Lo stimatore per quoziente è asintoticamente corretto. Per la definizione di stimatore asintoticamente corretto, formula (2.15) pg. 33.

XCn

fXC 22 1ˆ

qq YvXCYB ˆˆˆ 22

Campione casuale stratificato proporzionale

nh/n = Nh/N =Wh

nh= n* Nh/N = n*Wh

Campioni casuali stratificati con allocazione ottimale.

In questo caso si vuole avere un tasso di campionamento diversificato per ogni strato. In particolare si vuole incrementare la numerosità negli strati ad elevata variabilità, diminuirla dove invece è meno elevata al fine di minimizzare la var(yst).

Il minimo di var(yst) si ottiene quando i valori di fh sono dati da:

fh=nh/Nh=Wh*Sh/Wh*Sh,

nh= n* Wh*Sh/Wh*Sh

)ˆˆ2(1

)ˆ( 2222hxhhxyhhy

h

h

hhqs sRsRsn

fNYv

(additivo)

(moltiplicativo)

Il provveditorato di una data città vuole valutare il totale degli studenti delle scuole superiori che frequentano le piscine comunali nelle due ore settimanali di educazione fisica. Sapendo che nella città sono presenti 30 scuole superiori, per un totale di 15674 studenti, si estrae con probabilità costante un campione SSR di 4 scuole, ottenendo i seguenti risultati:

Scuole Numero studenti Studenti frequentanti le piscine

1 540 302

2 458 221

3 420 246

4 638 326

a) Stimare il totale degli studenti che frequentano le piscine comunali nelle ore di educazione fisica.

b) Proporre una strategia alternativa e indicarne le condizione di applicazione.

c) Confrontare le strategie e dire quale risulta più efficiente.

Esercizio 1

c) Confrontando gli MSE dei due stimatori si osserva che lo stimatore per quoziente è più efficiente

684,8754

Mse=

93054,19527 < 460248,8

Soluzione esercizio 1

a) Stimatore corretto (formula 4.29): , 8212,5ˆ GRY con

4

1. 1095

iiy ;

b) Poiché M0 risulta noto, uno stimatore alternativo potrebbe essere lo stimatore per quoziente,

utilizzando come variabile ausiliaria il numero di studenti; (formula 6.49): 78347,77723ˆ qGRY

con

4

1

2056i

iM e 90,53258754ˆ R .

460248,8ˆ GRYv con s21=2360,25; 92369,32ˆ qGRYv

Un'azienda produttrice di integratori alimentari desidera valutare la spesa totale mensile relativa alla propria tipologia di prodotti in una piccola città. Allo scopo si estrae un campione SSR di n=11 individui di età 30-50 anni e, per ciascuno di essi, viene rilevata la spesa totale mensile per generi alimentari e la spesa totale per integratori, ottenendo i seguenti risultati: Individui 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Spesa per al. (in migl.) 1200 880 520 1240 660 800 400 620 740 510 300 Spesa per int. (in migl.) 150 120 85 200 95 110 65 90 105 80 20 Sapendo che la dimensione della popolazione di età 30-50 è di 2560 unità ed il totale della spesa mensile per alimentari è pari a 250000 (migl.lire): a) si stimi la spesa totale mensile per integratori, utilizzando i due stimatori alternativi che sfruttano

le informazioni sulla variabile ausiliaria; b) in base ai risultati campionari si dica, anche approssimativamente, quale dei due stimatori è

preferibile e si discutano le condizioni di tale preferibilità.

