Logica BooleanaCircuiti Logici

Logica Booleana e Circuiti

Walter Cazzola

Dipartimento di Informatica e ComunicazioneUniversità degli Studi di Milano

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Logica BooleanaCircuiti Logici

Valori ProposizionaliConnettivi e FormuleTavole di VeritàImplicazione

Logica Booleana

Variabili Proposizionali� Sono degli oggetti che possono assumere uno e uno solotra i due valori di verità VERO (o True, o 1) e FALSO (oFalse, o 0).

� Nel seguito le indicheremo usando le lettere minuscoledell'alfabeto latino, mentre useremo i simboli �1� e �0�per indicare i valori di verità.

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Valori ProposizionaliConnettivi e FormuleTavole di VeritàImplicazione

Logica Booleana

Connettivi e Formule� I connettivi indicano operazioni logiche tra variabili pro-posizionali:

� congiunzione (e, and, ∧)� disgiunzione (o, or, ∨)� negazione (non, not, :)

� Utilizzando variabili e connettivi (e rispettando opportu-ne regole di sintassi) è possibile costruire formule boo-leane.

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Valori ProposizionaliConnettivi e FormuleTavole di VeritàImplicazione

Logica Booleana

Tavole di Verità� Sintetizzano i valori assunti da una formula booleana alvariare dei possibili assegnamenti di valori di verità perle variabili proposizionali che compaiono nella formula stes-sa.

� Hanno tante righe quanti sono i possibili assegnamenti(2 elevato al numero di variabili), mentre il numero dicolonne dipende dalla complessità della formula.

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Valori ProposizionaliConnettivi e FormuleTavole di VeritàImplicazione

Logica Booleana

Tavole di Verità

Congiunzione

a b a∧b0 0 00 1 01 0 01 1 1

Disgiunzione

a b a∨b0 0 00 1 11 0 11 1 1

Negazione

a :a0 11 0

Nota. True = 1, False = 0.

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Valori ProposizionaliConnettivi e FormuleTavole di VeritàImplicazione

Logica Booleana

Tavole di Verità

Congiunzione

a b a∧b0 0 00 1 01 0 01 1 1

Disgiunzione

a b a∨b0 0 00 1 11 0 11 1 1

Negazione

a :a0 11 0

Nota. True = 1, False = 0.

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Valori ProposizionaliConnettivi e FormuleTavole di VeritàImplicazione

Logica Booleana

Tavole di Verità

Congiunzione

a b a∧b0 0 00 1 01 0 01 1 1

Disgiunzione

a b a∨b0 0 00 1 11 0 11 1 1

Negazione

a :a0 11 0

Nota. True = 1, False = 0.

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Valori ProposizionaliConnettivi e FormuleTavole di VeritàImplicazione

Logica Booleana

Implicazione

Chiamiamo implicazione tra a e bil risultato della formula (:a ∨ b ).

Per brevità la formula è associataad un connettivo rappresentatodal simbolo →.

a b :a :a∨b0 0 1 10 1 1 11 0 0 01 1 0 1

a →b è vera a meno chea sia vero e b sia falso.

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Valori ProposizionaliConnettivi e FormuleTavole di VeritàImplicazione

Logica Booleana

f = (a → b)∧ (b → a).

a b a →b b →a f0 0 1 1 10 1 1 0 01 0 0 1 01 1 1 1 1

f = ((a → b)∧ a) → b.

a b a →b (a →b)∧a f0 0 1 0 10 1 1 0 11 0 0 0 11 1 1 1 1

Nota. f è una tautologia.

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Valori ProposizionaliConnettivi e FormuleTavole di VeritàImplicazione

Logica Booleana

f = (a → b)∧ (b → a).

a b a →b b →a f0 0 1 1 10 1 1 0 01 0 0 1 01 1 1 1 1

f = ((a → b)∧ a) → b.

a b a →b (a →b)∧a f0 0 1 0 10 1 1 0 11 0 0 0 11 1 1 1 1

Nota. f è una tautologia.

