa. La cinematica, nello spazio, è

governata da sei gradi di libertà coincidenti con le due traslazioni di ciascun vertice nelle direzioni degli

assi 2 e 3 del sistema di riferimento locale dell’elemento, la traslazione lungo la direzione dell’elemento

(asse 1 del sistema di riferimento locale) ed infine la rotazione attorno allo stesso asse.

La figura riporta la modellazione di una intersezione in cui tre pannelli appartenenti a pareti differenti

vengono collegati mediante l’interposizione di un elemento d’angolo e tre interfacce. In generale

verranno inserite tante interfacce quanti sono i pannelli e ciascuna interfaccia apparterrà al piano della

parete del pannello connesso. Nel caso in cui, oltre alle pareti, sia presente un’asta lungo la zona tra esse

interclusa, possono essere modellate sia l’interazione dell’asta con le pareti, sia l’interazione delle pareti

tra di loro; tuttavia l’approccio di modellazione non fa uso di elementi speciali d’angolo (cfr. 3.5.2).

nodo i

nodo j

v1

v2

v2

v3


- Pag. 62 -

Figura 71. Meccanica e cinematica di un elemento corner

Dalla figura si evince come ciascuna interfaccia sia in grado di modellare in modo distinto l’interazione a

flessione e a scorrimento tra la parete cui appartiene e il resto della struttura.

È evidente che nel caso in cui alcune pareti si ritenga siano disconnesse dalle altre nonostante

confluiscano nella zona d’intersezione, possono essere escluse in maniera semplice omettendo di inserire

le interfacce relative a tali pareti.

Gli elementi d’angolo non sono pensati per modellare meccanicamente la zona di muratura interclusa tra

le pareti: essi servono infatti esclusivamente per introdurre i gradi di libertà necessari alla definizione

delle interfacce atte a simulare l’interazione tra le pareti contigue, e a considerare fisicamente il volume

corrispondente alla zona di intersezione tra le pareti.

3.5.1. INTERAZIONE TRA CORDOLI DI PIANO

Ogni parete giace su un piano, che viene individuato considerando la disposizione geometrica e gli

spessori degli elementi in essa contenuti. Può verificarsi la condizione di pareti non convergenti in pianta

in uno stesso punto. Nel caso di pareti cordolate, le aste non convergeranno in generale in un unico

punto. Risulta pertanto necessario garantire nel nodo in comune un vincolo di tipo rigido tra gli estremi

delle aste concorrenti.

In particolare, per ogni incrocio viene individuato un punto, che può essere considerato il nodo master

del vincolo interno di rigidità. Tale nodo condividerà, eventualmente sia presente un diaframma

concorrente in tale punto, i gradi di libertà dell’orizzontamento. Tale nodo viene inoltre connesso,

mediante un vincolo di rigidità con ciascuno degli estremi delle aste concorrenti nel medesimo punto,

come se venisse introdotto un corpo rigido tra di loro. Uno schema meccanico dell’approccio di

modellazione è mostrato in figura.

u1

u3

u5u4

u6

u2

elemento rigido di

collegamento


- Pag. 63 -

Figura 72. Interazione tra cordoli mediante diaframmi rigidi.

3.5.2. INTERAZIONE MEDIANTE PILASTRI D'ANGOLO

Se in corrispondenza dell'intersezione vi è un pilastro, nel modello computazionale l'interazione avviene

direttamente tra l'elemento asta e i pannelli delle pareti, tramite l'introduzione di interfacce. In questo

caso pertanto non è necessario introdurre elementi d'angolo. Dal punto di vista meccanico lo schema

utilizzato è quello riportato in figura. Nel caso di presenza di diaframmi o cordoli di piano, questi vengono

collegati ai vertici dell'asta, analogamente ai nodi master dei corner.

Figura 73. Interazione tra la muratura e un pilastro d'angolo.

3.6. NONLINEAR LINK (NLINK)

Gli elementi NLink permettono di introdurre un vincolo (rigido o che segue una legge costitutiva tra quelle

disponibili, cfr. 4) tra due nodi del modello. Sono utili per introdurre vincoli interni, modellare dispositivi di

isolamento, o simulare lo sfilamento delle travi dalle pareti cui dovrebbero essere ammorsate.

L’elemento è dotato in generale di dodici gradi di libertà (sei gradi di libertà di moto rigido per ciascuno

dei suoi nodi); vi è tuttavia la possibilità di abilitare solo alcuni di essi, mantenendo liberi i restanti.

cordolo 1 cordolo 2

cordolo 3

diaframma rigido

nodo master


- Pag. 64 -

Figura 74. Sistema locale e gradi di libertà

dell’elemento

Figura 75. Gradi di libertà dell’elemento

Dal punto di vista meccanico può essere schematizzato come l’insieme di tre molle traslazionali e tre

molle rotazionali.

Figura 76. Schema meccanico del NLink: molle traslazionali

A ciascuna delle molle che vengono create possono essere attribuiti i seguenti tipi di leggi costitutive:

comportamento libero (la molla avrà rigidezza nulla);

comportamento rigido (i due estremi dell’elemento subiranno lo stesso spostamento in quella

direzione);

comportamento elastico lineare (la molla creata seguirà una legge lineare);

comportamento elastico perfettamente plastico (la molla seguirà una legge costitutiva di tipo

elastico perfettamente plastico;

comportamento costitutivo generico (la molla seguirà una legge costitutiva tra quelle disponibili,

cfr. 4).

Gli elementi NLink sono anche applicati per creare dei vincoli interni tra gli elementi del modello. In

particolare gli attach, che consentono di far condividere i gradi di libertà dell’estremo di un’asta con quelli

di un altro elemento (cfr. 3.3).

nodo j

u

uu

u

u

u

nodo i

u

nodo j

u

u

u

u

u

nodo i


- Pag. 65 -

3.7. VINCOLI

Le condizioni al contorno della struttura possono essere assegnate mediante vincoli. Vengono distinti

vincoli di tipo puntuale e vincoli di tipo lineare. I primi vengono applicati ad elementi di tipo asta (cfr.

3.3), mentre i secondi possono essere applicati ad elementi di tipo pannello murario (cfr. 3.1.1), setto in

c.a. (cfr. 3.2) o elemento rigido (cfr. 3.1.3).

Ai vincoli può anche essere assegnata una cedevolezza elastica per simularne l’eventuale imperfezione.

Le pareti murarie possono essere vincolate direttamente (in questo caso si dice che sono incastrate), o

possono essere modellati esplicitamente la trave di fondazione e la deformabilità del terreno, come

descritto nel successivo paragrafo.

3.7.1. FONDAZIONI

Gli elementi di fondazione vengono modellati mediante elementi asta analoghi a quelli utilizzati per

modellare travi e pilastri. In questa circostanza l’asta è inserita all’interno di due letti di molle non lineari:

lo strato superiore simula il comportamento a flessione dell’elemento piano, mentre quello inferiore

modella il comportamento elastico o elasto-plastico del terreno.

Figura 77. Schema meccanico di una fondazione a nastro

Per il comportamento del terreno vengono previste le seguenti opzioni :

Terreno elastico;

Terreno elastico non reagente a trazione;

Terreno elasto-plastico.

Il comportamento elastico del terreno è caratterizzato dalla sola costante di Winkler (kw). La rigidezza

delle molle di interfaccia risulta pari a:

( )molle wK K B

dove B indica la larghezza della fondazione, compresa di magrone e l’interasse delle molle di

interfaccia.

deformabilitàmuratura

deformabilità terreno

3DMacro® - Manuale Teorico CAPITOLO 4 - MATERIALI

- Pag. 66 -

4. MATERIALI

In questo capitolo vengono descritti i legami costitutivi utilizzati per la simulazione del comportamento

non lineare dei materiali utilizzati nel modello di calcolo. In particolare la maggiore rilevanza è riservata al

materiale muratura, ma sono trattati anche altri materiali come calcestruzzo o acciaio, utili per

l’inserimento di elementi esterni alla muratura ed interagenti con essa.

Ciascun legame costitutivo, impiegato per descrivere il comportamento di un materiale, verrà ereditato

dagli elementi resistenti (molle), che nel modello discreto equivalente rappresentano gli elementi che

concentrano in sé le proprietà meccaniche del continuo che simulano.

Verranno quindi descritte le procedure di taratura delle molle non lineari atte alla determinazione dei

parametri meccanici delle stesse, affinché il comportamento del modello discreto sia equivalente a quello

reale dei materiali pensati come continui.

4.1. MURATURA

Di seguito vengono descritti tutti i legami costitutivi presi in considerazione per la modellazione del

comportamento meccanico degli elementi murari. Tutti i legami costitutivi sono di tipo monoassiale,

poiché il modello impiega solo elementi monodimensionali per tenere in conto le non linearità. Tale

circostanza rappresenta senz’altro un enorme vantaggio sia dal punto di vista della semplicità di

modellazione che da quello numerico.

Il materiale muratura, visto come un continuo omogeneo, viene modellato utilizzando legami costitutivi

differenti per i diversi aspetti del suo comportamento: flessione (cfr. 4.1.1) taglio (cfr. 4.1.2) e

scorrimento (cfr. 4.1.3). Ciò avviene tramite i corrispondenti legami costitutivi descritti nel seguito.

Ciascuna molla del sistema discreto erediterà il legame costitutivo del corrispondente modello continuo, in

termini monoassiali, e i suoi parametri meccanici vanno determinati a partire dai parametri meccanici e

dalla geometria del modello continuo tramite le procedure di taratura.

Per ciascuno dei tre principali comportamenti della muratura verranno descritti i possibili legami costitutivi

utilizzati, e poi le procedure di taratura che, a partire dalle legge monoassiali dei materiali, consentono di

ottenere le proprietà delle corrispondenti molle non lineari.

4.1.1. COMPORTAMENTO FLESSIONALE

Nel seguito si descrivono i legami costitutivi utili per la simulazione del comportamento flessionale di

pannelli murari. In particolare vengono presi in considerazione il comportamento elastico lineare (cfr.

4.1.1.1) e quello elastico perfettamente plastico (cfr. 4.1.1.2). Successivamente vengono descritte le

procedura per ottenere le proprietà delle molle di interfaccia trasversali, tenendo conto di tali possibili

comportamenti costitutivi (cfr. 4.1.1.3).

4.1.1.1. MATERIALE ELASTICO

Modella un continuo elastico lineare ortotropo caratterizzato dai valori dei due moduli di deformazione

normale lungo i piani principali:


- Pag. 67 -

- E1 modulo di deformazione normale nel piano 1

- E2 modulo di deformazione normale nel piano 2

Non è necessario definire i moduli di contrazione () poiché il modello meccanico proposto non coglie

l’influenza della contrazione laterale, e quindi degli effetti del confinamento, sul comportamento degli

elementi.

4.1.1.2. MATERIALE ELASTOPLASTICO

Modella un continuo elastoplastico perfetto ortotropo con limiti negli spostamenti. Viene assegnato

mediante la definizione in entrambe le direzioni principali del legame monoassiale

Per ciascuna direzione principale si deve assegnare:

E modulo di deformazione normale;

ct limiti di resistenza a compressione e trazione;

ct limiti nelle deformazioni a compressione e trazione.

Figura 78. Legame costitutivo elasto-plastico

Non appena viene raggiunto un limite di deformazione si ha una rottura fragile, a seguito della quale il

materiale si scarica completamente dal carico cui risulta soggetto prima della rottura (cfr. 6.3.4).

Vengono previsti due comportamenti post-rottura differenti:

- Comportamento simmetrico: viene utilizzato per la modellazione di materiali simmetrici a trazione e

compressione. In questo caso a seguito di una rottura, sia a compressione che a trazione l’elemento,

oltre ad essere scaricato, perde ogni capacità di resistere a ulteriori carichi, e viene quindi rimosso dal

modello.

- Comportamento di tipo fessurante: nel caso in cui viene raggiunto il limite di rottura a compressione

l’elemento viene rimosso dal modello. In caso di rottura a trazione il materiale perde la possibilità di

resistere a successivi carichi a trazione (materiale fessurato), continua a potere resistere a compressione

nel momento in cui viene ripristinato il contatto tra gli elementi (modello crush and cracking).

rt

rc

c

t

E


- Pag. 68 -

(a) (b)

Figura 79. Legame elatoplastico di tipo fratturante (a) materiale non fratturato; (b)materiale fratturato

4.1.1.3. PROCEDURA DI TARATURA

L’interfaccia deve simulare sia il comportamento assiale-flessionale dei pannelli che collega, sia lo

scorrimento che può avvenire tra due elementi contigui. In particolare, il comportamento

assiale/flessionale viene simulato mediante le diverse file in parallelo di molle trasversali mentre lo

scorrimento viene modellato mediante una molla posta in direzione dell’interfaccia (scorrimento nel

piano) e due molle che simulano il comportamento fuori dal piano.

Le caratteristiche delle molle di interfaccia dipendono dalle caratteristiche della muratura di entrambi i

pannelli a contatto.

Dal punto di vista del comportamento assiale la muratura viene modellata come un continuo ortotropo

elasto-plastico, descritto in precedenza, attribuito a ciascun pannello mediante l’assegnazione di due

curve di carico monotono relative alle due direzioni principali del materiale. Queste in genere vengono

assunte coincidenti con le direzioni degli assi del sistema di riferimento locale dell’elemento ma più in

generale possono essere orientate in modo generico. Il comportamento isteretico presenta uno scarico

orientato all’origine per il comportamento a trazione e scarico con rigidezza iniziale nel caso di

compressione. Al raggiungimento degli spostamenti ultimi, sia a trazione che a compressione,

corrisponderà la rottura dell’elemento.

Figura 80. legame utilizzato per il comportamento assiale/flessionale della muratura

Essendo la muratura modellata mediante un solido ortotropo la curva di carico monoassiale dipende dalla

direzione considerata. L’assegnazione inoltre avviene mediante la definizione delle curve relative alla

direzioni principali del materiale che sono le uniche direzioni per la quali sono note le curve di carico.

rc

c

t

Ert

rc

c

t

E

rt

rc

c

t

E

Materiale non fratturato

Materiale fratturatot=0


- Pag. 69 -

Le interfacce possono essere orientate in modo generico rispetto alle direzioni principali, in tal caso

bisognerà estrapolare dalle curve di carico relative alle direzioni principali quella relativa alla direzione

ortogonale a quella dell’interfaccia in esame.

Indicando con l’angolo che tale direzione forma con l’asse principale 1 del materiale, i relativi parametri

sono: E, ycyt, ycyt; essi verranno determinati in funzione di quelli relativi alle direzioni principali

mediante una interpolazione non lineare, come mostrato nella figura sottostante.

Figura 81. Determinazione delle caratteristiche meccaniche della muratura lungo una generica direzione a partire da

quelle delle direzioni principali

Con riferimento a una generica caratteristica meccanica, r,si indichino con r1 e r2 le medesime

caratteristiche riferite alle direzioni principali, si ha:

1 2cos sinr r r

Le operazioni di taratura delle molle trasversali di interfaccia portano alla determinazione dei parametri

delle suddette: K, Fyc, Fyt, uc, ut, in funzione dei parametri del modello continuo: E, ycyt, ycyt. Per tali

parametri viene omesso l’apice () ma resta inteso che essi si riferiscono alla direzione ortogonale

all’interfaccia esaminata.

Dato che nelle molle trasversali è concentrata la deformabilità assiale e flessionale dei pannelli, le

proprietà meccaniche di queste dovranno essere ricavate a partire dalle caratteristiche di entrambi i

pannelli a contatto con l’interfaccia. Costituiranno eccezione i casi di interfacce che collegano i pannelli a

un supporto esterno; in questo caso infatti le molle di interfaccia faranno riferimento solo al pannello

murario.

pannello 1

pannello 2

legame direzione 1

legame direzione 2

legame pan. 1

direzione

legame pan. 2

direzione

direzione interfaccia

procedure taratura

F

u

legame molle


- Pag. 70 -

Figura 82. legame costitutivo e parametri caratteristici delle molle flessionali di interfaccia

La procedura che si segue per trasferire le proprietà della muratura dei pannelli alle molle di interfaccia

consta di due fasi: nella prima le caratteristiche di deformabilità di ciascuna fibra di un pannello murario

vengono simulate da un’unica molla; in seguito all’accostamento di due pannelli si vengono a creare due

molle disposte in serie, ognuna delle quali si riferisce a un pannello; nella seconda fase viene determinata

la molla equivalente alle due disposte in serie che rappresenterà la molla di interfaccia, come mostrato in

figura.

Figura 83. procedura di concentrazione delle caratteristiche della muratura alle molle delle interfacce

La prima fase, in cui le caratteristiche di ogni pannello vengono concentrate in molle disposte lungo i suoi

lati (Kp), avviene imponendo l’equivalenza in termini di spostamenti tra il modello discreto soggetto a un

carico monoassiale (F) agente ortogonalmente all’interfaccia e una lastra omogenea caratterizzata dal

modulo di elasticità normale E, soggetto a una distribuzione di pressione esterna p=N/A uniforme, dove A

rappresenta l’area trasversale del pannello.

urtuyt

urc

Fc

uyc

Fc

pannello 1

pannello 2

F

uu

molla 1pannello 1

pannello 2

molla 2

molla equivalente

alle due disposte

in serie

L 1

L /21

L /22

L 2

ty1

ty1 tu1

Fcy1

cy1u cy1u

ucy2 cy2

Fty2

Fcy2

ty2 tu2uu

u

F

u

F

u

spessore

nullo

area di influenza


- Pag. 71 -

Figura 84. Equivalenza tra il modello continuo e il modello discreto per la determinazione delle rigidezze kp

La soluzione del problema elastico associato al modello continuo prevede unicamente una distribuzione di

tensioni normali uniforme in tutto il corpo, di intensità uguale alla pressione esterna. Al fine di ricavare le

caratteristiche di una singola molla si potrà fare riferimento a una fibra di muratura, considerata isolata

dal resto, di area trasversale pari all’area di influenza di una singola molla determinata dagli interassi

longitudinale e trasversale (t) e altezza pari a metà di quella del pannello misurata in direzione

ortogonale all’interfaccia (L/2).

Uguagliando le rigidezze assiali offerte dal modello continuo e quella relativa a ciascuna delle due molle

Kp disposte in serie, si ottiene immediatamente:

2 t

p

EK

L

dove si è indicato con E il modulo della muratura relativamente alla direzione di carico considerata.

A partire dalle tensioni limite della muratura nella direzione considerata, le corrispondenti forze di

snervamento delle molle si ottengono dalla semplice considerazione di equivalenza

p

cu t c

p

tu t t

F

F

che equivale ad assumere una distribuzione uniforme di tensioni corrispondente all’area di influenza della

molla.

Immaginando di concentrare la deformabilità di metà pannello, e assumendo uno stato deformativo

uniforme lungo l’altezza, si ha :

tutu

cucu

LU

LU

2

2


- Pag. 72 -

A questo punto sono noti tutti i parametri delle molle Kp relative ai singoli pannelli. I parametri definitivi si

ricavano considerando le due molle in serie, si ha pertanto:

1 2

1 2

p p

p p

K KK

K K

Relativamente alla forza di snervamento della molla complessiva, questa sarà ovviamente data dalla più

piccola delle forze di snervamento relative ai pannelli connessi.

Gli spostamenti ultimi a trazione e a compressione si ottengono sommando lo spostamento ultimo della

molla con resistenza minore (che si plasticizza per prima) e quello elastico dell’altra molla in serie (che

permane elastica):

2

2

min

min

max

min

min

max

cyF

cu cu F

tyF

tu tu F

FLU

K

FLU

K

dove tuFmin e cuFmin sono le deformazioni ultime a trazione e compressione relative al pannello che

possiede la molla con forza di snervamento Fy minore (Ftymin), KFmax è la rigidezza della molla di estremità

relativa al pannello che possiede la molla con forza di snervamento maggiore.

Al fine di caratterizzare la muratura devono essere quindi assegnate le grandezze (E, ycyt, ycyt)

relative a ciascuna direzione principale della muratura. Tali quantità possono essere determinate a partire

dalle caratteristiche dei componenti (malta e mattoni) tramite delle tecniche di omogeneizzazione oppure

tramite delle prove in situ (o in laboratorio). In particolare i moduli di elasticità e la resistenze a

compressione possono essere determinate con prove di compressione monoassiale, condotte con doppi

martinetti piatti, condotte parallelamente e ortogonalmente ai giunti di malta.

Più complicata risulta la problematica della determinazione della resistenza a trazione; per murature non

regolari costituite da pietrame informe (come mostrato nella prima delle figure sottostanti) o nel caso di

murature regolari di mattoni limitatamente alla direzione ortogonale ai giunti di malta (figura in basso), la

resistenza a trazione può essere paragonata alla resistenza a trazione della malta poiché le fessure

coinvolgono quasi esclusivamente i giunti di malta.

