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LOGICA

Cos’è la “ logica”? Il termine deriva dal greco !"#$%&, cioè scienza del pensiero (!o#"').

La logica formale si occupa delle forme di ragionamento, essa ne esamina le strutture per indagare la loro validità indipendentemente dal

loro significato.

Le radici della logica formale possono essere individuate nelle leggi e nei metodi dimostrativi elaborati dai filosofi e matematici greci

(600-200 a.C. circa) che per primi operarono una rigorosa indagine delle corrette forme di ragionamento.

La logica aristotelica

Aristotel e (384-322 a.C. circa) dichiarò che, benché la logica traesse le sue origini dalla matematica, doveva comunque esserne

considerata indipendente e preliminare a tutte le altre scienze. Le leggi della logica furono quindi codificate in una teoria separata dalla

matematica, anzi costituirono una vera e propria fondazione della matematica, perché l’unico modo di stabilire la verità di un enunciato

era una dimostrazione logica.

Ma “Non tutto può essere dimostrato, perché questo porterebbe ad un regresso infinito”( Metafisica). La verità della conclusione consegue necessariamente dalla verità delle premesse, la conclusione può essere falsa anche se è stata dedotta

con rigore logico. Ma come dimostrare la verità delle premesse?

La verità delle premesse deve essere dedotta dalla verità di altre premesse. Ma come dedurre la verità delle premesse delle premesse?

Il procedimento deduttivo non può continuare all’infinito, occorre arrivare a dei principi, propri delle singole scienze, che abbiano la

verità in se stessi e che possano quindi essere le premesse di tutte le dimostrazioni.

Aristotele rilevò l’importanza delle definizioni di cui ebbe una nozione moderna, sostenne la necessità di termini non definiti che

rappresentassero dei punti di partenza nella serie di definizioni e discusse i postulati, principi fondamentali accettabili per ogni singola

scienza. Gli Elementi di Euclide costituirono la prima realizzazione di questo modello.

Le opere di Aristotele ispirate alla logica furono riunite nel primo secolo d.C. nell’Organon , ‘Strumento’propedeutico a ogni scienza e

nella Metafi sica, ‘Oltre la Fisica’, in senso letterale: successiva all’opera Fisica.

L’Organon è costituito da sei libri, i più interessanti sono l’Interpretazione, in cui vengono introdotti i quantificatori e le modalità, e gli

Analitici Primi , che sviluppano la teoria del sillogismo. La Metafisica è costituita da quattordici libri, il più interessante, dal punto di

vista della logica è il quarto in cui vengono enunciati i principi della logica.

La scuola stoica La grande logica aristotelica non descrive in modo astratto il processo deduttivo, cosa che invece fu realizzata dalla scuola stoica il cui

fondatore fu Zenone nato intorno al 335 a.C. La personalità stoica più interessante fu Crisippo (280-205 circa) uno dei massimi

logici dell’antichità, creatore degli strumenti essenziali che usiamo ancora oggi. Gli stoici operarono una dettagliata analisi delle

proposizioni non atomiche, definirono i connettivi, gli assiomi e le regole, furono i primi ad esigere per ogni enunciato il suo essere

vero o fa lso , la logica classica si sviluppò sulla base di due soli valori di verità.

La distinzione fra la negazione di un’intera proposizione e la negazione dei termini fu un’altra conquista degli stoici.

La logica proposizionale è sostanzialmente la storia dei quattro connettivi: negazione, congiunzione, disgiunzione, implicazione.

I connettivi e i quantificatori ci permettono di interpretare i fatti, cioè le proposizioni.

La logica classica raggiunse un rigore così alto da sembrare insuperabile e rimase l’unica logica praticamente fino alla metà

dell’ottocento.

Durante il medioevo, accanto alla produzione di opere notevoli di logica che indirizzarono il pensiero in senso razionalistico, vi fu la

tendenza ad un’eccessiva schematizzazione, a un vuoto formalismo, alla ricerca della sottigliezza, spesso inutile, ‘L’effimera sottigliezza scolastica’ (Kant).