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Valori ProposizionaliConnettivi e FormuleTavole di VeritàImplicazione

Logica Booleana

Un Esercizio. Tavola di Verità per (a∧b) ∨ :c.

a b c

:c a∧b (a∧b) ∨ :c

0 0 0

1 0 1

0 0 1

0 0 0

0 1 0

1 0 1

0 1 1

0 0 0

1 0 0

1 0 1

1 0 1

0 0 0

1 1 0

1 1 1

1 1 1

0 1 1

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Valori ProposizionaliConnettivi e FormuleTavole di VeritàImplicazione

Logica Booleana

Un Esercizio. Tavola di Verità per (a∧b) ∨ :c.

a b c :c

a∧b (a∧b) ∨ :c

0 0 0 1

0 1

0 0 1 0

0 0

0 1 0 1

0 1

0 1 1 0

0 0

1 0 0 1

0 1

1 0 1 0

0 0

1 1 0 1

1 1

1 1 1 0

1 1

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Valori ProposizionaliConnettivi e FormuleTavole di VeritàImplicazione

Logica Booleana

Un Esercizio. Tavola di Verità per (a∧b) ∨ :c.

a b c :c a∧b

(a∧b) ∨ :c

0 0 0 1 0

1

0 0 1 0 0

0

0 1 0 1 0

1

0 1 1 0 0

0

1 0 0 1 0

1

1 0 1 0 0

0

1 1 0 1 1

1

1 1 1 0 1

1

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Valori ProposizionaliConnettivi e FormuleTavole di VeritàImplicazione

Logica Booleana

Un Esercizio. Tavola di Verità per (a∧b) ∨ :c.

a b c :c a∧b (a∧b) ∨ :c0 0 0 1 0 10 0 1 0 0 00 1 0 1 0 10 1 1 0 0 01 0 0 1 0 11 0 1 0 0 01 1 0 1 1 11 1 1 0 1 1

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Valori ProposizionaliConnettivi e FormuleTavole di VeritàImplicazione

Logica Booleana

Dalla Tavola di Verità alla Formula.

a b c f0 0 0 10 0 1 00 1 0 00 1 1 01 0 0 11 0 1 01 1 0 01 1 1 1

Algoritmo di CarnotPer ogni riga i per cui f vale 1:

� per ogni variabile v la considero:

� negata se l'input è 0;� non negata altrimenti;

� fi è la congiunzione (∧) degli input:

f è la disgiunzione (∨) degli fi costruiti.

Quale formula calcola f?

(:a∧:b∧:c) ∨ (a ∧:b∧:c) ∨ (a ∧b ∧c )

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Valori ProposizionaliConnettivi e FormuleTavole di VeritàImplicazione

Logica Booleana

Dalla Tavola di Verità alla Formula.

a b c f0 0 0 10 0 1 00 1 0 00 1 1 01 0 0 11 0 1 01 1 0 01 1 1 1

Algoritmo di CarnotPer ogni riga i per cui f vale 1:

� per ogni variabile v la considero:

� negata se l'input è 0;� non negata altrimenti;

� fi è la congiunzione (∧) degli input:

f è la disgiunzione (∨) degli fi costruiti.

Quale formula calcola f?

(:a∧:b∧:c) ∨ (a ∧:b∧:c) ∨ (a ∧b ∧c )

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Valori ProposizionaliConnettivi e FormuleTavole di VeritàImplicazione

Logica Booleana

Dalla Tavola di Verità alla Formula.

a b c f0 0 0 10 0 1 00 1 0 00 1 1 01 0 0 11 0 1 01 1 0 01 1 1 1

Algoritmo di CarnotPer ogni riga i per cui f vale 1:

� per ogni variabile v la considero:

� negata se l'input è 0;� non negata altrimenti;

� fi è la congiunzione (∧) degli input:

f è la disgiunzione (∨) degli fi costruiti.

Quale formula calcola f?

(:a∧:b∧:c) ∨ (a ∧:b∧:c) ∨ (a ∧b ∧c )

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Logica Booleana

Dalla Tavola di Verità alla Formula.

a b c f0 0 0 10 0 1 00 1 0 00 1 1 01 0 0 11 0 1 01 1 0 01 1 1 1

Algoritmo di CarnotPer ogni riga i per cui f vale 1:

� per ogni variabile v la considero:

� negata se l'input è 0;� non negata altrimenti;

� fi è la congiunzione (∧) degli input:

f è la disgiunzione (∨) degli fi costruiti.

Quale formula calcola f?

