L’insegnamento della fisica e L’insegnamento della fisica e delle scienze nella scuola; delle scienze nella scuola; proposte operative per un proposte operative per un

approccio laboratoriale low-approccio laboratoriale low-cost no costcost no cost

Misure & Numeri

1progetto SCIENTIA MAGISTRA VITAE

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E. Sassi - L-A- Smaldone

I NUMERI(diamo) (?)

12.32 metri è uguale a 12.32000 metri ?

Sì per un matematico ma … NO per un fisico, chimico, biologo etc. (uno sperimentale) !

Unità di misuraÈ il risultato (diretto o indiretto) di una operazione di misura e le cifre (significative) hanno un … preciso

significato !

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E. Sassi - L-A- Smaldone

Misura Diretta di una Grandezza

• Confronto con un Campione • 5.9 cm

• 6.0 cm• 6.1 cm

• …. cm

• .... cm

Errori Casuali (±)Errori Sistematiciindividuati, si possono

correggere (offset, taratura, procedura,

condizioni di misura, preparazione )

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E. Sassi - L-A- Smaldone

eDistribuzione delle Misure

(istogramma)

distribuzione gaussiana

Vm

σ

2m

σVV

e

A

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E. Sassi - L-A- Smaldone

0.........)()...()()( 1211

mimimmm

N

ii NVVVVVVVVVVV

Qual è la Misura della Lunghezza della Matita?

V1=5.9 V2=6.1 V3=6.0 V4=5.9 V5=5.8 V6=6.2 V7=5.6 …. Vi=…. ….

N ripetizioni della misura

medioValoreN

V

N

VVVVV

N

ii

im

1321 ......

(Vi-Vm) scarto (dal valor medio)

della misura i

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E. Sassi - L-A- SmaldoneQual è la Misura della Lunghezza della Matita?

Occorre fornire anche un indice di quanto è largo l’istogramma (poco o molto dispersa la misura, in un certo senso .. la bontà della misura)

N

VV

NVVVVVV

N

imi

mimm

1

222

22

1)(...)(...)()(

MedioQuadraticoScarto (detto anche errore)

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E. Sassi - L-A- SmaldoneQual è la Misura della Lunghezza della Matita?

Come si riassume il risultato delle operazioni di misura:Vm σ±

Indica anche che, effettuata una nuova misura nelle identiche condizioni, il valore V ottenuto ha una probabilità del:

68% (Vm-σ) ≤ V < (Vm+σ)

95% (Vm-2σ) ≤ V < (Vm+2σ)

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E. Sassi - L-A- SmaldoneEsempio: Periodo di Oscillazione di un Pendolo

• 12 misure (in secondi):

15.21 15.43 15.32 15.50

15.61 15.45 15.61 15.24

15.55 15.48 15.35 15.52

Pm= s

σ = s

15.43917

0.145090P=15.43917±0.145

090 s ??

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E. Sassi - L-A- Smaldone

Considerazioni sull’Esempio

Pm= 15.43917 s σ = 0.145090 s

P=15.44 ±0.15

(sul display della mia calcolatrice … su altre possono esserci anche più cifre!)Leggiamolo:Effettuando una nuova misura vi è il 68%

di probabilità che essa sia compresa tra 15.29408 e 15.58426Cifre Cifre certecerte

Prima cifra Prima cifra incertaincerta

Prima regola: Buon Senso – che senso ha indicare i millesimi quando il cronometro segna i centesimi ed i tempi di reazione sono di 0.1-0.2 s ?

Pm= 15.43917 s σ = 0.145090 sPm= 15.43917 s σ = 0.145090 s

Effettuando una nuova misura vi è il 68% di probabilità che essa sia compresa tra 15.29408 e 15.58426

Effettuando una nuova misura vi è il 68% di probabilità che essa sia compresa tra 15.29408 e 15.58426

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E. Sassi - L-A- SmaldoneRitorniamo alla Misura del Periodo del Pendolo

Regola del: Buon Senso P=15.44 ±0.15

Pm= 15.43917 s σ = 0.145090 s

Approssimazione al centesimo di secondo

Regola della presentazione delle misure:

Le cifre significative di una misura sono le cifre certe e la prima cifra incerta P=15.4

±0.15(*) s(*) Se la prima cifra significativa dell’errore (incertezza) è 1, arrotondare l’errore a 2 cifre (se togliamo 5 l’errore relativo è 5/10)

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E. Sassi - L-A- Smaldone

Presentazione della Misura

Errore (incertezza) esplicito: x±Δx (x±σ)

• I numeri che devono essere usati nei calcoli possono essere tenuti con una cifra significativa in più rispetto a quello richiesto nel risultato finale per ridurre le inaccuratezze introdotte dagli arrotondamenti.

• La misura e l’errore devono essere espressi nella stessa unità di misura.

• In calcoli, il risultato deve essere arrotondato al numero di c.s. del dato che ne possiede meno.

Errore (incertezza) implicito, definito dall’ultima cifra significativa: 32.54 kg→ ±0.005 kg 32.5 kg→ ±0.05 kg; 32 kg→ ±0.5 kg

Nomenclatura: Δx=σ Errore Assoluto

Δx/x Errore Relativo 100Δx/x Errore Percentuale

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E. Sassi - L-A- SmaldoneMisura Indiretta di una Grandezze Fisiche

Area= Base Haltezza

B=7.4±0.15 cm

H=5.3±0.15 cmAreamin=7.255.15=37.

3375 cm2 Areamax=7.555.45=41.1475 cm2

Probabilità del 68% che 37.3375 ≤ Area < 41.1475

Area=39±2 cm2

(A±ΔA)

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E. Sassi - L-A- SmaldoneErrore in una Misura Indiretta di Grandezza

(propagazione dell’errore)

y=y±Δy ; x=x±Δx ;

z=z±Δz G=f(x,y,z) con f relazione (legge) fisica, matematica, geometrica.

G=G±ΔG

G=f (x,y,z)

22

2

2

22

zyxG zf

yf

xf

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E. Sassi - L-A- SmaldoneErrore in una Misura Indiretta di Grandezza

(casi più frequenti)

G=a x+b y

2222yxG ba

G=x•y

2222yxG xy

G=x/y2222

2

1yxG xy

y

G=3x+2y

x=4.1±0.2

y=2.2 ±0.4

G=16.7

G=17±1

116.0404.09 G

G=9 ±1.7

G=1.9±0.4