(a)


- Pag. 73 -

(b)

Figura 85. Fessure per trazione; (a) in una muratura irregolare; (b) in una muratura regolare caricata ortogonalmente ai

ricorsi

Nel caso di muratura di mattoni e direzione di carico ortogonale ai giunti di malta la resistenza a trazione

della muratura è legata allo scorrimento lungo i giunti di malta.

Figura 86. Rottura a trazione per scorrimento lungo i giunti di malta

La muratura in questo caso presenta una resistenza e duttilità a trazione ben maggiore di qualsiasi altra

direzione, tale considerazione è quindi da tenere presente al momento dell’attribuzione dei parametri

costitutivi della muratura. Tale meccanismo di resistenza a trazione tra l’altro è quello che si verifica in

corrispondenza degli ammorsamenti tra le pareti e rappresenta probabilmente il maggiore vincolo contro

il ribaltamento delle pareti.

4.1.2. COMPORTAMENTO A TAGLIO PER FESSURAZIONE DIAGONALE

Nel seguito si descrivono i legami costitutivi utili per la simulazione del comportamento a taglio per

fessurazione diagonale di pannelli murari. In particolare vengono presi in considerazione il

comportamento alla Coulomb (cfr. 4.1.2.1) e quello alla Cacovic (cfr. 4.1.2.2). Successivamente vengono

descritte le procedura per ottenere le proprietà delle molle diagonali dei pannelli murari, tenendo conto di

tali possibili comportamenti costitutivi (cfr. 4.1.2.3).


- Pag. 74 -

4.1.2.1. MATERIALE ALLA COULOMB

Modella un continuo elastico-plastico isotropo soggetto a uno stato tensionale monoassiale con

comportamento simmetrico a trazione e a compressione, superficie di snervamento alla Coulomb e limite

nelle deformazioni.

Nel modello proposto tale materiale verrà utilizzato per simulare sia il comportamento a taglio che quello

a scorrimento della muratura.

Con E e u vengono indicati rispettivamente il modulo di deformazione normale che caratterizza la fase

elastica e il valore ultimo delle deformazioni oltre il quale si verifica la rottura del materiale.

Il limite della fase elastica viene fissato da uno criterio alla Coulomb di tipo degradante, della quale viene

riportata l’espressione della tensione ultima e della superficie di snervamento:

( , , ) ( )

y p

p p

c N

N sign c N

dove:

tensione agente;

N variabile di stato rappresentativa dello stato di compressione dell’elemento;

c termine di coesione;

=tg() tangente dell’angolo di attrito interno;

H parametro di incrudimento;

+p valore assoluto della deformazione plastica cumulata dello stesso segno della tensione

agente.

La superficie, nel piano N si presenta nella classica forma del dominio alla Coulomb come mostra la

figura sotto riportata.


- Pag. 75 -

Figura 87. Dominio alla Coulomb incrudente nel piano N,

Va tuttavia puntualizzato che il legame implementato nel software fa riferimento solo a stati tensionali

piani. è infatti l’unico parametro di tensione, mentre N è una variabile di stato che da una misura della

compressione cui risulta soggetto l’elemento considerato e la cui definizione varierà di volta in volta.

Al fine di prevedere un degrado della resistenza all’aumentare dell’escursione in campo plastico è stato

introdotto un termine di incrudimento di tipo cinematico, proporzionale alle deformazioni plastiche

accumulate.

pH

Il parametro rappresenta un parametro del modello e deve essere opportunamente assegnato. Nel

caso di >0 l’incrudimento cinematico risulta essere negativo. Poiché tale incrudimento viene fatto

dipendere dalla deformazione cumulata, quantità mai decrescente, i progressivi decrementi della

resistenza possono essere di volta in volta sommati. Inoltre la plasticizzazione in un verso non condiziona

la resistenza del verso opposto.

Il generico incremento della funzione di snervamento può essere espresso nella forma:

( ) pd sign d dN d

Il legame viene considerato di tipo associato, pertanto l’incremento delle deformazioni plastiche può

essere espresso come

( )pd d sign d

;

Si ha:

( ) ( )d sign E sign d dN d

incrudimento per >0

N

u

pd E


- Pag. 76 -

Imponendo la stazionarietà disi ottiene

La deformazione plastica risulterà quindi

( )p

E d sign dNd

E

L’espressione dell’incremento di tensione risulta

2 ( )p

E d E sign dNd E d E d E d

E E

Semplificando si ottiene:

( )E

d d sign dNE

Considerando un processo di carico monotono a N costante, al variare di si avrà un andamento della

curva di carico di tipo elasto-plastico con incrudimento variabile.

Figura 88. Legame - a N costante e variabile

Agevolmente può essere determinata la relazione che lega il parametro con la pendenza Et

;

4.1.2.2. MATERIALE ALLA CACOVIC

Tale materiale è identico come comportamento generale al materiale alla Coulomb, appena descritto,

rispetto al quale si differenzia solo per la diversa superficie di snervamento. In questo caso, tale

superficie viene determinata in accordo col noto criterio di Turnsek e Cacovic [12].

Nonostante il criterio di Cacovic sia stato formulato appositamente per le murature ed in particolare per la

resistenza nei confronti del meccanismo di collasso a taglio per fessurazione diagonale, esso fa

riferimento a pannelli murari soggetti a sforzo normale solo lungo una direzione. Nel modello proposto

( )sign E d dNd

E

Et

p=cost

E E

E

EEt

EtE

EtE


- Pag. 77 -

invece, ciascun pannello può essere affiancato lungo ciascun lato da altri elementi e quindi ricevere sforzi

di compressione in corrispondenza di entrambe le coppie di lati paralleli. Nel seguito viene proposta

un’estensione del criterio di Cacovic che tiene conto proprio di tale circostanza.

L’ipotesi di base, analogamente a quella del criterio generale, è che la rottura per fessurazione diagonale

avvenga quando la massima tensione di trazione (lungo la direzione principale) raggiunge il valore di

resistenza convenzionale a trazione della muratura. In precedenza è stato evidenziato come tale

parametro debba intendersi a livello macroscopico. Si consideri nel seguito un pannello soggetto a due

distinti sforzi di compressione, indicati rispettivamente con P1 e P2, e a una forza tagliante V. Si indicano

inoltre con A1 e A2 le aree trasversali relative ai lati in cui sono applicati P1 e P2.

Figura 89. Schema di carico di un pannello murario

Continuando ad ammettere una distribuzione parabolica per le tensioni tangenziali e una distribuzione

uniforme per le tensioni normali, in corrispondenza del centro del pannello lungo le giaciture paralleli ai

lati si avrà uno stato tensionale caratterizzato dalle tensioni normali p1=P1/A1, p2=P2/A2 (positive se di

compressione) e da una tensione tangenziale *=1.5·T/A1.

Figura 90. Rappresentazione dello stato tensionale nel piano di Mohr

Omettendo per brevità i passaggi, l’espressione della tensione principale di trazione risulta:

P1

P1

P2 P2

T

T

p1

p2

p2p1 ptp


- Pag. 78 -

2

21 2 1 2*2 2

t

p p p pp

Ponendo la tensione principale (pt) pari alla resistenza convenzionale a trazione (tu), si ottiene il valore

limite di *:

1 2 1 2

2* 1u tu

tu tu tu

p p p p

Ricordando che vale

e

dove con u e k vengono indicate rispettivamente la tensione media ultima in condizioni correnti e in

assenza di compressione di confinamento. Si ha:

1 21 2

11

1.5 1.5u k

k k

p pp p

che naturalmente contiene come caso particolare la classica formulazione del criterio di Turnsek e

Cacovic.

L’espressione appena ricavata viene riscritta come funzione di snervamento di un generico solido

monodimensionale utilizzando la notazione già adottata in precedenza, cioè indicando con il parametro

di tensione, con y la resistenza a snervamento, con c il termine di resistenza costante (non dipendente

dallo stato dell’elemento) e con p1 e p i due parametri di stato. Sostituendo infine al coefficiente 1.5, il

coefficiente b già descritto in precedenza per tenere conto dei pannelli tozzi, si avrà:

1 21 2

11y

p pc p p

b c b c

In alternativa per rendere più semplice la modellazione si può fare comunque riferimento al criterio

limitando ad uno solo il parametro di stato:

1y

pc

b c

eventualmente definendo questo in modo opportuno, così da tenere in conto la contemporanea presenza

di compressione su entrambe le coppie di lati del pannello come descritto nel paragrafo successivo.

* 1.5 u 1.5

tuk


- Pag. 79 -

La superficie di snervamento e il suo incremento risultano:

1 2

1 2

11

y

p psign sign c p p

b c b c

( ) ( )

( ) pd sign d dN d

Considerando anche stavolta un legame di tipo associato, si ha

( )pd d sign d

Sostituendo:

1 1 2 2( ) ( )d sign E sign d f dP f dP d

dove con i simboli f1 e f2 vengono indicate due funzioni di carico caratterizzate dalle seguenti espressioni

21 2

1 2 1 2

12 2

1 2 1 2

2 1 ( / ) /

2 1 ( / ) /

b c Pf

b p p p p bc bc

b c Pf

b p p p p bc bc

Imponendo la stazionarietà di si ottiene:

1 1 2 2( )sign E d f dp f dpd

E

La deformazione plastica risulterà quindi:

1 1 2 2( )p

E d sign f dp f dpd

E

L’espressione dell’incremento di tensione risulta:

1 1 2 2( )E

d d sign f dp f dpE

Il vantaggio operativo di utilizzare tale legame risiede essenzialmente nel dovere assegnare un solo

parametro di resistenza meccanica. Il parametro b infatti è solitamente legato alla geometria del

pannello.

4.1.2.3. PROCEDURA DI TARATURA

Le molle diagonali dei pannelli devono simulare il comportamento a taglio della muratura, e il

meccanismo di rottura che devono riprodurre è quello di rottura per fessurazione diagonale.


- Pag. 80 -

Al fine di semplificare il più possibile il problema, ad ognuna delle due molle diagonali viene attribuito un

opportuno legame elasto-plastico di tipo simmetrico a trazione e compressione.

I parametri necessari alla caratterizzazione della muratura sono: il modulo di deformazione tangenziale

(G), la pendenza del ramo di softening (a sforzo di compressione costante) (Gt), la resistenza media a

taglio in assenza di sforzo normale (k). Infine, limitatamente al caso di materiale alla Coulomb, deve

essere attribuito il valore all’angolo di attrito interno ().

Per quanto riguarda i criteri di snervamento possono essere utilizzati sia il criterio alla Coulomb (cfr.

4.1.2.1), che quello alla Cacovic (cfr. 4.1.2.2).

In entrambi i casi la resistenza a taglio ultima del pannello (Tu), considerando una distribuzione uniforme

di tensioni tangenziali in tutta l’area trasversale del pannello (At), si otterrà semplicemente moltiplicando

la tensione tangenziale ultima per At:

( ) ( )u u tT P p A

dove con p e P vengono indicati rispettivamente la tensione media e lo sforzodi compressione cui è

soggetto il pannello.

Figura 91. Pannello soggetto a una forza tagliante

Considerando le espressioni dei criteri di snervamento scritte in precedenza, e considerando che valgono

le espressioni:

k k t

k k t

T A

P p A

si ha:

- Criterio alla Coulomb: u t k kT A p T P ( )

- Criterio alla Cacovic: 1 2 1 2

2 2

1 11u k

k k k

P P PPT T

b T T b T

o in alternativa, utilizzando un solo parametro di stato:

T

TAt


- Pag. 81 -

1u k

k

PT T

b T

Fino ad ora si è parlato genericamente di compressione media del pannello, tale parametro tuttavia va

opportunamente definito. Nel più generale dei casi, quello cioè di un pannello interagente lungo tutti i

quattro lati, si avranno quattro diversi sforzi di compressione.

Figura 92. Definizione del parametro di compressione media per un pannello

Nel caso si stia utilizzando un criterio di collasso caratterizzato da un unico parametro di compressione

media, questo verrà determinato come la media tra i quattro valori presenti:

1 2 3 4

1

4P P P P P

Nel caso di criterio alla Cacovic con due parametri, ciascuno di essi verrà determinato in maniera analoga

facendo la media tra i due valori che si riferiscono a ciascuna coppia di lati opposti.

In entrambi i casi, i criteri verranno utilizzati includendo un incrudimento di tipo cinematico con >0. Tale

parametro viene determinato in funzione della rigidezza di softening (Gt):

G Gt

G Gt

Per quanto riguarda lo spostamento ultimo del pannello (u), coerentemente con quanto proposto da

Magenes e Calvi [13], esso si esprime in termini di deformazione angolare ultima (u) della muratura.

Le molle diagonali ereditano tutte le caratteristiche appena descritte, e i parametri che ne caratterizzano

il legame costitutivo sono: la rigidezza iniziale (k), la rigidezza del ramo di softening a sforzo di

compressione costante (kt), la forza di snervamento in assenza di sforzo normale (Fy0), la forza di

snervamento corrente (Fy) funzione della compressione media cui risulta soggetto il pannello.

Di seguito si riportano i grafici relativi al legame costitutivo e al comportamento isteretico (cfr. 4.1.4), con

riferimento a un ciclo di carico a compressione costante.

P1P2

P3

P4


- Pag. 82 -

(a) (b)

Figura 93. Legame attribuito alle molle diagonali; (a) legame carico spostamento;

(b) ciclo isteretco, a sforzo normale nullo

I parametri meccanici delle molle vengono determinati in relazione alle caratteristiche meccaniche della

muratura imponendo una equivalenza in termini di spostamenti tra il pannello visto come un continuo

elastico e omogeneo, e il modello discreto equivalente, composto dal quadrilatero articolato e le molle

diagonali, soggetti entrambi a una sollecitazione di puro taglio, come riportato in figura.

Figura 94. Equivalenza a taglio tra il modello continuo e il modello discreto

La soluzione del modello continuo a lastra, prevede unicamente una distribuzione di tensioni tangenziali

uniforme; è facile verificare che il drift tra le due facce opposte del solido risulta:

p

t

HAG

T

Con riferimento al modello discreto con analogo spostamento del modello continuo, l’allungamento e la

forza relativi a ciascuna molla diagonale risultano:

)cos(

)cos(

mmdiagm

m

KKF

Ku

Kr

kt

k

uruy

urc

Fy0

uy

Fy0


- Pag. 83 -

Figura 95. Deformazioni nel sistema continuo e discreto

Nelle precedenti espressioni si è indicato con At l’area trasversale del pannello relativa alla forza tagliante

T, con p l’angolo formato tra tale superficie e la diagonale, con Hp l’altezza del pannello ossia la

dimensione ortogonale ad At.

Considerando inoltre che i due sistemi sono soggetti alla medesima forza di taglio e che nel sistema

discreto vi è la contemporanea presenza di due molle, si ha:

2 cos( )m pT F

Sostituendo quest’ultima nell’espressione dello spostamento del modello discreto, si ottiene:

mp

p

t K

TH

AG

T

)(cos2 2

da cui si ricava la rigidezza di ciascuna molla diagonale:

)(cos2 2

pp

tm

H

AGK

Analogamente la rigidezza del ramo di softening risulta:

)(cos2 2

pp

ttm

H

AGK

Tutte le formule sopra riportate naturalmente sono valide nell’ipotesi che entrambe le molle abbiano un

legame costitutivo simmetrico rispetto all’origine.

Ricavando l’espressione della forza di snervamento della molla si ha:

)cos(2

)(

)cos(2

)(

p

tu

p

uu

APPTF

Infine per quanto riguarda lo spostamento ultimo delle molle si ottiene:

)cos( ppuu H


- Pag. 84 -

4.1.3. COMPORTAMENTO A SCORRIMENTO

Oltre alla simulazione del comportamento presso-flessionale, l’elemento interfaccia ha una seconda e

altrettanto principale funzione, che è la gestione degli scorrimenti tra pannelli a contatto tra loro. Si

distingue tra scorrimento nel piano dei pannelli e scorrimento fuori piano; tali comportamenti sono

governati complessivamente da tre molle non lineari, una posta in direzione dell’interfaccia (scorrimento

nel piano) e due in direzione ortogonale poste in corrispondenza di due opportuni punti dell’interfaccia

(scorrimento fuori piano). Lo scorrimento nel piano è presente sia dal modello piano (cfr. 3.1.1), mentre

le due molle che regolano lo scorrimento fuori piano sono inserite nel caso in cui il comportamento sia

tridimensionali (cfr. 3.1.2).

Il comportamento a scorrimento per sua natura è un comportamento ad attrito, ossia di tipo rigido

plastico, la cui forza limite corrente può essere facilmente determinata con un criterio di snervamento alla

Coulomb, le cui proprietà sono state descritte in precedenza (cfr. 4.1.2.1).

La muratura viene quindi caratterizzata da due parametri di resistenza: uno che rappresenta la coesione

(c), o resistenza in assenza di tensioni normali, e l’altro l’angolo di attrito interno ). Tale coppia di

parametri si riferisce a una determinata superficie di scorrimento. Coerentemente con quanto visto per il

comportamento a flessione, anche nel caso del comportamento a scorrimento è necessario tenere conto

del carattere ortotropo della muratura. Basti infatti pensare al diverso comportamento tra lo scorrimento

lungo i letti di malta e lungo la direzioni ad essi ortogonale. Vengono quindi attribuiti due valori differenti

di coesione e angolo di attrito interno per ciascuna direzione principale del materiale. I valori relativi alla

direzione dell’interfaccia vengono ottenuti mediante la medesima interpolazione descritta nel caso del

comportamento a flessione. Nel seguito con c e vengono indicati genericamente i valori relativi alla

superficie di scorrimento coincidente con l’interfaccia. La superficie tensione limite di scorrimento media si

esprime nella forma:

c p lim

dove p rappresenta la tensione di compressione media agente lungo la superficie dell’interfaccia.

Indicando con At l’area trasversale effettivamente a contatto tra le due superfici, la forza limite che

provoca lo scorrimento si può scrivere nella forma:

u tT c A P

Figura 96. Scorrimento lungo i giunti di malta

dove con P viene indicato lo sforzo di compressione agente in corrispondenza della superficie

dell’interfaccia.

P

P

Tu


- Pag. 85 -

Ciò equivale ad avere supposto una distribuzione di tensioni tangenziali uniformi in tutta l’area a contatto.

Sia il valore di P che quello dell’area di contatto fra i pannelli sono variabili durante l’analisi. In particolare,

ad un’area di contatto nulla corrisponde una resistenza a scorrimento anch’essa nulla.

Il legame a scorrimento viene considerato non incrudente e non degradante. Tale comportamento viene

ottenuto come caso particolare del legame alla Coulomb descritto in precedenza ponendo =0. Viene

previsto un comportamento isteretico caratterizzato da scarico con rigidezza iniziale.

Non viene previsto uno spostamento limite oltre il quale la molla debba essere scaricata.

Le molle di interfaccia poste per simulare lo scorrimento, possono essere caratterizzate mediante un

legame elastico perfettamente plastico con limite allo snervamento alla Coulomb.

La figura sottostante riporta lo schema meccanico equivalente di una molla allo scorrimento.

Figura 97. Schema meccanico del comportamento a scorrimento dell’interfaccia, limitatamente al caso piano

La scelta di inserire due molle allo scorrimento fuori piano anziché una (come avviene nel caso piano), è

giustificata dalla volontà di cogliere il comportamento torsionale del pannello, legato allo scorrimento

nella direzione ortogonale al pannello stesso.

Figura 98. Simulazione della torsione dovuta allo scorrimento fuori piano tra due pannelli

Tali molle sono state poste a B/4 dai vertici dell’interfaccia, così da riprodurre in media la distribuzione

delle tensioni tangenziali relative a uno scorrimento torsionale.

T

TP

P

friction sliding surface

Fy

P

f 0

, f 0, A)

rigidezza elastica

F

u

Kscorr

(Kscorr)


- Pag. 86 -

I parametri meccanici delle molle si ricavano direttamente dalle caratteristiche della muratura,

considerando per ciascuna la propria area di influenza (Ac), coincidente con l’intera sezione per la molla a

scorrimento nel piano, a metà sezione per le due molle a scorrimento fuori piano.

Figura 99. Aree di influenza delle molle a scorrimento: (a) nel piano; (b) fuori piano

La resistenza di ciascuna molla dipende dalla porzione reagente dell’area di influenza in quanto realmente

a contatto tra i due pannelli (Am). Tale area varia al procedere del processo di carico e viene determinata

considerando le molle trasversali attive ricadenti nell’area di influenza della molla in esame. Per molle

inattive si intendono le molle che si trovano in fase di trazione e che hanno raggiunto limite ultimo di

deformazione per cui totalmente scariche (cfr. 4.1.1.2).