(

:a

∧:b∧:c) ∨ (a ∧:b∧:c) ∨ (a ∧b ∧c )

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Logica Booleana

Dalla Tavola di Verità alla Formula.

a b c f0 0 0 10 0 1 00 1 0 00 1 1 01 0 0 11 0 1 01 1 0 01 1 1 1

Algoritmo di CarnotPer ogni riga i per cui f vale 1:

� per ogni variabile v la considero:

� negata se l'input è 0;� non negata altrimenti;

� fi è la congiunzione (∧) degli input:

f è la disgiunzione (∨) degli fi costruiti.

Quale formula calcola f?

(

:a

∧

:b

∧:c) ∨ (a ∧:b∧:c) ∨ (a ∧b ∧c )

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Dalla Tavola di Verità alla Formula.

a b c f0 0 0 10 0 1 00 1 0 00 1 1 01 0 0 11 0 1 01 1 0 01 1 1 1

Algoritmo di CarnotPer ogni riga i per cui f vale 1:

� per ogni variabile v la considero:

� negata se l'input è 0;� non negata altrimenti;

� fi è la congiunzione (∧) degli input:

f è la disgiunzione (∨) degli fi costruiti.

Quale formula calcola f?

(

:a

∧

:b

∧

:c

) ∨ (a ∧:b∧:c) ∨ (a ∧b ∧c )

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Logica Booleana

Dalla Tavola di Verità alla Formula.

a b c f0 0 0 10 0 1 00 1 0 00 1 1 01 0 0 11 0 1 01 1 0 01 1 1 1

Algoritmo di CarnotPer ogni riga i per cui f vale 1:

� per ogni variabile v la considero:

� negata se l'input è 0;� non negata altrimenti;

� fi è la congiunzione (∧) degli input:

f è la disgiunzione (∨) degli fi costruiti.

Quale formula calcola f?(:a∧:b∧:c)

∨ (a ∧:b∧:c) ∨ (a ∧b ∧c )

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Valori ProposizionaliConnettivi e FormuleTavole di VeritàImplicazione

Logica Booleana

Dalla Tavola di Verità alla Formula.

a b c f0 0 0 10 0 1 00 1 0 00 1 1 01 0 0 11 0 1 01 1 0 01 1 1 1

Algoritmo di CarnotPer ogni riga i per cui f vale 1:

� per ogni variabile v la considero:

� negata se l'input è 0;� non negata altrimenti;

� fi è la congiunzione (∧) degli input:

f è la disgiunzione (∨) degli fi costruiti.

Quale formula calcola f?(:a∧:b∧:c)

∨ (a ∧:b∧:c) ∨ (a ∧b ∧c )

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Logica Booleana

Dalla Tavola di Verità alla Formula.

a b c f0 0 0 10 0 1 00 1 0 00 1 1 01 0 0 11 0 1 01 1 0 01 1 1 1

Algoritmo di CarnotPer ogni riga i per cui f vale 1:

� per ogni variabile v la considero:

� negata se l'input è 0;� non negata altrimenti;

� fi è la congiunzione (∧) degli input:

f è la disgiunzione (∨) degli fi costruiti.

Quale formula calcola f?(:a∧:b∧:c)

∨ (

a

∧:b∧:c) ∨ (a ∧b ∧c )

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Logica Booleana

Dalla Tavola di Verità alla Formula.

a b c f0 0 0 10 0 1 00 1 0 00 1 1 01 0 0 11 0 1 01 1 0 01 1 1 1

Algoritmo di CarnotPer ogni riga i per cui f vale 1:

� per ogni variabile v la considero:

� negata se l'input è 0;� non negata altrimenti;

� fi è la congiunzione (∧) degli input:

f è la disgiunzione (∨) degli fi costruiti.

Quale formula calcola f?(:a∧:b∧:c)

∨ (

a

∧

:b

∧:c) ∨ (a ∧b ∧c )

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Logica Booleana

Dalla Tavola di Verità alla Formula.

a b c f0 0 0 10 0 1 00 1 0 00 1 1 01 0 0 11 0 1 01 1 0 01 1 1 1

Algoritmo di CarnotPer ogni riga i per cui f vale 1:

� per ogni variabile v la considero:

� negata se l'input è 0;� non negata altrimenti;

� fi è la congiunzione (∧) degli input:

f è la disgiunzione (∨) degli fi costruiti.