A questa tendenza si reagì durante il cinquecento e il seicento da una parte disinteressandosi al formalismo logico, dall’altra cercando di

sviluppare l’inferenza induttiva trascurata da Aristotele.

Leibniz Nel seicento assume particolare rilievo il lavoro di Leibniz (1646-1716) che si può considerare il vero precursore della logica

moderna.

Egli non solo ritenne utile la logica classica per le dimostrazioni, ma non la considerò sterile perché dava la possibilità di ”inventare” e

immaginò che si potesse realizzare una scienza astratta del ragionamento in grado di operare come l’algebra, ma applicabile al

ragionamento in tutti i campi.

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Secondo Leibniz questa logica simbolica, che avrebbe obbedito alle leggi della logica formale, avrebbe fornito un linguaggio simbolico

universale capace di esprimere il pensiero senza ambiguità e di rendere più semplici le deduzioni.

Per elaborare tale linguaggio simbolico Leibniz, inizialmente, pensò di associare ad ogni concetto primitivo un numero primo e un

prodotto fra numeri ai concetti composti, in seguito di associare ai concetti dei simboli. Ma la vastità dei concetti primitivi e la

complessità delle combinazioni, non certo esprimibile solo tramite la congiunzione, l’unica operazione usata, non gli permisero di

elaborare una logica sostanzialmente nuova.

Nessuno prestò attenzione al lavoro di Leibniz che fu riscoperto solo nell’ottocento.

Intorno alla metà dell’ottocento avvenne la svolta che avrebbe impostato la logica su basi nuove.

De Morgan In questo periodo De Morgan (1806 – 1871) produsse degli interessanti lavori di logica in cui ampliò e perfezionò la sillogistica

tradizionale. Le parti più significative del suo lavoro, che lo staccano dalla tradizione, furono la quantificazione dei termini nel processo

deduttivo e l’avvio della logica delle relazioni.

De Morgan è noto per la legge di dualità: per ogni proposizione che comporta l’addizione e la moltiplicazione logica, esiste una

proposizione nella quale addizione e moltiplicazione sono scambiati:

il complementare dell’unione dei due insiemi A e B è l’intersezione dei complementari di A e B, e il complementare dell’intersezione dei

due insiemi A e B è l’unione dei complementari di A e B.

In formule per le proposizioni qpqp ¬!¬="¬ )( e qpqp ¬!¬="¬ )( .

De Morgan è stato considerato, per alcuni dei risultati raggiunti, un precursore di Boole, anche se egli non seppe realizzare prospettive di

un calcolo più generale e moderno.

Boole L’aspetto rivoluzionario dell’opera di Boole (1815-1864) consiste nell’affermazione della natura formale del calcolo in generale e, in

particolare, della logica che si rivela connessa con la teoria del linguaggio.

Boole, convinto che una simbolizzazione del linguaggio avrebbe reso più rigorosa la logica, si dedicò alla creazione di un sistema logico-

algebrico. Alcune indicazioni ci possono dare un’idea di questa algebrizzazione della logica.

L’insieme universo è indicato con il numero 1 e l’insieme vuoto con lo 0; l’intersezione (detta elezione) fra gli insiemi x e y è indicata

con xy; l’unione con x+y; il complementare di x è 1-x; il principio del terzo escluso viene enunciato nella forma x+(1-x)=1; il calcolo

degli insiemi pùò essere interpretato come calcolo delle proposizioni: x=1 significa che la proposizione è vera, x=0 che la proposizione è

falsa, 1-x è la negazione di x.

L’aderenza alla generalità del calcolo algebrico, che per certi versi costituisce un limite, permise a Boole di superare, per la prima volta,

il modello sillogistico aristotelico che in questo modo risulta inserito in uno schema inferenziale più ampio.

Boole con il suo calcolo proposizionale e con la nozione di valore di verità delle proposizioni arriva a scrivere le prime tavole di verità

che costituiscono il punto di partenza della logica non algebrica degli anni successivi.

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LOGICA

Una proposizione è costituita da soggetto e predicato.