Analogamente, lo sforzo di compressione Pm relativo a ciascuna molla a scorrimento viene calcolato come

somma delle forze agenti nelle molle attive ricadenti all’interno dell’area di influenza della molla,

conteggiando sia le forze di compressione che di trazione. La resistenza ultima di ciascuna molla (Tm)

sarà quindi data da:

m m mT c A P

Nel caso in cui tutte le molle trasversali dell’area di influenza di una molla a scorrimento divengono

inattive, questa viene scaricata dal carico cui risulta soggetta e il suo stato viene portato allo stato

iniziale.

Per quanto riguarda la rigidezza da attribuire alle molle a scorrimento, quella nel piano e le due fuori

piano vengono trattate diversamente.

Per quanto riguarda la rigidezza iniziale da attribuire alla molla a scorrimento nel piano, si possono

seguire due approcci. Il primo consiste nel riconoscere tale rigidezza come rappresentativa del

comportamento iniziale, di tipo elastico delle superfici di scorrimento ossia dei giunti di malta; in tal caso

definendo con Gm il modulo tangenziale relativo al giunto di malta, e con Am il valore corrente dell’area a

contatto, con hm lo spessore medio dei giunti, la rigidezza da attribuire alla molla a scorrimento risulta:

m m

m

m

G AK

h

In ogni caso la determinazione della rigidezza da attribuire alla molla a scorrimento nel piano sembra

essere quanto mai una operazione incerta, come anche l’eventuale determinazione del modulo G della


- Pag. 87 -

malta o dello spessore dei giunti. Inoltre percorrendo tale approccio, la rigidezza delle molle a rigore deve

dipendere dall’area attuale di contatto e quindi dovrebbe essere variabile durante l’analisi.

L’alternativa che appare più auspicabile, almeno dal punto di vista applicativo, è quella di impostare un

valore di rigidezza sufficientemente alto rispetto alle altre rigidezze del modello in modo da ripristinare, in

modo numerico, un comportamento di tipo rigido-plastico.

È importante puntualizzare che gli elementi resistenti a scorrimento sono elementi monodimensionali e

quindi nelle interfacce gli scorrimenti plastici corrispondono alle deformazioni plastiche delle molle a

scorrimento, che non sono associate a nessuna deformazione plastica in direzione trasversale.

Figura 100. cinematica a scorrimento dell’interfaccia

Così facendo si perde inevitabilmente la possibilità di modellare qualsiasi fenomeno di dilatanza

rappresentativa di possibili fenomeni di ingranamento delle superfici soggette allo scorrimento.

Le molle a scorrimento fuori piano vengono invece modellate in modo tale da simulare anche la rigidezza

a taglio fuori piano della muratura e il comportamento torsionale dei pannelli murari. La rigidezza di

ciascuna delle due molle è calibrata sulla base della rigidezza a taglio fuori piano della porzione di

muratura cui afferisce, secondo la seguente espressione:

0

1

2

2

Nmollei

mi i

G AK

l

dove

Ai è l’area di ciascuna fibra;

li è la lunghezza di ciascuna fibra considerata;

Nmolle è il numero totale di molle di interfaccia.

La rigidezza così ottenuta è quella relativa ad uno dei due pannelli afferenti all’interfaccia. Pertanto, ove

necessario, le rigidezze relative a due pannelli afferenti all’interfaccia, vanno combinate in serie. Infine, la

distanza tra le due molle a scorrimento fuori piano viene stabilita in modo da garantire un’equivalenza col

comportamento torsionale dell’elemento. Si può vedere che tale distanza è pari a circa la metà della

lunghezza del lato corrispondente; pertanto ciascuna delle due molle a scorrimento fuori piano è posta

nel baricentro geometrico della porzione di area cui afferisce.

,p,p

scorrimento interfacciadeformazione molla


- Pag. 88 -

4.1.4. COMPORTAMENTO CICLICO

Vengono presi in considerazione diverse possibili leggi di scarico al fine di adattare tale legame a più

situazioni:

- scarico orientato all’origine (cfr. 4.1.4.1);

- scarico con rigidezza iniziale (cfr. 4.1.4.1);

- legame di tipo degradante (cfr. 4.1.4.2).

4.1.4.1. LEGAMI ISTERETICI SENZA DEGRADO

In questa categoria rientrano il legame con scarico con rigidezza iniziale e quello orientato all’origine,

certamente più semplici, ma che possono essere efficacemente utilizzati per la modellazione del

comportamento assiale della muratura o eventualmente degli elementi asta non lineari. Nel primo caso

non viene previsto alcun degrado di resistenza, mentre il legame con scarico orientato all’origine prevede

un degrado della rigidezza. La figura sottostante riporta tali cicli isteretici relativamente ad una legge di

carico monotona di tipo elastoplastico.

Figura 101. cicli isteretici implementati; (a) scarico con rigidezza iniziale; (b) scarico con rigidezza orientata all’origine

È possibile prevedere leggi di scarico differenti a compressione e trazione. Tale possibilità risulta utile per

la modellazione del comportamento presso-flessionale della muratura, per il quale può essere assegnata

una legge di scarico orientato all’origine nel caso di trazione e con rigidezza iniziale nel caso di

compressione. Il raccordo tra il ciclo a scarico con rigidezza iniziale e quello a rigidezza orientata

all’origine avviene tramite un tratto di sliding a tensione nulla.

Figura 102. ciclo isteretico utilizzato per la modellazione del comportamento assiale/flessionale della muratura

a

b


- Pag. 89 -

4.1.4.2. LEGAME ISTERETICO CON DEGRADO

Utilizzando il legame con rigidezza orientata all’origine si prevede già un degrado della rigidezza con il

progredire delle deformazioni plastiche e quindi del degrado del materiale. Tuttavia dalle esperienze

condotte su pannelli murari si è osservato anche un sensibile decremento della resistenza. Tale

decremento può essere pensato dipendente dall’entità delle deformazioni plastiche e dal numero di cicli di

carico.

Si è pertanto introdotto un legame di tipo degradante, simmetrico rispetto all’origine, in cui il

danneggiamento viene fatto dipendere sia dalle deformazioni plastiche sia dall’energia dissipata [14,15].

Tale tipologia di legami è stata ampiamente studiata nel passato, soprattutto nell’ambito degli elementi in

c.a. [16].

Un legame costitutivo isteretico con degrado è caratterizzato da due distinti moduli di deformazione

normale: quello di scarico (Eu) e quello di ricarico (Er), oltre al modulo iniziale (E).

Il modulo di scarico viene utilizzato ogni qualvolta il sistema passa dalla fase plastica a quella elastica. Il

modulo di ricarico invece viene utilizzato tutte le volte che si verifica una inversione di segno della

tensione. Entrambi i moduli sono funzione del modulo di deformabilità iniziale secondo le formule:

01u IE K K con 10 ;

max

( )(1 )

y p

r

r

E Du

con 10 ; 10 D ;

dove:

y è la tensione di snervamento,

r- è la deformazione plastica di segno attuale,

r+ è la deformazione residua registrata a scarico ultimato,

E0 è il modulo di deformabilità iniziale,

EI è il modulo orientato all’origine.

Nella figura che segue viene riportato un ciclo isteretico caratterizzato da N costante e >0 =0).


- Pag. 90 -

Figura 103. ciclo di isteresi legame con degrado

Dall’espressione di Eu si nota che per =0 si ottiene uno scarico con rigidezza iniziale mentre ponendo

=1 si ottiene uno scarico orientato all’origine. Quindi tale legame può comprendere come casi particolari

i due legami isteretici visti in precedenza.

Con il termine D si indica una funzione di danno da definire in modo opportuno mentre il parametro

determina l’incidenza del danno sulla riduzione della rigidezza di ricarico. Proprio l’introduzione della

funzione di danno consente di avere un progressivo degrado della rigidezza e della resistenza anche per

cicli di carico con ampiezza costante di deformazione, come illustrato nella figura sottostante in cui si

assume: N=cost.; =0;>0; >0.

Figura 104. degrado della resistenza all’aumentare dell’energia dissipata.

Si osservi che il legame isteretico caratterizzato da scarico e ricarico orientato all’origine, descritto prima,

si riottiene come caso particolare ponendo =0; =0.

Il legame appena descritto può essere quindi visto come una evoluzione del legame con scarico orientato

all’origine che già prevede una prima forma di degrado. Rispetto a questo, però, presenta il vantaggio

che l’ampiezza del ciclo di isteresi può essere opportunamente tarata, oltre alla disponibilità di una

funzione di danno che evolve anche per cicli di carico di ampiezza costante.

Eu

E

ErEu

0

12=7

3=8

4

5

6

9

Et

Er

Er

Er

0

Er

E

Et

Eu

ErEu


- Pag. 91 -

4.1.5. RINFORZO MEDIANTE METODOLOGIA CAM

L’adozione di sistemi di tirantature diffuse nelle tre direzioni ortogonali, in particolare anche nella

direzione trasversale, migliorano la monoliticità ed il comportamento meccanico del corpo murario,

incrementandone la resistenza a taglio e a flessione nel piano e fuori del piano, come previsto nella

Circolare NTC2008 pag. 425 par. C8A.5.6 Interventi volti ad incrementare la resistenza nei maschi murari.

I nastri sono pretesi e quindi viene applicato un benefico stato di precompressione agli elementi in

muratura su cui sono posti in opera.

Figura 105. Elementi base per l’applicazione del metodo CAM: piastra diffusore di carico, elemento d’angolo, nastri in

acciaio inox

Attraverso gli speciali elementi di connessione, i nastri di acciaio inox consentono di realizzare un sistema

continuo di tirantature, in grado di ripercorrere tutte le irregolarità della muratura, sia in orizzontale che

in verticale, così da migliorare la resistenza a taglio e quella flessionale dei maschi murari.

Ogni nastro viene utilizzato per cucire la muratura attraverso due fori a distanza compresa tra i 100 ed i

200 cm e viene chiuso ad anello mediante una macchina capace di imprimere al nastro una pretensione

regolabile e, dunque, una precompressione nella muratura, sia trasversale che complanare alla parete

trattata.

Il sistema prevede, inoltre, l’utilizzo di elementi intermedi diffusori di carico e di continuità meccanica:

sono i piatti imbutiti (piastre di acciaio inox di dimensioni 125x125 mm, dotate di foro ad imbuto. Tali

piastre svolgono la funzione di distribuzione delle forze di contatto tra nastro e muratura e di

assorbimento delle tensioni di trazione prodotte dalla muratura intorno al foro da due avvolgimenti

contigui. A completamento del sistema sono previsti degli elementi d’angolo diffusori di carico, sempre in

acciaio inox, da utilizzare per l’avvolgimento dei nastri in corrispondenza delle aperture o delle zone

terminali delle pareti, al fine di ripartire il carico della risultante che agisce a 45° su una superficie

d’appoggio sufficientemente ampia.

Il sistema può essere posto in opera secondo maglie quadrate, rettangolari o triangolari, anche irregolari;

normalmente si adotta una disposizione dei fori a quinconce.

I vantaggi conseguibili con il sistema CAM sono i seguenti:

il sistema è intrinsecamente modulabile ed aperto: modulabile sta a significare la possibilità di

ottimizzarne l’uso aumentando o diminuendo il numero delle legature in funzione delle richieste

locali; aperto nel senso che la disposizione delle maglie, gli interassi di reticolo ed il percorso


- Pag. 92 -

stesso delle legature può essere definito e specializzato a piacere in funzione delle particolari

esigenze puntuali;

ne discende la possibilità di seguire lo sviluppo delle pareti anche quando questo non fosse

rettilineo, pur conseguendo la stessa efficacia di incatenamento/consolidamento;

i nastri di acciaio inox svolgono un ruolo attivo, imprimendo alla muratura un benefico stato di

precompressione, sia nel piano della parete, orizzontalmente e verticalmente, sia in direzione

trasversale, collegando efficacemente i paramenti dell’apparecchio murario; questo stato di

precompressione ritarda la formazione di lesioni e fessure e rende le armature immediatamente

attive e capaci di impedire o limitare significativamente la formazione di grandi lesioni e di

sconnessioni;

la resistenza delle murature viene sfruttata integralmente, non essendo il loro coinvolgimento

legato all’aderenza tra la muratura e l’intonaco cementizio, ma, al contrario, ad un collegamento

meccanico totalmente controllabile;

lo stato di presollecitazione del nastro di acciaio fa si che il contributo della resistenza a trazione

di questo sia subito attivo fin dai valori più bassi di incremento di sollecitazione nella muratura (in

presenza di armatura ‘scarica’, invece, ulteriori cedimenti/spostamenti sono necessari per

chiamarne in causa il contributo resistente significativo);

la tecnologia è poco invasiva (la rimozione dei nastri richiede solo l’asportazione dell’intonaco non

più necessariamente cementizio);

l’acciaio inox garantisce la totale affidabilità nel tempo del sistema;

l’efficacia delle legature trasversali, garantita dai collegamenti meccanici e dalla pretensione dei

nastri di acciaio, permette di ridurre il loro numero, e, conseguentemente, il numero di

perforazioni da effettuare sulla muratura, riducendo l’invasività dell’intervento (il numero delle

forature è limitato ad interassi che possono variare solitamente da 100 a 200 cm

convenientemente posti a quinconce (maglia conseguente 50100 cm));

non vi è incremento di peso e, quindi, di massa sismica;

Figura 106. Cordolo CAM in sommità (Sostituisce il cordolo in C.A.) e cordolo di piano (Sostituisce le spillature)

l’apparecchio murario conserva inalterata la sua ‘natura’: il rinforzo agisce in modo discreto;

non contiene-nasconde l’apparecchio murario; concorre con esso, senza sostituirsi a questo; ne

conserva completamente le sue peculiarità (ruolo portante, traspirabilità, accessibilità,

testimonianza costruttiva);a meno delle forature, il sistema è completamente reversibile;

la messa in opera dei nastri di acciaio può essere, eventualmente, completata con l’iniezione della

muratura attraverso i fori praticati per il passaggio dei nastri stessi, iniezione che, grazie

all’inossidabilità dell’acciaio, può essere effettuata anche con miscele leganti non cementizie. Si

ottiene in tal modo la possibilità di reintegrare la continuità muraria specialmente in quelle


- Pag. 93 -

situazioni in cui appaia particolarmente evidente la presenza di vuoti; l’effetto di imbibizione è

inoltre reso particolarmente efficace dal numero dei fori, dalla loro dimensione ( 35 mm) e dal

fatto che sono a tutto spessore, assicurando così una ottimale permeazione del legante;

i collegamenti tra avvolgimenti adiacenti è assicurato meccanicamente in maniera totalmente

controllabile ed affidabile;

i collegamenti in verticale tra le pareti di piani successivi sono facili da realizzare;

il piccolo spessore dei nastri permette l’adozione di intonaci tradizionali, negli spessori usuali, così

da non alterare i pesi strutturali;

il sistema di cucitura risolve automaticamente anche il problema delle connessioni, spesso

carenti, tra pareti ortogonali; per contrastare il ribaltamento dei paramenti murari, infatti, è stata

tenuta in conto l’azione di collegamento espletata dalle cuciture attive, secondo i criteri meglio

evidenziati nella relazione di calcolo allegata alla presente. Tale azione di collegamento integra

quella espletata dai cordoli e dai tiranti;

la conservazione degli intonaci tradizionali elimina le problematiche create dall’uso degli intonaci

cementizi, indispensabili nelle applicazioni delle reti elettrosaldate;

l’utilizzazione dell’acciaio inox garantisce una buona duttilità d’insieme.

Dal punto di vista del miglioramento strutturale, infine, sono da sottolineare ulteriormente i seguenti

aspetti:

il sistema di cucitura risolve efficacemente, in termini di forza di collegamento e di distribuzione

dell’azione, anche il problema delle connessioni, spesso carenti, tra pareti ortogonali;

l’azione di collegamento diffusa nell’estensione del reticolo scongiura forti concentrazioni di carico

e quindi l’esigenza di vistosi elementi di trasferimento/ripartizione di questo;

nel suo complesso il sistema consente quindi di perseguire un reale comportamento a scatola, nel

collegamento delle pareti tra di loro, delle pareti agli orizzontamenti, e del profilo di colmo al

cordolo quando presente, realizzando nella sostanza un corpo unico ideale;

l’utilizzazione dell’acciaio inox garantisce, oltre che un incremento del carico ultimo, una buona

duttilità d’insieme, il che consente di attivare tutte le riserve resistenti nelle condizioni limite di

lavoro della struttura;

l’adozione dell’acciaio inox garantisce la piena affidabilità nel tempo.

La posa in opera presenta, a sua volta, vari aspetti positivi, quali:

non è richiesta nessuna preparazione delle superfici, in quanto l’azione di rinforzo - come già

detto - non interviene per aderenza, ma è conseguente ad un collegamento meccanico;

non vanno rimossi gli impianti ed, anzi, essi rimangono pienamente accessibili, interferendo il

passaggio delle legature solo puntualmente, senza che ci debba essere, peraltro, alcun contatto;

l’asportazione dell’intonaco, qualora in buono stato, può essere limitato alla sola realizzazione

delle tracce lungo il percorso delle legature;

il piccolo spessore dei nastri e la loro qualità (inox) permette l’adozione di intonaci tradizionali,

negli spessori usuali, così da non alterare i pesi strutturali;

i collegamenti in verticale tra le pareti di piani successivi sono facili da realizzare (anche senza la

demolizione del solaio, in quanto è sufficiente praticare fori di diametro di circa 30 mm in

adiacenza alla parete) e sicuri nel risultato; come già detto, si realizza così un sensibile

miglioramento delle caratteristiche di resistenza a flessione sia nel piano dei maschi murari che

nel piano ortogonale;


- Pag. 94 -

la correttezza dell’esecuzione è intrinsecamente garantita: stabilito il reticolo, e ferme restando le

competenze degli esecutori, non vi è economia potenziale tra una cattiva posa in opera ed una a

regola d’arte e lo stato di pretensionamento è facilmente verificabile anche da un non esperto.

Ulteriori dettagli sulla metodologia di rinforzo CAM possono essere trovate in [17].

4.1.5.1. PROCEDURE DI TARATURA

Il sistema delle cuciture attive consente di migliorare il comportamento delle pareti murarie cui viene

applicato. Il miglioramento avviene per ciascuno dei principali meccanismi di collasso nel piano

caratteristici dei pannelli murari.

Vengono considerate tre principali direzioni di applicazione delle cuciture nei pannelli murari: quella

orizzontale, quella verticale, e quella inclinata orientata secondo la diagonale della maglia individuata

dalla direzioni orizzontale e verticale. Nella figura sottostante è riportato lo schema di intervento su una

parete.

Figura 107. Schema di rinforzo di un pannello murario

Per il generico pannello murario rinforzato con il sistema CAM si considerano le seguenti posizioni:

s spessore della muratura

b base del pannello

h altezza del pannello

hp passo dei nastri disposti orizzontalmente

vp passo dei nastri disposti verticalmente


- Pag. 95 -

2 2

d h vp p p passo dei nastri disposti diagonalmente

hN numero dei nastri disposti orizzontalmente

vN numero dei nastri disposti verticalmente

dN numero dei nastri disposti diagonalmente

hn numero di avvolgimenti dei nastri disposti orizzontalmente

vn numero di avvolgimenti dei nastri disposti verticalmente

dn numero di avvolgimenti dei nastri disposti diagonalmente

phF forza di pretensione di un singolo nastro in direzione orizzontale

pvF forza di pretensione di un singolo nastro in direzione verticale

pdF forza di pretensione di un singolo nastro in direzione diagonale

ph tensione di precompressione dei nastri disposti orizzontalmente

pv tensione di precompressione dei nastri disposti verticalmente

pd tensione di precompressione dei nastri disposti verticalmente

yF forza di snervamento di un singolo nastro

nA area della sezione di un singolo nastro

nK rigidezza elastica di un singolo nastro

0 tensione tangenziale limite della muratura in assenza di tensione normale ed in assenza di

rinforzo

o tensione tangenziale limite della muratura in assenza di tensione normale ed in presenza di

rinforzo CAM


- Pag. 96 -

ˆk tensione tangenziale limite della muratura in presenza di tensione normale ed in presenza di

rinforzo CAM

T tensione di trazione limite della muratura in assenza di rinforzo CAM

T tensione di trazione limite della muratura in presenza di rinforzo CAM

angolo formato tra la direzione dei nastri disposti diagonalmente e quella orizzontale

Figura 108. Schema geometrico di una maglia tipo

Dettagli di modellazione sulla taratura di pannelli non rinforzati sono riportati al par. 4.1.

4.1.5.2. INCREMENTO DELLA RESISTENZA A TRAZIONE NELLE

DIREZIONI ORIZZONTALE E VERTICALE

A seguito dell’inserimento dei nastri CAM si produce un incremento di resistenza e un incremento di

duttilità a trazione.