Quale formula calcola f?(:a∧:b∧:c)

∨ (

a

∧

:b

∧

:c

) ∨ (a ∧b ∧c )

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Logica Booleana

Dalla Tavola di Verità alla Formula.

a b c f0 0 0 10 0 1 00 1 0 00 1 1 01 0 0 11 0 1 01 1 0 01 1 1 1

Algoritmo di CarnotPer ogni riga i per cui f vale 1:

� per ogni variabile v la considero:

� negata se l'input è 0;� non negata altrimenti;

� fi è la congiunzione (∧) degli input:

f è la disgiunzione (∨) degli fi costruiti.

Quale formula calcola f?(:a∧:b∧:c)

∨

(a ∧:b∧:c)

∨ (a ∧b ∧c )

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Logica Booleana

Dalla Tavola di Verità alla Formula.

a b c f0 0 0 10 0 1 00 1 0 00 1 1 01 0 0 11 0 1 01 1 0 01 1 1 1

Algoritmo di CarnotPer ogni riga i per cui f vale 1:

� per ogni variabile v la considero:

� negata se l'input è 0;� non negata altrimenti;

� fi è la congiunzione (∧) degli input:

f è la disgiunzione (∨) degli fi costruiti.

Quale formula calcola f?(:a∧:b∧:c)

∨

(a ∧:b∧:c)

∨ (a ∧b ∧c )

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Logica Booleana

Dalla Tavola di Verità alla Formula.

a b c f0 0 0 10 0 1 00 1 0 00 1 1 01 0 0 11 0 1 01 1 0 01 1 1 1

Algoritmo di CarnotPer ogni riga i per cui f vale 1:

� per ogni variabile v la considero:

� negata se l'input è 0;� non negata altrimenti;

� fi è la congiunzione (∧) degli input:

f è la disgiunzione (∨) degli fi costruiti.

Quale formula calcola f?(:a∧:b∧:c)

∨

(a ∧:b∧:c)

∨ (

a

∧b ∧c )

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Logica Booleana

Dalla Tavola di Verità alla Formula.

a b c f0 0 0 10 0 1 00 1 0 00 1 1 01 0 0 11 0 1 01 1 0 01 1 1 1

Algoritmo di CarnotPer ogni riga i per cui f vale 1:

� per ogni variabile v la considero:

� negata se l'input è 0;� non negata altrimenti;

� fi è la congiunzione (∧) degli input:

f è la disgiunzione (∨) degli fi costruiti.

Quale formula calcola f?(:a∧:b∧:c)

∨

(a ∧:b∧:c)

∨ (

a

∧

b

∧c )

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Logica Booleana

Dalla Tavola di Verità alla Formula.

a b c f0 0 0 10 0 1 00 1 0 00 1 1 01 0 0 11 0 1 01 1 0 01 1 1 1

Algoritmo di CarnotPer ogni riga i per cui f vale 1:

� per ogni variabile v la considero:

� negata se l'input è 0;� non negata altrimenti;

� fi è la congiunzione (∧) degli input:

f è la disgiunzione (∨) degli fi costruiti.

Quale formula calcola f?(:a∧:b∧:c)

∨

(a ∧:b∧:c)

∨ (

a

∧

b

∧

c

)

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Valori ProposizionaliConnettivi e FormuleTavole di VeritàImplicazione

Logica Booleana

Dalla Tavola di Verità alla Formula.

a b c f0 0 0 10 0 1 00 1 0 00 1 1 01 0 0 11 0 1 01 1 0 01 1 1 1

Algoritmo di CarnotPer ogni riga i per cui f vale 1:

� per ogni variabile v la considero:

� negata se l'input è 0;� non negata altrimenti;

� fi è la congiunzione (∧) degli input:

f è la disgiunzione (∨) degli fi costruiti.

Quale formula calcola f?(:a∧:b∧:c)

∨

(a ∧:b∧:c)

∨

(a ∧b ∧c )

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Logica Booleana

Dalla Tavola di Verità alla Formula.

a b c f0 0 0 10 0 1 00 1 0 00 1 1 01 0 0 11 0 1 01 1 0 01 1 1 1

Algoritmo di CarnotPer ogni riga i per cui f vale 1:

� per ogni variabile v la considero:

� negata se l'input è 0;� non negata altrimenti;

� fi è la congiunzione (∧) degli input:

f è la disgiunzione (∨) degli fi costruiti.

