ll Sole come prototipo di una stella.

La luminosità bolometrica del Sole si calcola a partire dal flusso bolometrico, detto costante solare

da cui

Il raggio del Sole R si calcola a partire dal suo diametro angolare, che è di 32', e dalla distanza Terra-Sole. Risulta

Dalla luminosità e dal raggio solare, utilizzando la legge di Stefan-Boltzmann, possiamo calcolare la temperatura efficace: Te = 5.80 103 K Lo spettro continuo del Sole è in effetti simile a quello di un corpo nero di temperatura Te

La massa del Sole può essere calcolata semplicemente a partire dalla distanza Terra-Sole (AU) e dalla durata del periodo P di rivoluzione della Terra (terza legge di Kepler):

La densità media del Sole risulta

Una stella come il Sole non crolla su se stessa perchè il gas di cui è formata è caldo, e quindi esercita una pressione che contrasta la forza di gravità. Se così non fosse, la stella

cadrebbe su se stessa in un tempo dell'ordine del suo tempo dinamico tff.

Questo è uguale al tempo necessario ad un elemento di massa fermo alla superficie (a r = R) per cadere fino al centro nel caso ipotetico in cui la massa della stella alla sua superficie (Ms) sia concentrata al centro; si dimostra che è:

ove v si ricava dalla conservazione del’energia “durante la caduta” dell’elemento di massa e risulta essere, facilmente:

(il calcolo potrà essere fatto dopo aver svolto la teoria dell’integrazione)

Il tempo dinamico del Sole risulta di circa 1800 s! Ovviamente le fasi di avvio della formazione stellare, a partire dalla nube molecolare sono dettate dal tempo dinamico che è molto superiore a quello appena calcolato per il Sole.

Sappiamo che il Sole esiste da circa 4.5 miliardi di anni con caratteristiche fisiche pressoché immutate quindi è necessario trovare ciò che impedisce il suo crollo dinamico, in altre parole ciò che spiega l’equilibrio idrostatico del Sole.

decisamente poco!

Come vedremo tra breve il teorema del viriale ci spigherà come un sistema autogravitante di particelle che irraggia energia deve contrarsi e riscaldarsi (collasso graitazionale), fornendo così la possibilità di spiegare l’emissione osservata d’energia a spese della sua energia gravitazionale in continua variazione durante la continua contrazione. Tale contrazione comandata dal viriale non ha più come tempo caratteristico quello dinamico, ma quello termodinamico di Kelvin-Helmholtz che si calcola semplicemente dividendo la luminosità bolometrica del Sole per l’energia totale resa disponibile dalla contrazione allo irraggiamento: Risulta:

Il teorema del viriale ci dice, come vedremo, che ci deve essere una fonte d’energia che non sia il collasso gravitazionale.

Per un qualsiasi sistema isolato di particelle autogravitanti vale il Teorema del Viriale nella forma

2

22 K

d IE U

dt

( in astrofisica l'energia di legame di un corpo celeste è l'energia necessaria ad espandere il materiale che lo compone all'infinito: tale energia è data dalla interazione gravitazionale, prende il nome di energia di legame gravitazionale. Essa è pari all'opposto dell'energia potenziale gravitazionale, considerando il sistema come un insieme di piccole particelle)

dove Ek = energia cinetica totale = estesa a tutte le particelle del sistema,

energia potenziale gravitazionale, negativa ( = 0 per )

I è il momento di inerzia del sistema.

21

2K i ii

E mv

U r

Le fasi iniziali del processo di formazione stellare sono sotto il controllo dei tempi scala meccanici del collasso gravitazionale ed il sistema è ben lontano dalle condizioni di quasi stazionarietà (quasi equilibrio) che abbiamo definito essere caratteristiche di una struttura stellare. Al progredire della contrazione l'innalzamento della temperatura e della pressione finiscono con il favorire fenomeni di ionizzazione, cresce l'opacità radiativa, l'energia guadagnata nella contrazione viene ceduta al gas, innalzandone temperatura e pressione, ed i tempi scala passano da tempi scala meccanici a tempi scala termodinamici. Le strutture raggiungono così condizioni di quasi equilibrio, in cui

2

20

d I

dt

e le strutture stesse restano sotto il controllo del viriale nella forma

2 0KE U

Da questo momento potremo dire di essere in presenza di una struttura stellare, struttura che rimarrà sotto il controllo del viriale finché non si giunga ad una eventuale fase finale esplosiva.