4.1.5.2.1. INCREMENTO DI RESISTENZA

L’incremento di resistenza può essere facilmente valutato considerando la resistenza a trazione dei nastri

nell’unità di superficie della sezione corrispondente del pannello. Viene distinto l’incremento di resistenza

lungo la direzione verticale e quella orizzontale, per tenere conto di un possibile differente passo dei

nastri nelle due direzioni. In particolare si ha:

in direzione verticale (interfacce orizzontali):


- Pag. 97 -

ˆ sinv y d y

th

v d

n F n F

p s p s

in direzione orizzontale (interfacce verticali):

ˆ cosh y d y

tv

h d

n F n F

p s p s

4.1.5.2.1. INCREMENTO DI DUTTILITÀ

L’incremento di duttilità è associato al raggiungimento della deformazione limite del nastro soggetto a

maggiore deformazione nel pannello. Tale deformazione può essere determinata considerando la

rotazione del pannello. Con riferimento alla figura _ si ha che a vantaggio di sicurezza tale deformazione

può essere associata a quella della molla soggetta alla massima deformazione di allungamento nel macro-

elemento. Al raggiungimento della deformazione limite il pannello si considera rotto soltanto se

globalmente la rotazione del pannello murario supera il 0.8% (limite imposto dalla norma la paragrafo

7.8.2.2 per pannelli non rinforzati).

Il legame costitutivo delle molle di interfaccia in presenza del rinforzo CAM considera, a vantaggio di

sicurezza, la rigidezza della sola muratura e la resistenza dei soli nastri. In tale ipotesi il legame costituivo

risulta elasto-plastico a deformazione limitata.

La modifica della resistenza a trazione e della corrispondente duttilità produce un incremento di

resistenza nei confronti del meccanismo di collasso di rocking per presso o tenso-flessione.

4.1.5.3. INCREMENTO DELLA RESISTENZA A TAGLIO PER FESSURAZIONE

DIAGONALE

A seguito dell’inserimento dei nastri CAM si produce un incremento di resistenza e un incremento di

duttilità nei confronti della rottura a taglio per fessurazione diagonale.


L’incremento di resistenza nei confronti del meccanismo di taglio con fessurazione diagonale è associato a

due effetti dovuti al rinforzo con i nastri CAM. Da un lato la pretensione nei nastri produce un aumento

generalizzato negli sforzi di compressione sia in direzione orizzontale che in direzione verticale; dall’altro

la presenza dei nastri produce, come evidenziato nel paragrafo precedente, un aumento della resistenza

a trazione del complesso murario rinforzato. Il contributo di ciascuno di questi due effetti, in un approccio

semplificato, può essere valutato separatamente.

Incremento di resistenza dovuto alla pretensione:

Se si adotta il criterio di Mohr-Coulomb l’incremento di resistenza dovuto alla pretensione è associato

all’aumento della tensione della direzione ortogonale all’azione tagliante. Senza perdita di generalità si

considera il taglio agente in direzione orizzontale, considerando che lo sforzo di pretensione del singolo


- Pag. 98 -

nastro verticale sia pari a pvF

(analogamente può essere valutato l’incremento relativo alle altre

direzioni) l’incremento di tensione normale nv (in direzione verticale) risulta dato da

cosv pv d pd

nv

v d

n F n F

s p s p

cui corrisponde in incremento della tensione tangenziale limite

k nv

essendo l’angolo di attrito associato alla rottura per fessurazione diagonale.

Incremento di resistenza associato all’incremento generalizzato della resistenza a trazione del complesso

muratura-CAM:

Con riferimento ad un meccanismo di rottura di puro taglio (in assenza di sforzo normale) la crisi per

fessurazione diagonale può essere associata al raggiungimento della tensione limite di trazione.

Assumendo, in via semplificativa, un comportamento elastico-lineare fino a rottura l’incremento di

tensione tangenziale limite può essere posto, con riferimento al cerchio di Mohr in uno stato tensionale di

puro taglio, pari all’incremento di resistenza a trazione come mostrato nella successiva figura. Pertanto

l’incremento della tensione tangenziale in assenza di sforzo normale per effetto della presenza dei nastri

CAM si può porre pari a:

ˆ ˆˆ

2

th tvo

ovvero

sin cos

ˆ2

v y h y d y

v h do

n F n F n F

p s p s p s

Per quanto detto la resistenza a taglio associata alla muratura rinforzata con il sistema CAM risulta data

da

ˆ ˆk o o nv pv


- Pag. 99 -

Figura 109. Incremento della resistenza a taglio nel piano delle tensioni

4.1.5.3.1. INCREMENTO DI DUTTILITÀ

Le prove sperimentali hanno mostrato un notevole incremento di duttilità nella muratura rinforzata con i

nastri CAM, in via cautelativa si considera un aumento di duttilità nel meccanismo di fessurazione

diagonale pari al 50%.

4.1.5.4. CRITERIO DI ROTTURA PER TAGLIO-SCORRIMENTO

Al criterio di rottura per taglio scorrimento si associa classicamente il criterio di resistenza di Mohr-

Coulomb. Per il generico pannello murario rinforzato con il sistema CAM si considerano le posizioni

descritte precedentemente.


L’incremento di resistenza nei confronti del meccanismo di taglio per scorrimento è associato alla

pretensione nei nastri produce un aumento generalizzato negli sforzi di compressione nell’interfaccia.

Se si adotta il criterio di Mohr-Coulomb l’incremento di resistenza dovuto alla pretensione è associato

all’aumento della tensione della direzione ortogonale all’azione tagliante. Senza perdita di generalità si

considera un’interfaccia disposta lungo la direzione orizzontale, considerando che lo sforzo di pretensione

del singolo nastro verticale sia pari a pvF

(analogamente può essere valutato l’incremento relativo alle

altre direzioni) l’incremento di tensione normale nv (in direzione verticale) risulta dato da

cosv pv d pd

nv

v d

n F n F

s p s p

cui corrisponde in incremento della tensione tangenziale limite


- Pag. 100 -

k nv

essendo l’angolo di attrito associato alla rottura per fessurazione diagonale.

Per quanto detto la resistenza a taglio per scorrimento associata alla muratura rinforzata con il sistema

CAM risulta data da

k o nv nv

4.1.6. RINFORZO MEDIANTE L'UTILIZZO DI COMPOSITI FIBRORINFORZATI

Si tratta di materiali composti da due fasi distinte: una matrice polimerica di natura organica e da fibre di

rinforzo. La matrice può, in genere, essere assimilata a un continuo isotropo mentre le fibre hanno un

comportamento marcatamente anisotropo, caratterizzato dalle seguenti proprietà:

geometria : forma, dimensioni e distribuzione delle dimensioni;

disposizione : orientamento rispetto agli assi di simmetria del corpo, se l'orientamento delle

fibre è casuale il comportamento complessivo del composito è pressoché isotropo, viceversa si ha

un comportamento anisotropo.

concentrazione : frazione di volume, distribuzione della concentrazione (dispersione).

I materiali fibrorinforzati si suddividono in:

monostrato: (lamina);

multistrato: (laminati);

I laminati sono costituiti da più strati sovrapposti di spessore pari a qualche decimo di millimetro (detti

lamine); in genere le fibre sono contenute nel piano delle lamine, sono quindi assenti fibre disposte

ortogonalmente al piano delle lamine.

I compositi fibrorinforzati garantiscono valori di rigidezza e resistenza. Nel caso di laminati unidirezionali,

le proprietà sono fortemente dipendenti dalla direzione di carico (comportamento anisotropo), si

riportano a titolo di esempio i valori dei coefficienti di anisotropia, definiti come rapporto tra le

caratteristiche meccaniche nelle diverse direzioni (dati contenuti nella CNR 200/2004).


- Pag. 101 -

(Tabella 2-3 CNR 200/2004)

Le fibre più utilizzate nella produzione dei materiali compositi sono:

fibre di vetro (GFRP);

fibre di carbonio (CFRP);

fibre aramidiche (AFRP);

Le fibre di carbonio offrono una rigidezza e resistenza maggiore rispetto alle altre tipologie di fibre, inoltre

sono le meno sensibili a fenomeni di degrado per agenti atmosferici, deformazioni viscose o rottura per

fatica. Le fibre sono costituite da "filamenti" continui con diametro pari a circa 10 m. I filamenti vengono

raggruppati in fasci per formare i "fili". Questi sono composti da un gran numero di filamenti, con o senza

torsione dei fili.

(Confronto tra le tipologie di fibre: comportamento a trazione monoassiale Fig. 2-6–CNR 200/2004)

I prodotti di materiale composito più frequentemente impiegati per il rinforzo strutturale sono:

Lamine e profilati: Si tratta di elementi mono-dimensionali realizzati con strutture fibre

continue impregnati da una matrice resinosa. Tali elementi si presentano rigidi e non possono

essere pertanto deformati per aderire alla forma del supporto, il loro utilizzo è indicato in

presenza di superfici regolari.

La tecnica di produzione più diffusa è la "pultrusione": le fibre sono prelevate da un gruppo di

rocchetti e convogliate, attraverso rastrelliere che ne uniformano la disposizione, verso un bagno


- Pag. 102 -

di resina, dove avviene l'impregnazione. Il fascio di fibre impregnate entra quindi in uno stampo

riscaldato, che consolida il materiale sotto pressione. Durante questa fase i vuoti presenti tra le

fibre sono eliminati, garantendo così la continuità del materiale in direzione trasversale. La figura

che segue illustra schematicamente il processo di produzione per pultrusione (CNR 200/2004).

Tessuti: Vengono ottenuti per tessitura dei filamenti disposti lungo una sola direzione (tessuti

mono-dimensionali) o in più direzioni (tessuti bi o tridimensionali). Nel caso di tessuti bi-

dimensionali la concentrazione di filamenti nelle due direzioni può essere uguale o differente. Di

recente si stanno sviluppando tessuti con più di due direzioni di tessitura: ad esempio tessuti tri-

dimensionali. In genere i tessuti sono sagomabili garantendo quindi una buona lavorabilità.

Matrici: Costituiscono il materiale all'interno del quale vengono disperse le fibre e al contempo vengono

utilizzate per l'incollaggio del materiale al supporto da rinforzare (acciaio, calcestruzzo, muratura). A tal

scopo vengono utilizzate delle resine generalmente termoindurenti. La resine più utilizzate sono quelle

epossidiche, mono o bi-componente. Dal punto di vista del processo di produzione e messa in opera, i

sistemi di rinforzo posso essere suddivisi in:

sistemi preformati: le fibre (lamine o tessuti) vengono disperse nella matrice in stabilimento,

successivamente in cantiere vengono applicate al supporto mediante incollaggio;

sistemi impregnati in situ: sono dei fogli di fibre (uni o bi-direzionali o tessuti), nella fase di

applicazione viene applicata la resina che funge contemporaneamente da matrice e incollaggio.

sistemi preimpregnati: in questo caso le fibre vengono impregnate con resine parzialmente

polimerizzate. In genere dopo essere stati pre-impregnati costituiscono un foglio sottile e

flessibile che viene avvolto in rotoli.

Il collegamento tra il materiale fibro-rinforzato e il supporto può essere affidato esclusivamente

all'incollaggio o, piuttosto, a sistemi meccanici. Nel primo caso bisogna considerare un limite di resistenza

per perdita di aderenza del rinforzo (delaminazione) secondo quanto previsto dalle norme. Nel secondo

caso invece bisogna basarsi su dati sperimentali, relativi alla tipologia di ancoraggio utilizzata.

Ulteriori dettagli sui materiali fibro-rinforzati sono contenuti in:

NCNR-DT 200/2004: "Istruzioni per la Progettazione, l'Esecuzione ed il Controllo di Interventi di

Consolidamento Statico mediante l'utilizzo di Compositi Fibrorinforzati". CONSIGLIO NAZIONALE DELLE

RICERCHE, 13 Luglio 2004.

Per le procedure di taratura e verifica degli elementi rinforzati, di seguito esposte, si è fatto uso di:

"Linee guida per la Progettazione, l'Esecuzione ed il Collaudo di Interventi di Rinforzo di strutture di c.a.,

c.a.p. e murarie mediante FRP". Documento approvato il 24 luglio 2009 dall' Assemblea Generale

Consiglio Superiore LL PP.


- Pag. 103 -

Il rinforzo mediante fibre consente di migliorare le caratteristiche della muratura cui viene applicato. Il

miglioramento avviene sia da un punto di vista flessionale che a taglio. Nel seguito verranno illustrate le

procedure seguite per determinare l'incremento di resistenza e duttilità a seguito dell'applicazione del

rinforzo.

4.1.6.1. PROCEDURE DI TARATURA

Si considera la possibilità di disporre fibre lungo due direzioni principali: orizzontale e verticale, con

quantità di area differente. Tale situazione può derivare dall'applicazione di nastri monodimensionali

disposti a passi regolari, oppure dall'applicazione di tessuti bi-dimensionali. L'intervento si suppone

applicato in entrambi i paramenti.

Il rinforzo sarà caratterizzato dalle seguenti grandezze:

,h vA A Area di rinforzo disposta nella direzione orizzontale e verticale nell'unità di lunghezza;

,h vp p passo dei nastri orizzontali e verticali;

Per le fibre si considera un legame costitutivo elastico, perfettamente plastico con limite nelle

deformazioni. Oltre al punto di snervamento del composito si considera il limite di forza che può essere

scambiato considerando il fenomeno della delaminazione (perdita di aderenza tra il rinforzo e il

sottostante supporto). In particolare si indica con:

fE modulo di deformazione normale delle fibre;

fyf forza ultima del rinforzo;

fdf forza ultima trasferibile per delaminazione;

u deformazione ultima del rinforzo;

fd deformazione ultima per delaminazione;

Nel caso viene garantito un ancoraggio pari alla lunghezza ottimale (le) la resistenza ultima per

delaminazione ( fdf ) viene determinata come:

,

0.17 f c tm

fd

ff d M

Ef

t

con : 2e f f tml E t


- Pag. 104 -

Nel caso in cui la lunghezza di ancoraggio lb risulta inferiore di le, la resistenza alla delaminazione risulta:

, 2b bfd rid fd

e e

l lf f

l l

4.1.6.2. COMPORTAMENTO A FLESSIONE

L'applicazione del rinforzo mediante materiali fibro-rinforzato produce un incremento della resistenza e

duttilità a trazione. L’incremento di resistenza a trazione può essere facilmente valutato considerando la

resistenza ultima del rinforzo (ffR) data dal minimo tra la resistenza di calcolo delle fibre e la resistenza di

delaminazione, e nell’unità di superficie. Indicando con s lo spessore del pannello l'incremento di

resistenza a trazione lungo una giacitura verticale ( ,t v ) e orizzontale ( ,t h ) risultano:

,

h fR

t v

h

A f

p s

,

v fR

t h

v

A f

p s

La deformazione ultima a trazione della muratura rinforzata ( u ) è data dal minimo tra la deformazione

ultima della muratura ( mu ), la deformazione ultima del rinforzo ( fu ), e la deformazione in

corrispondenza della delaminazione ( ffd ):

min , ,u mu fu ffd

Il legame costitutivo delle molle viene mantenuto elasto plasstico, la rigidezza sia a trazione che a

compressione e la resistenza a compressione a seguito dell'applicazione del rinforzo non vengono

modificate.

4.1.6.3. COMPORTAMENTO A TAGLIO

A seguito dell’inserimento del rinforzo si produce un incremento di resistenza e un incremento di duttilità

nei confronti della rottura a taglio per fessurazione diagonale.

La resistenza a taglio della muratura rinforzata viene determinata come somma tra la resistenza del

pannello non rinforzato (VRm) e la resistenza a taglio conferita dalle fibre (V Rf). Tale formulazione,

coerente con un modello a traliccio equivalente, prevede un limite nelle sollecitazioni delle bielle

compresse. Indicando con b e h rispettivamente base e altezza del pannello e con (c) la resistenza a

compressione della muratura, la resistenza ultima a taglio del pannello rinforzato risulta:

,maxR Rm Rf RV V V V


- Pag. 105 -

Dove RmV rappresenta la resistenza a taglio della muratura senza rinforzo, RfV la resistenza del rinforzo.

Indicando con d la lunghezza efficace a taglio del pannello posta pari a 2/3b, si ha:

10.6

2

h vRf fR

h v

A AV d f

p p

,max 0.3R CV s b

A questo punto è possibile esprimere l'incremento di resistenza in termini di tensione tangenziale ( )

0

10.6 0.3

3

fRh vRC

h v

fA AV

b s p p s

A seguito dell'applicazione del rinforzo, in via cautelativa, si considera un incremento di duttilità a taglio

nel meccanismo di fessurazione diagonale pari al 50%.

Infine si suppone che l'intervento non alteri la rigidezza elastica ne la dipendenza del taglio ultimo dalla

precompressione media del pannello (criterio di rottura alla Coulomb o Tarnsec-Cacovic). Infine viene

trascurato il contributo del rinforzo in termini di meccanismo a taglio per scorrimento.

4.1.6.4. RINFORZO DI UNA PARETE MEDIANTE FIBRE

Nel seguito si riporta un esempio di rinforzo mediante l'applicazione di un tessuto in CFRP su una parete

di due elevazioni. Le figure sotto riportate mostrano il modello geometrico della parete rinforzata e non

rinforzata, mentre la tabella che segue riporta i parametri caratteristici.

base 500 cm spessore muratura 30 cm

altezza piano 300 cm trave di piano 30x50 cm

altezza totale 600 cm armatura cordolo 420

larghezza maschi 195 cm tipo calcestruzzo C20/25

vano porta 195x190 cm tipo acciaio B 450 C

vano finestra 195x125 cm carico di piano 15 KN/m


- Pag. 106 -

schemi geometrici e parametri caratteristici della parete rinforzata.

Sono state considerate due differenti tipologie di muratura: tipologia M1 coincidente con una muratura di

mattoni di laterizio e malta di calce; tipologia M2 coincidente con una muratura di pietrame disordinato.

La tabella seguente riporta i parametri meccanici delle murature.

Il rinforzo consiste in un tessuto bidirezionale in FRP applicato in ambo i paramenti, la tabella che segue

riporta le caratteristiche del rinforzo con riferimento a un singolo strato.

Le principali caratteristiche del tessuto sono riportate nella tabella seguente:

gram. = grammatura del tessuto in ciascuna direzione;

A = area di fibre lungo ciascuna direzione per unità di lunghezza;

Fy = resistenza massima del tessuto per unità di lunghezza;

Il calcolo dell'incremento di resistenza conferito dai rinforzi è stato effettuato con riferimento ai valori

caratteristici dei materiali (non verranno applicati quindi i coefficienti parziali di sicurezza).

t = spessore del rinforzo considerato ai fini della delaminazione;

MuraturaE

(Mpa)

G

(Mpa)

c

(Mpa)

t

(Mpa)

k

(Mpa)

Vu

(KN)

M1 1500 500 3,20 0,32 0,075 22,5

M2 870 290 1,40 0,14 0,026 7,8

flessione taglio

fibre E (Mpa)fd

(Mpa)

y

(%)

u

(%)

r

(g/cm3)

fibre carbonio (C) 280000 4100 1,46 1,665 1,75

fibre vetro (G) 80000 3445 4,31 4,8 2,5

fibre aramidiche (A) 180000 3600 2,00 3,7 1,45

Matrice polimerica 3600 40 1,11 1,5 1,15

Rinforzo fibregramm.

(g/mq)

A

(mq/m)

Fy

(KN/m)

t

(mm)

R1 C 80 0,000046 187,43 5

R2 C 150 0,000086 351,43 5

TestG

(Mpa)

Ef

(Mpa)

c

(Mpa)

k

(Mpa)

A

(mmq/

mm)

t

(mm)

s

(mm)

M1-R1 500 280000 3,20 0,075 0,0457 0,1 300

M1-R2 500 280000 3,20 0,075 0,0857 0,1 300

M2-R1 290 280000 1,40 0,026 0,0457 0,1 300

M2-R2 290 280000 1,40 0,026 0,0857 0,1 300

Provino lb

(mm)

ffd

(Mpa)

Fy_d

(KN/m)

t

(Mpa)

k

(Mpa)

k

(%)

u

(%)

M1-R1 209,17 286,16 13,0814 0,0436 0,0174 23,2559 0,00349

M1-R2 209,17 286,16 24,5277 0,0818 0,0327 43,6047 0,00654

M2-R1 316,23 189,27 8,6525 0,0288 0,0115 44,372 0,00398

M2-R2 316,23 189,27 16,2235 0,0541 0,0216 83,1976 0,00746


- Pag. 107 -

I grafici che seguono riportano l'andamento delle curve di capacità (in termini di spostamento massimo e

taglio alla base) dei sistemi rinforzati e non rinforzati a seguito dell'applicazione di una distribuzione di

forze complanari al piano della parete e proporzionali alle masse.

curve di capacità della parete M1 e M2: confronto tra sistema rinforzato e non rinforzato.

Le immagini sotto riportate illustrano il quadro di danneggiamento, dei sistemi rinforzati e non rinforzati,

in corrispondenza dell'ultimo passo dell'analisi.

meccanismi di collasso della parete rinforzata e non rinforzata.