Una proposizione in cui il soggetto è una variabile è una proposizione aperta o predicato. Non esiste il valore di verità di

un predicato. Per attribuire un valore di verità al predicato si deve chiudere la proposizione aperta:

! sostituendo a ciascuna variabile un elemento dell’universo dei soggetti,

oppure

! quantificando le variabili con i quantificatori universale ed esistenziale.

In questo modo il predicato diventa una proposizione chiusa o enunciato.

Le singole proposizioni si possono combinare fra loro tramite i connettivi logici.

Il valore di verità delle proposizioni composte dipende dal valore di verità delle proposizioni componenti secondo le

seguenti regole o tavole di verità.

CALCOLO DELLE PROPOSIZIONI

I CONNETTIVI LOGICI ! Completare le seguenti tavole di verità:

Negazione:

! Congiunzione: qp !

! Disgiunzione alternativa: qp !

! Disgiunzione esclusiva: qp <!>

! Leggi di De Morgan

Verificare che

qpaequivaleqp ¬!¬"¬ )(

Verificare che

qpaequivaleqp ¬!¬"¬ )(

p

p¬

p

q

qp !

qp !

qp <!>

p

q

qp !

)( qp !¬

p¬

q¬

qp ¬!¬

p

q

qp !

)( qp !¬

p¬

q¬

qp ¬!¬

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REGOLE DI INFERENZA In ogni tipo di argomentazione logica si fa uso di regole di deduzione. Il nucleo del metodo di dimostrazione sono i principi

logici.

TAUTOLOGIA: Enunciato vero per qualunque valore di verità delle proposizioni che lo compongono. Verificare che i seguenti enunciati sono delle tautologie

1. PRINCIPIO DI IDENTITÀ: p è p.

2. PRINCIPIO DE L TE RZO E SCLUSO : ‘Ter tium non datur’ : p o non-p . “Non è possibile che ci siano alternative ad una contraddizione, ed è necessario affermarne una e negare l’altra”(Metafisica).

In formule |= )( pp ¬! . Negli Analitici Primi Aristotele enuncia due principi fondamentali della conseguenza, la transitività e la contrapposizione.

.

3. PRINCIPIO DI NO N CO NTRA DDIZIO NE :: : p non è non-p

”Il più fermo di tutti i principi è che è impossibile per lo stesso attributo appartenere e non appartenere allo stesso soggetto dallo

stesso punto di vista”(Metafisica).

Formalmente, in notazione moderna, |= )( pp ¬!¬ .

.

IMPLICAZIONE :

qp! : vale q se vale p

Verificare che )( qpaequivaleqp ¬!¬"

(es.:”Un triangolo equilatero è isoscele” equivale a “Non esiste un triangolo che sia equilatero e non sia isoscele”)

E quindi qpaequivaleqp ¬!"¬ )(

(es.:”Non è vero che un multiplo di 2 è multiplo di 4” equivale a “ Esiste un numero multiplo di 2 e non multiplo di 4”)

Condizione sufficiente: p è condizione sufficiente per q .

Condizione necessaria: q è condizione necessaria per p.

Quindi la negazione di qp! è qp ¬! .

p

p¬

pp ¬!

p

p¬

pp ¬!

)( pp ¬!¬

p

q

qp!

q¬

qp ¬!

)( qp ¬!¬

)( qp!¬

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! Doppia implicazione o equivalenza: qp!

)()( pqqpaequivaleqp !"!# e quindi a !¬!¬ )( qp )( pq ¬!¬

1. PRINCIPIO DI CONTRAPPOSIZIONE : Se dato p è necessario q, allora dato non-q è necessario non-p.

In forma di regole pq

qp

¬!¬

!

Verificare che pqaequivaleqp ¬!¬!

Da cui la reductio ad absurdum.

Chiamiamo l’implicazione qp! diretta allora pq ¬!¬ è detta contronominale o controinversa;

pq! è detta inversa

qp ¬!¬ è detta contraria.

p

q

qp!

pq!

)()( pqqp !"!