A rigore è il teorema del viriale per un gas monoatomico non relativistico

Il viriale fornisce in forma quantitativa una ovvia condizione di equilibrio per le strutture. L'equilibrio

tra le forze di gravità e quelle di pressione richiede infatti che all'aumentare della gravità (al

decrescere di U, vale a dire U è più negativa) aumenti la temperatura per aumentare la pressione.

a causa dell'irraggiamento dalla superficie (e anche per emissione di neutrini dal core*) il sistema perde continuamente energia,

se tale perdita non è bilanciata da una qualche sorgente interna di energia (quali le reazioni nucleari) la temperatura tenderebbe a decrescere, ma

totΔE < 0

Per il secondo principio della termodinamica il sistema autogravitante deve irraggiare energia per tendere all’equilibrio termodinamico con l’ambiente circostante (che si trova tipicamente alla temperatura di qualche K)

Linee generali di evoluzione di un sistema autogravitante:

* Solo quando si saranno instaurati i bruciamenti nucleari nel core

totΔE < 0 kΔE +ΔU <0 k k2E +U=0 2ΔE = - ΔU

k k kΔE ( - 2ΔE ) < 0 ΔE 0 innalzamento temperatura e pressione

1 1( ΔU ) + ΔU < 0 ΔU < 0 ΔU < 0

2 2contrazione della struttura

La storia di una stella è la storia di una progressiva contrazione, in condizioni di quasi equilibrio, di una sfera di gas perfetto autogravitante e del contemporaneo continuo innalzamento del contenuto termico della struttura. In tal senso una qualunque stella altro non è che una macchina naturale per innalzare la temperatura di un agglomerato di particelle.

Se la pressione è controllata dalla temperatura, la stella deve allora contrarsi su tempi

scala termodinamici (o di Kelvin-Helmholtz). Il viriale ci dice che, indicata con L * la luminosità bolometrica della stella:

ma

1

2totE U

metà dell'energia generata nella contrazione deve andare ad innalzare il contenuto termico della struttura, mentre l'altra metà supplisce alle perdite per radiazione

totE L t1 1

2 2tot

UE L t U L

t

Nel corso della contrazione possono intervenire, a bloccare la contrazione, e a rendere stabile la struttura, due possibili tipi di fenomeni, a seconda dei valori di temperatura-densità che vengono raggiunti:

• gli elettroni degenerano, così che la pressione non dipende più dalla temperatura. La contrazione è arrestata dalla pressione degli elettroni degeneri

• vengono raggiunte temperature alle quali si innescano e diventano efficienti le reazioni nucleari.

Sistemi di massa sufficientemente piccola, M < 0.08Mo, degenerano ancor prima di raggiungere le temperature di fusione dell'idrogeno. Non sono considerate stelle. Sono dette nane brune.

Stelle di massa leggermente superiore innescano l'idrogeno ma degenerano prima di innalzare le temperature sino a innescare la combustione dell'elio.

Stelle più massicce degenerano prima di innescare la combustione del carbonio. In stelle ancora più massicce la contrazione è destinata a proseguire, innescando tutte le combustioni esotermiche, sino a raggiungere le ultime fasi esplosive.

Quando nelle regioni centrali di una struttura inizia a divenire efficiente una sorgente nucleare di energia, l'energia così prodotta va a supplire alle perdite per radiazione, rallentando la contrazione. La contrazione deve in ogni modo continuare (innalzando la temperatura) sino a quando l'energia nucleare prodotta giunge a bilanciare esattamente quella persa dalla struttura. In tali condizioni la contrazione guidata dalle perdite di energia si arresta e, se si trascurassero le variazioni di composizione chimica indotte dalle reazioni nucleari, la struttura risulterebbe indefinitamente stabile.

In realtà le reazioni di fusione nucleare, aggregando due o più nuclei (il protone è un nucleo dell’idrogeno 1H ) in un unico prodotto di reazione, diminuiscono il numero di particelle. Diminuisce quindi la pressione, rompendo l'equilibrio idrostatico, e la stella deve quindi contrarre, ora però su tempi scala nucleari. L'aumento di temperatura guidato da tale contrazione (viriale) dovrà anche essere in grado di mantenere la produzione di energia ai livelli necessari a fronte del progressivo consumo del combustibile nucleare disponibile. L'energia irraggiata da una stella NON è determinata dall'efficienza delle reazioni nucleari.

E’ vero il viceversa: l'efficienza delle reazioni è regolata dalla necessità di bilanciare il preesistente fabbisogno energetico della struttura. Ricordiamo sempre che l’irraggiamento superficiale tende, fissata la struttura della stella, a riportare l’equilibrio con l’ambiente della stella, ed è, sostanzialmente, a questo che si adeguano le reazioni nucleari.

….la storia di una stella è la storia di una continua contrazione, di volta in volta rallentata (o pressoché fermata anche per miliardi di anni) dall'innesco di reazioni nucleari, con una continua alternanza di tempi scala termodinamici e nucleari.

Ricordando come la temperatura di efficienza delle reazioni nucleari sia regolata dalla repulsione coulombiana*, è facile prevedere che, al passare del tempo ed all'aumentare della temperatura, nelle regioni centrali di una stella inizierà prima la combustione dell'idrogeno, seguita dall'elio e in successione dalla combustione degli elementi più pesanti prodotti delle precedenti combustioni.