Esercizio 2

Soluzione esercizio 2

Esercizio 3

nh3212

650

244,4920661

14045,60764

960,78820,857697

10067,18

Soluzione esercizio 3

Soluzione esercizio 4

Soluzione esercizio 4

Soluzione Esercizio 4

Soluzione Esercizio 4

Esercizio 5

Un proprietario agricolo vuole prevedere, con la maggiore accuratezzapossibile, la produzione dell'anno corrente di un terreno di 1000 ettari.Per i primi 10 appezzamenti sperimentali di un ettaro ciascuno ha giàottenuto la produzione nell'anno in corso, misurata in numero di piantee ha conservato, inoltre, i dati relativi alla produzione di taliappezzamenti nell'anno passato. I dati sulla produzione dei 10appezzamenti sono riportati nella seguente tabella

Sapendo che la produzione totale dell'anno passato è stata di 21000piante e sapendo che nella teoria del campionamento da popolazionifinite sono disponibili due stimatori alternativi che sfruttano leinformazioni su una variabile ausiliaria,1. si stimi il valore della produzione totale dell'anno in corsoutilizzando i due stimatori;2. si stimi la varianza dei due stimatori;3. sulla base dei risultati ottenuti si dica quale dei due stimatori èpreferibile e si discutano le condizioni in base alle quali talestimatore è preferibile all'altro.

Soluzione Esercizio 5

3. Lo stimatore per quoziente va utilizzato quando esiste una dipendenza lineare rappresentabile da una retta uscente dall’origine; se la dipendenza è lineare ma non rappresentabile da una retta uscente dall’origine si usa lo stimatore per regressione. E’ conveniente, quindi, disegnare la nuvola di punti e valutare la dipendenza.

La direzione generale di un istituto bancario a diffusione nazionale desidera valutare l'opinione dei propri dipendenti in merito all'apertura degli sportelli nella mattina del sabato; decide quindi di selezionare casualmente 32 agenzie delle 121 presenti sul territorio e ripartite in macrozone come riportato nella seguente tabella:

Macrozone Nord Centro Sud Isole

Totale agenzie 60 34 19 8

Nell’ipotesi di intervistare tutti i dipendenti delle 32 agenzie scelte, la rilevazione ha fornito la seguente proporzione di favorevoli all'apertura degli sportelli di sabato mattina:

Macrozone Nord Centro Sud Isole

Prop. favorevoli0,12 0,11 0,08 0,07

a) Si definisca il piano di campionamento e si effettui l'allocazione più opportuna per il campione.

b) Si stimi la proporzione di dipendenti favorevoli all'apertura straordinaria del sabato mattina.

c) Si dica con quali criteri possono essere state definite le stime delle percentuali di favorevoli nelle macrozone.

Esercizio 6

a) E’ un campionamento stratificato di grappoli. Non avendo alcuna informazione si suppone di effettuare l’allocazione proporzionale. Essendo W1=0.496, W2=0.281, W3=0.157, W4=0.066, le numerosità campionarie di strato risultano n1=16, n2=9, n3=5, n4=2.

b) pST=0,1076, formula 5.14. c) Trattandosi di una stratificazione di grappoli (agenzie), la stima della proporzione di favorevoli

nei singoli strati può essere calcolata con hh n

hi

n

hih Map11

in caso di grappoli di

dimensione variabile (vale a dire agenzie con un numero differente di dipendenti) oppure da

hci

hih npph

se i grappoli sono di dimensione costante, pari a M (vedi libro par. 5.6).

Soluzione esercizio 6

Allo scopo di stimare l'ammontare mensile delle multe per infrazione al codice della strada, l'amministrazione di una certa provincia italiana ha deciso di effettuare una indagine campionaria scegliendo casualmente 40 dei suoi comuni.Nell'ipotesi che i comuni siano stati ripartiti in tre strati in funzione della lorodimensione demografica e disponendo delle seguenti informazioni:

1. si effettui l'allocazione che si ritiene più opportuna;2. si stimi l'ammontare mensile delle multe per l'intera provincia mettendo a confronto le due strategie suggerite dalle informazioni date;

Esercizio 7

Soluzione esercizio 7

Soluzione esercizio 7

c) In alternativa allo stimatore per quoziente, si può utilizzare lo stimatore per regressione combinato, ottenendo i seguenti risultati:

In questo caso, risulta evidente il guadagno in termini di efficienza.