Quale formula calcola f?(:a∧:b∧:c) ∨ (a ∧:b∧:c) ∨ (a ∧b ∧c )

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Valori ProposizionaliConnettivi e FormuleTavole di VeritàImplicazione

Logica Booleana

Dalla Tavola di Verità alla Formula.

a b c f0 0 0 10 0 1 00 1 0 00 1 1 01 0 0 11 0 1 01 1 0 01 1 1 1

Algoritmo di CarnotPer ogni riga i per cui f vale 1:

� per ogni variabile v la considero:

� negata se l'input è 0;� non negata altrimenti;

� fi è la congiunzione (∧) degli input:

f è la disgiunzione (∨) degli fi costruiti.

Quale formula calcola f?(:a∧:b∧:c) ∨ (a ∧:b∧:c) ∨ (a ∧b ∧c )

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Logica BooleanaCircuiti Logici Nozioni Generali

Circuiti Logici

Sono particolari rappresentazioni di formule booleane, tra-mite le seguenti porte logiche:

AND: OR: NOT:

Esempio di circuito.

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Logica BooleanaCircuiti Logici Nozioni Generali

Circuiti Logici

Sono particolari rappresentazioni di formule booleane, tra-mite le seguenti porte logiche:

AND: OR: NOT:

Esempio di circuito.

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c

ba

Logica BooleanaCircuiti Logici Nozioni Generali

Circuiti Logici

Sono particolari rappresentazioni di formule booleane, tra-mite le seguenti porte logiche:

AND: OR: NOT:

Esempio di circuito.

Walter Cazzola Logica Booleana e Circuiti Slide 10 of 12

∧

c

ba

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Circuiti Logici

Sono particolari rappresentazioni di formule booleane, tra-mite le seguenti porte logiche:

AND: OR: NOT:

Esempio di circuito.

Walter Cazzola Logica Booleana e Circuiti Slide 10 of 12

:

∧

c

ba

Logica BooleanaCircuiti Logici Nozioni Generali

Circuiti Logici

Sono particolari rappresentazioni di formule booleane, tra-mite le seguenti porte logiche:

AND: OR: NOT:

Esempio di circuito.

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:

∧

∨

c

ba

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Circuiti Logici

Sono particolari rappresentazioni di formule booleane, tra-mite le seguenti porte logiche:

AND: OR: NOT:

Esempio di circuito.

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:

∧

∨

c

ba

(a∧b) ∨ :c

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Circuiti Logici

Un altro esempio di circuito.

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c

ba

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Circuiti Logici

Un altro esempio di circuito.

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Che funzionecalcola?

c

ba

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Circuiti Logici

Un altro esempio di circuito.

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a∧b

:b

c

ba

Logica BooleanaCircuiti Logici Nozioni Generali

Circuiti Logici

Un altro esempio di circuito.

Walter Cazzola Logica Booleana e Circuiti Slide 11 of 12

:b∨c

:(a∧b)a∧b

:b

c

ba

Logica BooleanaCircuiti Logici Nozioni Generali

Circuiti Logici

Un altro esempio di circuito.

Walter Cazzola Logica Booleana e Circuiti Slide 11 of 12

:(a∧b)∧(:b∨c)

:b∨c

:(a∧b)a∧b

:b

c

ba

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Circuiti Logici

Tavola di Verità per :(a∧b)∧(:b∨c).

a b c

a∧b :(a∧b) :b :b∨c :(a∧b)∧(:b∨c)

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Circuiti Logici

Tavola di Verità per :(a∧b)∧(:b∨c).

a b c a∧b

:(a∧b) :b :b∨c :(a∧b)∧(:b∨c)

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Circuiti Logici

Tavola di Verità per :(a∧b)∧(:b∨c).

a b c a∧b :(a∧b)

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Circuiti Logici

Tavola di Verità per :(a∧b)∧(:b∨c).

a b c a∧b :(a∧b) :b

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Circuiti Logici

Tavola di Verità per :(a∧b)∧(:b∨c).

a b c a∧b :(a∧b) :b :b∨c

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Circuiti Logici

Tavola di Verità per :(a∧b)∧(:b∨c).

a b c a∧b :(a∧b) :b :b∨c :(a∧b)∧(:b∨c)0 0 0 0 1 1 1 10 0 1 0 1 1 1 10 1 0 0 1 0 0 00 1 1 0 1 0 1 11 0 0 0 1 1 1 11 0 1 0 1 1 1 11 1 0 1 0 0 0 01 1 1 1 0 0 1 0

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