4.1.6.5. SIMULAZIONE DI PROVE SPERIMENTALI SU PANNELLI

Nel seguito viene riportato il confronto tra i risultati ottenuti in 3DMAcro e delle prove sperimentali

condotte su pannelli in muratura di blocchi(1,2) rinforzati mediante nastri orizzontali di fibre in CFRP. I

pannelli hanno dimensioni pressoché quadrati con lato pari a circa 200 cm e spessore pari a 14 cm. Le

0

50

100

150

200

250

300

0 0,5 1 1,5 2

Vb

[KN

]

u top [cm]

M1 M1R1 M1R2

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

200

0 0,5 1 1,5 2

Vb

[KN

]

u top [cm]

M2 M2R1 M2R2


- Pag. 108 -

prove sono state condotte imponendo uno spostamento orizzontale ciclico in testa al pannello. La

condizione di vincolo è quella di doppio incastro, garantita dalla presenza di due travi in c.a. poste alla

base e in testa e collegate da barre metalliche verticali, collocate agli estremi.

(1) Alcaino P., Santa Maria H., Experimental response of externally retrofitted masonry walls subjected to shear loading, ASCE Journal of Composites for Construction, Vol. 12, n. 5, 2008, 489-498.

(2) R. Cuzzilla, G.P. Lignola, A. Prota, G. Manfredi, Simulazioni numeriche di pannelli murari soggetti ad azioni nel piano e rinforzati con compositi, 3° Convegno Nazionale Meccanica delle Strutture in Muratura Rinforzate con Compositi.

meccanismi di collasso osservati durante le prove.

Si riportano nelle tabelle seguenti i valori caratteristici della muratura e delle fibre. In particolare le

caratteristiche della muratura sono state dedotte a partire dalla resistenza dei blocchi (fb=15Mpa) e dalla

malta (considerata come M10), in accordo a quanto previsto nel Testo Unico 2008 per le murature nuove.

Dove: E/G rappresentano i moduli di deformabilità normale e tangenziale della muratura, c/t rispettivamente la

resistenza a compressione e trazione della muratura, k la resistenza a taglio in assenza di sforzo normale, N il


- Pag. 109 -

sovraccarico posto in testa al pannello, V0/VU rispettivamente il taglio limite del pannello in assenza di sforzo normale

e considerato il sovraccarico (N).

Le tabelle di seguito riportate contengono il calcolo della resistenza limite del tessuto per delaminazione e

la resistenza del sistema rinforzato, calcolato in accordo alle Linee Guida 2009 e considerando i valori

caratteristici dei materiali. Dato che il nastro è incollato direttamente sui blocchi, si è considerata la

resistenza a compressione e trazione degli elementi lapidei in sostituzione dei parametri generalizzati

della muratura. Per quanto riguarda lo spessore del rinforzo, questi è stato posto pari allo spessore

equivalente, pari allo spessore di un materiale continuo della stessa area e densità delle fibre.

Dove: bf rappresenta la larghezza del nastro, pf il passo dei nastri, t lo spessore efficace ai fini della delaminazione,

c/t rispettivamente la resistenza a compressione e trazione del supporto, A l'area di fibre disposte lungo un metro

di pannello.

Il confronto tra le resistenze sopra calcolate e i risultati sperimentali e di elaborazioni agli elementi finiti,

contenute in (1) e (2). E' facile osservare che le formulazioni contenute nella norma portano a valori

cautelativi del taglio resistente.

Di seguito si riporta il confronto delle curve di capacità ottenute in 3DMacro del pannello non rinforzato,

del pannello rinforzato con passo dei nastri pari a 10cm (H100) e del pannello rinforzato con passo 15cm

(H150).

curve di capacità ottenute in 3DMacro dei pannelli con e senza rinforzo.

0

50

100

150

200

0 0,25 0,5 0,75 1 1,25

Vb

[KN

]

u top [cm]

N.R.

H100

H150


- Pag. 110 -

Dal confronto tra le resistenze ottenute in 3DMacro (il cui taglio massimo viene dedotto dalle formule di

normativa) e i risultati dei test e di elaborazioni agli elementi finiti(1)(2), si osserva che le resistenze di

progetto ottenute utilizzando le norma sono cautelative rispetto ai valori sperimentali e sufficientemente

in accordo con questi.

confronto delle curve di capacità dei pannelli rinforzati .

4.2. CALCESTRUZZO

Il materiale calcestruzzo viene impiegato nel software nella definizione di sezioni composite, e in quella di

setti in calcestruzzo armato. In particolare il suo legame costitutivo risulta determinante per la

generazione di legami momento-curvatura, ed eventuali domini di interazione delle sezioni in c.a. (cfr.

4.4).

Il legame costitutivo cui si farà riferimento è di tipo parabola-rettangolo con limite di deformabilità a

compressione e non reagenza a trazione, come mostrato nella figura sottostante.

Figura 110. Legame costitutivo del calcestruzzo (parabola-rettangolo)

4.2.1. SETTI IN C.A. – PROCEDURE DI TARATURA

Per la tarature di setti in c.a. si farà riferimento ad un legame elastico perfettamente plastico sia a

trazione che compressione per l’acciaio delle armature, mentre per il calcestruzzo il legame è elastico

perfettamente plastico a compressione e con resistenza nulla a trazione. La trattazione proposta è

riportata in [18].

0

50

100

150

200

250

0,00 0,25 0,50 0,75 1,00 1,25

Vb

[KN

]

u top [cm]

3DMacro

FEM

EXP.

0

50

100

150

200

250

0 0,25 0,5 0,75 1 1,25

Vb

[KN

]

u top [cm]

3DMacro

FEM

EXP.


- Pag. 111 -

Siano allora per il generico setto

h altezza del setto;

L larghezza del setto;

b spessore dell’elemento di bordo;

a larghezza dell’elemento di bordo;

t spessore della parte centrale;

l larghezza della parte centrale;

G modulo di elasticità tangenziale.

Figura 111. Sezione trasversale della parete considerata: (a) geometria; (b) sezione rettangolare equivalente; (c) area

interessata dal taglio.

4.2.1.1. CRITERIO DI ROTTURA PER TAGLIO-FESSURAZIONE

Per le due molle diagonali, che simulano il comportamento tagliante, Kabeyasawa et al. [19] propongono

un legame forza/spostamento simmetrico con inviluppo trilineare e scarico orientato all’origine. Con

riferimento alla figura sottostante, i punti C e Y corrispondono rispettivamente alla prima fessurazione del

calcestruzzo e allo snervamento delle barre di acciaio.

b

a

Elemento di bordo Elemento di bordoPannello centrale

L

a

l= L

t= b

L

L/2(1+ )

t= b

be

Aw

(a)

(b)

(c)


- Pag. 112 -

Figura 112. Legame forza/spostamento trilineare di una molla diagonale

Le rigidezze delle tre fasi lineari )1(

hK , )2(

hK e )3(

hK possono essere calcolate mediante le relazioni proposte

dagli stessi autori

)1()3(

)1(

'

)2(

)1(

001.0

46.014.0

hh

h

c

whwhh

wh

KK

Kf

fK

h

GAK

r

nelle quali

è il fattore di taglio, dato dall’espressione

114

1113

3

2

rwh è il rapporto geometrico di armatura orizzontale del pannello centrale calcolato con riferimento ad

una sezione verticale hbe ;

whf è la tensione di snervamento dell’armatura orizzontale;

cf è la resistenza cilindrica a compressione del calcestruzzo;

e sono parametri geometrici individuabili nella figura 1: Ll / , bt / .

Il valore del taglio di prima fessurazione Vc può essere ricavato utilizzando la relazione empirica

C

YV

K h(1)

(2)hK

K h(3)

C'

Y'


- Pag. 113 -

'438.0 cwc fAV

nella quale

Vc è espresso in newton;

l’area Aw è espressa in millimetri quadrati;

cf è espresso in mega-pascal;

Lo sforzo di taglio a cui corrisponde lo snervamento delle barre di armatura Vy si può ritenere prossimo al

taglio ultimo Vu che si può calcolare mediante la seguente espressione empirica dovuta a Hirosawa [20]

0

23.0'

1.0845.012.0

)6.17(0679.0

28

7r

rwhwh

tceu f

faLbV

nella quale

Vu è espresso in newton;

2e

a b l tb

L

;

L, be, sono parametri geometrici già definiti che devono essere espressi in millimetri;

cf e whf sono espressi in mega-pascal;

tr è il rapporto percentuale tra l’area di armatura longitudinale nell’elemento di bordo in trazione As e

l’area efficace della sezione ebaL )2/(

100)2/(

e

st

baL

Ar

0 è la tensione media di compressione, espressa in mega-pascal, riferita alla sezione di base della

parete;

è il rapporto tra l’altezza del punto di applicazione della forza orizzontale risultante attesa sulla parete e

la larghezza della parete.

Si supponga adesso di semplificare ulteriormente il legame trilineare. Viene considerato un legame di tipo

elastico perfettamente plastico in cui il limite di resistenza è dato da uV , mentre la rigidezza elastica può

essere ottenuta mediante la formula


- Pag. 114 -

1 2

ueq

c u c

h h

VK

V V V

K K

Eurocodice 8 (par. 2.11.2)

Collasso per compressione diagonale dell’anima

Zone critiche

2 0.4 0.7200

ckRd cd wo

fV f b z

Zone non critiche

2 0.5 0.7200

ckRd cd wo

fV f b z

dove

0.8 wz l è il braccio della coppia interna;

wob è lo spessore dell’anima della parete;

40ckf in MPa

Collasso per trazione diagonale dell’anima

3Rd cd wdV V V

L’espressione del taglio resistente dipende dal parametro

2sw

hl

Si distinguono tre casi:

2.0s , si applicano le disposizioni relative alle colonne;

2.0 1.3s


- Pag. 115 -

,wd h yd h woV f b zr

con

hh

wo h

Ab s

r

è il rapporto di armatura delle barre d’anima orizzontali;

,yd hf valore di progetto della tensione di snervamento dell’armatura d’anima orizzontale;

1.3 0.3s

, ,0.3 1.3wd h yd h s v yd v s woV f f b zr r

Inoltre si ha:

1.2 40cd Rd woV b z r

dove

Rd è il valore di progetto base della resistenza a taglio;

s

wo

Ab z

r

rapporto di armatura in zona tesa.

Infine si ha:

2 3min ,u Rd RdV V V

Dal taglio ultimo e dalla rigidezza elastica del setto, è possibile risalire alle caratteristiche equivalenti da

attribuire ai materiali. In particolare si ha:

' 0.23

0,

0.0679( 17.6)7

8 2 0.12

c te

eq

sez

fab L

A

r

70.1

8 2e

eq

sez

ab L

A

con


- Pag. 116 -

2sezA a b l t

4.2.1.2. CRITERIO DI ROTTURA PER TAGLIO-SCORRIMENTO

In questo caso si ritiene che non possano insorgere meccanismi di rottura per taglio a scorrimento,

pertanto queste molle verranno impostate come elastiche con rigidezza sufficientemente grande per

simulare un comportamento di tipo rigido.

4.2.1.3. CRITERIO DI ROTTURA PER PRESSO FLESSIONE

La rottura per presso-flessione, generalmente, si manifesta mediante il rocking, ossia il ribaltamento

dell’intero setto, ed è comune solo per elementi notevolmente snelli.

Per determinare il legame costitutivo delle molle flessionali si farà riferimento al comportamento

monoassiale di una fibra. A compressione le caratteristiche elastiche e di resistenza sono influenzate solo

dal calcestruzzo, mentre a trazione il legame costitutivo viene determinato sulla base delle armature

disposte.

Si ha allora

c clsE E

l at

A EE

L b

con

clsE modulo elastico del calcestruzzo

aE modulo elastico dell’acciaio delle armature

lA area totale delle barre disposte longitudinalmente

A trazione si assume che il comportamento della fibra sia elastico fino al raggiungimento dello

snervamento delle armature. La tensione massima di trazione ultima equivalente sarà data da

,

,

l y a

t eq

A

L b

mentre quella a compressione sarà pari a quella del calcestruzzo

'

,c eq cf


- Pag. 117 -

4.3. ACCIAIO

Il materiale acciaio viene impiegato per la definizione di sezioni composite, di sezioni non lineari

omogenee e in quella di setti in calcestruzzo armato. In particolare il suo legame costitutivo risulta

determinante per la generazione di legami momento-curvatura, ed eventuali domini di interazione delle

sezioni in c.a. (cfr. 4.4).

Il legame costitutivo cui si farà riferimento è di tipo elastico perfettamente plastico con deformabilità

limitata e comportamento simmetrico a trazione e compressione, come mostrato nella figura sottostante.

Figura 113. Legame costitutivo dell’acciaio (elastico perfettamente plastico)

4.4. DOMINI DI AMMISSIBILITÀ DELLE SOLLECITAZIONI

Al fine di indicare al solutore, per ciascuna sezione di asta, il dominio di ammissibilità delle sollecitazioni,

viene preventivamente effettuato un calcolo di dettaglio. Sulla base di tale calcolo verrà definito il

comportamento delle cerniere plastiche del modello. La tipologia di dominio da definire dipende dal

comportamento da attribuire alle corrispondenti asta, coerentemente con quanto visto in precedenza (cfr.

3.3).

In particolare, si distinguono le seguenti tipologie di comportamento:

Comportamento esclusivamente assiale;

Comportamento flessionale nel piano;

Comportamento flessionale tridimensionale indipendente nelle due direzioni principali;

Interazione tra sollecitazione flettente e quella assiale.

In corrispondenza di ciascuno di tali comportamenti, le cerniere plastiche erediteranno differenti

proprietà:

Per la cerniera assiale basta valutare due valori dell’azione normale limite (uno in compressione e

uno in trazione);

Per la cerniera flessionale nel piano viene determinato un diagramma momento curvatura, in

assenza di sforzo normale, nel piano della sollecitazione;

Per la cerniera flessionale con comportamento indipendente nelle due direzioni vengono

determinati due diagrammi momento curvatura, in assenza di sforzo normale, rispetto ai due assi

principali della sezione. Le due azioni flettenti non interagiranno tra loro nel calcolo;

Per la cerniera che tiene conto dell’interazione tra sollecitazione azione e flettente, viene calcolato

il corrispondente dominio di interazione.


- Pag. 118 -

Il calcolo di tali parametri viene eseguito sulla base di un modello a fibre. La sezione viene suddivisa in

piccole aree, ciascuna delle quali simulerà il comportamento della fibra, in accordo al legame costitutivo

del corrispondente materiale.

Sulla base della tipologia di cerniera considerata viene applicato alla sezione, in maniera incrementale, un

certo stato deformativo. In particolare, nel caso di cerniera assiale viene considerata una deformazione

uniforme su tutta la sezione, in quello di cerniera flessionale viene incrementata la curvatura, mentre nel

caso di cerniera PMM per ciascun carico assiale e rapporto tra le curvature rispetto ai due assi vengono

incrementate omoteticamente le due curvature.

Per ciascuno di tali incrementi di stato deformativo vengono imposte le corrispondenti equazioni di

equilibrio (alla traslazione, ed eventualmente anche rispetto alle rotazioni), e mediante un processo

iterativo che tende al soddisfacimento delle condizioni di equilibrio, viene derteminata la posizione

dell’asse neutro in condizioni ultime, e infine viene ottenuto il punto desiderato nel dominio delle

sollecitazioni ammissibili.

Il processo incrementale viene interrotto quando una delle fibre raggiunge il limite nelle deformazioni

imposto dal corrispondente legame costitutivo, e in corrispondenza di tale stato vengono individuati i

valori ultimi delle sollecitazioni.

Tale gestione del calcolo di domini consente di valutare il comportamento non lineare anche di sezioni

composte da più materiali, quali sezioni in calcestruzzo armato o sezioni rinforzate con fibre di carbonio.

3DMacro® - Manuale Teorico CAPITOLO 5 - CARICHI

- Pag. 119 -

5. CARICHI

Gli elementi inseriti nel modello interagiscono reciprocamente secondo le rispettive afferenze ai gradi di

libertà globali del sistema. Con lo stesso schema di afferenze dei gradi di libertà locali con quelli globali,

vengono assemblati le matrici di rigidezza e di massa e il vettore di carico.

Possono essere gestiti carichi sia sotto forma di forze e momenti, sia rotazioni e spostamenti imposti;

sono intatti supportate sia analisi statiche a controllo di forze che a controllo di spostamento (cfr. 6.1).

In accordo alle analisi e alle combinazioni definite verranno generati i corrispondenti vettori di carico. Per

le analisi di tipo sismico viene generata una distribuzione di forze orizzontali, la cui applicazione avviene

sulla struttura già sottoposta ai carichi gravitazionali derivati dalla corrispondente combinazione di carico.

Risulta pertanto utile descrivere la modalità di applicazione sia dei carichi gravitazionali (cfr. 5.1), che

delle distribuzioni sismiche (cfr. 5.3).

5.1. CARICHI GRAVITAZIONALI

I carichi gravitazionali vengono, ove possibile, assegnati direttamente agli elementi. Ad esempio il peso

proprio di un pannello murario o quello di un’asta vengono assegnati ai corrispondenti elementi, evitando

pertanto l’approssimazione di un’assegnazione in corrispondenza dell’orizzontamento immediatamente

superiore od inferiore. I pesi propri vengono valutati in automatico sulla base della geometria degli

elementi, e delle caratteristiche dei materiali ad essi assegnati.

Eventuali carichi portati dagli elementi, come carichi distribuiti su elementi asta, vengono riportati

opportunamente ai nodi ed assegnati ai corrispondenti gradi di libertà globali, sulla base del calcolo delle

reazioni di incastro perfetto (cfr. 5.2).

I carichi degli orizzontamenti, siano essi derivati dal peso proprio o dal carico portato, se non sono dotati

del grado di libertà verticale (cfr.3.4), vengono ripartiti agli elementi verticali contigui secondo le orditure

assegnate. È questo l’unico caso in cui i carichi gravitazionali non vengono assegnati direttamente agli

elementi che li portano, bensì ad elementi essi collegati.

È infine possibile considerare solai infinitamente deformabili, o meglio semplici aree di carico, il cui unico

ruolo è quello di ripartire il carico ad essi assegnato sugli elementi perimetrali, senza tuttavia influire sul

comportamento meccanico della struttura. Tale espediente risulta utile nel caso di solai il cui

ammorsamento nelle pareti a contatto sia totalmente inefficace.

5.2. CALCOLO DELLE FORZE NODALI NELLE ASTE

Al fine di considerare correttamente l’effetto dei carichi distribuiti sulle aste, e disponendo invece solo di

un numero di gradi di libertà globali limitato dagli spostamenti nodali, è stato necessario valutare le forze

da attribuire ai gradi di libertà globali, equivalenti a quelli reali dal punto di vista cinematico (che cioè

restituissero gli spostamenti nodali corretti). Tale calcolo risulta estremamente importante poiché, a

fronte della semplicità di calcolo delle forze nodali per un’asta libera, tale valutazione risulta invece non

banale nel caso di aste interagenti.