)()( pqqp ¬!¬!¬!¬

p

q

p¬

q¬

qp!

pq ¬!¬

diretta

inversa

contraria

contronominale

p

q

qp!

pq!

qp ¬!¬

pq ¬!¬

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qp! i n v e r s a pq!

c

o e

n l

t a

r n

o i

n m

o

n m

o i

r n

t a

n l

o e

c

qp ¬!¬

c o

n

t

r a

r

i a

i n v e r s a

c o

n

t

r a

r

i a

pq ¬!¬

2. TRANSITIVITA’ DELL’IMPLICAZIONE Se dato p è necessario q e dato q è necessario r, allora dato p è necessario r.

In forma di regole rp

rqqp

!

!!

Verificare che l’enunciato è una tautologia

p q r qp! rq! ()( !" qp )rq! rp! ()( !" qp )() rprq !!!

3. MODUS PONENS : q

pqp! : schema per aggiungere una proposizione vera ad altre proposizioni già dimostrate

Verificare che l’enunciato è una tautologia

p

q

qp!

pqp !" )(

qpqp !"! ))((

Se p è vera e si vuole dimostrare che q è vera, si dimostra che qp! .

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4. MODUS TOLLENS : p

qqp

¬

¬! : schema per rimuovere una proposizione dall’insieme delle proposizioni vere.

Verificare che l’enunciato è una tautologia

p

q

p¬

q¬

qp!

qqp ¬!" )(

pqqp ¬!¬"! ))((

Se in un teorema vero si nega la tesi necessariamente è negata l’ipotesi.

QUANTIFICATORI

Nel discorso predicativo sono presenti le variabili e diventa possibile quantificarle: tutti, nessuno, alcuni.

Il primo studio sistematico dei quantificatori risale ad Aristotele. Una seconda fase dello studio dei quantificatori si ha nella

scolastica e infine nell’età moderna in cui si opera una trattazione formalizzata e un ampliamento, che comporta una

notevole complessità, la quantificazione viene riferita a predicati con più argomenti.

I simboli !" , si ispirano a All e Exists.

Alcune proprietà logiche dei quantificatori.

“Se ogni A è B, allora qualche A è B. Ad esempio, se ogni piacere è un bene, allora qualche piacere è bene” (Analitici

Primi)

Formalmente:

)()( xPxxPx !"# cioè !"# .

Altre relazioni sono discusse da Aristotele nell’Interpretazione.

‘Sapere tutto’ significa ‘Non ignorare qualcosa’, ‘Sapere qualcosa’ significa ‘Non ignorare tutto’.

Quindi negare ‘Si sa tutto’ significa affermare ‘Non si sa qualcosa’.

Le relazioni si possono sintetizzare nel quadrato di opposizioni.

Schema del quadrato logico.

Aristotele sviluppò a fondo l’analisi delle proposizioni semplici suddivise in quattro tipi

fondamentali, che i logici medievali indicarono con quattro lettere (A e I da AdfIrmo, E e

O da nEgO):

A, proposizione universale affermativa: “Tutti gli allievi sono studiosi”;

E, universale negativa: “Nessun allievo è studioso”;

I, particolare affermativa: “Alcuni allievi sono studiosi”;

O, particolare negativa: “Non tutti gli allievi sono studiosi”.

Affermativo

Negativo

Universale

Tutti

)(xPx!

A

Nessuno

)(xPx ¬!

E

Particolare

Qualcuno

)(xPx!

I

Non tutti

)(xPx ¬!

O

Le espressioni contrarie sono contenute nelle righe:

alle lettere vengono sostituite le loro negazioni.

Le espressioni contraddittorie sono contenute nelle diagonali:

alle formule vengono sostituite le loro negazioni.

Le espressioni duali sono contenute nelle colonne:

si scambiano i connettivi.

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Fra questi tipi di proposizioni esistono delle relazioni, la A e la O, la E e la I sono contraddittorie (Aristotele), la negazione di una

proposizione comporta l’affermazione della contraddittoria: la negazione della A implica la O, la negazione della E la I.

La A implica la I (e la E implica la O), ma non viceversa; queste proposizioni sono duali, gli scolastici usavano il termine subalterne.

La A e la E, la I e la O sono contrarie (Aristotele); la A e la E non possono essere contemporaneamente vere, ma possono essere

contemporaneamente false, la I e la O possono essere contemporaneamente vere, ma possono essere contemporaneamente false.