Tale alternanza si interrompe definitivamente se la degenerazione elettronica interviene a bloccare la contrazione.

Ove ciò non avvenga (stelle massicce) dobbiamo prevedere che una struttura stellare quasi statica giunga fatalmente al suo termine quando nelle zone centrali si sia formato un nucleo di ferro.

Quindi….

*la probabilità che due cariche elettriche superino la barriera coulombiana è in relazione inversa al prodotto delle cariche (e ad altri fattori )

Th=termica, moto caotico particelle

Abbiamo rivisto quanto detto in precedenza considerando la stella come una sfera autogravitante di gas perfetto monoatomico

calcolo di un integrale

Pressione media in una stella

densità

Temperatura caratteristica di una stella

La degenerazione degli elettroni

In condizioni normali la pressione del gas è una funzione che dipende essenzialmente da due parametri (temperatura e densità del gas) . Nel caso di degenerazione invece, per definizione di degenerazione, il gas tende a seguire una differente distribuzione statistica (non più cioè quella dell'equilibrio termodinamico detta di Maxwell-Boltzmann) che prende il nome di distribuzione di Fermi-Dirac . In questa distribuzione rientra lo studio di un gas composto di soli elettroni e la cui pressione, in questo caso sarà una funzione che dipenderà unicamente dalla densità stessa del gas.

All'interno di una stella collassata, come una nana bianca, la densità del nucleo è talmente elevata che la materia si trova a condizioni diverse da quelle che conosciamo. Alle temperature elevate dell'interno stellare, i nuclei sono ionizzati, ovvero gli elettroni non sono più legati ad essi, e sono immersi, quindi, in un "brodo" di elettroni liberi. A densità elevate, quali sono quelle delle nane bianche, la distanza tra elettroni è talmente piccola * da far sì che tutti i livelli di energia accessibili siano occupati fino al valore massimo (energia di Fermi) previsto dalla teoria. In queste condizioni la materia si trova allo stato degenere. Per innalzare il livello massimo e, quindi, avere altri livelli di energia da riempire, la distanza tra gli elettroni dovrebbe diminuire, ma essi non posso avvicinarsi indefinitamente senza violare il principio di Pauli. Il nucleo della stella diventa, così, incomprimibile, esercitando una pressione verso l'esterno (pressione di degenerazione) che riesce ad impedire il collasso gravitazionale della stella.

*diviene confrontabile con la lunghezza d’onda di De Broglie dell’elettrone = h/2 p

La pressione di degenerazione NON dipende dalla temperatura!

Caso non relativistico

Quando si ha un sistema binario stretto nana bianca – gigante rossa : Prima possibilità: le novae. Dal disco di accrescimento, il materiale si deposita gradualmente sulla superficie della nana e, a causa dell'intensa gravità, viene compresso e riscaldato. Quando il materiale depositato raggiunge un valore critico, la temperatura sale a valori sufficienti da innescare superficialmente la fusione dell'idrogeno ed a provocare un'esplosione che coinvolge la materia proveniente dalla gigante rossa ed un sottilissimo strato appartenente alla nana bianca. Il guadagno in luminosità durante la fase esplosiva si aggira sulle 11 magnitudini, cioè un fattore 25000, mentre la magnitudine assoluta (cioè quella che si avrebbe se la stella fosse posta alla distanza di 10 parsec) del momento di massimo è circa -11

Seconda possibilità: supernovae di tipo I a. La nana bianca costituisce un sistema doppio con una stella moderatamente massiccia. In tal caso parte della massa della compagna può essere trasferita alla nana bianca da forze mareali, finché questa non arriva al limite di Chandrasekhar. La condizione di alta densità derivante dallo stato degenere della materia della stella innescano una rapida fusione nucleare degli atomi di carbonio e ossigeno rimanenti in un processo a feed-back positivo regolato principalmente dalla temperatura del plasma coinvolto. L'improvviso rilascio di energia produce una potentissima onda d'urto che accelera i prodotti di fusione oltre la velocità di fuga della stella (10000 kilometri al secondo) e per un periodo di circa tre settimane la “palla di fuoco“ mantiene una luminosità straordinaria; la stella viene così fatta a pezzi. Poiché il limite di Chandrasekhar è sempre lo stesso, queste supernovae emettono sempre la stessa luminosità, ed osservarne una in una galassia distante permette immediatamente di trovarne la distanza esatta. Ciò ha reso queste supernovae indispensabili nella cosmologia, dove il comportamento delle galassie distanti viene studiato per derivare le proprietà dell'Universo nel suo complesso (vedere lezione sulle galassie). (da http://it.wikipedia.org/wiki/Supernova) Un resto della nana bianca dopo l’esplosione è una stella di neutroni rotante, vale a dire una pulsar (fatto su cui si discute).

Come si può arrivare ad un sistema nana bianca – gigante rossa