- Pag. 120 -

Si consideri allora un’asta, in generale interagente flessionalmente con altri elementi mediante interfacce,

e che può essere interessata dall’apertura di cerniere plastiche. L’asta può essere caricata mediante forze

concentrate Fk e carichi distribuiti costanti, la cui somma sarà indicata con q. Di seguito è riportato uno

schema dei gradi di libertà assiali e flessionali di un’asta, nel caso di comportamento piano e

tridimensionale.

nnjjiifless

mjiass

vvvvvU

uuuU

,,.......,,,,,,,,

,,

2211

, ,ass i j mU u u u

1 1 1 1 2 2 2 2, , , , , , , , , , , , , , , , , ,......., , , ,fless i i i i i j j j j j n n n nU v w t v w t v u v u v u

Figura 114. Schema dei gradi di libertà interni ed esterni per un’asta bidimensionale e tridimensionale

Si consideri il solo comportamento flessionale, separato da quello assiale. Si noti come vengano

conteggiati per primi i gradi di libertà dei nodi esterni, e solo successivamente quelli dei nodi interni. Si

consideri l’applicazione di un carico come quello in figura. Per semplicità verrà considerato il solo caso di

asta bidimensionale, senza che ciò costituisca tuttavia una restrizione per il caso generale

tridimensionale.

ui

nodo i

uj

nodo jum

um nodo j

uj

vj

j

nodo i

ui

v1

1 2

v2 vn

n

p1 p2 pn

pnp2p1

vnv2v1

ui

vj

uj

nodo j

um

1

2

1i

vi2

vi

i

i 1 2 n j

1 2 n j

u1

iui u2 un uj

3

21

1D

2D

3Dpnp2p1

vnv2v1

ui

vj

uj

nodo j

um

vi

i

i 1 2 n j

1 2 n j

u1

iui u2 un uj

3

21

3D


- Pag. 121 -

Figura 115. Schema di carico di un’asta interagente

Coerentemente, l’equazione che regola la relazione tra forze e spostamenti dell’asta, può essere scritta

nella forma

11 12

12 22

e e

ti i

u fK KK u f

u fK K

in cui la matrice di rigidezza, e di conseguenza anche i vettori di carico e spostamento, sono stati

partizionati separando i gradi di libertà dei nodi esterni da quelli dei nodi interni. Per calcolare il vettore

delle forze nodali P, occorre calcolare le reazioni dell’asta, pensata incastrata ad entrambi gli estremi, e

sottoposta al carico distribuito considerato. Per il problema considerato è possibile affermare che sono

nulli gli spostamenti nodali esterni ( 0eu ), mentre le forze interne sono pari a un vettore fi,

corrispondente alla distribuzione del carico distribuito sui gradi di libertà interni, che può essere così

definito:

1

1

2

2

...

i

n

n

q F

M

q F

f M

q F

M

dove

Fi è la sommatoria delle forze concentrate applicate all’i-esimo nodo interno

Mi è la sommatoria dei momenti concentrati applicati all’i-esimo nodo interno

q è il carico distribuito

è la lunghezza dei segmenti interni dell’asta

Il sistema, tenendo conto della partizione diventa

11 , 12 , ,

12 , 22 ,

e i i i e i

t

e i i i i

K u K u f

K u K u f

qFk

Mk

nodo i nodo j


- Pag. 122 -

Essendo gli spostamenti esterni nulli, il sistema di equazioni diventa

12 , ,

22 ,

i i e i

i i i

K u f

K u f

Dalla seconda equazione può pertanto essere ottenuta la distribuzione degli spostamenti interni come

segue

1

, 22i i iu K f

Sostituendo il vettore degli spostamenti interni nella prima equazione è possibile calcolare il vettore delle

forze nodali equivalenti al carico distribuito internamente come segue

1

, 12 22e i if K K f

Ad esso va sommato il vettore delle forze esterne dovuto al carico direttamente afferente ai nodi esterni.

2

,0

2

2

48

2

48

i

i

e

j

j

qF

qM

fq

F

qM

In definitiva il vettore delle forze nodali esterne, equivalente al carico distribuito, è dato da

,0 ,e e e if f f

È importante evidenziare il fatto che, a causa dell’applicazione delle forze nodali esterne, dalla risoluzione

del sistema lineare della struttura derivano spostamenti nodali corretti. Tuttavia, al fine di ripristinare il

corretto comportamento delle aste e delle interfacce interagenti anche lungo il loro sviluppo (sia in

termini di sollecitazioni che di spostamenti), è necessario sommare alle sollecitazioni e agli spostamenti

interni dovuti agli spostamenti nodali derivati dalla risoluzione del sistema lineare, quelli di asta

incastrata-incastrata soggetta al carico distribuito applicato all’asta.

Risulta inoltre importante mettere in luce come le forze nodali vengano aggiornate durante l’analisi,

tenendo conto del progressivo danneggiamento degli elementi. L’apertura di una cerniera plastica, o lo

snervamento di una molla di interfaccia nel caso di asta interagente, implica una variazione della matrice

di rigidezza dell’elemento, e di conseguenza comporta la necessità di aggiornare la ripartizione di un

carico distribuito di un’asta ai suoi nodi.

5.3. DETERMINAZIONE DELLE DISTRIBUZIONI SISMICHE

Le azioni orizzontali vengono determinate in accordo a due distinte forme della distribuzione delle forze:

una proporzionale alla massa, e una rappresentativa del primo modo di vibrare della struttura nella

direzione di carico.


- Pag. 123 -

Una volta assegnati i carichi gravitazionali, questi vengono reindirizzati nella direzione di carico, con la

medesima intensità nel caso di distribuzione di forze proporzionale alla massa, o secondo una

distribuzione proporzionale al prodotto dell’intensità per l’altezza dalla quota di base nel caso di

distribuzione rappresentative del primo modo di vibrazione della struttura. La distribuzione triangolare

inversa appare infatti rappresentativa del primo modo di vibrare nella direzione di carico.

Nel caso delle azioni orizzontali tutte le forze sono applicate sugli elementi pertinenti. Anche le azioni sugli

orizzontamenti, che nel caso dei carichi gravitazionali sono scaricate sugli elementi appartenenti alle

pareti secondo le orditure. Nel caso dei diaframmi (cfr. 3.4.2) e dei floor (cfr. 3.4.1) le azioni sono

concentrate nel baricentro dell’elemento, mentre nel caso degli orizzontamenti deformabili (plate) le forze

vengono ripartite su tutti i nodi dell’elemento. Su ciascuno dei sottoelementi triangolari del plate che

vengono creati (cfr. 3.4.3) insiste un carico (proporzionale alla sua area) che può essere ripartito

equamente sui suoi tre vertici. Pertanto al baricentro dell’elemento viene attribuito un terzo del carico

complessivamente assegnato all’elemento.

È importante notare che, nel caso in cui la direzione di carico sia ortogonale al piano di una parete, e il

comportamento del modello non sia tridimensionale (cfr. 2.1), gli elementi della parete non sono dotati

dei gradi di libertà fuori dal piano della parete; pertanto il corrispondente carico orizzontale viene perso.

3DMacro® - Manuale Teorico CAPITOLO 6 - ANALISI

- Pag. 124 -

6. ANALISI

L’utilizzo di elementi meccanici monodimensionali (molle non lineari) predispone naturalmente il modello

all’impiego di analisi non lineari. È Infatti sufficiente introdurre leggi monodimensionali da attribuire agli

elementi meccanici del modello, per conferire globalmente un comportamento di insieme appropriato.

Tale circostanza evita l’introduzione di leggi costitutive complesse (bi- o tri-dimensionali), che

renderebbero le analisi non lineari precarie e instabili.

Nel presente capitolo vengono descritte le procedure di analisi, statiche (cfr. 6.1) e dinamiche (cfr. 6.2),

implementate nel software.

Verranno inoltre forniti dettagli sulla gestione degli eventi e delle tolleranze durante le analisi (cfr. 6.3.3),

e sulla gestione delle ridistribuzioni (cfr. 6.3.4), che avvengono a seguito di rotture di uno o più elementi

del modello.

6.1. ANALISI STATICHE NON LINEARI

Le analisi statiche non lineari consistono nell’applicazione di una distribuzione di forze o spostamenti alla

struttura, mediante incrementi quasi-statici, evitando cioè l’insorgenza di effetti dinamici.

Un’analisi statica è caratterizzata da certe condizioni iniziali. In particolare possono essere distinte due

diverse possibilità:

condizioni iniziali nulle, corrispondenti alla situazione di struttura in deformata;

condizioni iniziali derivate da un’altra analisi, corrispondente all’ultimo stato di questa.

Con l’obiettivo di applicare tutti i carichi (o tutti gli spostamenti) previsti, l’analisi viene suddivisa in passi,

ciascuno dei quali corrispondente ad un loro incremento. Ad ogni passo viene applicato un incremento di

carico o spostamento, in corrispondenza del quale vengono aggiornate forze e deformazioni del sistema.

A seguito di tale incremento, qualche elemento della struttura potrebbe subire un cambiamento di stato

(apertura o chiusura di una cerniera plastica, plasticizzazione o scarico di una molla non lineare,

rotture,..) che implica una variazione della matrice di rigidezza del sistema. Tali eventi vengono gestiti

con opportune procedure (cfr. 6.3.3), fino ad ottenere la convergenza dopo una o più iterazioni.

Successivamente, tenendo conto dello stato attuale della struttura, può essere applicato il successivo

incremento di carico, e così via.

Un’analisi statica non lineare è pertanto caratterizzata dai seguenti elementi:

- un identificativo alfanumerico che identifica l’analisi;

- un identificativo alfanumerico che indica l’analisi di partenza, o ‘0’ se le condizioni iniziali sono

nulle;

- un intervallo di discretizzazione nell’applicazione del carico;

- un valore che indica se l’analisi va eseguita;

- un vettore che contiene la distribuzione base del carico definita come combinazione lineare di

diversi condizioni di carico tra quelle a disposizione (cfr. 5);

- un punto master da monitorare affinché non venga superato lo spostamento massimo previsto;

- nel caso di analisi a controllo di spostamento, una lista di model joints (o punti modello), che

vanno considerati nella lista dei gradi di libertà per i quali imporre gli spostamenti (cfr. 6.3.1).


- Pag. 125 -

La discretizzazione dell’analisi in passi consente di applicare un basso livello di azioni ad ogni passo. Per

ogni passo di analisi viene effettuato un primo tentativo mirato all’applicazione dell’intero carico relativo al

passo. Dopo aver effettuato l’incremento di stato di tutti gli elementi del modello viene verificato se in

uno o più di tali elementi è avvenuto un evento.

Se non sono stati riscontrati eventi il passo viene terminato e vengono saltati eventualmente anche passi

successivi se elastici.

Se vengono registrati eventi plastici viene calcolato l’errore commesso in termini di forze, spostamenti o

energia (squilibrio) relativo alle molle che hanno subito eventi, e se tale squilibrio è minore della

tolleranza (cft. 6.3.3) il passo viene concluso, altrimenti viene richiamata una procedura che consente di

scalare opportunamente il passo di carico in modo da determinare la riduzione del passo che consente di

ridurre l’incremento di carico in modo tale che tutti gli eventi che si verificano provochino uno squilibrio

minore della tolleranza fissata (T).

Con si indica il coefficiente di riduzione del passo. Per ogni fissato, ogni evento è caratterizzato da un

moltiplicatore mult’=mult - , dove mult è il moltiplicatore dei carichi nel passo e varia da 0 a 1.

Al variare di è possibile calcolare lo squilibrio di ogni elemento della struttura, che può essere indicato

con dSq(), che deve rientrare entro la tolleranza fissata T.

Le analisi statiche possono essere suddivise in quelle a controllo di forze e quelle a controllo di

spostamento. In genere un’analisi statica non lineare di tipo sismico viene suddivisa in due fasi: nella

prima (cfr. 6.1.1) viene applicato il carico previsto dalla distribuzione di forze considerata (cfr. 5.3), nella

seconda l’analisi viene proseguita a controllo di spostamenti (cfr. 6.1.2). Il vantaggio di suddividere

l’analisi pushover in due fasi consiste nel fatto che la prima parte, quella a controllo di forze, è rapida e

garantisce il mantenimento della distribuzione di forze prevista dalla Normativa; quando il livello di carico

è tale che la struttura non ne può sopportare di ulteriori, il meccanismo di danneggiamento riscontrato

viene amplificato proseguendo l’analisi a controllo di spostamento. Tale fase dell’analisi presenta un

duplice vantaggio, da un lato infatti consente di gestire le ridistribuzioni di forze che avvengono a seguito

della rottura di uno o più elementi (cfr. 6.3.4) consentendo così di cogliere anche il ramo decrescente

della capacità della struttura e di indagare le effettive risorse di duttilità che essa detiene, dall’altro

essendo una procedura di calcolo molto robusta, consente generalmente di evitare la formazione di

labilità, e quindi di interrompere l’analisi a seguito di tale genere di eventi. La scelta dei gradi di libertà da

imporre nella fase a controllo di spostamento segue dei criteri che verranno descritti in un altro paragrafo

(cfr. 6.3.1). Ulteriori dettagli sulla procedura di analisi sono riportati più avanti nel capitolo (cfr. 6.3).

6.1.1. ANALISI STATICHE A CONTROLLO DI FORZE

Alla struttura viene applicato un assegnato vettore di carico che viene caratterizzato da una certa

distribuzione di forze (memorizzata nel vettore di carico). Essa viene amplificata da una funzione di carico

del tutto arbitraria. Possono ad esempio essere previste semplici fasi di carico monotone oppure diversi

cicli di carico.

Il calcolo degli incrementi di spostamenti nodali nella procedura di analisi è dato da:

1 1tot tot basedU k dP k P DR


- Pag. 126 -

L’analisi si ritiene completata quando tutto il carico è stato applicato. All’inizio di ogni passo si tenta la

fattorizzazione della matrice corrente di rigidezza Ktot per verificare se la struttura è diventata labile. In tal

caso l’analisi viene interrotta e tutti i risultati salvati fino a quel momento vengono resi disponibili.

Tale controllo viene effettuato anche a inizio analisi in modo che, nel caso in cui questa debba iniziare a

partire dallo stato di labilità derivato da una precedente analisi, quella in questione non viene cominciata.

6.1.2. ANALISI STATICHE A CONTROLLO DI SPOSTAMENTO

In questo tipo di analisi il carico esterno è rappresentato da una serie di spostamenti imposti in

corrispondenza dei gradi di libertà della struttura. La distribuzione base di tali spostamenti imposti è

memorizzata nel vettore di carico in maniera analoga alle analisi a controllo di forze. Anche in questo

caso la distribuzione base può essere amplificata secondo una storia di carico arbitraria.

Tutti i gradi di libertà che sono oggetto di spostamenti imposti cessano di essere liberi e tale circostanza

richiede alcuni accorgimenti nel modo in cui viene condotta l’analisi e una serie di operazioni preliminari

che saranno descritte nel seguito.

Vengono rinumerati i gradi di libertà della struttura in modo che tutti i gradi di libertà non interessati dagli

spostamenti imposti abbiano un numero d’ordine progressivo a partire da uno. Tutti i gradi di libertà i cui

spostamenti sono imposti dall’esterno saranno numerati a seguire.

Durante l’analisi il vettore U degli spostamenti globali verrà suddiviso nei sottovettori Urid e Uimp

rispettivamente gli spostamenti dei gradi di libertà liberi e imposti.

Anche ciascuna matrice di rigidezza viene suddivisa in quattro sottomatrici: K11, K12, K21, K22. La

relazione tra le quantità statiche e cinematiche può essere scritta come:

11 12

21 22

0 rid

imp imp

Uk k

F Uk k

Gli spostamenti imposti Uimp sono un dato dell’analisi. Gli spostamenti dei gradi di libertà liberi possono

essere determinati invertendo l’espressione precedente:

111 12rid impU K K dU

Avendo noti entrambi i sottovettori Urid e Uimp , viene ricostruito il vettore dU globale.

In tutte le espressioni sopra riportate con K si è indicata la matrice totale della struttura che oltre al

contributo elastico può contenere anche il contributo plastico.

L’analisi a controllo di spostamento può proseguire sia che la struttura abbia rigidezza positiva sia che

abbia rigidezza negativa (ramo di softening). L’unica condizione che impedisce il proseguimento

dell’analisi è quella di labilità (det(k)=0).

L’analisi viene completata quando tutto il vettore degli spostamenti viene applicato.


- Pag. 127 -

6.2. ANALISI DINAMICHE NON LINEARI

Al fine di simulare la reale risposta dinamica di una struttura, un approccio sicuramente più evoluto è

quello delle analisi dinamiche non lineari. Infatti, mentre l’utilizzo delle analisi statiche non lineari

consente elaborazioni meno onerose, al costo di una determinazione della risposta dinamica indiretta,

quelle dinamiche non lineari consentono delle vere e proprie simulazioni del comportamento di una

struttura in condizioni sismiche, rappresentate da un’accelerogramma alla base della struttura. Pur

essendo molto più onerose dal punto di vista computazionale rispetto alle analisi statiche non lineari,

quelle dinamiche rappresentano senz’altro la simulazione numerica più realistica del comportamento reale

di una struttura in condizioni sismiche.

Un’analisi dinamica non lineare è pertanto caratterizzata dai seguenti elementi:

- un identificativo alfanumerico che identifica l’analisi;

- un identificativo alfanumerico che indica l’analisi di partenza, o ‘0’ se le condizioni iniziali sono

nulle;

- un intervallo di discretizzazione nell’applicazione del carico;

- un valore che indica se l’analisi va eseguita;

- un’accelerogramma, nelle tre componenti nello spazio, con relativo fattore di amplificazione;

- la direzione di azione del sisma assegnata attraverso i coseni direttori del versore rispetto alla

terna assoluta.

Ciascun accelerogramma è composto da:

l’insieme dei valori delle accelerazioni registrate;

l’intervallo di tempo tra una registrazione e un’altra, o passo di campionamento.

La registrazione si suppone abbia inizio al tempo zero.

Le equazioni del moto vengono integrate numericamente utilizzando il metodo di Newmark. Tale metodo

consente di determinare gli incrementi delle quantità cinematiche mediante le espressioni:

1

* *

2

11

2

1

2

p p pp

p pppp

dU K dF

dUdU U t U

t

U UdUdU

tt

nelle quali si è posto:

*

*

2

12 2

p pp

m mF F c U c t c U

t

c mK K

t t


- Pag. 128 -

dove:

- e sono due parametri del metodo, se posti rispettivamente pari a 0.5 e 0.25 implicano che il

metodo divenga incondizionatamente stabile.

- Up, Upp sono i vettori velocità e accelerazione a inizio passo.

- t è l’intervallo di discretizzazione del tempo.

- m, c le matrici di massa e di smorzamento globali della struttura.

- F il vettore di carico nel passo.

Si considera una matrice di smorzamento alla Rayleigh, proporzionale quindi alla matrice di massa e alla

matrice di rigidezza.

Sono previsti due metodi di costruzione di tale matrice:

a) matrice di smorzamento C costruita a partire dalle matrici di rigidezza (K) e di massa (M) globali del

modello:

C K M

In questo caso la matrice C viene ottenuta dopo la costruzione delle altre matrici semplicemente

effettuando i prodotti matriciali e ad un aggiornamento della matrice di rigidezza durante l’analisi ne

corrisponde uno anche della matrice di smorzamento.

I parametri e sono assegnati dall’utente nei seguenti possibili modi:

- assegnati direttamente.

- assegnando due rapporti di smorzamento per due assegnati periodi di vibrazione.

- assegnando due rapporti di smorzamento per due assegnate frequenze di vibrazione.

b) Matrice C assemblata a partire dalle matrici di smorzamento elementari degli elementi.

In questo caso si deve costruire ciascuna matrice elementare (per esempio alla Rayleigh o altro) per poi

ottenere la matrice globale per assemblaggio.

Per ciascun elemento o categoria di elementi bisogna specificare quindi il tipo di matrice di smorzamento

e i parametri che la caratterizzano.

È possibile prevedere una matrice di smorzamento c elementare proporzionale alla matrici elementari

kelemento, melemento.

Tale procedura ha il vantaggio di potere differenziare gli smorzamenti relativi a ciascun elemento del

modello numerico in modo tale da tenere conto di eventuali differenze tra gli elementi in termini di

meccanismi di dissipazione di energia.

6.3. PROCEDURE DI ANALISI

Si vuole di seguito fornire un maggiore dettaglio sulle procedure di analisi implementate. Da un lato

verranno descritte le procedure che consentono di considerare le non linearità durante un’analisi, sia essa


- Pag. 129 -

statica o dinamica, dall’altro verrà descritta in maniera più accurata la procedura di analisi pushover

implementata nel software.

Per quanto riguarda la procedura di convergenza nel passo, l’algoritmo considerato prevede le seguenti

operazioni:

- viene applicato tutto il carico previsto per il passo considerato, calcolando l’incremento negli

spostamenti nodali del sistema;

- viene incrementato lo stato di tutti gli elementi della struttura;

- vengono cercati gli eventuali eventi negli elementi della struttura corrispondenti agli incrementi di

stato;

- gli eventi vengono ordinati secondo i valori crescenti del moltiplicatore;

- vengono determinati gli eventi per i quali viene superata la tolleranza;

- viene determinato il coefficiente di cui scalare il passo;

- viene scalato il vettore degli spostamenti globali del modello dU=*dUtot;

- utilizzando il vettore dU aggiornato vengono aggiornati gli stati di tutti gli elementi;

- viene calcolato il carico ancora da applicare F_res=F_res*(1-).

Tale algoritmo può essere utilizzato indifferentemente per le analisi statiche e per quelle dinamiche non

lineari.

Di seguito viene invece esposta una procedura di analisi statica non lineare capace di seguire il

comportamento della struttura anche nella fase di degrado della resistenza.

L’analisi viene condotta in due fasi successive. La prima, a controllo di forze, prosegue fino al punto in cui

la matrice di rigidezza diviene singolare. La seconda, a controllo di spostamento, fino al raggiungimento

del collasso convenzionale o del valore limite assunto per uno spostamento target.

Figura 116. Rappresentazione della procedura di riduzione del passo

0 1

t

Total Step

m1 m1 mn

Sq()

T

t


- Pag. 130 -

Si considerino i seguenti simboli:

U vettore degli spostamenti nodali

F vettore delle forze nodali esterne

K matrice di rigidezza

Figura 117. Schema dei gradi di libertà di una struttura e corrispondenti forze duali

Durante la fase a controllo di forze il legame costitutivo, in termini incrementali, viene espresso da:

dUKdF

che consente ad ogni passo di determinare l’incremento del vettore degli spostamenti nodali e quindi

dello stato di tutti gli elementi.