Questa teoria funge da premessa alla logica deduttiva il cui scopo è la dettagliata analisi dei procedimenti di inferenza di un giudizio ad

un altro, cioè la corretta costruzione di un enunciato vero a partire da premesse vere.

Negazione dei quantificatori

! )())(( xPxxPx ¬!"#¬

! )())(( xPxxPx ¬!"#¬

questa regola, insieme all’equivalenza qpqp ¬!"#¬ )( , fa comprendere il ruolo del controesempio per

dimostrare che un teorema è falso:

si vuole dimostrare che )())( xQxPx !" è falso, quindi ))())(( xQxPx !"¬ è vero. E’ sufficiente trovare un x

tale che P(x) sia vero e Q(x) falso.

Esercizi

Negazione

1. Scrivere in simboli: “Ogni x è un grande filosofo”

Scrivere la negazione dell’affermazione precedente: ¬((x, P(x)) ) (*x), ¬ P(x)

2. Scrivere in simboli: “Esiste un grande filosofo” Scrivere la negazione dell’affermazione precedente.

3. Qual è la negazione di “Tutti i gatti sono neri”? • Nessun gatto è nero • Tutti i gatti non sono neri • Non tutti i gatti sono neri • Esiste almeno un gatto nero • Esiste almeno un gatto non nero.

Scrivere in simboli tutte le affermazioni precedenti. 4. Qual è la negazione di “Almeno uno studente di questa classe è più alto di 1,80m”? 5. L’affermazione “Ogni equazione di secondo grado ha almeno una radice reale” è vera o falsa? Scrivere la sua

negazione. 6. Qual è la negazione di “Esiste almeno una corda della circonferenza passante per il centro della circonferenza”:

• Nessuna corda passa per il centro della circonferenza • Tutte le corde passano per il centro della circonferenza • Una sola corda passa per il centro della circonferenza

7. Sia A l’insieme degli studenti della 3°. Sia. • p(x): “x è uno sportivo” • q(x): “x gioca a golf” • r(x): “x è uno studioso”

Rappresentare in forma simbolica le seguenti proposizioni: a) tutti gli studenti sono sportivi b) nessuno studente gioca a golf c) qualche studente è studioso d) qualche studente non è sportivo

Date le seguenti scritture simboliche, scrivere le proposizioni corrispondenti in linguaggio naturale e le loro negazioni in forma simbolica.

• (x+A, r(x),q(x)

• *x+A, ¬p(x)

• (x+A, ¬r(x)

• (x+A, q(x)-p(x)

Implicazione

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8. Scrivere in simboli le seguenti affermazioni: • Condizione sufficiente perché un poligono sia inscrittibile in una circonferenza è che sia regolare • Tutti i poligoni regolari sono inscrittibili in una circonferenza • Dato un poligono, essere inscrittibile in una circonferenza è necessario per essere regolare • Condizione necessaria affinché un intero sia divisibile per 9 è che sia divisibile per 3 • Essere divisibile per 3 è condizione necessaria per essere divisibile per 9 • Essere divisibile per 9 è condizione sufficiente per essere divisibile per 3

9. Scrivere in simboli la seguente affermazione: “Tutti i triangoli equilateri sono isosceli e acutangoli”. Scrivere la negazione dell’affermazione precedente. Scrivere poi l’espressione contronominale

10. Scrivere l’espressione contronominale dell’affermazione: “Se a e b, due interi positivi, hanno prodotto dispari, allora a e b sono entrambi dispari”.

11. Enunciare una condizione sufficiente affinché un intero n sia divisibile per 4. La condizione è anche necessaria? 12. Scrivere una condizione necessaria ma non sufficiente affinché un numero intero positivo sia divisibile per 6. 13. Scrivere in simboli le seguenti proposizioni, poi la loro negazione:

• Esiste almeno un numero naturale multiplo di 5 e di 3 • Nessun parallelogramma ha cinque lati.

14. Scrivere in simboli le seguenti proposizioni, poi la loro negazione, infine la proposizione contronominale: • Tutti i quadrati sono rettangoli • I rombi hanno i lati uguali e le diagonali perpendicolari.