Nella fase a controllo di forze il vettore di carico (F) ha una forma prefissata: in genere proporzionale alle

masse, proporzionale alle masse e altezze o proporzionale al primo modo. L’intensità di tale distribuzione

di carico viene incrementata a passi regolari (cfr. 5.3).

0FdF step

Un

...

U2

U1

Fn

...

F2

F1


- Pag. 131 -

Figura 118. Distribuzione di forze su una struttura

Non appena la struttura giunge al picco massimo di resistenza e comincia la fase di degrado l’analisi viene

proseguita a controllo di spostamenti. Questa viene condotta mantenendo alcuni spostamenti liberi e altri

imposti. I gradi di libertà imposti sono soggetti a determinati vincoli che dipendono dalla procedura

eseguita mentre quelli liberi verranno determinati a partire dal legame costitutivo. Uno dei gradi di libertà

imposti viene considerato come spostamento target: tale grado di libertà verrà monitorato durante

l’analisi in modo da subire incrementi costanti ad ogni passo; l’analisi si ritiene conclusa correttamente

non appena lo spostamento relativo al grado di libertà target raggiunge un valore prefissato.

La distribuzione spaziale dei gradi di libertà imposti deve essere tale da garantire la possibilità di imporre

ad ogni passo la deformata voluta. Per i comuni edifici, provvisti di orizzontamenti rigidi di piano che

individuano le cosiddette quote sismiche (quote in cui si concentrano in prevalenza le azioni sismiche) si

ritiene possa essere sufficiente imporre uno spostamento per ciascuna quota sismica. Tale spostamento

potrà essere il baricentro del diaframma di piano ove esso sia presente.

Per tipologie di strutture monumentali o a blocchi (chiese, templi, archi, ecc) può essere necessario

valutare caso per caso la distribuzione dei gradi di libertà da imporre. Dettagli sui criteri di scelta dei gradi

di libertà imposti sono riportati in 6.3.1.

Nel seguito si indica con:

u vettore degli spostamenti liberi

f vettore forze nodali degli spostamenti liberi

uI vettore degli spostamenti imposti

fI vettore forze nodali degli spostamenti imposti

u spostamento target

f = forza nodale applicata in corrispondenza dello spostamento target

Riordinando i gradi di libertà in modo da mettere in coda i gradi di libertà imposti e come ultimo il grado

di libertà target si ha:


- Pag. 132 -

u

u

u

U

f

f

f

FII

ˆˆ0

La relazione tra forze e spostamenti nodali può essere scritta nella forma seguente:

II

t f

f

u

u

KK

KK

2212

1211

Le procedure di analisi a controllo di spostamento possono essere efficacemente suddivise in due

tipologie:

- Procedure ad imposizione diretta di spostamenti

- Procedure a distribuzione di forze imposta

Nella prima tipologia si dispone direttamente del vettore di spostamenti imposti mentre nella seconda

viene fissata la distribuzione di forze esterne nel passo e il vettore degli spostamenti imposti viene

ricavato di conseguenza.

A seconda se la forma del vettore spostamenti o del vettore del carico vengono mantenuti costanti o

aggiornati ad ogni passo si possono distinguere

- Procedure adattive

- Procedure non adattive

Nel primo caso la distribuzione di spostamenti o forze viene aggiornata ad ogni passo mentre nel secondo

viene mantenuta costante per tutta l’analisi.

Procedure a velocità di deformazione costante

Si tratta di una analisi di tipo non adattivo a imposizione diretta di spostamenti, essa consiste nell’imporre

un vettore di spostamenti imposti costante per tutta l’analisi e tale da mantenere invariate le velocità

relative di deformazione dei gradi di libertà imposti rispetto a quanto registrato nell’ultimo passo della

fase a controllo di forze.

Procedure a distribuzione di forze imposta

Consiste nell’imporre una prefissata distribuzione di forze esterne, ad esempio la medesima distribuzione

presente nella fase a controllo di forze, la cui intensità viene governata da un fattore moltiplicativo ():

II

t f

f

u

u

KK

KK

2212

1211


- Pag. 133 -

6.3.1. DETERMINAZIONE DEI PUNTI DI CONTROLLO

Al fine di determinare quali punti del modello devono essere utilizzati nella procedura descritta in

precedenza (cfr. 6.3), devono essere selezionati opportunamente dei nodi del modello in modo che i

gradi di libertà imposti nella fase a controllo di spostamento dell’analisi siano tali da essere

rappresentativi del meccanismo di collasso della struttura.

È pertanto possibile definire dei punti di controllo imponendo lo spostamento di un nodo di un elemento

(in genere nella direzione di carico dell’analisi considerata) venga monitorato durante un’analisi. A ciascun

punto di controllo viene attribuita una massa (cfr. 7.2) da utilizzare per la verifica sismica (cfr. 7.1).

Le opzioni automatiche prevedono la scelta di un punto di controllo per ciascuna delle quote sismiche

definite. Nel caso in cui sia presente almeno un orizzontamento in corrispondenza della quota sismica, il

punto di controllo viene derivato da questo secondo i seguenti criteri:

- in caso di diaframmi (cfr. 3.4.2) o orizzontamenti rigidi (cfr. 3.4.1) il punto di controllo è unico e

corrispondente allo spostamento del baricentro geometrico dell’elemento nella direzione di carico;

- in caso di diaframmi deformabili (cfr. 3.4.3) il punto di controllo sarà assunto come la media degli

spostamenti di tutti i punti dell’elemento (baricentro geometrico e tutti i nodi) nella direzione di

carico;

- in caso di presenza di più orizzontamenti indipendenti ad una certa quota sismica verranno

definiti più punti di controllo, ciascuno con la corrispondente massa afferente, secondo i criteri

appena descritti.

- in caso di assenza di orizzontamenti ad una certa quota sismica, per ciascuna delle pareti del

modello il punto di controllo è assunto come la media degli spostamenti nella direzione di carico,

di due nodi estremi della parete.

La scelta dei punti di controllo risulta decisiva per un duplice motivo: da un lato condiziona la fase a

controllo di spostamento delle analisi statiche non lineari, determinando la scelta degli spostamenti

rappresentativi del meccanismo di collasso della struttura (per questo risulta possibile personalizzare tale

scelta), dall’altro, a seguito dell’attribuzione di una massa a ciascuno di essi, la scelta condiziona il

passaggio dal sistema reale, ad un sistema semplificato, dotato di tanti gradi di libertà quanti sono i punti

di controllo adottati.

6.3.2. USCITA DALL’ANALISI

Un’analisi può considerarsi conclusa nei seguenti casi:

- nel caso di analisi statiche a controllo di forze se viene applicato l’intero carico;

- nel caso di analisi statiche a controllo di spostamento se vengono imposti interamente gli

spostamenti;

- nel caso di analisi dinamiche se viene raggiunta la convergenza in ogni passo

dell’accelerogramma.

Tuttavia questo non accade sempre. È frequente infatti il caso in cui un’analisi venga interrotta per

qualche motivo. In particolare si distinguono i seguenti casi:


- Pag. 134 -

- struttura quasi-labile, corrisponde all’eventualità in cui non sia più possibile fattorizzare la matrice

di rigidezza;

- incremento negativo di energia esterna, corrisponde a probabili problemi numerici che si

manifestano con divergenze nella soluzione del sistema lineare;

- eccessivi spostamenti, indica una perdita di rigidezza della struttura tale che in qualche punto è

stato superato lo spostamento massimo previsto dall’utente;

- perdita di accuratezza della soluzione, che si manifesta con una divergenza nella misura della

sollecitazioni negli elementi;

- eccessiva riduzione del taglio alla base, che indica che il taglio corrente è sceso al di sotto di una

certa percentuale del taglio massimo (spesso questo criterio è coerente con prescrizioni

normative);

- raggiungimento della rotazione ultima di una cerniera plastica, criterio spesso in accordo con

prescrizioni normative;

- raggiungimento della rotazione flessionale ultima in un pannello, coerentemente con quanto

prescritto dalle norme;

- eccessivo numero di passi raggiunto, che non indica tuttavia un’impossibilità di proseguire

l’analisi, pertanto questo limite può essere superato prevedendo un incremento nel numero di

passi massimo previsto dall’analisi;

- eccessivo numero di passi nella ridistribuzione raggiunto, che non indica tuttavia un’impossibilità

di proseguire l’analisi, pertanto questo limite può essere superato prevedendo un incremento nel

numero dei passi massimo nelle ridistribuzioni previsto dall’analisi;

- eccessivo numero di iterazioni nel passo raggiunto, che non indica tuttavia un’impossibilità di

proseguire l’analisi, pertanto questo limite può essere superato prevedendo un incremento nel

numero di iterazioni massimo nel passo previsto dall’analisi.

Nel caso in cui un’analisi venga interrotta, anche quelle che da essa dipendono non potranno essere

eseguite.

6.3.3. EVENTI E TOLLERANZE

Indipendentemente dal tipo di analisi effettuata, è necessario potere riconoscere a seguito di un generico

incremento di stato degli elementi, quali molle hanno subito degli eventi plastici, cioè degli eventi che

comportano un cambiamento della matrice di rigidezza degli elementi, e quindi di quella globale; tali

elementi vengono inseriti in una lista.

Conoscere tutti gli elementi che hanno subito eventi plastici serve sia per potere calcolare l’errore

commesso e quindi potere iterare o scalare il passo (a seconda del metodo di analisi adottato), che per

adottare la procedura di aggiornamento delle matrici del modello senza dovere provvedere al ricalcolo e

riassemblaggio complessivo della stessa.

Ad ogni evento plastico viene associato uno numero scalare mult definito come il rapporto tra lo

spostamento subito dall’elemento non lineare considerato e il massimo spostamento che avrebbe potuto

sostenere senza che fossero subentrati eventi plastici. Risulta ovviamente mult<=1.

Gli eventi plastici possono inoltre essere classificati in due categorie principali:

- Eventi con mult>0: Sono tutti gli eventi che si verificano a seguito di uno spostamento eccessivo del

generico elemento rispetto ai limiti correnti della fase in cui si trova.


- Pag. 135 -

- Eventi con mult=0: Sono tutti gli eventi causati da scarichi delle molle, e in questo caso la fase

dell’elemento è errata fin dall’inizio.

La figura sottostante illustra tale concetto con riferimento ad una semplice molla elastica perfettamente

plastica.

Figura 119. Schema di evento per una molla elastica con comportamento elastico perfettamente plastico

A seguito di un generico incremento di stato dovuto all’incremento di un carico, controllando tutte le

molle che hanno subito eventi, è possibile definire un parametro di errore riferito alla molla stessa. In

particolare si ha (vedi anche figura precedente) :

- dSqmolla: è l’errore commesso in termini di forze, dato dalla differenza tra lo stato finale dell’elemento e

lo sforzo che invece sarebbe stato registrato se l’elemento avesse seguito il corretto legame costitutivo.

L’espressione di questo parametro di errore risulta:

dSqmolla=(1-mult)*dU*(Kold-Knew)

Affinché l’errore possa essere espresso in termini adimensionali, occorre normalizzare lo squilibrio rispetto

alla corrispondente quantità di forza che determina l’evento. Si avrà pertanto:

molla = |dSq/fy|

Rielaborando tali quantità, ottenute per ciascuno degli elementi del modello, è possibile calcolare la

rispettiva quantità globale della struttura che è uno scalare ottenuto come massimo errore commesso

nei singoli elementi.

Corrispondentemente a questo indice di errore, viene definita una tolleranza T, che può essere definita

come il massimo errore che viene ammesso. Il controllo sulle forze viene eseguito tra la tolleranza e

l’errore commesso .

U

multU

dSqforce

dSqdispKold

Knew

U=dSdisp

dSqforce

Kold

1

2

mult

Knew

12

2*

2*

evento avvenuto nel passo scarico

1 - Stato iniziale

2 - Stato finale

3 - Stato finale legame costitutivo


- Pag. 136 -

Mentre per le elementi il cui comportamento costitutivo sia di tipo elasto-plastico (cfr. 4.1.1.2) Kold e Knew

sono grandezze immediatamente disponibili, le leggi costitutive alla Coulomb (cfr. 4.1.2.1), a causa del

fatto che il dominio di resistenza dell’elemento è tale che la sua resistenza corrente varia in dipendenza

dalla variabile di stato N, le rigidezze, e quindi lo squilibrio all’interno dell’elemento, devono essere

calcolati in maniera indiretta.

Nel caso rappresentato nelle figure, l’elemento, elastico ad inizio iterazione (stato 1), raggiunge il limite di

snervamento corrispondente alla variazione di sforzo normale agente sulla molla, e continua la sua

escursione in campo plastico, seguendo il dominio di resistenza alla Coulomb. Se non intervenissero

eventi all’interno del passo, la molla passerebbe dallo stato 1 allo stato 2’, con un incremento di sforzo

pari a dfel. In corrispondenza dell’evento avviene una separazione tra il comportamento che la molla

manifesterebbe se il legame fosse elastico, e il comportamento reale: lo squilibrio in termini di forza è

dato dalla differenza tra df1 (comportamento elastico) e df2 (comportamento reale).

L’evento può avvenire, in generale, all’interno di una delle iterazioni del passo, pertanto lo stato 2 sarà

determinato da un multcorr, mentre mult individua il punto in cui avviene l’evento. Le espressioni delle

forze che intervengono nella gestione dell’evento sono date da:

duKdf oldel *

duKmultmultdf oldcorr **1

dNmultmultdf corr **2

Si ottiene infine l’espressione dello squilibrio come differenza tra df1 e df2

21 dfdfdSqmolla


- Pag. 137 -

Figura 120. Schema di evento per una molla non lineare con dominio di resistenza alla Coulomb

u

f

old

2

1

2'

new

df 2df 1

df

Figura 121. Schema di evento per una molla non lineare con comportamento elasto-plastico

6.3.4. RIDISTRIBUZIONI

Le ridistribuzioni sono delle variazioni nel vettore di carico all’interno di un passo, che sono dovute a

rotture fragili in uno o più elementi del modello, le cui forze accumulate vengono appunto ridistribuite sul

resto della struttura. La procedura consiste nel sommare al vettore di carico le forze derivate dalla rottura

fragile occorsa. All’interno del passo viene pertanto richiesto che, oltre alle forze o agli spostamenti già

previsti, vengano applicate tali forze di ridistribuzione.

f

c

df eldf 1

df 2

1

2'

2

step

(1-)*step


- Pag. 138 -

La procedura consiste nel:

- determinare il carico nodale equivalente alla forza dell’elemento che si è appena rotto;

- applicare tale carico alla struttura partendo dallo stato corrente di fine passo.

Se durante la ridistribuzione si registrano ulteriori rotture il programma aggiorna il carico da ridistribuire

sommando a quello residuo il contributo delle nuove rotture.

La ridistribuzione viene regolarmente conclusa se tutto il carico da ridistribuire viene applicato, senza che

siano state registrate nuove rotture.

La ridistribuzione pur procedendo a controllo di forze, avviene in maniera diversa a seconda che l’analisi

corrente sia condotta a controllo di forze o a controllo di spostamenti. Nel secondo caso in particolare il

carico da ridistribuire viene applicato alla struttura ottenuta da quella originaria aggiungendo dei vincoli

fissi in corrispondenza dei gradi di libertà per i quali nell’analisi vengono impostati gli spostamenti.

Indicando con Ftot e Ftot_disp i vettori che contengono il carico nodale da ridistribuire nel caso di analisi a

controllo di forze e di spostamento, l’incremento dei gradi di libertà viene dato da:

-nel caso di analisi a controllo di forze

1totdU K dF

-nel caso di analisi a controllo di spostamenti

111 _

0

rid tot disp

imp

U K dF

U

La ridistribuzione viene normalmente conclusa quando tutto il carico da ridistribuire viene esaurito senza

che vengano registrate ulteriori rotture.

Se la struttura diviene labile, a prescindere dal fatto che la ridistribuzione si riferisca ad una analisi a

controllo di forze o di spostamenti, la ridistribuzione viene interrotta e l’analisi viene troncata.

La figura sottostante illustra con riferimento a un semplice esempio la procedura di ridistribuzione per

una analisi a controllo di forze e per una analisi a controllo di spostamenti.


- Pag. 139 -

Figura 122. Schema di ridistribuzione per un’analisi a controllo di forze e una a controllo di spostamento

In caso di rottura all’interno di una analisi dinamica, il carico da ridistribuire viene applicato alla struttura

sotto forma di un carico impulsivo, si tramuta quindi in una discontinuità nel campo delle velocità tra la

fine del passo nel quale si è avuta la rottura e il successivo.

Dal punto di vista delle forze del sistema, la ridistribuzione della forza di un elemento rotto comporta i

seguenti casi:

Ridistribuzione durante un’analisi a controllo di forze

Durante questo tipo di analisi i carichi esterni non vengono incrementati.

- Vettore forze esterne

0estdF

- Vettore forze interne

Ridistribuzione durante un’analisi a controllo di spostamenti

L’incremento delle forze esterne viene calcolato analogamente al caso di analisi a controllo di

spostamento, tuttavia in questo caso si ha dUrid=0, pertanto

- Vettore forze esterne

int totdF k dU

_12t

imp tot riddF K dU

F

fy

fy

fy

fy

fy

fy


- Pag. 140 -

- Vettore forze interne

0riddF

ridest

imp

dFdF

dF

int estdF dF

3DMacro® - Manuale Teorico CAPITOLO 7 - VERIFICHE

- Pag. 141 -

7. VERIFICHE

Al fine di rendere più chiari i fondamenti teorici che vengono applicati nella verifica sismica delle strutture,

e che sono implementati nel software, vengono in questo capitolo forniti utili approfondimenti su alcune

delle grandezze e delle procedure utilizzate nel post-processing.

7.1. OSCILLATORE ELASTOPLASTICO EQUIVALENTE

La metodologia di verifica utilizzata consiste nel determinare la domanda di spostamento che un sisma di

intensità corrispondente allo stato limite considerato richiede alla struttura. Tale spostamento richiesto

verrà quindi confrontato con lo spostamento effettivo della struttura, deducibile dalla curva push-over, al

momento del raggiungimento del medesimo stato limite.

La struttura è in sicurezza nel momento in cui la domanda di spostamento (o spostamento richiesto

dalla normativa), risulta inferiore alla capacità di spostamento che la struttura è in grado di

subire per effetto dell’azione sismica: . È importate rilevare che tali spostamenti, di

domanda e di capacità, dipendono dallo stato limite considerato. In altre parole la normativa richiede che

la struttura possa subire ulteriori spostamenti oltre a quelli minimi richiesti al fine di soddisfare gli obiettivi

prefissati da ciascuno Stato Limite (cfr. § 3.2.1 D.M.14.01.2008).

Il coefficiente di sicurezza della struttura rispetto allo stato limite considerato è ottenuto dal rapporto

tra la capacità di spostamento e lo spostamento richiesto: . Ovviamente la verifica di

sicurezza ha esito positivo se .

Il calcolo della richiesta di spostamento , viene eseguito mediante l’utilizzo degli spettri elastici (di

intensità corrispondente allo stato limite in esame) e considerando un sistema ridotto ad un grado di

libertà, equivalente alla struttura reale a molti gradi di libertà.

Attraverso ciascuna analisi non lineare è possibile riportare su un grafico cartesiano il valore del tagliante

alla base Vb, normalizzato rispetto al peso sismico della struttura, in funzione dello spostamento raggiunto

da un punto caratteristico della struttura, detto anche di controllo (cfr. 7.2), identificato in genere con il

baricentro del piano di copertura della struttura. La curva che si ottiene è la cosiddetta curva di capacità

o curva pushover della struttura a molti gradi di libertà.

La definizione delle caratteristiche meccaniche del sistema “ridotto” ad un grado di libertà, equivalente a

quello a molti gradi di libertà prevede che: sia determinata automaticamente la curva di capacità del

sistema ridotto ad un grado di libertà dalla curva pushover del sistema a molti gradi di libertà, dividendo

le relative coordinate per il coefficiente di partecipazione modale associato al primo modo di vibrare

della struttura a molti gradi di libertà. Quest’ultimo è definito come segue:

maxd

capacitàd

max capacitàd d

max/capacitàd d

1

maxd

2

1 1

N N

i i i i

i i

m m

3DMacro® - Manuale Teorico CAPITOLO 7 – VERIFICHE

- Pag. 142 -

dove :

: massa associata all’i-esimo piano sismico (cfr. 7.2);

: componente i-esima del vettore rappresentativo il primo modo di vibrare della struttura nella

direzione considerata dell’azione sismica, normalizzato rispetto alla componente associata allo

spostamento del punto di controllo. Come forma caratteristica rappresentativa del primo modo di vibrare

della struttura nella direzione di carico, viene adottata una distribuzione proporzionale al prodotto delle

masse di piano per le relative altezze.

Al sistema ridotto viene associata una massa equivalente della struttura, definita come segue. La

curva del sistema ridotto viene semplificata secondo una bilatera equivalente caratterizzata da:

: massa equivalente del sistema ridotto

k*: rigidezza elastica

F*y: limite elastico

u*y, u

*u: spostamento al limite elastico e ultimo

La rigidezza della bilatera equivalente k* viene fissata pari alla rigidezza secante alla curva del sistema

ridotto in corrispondenza di un livello di forza pari al 60% del massimo. Il limite di snervamento viene

quindi determinato imponendo l’equivalenza energetica tra i due sistemi.

Figura 123. Equivalenza energetica

Il periodo del sistema ridotto risulta :

im

i

*m

1

*N

i i

i

m m

**

*2

mT

k


- Pag. 143 -

Per strutture flessibili con T*≥Tc lo spostamento massimo del sistema bilineare ( ) può essere

assunto pari al massimo spostamento di un sistema elastico equivalente ( ). Tale parametro può

essere desunto dallo spettro di progetto in termini di spostamento SDe:

Per strutture rigide (T*<Tc) lo spostamento massimo del sistema non lineare viene amplificato rispetto a

quello del sistema elastico equivalente utilizzando l’espressione:

con:

Figura 124. Stima della Vulnerabilità.

Lo spostamento richiesto dalla normativa associato al punto di controllo della struttura a molti gradi di

libertà si ottiene moltiplicando lo spostamento massimo del sistema bilineare per il fattore di

partecipazione modale :

La capacità di spostamento della struttura associata a ciascuno stato limite viene valutata in

accordo alle prescrizioni normative (cfr. § C7.8.1.5.4 del Testo Unico 2008), eventualmente modificate

coerentemente con le scelte dell'utente.

*

maxd*

,maxed

* * *

max ,max ( )e Ded d S T

*

,max* * *

max ,max* *1 1

e Ce

d Td q d

q T

* **

*

( )e

y

S T mq

F

*

max maxd d

capacitàd


- Pag. 144 -

7.2. DETERMINAZIONE DELLE MASSE DEI PUNTI DI CONTROLLO

I punti di controllo vengono accorpati in gruppi. Il software riconosce la contiguità tra tutti gli

orizzontamenti, qualunque sia il loro comportamento strutturale, e raggruppa tutti i punti di controllo di

tali elementi.

Questa scelta consente di limitare il numero di curve di capacità da usare per la verifica sismica (cfr. 7.1),

a patto di assegnare correttamente la massa a ciascun gruppo di punti di controllo.

Per l’assegnazione della massa corretta a ciascun gruppo di punti di controllo occorre determinare tutti gli

elementi la cui massa afferente possa ritenersi concentrata nel punto di controllo considerato, al fine di

poter descrivere l’intero organismo strutturale con un limitato numeri di gradi di libertà (uno per ogni

gruppo di punti di controllo).

All’interno del software sono implementati due possibili criteri per la determinazione della massa di

ciascun gruppo di punti di controllo:

- La prima procedura prevede il calcolo delle masse attribuendo a ciascun gruppo di controllo la

massa relativa a metà della massa degli elementi compresi tra la quota del gruppo di punti

controllo e quella immediatamente inferiore sommata a metà della massa degli elementi

compresi tra la quota del gruppo di punti controllo e quella immediatamente superiore,

comprensiva della massa relativa agli eventuali orizzontamenti cui i punti di controllo

appartengono; è evidente che l’utilizzo di questa procedura implica la perdita della massa relativa

a metà di quella compresa tra la quota di base e la prima, e il peso sismico non corrisponderà

alla massa complessiva del sistema;

- La seconda procedura prevede il calcolo delle masse attribuendo a ciascun gruppo di controllo la

massa relativa a quella degli elementi compresi tra la quota del gruppo di punti controllo e quella

immediatamente inferiore, comprensiva della massa relativa agli eventuali orizzontamenti cui i

punti di controllo appartengono; è evidente che l’utilizzo di questa procedura implica la

corrispondenza tra peso sismico e massa complessiva.

Il software considera in automatico la seconda di queste due procedure.

In caso di assenza di orizzontamenti, per ciascuna quota di una parete viene definito opportunamente un

punto di controllo (cfr. 6.3.1). La massa considerata sarà, per ciascuna quota di ciascuna parete, attinta

dalla parete corrispondente secondo i medesimi criteri prima descritti.

7.3. SOLLECITAZIONI E SPOSTAMENTI DEGLI ELEMENTI

La determinazione delle sollecitazioni e degli spostamenti degli elementi avviene a partire da forze e

spostamenti nodali globali.

Tali grandezze sono ricavabili, per ciascun passo di tutte le analisi, e per ciascun elemento, sia dalla

finestra principale del programma, accedendo alla finestra della risposta degli elementi, sia all’interno dei

tabulati di calcolo.

Al fine di facilitare la lettura di queste grandezze, risulta utile un approfondimento sulle convenzioni

adottate, soprattutto in relazione ai pannelli murari.


- Pag. 145 -

7.3.1. INTERFACCE

Le forze e gli spostamenti sui singoli lati di un pannello, gestiti mediante le interfacce (cfr. 3.1.4) risultano

di immediata comprensione, essendo gli spostamenti immediatamente determinabili dagli spostamenti

dell’interfaccia stessa, e le sollecitazioni ottenibili dagli sforzi sulle molle come segue

1

molleN

n

n

N f

1

molleN

n n

n

M f d

sV f

con nf generico sforzo nella n-esima molla flessionale,

sf sforzo della molla a scorrimento,

nd distanza della n-esima molla flessionale dal punto medio dell’interfaccia.

Figura 125. Schema delle sollecitazioni generalizzate sull'interfaccia di un pannello

Oltre alle sollecitazioni generalizzate vengono fornite ulteriori informazioni sulle interfacce. In particolare

si possono distinguere gli indici del danneggiamento flessionale, e quelli relativi al taglio per scorrimento,

lungo la superficie individuata dall’interfaccia. Nel caso di comportamento flessionale possono essere

considerate le lunghezze, normalizzate rispetto alla lunghezza dell’interfaccia, delle zone plasticizzate a

trazione e a compressione.

c: ampiezza della zona fessurata;

t: ampiezza della zona schiacciata

Con riferimento invece al comportamento a taglio per scorrimento si distinguono invece le seguenti

grandezze:


- Pag. 146 -

Ac: area di contatto per lo scorrimento (vengono escluse dal conteggio dell’area di contatto le aree

relative alle molle non attive, cioè quelle che, avendo superato il limite di deformabilità a trazione, hanno

subito un distacco);

Vu: sforzo di taglio ultimo a scorrimento;

pl: scorrimento plastico cumulato totale in entrambe le direzioni;

In particolare il taglio ultimo Vu, può essere calcolato come segue

u n cV c A

con c pari alla coesione, angolo di attrito e n dato da

n

c

N

A

Per maggiori dettagli sulle leggi costitutive si rimanda all’apposito capitolo 4.

7.3.2. PANNELLI

Per i pannelli murari è utile far riferimento a delle sollecitazioni e degli spostamenti generalizzati per

l’intero pannello, in modo da avere una misura diretta dello stato dell’elemento, soprattutto in relazione ai

limiti di deformazione previsti dalle normative. Tali grandezze vengono determinate a partire dagli

spostamenti nodali (per le deformazioni generalizzate), o dagli sforzi sulle interfacce afferenti ai lati del

pannello per le sollecitazioni generalizzate (cfr. 7.3.1).

Con riferimento al comportamento piano, per le sollecitazioni vengono distinte le seguenti grandezze:

V: sforzo di taglio globale;

Nx: compressione media in direzione x del pannello;

Ny: compressione media in direzione y del pannello;

Vu: sforzo di taglio di snervamento corrente.

Tali valori, sulla base degli spostamenti nodali già definiti (cfr. 3.1.1) sono dati da:

3 1 2 4

2 2

F F F FV

1 3

2x

N NN


- Pag. 147 -

2 4

2y

N NN

u uV s b h

dove N1, N2, N3 e N4 rappresentano le risultanti degli sforzi delle interfacce sui quatto lati del pannello, in

accordo con le convenzioni mostrate nella figura sottostante, s è lo spessore del pannello, b ed h sono le

sue dimensioni e u è la tensione tangenziale limite equivalente, data da:

0u n

0 rappresenta la tensione tangenziale limite in assenza di tensione normale, è l’angolo di attrito,

mentre n è una misura della tensione normale media agente sul pannello murario, che può essere

espressa come

2 2 2

yx yx

x y x y

n

NN NNA A b h

d

con d lunghezza della diagonale dell’elemento. Per maggiori dettagli sulle procedure di taratura cfr. 4.1.

Figura 126. Schema delle sollecitazioni generalizzate su un pannello

I valori degli spostamenti generalizzati comprendono invece:

: scorrimento angolare corrente;

: rotazione flessionale corrente;

Tali quantità possono essere espresse come:

3 1 2 4u u u u

h b


- Pag. 148 -

3 1 4 2u u u u

h b

Tali spostamenti generalizzati sono quelle che possono essere confrontate con i valori di normativa, e

pertanto risultano decisive per la determinazione della validità dell’analisi.

Limitatamente al taglio per fessurazione diagonale viene anche fornito un indicatore dello stato delle

molle diagonali. In particolare vengono distinti tre distinti stadi di comportamento:

EL: pannello non danneggiato;

SN: plasticizzazione della molla diagonale attivata;

RT: pannello collassato a taglio.

7.3.3. ASTE

In accordo alle figure sottostanti, e coerentemente col sistema di riferimento locale dell’asta (cfr. 3.3),

per ciascun nodo dell’asta gli spostamenti significativi sono dati da:

u: spostamento del nodo lungo la direzione 1 dell'asta;

v: spostamento del nodo lungo la direzione 2 dell'asta;

w: spostamento del nodo lungo la direzione 3 dell'asta;

1: rotazione del nodo nel piano 1-2 dell'asta;

2: rotazione del nodo nel piano 1-3 dell'asta;

t: rotazione del nodo nel piano 2-3 dell'asta

Figura 127. Schema degli spostamenti generalizzati su un’asta

Analogamente, le sollecitazioni duali sono date da:

N: sforzo normale;

V2: taglio agente nel piano 1-2 dell'asta;


- Pag. 149 -

V3: taglio agente nel piano 1-3 dell'asta;

M2: momento agente nel piano 1-2 dell'asta;

M3: momento agente nel piano 1-3 dell'asta;

Mt: momento torcente

Figura 128. Schema delle sollecitazioni generalizzate su un’asta

7.4. ANALISI LIMITE DI PARETI MURARIE CARICATE FUORI DAL PROPRIO

PIANO

Nel seguito viene descritta la procedura di verifica dei meccanismi di ribaltamento fuori piano delle pareti.

L'approccio utilizzato è quello dell'analisi limite che consente di determinare il moltiplicatore dei carichi

gravitazionali che attiva il meccanismo. Le successive verifiche si basano sulla definizione di un oscillatore

equivalente secondo quanto previsto in normativa.

7.4.1. INDIVIDUAZIONE DELLE FASCE MURARIE

Si consideri una fascia verticale di muratura comprendente un'intera parete o una porzione di essa.

Ciascuna fascia è soggetta ai carichi gravitazionali derivanti dal peso proprio della muratura e dagli

scarichi dei solai. Le eccentricità dei carichi vengono determinate considerando le rastremazioni della

parete lungo l'altezza e le lunghezze di ammorsamento dei solai.

Figura 129 Definizione di una fascia di muratura.

Nn

N2

N1

Pn

P2

P1

hn

h2

h1


- Pag. 150 -

Si riportano nel seguito le grandezze geometriche e statiche caratterizzanti ciascuna quota della fascia :

P : peso proprio della muratura;

s : spessore del pannello;

h : quota di sommità rispetto alla base;

N : scarico (applicato alla quota h);

eN : eccentricità del carico N rispetto alla mezzeria del blocco su cui scarica;

Le azioni ribaltanti sono rappresentate da una distribuzione di forze orizzontali proporzionali ai carichi

gravitazionali secondo un unico moltiplicatore ().

Ulteriori azioni stabilizzanti sono dovute alla presenza di tiranti/catene e all'ammorsamento dei solai,

caratterizzate dalle grandezze sotto riportate:

Th : forza di snervamento del tirante;

hT : quota del punto di applicazione del tirante;

F=*s*Ni : massima forza d'attrito esplicata dal solaio;

coefficiente di attrito caratterizzante la superficie di scorrimento muratura/solaio

s coefficiente riduttivo [0;1] per tenere conto dell'area effettiva di contatto tra

solaio e muratura

Si considerano due tipologie di cinematismi, entrambi caratterizzati dalla formazione di cerniere

orizzontali:

a) Meccanismi semplici (o di tipo A): ottenuti considerando la formazione di una cerniera plastica

con conseguente rotazione rigida della porzione di muratura superiore.

b) Meccanismi composti (o di tipo B): caratterizzati dalla formazione di tre cerniere e due porzioni di

muratura coinvolte. In corrispondenza delle cerniere di estremità si hanno spostamenti orizzontali

nulli mentre in corrispondenza della cerniera intermedia si ha il massimo spostamento.

Le cerniere possono formarsi in corrispondenza di particolari sezioni detta critiche, individuate a priori, in

corrispondenza delle:

- quote di piano;

- quote di applicazione dei tiranti;

- quote delle aperture;


- Pag. 151 -

- I meccanismi di tipo A vengono definiti a partire dal vincolo fisso a quota più alta. In assenza di vincoli

fissi la posizione della cerniera spazia tra tutte le sezioni critiche.

- I meccanismi di tipo B vengono definiti tra due quote vincolate successive e collocando le tre cerniere

secondo tutte le possibili combinazioni.

Figura 130 Definizione dei meccanismi di tipo A e B

L’analisi del meccanismo consiste nel calcolare, mediante l’applicazione dell’analisi limite, il moltiplicatore

dei carichi che attiva il cinematismo () e lo spostamento limite del punto di controllo (coincidente con il

baricentro delle forze gravitazionali) che annulla la resistenza della parete (dk).

Considerando una cinematica lineare, come previsto dalla normativa, si ottiene il legame costitutivo sotto

riportato:

Figura 131 Legame costitutivo a ribaltamento linearizzato

7.4.1.1. MECCANISMO DI TIPO A

Imponendo l’equilibrio limite si ottiene la seguente espressione del moltiplicatore dei carichi :

nN

i

iNi

nP

i

iPi

n

i

iTii

nT

i

iTi

nN

i

iNi

nP

i

iPi

hNhP

hNhTbNbP

1

,

1

,

1

,

1

,

1

,

1

,

ultima quota vincolataquota vincolata i

quota vincolata i+1

s2

s1

s3

s5

s4

quota non vincolata

du d

ag

ag*


- Pag. 152 -

Dove (hP,i , hN,i) rappresentano il braccio verticale delle forze ribaltanti; (bP,i , bN,i) il braccio

orizzontale delle forze stabilizzanti;

7.4.1.2. MECCANISMO DI TIPO B

Il moltiplicatore dei carichi viene determinato applicando il principio dei lavori virtuali per

corpi rigidi (Lest=0). La cinematica è governata da un unico parametro libero assunto pari

alla rotazione attorno alla sezione inferiore () mentre la rotazione attorno alla sezione

superiore, indicando con h1 e h2 le porzioni di muratura individuate dalla cerniera centrale,

risulta:

cc

cc

hh

hh

h

h

2

1

2

11

Indicando con:

wa : il lavoro associato alle forze d’inerzia considerando =1;

wG : il lavoro negativo associato alle forze gravitazionali;

we : il lavoro associato alle forze stabilizzanti esterne (tiranti, solai);

Il moltiplicatore dei carichi limite risulta:

a

ge

w

ww

3DMacro® - Manuale Teorico CAPITOLO 8 - BIBLIOGRAFIA

- Pag. 153 -

8. BIBLIOGRAFIA

[1] Caliò, I., Marletta, M., Pantò, B., (2005). “A simplified model for the evaluation of the seismic

behaviour of masonry buildings.” in Proc of Tenth International Conference on Civil, Structural

and Environmental Engineering Computing, August 30 – September 2, Rome, Italy.

[2] Caliò, I., Marletta, M., Pantò, B., (2008). “A discrete element approach for the evaluation of the

seismic response of masonry buildings.” in Proc. Of 14th World Conference of Earthquake,

October 12 -17, Beijing, China.

[3] I. Caliò, F. Cannizzaro, E. D’Amore, M. Marletta & B. Pantò. A new discrete-element approach for

the assessment of the seismic resistance of mixed masonry and reinforced concrete buildings.

Seismic Engineering International Conference commemorating the 1908 Messina and Reggio

Calabria Earthquake (MERCEA '08). Reggio Calabria, 8-11 July 2008

[4] Caliò, I., Cannizzaro F., Marletta, M., (2010). “A discrete element for modeling masonry vaults.”

in Proc. Of 7th International Conference on Structural Analysis of Historical Constructions,

October 6 -8, Shanghai, China

[5] Dolce M., Nigro D., Ponzo F., Marnetto R., Rafforzamento delle strutture murarie: il sistema CAM

di Cuciture Attive per la Muratura, X Convegno Nazionale "L'Ingegneria Sismica in Italia",

Potenza-Matera 9-13 Settembre 2001.

[6] Dolce et al., Isolamento Sismico del Modello B del Progetto Trema, Report diffuso alle Unità di

Ricerca partecipanti al Blind Project, Progetto RELUIS.

[7] Y. J. Park, A.H-S. Ang. (1985) “Mechanistic seismic damage model for reinforced concrete.”, J. of

Structural Engineering (ASCE), 111 n°4, 722-739.

[8] Y. J. Park, A.H-S. Ang, et al. (1985) “Seismic damage analysis of reinforced concrete buildings.”,

J. of Structural Engineering (ASCE), 111 n°4, 740-757.

[9] “Nonlinear seismic analysis and design of reinforced concrete buildings” Edited by P. Fajfar and

H. Krawinkler, Hesevier Applied Science.

[10] G. Magenes, G. M. Calvi : “In plane seismic response of brick masonry walls”, Earthquake

Engineering and structural Dynamics, Vol. 26, 1091-1112 (1997).

[11] C. H. Massonet, M. Save, “Calcolo Plastico a Rottura delle Costruzioni”, CLUP; 1980; Milano.

[12] V. Turnsek, F. Cacovic, “Some experimental results on the strength of brick masonry walls”, Proc.

Of the 2nd Interational Brick Masonry Conference, Stoke on Trent, 1971; pp. 149-156.

[13] G. Magenes, G. M. Calvi : “In plane seismic response of brick masonry walls”, Earthquake

Engineering and structural Dynamics, Vol. 26, 1091-1112 (1997).

http://www.murature.com/3DMacro/areaRiservata.php




3DMacro® - Manuale Teorico CAPITOLO 8 – BIBLIOGRAFIA

- Pag. 154 -

[14] Y. J. Park, A.H-S. Ang. (1985) “Mechanistic seismic damage model for reinforced concrete.”, J. of

Structural Engineering (ASCE), 111 n°4, 722-739.

[15] Y. J. Park, A.H-S. Ang, et al. (1985) “Seismic damage analysis of reinforced concrete buildings.”,

J. of Structural Engineering (ASCE), 111 n°4, 740-757.

[16] P. Fajfar, H. Krawinkler, “Nonlinear seismic analysis and design of reinforced concrete buildings”,

Hesevier Applied Science.

[17] M. Dolce, D. Nigro, F. Ponzo, R. Marnetto, “Rafforzamento delle strutture murarie: il sistema CAM

di Cuciture Attive per la Muratura”, X Convegno Nazionale "L'Ingegneria Sismica in Italia",

Potenza-Matera 9-13 Settembre 2001.

[18] M. Marletta, “Vulnerabilità sismica e adeguamento di edifici in cemento armato”, Tesi per il

conseguimento del titolo di Dottore di Ricerca in Ingegneria delle Strutture. Dipartimento di

Ingegneria Civile e Ambientale, Università degli Studi di Catania (2002).

[19] T. Kabeyasawa, H. Shioara, S. Otani, “US-Japan cooperative research on R/C full scale building

test – Part 5: Discussion on dynamic response system”, Proceedings of the 8th World Conference

on Earthquake Engineering: San Francisco, US, 6, 1984.

[20] M. Hirosawa, “Past experimental results on reinforced concrete shear walls and analysis on

them”, Kenchiku Kenkyu Shiryo, 6, Building Research Institute, Ministry of Construction, Japan,

1975.

M A N U A L E T E O R I C O - Homepage | Gruppo Sismica · 3.3.3. cerniere plastiche 46 3.3.4....

Documents

Transcript of M A N U A L E T E O R I C O - Homepage | Gruppo Sismica · 3.3.3. cerniere plastiche 46 3.3.4....